Opće rješenje homogene jednadžbe. Diferencijalne jednadžbe drugog i viših reda
Ovdje ćemo primijeniti metodu varijacije Lagrangeovih konstanti za rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Detaljan opis ove metode za rješavanje jednadžbi proizvoljnog reda prikazan je na stranici
Rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi viših redova Lagrangeovom metodom >>>. Primjer 1 Riješite diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima koristeći metodu varijacije Lagrangeovih konstanti:
(1)
Otopina Prvo rješavamo homogenu diferencijalnu jednadžbu:
(2)
Ovo je jednadžba drugog reda. Rješavanje kvadratne jednadžbe:
.
Višestruki korijeni: .
(3)
.
Osnovni sustav rješenja jednadžbe (2) ima oblik:
(4)
.
Odavde dobivamo opće rješenje homogene jednadžbe (2): 1
Variranje konstanti C 2
i C
.
.
(5)
.
To jest, zamjenjujemo konstante u (4) funkcijama:
.
Tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u obliku:
(6)
.
Pronalaženje derivata:
.
Povežimo funkcije i jednadžbu:
.
Zatim
(1)
;
.
Nalazimo drugu derivaciju:
(7)
.
Zamijenite u izvornu jednadžbu (1): Budući da i zadovoljavaju homogenu jednadžbu (2), zbroj članova u svakom stupcu posljednja tri retka daje nulu i prethodna jednadžba ima oblik:
(6)
:
(7)
.
ovdje . Zajedno s jednadžbom (6) dobivamo sustav jednadžbi za određivanje funkcija i:
.
Rješavanje sustava jednadžbi
;
.
Rješavamo sustav jednadžbi (6-7). Napišimo izraze za funkcije i:
.
Nalazimo njihove derivate:
;
.
Sustav jednadžbi (6-7) rješavamo Cramerovom metodom. Izračunavamo determinantu matrice sustava:
;
.
Koristeći Cramerove formule nalazimo:
;
;
;
.
.
.
;
.
Dakle, pronašli smo izvode funkcija: Integrirajmo (vidi Metode za integraciju korijena). Izrada zamjene Odgovor
(8)
Otopina Primjer 2 Riješite diferencijalnu jednadžbu metodom varijacije Lagrangeovih konstanti: (9)
Korak 1. Rješavanje homogene jednadžbe
Rješavamo homogenu diferencijalnu jednadžbu:
.
Rješenje tražimo u obliku .
(10)
.
Sastavljamo karakterističnu jednadžbu:
(11)
.
Ova jednadžba ima složene korijene: Osnovni sustav rješenja koji odgovara tim korijenima ima oblik: 1
Variranje konstanti C 2
Opće rješenje homogene jednadžbe (9):
.
Korak 2. Varijacija konstanti - zamjena konstanti funkcijama
(12)
.
Sada mijenjamo konstante C
(13)
:
(14)
.
Zamijenite u izvornu jednadžbu (1): ovdje . .
.
To jest, zamijenimo konstante u (11) funkcijama:
;
.
Sustav jednadžbi (13-14) rješavamo Cramerovom metodom. Determinanta matrice sustava:
.
Nalazimo njihove derivate:
;
.
.
Budući da se znak modula ispod znaka logaritma može izostaviti. Pomnožite brojnik i nazivnik sa:
.
Pronalaženje derivata:
.
Opće rješenje izvorne jednadžbe:
.
Diferencijalne jednadžbe drugog i viših reda.
Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Primjeri rješenja.Prijeđimo na razmatranje diferencijalnih jednadžbi drugog reda i diferencijalnih jednadžbi višeg reda. Ako imate nejasnu ideju o tome što je diferencijalna jednadžba (ili uopće ne razumijete što je to), preporučujem da počnete s lekcijom Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. Mnogi principi rješenja i osnovni koncepti difuza prvog reda automatski se proširuju na diferencijalne jednadžbe višeg reda, stoga vrlo je važno prvo razumjeti jednadžbe prvog reda. Mnogi čitatelji mogu imati predrasude da je daljinsko upravljanje 2., 3. i drugim redovima nešto vrlo teško i nedostupno za savladati. Ovo nije u redu . Naučiti rješavati difuzne probleme višeg reda teško da je teže od "običnih" DE prvog reda. A ponegdje je još jednostavnije, jer se u rješenjima aktivno koristi gradivo iz školskog programa.
