विस्तृत समाधान के साथ चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें। निर्धारक की गणना

व्याख्यान 6

मैट्रिसेस

6.1. बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा 1.मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका है।

मैट्रिक्स को इंगित करने के लिए, कोष्ठक या दोहरी लंबवत रेखाओं का उपयोग किया जाता है:

वे संख्याएँ जो मैट्रिक्स बनाती हैं, कहलाती हैं तत्वों, तत्व मैट्रिक्स उसमें स्थित है वें पंक्ति और वां स्तंभ.

नंबर और (मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या) को इसके आदेश कहा जाता है।

ये भी कहते हैं - मैट्रिक्स आकार
.

अगर
, आव्यूह बुलाया वर्ग.

लघु संकेतन के लिए भी संकेतन का प्रयोग किया जाता है
(या
) और आगे इंगित करता है कि वे किस सीमा के भीतर भिन्न होते हैं और , उदाहरण के लिए,
,
,
. (प्रविष्टि इस प्रकार है: मैट्रिक्स तत्वों के साथ ,बदलता है पहले ,- से पहले .)

वर्ग आव्यूहों में हम ध्यान देते हैं विकर्ण आव्यूह, जिसमें सभी तत्वों के सूचकांक असमान हैं (
) शून्य के बराबर हैं:

.

हम कहेंगे कि तत्व
मुख्य विकर्ण पर स्थित है.

प्रपत्र का विकर्ण मैट्रिक्स

बुलाया अकेलाआव्यूह।

निम्नलिखित में हम प्रपत्र के आव्यूहों का सामना करेंगे

और
,

जिन्हें कहा जाता है त्रिकोणीयआव्यूह, साथ ही एक कॉलम वाले आव्यूह:

और एक पंक्ति:

(स्तंभ मैट्रिक्स और पंक्ति मैट्रिक्स).

वह मैट्रिक्स जिसके सभी अवयव शून्य हों, कहलाता है व्यर्थ।

6.2. व्यवस्था के निर्धारक एन

आइए हमें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स दिया जाए :

. (6.1)

हम सभी प्रकार के कार्यों की रचना करेंगे मैट्रिक्स तत्व विभिन्न पंक्तियों और विभिन्न स्तंभों में स्थित हैं, अर्थात। प्रपत्र के उत्पाद

. (6.2)

प्रपत्र के उत्पादों की संख्या (6.2) के बराबर है (आइए इस तथ्य को बिना प्रमाण के स्वीकार करें)।

हम इन सभी उत्पादों को ऑर्डर निर्धारक का सदस्य मानेंगे , मैट्रिक्स (6.1) के अनुरूप।

(6.2) में कारकों के दूसरे सूचकांक पहले के क्रमपरिवर्तन का गठन करते हैं प्राकृतिक संख्या
.

वे संख्याएँ कहते हैं और क्रमपरिवर्तन में हैं उलट देना, अगर
, और क्रमपरिवर्तन में पहले स्थित है .

उदाहरण 1।छह संख्याओं के क्रमपरिवर्तन में,
, संख्याएँ और ,और ,और ,और ,और व्युत्क्रम का गठन करें।

क्रमपरिवर्तन कहा जाता है यहां तक ​​की, यदि इसमें व्युत्क्रमों की संख्या सम है, और विषम, यदि इसमें व्युत्क्रमों की संख्या विषम है।

उदाहरण 2.विपर्यय
विषम है, और क्रमपरिवर्तन
- यहां तक ​​की ( व्युत्क्रम)।

परिभाषा 2.आदेश का निर्धारक ,मैट्रिक्स के अनुरूप(6.1), को बीजगणितीय योग कहा जाता है सदस्यों,निम्नानुसार रचना की गई है:निर्धारक के सदस्य सभी संभावित उत्पाद हैं मैट्रिक्स तत्व,प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक लिया गया,और पद चिन्ह के साथ लिया जाता है"+",यदि दूसरे सूचकांकों का समुच्चय संख्याओं का सम क्रमपरिवर्तन है
,और एक संकेत के साथ"–",अगर अजीब है.

