Kako riješiti logaritamske nejednadžbe s različitim bazama. Sve o logaritamskim nejednakostima

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Logaritamske nejednadžbe

U prethodnim lekcijama upoznali smo se s logaritamskim jednadžbama i sada znamo što su i kako ih riješiti. Današnja lekcija bit će posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednadžbe i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednadžbe?

Logaritamske nejednadžbe su nejednadžbe koje imaju varijablu koja se pojavljuje ispod znaka logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednadžba nejednadžba u kojoj će se njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, pojaviti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednadžbe imaju sljedeći oblik:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji ovise o x.

Pogledajmo ovo koristeći ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednadžbi

Prije rješavanja logaritamskih nejednadžbi, vrijedi napomenuti da su kada se riješe slične eksponencijalnim nejednadžbama, naime:

Prvo, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, također trebamo usporediti bazu logaritma s jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednadžbu pomoću promjene varijabli, trebamo rješavati nejednadžbe s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednadžbu.

Ali vi i ja smo razmatrali slične aspekte rješavanja logaritamskih nejednakosti. Sada obratimo pažnju na prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničenu domenu definicije, stoga, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, moramo uzeti u obzir raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).

Odnosno, treba uzeti u obzir da pri rješavanju logaritamske jednadžbe vi i ja prvo možemo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednadžbe neće ići na ovaj način, budući da će od logaritama do izraza pod znakom logaritma biti potrebno zapisati ODZ nejednadžbe.

Osim toga, vrijedi podsjetiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, a to su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.

Na primjer, kada je broj "a" pozitivan, tada morate koristiti sljedeću oznaku: a >0. U tom će slučaju i zbroj i umnožak ovih brojeva također biti pozitivni.

Glavni princip za rješavanje nejednadžbe je zamijeniti je jednostavnijom nejednadžbom, ali glavno je da je ekvivalentna zadanoj. Nadalje, dobili smo i nejednadžbu i opet je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik itd.

Kada rješavate nejednadžbe s varijablom, morate pronaći sva njezina rješenja. Ako dvije nejednadžbe imaju istu varijablu x, tada su te nejednadžbe ekvivalentne, pod uvjetom da se njihova rješenja podudaraju.

Prilikom izvođenja zadataka rješavanja logaritamskih nejednakosti, morate imati na umu da kada je a > 1, tada logaritamska funkcija raste, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih nejednadžbi

Sada pogledajmo neke od metoda koje se koriste pri rješavanju logaritamskih nejednadžbi. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Svi znamo da najjednostavnija logaritamska nejednadžba ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti V – je jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je baza zadanog logaritma veća od jedan (a>1), čime se prelazi sa logaritama na izraze pod znakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će imati sljedeći oblik:

što je ekvivalentno ovom sustavu:

U slučaju kada je baza logaritma veća od nule i manja od jedinice (0

Ovo je ekvivalentno ovom sustavu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednakosti prikazanih na slici ispod:

Rješavanje primjera

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Rješavanje raspona prihvatljivih vrijednosti.

Sada pokušajmo pomnožiti njegovu desnu stranu s:

Da vidimo što možemo smisliti:

Sada prijeđimo na pretvaranje sublogaritamskih izraza. Zbog činjenice da je baza logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga slijedi da interval koji smo dobili u cijelosti pripada ODZ i rješenje je takve nejednadžbe.

Evo odgovora koji smo dobili:

Što je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednadžbi?

Pokušajmo sada analizirati što nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo koncentrirajte svu svoju pozornost i pokušajte ne pogriješiti pri izvođenju transformacija koje su dane u ovoj nejednadžbi. Također, treba imati na umu da je prilikom rješavanja takvih nejednadžbi potrebno izbjegavati proširenja i skupljanja nejednadžbi, što može dovesti do gubitka ili dobivanja stranih rješenja.

Drugo, pri rješavanju logaritamskih nejednadžbi morate naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sustav nejednadžbi i skup nejednadžbi, kako biste lakše birali rješenja nejednadžbe, vodeći se njezinim DL-om.

Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svatko od vas mora savršeno poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, snage, trigonometrijske itd., Jednom riječju, sve one koje ste učili tijekom školske algebre.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Kako biste izbjegli probleme u rješavanju nejednadžbi, potrebno je što više vježbati rješavanje različitih zadataka i pritom se prisjetiti osnovnih metoda rješavanja takvih nejednadžbi i njihovih sustava. Ako ne uspijete riješiti logaritamske nejednadžbe, trebali biste pažljivo analizirati svoje pogreške kako im se u budućnosti više ne bi vraćali.

Domaća zadaća

Za bolje razumijevanje teme i učvršćivanje pređenog gradiva riješite sljedeće nejednadžbe:

Često se kod rješavanja logaritamskih nejednakosti javljaju problemi s promjenjivom bazom logaritma. Dakle, nejednakost oblika

je standardna školska nejednakost. U pravilu se za njegovo rješavanje koristi prijelaz na ekvivalentni skup sustava:

Nedostatak ove metode je potreba za rješavanjem sedam nejednakosti, ne računajući dva sustava i jednu populaciju. Već s ovim kvadratnim funkcijama rješavanje populacije može potrajati dosta vremena.