Najpopularnije diferencijalne jednadžbe drugog reda. Na diferencijalnu jednadžbu drugog reda Obavezno uključuje drugu derivaciju i nije uključeno
Treba napomenuti da neke od beba (pa čak i sve odjednom) mogu nedostajati u jednadžbi; važno je da je otac kod kuće. Najprimitivnija diferencijalna jednadžba drugog reda izgleda ovako:
Diferencijalne jednadžbe trećeg reda u praktičnim zadacima su mnogo rjeđe; prema mojim subjektivnim opažanjima, dobile bi oko 3-4% glasova u Državnoj dumi.
Na diferencijalnu jednadžbu trećeg reda Obavezno uključuje treću derivaciju i nije uključeno derivati viših redova:
Najjednostavnija diferencijalna jednadžba trećeg reda izgleda ovako: – tata je kod kuće, sva su djeca u šetnji.
Na sličan način možete definirati diferencijalne jednadžbe 4., 5. i viših reda. U praktičnim problemima takvi sustavi upravljanja rijetko zakažu, međutim, pokušat ću dati relevantne primjere.
Diferencijalne jednadžbe višeg reda, koje se predlažu u praktičnim problemima, mogu se podijeliti u dvije glavne skupine.
1) Prva skupina – tzv jednadžbe koje se mogu reducirati po redu. hajde
2) Druga grupa – linearne jednadžbe viših redova s konstantnim koeficijentima. Koje ćemo odmah početi razmatrati.
Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda
s konstantnim koeficijentima
U teoriji i praksi razlikuju se dvije vrste takvih jednadžbi: homogena jednadžba I nehomogena jednadžba.
Homogeni DE drugog reda s konstantnim koeficijentima ima sljedeći oblik:
 , gdje su i konstante (brojevi), a na desnoj strani – strogo nula.
Kao što vidite, nema posebnih poteškoća s homogenim jednadžbama, glavna stvar je ispravno riješiti kvadratnu jednadžbu.
Ponekad postoje nestandardne homogene jednadžbe, na primjer jednadžba u obliku  , gdje se na drugoj derivaciji nalazi neka konstanta različita od jedinice (i, naravno, različita od nule). Algoritam rješenja se uopće ne mijenja; Ako je karakteristična jednadžba  će imati dva različita stvarna korijena, na primjer:  , onda će opće rješenje biti napisano prema uobičajenoj shemi:  .
U nekim slučajevima, zbog tipfelera u stanju, može doći do "loših" korijena, nešto poput  . Što učiniti, odgovor će morati biti napisan ovako:
S "lošim" konjugiranim složenim korijenima poput  također nema problema, opće rješenje:
tj. ionako postoji opće rješenje. Jer svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena.
U posljednjem paragrafu, kao što sam obećao, ukratko ćemo razmotriti:
Linearne homogene jednadžbe viših redova
Sve je vrlo, vrlo slično.
Linearna homogena jednadžba trećeg reda ima sljedeći oblik:
, gdje su konstante.
Za ovu jednadžbu također trebate izraditi karakterističnu jednadžbu i pronaći njezine korijene. Karakteristična jednadžba, kao što su mnogi pretpostavili, izgleda ovako:
 , i to U svakom slučaju ima točno tri korijen
Neka su, na primjer, svi korijeni pravi i različiti:  , tada će opće rješenje biti napisano na sljedeći način:
Ako je jedan korijen realan, a druga dva su konjugirani kompleks, tada opće rješenje pišemo na sljedeći način:
Poseban slučaj kada su sva tri korijena višekratnici (isti). Razmotrimo najjednostavniji homogeni DE 3. reda s usamljenim ocem: . Karakteristična jednadžba ima tri podudarna nul-korijena. Općenito rješenje pišemo na sljedeći način:
Ako je karakteristična jednadžba  ima, na primjer, tri višestruka korijena, onda je opće rješenje, prema tome, sljedeće:
Primjer 9
Riješite homogenu diferencijalnu jednadžbu trećeg reda
Otopina: Sastavimo i riješimo karakterističnu jednadžbu:
, – dobije se jedan pravi korijen i dva konjugirana kompleksna korijena.
Odgovor: opće rješenje
Slično, možemo razmotriti linearnu homogenu jednadžbu četvrtog reda s konstantnim koeficijentima: , gdje su konstante. |
Obrazovna ustanova "Bjeloruska država
poljoprivredna akademija"
Katedra za višu matematiku
Smjernice
proučavati temu “Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda” od strane studenata Računovodstvenog fakulteta dopisnog obrazovanja (NISPO)
Gorki, 2013. (monografija).
Linearne diferencijalne jednadžbe
drugog reda s konstantamakoeficijenti
Linearne homogene diferencijalne jednadžbe
Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima
naziva jednadžba oblika
one. jednadžba koja sadrži traženu funkciju i njezine izvodnice samo do prvog stupnja i ne sadrži njihove produkte. U ovoj jednadžbi 
I
- neki brojevi i funkcija
dati u određenom intervalu
.
Ako
na intervalu
, tada će jednadžba (1) poprimiti oblik
,
(2)
i zove se linearno homogen
. Inače se jednadžba (1) zove linearno nehomogen
.
Razmotrite složenu funkciju
,
(3)
Gdje
I
- stvarne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), tada je realni dio
, i imaginarni dio
rješenja
zasebno su rješenja iste homogene jednadžbe. Stoga svako složeno rješenje jednadžbe (2) generira dva stvarna rješenja te jednadžbe.
Rješenja homogene linearne jednadžbe imaju sljedeća svojstva:
Ako 
je rješenje jednadžbe (2), zatim funkcija
, Gdje S– proizvoljna konstanta također će biti rješenje jednadžbe (2);
Ako 
I 
postoje rješenja jednadžbe (2), zatim funkcija
također će biti rješenje jednadžbe (2);
Ako 
I 
postoje rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija
također će biti rješenje jednadžbe (2), gdje 
I
– proizvoljne konstante.
Funkcije
I
nazivaju se linearno ovisna
na intervalu
, ako takvi brojevi postoje 
I
, nije jednako nuli u isto vrijeme, da je na ovom intervalu jednakost
Ako se jednakost (4) javlja samo kada
I
, zatim funkcije
I
nazivaju se linearno neovisni
na intervalu
.
Primjer 1
. Funkcije
I
su linearno ovisni, jer
na cijelom brojevnom pravcu. U ovom primjeru
.
Primjer 2
. Funkcije
I
su linearno neovisni o bilo kojem intervalu, budući da je jednakost
moguća je samo u slučaju kada
, I
.
Konstrukcija općeg rješenja linearnog homogenog
jednadžbe
Da biste pronašli opće rješenje jednadžbe (2), trebate pronaći dva njezina linearno neovisna rješenja 
I 
. Linearna kombinacija ovih rješenja
, Gdje 
I
proizvoljne su konstante i dat će opće rješenje linearne homogene jednadžbe.
Linearno neovisna rješenja jednadžbe (2) tražit ćemo u obliku
,
(5)
Gdje 
– određeni broj. Zatim
,
. Zamijenimo ove izraze u jednadžbu (2):
ili
.
Jer
, To
. Dakle funkcija
bit će rješenje jednadžbe (2) ako 
će zadovoljiti jednadžbu
.
(6)
Jednadžba (6) naziva se karakteristična jednadžba
za jednadžbu (2). Ova jednadžba je algebarska kvadratna jednadžba.