मैट्रिक्स (6.1) के निर्धारक को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है:

.

टिप्पणी। परिभाषा 2 के लिए
और
दूसरे और तीसरे क्रम के पहले से ही परिचित निर्धारकों की ओर ले जाता है:

,

सुरमैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के चारों ओर मैट्रिक्स में संक्रमण कहा जाता है
, जिसके लिए मैट्रिक्स की पंक्तियाँ स्तंभ हैं और स्तंभ पंक्तियाँ हैं:

.

हम कहेंगे कि निर्धारक
निर्धारक को स्थानांतरित करके प्राप्त किया गया .

आदेश निर्धारक के गुण n:

1.
(मुख्य विकर्ण के चारों ओर स्थानांतरित होने पर निर्धारक नहीं बदलता है)।

2. यदि सारणिक की किसी एक रेखा में शून्य हो, तो सारणिक शून्य के बराबर होता है।

3. जब दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो सारणिक केवल अपना चिह्न बदलता है।

4. दो समान तारों वाला एक सारणिक शून्य के बराबर है।

5. यदि सारणिक की एक निश्चित स्ट्रिंग के सभी तत्वों को एक संख्या से गुणा किया जाता है , निर्धारक को गुणा किया जाएगा .

6. दो आनुपातिक रेखाओं वाला एक सारणिक शून्य के बराबर होता है।

7. यदि सभी तत्व -निर्धारक की पंक्तियों को योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है
, तो सारणिक उन दो सारणिकों के योग के बराबर है जिनकी सभी पंक्तियों को छोड़कर वें, मूल निर्धारक के समान हैं, और एक निर्धारक में -वीं पंक्ति शामिल होती है , और दूसरे में - से .

परिभाषा 3.सारणिक की वीं पंक्ति को उसकी शेष पंक्तियों का रैखिक संयोजन कहा जाता है,अगर ऐसे,क्या, गुणा करना वें पंक्ति पर ,और फिर सभी पंक्तियाँ जोड़ना,के अलावा वां,हम पाते हैं वें पंक्ति.

8. यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति उसकी अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन है, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

9. यदि किसी अन्य रेखा के संगत तत्वों को उसी संख्या से गुणा करके उसकी किसी एक पंक्ति के तत्वों में जोड़ दिया जाए तो सारणिक नहीं बदलेगा।

टिप्पणी। हमने स्ट्रिंग्स के लिए निर्धारक के गुण तैयार किए हैं। संपत्ति 1 के कारण (
) वे कॉलम के लिए भी मान्य हैं।

उपरोक्त सभी गुण व्यावहारिक अभ्यासों में सिद्ध हो चुके हैं
; मनमानी के लिए हम उन्हें बिना सबूत के स्वीकार कर लेंगे.

यदि निर्धारक में आदेश तत्व का चयन करें और उस स्तंभ और पंक्ति को काट दें जिसके चौराहे पर स्थित है , शेष पंक्तियाँ और स्तंभ क्रम निर्धारक बनाते हैं
जिसे कहा जाता है नाबालिगसिद्ध , तत्व के अनुरूप .

उदाहरण 3.निर्धारक में

तत्व गौण
निर्धारक है
.

परिभाषा 4.बीजगणितीय पूरक तत्व सिद्ध इसे लघु कहा जाता है,से गुणा
,कहाँ - लाइन नंबर, - कॉलम नंबर,जिसमें चयनित तत्व स्थित है .

उदाहरण 4.निर्धारक में

बीजगणितीय पूरक
.

प्रमेय 1 (पंक्ति विस्तार के बारे में)।सारणिक किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों के योग के बराबर है।

प्रमेय 1 हमें आदेश निर्धारक की गणना को कम करने की अनुमति देता है गणना करने के लिए आदेश निर्धारक
.

उदाहरण 5. चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें:

.

