Što su svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti. Svojstvene vrijednosti (brojevi) i svojstveni vektori. Primjeri rješenja

Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada budete trebali dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule se lako umeću na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilicama. Djeluje već dugo (i, mislim, radit će zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovito koristite matematičke formule na svojoj stranici, preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML označavanje.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojom web stranicom, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) preuzmite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda - složenija i dugotrajnija - ubrzat će učitavanje stranica vašeg web-mjesta, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vaše web-mjesto. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruiran prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskrajno, dobivamo Mengerovu spužvu.

SUSTAV HOMOGENIH LINEARNIH JEDNADŽBI

Sustav homogenih linearnih jednadžbi je sustav oblika

Jasno je da u ovom slučaju , jer svi elementi jednog od stupaca u tim determinantama jednaki su nuli.

Budući da se nepoznanice nalaze prema formulama , tada u slučaju kada je Δ ≠ 0, sustav ima jedinstveno nulto rješenje x = g = z= 0. Međutim, u mnogim problemima zanimljivo je pitanje ima li homogeni sustav rješenja različita od nule.

Teorema. Da bi sustav linearnih homogenih jednadžbi imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.

Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje. Ako je Δ ≠ 0, tada sustav linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

Primjeri.

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice

Neka je dana kvadratna matrica , x– neki stupac matrice čija se visina podudara s redoslijedom matrice A. .

U mnogim problemima moramo uzeti u obzir jednadžbu za x

gdje je λ određeni broj. Jasno je da za svaki λ ova jednadžba ima nulto rješenje.

Naziva se broj λ za koji ova jednadžba ima rješenja različita od nule svojstvena vrijednost matrice A, A x jer se takav λ naziva svojstveni vektor matrice A.

Nađimo svojstveni vektor matrice A. Jer E∙X = X, tada se matrična jednadžba može prepisati kao ili . U proširenom obliku, ova se jednadžba može prepisati kao sustav linearnih jednadžbi. Stvarno .

I stoga

Dakle, dobili smo sustav homogenih linearnih jednadžbi za određivanje koordinata x 1, x 2, x 3 vektor x. Da bi sustav imao rješenja različita od nule potrebno je i dovoljno da determinanta sustava bude jednaka nuli, tj.

Ovo je jednadžba 3. stupnja za λ. To se zove karakteristična jednadžba matrice A i služi za određivanje svojstvenih vrijednosti λ.

Svaka svojstvena vrijednost λ odgovara svojstvenom vektoru x, čije su koordinate određene iz sustava pri odgovarajućoj vrijednosti λ.

Primjeri.

VEKTORSKA ALGEBRA. POJAM VEKTORA

U proučavanju različitih grana fizike postoje veličine koje su u potpunosti određene zadavanjem svojih numeričkih vrijednosti, na primjer, duljina, površina, masa, temperatura itd. Takve se veličine nazivaju skalarima. No, osim njih, postoje i veličine za čije je određivanje, osim brojčane vrijednosti, potrebno znati i njihov smjer u prostoru, primjerice sila koja djeluje na tijelo, brzina i ubrzanje tijelo kada se kreće u prostoru, jakost magnetskog polja u određenoj točki prostora i dr. Takve veličine se nazivaju vektorske veličine.

Uvedimo strogu definiciju.

Režirani segment Nazovimo segment, u odnosu na krajeve kojih se zna koji je od njih prvi, a koji je drugi.

Vektor zove se usmjereni segment određene duljine, tj. Ovo je segment određene duljine, u kojem se jedna od točaka koja ga ograničava uzima kao početak, a druga kao kraj. Ako A– početak vektora, B je njegov kraj, tada se vektor označava simbolom ; osim toga, vektor se često označava jednim slovom. Na slici je vektor označen segmentom, a njegov smjer strelicom.

Modul ili duljina Vektorom se naziva duljina usmjerenog segmenta koji ga definira. Označava se sa || ili ||.

U vektore ćemo uvrstiti i tzv. nulti vektor čiji se početak i kraj podudaraju. Određen je. Nulti vektor nema određeni smjer i njegov modul je nula ||=0.

Vektori se nazivaju kolinearni, ako se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Štoviše, ako su vektori i u istom smjeru, pisat ćemo , suprotno.

Vektori smješteni na ravnim linijama paralelnim s istom ravninom nazivaju se komplanarni.

Dva vektora se nazivaju jednak, ako su kolinearni, imaju isti smjer i jednake su duljine. U ovom slučaju oni pišu.