Moguće je predložiti alternativni, manje dugotrajan način rješavanja ove standardne nejednakosti. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir sljedeći teorem.

Teorem 1. Neka na skupu X postoji kontinuirano rastuća funkcija. Tada će se na tom skupu predznak prirasta funkcije podudarati s predznakom prirasta argumenta, tj. , Gdje .

Napomena: ako je kontinuirano padajuća funkcija na skupu X, tada .

Vratimo se nejednakosti. Prijeđimo na decimalni logaritam (možete prijeći na bilo koji s konstantnom bazom većom od jedan).

Sada možete koristiti teorem, uočavajući prirast funkcija u brojniku a u nazivniku. Dakle, istina je

Kao rezultat toga, broj izračuna koji vode do odgovora približno je prepolovljen, što štedi ne samo vrijeme, već vam također omogućuje potencijalno manje aritmetičkih i nepažljivih pogrešaka.

Primjer 1.

Uspoređujući s (1) nalazimo , , .

Prelazeći na (2) imat ćemo:

Primjer 2.

Uspoređujući s (1) nalazimo , , .

Prelazeći na (2) imat ćemo:

Primjer 3.

Budući da je lijeva strana nejednadžbe rastuća funkcija kao i , onda će odgovor biti mnogo.

Brojni primjeri u kojima se Tema 1 može primijeniti mogu se lako proširiti uzimajući u obzir Temu 2.

Neka na setu x definirane su funkcije , , , te se na tom skupu predznaci i podudaraju, tj. , onda će biti pošteno.

Primjer 4.

Primjer 5.

Kod standardnog pristupa, primjer se rješava prema sljedećoj shemi: umnožak je manji od nule kada su faktori različitih predznaka. Oni. razmatra se skup dvaju sustava nejednakosti u kojima se, kao što je naznačeno na početku, svaka nejednakost rastavlja na još sedam.

Ako uzmemo u obzir teorem 2, tada svaki od faktora, uzimajući u obzir (2), možemo zamijeniti drugom funkcijom koja ima isti predznak u ovom primjeru O.D.Z.

Metoda zamjene inkrementa funkcije s inkrementom argumenta, uzimajući u obzir teorem 2, pokazala se vrlo prikladnom pri rješavanju standardnih zadataka Jedinstvenog državnog ispita C3.

Primjer 6.

Primjer 7.

. Označimo . Dobivamo

. Imajte na umu da zamjena podrazumijeva: . Vraćajući se na jednadžbu, dobivamo .

Primjer 8.

U teoremima koje koristimo nema ograničenja na klase funkcija. U ovom članku, kao primjer, teoremi su primijenjeni na rješavanje logaritamskih nejednadžbi. Sljedećih nekoliko primjera će pokazati obećanje metode za rješavanje drugih vrsta nejednakosti.

Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Umjesto potvrdnog okvira “∨” možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Na taj se način rješavamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednadžbu. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali kada se odbace logaritmi, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odrezali, dovoljno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Što je logaritam”.

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sustav i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, preostaje ga samo presjeći s rješenjem racionalne nejednadžbe - i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Prvo napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti su automatski zadovoljene, ali posljednju ćemo morati ispisati. Budući da je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost:

Vršimo prijelaz s logaritamske nejednadžbe na racionalnu. Izvorna nejednakost ima predznak "manje od", što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak "manje od". Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štoviše, x = 0 je korijen druge množine, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobivamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ logaritma, što znači da je ovo odgovor.

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti

Često se izvorna nejednakost razlikuje od gornje. To se može lako ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritama”. Naime:

1. Bilo koji broj može se prikazati kao logaritam sa zadanom bazom;
2. Zbroj i razlika logaritama s istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno bih vas želio podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednadžbi može postojati nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednakosti je sljedeća:

1. Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednadžbu;
2. Svesti nejednadžbu na standardnu ​​pomoću formula za zbrajanje i oduzimanje logaritama;
3. Riješite dobivenu nejednadžbu pomoću gornje sheme.

Zadatak. Riješite nejednadžbu:

Nađimo domenu definicije (DO) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojnika:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule nazivnika:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobivamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke na bazi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma s istom bazom. Zbrojimo ih:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardnu ​​logaritamsku nejednakost. Rješavamo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednadžba sadrži znak "manje od", rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Preostaje presjeći te skupove - dobivamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa odabiremo intervale koji su osjenčani na obje strelice. Dobivamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve točke su punktirane.

Nejednadžba se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednakosti ne razlikuju se od, osim u dvije stvari.

Prvo, kada se prelazi s logaritamske nejednadžbe na nejednakost sublogaritamskih funkcija, treba slijedi znak dobivene nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku s logaritamske nejednakosti na nejednakost sublogaritamskih funkcija, znak nejednakosti zadržava, ali ako je manji od $1$, tada se mijenja u suprotan .

Drugo, rješenje svake nejednadžbe je interval, pa je stoga na kraju rješavanja nejednakosti sublogaritamskih funkcija potrebno napraviti sustav dviju nejednadžbi: prva nejednadžba tog sustava bit će nejednadžba sublogaritamskih funkcija, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednadžbu.

Praksa.

Riješimo nejednakosti:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritma je $2>1$, pa se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobivamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )