Pomoću diferencijala približno izračunajte ovu vrijednost. Aproksimacija izračuna pomoću diferencijala

Razmotrite rašireni problem o približnom izračunu vrijednosti funkcije pomoću diferencijala.

Ovdje i dalje ćemo govoriti o diferencijalima prvog reda; radi kratkoće, često ćemo jednostavno reći "diferencijal". Problem približnih izračuna pomoću diferencijala ima strogi algoritam rješenja, pa stoga ne bi trebalo nastati posebne poteškoće. Jedino što postoje male zamke koje će se također očistiti. Stoga slobodno zaronite glavom naprijed.

Osim toga, odjeljak sadrži formule za pronalaženje apsolutnih i relativnih pogrešaka izračuna. Materijal je vrlo koristan, budući da se pogreške moraju izračunati u drugim problemima.

Da biste uspješno svladali primjere, morate biti u stanju pronaći izvode funkcija barem na srednjoj razini, pa ako ste potpuno u nedoumici s razlikovanjem, počnite s nalaženje derivacije u točki i sa pronalaženje diferencijala u točki. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator s raznim matematičkim funkcijama. Možete koristiti mogućnosti MS Excela, ali u ovom slučaju to je manje prikladno.

Lekcija se sastoji od dva dijela:

– Približni izračuni korištenjem diferencijalne vrijednosti funkcije jedne varijable u točki.

– Približni izračuni korištenjem ukupnog diferencijala vrijednosti funkcije dviju varijabli u točki.

Zadatak koji razmatramo usko je povezan s pojmom diferencijala, ali budući da još nemamo lekciju o značenju derivacija i diferencijala, ograničit ćemo se na formalno razmatranje primjera, što je sasvim dovoljno da naučimo rješavati ih.

Približni izračuni pomoću diferencijala funkcije jedne varijable

U prvom odlomku vlada funkcija jedne varijable. Kao što svi znaju, označava se sa g ili kroz f(x). Za ovaj zadatak mnogo je prikladnije koristiti drugu notaciju. Prijeđimo odmah na popularan primjer koji se često susreće u praksi:

Primjer 1

Otopina: Prepišite radnu formulu za približni izračun pomoću diferencijala u svoju bilježnicu:

Počnimo to shvatiti, ovdje je sve jednostavno!

Prvi korak je stvaranje funkcije. Sukladno uvjetu predlaže se izračunavanje kubnog korijena broja: , pa odgovarajuća funkcija ima oblik: .

Moramo upotrijebiti formulu da pronađemo približnu vrijednost.

Pogledajmo lijeva strana formule, i pada mi na pamet da broj 67 mora biti predstavljen u obliku. Koji je najlakši način za to? Preporučujem sljedeći algoritam: izračunajte ovu vrijednost na kalkulatoru:

– ispalo je 4 s repom, to je važna smjernica za rješenje.

Kao x 0 odaberite "dobru" vrijednost, tako da se korijen potpuno odstrani. Naravno, ovo značenje x 0 bi trebao biti što bliže do 67.

U ovom slučaju x 0 = 64. Doista, .

Napomena: Kada s odabiromx 0 i dalje postoji poteškoća, samo pogledajte izračunatu vrijednost (u ovom slučaju ), uzmite najbliži cijeli broj (u ovom slučaju 4) i podignite ga na traženu potenciju (u ovom slučaju ). Kao rezultat toga, izvršit će se željeni odabir x 0 = 64.

Ako x 0 = 64, tada je prirast argumenta: .

Dakle, broj 67 je predstavljen kao zbroj

Najprije izračunamo vrijednost funkcije u točki x 0 = 64. Zapravo, ovo je već učinjeno ranije:

Diferencijal u točki nalazi se formulom:

– Ovu formulu možete prepisati i u svoju bilježnicu.

Iz formule slijedi da trebate uzeti prvi izvod:

I pronađite njegovu vrijednost u točki x 0:

.

Stoga:

Sve je spremno! Prema formuli:

Pronađena približna vrijednost vrlo je blizu vrijednosti 4,06154810045 izračunate pomoću mikrokalkulatora.

Odgovor:

Primjer 2

Izračunajte približno zamjenom inkremenata funkcije s njezinim diferencijalom.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije. Za početnike preporučujem da prvo izračunaju točnu vrijednost na mikrokalkulatoru kako bi saznali koji broj uzeti kao x 0, a koji – za Δ x. Treba napomenuti da je Δ x u ovom će primjeru biti negativan.

