Pronađite maksimalnu stopu porasta funkcije. Kako pronaći gradijent funkcije
Gradijent funkcije je vektorska veličina čije je pronalaženje povezano s definicijom parcijalnih derivacija funkcije. Smjer gradijenta označava put najbržeg rasta funkcije od jedne točke skalarnog polja do druge.
Uputa
1. Za rješavanje problema o gradijentu funkcije koriste se metode diferencijalnog računa, odnosno pronalaženje parcijalnih derivacija prvog reda po tri varijable. Pretpostavlja se da sama funkcija i sve njezine parcijalne derivacije imaju svojstvo neprekidnosti u domeni funkcije.
2. Gradijent je vektor čiji smjer pokazuje smjer najbržeg porasta funkcije F. Da biste to učinili, na grafu su odabrane dvije točke M0 i M1 koje su krajevi vektora. Vrijednost gradijenta jednaka je brzini porasta funkcije od točke M0 do točke M1.
3. Funkcija je diferencijabilna u svim točkama ovog vektora, stoga su projekcije vektora na koordinatne osi sve njegove parcijalne derivacije. Tada formula gradijenta izgleda ovako: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdje su i, j, k koordinate jediničnog vektora. Drugim riječima, gradijent funkcije je vektor čije su koordinate njegove parcijalne derivacije grad F = (?F/?h, ?F/?y, ?F/?z).
4. Primjer 1. Neka je dana funkcija F = sin (x z?) / y. Potrebno je pronaći njegov gradijent u točki (?/6, 1/4, 1).
5. Rješenje. Odredite parcijalne derivacije u odnosu na bilo koju varijablu: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Zamijenite poznate koordinate točke: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.
7. Primijenite formulu gradijenta funkcije: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Primjer 2. Odredite koordinate gradijenta funkcije F = y arctg (z / x) u točki (1, 2, 1).
9. Rješenje. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
Gradijent skalarnog polja je vektorska veličina. Dakle, da bismo ga pronašli, potrebno je odrediti sve komponente odgovarajućeg vektora, na temelju znanja o podjeli skalarnog polja.
Uputa
1. Pročitaj u udžbeniku više matematike što je gradijent skalarnog polja. Kao što znate, ova vektorska veličina ima smjer karakteriziran maksimalnom brzinom opadanja skalarne funkcije. Takav smisao zadane vektorske veličine opravdan je izrazom za određivanje njezinih komponenti.
2. Zapamtite da je svaki vektor definiran vrijednostima svojih komponenti. Komponente vektora zapravo su projekcije ovog vektora na jednu ili drugu koordinatnu os. Dakle, ako se razmatra trodimenzionalni prostor, tada vektor mora imati tri komponente.
3. Napiši kako se određuju komponente vektora koji je gradijent nekog polja. Sve koordinate takvog vektora jednake su derivaciji skalarnog potencijala u odnosu na varijablu čija se koordinata računa. To jest, ako trebate izračunati "x" komponentu vektora gradijenta polja, tada morate diferencirati skalarnu funkciju s obzirom na varijablu "x". Imajte na umu da derivacija mora biti kvocijent. To znači da se pri diferenciranju preostale varijable koje u njemu ne sudjeluju moraju smatrati konstantama.
4. Napiši izraz za skalarno polje. Kao što znate, ovaj pojam označava svaku samo skalarnu funkciju nekoliko varijabli, koje su također skalarne veličine. Broj varijabli skalarne funkcije ograničen je dimenzijom prostora.
5. Posebno diferencirajte skalarnu funkciju s obzirom na svaku varijablu. Kao rezultat, imat ćete tri nove funkcije. Upišite bilo koju funkciju u izraz za gradijent vektora skalarnog polja. Bilo koja od dobivenih funkcija zapravo je indikator za jedinični vektor zadane koordinate. Stoga bi konačni vektor gradijenta trebao izgledati kao polinom s eksponentima kao derivacijama funkcije.
Kada se razmatraju problemi koji uključuju predstavljanje gradijenta, češće se o svakom razmišlja kao o skalarnom polju. Stoga moramo uvesti odgovarajuću notaciju.
Trebat će vam
- - bum;
- - kemijska olovka.
Uputa
1. Neka je funkcija dana s tri argumenta u=f(x, y, z). Parcijalna derivacija funkcije, na primjer u odnosu na x, definirana je kao derivacija u odnosu na ovaj argument, dobivena fiksiranjem preostalih argumenata. Ostali argumenti su slični. Notacija djelomične derivacije piše se kao: df / dx \u003d u’x ...
