Primjena formula za volumen i površinu pravokutnog paralelopipeda za rješavanje praktičnih problema i matematičko modeliranje.

Gornja (donja) strana bit će jednaka ab, tj. 7x6=42 cm. Površina jedne od bočnih strana bit će jednaka bc, tj. 6x4=24 cm. Konačno, površina prednje (zadnje) strane bit će jednaka ac, tj. 7x4=28 cm.

Sada zbrojite sva tri rezultata i pomnožite dobiveni iznos s dva. Kod nas će to izgledati ovako: 42+24+28=94; 94x2=188. Dakle, površina ovog pravokutnog paralelopipeda bit će 188 cm.

Bilješka

Pazite da ne zamijenite pravokutni paralelopiped s ravnim. Za pravi paralelopiped samo su stranice (4 od 6 lica) pravokutnici, a gornja i donja baza su proizvoljni paralelogrami.

Koristan savjet

Kocka se može smatrati posebnim slučajem pravokutnog paralelopipeda. Budući da su mu sve plohe jednake, da bismo pronašli njegovu površinu bit će potrebno kvadrirati duljinu ruba i pomnožiti sa 6.

Izvori:

• Online kalkulator koji izračunava površinu kvadra
• kako pronaći pravokutni paralelopiped

Kvadrat je poliedarska figura koja se sastoji od šest pravokutnika. Znajući duljinu svih njegovih lica, možete izračunati njegov volumen, dijagonalu i površinu.

Trebat će vam

• Mjere bridova pravokutnog paralelopipeda.

upute

Izračunavanje površine pravokutnog paralelopipeda.
Neka nam je dan pravokutni paralelopiped sa stranicama a, b, c. Zatim, da biste izračunali njegovu površinu S, morate koristiti formulu:
S = 2+(a*b+b*c+a*c)

Paralelepiped je geometrijski trodimenzionalni lik, koji je poseban slučaj četverokutne prizme. Kao i svaka četverokutna prizma, paralelopiped je šesterokut, ali njegovo glavno razlikovno svojstvo je paralelopiped je da su sve njegove suprotne strane paralelne u parovima i međusobno jednake. Osim volumena ove figure, veličina njezine površine može biti od praktičnog interesa.

upute

Ukupna površina sastoji se od površine njegove bočne površine i površine.
Kao što je gore spomenuto, suprotna lica paralelopipeda su uparena između . Stoga se cijeli paralelepiped može definirati kao dvostruki zbroj površina različitih lica:
S = 2(So + Sb1 + Sb2), gdje je So površina baze paralelopipeda; Sb1, Sb2 – površine susjednih bočnih stranica paralelopipeda.
Općenito, i osnovice paralelopipeda i njegove bočne strane su paralelogrami. Uzimajući u obzir da se površina paralelograma može lako pronaći pomoću bilo koje od dvije formule u nastavku, pronalaženje ukupne površine paralelopipeda neće biti teško.

Video na temu

Koristan savjet

Površina paralelograma može se pronaći koristeći bilo koju od formula:
1) S = ½ah, gdje je a baza paralelograma; h – njegova visina;
2) S = ½ab∙sinα, gdje su a, b duljine stranica paralelograma, α je šiljasti kut između njih.

Da bi se riješili problemi vezani uz određivanje površine paralelopipeda, potrebno je jasno razumjeti što je ovo geometrijsko tijelo, koji su oblici njegovih bočnih strana i baze. Poznavanje svojstava ovih geometrijskih oblika pomoći će vam u rješavanju problema.

upute

Paralelepiped je struktura koja u osnovi ima paralelogram. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice jednake i paralelne. Paralelepiped ima gornju i donju bazu i 4 bočne strane. Svi su paralelogrami. Budući da uvjet ne označava kut nagiba bočnih stranica prema bazi, moguće je da je prizma ravna. To dovodi do pojašnjenja: bočne strane ravne linije su pravokutnici.

Da biste pronašli površinu paralelepipeda, morate pronaći površinu njegovih baza i površinu bočne površine. Da biste to učinili, morate znati duljinu stranica baze paralelopipeda i duljinu njegova ruba. Da biste odredili površinu baze, morate izračunati visinu paralelograma. Možemo pretpostaviti da su te vrijednosti poznate, jer ova točka nije navedena u uvjetu. Radi praktičnosti uvedene su sljedeće oznake: AD = BC = a – osnovice paralelograma; AB = CD = b – bočne stranice paralelograma; BN = h – visina paralelograma; AE = DL = CK = BF = H – rub paralelopipeda.