Iz definicije jednakosti vektora slijedi da se vektor može transportirati paralelno sa samim sobom, postavljajući svoje ishodište u bilo koju točku prostora.

Na primjer .

LINEARNE OPERACIJE NAD VEKTORIMA

Množenje vektora brojem.

Umnožak vektora i broja λ je novi vektor tako da je:

Umnožak vektora i broja λ označavamo s .

Na primjer, postoji vektor usmjeren u istom smjeru kao i vektor i čija je duljina upola manja od vektora.

Uvedena operacija ima sljedeća svojstva:

Vektorski dodatak.

Neka su i dva proizvoljna vektora. Uzmimo proizvoljnu točku O i konstruirati vektor. Nakon toga s točke A ostavimo po strani vektor. Naziva se vektor koji povezuje početak prvog vektora s krajem drugog iznos ovih vektora i označava se .

Formulirana definicija zbrajanja vektora naziva se pravilo paralelograma, budući da se isti zbroj vektora može dobiti na sljedeći način. Odgodimo s točke O vektori i . Konstruirajmo paralelogram na tim vektorima OABC. Budući da su vektori, onda vektor, koji je dijagonala paralelograma izvučena iz vrha O, očito će biti zbroj vektora.

Lako je provjeriti sljedeća svojstva zbrajanja vektora.

Vektorska razlika.

Vektor kolinearan zadanom vektoru, jednake duljine i suprotno usmjeren, naziva se suprotan vektor za vektor i označava se sa . Suprotan vektor možemo smatrati rezultatom množenja vektora s brojem λ = –1: .

Vlastiti vektor kvadratne matrice je onaj koji, kada se pomnoži s danom matricom, rezultira kolinearnim vektorom. Jednostavnim riječima, kada se matrica pomnoži s vlastitim vektorom, potonji ostaje isti, ali pomnožen s određenim brojem.

Definicija

Vlastiti vektor je vektor V različit od nule, koji, kada se pomnoži kvadratnom matricom M, sam postaje uvećan za neki broj λ. U algebarskom zapisu to izgleda ovako:

M × V = λ × V,

gdje je λ svojstvena vrijednost matrice M.

Pogledajmo numerički primjer. Radi lakšeg bilježenja, brojevi u matrici bit će odvojeni točkom i zarezom. Neka nam bude matrica:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnožimo to s vektorom stupca:

• V = -2;

Kada matricu pomnožimo vektorom stupcem, također dobivamo vektor stupca. U strogom matematičkom jeziku, formula za množenje matrice 2 × 2 vektorom stupca izgledat će ovako:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 označava element matrice M koji se nalazi u prvom retku i prvom stupcu, a M22 označava element koji se nalazi u drugom retku i drugom stupcu. Za našu matricu, ovi elementi su jednaki M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Za vektor stupca, ove vrijednosti su jednake V11 = –2, V21 = 1. Prema ovoj formuli, dobivamo sljedeći rezultat umnoška kvadratne matrice s vektorom:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Radi praktičnosti, zapišimo vektor stupca u red. Dakle, pomnožili smo kvadratnu matricu s vektorom (-2; 1), što je rezultiralo vektorom (4; -2). Očito je to isti vektor pomnožen s λ = -2. Lambda u ovom slučaju označava svojstvenu vrijednost matrice.

Vlastiti vektor matrice je kolinearni vektor, odnosno objekt koji ne mijenja svoj položaj u prostoru kada se pomnoži s matricom. Koncept kolinearnosti u vektorskoj algebri sličan je pojmu paralelizma u geometriji. U geometrijskoj interpretaciji, kolinearni vektori su paralelno usmjereni segmenti različitih duljina. Od vremena Euklida znamo da jedan pravac ima beskonačan broj paralelnih pravaca, pa je logično pretpostaviti da svaka matrica ima beskonačan broj svojstvenih vektora.

Iz prethodnog primjera je jasno da svojstveni vektori mogu biti (-8; 4), i (16; -8), i (32, -16). Sve su to kolinearni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -2. Množenjem izvorne matrice ovim vektorima, i dalje ćemo dobiti vektor koji se od originala razlikuje 2 puta. Zato je pri rješavanju problema nalaženja svojstvenog vektora potrebno pronaći samo linearno neovisne vektorske objekte. Najčešće, za n × n matricu, postoji n broj svojstvenih vektora. Naš kalkulator je dizajniran za analizu kvadratnih matrica drugog reda, tako da će gotovo uvijek rezultat pronaći dva svojstvena vektora, osim u slučajevima kada se podudaraju.