2. Ukupni diferencijal bit će jednak du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Parcijalne derivacije mogu se shvatiti kao derivacije u smjerovima koordinatnih osi. Posljedično, postavlja se pitanje nalaženja derivacije u odnosu na smjer zadanog vektora s u točki M(x, y, z) (ne zaboravite da pravac s određuje jedinični vektor-ort s^o). U ovom slučaju, diferencijalni vektor argumenata je (dx, dy, dz)=(dscos(alfa), dscos(beta), dscos(gama)).
3. S obzirom na oblik totalnog diferencijala du, moguće je zaključiti da je derivacija u odnosu na pravac s u točki M: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama). Ako je s= s(sx,sy,sz), tada kosinusi smjera (cos(alfa, izračunavaju se cos(beta), cos(gama)) (vidi sliku 1a).
4. Definicija derivacije u smjeru, uzimajući u obzir točku M kao varijablu, može se prepisati kao točkasti umnožak: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alfa) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Ovaj izraz će biti objektivan za skalarno polje. Ako uzmemo u obzir jednostavnu funkciju, tada je gradf vektor koji ima koordinate koje se podudaraju s parcijalnim izvodnicama f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ovdje su (i, j, k) jedinični vektori koordinatnih osi u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu.
5. Ako koristimo Hamilton Nabla diferencijalni vektorski operator, tada se gradf može napisati kao množenje ovog operatorskog vektora sa skalarom f (vidi sliku 1b). S gledišta povezanosti gradf s izvodnicom smjera, jednakost (gradf, s^o)=0 je dopuštena ako su ti vektori ortogonalni. Posljedično, gradf se često definira kao smjer najbrže metamorfoze skalarnog polja. A sa stajališta diferencijalnih operacija (gradf je jedna od njih), svojstva gradf-a točno ponavljaju svojstva diferencijacije funkcija. Konkretno, ako je f=uv, tada je gradf=(vgradu+ugradv).
Slični Videi
Gradijent ovo je alat koji u grafičkim urednicima ispunjava siluetu glatkim prijelazom jedne boje u drugu. Gradijent može dati siluetu rezultat volumena, simulirati rasvjetu, refleksije svjetla na površini objekta ili rezultat zalaska sunca u pozadini fotografije. Ovaj alat ima široku primjenu, stoga je za obradu fotografija ili izradu ilustracija vrlo važno naučiti ga koristiti.
Trebat će vam
- Računalo, grafički uređivač Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ili drugi.
Uputa
1. Otvorite sliku u programu ili napravite novu. Napravite siluetu ili odaberite željeno područje na slici.
2. Uključite alat Gradient na alatnoj traci grafičkog uređivača. Postavite kursor miša na točku unutar odabranog područja ili siluete, gdje će početi prva boja gradijenta. Kliknite i držite lijevu tipku miša. Pomaknite kursor do točke gdje bi gradijent trebao prijeći u konačnu boju. Otpustite lijevu tipku miša. Odabrana silueta bit će ispunjena gradijentnom ispunom.
3. Gradijent y moguće je postaviti prozirnost, boje i njihov omjer na određenoj točki ispune. Da biste to učinili, otvorite prozor Gradient Edit. Da biste otvorili prozor za uređivanje u Photoshopu, kliknite na primjer gradijenta na ploči s opcijama.
4. U prozoru koji se otvori prikazane su dostupne opcije gradijentnog ispunjavanja kao primjeri. Za uređivanje jedne od opcija odaberite je klikom miša.
5. Primjer gradijenta prikazan je na dnu prozora u obliku široke ljestvice s klizačima. Klizači označavaju točke na kojima gradijent treba imati zadane usporedbe, au intervalu između klizača boja ravnomjerno prelazi iz one navedene u prvoj točki u boju 2. točke.
6. Klizači koji se nalaze na vrhu ljestvice postavljaju prozirnost gradijenta. Za promjenu prozirnosti kliknite na željeni klizač. Ispod skale pojavit će se polje u koje upisujemo željeni stupanj prozirnosti u postocima.