Površina paralelograma definirana je kao umnožak njegove baze i visine, tj. Ah. Budući da su gornja i donja baza jednake, njihova ukupna površina je S = 2ah.

Budući da su bočne strane pravokutnici, njihova se površina izračunava kao umnožak stranica. Jedna stranica stranice AELD je brid paralelopipeda i jednaka je H, a druga je stranica njegove baze i jednaka je a. Područje lica: aH. Bočne stranice paralelopipeda su u parovima jednake i paralelne. Lice AELD jednako je licu BFKC. Ukupna površina im je S = 2aH.

Lice AEFB jednako je licu DLKC. Strana AB poklapa se s bočnom stranom baze paralelopipeda i jednaka je b, stranica AE jednaka je H. Površina lica AEFB jednaka je bH. Zbroj površina tih ploha je S = 2bH. Bočna ploha paralelopipeda: 2aH+2bH.

Dakle, ukupna površina paralelopipeda: S = 2ah+2aH+2bH ili S = 2(ah+aH+bH) Problem je riješen.

Paralelepiped je prizma čije su osnovice i bočne stranice paralelogrami. Paralelepiped može biti ravan ili nagnut. Kako pronaći njegovu površinu u oba slučaja?

upute

Paralelepiped može biti ravan ili nagnut. Ako su mu rubovi okomiti na baze, ravan je. Bočne strane ovoga su pravokutnici. Nagnute bočne strane su pod kutom prema. Njegova lica su paralelogrami. Prema tome, plohe ravnog i kosog paralelopipeda definirane su različito.

Ukupna površina paralelopipeda je zbroj površina obiju baza i njegovih bočnih stranica: S=S1+S2.

Odredite površinu baze. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove baze i visine, tj. Ah. Ukupna površina obje baze: S1=2ah.

Odredite površinu bočne površine paralelopipeda S1. To je zbroj površina svih bočnih stranica, koje su pravokutnici. Stranica AD stranice AELD također je stranica osnovice paralelopipeda, AD=a. Strana LD je njegov rub, LD=c. Površina lica AELD jednaka je umnošku njegovih stranica, tj. ak. Nasuprotne plohe paralelopipeda su jednake, dakle AELD=BFKC. Ukupna površina im je 2ac.

Stranica DC lica DLKC je bočna stranica baze paralelopipeda, DC=b. Druga strana lica je rub. Lice DLKC jednako je licu AEFB. Ukupna površina im je 2dc.

Bočna površina: S2=2ac+2bc Ukupna površina paralelopipeda: S=2ah+2ac+2bc=2(ah+ac+bc).

Razlika u pronalaženju površine ravnog i nagnutog paralelopipeda je u tome što su bočne strane potonjeg također paralelogrami, stoga je potrebno imati vrijednosti njihovih visina. Područje baza u oba slučaja nalazi se slično.

Video na temu

Paralelepiped je trodimenzionalni geometrijski lik s tri mjerne karakteristike: duljina, širina i visina. Svi oni sudjeluju u pronalaženju površine obiju površina paralelopipeda: ukupne i bočne.

upute

Paralelopiped je poliedar izgrađen na temelju paralelograma. Ima šest lica, koja su također ovi dvodimenzionalni oblici. Ovisno o tome kako se nalaze, razlikuju se ravni i nagnuti paralelopiped. To se izražava u jednakosti kuta između baze i bočnog ruba od 90°.

Prema tome kojem konkretnom slučaju paralelograma baza pripada, razlikujemo pravokutni paralelopiped i njegovu najčešću varijantu, kocku. Ovi se oblici najčešće nalaze i nose standardno. Oni su svojstveni kućanskim aparatima, komadima namještaja, elektroničkim uređajima itd., kao i samim ljudskim stanovima, čije su dimenzije od velike važnosti za stanare i trgovce nekretninama.

Obično se smatra da je karakteristika ukupnost područja njegovih lica, druga je ista vrijednost plus područja obiju baza, tj. zbroj svih dvodimenzionalnih likova koji čine paralelopiped. Sljedeće formule nazivaju se osnovnim zajedno s volumenom: Sb = P h, gdje je P opseg baze, h je visina; Sp = Sb + 2 S, gdje je So površina baze.

Za posebne slučajeve, kocke i likove s pravokutnom bazom, formule su pojednostavljene. Sada više ne morate određivati ​​visinu, koja je jednaka duljini okomitog ruba, a područje i opseg su puno lakše pronaći zbog prisutnosti pravih kutova; samo duljina i širina uključeni su u njihovo određivanje. Dakle, za pravokutni paralelopiped: Sb = 2 c (a + b), gdje je 2 (a + b) dvostruki zbroj stranica baze (perimetar), c je duljina bočnog ruba; Sp = Sb + 2 a b = 2 a c + 2 b c + 2 a b = 2 (a c + b c + a b).

Svi bridovi kocke imaju istu duljinu, dakle: Sb = 4 a a = 4 a²; Sp = Sb + 2 a² = 6 a².

Paralelepiped je trodimenzionalna figura koju karakterizira prisutnost lica i rubova. Svaku bočnu plohu čine dva paralelna bočna rebra i odgovarajuće stranice obiju baza. Da biste pronašli bočnu površinu paralelopipeda, morate zbrojiti površine svih njegovih okomitih ili nagnutih paralelograma.

upute

Paralelepiped je prostorni geometrijski lik koji ima tri dimenzije: duljinu, visinu i širinu. S tim u vezi, ima dvije horizontalne, koje se nazivaju baze, kao i četiri bočne. Svi oni imaju oblik paralelograma, ali postoje i posebni slučajevi koji pojednostavljuju ne samo grafički prikaz problema, već i same izračune.

Glavne numeričke karakteristike paralelopipeda su volumen. Razlikuju se pune i bočne površine figure, koje se dobivaju zbrajanjem površina odgovarajućih lica, u prvom slučaju - svih šest, u drugom - samo bočnih.

Prema uvjetima zadatka zadan je pravokutni paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dimenzija a; b i c:

Problem zahtijeva pronalaženje volumena, površine i zbroja duljina svih bridova ovog paralelopipeda.

Formula za površinu

Paralelepiped ima šest lica:

• donja baza ABCD;
• gornja baza A 1 B 1 C 1 D 1 ;
• četiri bočne strane AA 1 B 1 B; BB 1 C 1 C; CC 1 D 1 D; DD 1 A 1 A.

U kvadru su sve stranice pravokutnici, a rubovi su jednaki:

|AB| = |CD| = |A 1 B 1 | = |C 1 D 1 | = a;

|BC| = |AD| = |B 1 C 1 | = |A 1 D 1 | = b;

|AA 1 | = |BB 1 | = |CC 1 | = |DD 1 | = c.

Zbroj L duljina svih 12 bridova jednak je:

L = 4 * a + 4 * b + 4 * c = 4 * (a + b + c);

Površina paralelopipeda je zbroj površina svih šest stranica. Područja baza su ista:

S1 = |AB| * |prije Krista| = |A 1 B 1 | * |B 1 C 1 | = a * b;

Površine bočnih stranica AA 1 B 1 B i CC 1 D 1 D su iste i jednake:

S2 = |AB| * |AA 1 | = |CD| * |CC 1 | = a * c;

Površine preostala dva lica BB 1 C 1 C i DD 1 A 1 A također su jednake:

S3 = |BC| * |BB 1 | = |AD| * |AA 1 | = b * c;

Površina je:

S = 2 * S1 + 2 * S2 + 2 * S3 = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c = 2 * (a * b + a * c + b * c);

Volumen pravokutnog paralelopipeda jednak je njegovim trima mjerama:

V = S1 * |AA 1 | = a * b * c;

Izračun potrebnih parametara

Zamjenom izvornih podataka dobivamo:

L = 4 * (0,24 + 0,4 + 1,5) = 8,56 (m);

S = 2 * (0,24 * 0,4 + 0,24 * 1,5 + 0,4 * 1,5) = 2,112 (m^2);

V = 0,24 * 0,4 * 1,5 = 0,144 (m^3);

Odgovor: L = 8,56 (m); S = 2,112 (m^2); V = 0,144 (m^3);

1). V = a ∙ b ∙ c – formula za određivanje obujma pravokutnog paralelopipeda V duljine osnovice a širine b i visine c. Mjere pravokutnog paralelopipeda su: a = 0,24 m, b = 0,4 m, c = 1,5 m. Tada je:

V = 0,24 m ∙ 0,4 m ∙ 1,5 m = 0,144 m³.