Neka 
I 
postoje korijeni ove jednadžbe. One mogu biti ili stvarne i različite, ili složene, ili stvarne i jednake. Razmotrimo ove slučajeve.
Pustite korijenje 
I 
karakteristične jednadžbe su realne i različite. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije
I
. Ova rješenja su linearno neovisna, budući da je jednakost
može se provesti samo kada
, I
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
,
Gdje 
I
- proizvoljne konstante.
Primjer 3
.
Otopina
. Karakteristična jednadžba za ovaj diferencijal bit će
. Nakon što smo riješili ovu kvadratnu jednadžbu, nalazimo njezine korijene
I
. Funkcije
I
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe je
.
Složeni broj 
naziva izraz forme
, Gdje 
I 
su realni brojevi, i
naziva imaginarna jedinica. Ako
, zatim broj
naziva se čisto imaginarno. Ako
, zatim broj
poistovjećuje se s realnim brojem 
.
Broj 
naziva se realni dio kompleksnog broja, i 
- imaginarni dio. Ako se dva kompleksna broja međusobno razlikuju samo predznakom imaginarnog dijela, nazivaju se konjugirani:
,
.
Primjer 4
. Riješite kvadratnu jednadžbu
.
Otopina
. Diskriminantna jednadžba
. Zatim. Također,
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.
Neka su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni, tj.
,
, Gdje
.
,
Rješenja jednadžbe (2) mogu se napisati u obliku
,
ili
,
.
.
I
Prema Eulerovim formulama
Zatim,. Kao što je poznato, ako je složena funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja te jednadžbe i realni i imaginarni dio te funkcije. Stoga će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije
I
. Od jednakosti
Gdje 
I
- proizvoljne konstante.
može se izvršiti samo ako
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.
Otopina
Primjer 5
. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
,
. Funkcije
I
. Jednadžba
karakterističan je za dati diferencijal. Riješimo to i dobijemo složene korijene
su linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Općenito rješenje ove jednadžbe je:
I
. Ta su rješenja linearno neovisna, jer izraz može biti identički jednak nuli samo kada
I
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.
Primjer 6
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.
Otopina
. Karakteristična jednadžba
ima jednake korijene
. U ovom slučaju linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije
I
. Opće rješenje ima oblik
.
Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima
a posebna desna strana
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako je zbroju općeg rješenja
odgovarajuću homogenu jednadžbu i svako posebno rješenje
nehomogena jednadžba:
.
U nekim slučajevima, određeno rješenje nehomogene jednadžbe može se pronaći vrlo jednostavno prema obliku desne strane
jednadžba (1). Pogledajmo slučajeve u kojima je to moguće.
one. desna strana nehomogene jednadžbe je polinom stupnja m. Ako
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada posebno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku polinoma stupnja m, tj.
Izgledi
određuju se u procesu pronalaženja pojedinog rješenja.
Ako
je korijen karakteristične jednadžbe, tada partikularno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku
Primjer 7
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.
Otopina
. Odgovarajuća homogena jednadžba za ovu jednadžbu je
. Njegova karakteristična jednadžba
ima korijene
I
. Opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik
.
Jer
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada ćemo posebno rješenje nehomogene jednadžbe tražiti u obliku funkcije
. Nađimo derivacije ove funkcije
,
i zamijenite ih u ovu jednadžbu:
ili . Izjednačimo koeficijente za 
i besplatni članovi:
Nakon što smo riješili ovaj sustav, dobivamo
,
. Tada određeno rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik
, a opće rješenje zadane nehomogene jednadžbe bit će zbroj općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe i partikularnog rješenja nehomogene:
.
Neka nehomogena jednadžba ima oblik
Ako
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada partikularno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku. Ako
je korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti k
(k=1 ili k=2), tada će u tom slučaju određeno rješenje nehomogene jednadžbe imati oblik .