7. Klizači na dnu ljestvice postavljaju boje gradijenta. Klikom na jednu od njih moći ćete odabrati željenu boju.
8. Gradijent može imati više prijelaznih boja. Za postavljanje druge boje kliknite na prazan prostor na dnu ljestvice. Na njemu će se pojaviti još jedan klizač. Postavite željenu boju za njega. Ljestvica će prikazati primjer gradijenta s još jednom točkom. Klizače možete pomicati držeći ih uz podršku lijeve tipke miša kako biste postigli željenu kombinaciju.
9. Gradijent Postoji nekoliko vrsta koje mogu dati oblik ravnim siluetama. Recimo, da bi krug dobio oblik lopte, primjenjuje se radijalni gradijent, a da bi se dobio oblik stošca, primjenjuje se konusni gradijent. Zrcalni gradijent može se koristiti kako bi površini dao iluziju ispupčenja, a dijamantni gradijent se može koristiti za stvaranje svjetla.
Slični Videi
Slični Videi
Ako je u svakoj točki prostora ili dijelu prostora definirana vrijednost određene veličine, tada se kaže da je polje te veličine zadano. Polje se naziva skalarno ako je razmatrana vrijednost skalarna, tj. dobro karakteriziran svojom numeričkom vrijednošću. Na primjer, temperaturno polje. Skalarno polje zadano je skalarnom funkcijom točke u = /(M). Ako se u prostoru uvede kartezijev koordinatni sustav, tada postoji funkcija triju varijabli x, yt z - koordinate točke M: Definicija. Ploha razine skalarnog polja skup je točaka u kojima funkcija f(M) poprima istu vrijednost. Primjer jednadžbe površine razine 1. Pronađite površine razine skalarnog polja VEKTORSKA ANALIZA Površine razine skalarnog polja i linije razine Smjerna derivacija Derivacija gradijenta skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta -4 Prema definiciji, razina jednadžba površine bit će. Ovo je jednadžba sfere (s F 0) sa središtem u ishodištu. Skalarno polje se naziva ravnim ako je polje isto u svim ravninama paralelnim s nekom ravninom. Ako se navedena ravnina uzme kao ravnina xOy, tada funkcija polja neće ovisiti o koordinati z, tj. bit će funkcija samo argumenata x i y, a također i značenja. Jednadžba linije razine - Primjer 2. Određivanje linija razine skalarnog polja Pravci razine dani su jednadžbama. Pri c = 0 dobivamo par linija, dobivamo familiju hiperbola (slika 1). 1.1. Usmjerena derivacija Neka postoji skalarno polje definirano skalarnom funkcijom u = /(Af). Uzmimo točku Afo i izaberimo pravac određen vektorom I. Uzmimo drugu točku M tako da vektor M0M bude paralelan s vektorom 1 (slika 2). Označimo duljinu vektora MoM s A/, a priraštaj funkcije /(Af) - /(Afo), koji odgovara pomaku D1, s Di. Omjer određuje prosječnu brzinu promjene skalarnog polja po jedinici duljine na zadani smjer.Težimo sada nuli tako da vektor M0M cijelo vrijeme ostane paralelan s vektorom I. Definicija. Ako za D/O postoji konačna granica relacije (5), onda se ona naziva derivacija funkcije u danoj točki Afo na dani pravac I i označava se simbolom zr!^. Dakle, po definiciji, Ova definicija nije vezana uz izbor koordinatnog sustava, odnosno ima **varijantni karakter. Nađimo izraz za derivaciju s obzirom na pravac u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Neka je funkcija / diferencijabilna u točki. Razmotrimo vrijednost /(Af) u točki. Tada se ukupni prirast funkcije može napisati u sljedećem obliku: gdje i simboli znače da su parcijalne derivacije izračunate u točki Afo. Stoga su ovdje količine jfi, ^ kosinusi smjera vektora. Budući da su vektori MoM i I suusmjereni, njihovi kosinusi smjera su isti: derivacije, su derivacije funkcije i po pravcima koordinatnih osi s vanjskim nno- Primjer 3. Odredite derivaciju funkcije prema točki. Vektor