2). S = 2 ∙ (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c) – površina paralelopipeda jednaka je zbroju površina svih njegovih šest stranica. Dobivamo:

S = 2 ∙ (0,24 m ∙ 0,4 m + 0,24 m ∙ 1,5 m + 0,4 m ∙ 1,5 m) = 2 ∙ (0,096 + 0,36 + 0,6) m² = 2 ∙ 1,056 m² = 2,112 m²

3). L = 4 ∙ (a + b + c) – zbroj duljina svih dvanaest bridova paralelopipeda. Sredstva:

L = 4 ∙ (0,24 m + 0,4 m + 1,5 m) = 4 ∙ 2,14 m = 8,56 m.

Odgovor: 0,144 m³ je volumen, 2,112 m² je površina, a 8,56 m je zbroj duljina svih bridova ovog pravokutnog paralelopipeda.

Odjeljci: matematika, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Svrha lekcije: U praksi naučite primijeniti formule za volumen i površinu pravokutnog paralelopipeda.

Alati: multimedijska instalacija, kreda, ploča, modeli paralelopipeda.

Tijekom nastave

I. Provjera domaće zadaće.

II. Usmena anketa.

1. Koliko bridova ima pravokutni paralelopiped? Kakva su oni figura?
2. Koliko stranica ima pravokutni paralelopiped? Kakva su oni figura?
3. Koliko vrhova ima pravokutni paralelopiped? Kakva su oni figura?

III. Radite prema gotovim crtežima.

1. Što su a, b i c?
2. Kako pronaći područje bočne strane? Postoje li druga lica s istim područjem?
3. Kako pronaći područje gornjeg lica?
4. Kako pronaći područje prednjeg lica?
5. Zapišite na ploču formulu za pronalaženje površine paralelopipeda.
6. Napiši formulu za iznalaženje volumena paralelopipeda.
7. U kojim jedinicama se mjeri površina paralelopipeda, a u kojim jedinicama volumen?

IV. Riješite zadatak prema crtežu prikazanom na slici.

Odredite površinu i obujam pravokutnog paralelopipeda.

1. 3*4 = 12 (sq. cm) - prednja površina.
2. 3*5 = 15 (sq. cm) - bočna površina.
3. 4*5 = 20 (sq. cm) - površina gornje površine.
4. 2*(12+15+20) = 94 (sq. cm) - površina bočne površine paralelopipeda.

Odgovor: 94 sq.cm.

V. Praktični dio. Podijelite paralelopipede

1. Izmjerite rubove paralelopipeda (duljinu, visinu i širinu). Rezultate zapišite u svoju bilježnicu.
2. Pronađite površinu bočne površine paralelopipeda.
3. Nađi obujam paralelopipeda.
4. Označite lice paralelepipeda s površinom jednakom

• Opcija 1 - 14 kvadratnih metara cm
• Opcija 2 - 18 kvadratnih metara cm
• Opcija 3 - 48 m² cm

VI. Pisani rad na ploči uz frontalni razgovor.

Odredi oplošje i obujam pravokutnog paralelopipeda s izrezom.

1. 2*(4*5+5*5+5*4) = 130 sq. cm - površina.
2. 5*5*4 = 100 kubnih metara cm je obujam paralelopipeda.

Odgovor: 130 kvadratnih metara. cm i 100 cc. cm.

VII. Zadatak s praktičnim sadržajem.

Koliko se kanti vode, svaka po 8 litara, ulije u akvarij prikazan na slici.

Znamo da je 1 litra = 10 kubnih dm.

1. 25-5 = 20 (cm) - visina izlivene vode.
2. 20*40*60 = 48000 (kubičnih cm) - volumen vode u akvariju.
   48000 kubnih metara cm = 48 cu. dm = 48 litara
3. 48:8 = 6 (ved.) - bit će potrebna voda.