Primjer 8
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.
Otopina
. Karakteristična jednadžba za odgovarajuću homogenu jednadžbu ima oblik
. Njegovi korijeni
,
. U tom slučaju opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe zapisuje se u obliku
.
Budući da broj 3 nije korijen karakteristične jednadžbe, posebno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku
. Nađimo izvodnice prvog i drugog reda:
Zamijenimo u diferencijalnu jednadžbu:
+
+,
+,.
Izjednačimo koeficijente za 
i besplatni članovi:
Odavde
,
. Tada određeno rješenje ove jednadžbe ima oblik
, i opće rješenje
.
Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti
Metoda variranja proizvoljnih konstanti može se primijeniti na bilo koju nehomogenu linearnu jednadžbu s konstantnim koeficijentima, bez obzira na vrstu desne strane. Ova metoda vam omogućuje da uvijek pronađete opće rješenje nehomogene jednadžbe ako je poznato opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe.
Neka
I
su linearno neovisna rješenja jednadžbe (2). Tada je opće rješenje ove jednadžbe
, Gdje 
I
- proizvoljne konstante. Bit metode variranja proizvoljnih konstanti je da se opće rješenje jednadžbe (1) traži u obliku
Gdje
I
- nove nepoznate funkcije koje treba pronaći. Budući da postoje dvije nepoznate funkcije, za njihovo pronalaženje potrebne su dvije jednadžbe koje sadrže te funkcije. Ove dvije jednadžbe čine sustav
koji je linearni algebarski sustav jednadžbi s obzirom na
I
. Rješavajući ovaj sustav, nalazimo
I
. Integrirajući obje strane dobivenih jednakosti, nalazimo
I
.
Zamjenom ovih izraza u (9) dobivamo opće rješenje nehomogene linearne jednadžbe (1).
Primjer 9
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
.
Otopina.
Karakteristična jednadžba za homogenu jednadžbu koja odgovara zadanoj diferencijalnoj jednadžbi je
. Njegovi su korijeni složeni
,
. Jer
I
, To
,
, a opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik. Zatim ćemo tražiti opće rješenje ove nehomogene jednadžbe u obliku gdje je
I
- nepoznate funkcije.
Sustav jednadžbi za pronalaženje tih nepoznatih funkcija ima oblik
Nakon što smo riješili ovaj sustav, nalazimo
,
. Zatim
,
. Zamijenimo dobivene izraze u formulu za opće rješenje:
Ovo je opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe, dobiveno korištenjem Lagrangeove metode.
Pitanja za samokontrolu znanja
Koja se diferencijalna jednadžba naziva linearnom diferencijalnom jednadžbom drugog reda s konstantnim koeficijentima?
Koja se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogenom, a koja nehomogenom?
Koja svojstva ima linearna homogena jednadžba?
Koja se jednadžba naziva karakterističnom za linearnu diferencijalnu jednadžbu i kako se ona dobiva?
U kojem je obliku zapisano opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju različitih korijena karakteristične jednadžbe?
U kojem obliku je zapisano opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju jednakih korijena karakteristične jednadžbe?
U kojem je obliku zapisano opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima u slučaju kompleksnih korijena karakteristične jednadžbe?
Kako se piše opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe?
U kojem obliku se traži posebno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako su korijeni karakteristične jednadžbe različiti i nisu jednaki nuli, a desna strana jednadžbe je polinom stupnja m?
U kojem obliku se traži određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako među korijenima karakteristične jednadžbe postoji jedna nula, a desna strana jednadžbe je polinom stupnja m?
Što je bit Lagrangeove metode?
Diferencijalne jednadžbe 2. reda
§1. Metode redukcije reda jednadžbe.
Diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ili Diferencijalna" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferencijalna jednadžba 2. reda). Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu 2. reda (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Neka diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Dakle, jednadžba 2. reda https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rješavajući ga, dobivamo opći integral izvorne diferencijalne jednadžbe, ovisno o dvije proizvoljne konstante: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.