ima duljinu. Njegov kosinus smjera: Formulom (9) imat ćemo Činjenica da, znači da skalarno polje u točki u danom smjeru dobi- Za ravno polje, derivacija u smjeru I u točki izračunava se formulom gdje je a kut koji tvori vektor I s osi Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) za izračunavanje derivacije duž pravca I u danoj točki Afo ostaje na snazi čak i kada točka M teži točki Mo duž krivulje za koju vektor I tangentira u točki PrISchr 4. Izračunaj derivacija skalarnog polja u točki Afo(l, 1). koja pripada paraboli u smjeru ove krivulje (u smjeru rastuće apscise). Smjer ] parabole u točki je smjer tangente na parabolu u toj točki (slika 3). Neka tangenta na parabolu u točki Afo tvori kut o s osi Ox. Odakle onda smjer kosinusa tangente. Izračunajmo vrijednosti i u točki. Imamo Sada formulom (10) dobivamo. Nađi derivaciju skalarnog polja u točki u smjeru kružnice Vektorska jednadžba kružnice ima oblik. Nalazimo jedinični vektor m tangente na kružnicu.Točka odgovara vrijednosti parametra. Gradijent skalarnog polja Neka je skalarno polje definirano skalarnom funkcijom za koju se pretpostavlja da je diferencijabilna. Definicija. Gradijent skalarnog polja » u danoj točki M je vektor označen simbolom grad i definiran jednakošću Jasno je da taj vektor ovisi i o funkciji / i o točki M u kojoj se izračunava njegova derivacija. Neka je 1 jedinični vektor u pravcu. Tada se formula za derivaciju smjera može napisati na sljedeći način: . dakle, derivacija funkcije u duž pravca 1 jednaka je skalarnom umnošku gradijenta funkcije u(M) i jediničnog vektora 1° pravca I. 2.1. Osnovna svojstva gradijenta Teorem 1. Gradijent skalarnog polja je okomit na plohu nivelete (ili na liniju nivelete ako je polje ravno). (2) Kroz proizvoljnu točku M povucimo ravnu plohu u = const i izaberimo na toj plohi glatku krivulju L koja prolazi točkom M (slika 4). Neka je I vektor tangenta na krivulju L u točki M. Budući da je na ravnini u(M) = u(M|) za bilo koju točku Mj ∈ L, tada je s druge strane = (gradu, 1°) . Zato. To znači da su vektori grad i i 1° ortogonalni. Dakle, vektor grad i je okomit na bilo koju tangentu na plohu nivelete u točki M. Dakle, on je okomit na samu plohu nivelete u točki M. Teorem 2. Gradijent je usmjeren u smjeru povećanja funkcije polja. Ranije smo dokazali da je gradijent skalarnog polja usmjeren duž normale na ravnu plohu, koja može biti usmjerena ili prema porastu funkcije u(M) ili prema njezinom opadanju. Označimo s n normalu nivelete orijentiranu u smjeru rastuće funkcije ti(M), te nađi derivaciju funkcije u u smjeru te normale (slika 5). Imamo Budući da prema uvjetu na sl. 5 i prema tome VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i linije razine Direkcijska derivacija Derivacija Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Slijedi da je grad i usmjeren u istom smjeru kao i onaj za koji smo odabrali normalu n, tj. u smjeru rastuće funkcije u(M). Teorem 3. Duljina gradijenta jednaka je najvećoj derivaciji u odnosu na smjer u danoj točki polja, (ovdje se max $ uzima u svim mogućim smjerovima u danoj točki M do točke). Imamo gdje je kut između vektora 1 i grada n. Budući da je najveća vrijednost Primjer 1. Nađite smjer najvećeg imoniona skalarnog polja u točki i također veličinu te najveće promjene u navedenoj točki. Smjer najveće promjene u skalarnom polju označen je vektorom. Imamo pa Ovaj vektor određuje smjer najvećeg povećanja polja do točke. Vrijednost najveće promjene u polju u ovoj točki je 2,2. Invarijantna definicija gradijenta Veličine koje karakteriziraju svojstva proučavanog objekta i ne ovise o izboru koordinatnog sustava nazivaju se invarijantama danog objekta. Na primjer, duljina krivulje je invarijanta ove krivulje, ali kut tangente na krivulju s x-osi nije invarijanta. Na temelju gornja tri svojstva gradijenta skalarnog polja, možemo dati sljedeću invarijantnu definiciju gradijenta. Definicija. Gradijent skalarnog polja je vektor usmjeren duž normale na ravnu površinu u smjeru rastuće funkcije polja i ima duljinu jednaku najvećoj derivaciji smjera (u danoj točki). Neka je jedinični vektor normale usmjeren u smjeru povećanja polja. Zatim Primjer 2. Nađi gradijent udaljenosti - neka fiksna točka, i M(x,y,z) - trenutna. 4 Imamo gdje je jedinični vektor smjera. Pravila za izračunavanje gradijenta gdje je c konstantan broj. Gornje formule dobivene su izravno iz definicije gradijenta i svojstava derivacija. Po pravilu diferenciranja umnoška. Dokaz je sličan dokazu svojstva Neka je F(u) diferencijabilna skalarna funkcija. Tada 4 Po definiciji gradijenta imamo Primijeni na sve članove s desne strane pravilo diferenciranja složene funkcije. Konkretno, formula (6) slijedi iz ravnine formule na dvije fiksne točke te ravnine. Promotrimo proizvoljnu elipsu sa žarištima Fj i F] i dokažimo da svaka svjetlosna zraka koja izlazi iz jednog žarišta elipse, nakon refleksije od elipse, ulazi u njezino drugo žarište. Linije razine funkcije (7) su VEKTORSKA ANALIZA Skalarno polje Površine i linije razine Izvodnica smjera Derivacija Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila izračuna gradijenta Jednadžbe (8) opisuju obitelj elipsa sa žarištima u točkama F) i Fj. Prema rezultatu primjera 2 imamo i radijus vektori. povučena u točku P(x, y) iz žarišta F| i Fj, te stoga leži na simetrali kuta između ovih radijus vektora (slika 6). Prema Tooromu 1, gradijent PQ je okomit na elipsu (8) u točki. Stoga, sl.6. normala na elipsu (8) u bilo kojoj točki raspolavlja kut između radijus vektora povučenih u tu točku. Odavde i iz činjenice da je upadni kut jednak kutu refleksije, dobivamo: zraka svjetlosti koja izlazi iz jednog žarišta elipse, odbijajući se od njega, sigurno će pasti u drugo žarište ove elipse.
Neka Z= F(M) je funkcija definirana u nekoj okolini točke M(y; x);L={ Cos; Cos} – jedinični vektor (na slici 33 1= , 2= ); L je pravac koji prolazi točkom M; M1(x1; y1), gdje je x1=x+x i y1=y+y- točka na pravcu L; L- veličina segmenta MM1; Z= F(x+x, y+y)-F(x, Y) – prirast funkcije F(M) u točki M(x; y).
Definicija. Granica relacije, ako postoji, naziva se Derivacija funkcije Z = F ( M ) u točki M ( x ; Y ) u smjeru vektora L .
Oznaka.
|
|
Ako funkcija F(M) diferencijabilan u točki M(x; y), zatim u točki M(x; y) postoji derivacija u bilo kojem smjeru L dolazi iz M; izračunava se prema sljedećoj formuli:
(8)
Gdje Cos I Cos- smjer kosinusa vektora L.
Primjer 46. Izračunajte derivaciju funkcije Z= x2 + Y2 x u točki M(1; 2) u smjeru vektora MM1, gdje M1- točka s koordinatama (3; 0).
. Nađimo jedinični vektor L, ima ovaj smjer:
Gdje Cos= ; Cos=- .
Izračunavamo parcijalne derivacije funkcije u točki M(1; 2):
Po formuli (8) dobivamo 
Primjer 47. Pronađite izvod funkcije U = xy2 Z3 u točki M(3; 2; 1) U smjeru vektora MN, gdje N(5; 4; 2) .
. Nađimo vektor i njegove kosinuse smjera:
Izračunajte vrijednosti parcijalnih derivacija u točki M:
Posljedično, 
Definicija. Gradijent FunkcijeZ= F(M) u točki M(x; y) je vektor čije su koordinate jednake odgovarajućim parcijalnim izvodnicama u uzetim u točki M(x; y).
Oznaka. 
Primjer 48. Pronađite gradijent funkcije Z= x2 +2 Y2 -5 u točki M(2; -1).
Riješenje. Nalazimo parcijalne derivacije: 
i njihove vrijednosti u točki M(2; -1):
Primjer 49.
Odredite veličinu i smjer gradijenta funkcije u točki 
Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije i izračunajmo njihove vrijednosti u točki M:
Posljedično,
Slično se definira derivacija smjera za funkciju triju varijabli U= F(x, Y, Z) , formule su izvedene
Uvodi se pojam gradijenta 
To naglašavamo Osnovna svojstva funkcije gradijenta važnije za analizu ekonomske optimizacije: u smjeru gradijenta funkcija raste. U ekonomskim problemima koriste se sljedeća svojstva gradijenta:
1) Neka je zadana funkcija Z= F(x, Y) , koji ima parcijalne derivacije u domeni definicije. Razmotrite neku točku M0(x0, y0) iz domene definicije. Neka vrijednost funkcije u ovoj točki bude F(x0 , Y0 ) . Razmotrimo graf funkcije. Kroz točku (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) trodimenzionalnom prostoru nacrtamo ravninu tangentu na plohu grafa funkcije. Zatim gradijent funkcije izračunat u točki (x0, y0), geometrijski posmatrano kao vektor vezan za točku (x0 , Y0 , F(x0 , Y0 )) , bit će okomita na tangentnu ravninu. Geometrijska ilustracija prikazana je na sl. 34.
2) Funkcija gradijenta F(x, Y) u točki M0(x0, y0) označava smjer najbržeg porasta funkcije u točki M0. Osim toga, svaki pravac koji čini oštar kut s gradijentom je smjer rasta funkcije u točki M0. Drugim riječima, mali pomak od točke (x0, y0) u smjeru gradijenta funkcije u ovoj točki dovodi do povećanja funkcije, i to u najvećoj mjeri.
Razmotrimo vektor suprotan gradijentu. To se zove antigradijent . Koordinate ovog vektora su:
Funkcija protiv gradijenta F(x, Y) u točki M0(x0, y0) označava smjer najbržeg opadanja funkcije u točki M0. Svaki smjer koji tvori oštar kut s antigradijentom je smjer u kojem funkcija opada u toj točki.
3) Pri proučavanju funkcije često je potrebno pronaći takve parove (x, y) iz opsega funkcije, za koje funkcija uzima iste vrijednosti. Razmotrimo skup točaka (x, Y) izvan opsega funkcije F(x, Y) , tako da F(x, Y)= Konst, gdje je ulaz “ Konst” znači da je vrijednost funkcije fiksna i jednaka nekom broju iz raspona funkcije.
Definicija. Linija razine funkcije U = F ( x , Y ) zove linijaF(x, Y)=S u avionuXOy, u čijim točkama funkcija ostaje konstantnaU= C.
Linije razine geometrijski su prikazane na ravnini promjene nezavisnih varijabli u obliku zakrivljenih linija. Dobivanje linija razine može se zamisliti na sljedeći način. Razmotrite set IZ, koji se sastoji od točaka u trodimenzionalnom prostoru s koordinatama (x, Y, F(x, Y)= Konst), koji s jedne strane pripadaju grafu funkcije Z= F(x, Y), s druge strane leže u ravnini paralelnoj s koordinatnom ravninom KAKO, i odvojen od njega vrijednošću jednakom danoj konstanti. Tada je za konstrukciju linije razine dovoljno presjeći površinu grafa funkcije s ravninom Z= Konst a presječnu liniju projicirati na ravninu KAKO. Gornje obrazloženje je opravdanje za mogućnost izravne konstrukcije nivelmana na ravnini KAKO.
Definicija. Skup linija razine naziva se Karta linija razine.
Dobro poznati primjeri linija razine su razine iste visine na topografskoj karti i linije istog barometarskog tlaka na vremenskoj karti.
Definicija.
Smjer duž kojeg je brzina porasta funkcije najveća naziva se "preferirani" smjer, ili Smjer najbržeg rasta.
"Preferirani" smjer zadan je gradijentnim vektorom funkcije. Na sl. 35 prikazuje maksimum, minimum i sedlo u problemu optimizacije funkcije dviju varijabli u odsutnosti ograničenja. Donji dio slike prikazuje linije razine i smjerove najbržeg rasta.
Primjer 50. Pronađite linije na razini značajki U= x2 + Y2 .
Riješenje. Jednadžba obitelji linija razine ima oblik x2 + Y2 = C (C>0) . Davanje IZ različite stvarne vrijednosti, dobivamo koncentrične kružnice sa središtem u ishodištu.
Izgradnja niveleta. Njihova analiza naširoko se koristi u ekonomskim problemima na mikro i makrorazinama, teoriji ravnoteže i učinkovitih rješenja. Izotroškovi, izokvante, krivulje indiferencije - sve su to linije razine izgrađene za različite ekonomske funkcije.
Primjer 51. Razmotrite sljedeću ekonomsku situaciju. Neka se opiše proizvodnja proizvoda Cobb-Douglasova funkcija F(x, Y)=10x1/3y2/3, gdje x- količina rada Na- iznos kapitala. Za nabavu resursa izdvojeno je 30 USD. jedinica, cijena rada je 5 k.u. jedinice, kapital - 10 c.u. jedinice Postavimo si pitanje: koji je najveći output koji se može dobiti pod ovim uvjetima? Ovdje se "dani uvjeti" odnose na dane tehnologije, cijene resursa i vrstu proizvodne funkcije. Kao što je već navedeno, funkcija Cobb-Douglas monotono raste u svakoj varijabli, tj. povećanje svake vrste resursa dovodi do povećanja outputa. Pod ovim uvjetima, jasno je da je moguće povećati nabavu resursa sve dok ima dovoljno novca. Paketi resursa koji koštaju 30 c.u. jedinice, zadovoljavaju uvjet:
5x + 10y = 30,
Odnosno, oni definiraju liniju funkcionalne razine:
G(x, Y) = 5x + 10y.
S druge strane, uz pomoć linija razine Cobb-Douglasove funkcije (Sl. 36) moguće je prikazati porast funkcije: u bilo kojoj točki linije razine smjer gradijenta je smjer najvećeg porasta, a za izgradnju gradijenta u točki dovoljno je povucite tangentu na liniju razine u ovoj točki, povucite okomicu na tangentu i označite smjer gradijenta. Od fig. 36 može se vidjeti da se pomicanje linije razine Cobb-Douglasove funkcije duž gradijenta treba izvoditi sve dok ne postane tangenta na liniju razine 5x + 10y = 30. Dakle, korištenjem koncepata linije razine, gradijenta, svojstava gradijenta, moguće je razviti pristupe najboljem korištenju resursa u smislu povećanja volumena outputa.
Definicija. Površina na razini funkcije U = F ( x , Y , Z ) naziva površinaF(x, Y, Z)=S, u čijim točkama funkcija ostaje konstantnaU= C.
Primjer 52. Pronađite površine na razini značajki U= x2 + Z2 - Y2 .
Riješenje. Jednadžba familije ravnih ploha ima oblik x2 + Z2 - Y2 =C. Ako a C=0, onda dobivamo x2 + Z2 - Y2 =0 - konus; ako C<0 , onda x2 + Z2 - Y2 =C - Obitelj dvolistnih hiperboloida.
Iz školskog tečaja matematike poznato je da je vektor na ravnini usmjeren segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate izračunavaju se oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.
Koncept vektora također se može proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate bit će n koordinata).
Gradijent gradz funkcija z=f(x 1 , x 2 , ... x n) je vektor parcijalnih derivacija funkcije u točki, tj. vektor s koordinatama.
Može se dokazati da gradijent funkcije karakterizira smjer najbržeg rasta razine funkcije u točki.
Na primjer, za funkciju z \u003d 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj točki će imati koordinate (2; 1). Može se graditi na ravnini na različite načine, uzimajući bilo koju točku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati točku (0; 0) s točkom (2; 1), ili točku (1; 0) s točkom (3; 1), ili točku (0; 3) s točkom (2; 4), ili t .P. (vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruirani na ovaj način imat će koordinate (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
Slika 5.8 jasno pokazuje da razina funkcije raste u smjeru gradijenta, budući da izgrađene linije razine odgovaraju vrijednostima razine 4 > 3 > 2.
Slika 5.8 - Gradijent funkcije z \u003d 2x 1 + x 2
Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z= 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće uvijek biti isti u različitim točkama, jer su njene koordinate određene formulama (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Na slici 5.9 prikazane su linije razine funkcije z= 1/(x 1 x 2) za razine 2 i 10 (pravac 1/(x 1 x 2) = 2 označen je isprekidanom linijom, a linija 1/( x 1 x 2) = 10 je puna linija).
Slika 5.9 - Gradijenti funkcije z \u003d 1 / (x 1 x 2) u različitim točkama
Uzmite, na primjer, točku (0,5; 1) i izračunajte gradijent u ovoj točki: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Imajte na umu da točka (0,5; 1) leži na liniji razine 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, jer z = f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) = 2. Za nacrtajte vektor (-4; -2) na slici 5.9, spojite točku (0,5; 1) s točkom (-3,5; -1), jer je (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Uzmimo drugu točku na istoj liniji razine, na primjer, točku (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajte gradijent u ovoj točki (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, spojimo točku (1; 0,5) s točkom (-1; -3,5), jer (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - četiri).
Uzmimo još jednu točku na istoj liniji razine, ali samo sada u nepozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, točka (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj točki bit će (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Oslikajmo to na slici 5.9 spajanjem točke (-0,5; -1) s točkom (3,5; 1), jer je (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Treba napomenuti da u sva tri razmatrana slučaja gradijent pokazuje smjer rasta razine funkcije (prema liniji razine 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Može se dokazati da je gradijent uvijek okomit na liniju razine (nivelete) koja prolazi kroz zadanu točku.
Ekstremi funkcije više varijabli
Definirajmo pojam ekstremno za funkciju mnogih varijabli.
Funkcija mnogih varijabli f(X) ima u točki X (0) maksimum (minimum), ako postoji takva okolina ove točke da za sve točke X iz te okoline vrijede nejednakosti f(X)f(X (0)) ().
Ako su te nejednakosti zadovoljene kao stroge, tada se naziva ekstrem snažna, a ako ne, onda slab.
Primijetimo da je ovako definiran ekstrem lokalni karaktera, budući da ove nejednakosti vrijede samo za neku okolinu točke ekstrema.
Nužan uvjet za lokalni ekstrem diferencijabilne funkcije z=f(x 1, . . ., x n) u točki je jednakost nuli svih parcijalnih derivacija prvog reda u ovoj točki: 
.
Točke u kojima te jednakosti vrijede nazivaju se stacionarni.
Na drugi način, nužni uvjet za ekstrem može se formulirati na sljedeći način: u točki ekstrema, gradijent je jednak nuli. Također je moguće dokazati općenitiju tvrdnju - u točki ekstrema derivacije funkcije u svim smjerovima nestaju.
Stacionarne točke treba podvrgnuti dodatnim istraživanjima - jesu li zadovoljeni dovoljni uvjeti za postojanje lokalnog ekstrema. Da biste to učinili, odredite predznak diferencijala drugog reda. Ako je za bilo koji koji nije istodobno jednak nuli uvijek negativan (pozitivan), tada funkcija ima maksimum (minimum). Ako može nestati samo pri nultim prirastima, tada pitanje ekstremuma ostaje otvoreno. Ako može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, tada u stacionarnoj točki nema ekstrema.
U općem slučaju, određivanje predznaka diferencijala prilično je kompliciran problem, koji ovdje nećemo razmatrati. Za funkciju dviju varijabli može se dokazati da ako je u stacionarnoj točki 
, tada postoji ekstrem. U ovom slučaju, predznak drugog diferencijala podudara se sa predznakom 
, tj. ako 
, onda je ovo maksimum, a ako 
, onda je ovo minimum. Ako a 
, tada u ovoj točki nema ekstrema, a ako 
, onda ostaje otvoreno pitanje ekstremuma.
Primjer 1. Pronađite ekstreme funkcije 
.
Nađimo parcijalne derivacije metodom logaritamskog diferenciranja.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
Na sličan način 
.
Nađimo stacionarne točke iz sustava jednadžbi:
Tako su pronađene četiri stacionarne točke (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).
Nađimo parcijalne derivacije drugog reda:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
Na sličan način 
;
.
Jer 
, izrazni znak 
ovisi samo o 
. Imajte na umu da je u obje ove derivacije nazivnik uvijek pozitivan, tako da možete uzeti u obzir samo predznak brojnika, ili čak predznak izraza x (x 2 - 3) i y (y 2 - 3). Odredimo ga u svakoj kritičnoj točki i provjerimo ispunjenje uvjeta dovoljnog ekstremuma.
Za točku (1; 1) dobivamo 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0, i 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
Za točku (1; -1) dobivamo 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Jer umnožak ovih brojeva 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
Za točku (-1; -1) dobivamo (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. umnožak dva pozitivna broja 
> 0, i 
> 0, u točki (-1; -1) možete pronaći minimum. Jednako je 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
Pronaći globalno maksimum ili minimum (najveća ili najmanja vrijednost funkcije) nešto je složeniji od lokalnog ekstremuma, budući da se te vrijednosti mogu postići ne samo u stacionarnim točkama, već i na granici domene definicije. Nije uvijek lako proučavati ponašanje funkcije na granici ovog područja.