Neki su se možda zapitali zašto je potreban ovaj zadatak ako se sve može mirnije i točnije izračunati na kalkulatoru? Slažem se, zadatak je glup i naivan. Ali pokušat ću to malo opravdati. Prvo, zadatak ilustrira značenje diferencijalne funkcije. Drugo, u davna vremena kalkulator je bio nešto poput osobnog helikoptera u moderno doba. I sam sam vidio kako je negdje 1985-86 iz jednog instituta izbačeno računalo veličine sobe (radio amateri su dotrčali iz cijelog grada sa odvijačima, a nakon par sati od jedinice je ostalo samo kućište ). Imali smo i antikvitete na našem odjelu za fiziku, iako su bili manjih dimenzija – otprilike veličine stola. Ovako su se naši preci borili s približnim metodama izračuna. Prijevoz je i konjska zaprega.

Na ovaj ili onaj način, problem ostaje u standardnom tečaju više matematike i morat će se riješiti. Ovo je glavni odgovor na tvoje pitanje =).

Primjer 3

Izračunajte približno vrijednost funkcije pomoću diferencijala u točki x= 1,97. Izračunajte točniju vrijednost funkcije u točki x= 1,97 mikrokalkulatorom procijeniti apsolutnu i relativnu pogrešku izračuna.

Zapravo, ovaj se zadatak lako može preformulirati na sljedeći način: “Izračunajte približnu vrijednost pomoću diferencijala"

Otopina: Koristimo poznatu formulu:

U ovom slučaju već je dana gotova funkcija: . Još jednom bih vam skrenuo pozornost na činjenicu da je za označavanje funkcije prikladnije koristiti umjesto "igre" f(x).

Značenje x= 1,97 mora biti predstavljen u obliku x 0 = Δ x. Pa, ovdje je lakše, vidimo da je broj 1,97 vrlo blizu "dva", pa se sam sugerira x 0 = 2. I, prema tome: .

Izračunajmo vrijednost funkcije u točki x 0 = 2:

Pomoću formule , izračunajmo diferencijal u istoj točki.

Nalazimo prvu derivaciju:

I njegovo značenje u biti x 0 = 2:

Dakle, diferencijal u točki:

Kao rezultat, prema formuli:

Drugi dio zadatka je pronaći apsolutnu i relativnu pogrešku izračuna.

Približna vrijednost inkrementa funkcije

Za dovoljno male vrijednosti, prirast funkcije približno je jednak njenom diferencijalu, tj. Dy » dy i stoga

Primjer 2. Odredite približnu vrijednost prirasta funkcije y= kada se argument x promijeni s vrijednosti x 0 =3 na x 1 =3,01.

Otopina. Poslužimo se formulom (2.3). Da bismo to učinili, izračunajmo

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, dakle

Du" .

Približna vrijednost funkcije u točki

U skladu s definicijom prirasta funkcije y = f(x) u točki x 0, kada se argument Dx (Dx®0) povećava, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) i može se napisati formula (3.3).

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Posebni slučajevi formule (3.4) su izrazi:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3,4 g)

Ovdje se, kao i prije, pretpostavlja da je Dx®0.

Primjer 3. Odredite približnu vrijednost funkcije f(x) = (3x -5) 5 u točki x 1 =2,02.

Otopina. Za izračun koristimo formulu (3.4). Predstavimo x 1 kao x 1 = x 0 + Dx. Tada je x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Primjer 4. Izračunajte (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Otopina

1. Upotrijebimo formulu (3.4a). Da bismo to učinili, zamislimo (1,01) 5 u obliku (1+0,01) 5.

Tada, uz pretpostavku da je Dx = 0,01, n = 5, dobivamo

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Predstavljajući 1/6 u obliku (1 - 0,006), prema (3.4a), dobivamo

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Uzimajući u obzir da je ln(1,02) = ln(1 + 0,02) i pretpostavljajući Dx=0,02, pomoću formule (3.4b) dobivamo

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Isto tako

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Pronađite približne vrijednosti inkremenata funkcije

155. y = 2x 3 + 5 kada se argument x promijeni iz x 0 = 2 u x 1 = 2,001

156. y = 3x 2 + 5x + 1 s x 0 = 3 i Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 s x 0 = 2 i Dx = 0,01