आइए प्रमेय 1 का उपयोग करें और सारणिक का विस्तार करें चौथी पंक्ति पर:

टिप्पणी। आप पहले संपत्ति 9 का उपयोग करके निर्धारक को सरल बना सकते हैं, और फिर प्रमेय 1 का उपयोग कर सकते हैं। फिर आदेश के निर्धारक की गणना करें गणना करने के लिए नीचे आता है बस एक ठोआदेश का निर्धारक
.

उदाहरण 6.गणना

.

पहले कॉलम को दूसरे में जोड़ें और पहले कॉलम को (से गुणा करें)
), तीसरे तक, परिणामस्वरूप हमें मिलता है

.

अब हम प्रमेय 1 लागू करते हैं और अंतिम पंक्ति के साथ विस्तार करते हैं:

,

चौथे क्रम के निर्धारक की गणना को केवल एक तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना तक सीमित कर दिया गया था।

,

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना को केवल एक दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना तक सीमित कर दिया गया था।

उदाहरण 7.आदेश निर्धारक की गणना करें :

.

हम पहली पंक्ति को दूसरी, तीसरी आदि में जोड़ते हैं। वें पंक्ति. आइये निर्धारक पर आते हैं

.

एक त्रिकोणीय सारणिक प्राप्त होता है।

उपयुक्त
प्रमेय 1 का गुणा (पहले कॉलम पर विस्तार करें) और प्राप्त करें

.

टिप्पणी। त्रिकोणीय निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

6.3. मैट्रिसेस पर बुनियादी संचालन

परिभाषा 5.दो आव्यूह
,
,
,और
,
,
,हम उन्हें समान कहेंगे यदि
.

संक्षिप्त प्रविष्टि:
.

इस प्रकार, दो आव्यूहों को समान माना जाता है यदि उनके क्रम समान हों और उनके संगत अवयव समान हों।

परिभाषा 6.दो आव्यूहों का योग
,
,
,और
,
,
,ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है
,
,
,क्या
.

दूसरे शब्दों में, केवल समान क्रम के मैट्रिक्स जोड़े जा सकते हैं, और जोड़ तत्व-दर-तत्व किया जाता है।

उदाहरण 8.आव्यूहों का योग ज्ञात कीजिए

और
.

परिभाषा 6 के अनुसार, हम पाते हैं

.

आव्यूहों को जोड़ने का नियम किसी भी सीमित संख्या के पदों के योग पर लागू होता है।

परिभाषा 7.मैट्रिक्स उत्पाद
,
,
,एक वास्तविक संख्या के लिए ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है
,
,
,जिसके लिए
.

दूसरे शब्दों में, किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को उनके मूल स्थानों पर छोड़ना होगा।

उदाहरण 9.रैखिक संयोजन खोजें
मैट्रिक्स

और
.

परिभाषा 7 का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

,
,

.

मैट्रिक्स जोड़ संचालन के गुण

और किसी संख्या से गुणा करना:

1. जोड़ क्रमविनिमेय है:
.

2. जोड़ साहचर्य है:.

3. एक शून्य मैट्रिक्स है
, शर्त को संतुष्ट करना
सभी के लिए ए.

4. किसी भी मैट्रिक्स के लिए एएक विपरीत मैट्रिक्स है में, शर्त को संतुष्ट करना
.

किसी भी मैट्रिक्स के लिए एऔर मेंऔर कोई वास्तविक संख्या
निम्नलिखित समानताएँ कायम हैं:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

आइए संपत्ति की जांच करें 1. आइए निरूपित करें
,
. होने देना
,

,
. हमारे पास है

और चूँकि परिभाषा 5 के अनुसार, एक मनमाने तत्व के लिए समानता सिद्ध हो चुकी है
. गुण 1 सिद्ध हो चुका है।

संपत्ति 2 को इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।

एक मैट्रिक्स के रूप में आइए ऑर्डर मैट्रिक्स लें
, जिसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

मुड़ा हुआ किसी भी मैट्रिक्स के साथ परिभाषा 6 में दिए गए नियम के अनुसार, हम मैट्रिक्स करते हैं परिवर्तन न करें, और संपत्ति 3 सत्य है।

आइए संपत्ति की जांच करें 4. चलो
. चलो रखो
. तब
, इसलिए, गुण 4 सत्य है।

हम गुण 5 - 8 की जाँच करना छोड़ देंगे।

परिभाषा 8.मैट्रिक्स उत्पाद
,
,
,मैट्रिक्स के लिए
,
,
,मैट्रिक्स कहा जाता है
,
,
,तत्वों के साथ
.