U gornjem primjeru unaprijed smo znali svojstveni vektor izvorne matrice i jasno odredili lambda broj. Međutim, u praksi se sve događa obrnuto: prvo se pronađu svojstvene vrijednosti, a tek onda svojstveni vektori.

Algoritam rješenja

Pogledajmo ponovno izvornu matricu M i pokušajmo pronaći oba njezina svojstvena vektora. Dakle, matrica izgleda ovako:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Prvo trebamo odrediti svojstvenu vrijednost λ, što zahtijeva izračunavanje determinante sljedeće matrice:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ova matrica se dobiva oduzimanjem nepoznate λ od elemenata na glavnoj dijagonali. Determinanta se određuje pomoću standardne formule:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Budući da naš vektor mora biti različit od nule, prihvaćamo rezultirajuću jednadžbu kao linearno zavisnu i izjednačavamo našu determinantu detA s nulom.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorimo zagrade i dobijemo karakterističnu jednadžbu matrice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ovo je standardna kvadratna jednadžba koju je potrebno riješiti pomoću diskriminante.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Korijen diskriminante je sqrt(D) = 14, dakle λ1 = -2, λ2 = 12. Sada za svaku lambda vrijednost trebamo pronaći svojstveni vektor. Izrazimo koeficijente sustava za λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

U ovoj formuli, E je matrica identiteta. Na temelju dobivene matrice izrađujemo sustav linearnih jednadžbi:

2x + 4y = 6x + 12y,

gdje su x i y elementi svojstvenog vektora.

Sakupimo sve X-ove s lijeve strane i sve Y-ove s desne strane. Očito - 4x = 8y. Izraz podijelimo s - 4 i dobijemo x = –2y. Sada možemo odrediti prvi svojstveni vektor matrice, uzimajući bilo koje vrijednosti nepoznanica (sjetite se beskonačnosti linearno ovisnih svojstvenih vektora). Uzmimo y = 1, zatim x = –2. Stoga prvi svojstveni vektor izgleda kao V1 = (–2; 1). Povratak na početak članka. Bio je to vektorski objekt s kojim smo pomnožili matricu kako bismo demonstrirali koncept svojstvenog vektora.

Nađimo sada svojstveni vektor za λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Kreirajmo isti sustav linearnih jednadžbi;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Sada uzimamo x = 1, dakle y = 3. Dakle, drugi svojstveni vektor izgleda kao V2 = (1; 3). Kada se izvorna matrica množi s danim vektorom, rezultat će uvijek biti isti vektor pomnožen s 12. Tu završava algoritam rješenja. Sada znate kako ručno odrediti svojstveni vektor matrice.

• determinanta;
• trag, odnosno zbroj elemenata na glavnoj dijagonali;
• rang, odnosno najveći broj linearno neovisnih redaka/stupaca.

Program radi prema gore navedenom algoritmu, skraćujući proces rješavanja što je više moguće. Važno je napomenuti da je u programu lambda označena slovom “c”. Pogledajmo numerički primjer.

Primjer kako program radi

Pokušajmo odrediti svojstvene vektore za sljedeću matricu:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Unesite ove vrijednosti u ćelije kalkulatora i dobijte odgovor u sljedećem obliku:

• Rang matrice: 2;
• Matrična determinanta: 18;
• Trag matrice: 19;
• Izračun svojstvenog vektora: c 2 − 19,00c + 18,00 (karakteristična jednadžba);
• Izračun svojstvenog vektora: 18 (prva lambda vrijednost);
• Izračun svojstvenog vektora: 1 (druga lambda vrijednost);
• Sustav jednadžbi za vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sustav jednadžbi za vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastiti vektor 1: (1; 1);
• Vlastiti vektor 2: (-3,25; 1).

Tako smo dobili dva linearno neovisna svojstvena vektora.

Zaključak

Linearna algebra i analitička geometrija standardni su predmeti za svakog brucoša inženjerskog smjera. Velik broj vektora i matrica je zastrašujući i lako je pogriješiti u tako glomaznim izračunima. Naš program će omogućiti studentima da provjere svoje izračune ili automatski riješe problem pronalaženja svojstvenog vektora. Postoje i drugi linearni algebarski kalkulatori u našem katalogu; koristite ih u svom učenju ili poslu.