158. y = ln x pri x 0 = 10 i Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x pri x 0 = 3 i Dx = 0,01

Pronađite približne vrijednosti funkcija

160. y = 2x 2 - x + 1 u točki x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 na x 1 = 3,02

162.y= u točki x 1 = 1.1

163. y= u točki x 1 = 3.032

164. y = u točki x 1 = 3.97

165. y = sin 2x u točki x 1 = 0,015

Izračunajte otprilike

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Istraživanje funkcija i grafički prikaz

Znakovi monotonosti funkcije

Teorem 1 (nužan uvjet za porast (smanjenje) funkcije) . Ako diferencijabilna funkcija y = f(x), xO(a; b) raste (opada) na intervalu (a; b), tada je za bilo koji x 0 O(a; b).

Teorem 2 (dovoljan uvjet za porast (smanjenje) funkcije) . Ako funkcija y = f(x), xO(a; b) ima pozitivnu (negativnu) derivaciju u svakoj točki intervala (a; b), tada ta funkcija raste (opada) na tom intervalu.

Ekstremi funkcije

Definicija 1. Točku x 0 nazivamo točkom maksimuma (minimuma) funkcije y = f(x) ako je za sve x iz neke d-okoline točke x 0 zadovoljena nejednakost f(x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) za x ¹ x 0 .

Teorem 3 (Fermat) (nužan uvjet za postojanje ekstrema) . Ako je točka x 0 točka ekstrema funkcije y = f(x) iu toj točki postoji derivacija, tada

Teorem 4 (prvi dovoljan uvjet za postojanje ekstrema) . Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u nekoj d-okolici točke x 0 . Zatim:

1) ako derivacija pri prolazu kroz točku x 0 promijeni predznak iz (+) u (-), tada je x 0 točka maksimuma;

2) ako derivacija pri prolazu kroz točku x 0 promijeni predznak iz (-) u (+), tada je x 0 točka minimuma;

3) ako derivacija ne mijenja predznak pri prolazu kroz točku x 0, tada u točki x 0 funkcija nema ekstrem.

Definicija 2. Točke u kojima derivacija funkcije nestaje ili ne postoji nazivaju se kritične točke prve vrste.

pomoću prve derivacije

1. Odredite domenu definicije D(f) funkcije y = f(x).

3. Pronađite kritične točke prve vrste.

4. Postavite kritične točke u područje definiranja D(f) funkcije y = f(x) i odredite predznak derivacije u intervalima na koje kritične točke dijele područje definiranja funkcije.

5. Odaberite maksimalne i minimalne točke funkcije i izračunajte vrijednosti funkcije u tim točkama.

Primjer 1. Ispitajte funkciju y = x 3 - 3x 2 za ekstrem.

Otopina. U skladu s algoritmom za pronalaženje ekstremuma funkcije pomoću prve derivacije imamo:

1. D(f): xO(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - kritične točke prve vrste.

Derivacija pri prolazu kroz točku x = 0

mijenja predznak iz (+) u (-), stoga je točka

Maksimalno. Pri prolasku kroz točku x = 2 predznak se mijenja iz (-) u (+), dakle to je točka minimuma.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksimalne koordinate (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Minimalne koordinate (2; -4).

Teorem 5 (drugi dovoljan uvjet za postojanje ekstrema) . Ako je funkcija y = f(x) definirana i dvaput diferencijabilna u nekoj okolini točke x 0, i , tada u točki x 0 funkcija f(x) ima maksimum ako i minimum ako .

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije

koristeći drugu derivaciju

1. Odredite domenu definicije D(f) funkcije y = f(x).

2. Izračunajte prvu derivaciju

S jedne strane, izračunavanje diferencijala mnogo je jednostavnije od izračunavanja prirasta; s druge strane, dy≈∆y i pogreška dopuštena u ovom slučaju mogu se učiniti proizvoljno malim smanjenjem ∆x. Ove okolnosti omogućuju u mnogim slučajevima zamjenu ∆y s vrijednošću dy. Iz približne jednakosti dy≈∆y, uzimajući u obzir da je ∆y = f(x) – f(x 0), te dy=f'(x 0)(x-x 0), dobivamo f(x) ≈ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), gdje je x-x 0 = ∆x.
Primjer. Izračunati.
Otopina. Uzimajući funkciju, imamo: . Uz pretpostavku da je x 0 =16 (sami biramo tako da se izvuče korijen), ∆x = 0,02, dobivamo .