Otopina.
Budući da izvorna jednadžba eksplicitno ne sadrži argument https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
Od na https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
Neka diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.
Primjer 2. Pronađite opće rješenje jednadžbe: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Redoslijed potencije se smanjuje ako ju je moguće transformirati u takav oblik da obje strane jednadžbe postanu potpune derivacije prema https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – zadane funkcije, kontinuirane na intervalu na kojem se traži rješenje. Uz pretpostavku da je a0(x) ≠ 0, dijelimo (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Prihvatimo bez dokaza da (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" visina = "25 src=">, tada se jednadžba (2.2) naziva homogenom, a jednadžba (2.2) inače se naziva nehomogenom.
Razmotrimo svojstva otopina loda 2. reda.
Definicija. Linearna kombinacija funkcija https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
zatim njihovu linearnu kombinaciju https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> u (2.3) i pokazati da je rezultat identitet:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Budući da su funkcije https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> rješenja jednadžbe (2.3), svaka od zagrada u zadnja jednadžba je identična jednaka je nuli, što je trebalo dokazati.
Korolar 1. Iz dokazanog teorema slijedi da je na https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - rješenje jednadžbe (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> naziva se linearno neovisna na nekom intervalu ako se nijedna od ovih funkcija ne može prikazati kao linearna kombinacija svih ostalih.
U slučaju dvije funkcije https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, tj..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Dakle, determinanta Wronskog za dvije linearno neovisne funkcije ne može biti identički jednaka nuli.
Neka https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> zadovoljavaju jednadžbu (2..gif" width="42" height="25 src = "> – rješenje jednadžbe (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> Time se dobiva identitet.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, u kojoj je determinanta za linearno neovisna rješenja jednadžbe (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> oba faktora na desnoj strani formule (3.2) nisu nula.
§4. Struktura općeg rješenja lode 2. reda.
Teorema. Ako su https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> linearno neovisna rješenja jednadžbe (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">je rješenje jednadžbe (2.3), proizlazi iz teorema o svojstvima rješenja lode 2. reda.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Konstante https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> iz ovog sustava linearnih algebarskih jednadžbi određene su jedinstveno, budući da je determinanta ovaj sustav je https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Prema prethodnom odlomku, opće rješenje Lod 2. reda lako se određuje ako su poznata dva linearno neovisna parcijalna rješenja ove jednadžbe. Jednostavna metoda za pronalaženje parcijalnih rješenja jednadžbe s konstantnim koeficijentima koje je predložio L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, dobivamo algebarsku jednadžbu, koja se naziva karakteristična:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> bit će rješenje jednadžbe (5.1) samo za one vrijednosti k koji su korijeni karakteristične jednadžbe (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> i opće rješenje (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Provjerimo da ova funkcija zadovoljava jednadžbu (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (5.1), dobivamo
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, jer..gif" width="137" height="26 src= ">.
Pojedinačna rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> su linearno neovisna, jer..gif" width="166" visina ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" visina = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Obje zagrade na lijevoj strani ove jednakosti identično su jednake nuli..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> je rješenje jednadžbe (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> izgledat će ovako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
predstavljen je kao zbroj općeg rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
i svako određeno rješenje https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> bit će rješenje jednadžbe (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Ova jednakost je identitet, jer..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Stoga.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> su linearno neovisna rješenja ove jednadžbe. Stoga:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, a takva determinanta, kao što smo vidjeli gore, nije nula..gif" width="19" height="25 src="> iz sustava jednadžbi (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> će riješiti jednadžbu
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> u jednadžbu (6.5), dobivamo
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> jednadžba (7.1) u slučaju kada je desna strana f(x ) ima poseban oblik. Ova metoda se naziva metoda neodređenih koeficijenata i sastoji se u odabiru određenog rješenja ovisno o vrsti desne strane f(x).
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, može biti nula. Naznačimo oblik u kojem se određeno rješenje mora uzeti u ovom slučaju.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.