संक्षिप्त प्रविष्टि:
.

उदाहरण 10.आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए

और
.

परिभाषा 8 के अनुसार हम पाते हैं

उदाहरण 11.आव्यूहों को गुणा करें

और
.

नोट 1। प्रति मैट्रिक्स पंक्ति तत्वों की संख्या मैट्रिक्स कॉलम में तत्वों की संख्या के बराबर (मैट्रिक्स कॉलम की संख्या मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर ).

नोट 2। मैट्रिक्स में
मैट्रिक्स में जितनी पंक्तियाँ हैं उतनी ही पंक्तियाँ हैं , और इसमें उतने ही कॉलम हैं .

नोट 3। आम तौर पर बोलना,
(मैट्रिक्स गुणन गैर-क्रमविनिमेय है)।

टिप्पणी 3 की पुष्टि के लिए कम से कम एक उदाहरण देना पर्याप्त है।

उदाहरण 12.आइए आव्यूहों को उल्टे क्रम में गुणा करें और उदाहरण 10 से.

इस प्रकार, सामान्य तौर पर
.

ध्यान दें कि विशेष मामले में समानता
शायद।

मैट्रिसेस और , जिसके लिए समानता है
, कहा जाता है क्रमपरिवर्तनीय,या आने.

व्यायाम.

1. उन सभी आव्यूहों को खोजें जो दिए गए आव्यूह के साथ चलते हैं:

ए)
; बी)
.

2. सभी दूसरे क्रम के मैट्रिक्स खोजें जिनके वर्ग शून्य मैट्रिक्स के बराबर हैं।

3. सिद्ध करो
.

मैट्रिक्स गुणन के गुण:

गुणन वितरणात्मक है.

मान लीजिए कि n x n आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स A है।
परिभाषा।निर्धारक तत्वों के सभी संभावित उत्पादों का बीजगणितीय योग है, जो मैट्रिक्स ए के प्रत्येक कॉलम और प्रत्येक पंक्ति से लिया गया है। यदि ऐसे प्रत्येक उत्पाद (निर्धारक की अवधि) में कारकों को कॉलम के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है (यानी, उत्पाद में तत्वों के दूसरे सूचकांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है), तो चिह्न (+) के साथ वे ऐसे उत्पाद लिए जाते हैं जिनके पहले सूचकांकों का क्रमपरिवर्तन सम है, और एक चिह्न (-) के साथ - वे जिनके लिए यह विषम है।
.
यहां सूचकांकों i 1, i 2, …, i n के क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रमों की संख्या दी गई है।

निर्धारक खोजने की विधियाँ

1. अवयस्कों के माध्यम से पंक्ति और स्तंभ विस्तार द्वारा मैट्रिक्स का निर्धारक।
2. त्रिकोणीय रूप में कमी विधि द्वारा निर्धारक (गॉस विधि)