Primjer. Izračunajte vrijednost funkcije f(x) = e x u točki x=0.1.
Otopina. Za x 0 uzimamo broj 0, odnosno x 0 =0, zatim ∆x=x-x 0 =0,1 i e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. Prema tablici, e 0,1 ≈1,1052. Greška je bila manja.
Uočimo još jedno važno svojstvo diferencijala. Formula za pronalaženje diferencijala dy=f’(x)dx je točna kao u slučaju kada x je nezavisna varijabla, a u slučaju kada x– funkcija nove varijable t. Ovo svojstvo diferencijala naziva se svojstvo invarijantnosti njegovog oblika. Na primjer, za funkciju y=tg(x) diferencijal će biti napisan u obliku bez obzira da li x nezavisna varijabla ili funkcija. U slučaju x– funkcija je posebno specificirana, npr. x=t 2 , tada se može nastaviti računanje dy, za što nalazimo dx=2tdt i supstituiramo ga u prethodno dobiveni izraz za dy:
.
Ako bismo umjesto formule (2) upotrijebili neinvarijantnu formulu (1), onda u slučaju kada je x funkcija, ne bismo mogli nastaviti izračunavanje dy na sličan način, jer ∆x, općenito govoreći, ne podudaraju se s dx.

1. Izračunavanje približne vrijednosti prirasta funkcije

Primjer. Koristeći pojam diferencijala funkcije izračunajte približno promjenu funkcije kada se argument promijeni sa 5 na 5.01.

Nađimo diferencijal funkcije . Zamijenimo vrijednosti X 0 = 5, D X= 0,01. Dobivamo

2. Izračunavanje približne vrijednosti funkcije

Primjer. Izračunajte približnu vrijednost pomoću diferencijala 1,998 5 .

Razmotrimo funkciju gdje X= 1,998. Razbijmo to X na X 0 i D X (X = X 0+D X), neka X 0 = 2, zatim D X = - 0,002.

Pronađimo vrijednost , ,

Tada je 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31,84.

Derivacije i diferencijali viših redova

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna na nekom intervalu. Zatim, diferencirajući ga, dobivamo prvu derivaciju

Ako nađemo derivaciju funkcije f¢(x), dobivamo druga derivacija funkcije f(x).

one. y¢¢ = (y¢)¢ ili .

.

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

1. Rolleov teorem. Ako je funkcija f(x) neprekidna na intervalu, diferencijabilna u intervalu (a, b) i vrijednosti funkcije na krajevima intervala jednake su f(a) = f(b), tada u intervalu (a, b) postoji barem jedna točka c ( a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Geometrijsko značenje Roleova teorema. Geometrijsko značenje Rolleovog teorema je da ako su uvjeti teoreme ispunjeni na intervalu (a, b), postoji točka c takva da je u odgovarajućoj točki krivulje y = f(x) tangenta paralelna s osovina Ox. Može postojati nekoliko takvih točaka na intervalu, ali teorem navodi postojanje barem jedne takve točke.

Imajte na umu da ako je barem u jednoj točki intervala [ a; b] funkcija nije diferencijabilna, tada je izvod funkcije f(x) možda neće ići na nulu. Na primjer, funkcija g=1-½ x½je kontinuirana na intervalu [-1; +1], diferencijabilan na (-1;+1) osim u točki x 0 = 0, i f(-1) = f(1) = 0, tj. uvjet Rolleovog teoreme je povrijeđen u jednoj točki x 0 = 0 (u njemu funkcija nije diferencirana). Očito je da ni u jednoj točki grafa funkcije na intervalu [-1; 1] tangenta na graf nije paralelna s osi 0 x.

Rolleov teorem ima nekoliko posljedice :

1) Ako je funkcija f(x) na segmentu [ a, b] zadovoljava Rolleov teorem, i f(a) = f(b) = 0, onda postoji barem jedna točka s, a< с < b , tako da f¢(c) = 0. one. Između dvije nule funkcije postoji barem jedna točka u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli.

2) Ako na razmatranom intervalu ( a, b) funkcija f(x) ima derivat ( n-1)og reda i n puta nestaje, tada postoji barem jedna točka u intervalu u kojem je derivacija ( n–1) reda jednak je nuli.

2. Lagrangeov teorem. Ako je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u intervalu (a, b), tada u tom intervalu postoji barem jedna točka c (a< c < b), такая, что .

To znači da ako su uvjeti teorema ispunjeni na određenom intervalu, tada je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta na tom intervalu jednak vrijednosti derivacije u nekoj međutočki.

Gore razmatrani Rolleov teorem poseban je slučaj Lagrangeovog teorema.

Izraz se zove Lagrangeova formula konačnog prirasta.

Geometrijsko značenje Lagrangeovog teorema.

Neka su uvjeti Lagrangeovog teorema zadovoljeni, tada vrijedi Lagrangeova formula za konačne priraštaje.

Neka bodovi A I B funkcije koje leže na grafu imaju koordinate A (a; f(a)), B (b; f(b)), tada je očito da je vrijednost razlomka jednaka tangensu kuta nagiba tetive AB prema O osi x, tj. .

S druge strane, f "(c) = tga. Dakle, u točki x= c tangenta na graf funkcije g= f(x) paralelno s tetivom koja obuhvaća luk krivulje AB. Ovo je geometrijsko značenje Lagrangeovog teorema.

3. Cauchyjev teorem. Ako funkcije f(x) I g(x) kontinuirano na segmentu a diferencijabilan u intervalu (a, b) i g¢(x) ¹ 0 ni u jednom trenutku u ovom intervalu, tada postoji barem jedna točka c(a< c < b), tako da vrijedi jednakost:

.

one. omjer priraštaja funkcija na danom segmentu jednak je omjeru derivacija u točki S.

Geometrijsko značenje Cauchyjeva teorema.

Lako je provjeriti da se geometrijsko značenje Cauchyjeva teorema poklapa s geometrijskim značenjem Lagrangeova teorema.

Približni proračuni pomoću diferencijala

U ovoj lekciji ćemo pogledati čest problem o približnom izračunu vrijednosti funkcije pomoću diferencijala. Ovdje i dalje ćemo govoriti o diferencijalima prvog reda; radi kratkoće, često ću jednostavno reći "diferencijal". Problem približnih izračuna pomoću diferencijala ima strogi algoritam rješenja, pa stoga ne bi trebalo nastati posebne poteškoće. Jedino što postoje male zamke koje će se također očistiti. Stoga slobodno zaronite glavom naprijed.

Osim toga, stranica sadrži formule za pronalaženje apsolutne i relativne pogreške izračuna. Materijal je vrlo koristan, budući da se pogreške moraju izračunati u drugim problemima. Fizičari, gdje vam je aplauz? =)

Da biste uspješno svladali primjere, morate biti u stanju pronaći izvode funkcija barem na srednjoj razini, pa ako ste potpuno u nedoumici s razlikovanjem, počnite s lekcijom Kako pronaći izvedenicu? Također preporučujem čitanje članka Najjednostavniji problemi s izvedenicama, odnosno odlomci o pronalaženju derivacije u točki I pronalaženje diferencijala u točki. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator s raznim matematičkim funkcijama. Možete koristiti Excel, ali u ovom slučaju je manje prikladan.

Radionica se sastoji iz dva dijela:

– Približni izračuni pomoću diferencijala funkcije jedne varijable.

– Približni izračuni korištenjem ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli.

Kome što treba? Zapravo, bilo je moguće podijeliti bogatstvo na dvije hrpe, iz razloga što se druga točka odnosi na primjene funkcija nekoliko varijabli. Ali što mogu, volim duge članke.

Približni izračuni
pomoću diferencijala funkcije jedne varijable

Predmetni zadatak i njegovo geometrijsko značenje već smo obradili u lekciji Što je izvodnica? , a sada ćemo se ograničiti na formalno razmatranje primjera, što je sasvim dovoljno da naučimo kako ih riješiti.

U prvom odlomku vlada funkcija jedne varijable. Kao što svi znaju, označava se sa ili sa . Za ovaj zadatak mnogo je prikladnije koristiti drugu notaciju. Prijeđimo odmah na popularan primjer koji se često susreće u praksi:

Primjer 1

Otopina: Prepišite radnu formulu za približni izračun pomoću diferencijala u svoju bilježnicu:

Počnimo to shvatiti, ovdje je sve jednostavno!

Prvi korak je stvaranje funkcije. Sukladno uvjetu predlaže se izračunavanje kubnog korijena broja: , pa odgovarajuća funkcija ima oblik: . Moramo upotrijebiti formulu da pronađemo približnu vrijednost.

Pogledajmo lijeva strana formule, i pada mi na pamet da broj 67 mora biti predstavljen u obliku. Koji je najlakši način za to? Preporučujem sljedeći algoritam: izračunajte ovu vrijednost na kalkulatoru:
– ispalo je 4 s repom, to je važna smjernica za rješenje.

Odaberemo "dobru" vrijednost kao tako da se korijen potpuno odstrani. Naravno, ova bi vrijednost trebala biti što bliže do 67. U ovom slučaju: . Stvarno: .

Napomena: Ako i dalje bude poteškoća s odabirom, jednostavno pogledajte izračunatu vrijednost (u ovom slučaju ), uzmite najbliži cijeli broj (u ovom slučaju 4) i podignite ga na traženu potenciju (u ovom slučaju ). Kao rezultat toga, izvršit će se traženi odabir: .

Ako je , tada je prirast argumenta: .

Dakle, broj 67 je predstavljen kao zbroj

Najprije izračunajmo vrijednost funkcije u točki. Zapravo, to je već učinjeno prije:

Diferencijal u točki nalazi se formulom:
- Možete ga i kopirati u svoju bilježnicu.

Iz formule slijedi da trebate uzeti prvi izvod:

I pronađite njegovu vrijednost u točki:

Stoga:

Sve je spremno! Prema formuli:

Pronađena približna vrijednost dosta je blizu vrijednosti , izračunato pomoću mikrokalkulatora.

Odgovor:

Primjer 2

Izračunajte približno zamjenom inkremenata funkcije s njezinim diferencijalom.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije. Početnicima prvo preporučam izračunavanje točne vrijednosti na mikrokalkulatoru kako bi saznali koji se broj uzima kao , a koji kao . Treba napomenuti da će u ovom primjeru biti negativan.

Neki su se možda zapitali zašto je potreban ovaj zadatak ako se sve može mirnije i točnije izračunati na kalkulatoru? Slažem se, zadatak je glup i naivan. Ali pokušat ću to malo opravdati. Prvo, zadatak ilustrira značenje diferencijalne funkcije. Drugo, u davna vremena kalkulator je bio nešto poput osobnog helikoptera u moderno doba. I sam sam vidio kako je iz lokalnog politehničkog instituta negdje 1985.-86. godine izbačeno računalo veličine sobe (radio amateri su dotrčali iz cijeloga grada s odvijačima, a nakon par sati od njega je ostalo samo kućište). jedinica). I na našem fizikalno-matematičkom odjelu bilo je antikviteta, doduše manjih dimenzija – otprilike veličine stola. Ovako su se naši preci borili s približnim metodama izračuna. Prijevoz je i konjska zaprega.

Na ovaj ili onaj način, problem ostaje u standardnom tečaju više matematike i morat će se riješiti. Ovo je glavni odgovor na tvoje pitanje =)

Primjer 3

u točki . Mikrokalkulatorom izračunati točniju vrijednost funkcije u točki, ocijeniti apsolutnu i relativnu pogrešku izračuna.

Zapravo, isti zadatak, lako se može preformulirati na sljedeći način: "Izračunajte približnu vrijednost pomoću diferencijala"

Otopina: Koristimo poznatu formulu:
U ovom slučaju već je dana gotova funkcija: . Još jednom bih vam skrenuo pozornost na činjenicu da je praktičniji za korištenje.

Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pa, ovdje je lakše, vidimo da je broj 1,97 vrlo blizu "dva", pa se sam sugerira. I stoga: .

Pomoću formule , izračunajmo diferencijal u istoj točki.

Nalazimo prvu derivaciju:

I njegova vrijednost u točki:

Dakle, diferencijal u točki:

Kao rezultat, prema formuli:

Drugi dio zadatka je pronaći apsolutnu i relativnu pogrešku izračuna.

Apsolutna i relativna pogreška izračuna

Apsolutna računska greška nalazi se formulom:

Predznak modula pokazuje da nam je svejedno koja je vrijednost veća, a koja manja. Važno, koliko daleko približni rezultat odstupao je od točne vrijednosti u jednom ili drugom smjeru.

Relativna greška izračuna nalazi se formulom:
, ili ista stvar:

Relativna greška pokazuje u kojem postotku približan rezultat je odstupao od točne vrijednosti. Postoji verzija formule bez množenja sa 100%, ali u praksi gotovo uvijek vidim gornju verziju s postocima.

Nakon kratkog referiranja, vratimo se našem problemu u kojem smo izračunali približnu vrijednost funkcije pomoću diferencijala.

Izračunajmo točnu vrijednost funkcije pomoću mikrokalkulatora:
, strogo govoreći, vrijednost je još uvijek približna, ali smatrat ćemo je točnom. Takvi se problemi događaju.

Izračunajmo apsolutnu grešku:

Izračunajmo relativnu grešku:
, dobivene su tisućinke postotka, tako da je diferencijal dao samo izvrsnu aproksimaciju.

Odgovor: , apsolutna računska greška, relativna računska greška

Sljedeći primjer za neovisno rješenje:

Primjer 4

Izračunajte približno vrijednost funkcije pomoću diferencijala u točki . Izračunati točniju vrijednost funkcije u zadanoj točki, procijeniti apsolutnu i relativnu pogrešku izračuna.

Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.

Mnogi su primijetili da se u svim razmatranim primjerima pojavljuju korijeni. To nije slučajno; u većini slučajeva problem koji se razmatra zapravo nudi funkcije s korijenima.

Ali za čitatelje koji pate, iskopao sam mali primjer s arksinusom:

Primjer 5

Izračunajte približno vrijednost funkcije pomoću diferencijala u točki

Ovaj kratki, ali informativan primjer također je za vas da sami riješite. I malo sam se odmorio kako bih s novom snagom mogao razmotriti poseban zadatak:

Primjer 6

Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružite rezultat na dvije decimale.

Otopina:Što je novo u zadatku? Uvjet zahtijeva zaokruživanje rezultata na dvije decimale. Ali to nije poanta; mislim da vam problem zaokruživanja nije težak. Činjenica je da nam je dana tangenta s argumentom koji je izražen u stupnjevima. Što trebate učiniti kada se od vas traži da riješite trigonometrijsku funkciju sa stupnjevima? Na primjer, itd.

Algoritam rješenja je u osnovi isti, odnosno potrebno je, kao i u prethodnim primjerima, primijeniti formulu

Napišimo očitu funkciju

Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pružit će ozbiljnu pomoć tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Usput, onima koji ga nisu isprintali, preporučam da to učine, jer ćete tamo morati tražiti tijekom cijelog studija više matematike.

Analizirajući tablicu, primjećujemo "dobru" vrijednost tangente, koja je blizu 47 stupnjeva:

Stoga:

Nakon preliminarne analize stupnjevi se moraju pretvoriti u radijane. Da, i samo ovako!

U ovom primjeru možete saznati izravno iz trigonometrijske tablice da . Korištenje formule za pretvaranje stupnjeva u radijane: (formule se nalaze u istoj tablici).

Ono što slijedi je formulacija:

Stoga: (vrijednost koristimo za izračune). Rezultat se, prema uvjetu, zaokružuje na dvije decimale.

Odgovor:

Primjer 7

Izračunajte približno pomoću diferencijala, zaokružite rezultat na tri decimale.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano, pretvaramo stupnjeve u radijane i pridržavamo se uobičajenog algoritma rješenja.

Približni izračuni
pomoću potpunog diferencijala funkcije dviju varijabli

Sve će biti vrlo, vrlo slično, pa ako ste došli na ovu stranicu posebno zbog ovog zadatka, prvo preporučujem da pogledate barem nekoliko primjera iz prethodnog odlomka.

Da biste proučili odlomak morate ga moći pronaći parcijalne derivacije drugog reda, gdje bismo bili bez njih? U gornjoj lekciji označio sam funkciju dviju varijabli slovom . U odnosu na zadatak koji se razmatra, pogodnije je koristiti ekvivalentnu notaciju.

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, uvjet problema može se formulirati na različite načine, a ja ću pokušati razmotriti sve formulacije na koje naiđem.

Primjer 8

Otopina: Bez obzira kako je uvjet napisan, u samom rješenju za označavanje funkcije, ponavljam, bolje je koristiti ne slovo "z", već .

A evo i radne formule:

Ono što imamo pred sobom zapravo je starija sestra formule iz prethodnog paragrafa. Varijabla se samo povećala. Što da kažem, sebe algoritam rješenja bit će u osnovi isti!

Prema uvjetu potrebno je pronaći približnu vrijednost funkcije u točki.

Predstavimo broj 3,04 kao . Lepinja sama traži da se pojede:
,

Predstavimo broj 3,95 kao . Došao je red na drugu polovicu Koloboka:
,

I ne gledajte sve lisice trikove, postoji Kolobok - morate ga pojesti.

Izračunajmo vrijednost funkcije u točki:

Diferencijal funkcije u točki nalazimo pomoću formule:

Iz formule slijedi da trebamo pronaći parcijalne derivacije prvog reda i izračunajte njihove vrijednosti u točki.

Izračunajmo parcijalne derivacije prvog reda u točki:

Ukupna razlika u točki:

Dakle, prema formuli, približna vrijednost funkcije u točki:

Izračunajmo točnu vrijednost funkcije u točki:

Ova vrijednost je apsolutno točna.

Pogreške se izračunavaju pomoću standardnih formula, o kojima je već bilo riječi u ovom članku.

Apsolutna pogreška:

Relativna greška:

Odgovor:, apsolutna pogreška: , relativna pogreška:

Primjer 9

Izračunajte približnu vrijednost funkcije u točki koristeći ukupni diferencijal, procijenite apsolutnu i relativnu pogrešku.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Svatko tko malo bolje pogleda ovaj primjer primijetit će da su se pogreške u izračunu pokazale vrlo, vrlo uočljivima. To se dogodilo iz sljedećeg razloga: u predloženom problemu inkrementi argumenata su prilično veliki: . Opći obrazac je sljedeći: što su veća ta povećanja apsolutne vrijednosti, to je manja točnost izračuna. Tako će, na primjer, za sličnu točku priraštaji biti mali: , a točnost približnih izračuna bit će vrlo visoka.

Ova značajka vrijedi i za slučaj funkcije jedne varijable (prvi dio lekcije).

Primjer 10

Otopina: Izračunajmo ovaj izraz približno koristeći ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli:

Razlika u odnosu na primjere 8-9 je u tome što prvo trebamo konstruirati funkciju od dvije varijable: . Mislim da svatko intuitivno razumije kako je funkcija sastavljena.

Vrijednost 4,9973 je blizu "pet", dakle: , .
Vrijednost 0,9919 je blizu "jedan", stoga pretpostavljamo: , .

Izračunajmo vrijednost funkcije u točki:

Diferencijal u točki nalazimo pomoću formule:

Da bismo to učinili, izračunavamo parcijalne derivacije prvog reda u točki.

Izvedenice ovdje nisu najjednostavnije i treba biti oprezan:

;

.

Ukupna razlika u točki:

Dakle, približna vrijednost ovog izraza je:

Izračunajmo točniju vrijednost pomoću mikrokalkulatora: 2,998899527

Nađimo relativnu pogrešku izračuna:

Odgovor: ,

Samo ilustracija gore navedenog, u razmatranom problemu, inkrementi argumenata su vrlo mali, a pogreška se pokazala fantastično malom.

Primjer 11

Koristeći potpuni diferencijal funkcije dviju varijabli izračunajte približno vrijednost ovog izraza. Izračunaj isti izraz pomoću mikrokalkulatora. Procijenite relativnu pogrešku izračuna u postotku.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Kao što je već navedeno, najčešći gost u ovoj vrsti zadatka je neka vrsta korijena. Ali s vremena na vrijeme postoje i druge funkcije. I krajnji jednostavan primjer za opuštanje:

Primjer 12

Koristeći ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli približno izračunajte vrijednost funkcije if

Rješenje je bliže dnu stranice. Još jednom, obratite pozornost na formulaciju zadataka lekcije; u različitim primjerima u praksi formulacija može biti drugačija, ali to bitno ne mijenja bit i algoritam rješenja.

Da budem iskren, bio sam malo umoran jer je gradivo bilo malo dosadno. Nije bilo pedagoški reći ovo na početku članka, ali sada je već moguće =) Doista, problemi u računskoj matematici obično nisu vrlo složeni, nisu vrlo zanimljivi, možda je najvažnije ne pogriješiti u običnim proračunima.

Neka se tipke vašeg kalkulatora ne izbrišu!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Otopina: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,

Stoga:
Odgovor:

Primjer 4: Otopina: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,