Otopina.
Za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Oba dijela reduciramo na https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> na lijevoj i desnoj strani jednakosti
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Iz dobivenog sustava jednadžbi nalazimo: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, i opće rješenje zadanog jednadžba je:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Otopina.
Odgovarajuća karakteristična jednadžba ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Konačno imamo sljedeći izraz za opće rješenje:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> izvrsno od nule. Naznačimo vrstu pojedinog rješenja u ovom slučaju.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> korijen karakteristične jednadžbe za jednadžbu (5..gif" width="229 " height="25 src=">,
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Otopina.
Korijeni karakteristične jednadžbe za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.
Desna strana jednadžbe iz primjera 3 ima poseban oblik: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Za određivanje https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > i zamijenite ga u zadanu jednadžbu:
Citiranje sličnih izraza, izjednačavanje koeficijenata na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.
Konačno opće rješenje zadane jednadžbe ima oblik: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width= "47" height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respektivno, a jedan od ovih polinoma može biti jednak nuli. Naznačimo tip određenog rješenja u ovom opći slučaj.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, tada će određeno rješenje za lndu izgledati ovako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. U izrazu (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
Primjer 4. Označite vrstu pojedinog rješenja jednadžbe
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Opće rješenje Lodua ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Daljnji koeficijenti https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > postoji određeno rješenje za jednadžbu s desnom stranom f1(x) i varijacije" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">varijacije proizvoljnih konstanti (Lagrangeova metoda).
Izravno pronalaženje određenog rješenja jednadžbe, osim u slučaju jednadžbe s konstantnim koeficijentima i posebnim slobodnim članovima, vrlo je teško. Stoga se za pronalaženje općeg rješenja jednadžbe obično koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti, koja uvijek omogućuje pronalaženje općeg rješenja jednadžbe u kvadraturama ako je poznat temeljni sustav rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe . Ova metoda je sljedeća.
Prema gore navedenom, opće rješenje linearne homogene jednadžbe je:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ne konstante, već neke, još nepoznate, funkcije od f(x). . mora se uzeti iz intervala. Zapravo, u ovom slučaju Wronskijeva determinanta je različita od nule u svim točkama intervala, tj. u cijelom prostoru - kompleksni korijen karakteristične jednadžbe..gif" width="20" height="25 src="> linearno neovisna parcijalna rješenja oblika :
U općoj formuli rješenja ovaj korijen odgovara izrazu oblika.
U nekim problemima fizike nije moguće uspostaviti izravnu vezu između veličina koje opisuju proces. Ali moguće je dobiti jednakost koja sadrži derivacije funkcija koje se proučavaju. Tako nastaju diferencijalne jednadžbe i potreba za njihovim rješavanjem da bi se pronašla nepoznata funkcija.
Ovaj je članak namijenjen onima koji se suočavaju s problemom rješavanja diferencijalne jednadžbe u kojoj je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable. Teorija je strukturirana na takav način da se s nultim znanjem o diferencijalnim jednadžbama možete nositi sa svojim zadatkom.
Svaka vrsta diferencijalne jednadžbe povezana je s metodom rješavanja s detaljnim objašnjenjima i rješenjima tipičnih primjera i problema. Sve što trebate učiniti je odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe vašeg problema, pronaći sličan analizirani primjer i izvršiti slične radnje.
Za uspješno rješavanje diferencijalnih jednadžbi trebat će vam i sposobnost pronalaženja skupova antiderivacija (neodređenih integrala) različitih funkcija. Ako je potrebno, preporučujemo da pogledate odjeljak.
Prvo ćemo razmotriti tipove običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti s obzirom na derivaciju, zatim ćemo prijeći na ODE drugog reda, zatim ćemo se zadržati na jednadžbama višeg reda i završiti sa sustavima diferencijalne jednadžbe.
Prisjetimo se da ako je y funkcija argumenta x.
Diferencijalne jednadžbe prvog reda.
Najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika.