निर्धारकों की संपत्ति

1. जब किसी मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ किया जाता है, तो उसका निर्धारक नहीं बदलता है।
2. यदि आप किसी सारणिक की दो पंक्तियों या दो स्तंभों की अदला-बदली करते हैं, तो सारणिक चिह्न बदल जाएगा, लेकिन निरपेक्ष मान में नहीं बदलेगा।
3. माना C = AB जहाँ A और B वर्ग आव्यूह हैं। तब detC = detA ∙ detB।
4. दो समान पंक्तियों या दो समान स्तंभों वाला एक सारणिक 0 के बराबर होता है। यदि किसी निश्चित पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर है।
5. दो आनुपातिक पंक्तियों या स्तंभों वाला एक निर्धारक 0 है।
6. त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक विकर्ण तत्वों के उत्पाद के बराबर है। एक विकर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है।
7. यदि किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक ही संख्या से गुणा किया जाए, तो सारणिक को इस संख्या से गुणा किया जाएगा।
8. यदि किसी सारणिक की एक निश्चित पंक्ति (स्तंभ) के प्रत्येक तत्व को दो पदों के योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो सारणिक दो निर्धारकों के योग के बराबर होता है, जिसमें इस एक को छोड़कर सभी पंक्तियाँ (स्तंभ) समान होती हैं, और इस पंक्ति (स्तंभ) में पहला निर्धारक पहला है, और दूसरे में - दूसरा पद है।
9. जैकोबी का प्रमेय: यदि सारणिक के एक निश्चित स्तंभ के तत्वों में हम किसी अन्य स्तंभ के संबंधित तत्वों को एक मनमाना कारक λ से गुणा करके जोड़ते हैं, तो सारणिक का मान नहीं बदलेगा।

इस प्रकार, मैट्रिक्स का निर्धारक अपरिवर्तित रहता है यदि:

• मैट्रिक्स स्थानांतरित करें;
• किसी भी स्ट्रिंग में किसी भी संख्या से गुणा की गई एक और स्ट्रिंग जोड़ें।

अभ्यास 1. निर्धारक की गणना पंक्ति या स्तंभ द्वारा विस्तारित करके करें।
समाधान :xml :xls
उदाहरण 1 :xml :xls

कार्य 2. निर्धारक की गणना दो तरीकों से करें: ए) "त्रिकोण" नियम का उपयोग करके; बी) एक रेखा के अनुदिश विस्तार।

समाधान.
a) ऋण चिह्न में शामिल पद पार्श्व विकर्ण के संबंध में उसी तरह बनाए गए हैं।

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
बी) हम मैट्रिक्स को इस रूप में लिखते हैं:

ए=

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

मुख्य निर्धारक:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

कार्य 3. इंगित करें कि चौथे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स ए का निर्धारक क्या बराबर है यदि इसकी रैंक r(A)=1 है।
उत्तर: डेट(ए) = 0.

उनकी गणना के तरीके

परिभाषा. अभिव्यक्ति

चतुर्थ कोटि का निर्धारक कहलाता है। इस निर्धारक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम के प्रतिच्छेदन पर तत्व का लघुगणक कहां है, और इस तत्व का बीजगणितीय पूरक है।

सूत्र (6) को सारांश चिह्न का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

, (7)

जहां मैं=1,2,3,4.

सूत्र (7) को सारणिक का तत्वों में विस्तार कहा जाता है

मैं-वीं पंक्ति. हम सारणिक के विस्तार को जेवें कॉलम के तत्वों में भी लिख सकते हैं:

(8)

जहां j=1,2,3,4.

किसी सारणिक के क्रम को कम करने की विधि सारणिक के गुणों का उपयोग करके सारणिक की एक पंक्ति या स्तंभ के एक को छोड़कर सभी तत्वों को शून्य में बदलने पर आधारित है।

उदाहरण 11.निर्धारक की गणना करें

.

समाधान. आइए पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

हम पहली पंक्ति के तत्वों को (-2) से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं:

.

हम पहली पंक्ति के तत्वों को (-1) से गुणा करते हैं और उन्हें चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं:

.

आइए हम परिणामी सारणिक को पहले कॉलम के तत्वों में विस्तारित करें

आइए पहली दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें, और सारणिक का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा, हम सारणिक के चिह्न से परे तीसरे स्तंभ के 3 तत्वों का सामान्य गुणनखंड लेंगे:

.

पहली पंक्ति के तत्वों को (-2) से गुणा करें और दूसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ें:

.

हम परिणामी सारणिक को दूसरी पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करते हैं

उदाहरण 12.निर्धारक की गणना करें .

समाधान. आइए पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें, और संपत्ति 2 के अनुसार, निर्धारक का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा:

.