Definicija 9.3. Vektor x naziva se svojstveni vektor matrice A, ako postoji takav broj λ, da vrijedi jednakost: Ah = λh, odnosno rezultat primjene na x linearna transformacija određena matricom A, je množenje ovog vektora s brojem λ . Sam broj λ naziva se svojstvena vrijednost matrice A.

Zamjena u formule (9.3) x` j = λx j , dobivamo sustav jednadžbi za određivanje koordinata svojstvenog vektora:

. (9.5)

Ovaj linearni homogeni sustav imat će netrivijalno rješenje samo ako mu je glavna determinanta 0 (Cramerovo pravilo). Zapisivanjem ovog uvjeta u obliku:

dobivamo jednadžbu za određivanje svojstvenih vrijednosti λ , koja se naziva karakteristična jednadžba. Ukratko se može predstaviti na sljedeći način:

| A - λE | = 0, (9.6)

budući da se na njegovoj lijevoj strani nalazi determinanta matrice A-λE. Relativni polinom λ | A - λE| naziva se karakteristični polinom matrice A.

Svojstva karakterističnog polinoma:

1) Karakteristični polinom linearne transformacije ne ovisi o izboru baze. Dokaz. (vidi (9.4)), ali stoga, . Dakle, ne ovisi o izboru osnove. To znači da | A-λE| ne mijenja se prilikom prelaska na novu osnovu.

2) Ako matrica A linearna transformacija je simetrična (tj. i ij =a ji), tada su svi korijeni karakteristične jednadžbe (9.6) realni brojevi.

Svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora:

1) Ako odaberete bazu od svojstvenih vektora x 1, x 2, x 3, što odgovara svojstvenim vrijednostima λ 1, λ 2, λ 3 matrice A, tada u ovoj bazi linearna transformacija A ima matricu dijagonalnog oblika:

(9.7) Dokaz ovog svojstva slijedi iz definicije svojstvenih vektora.

2) Ako su svojstvene vrijednosti transformacije A različiti, tada su im odgovarajući svojstveni vektori linearno neovisni.

3) Ako karakteristični polinom matrice A ima tri različita korijena, zatim u nekoj bazi matrica A ima dijagonalni izgled.

Nađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice. Napravimo karakterističnu jednadžbu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Nađimo koordinate svojstvenih vektora koji odgovaraju svakoj pronađenoj vrijednosti λ. Iz (9.5) slijedi da ako x (1) ={x 1, x 2, x 3) – svojstveni vektor odgovarajući λ 1 =-2, dakle

- kooperativan, ali nesiguran sustav. Njegovo rješenje može se napisati u obliku x (1) ={a,0,-a), gdje je a bilo koji broj. Konkretno, ako zahtijevamo da | x (1) |=1, x (1) =

Zamjena u sustav (9.5) λ 2 =3, dobivamo sustav za određivanje koordinata drugog svojstvenog vektora - x (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, gdje x (2) ={b,-b,b) ili pod uvjetom | x (2) |=1, x (2) =

Za λ 3 = 6 nađi svojstveni vektor x (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) ili u normaliziranoj verziji

x(3) = Može se primijetiti da x (1) x (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = prije Krista- 2prije Krista + prije Krista= 0. Dakle, svojstveni vektori ove matrice su po paru ortogonalni.

Predavanje 10.

Kvadratne forme i njihova povezanost sa simetričnim matricama. Svojstva svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti simetrične matrice. Svođenje kvadratnog oblika na kanonski oblik.

Definicija 10.1. Kvadratni oblik realnih varijabli x 1, x 2,…, x n naziva se polinom drugog stupnja u tim varijablama koji ne sadrži slobodni član i članove prvog stupnja.

Primjeri kvadratnih oblika:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Prisjetimo se definicije simetrične matrice iz prošlog predavanja:

Definicija 10.2. Kvadratna matrica se naziva simetričnom ako , odnosno ako su elementi matrice koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki.

Svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora simetrične matrice:

1) Sve svojstvene vrijednosti simetrične matrice su realne.

Dokaz (za n = 2).

Neka matrica A ima oblik: . Napravimo karakterističnu jednadžbu:

(10.2) Nađimo diskriminant:

Dakle, jednadžba ima samo realne korijene.

2) Vlastiti vektori simetrične matrice su ortogonalni.

Dokaz (za n= 2).

Koordinate svojstvenih vektora i moraju zadovoljiti jednadžbe.