Zapišimo nekoliko primjera takvog daljinskog upravljanja 
.
Diferencijalne jednadžbe 
može se razriješiti u odnosu na derivaciju dijeljenjem obje strane jednakosti s f(x) . U ovom slučaju dolazimo do jednadžbe koja će biti ekvivalentna izvornoj za f(x) ≠ 0. Primjeri takvih ODE-ova su .
Ako postoje vrijednosti argumenta x pri kojima funkcije f(x) i g(x) istovremeno nestaju, tada se pojavljuju dodatna rješenja. Dodatna rješenja jednadžbe 
dati x su bilo koje funkcije definirane za ove vrijednosti argumenata. Primjeri takvih diferencijalnih jednadžbi uključuju:
Diferencijalne jednadžbe drugog reda.
Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
LDE s konstantnim koeficijentima je vrlo čest tip diferencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje nije posebno teško. Prvo se pronalaze korijeni karakteristične jednadžbe 
. Za različite p i q moguća su tri slučaja: korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti realni i različiti, realni i koincidentni 
ili složeni konjugati. Ovisno o vrijednostima korijena karakteristične jednadžbe, opće rješenje diferencijalne jednadžbe piše se kao 
, ili 
, odnosno.
Na primjer, razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima. Korijeni njegove karakteristične jednadžbe su k 1 = -3 i k 2 = 0. Korijeni su realni i različiti, stoga opće rješenje LOD-a s konstantnim koeficijentima ima oblik
Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Opće rješenje LDDE drugog reda s konstantnim koeficijentima y traži se u obliku zbroja općeg rješenja odgovarajućeg LDDE 
i posebno rješenje izvorne nehomogene jednadžbe, tj. Prethodni odlomak posvećen je pronalaženju općeg rješenja homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima. A određeno rješenje se određuje ili metodom neodređenih koeficijenata za određeni oblik funkcije f(x) na desnoj strani izvorne jednadžbe, ili metodom variranja proizvoljnih konstanti.
Kao primjere LDDE drugog reda s konstantnim koeficijentima dajemo
Za razumijevanje teorije i upoznavanje s detaljnim rješenjima primjera nudimo vam na stranici linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) 
i linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe (LNDE) drugog reda.
Poseban slučaj diferencijalnih jednadžbi ovog tipa su LODE i LDDE s konstantnim koeficijentima.
Opće rješenje LODE na određenom segmentu predstavljeno je linearnom kombinacijom dvaju linearno neovisnih parcijalnih rješenja y 1 i y 2 ove jednadžbe, tj. 
.
Glavna poteškoća leži upravo u pronalaženju linearno neovisnih parcijalnih rješenja diferencijalne jednadžbe ovog tipa. Obično se posebna rješenja odabiru iz sljedećih sustava linearno neovisnih funkcija:
Međutim, pojedina rješenja nisu uvijek prikazana u ovom obliku.
Primjer LOD-a je 
.
Opće rješenje LDDE traži se u obliku , gdje je opće rješenje odgovarajućeg LDDE, a partikularno rješenje izvorne diferencijalne jednadžbe. Upravo smo govorili o njegovom pronalasku, ali može se odrediti pomoću metode variranja proizvoljnih konstanti.
Može se dati primjer LNDU 
.
Diferencijalne jednadžbe viših redova.
Diferencijalne jednadžbe koje dopuštaju redukciju u redu.
Red diferencijalne jednadžbe 
, koji ne sadrži željenu funkciju i njezine derivacije do k-1 reda, može se reducirati na n-k zamjenom .
U tom slučaju će se izvorna diferencijalna jednadžba svesti na . Nakon pronalaženja njenog rješenja p(x), ostaje se vratiti na zamjenu i odrediti nepoznatu funkciju y.
Na primjer, diferencijalna jednadžba 
nakon zamjene postat će jednadžba s razdvojivim varijablama, a redoslijed će joj se smanjiti s treće na prvu.