सबसे पहले, हम पहली पंक्ति के तत्वों को (-2) से गुणा करते हैं और उन्हें दूसरी और चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं, और फिर पहली पंक्ति के तत्वों को (-3) से गुणा करते हैं और उन्हें दूसरी और चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं। तीसरी पंक्ति, हमें मिलती है:

.

हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं:

.

हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को (-1) से गुणा करते हैं और उन्हें चौथी पंक्ति के तत्वों में जोड़ते हैं:

.

हमें एक त्रिकोणीय सारणिक प्राप्त होता है जिसका मान मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

उदाहरण 13. निर्धारक की गणना करें

.

समाधान।आइए हम सारणिक को तीसरी पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करें

हम त्रिभुज नियम का उपयोग करके परिणामी तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करते हैं

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

1.निर्धारकों की गणना करें:

2. समीकरण हल करें:

3. असमानताओं को हल करें:

4. निर्धारकों की गणना करें:

उत्तर: 1.ए)7; बी)26; ग)0; घ)0; ई)30. 2 . ए)5; बी)2; दो पर;

जी) 3 . ए) बी) वी) घ)[-1;7]। 4 . ए)-24; बी) -40; 9 पर; घ)57; ई) -5; ई)1; जी)1; ज)55; मैं)30; जे)48; एल)0; एम)-1004; एन) 150.

मैट्रिसेस

बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा. मैट्रिक्स संख्याओं की एक आयताकार तालिका है जिसमें समान लंबाई की m पंक्तियाँ और समान लंबाई के n कॉलम होते हैं, जिसे इस रूप में लिखा जाता है

(9)

या, संक्षेप में, , कहाँ , (अर्थात। ) - लाइन नंबर, (वे। )- कॉलम संख्या, संख्याओं को मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है। मैट्रिक्स को आकार मैट्रिक्स कहा जाता है और लिखा जाता है। उदाहरण के लिए। , .

परिभाषा. दो आव्यूह और यदि उनके आकार मेल खाते हैं और उनके संबंधित तत्व समान हैं, तो वे एक-दूसरे के बराबर हैं, यानी। , अगर , कहाँ .

उदाहरण के लिए। चूँकि आव्यूहों का आकार संपाती होता है और संगत अवयव बराबर होते हैं, इसलिए आव्यूह समान होते हैं, अर्थात्।

परिभाषा. एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है, वर्ग कहलाती है। आकार के एक वर्ग मैट्रिक्स को nवें क्रम का मैट्रिक्स कहा जाता है।

उदाहरण के लिए। वे। दूसरा ऑर्डर मैट्रिक्स दिया गया है।

परिभाषा. एक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं, विकर्ण कहलाता है।

आव्यूह - विकर्ण.

परिभाषा. एक विकर्ण मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण का प्रत्येक तत्व एक के बराबर होता है, पहचान कहलाता है। पत्र द्वारा दर्शाया गया है।

या .

परिभाषा. एक वर्ग मैट्रिक्स को त्रिकोणीय कहा जाता है यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर (या मुख्य विकर्ण के नीचे) स्थित सभी तत्व शून्य के बराबर हों।

या - त्रिकोणीय आव्यूह.

क्रम n के वर्ग मैट्रिक्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता इसका निर्धारक (या निर्धारक) है, जिसे या द्वारा दर्शाया जाता है। .

परिभाषा।एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका सारणिक शून्येतर है, अर्थात , अविकृत कहलाता है। अन्यथा, मैट्रिक्स को एकवचन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए,

आव्यूह ए– पतित.

आव्यूह में– गैर पतित.

परिभाषा. एक मैट्रिक्स जिसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं उसे शून्य कहा जाता है और इसे अक्षर O द्वारा दर्शाया जाता है।

मैट्रिक्स कैलकुलस में, मैट्रिक्स O और E अंकगणित में संख्या 0 और 1 की भूमिका निभाते हैं।

परिभाषा. एक पंक्ति वाले मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है

आकार का एक मैट्रिक्स, जिसमें एक संख्या होती है, इस संख्या से पहचाना जाता है, अर्थात। वहाँ 3 हैं.

परिभाषा. किसी दिए गए मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को समान संख्या वाले कॉलम से प्रतिस्थापित करके प्राप्त मैट्रिक्स को दिए गए मैट्रिक्स में स्थानांतरित मैट्रिक्स कहा जाता है। द्वारा चिह्नित ।

अगर , वह , अगर , वह .

एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स में निम्नलिखित गुण होते हैं: .

समस्या का निरूपण

कार्य के लिए उपयोगकर्ता को संख्यात्मक तरीकों की बुनियादी अवधारणाओं, जैसे कि निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स, और उनकी गणना करने के विभिन्न तरीकों से परिचित होना आवश्यक है। यह सैद्धांतिक रिपोर्ट सबसे पहले बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं को सरल और सुलभ भाषा में पेश करती है, जिसके आधार पर आगे का शोध किया जाता है। उपयोगकर्ता को संख्यात्मक तरीकों और रैखिक बीजगणित के क्षेत्र में विशेष ज्ञान नहीं हो सकता है, लेकिन वह इस कार्य के परिणामों का आसानी से उपयोग कर सकता है। स्पष्टता के लिए, C++ प्रोग्रामिंग भाषा में लिखी गई कई विधियों का उपयोग करके मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने का एक प्रोग्राम दिया गया है। रिपोर्ट के लिए चित्र बनाने के लिए प्रोग्राम का उपयोग प्रयोगशाला स्टैंड के रूप में किया जाता है। रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियों का अध्ययन भी किया जा रहा है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की निरर्थकता सिद्ध हो गई है, इसलिए कार्य समीकरणों की गणना किए बिना उन्हें हल करने के लिए अधिक इष्टतम तरीके प्रदान करता है। यह बताता है कि निर्धारकों और व्युत्क्रम आव्यूहों की गणना के लिए इतनी सारी अलग-अलग विधियाँ क्यों हैं और उनकी कमियों पर चर्चा की गई है। निर्धारक की गणना में त्रुटियों पर भी विचार किया जाता है और प्राप्त सटीकता का आकलन किया जाता है। रूसी शब्दों के अलावा, यह काम यह समझने के लिए उनके अंग्रेजी समकक्षों का भी उपयोग करता है कि पुस्तकालयों में संख्यात्मक प्रक्रियाओं को किन नामों से देखना है और उनके मापदंडों का क्या अर्थ है।

बुनियादी परिभाषाएँ और सरलतम गुण

सिद्ध

आइए हम किसी भी क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की परिभाषा का परिचय दें। यह परिभाषा होगी आवर्ती, अर्थात, यह स्थापित करने के लिए कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है, आपको पहले से ही यह जानना होगा कि ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है। यह भी ध्यान दें कि सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के लिए मौजूद है।

हम वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक को या det द्वारा निरूपित करेंगे।

परिभाषा 1. सिद्धवर्ग मैट्रिक्स दूसरे क्रम का नंबर कहा जाता है .

सिद्ध क्रम के वर्ग मैट्रिक्स को संख्या कहा जाता है

संख्या के साथ पहली पंक्ति और स्तंभ को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक कहां है।

स्पष्टता के लिए, आइए लिखें कि आप चौथे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना कैसे कर सकते हैं:

टिप्पणी।परिभाषा के आधार पर तीसरे क्रम से ऊपर के मैट्रिक्स के लिए निर्धारकों की वास्तविक गणना असाधारण मामलों में उपयोग की जाती है। आमतौर पर, गणना अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके की जाती है जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी और जिसके लिए कम कम्प्यूटेशनल कार्य की आवश्यकता होती है।

टिप्पणी।परिभाषा 1 में, यह कहना अधिक सटीक होगा कि निर्धारक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और संख्याओं के सेट में मान लेता है।

टिप्पणी।साहित्य में "निर्धारक" शब्द के स्थान पर "निर्धारक" शब्द का भी प्रयोग होता है, जिसका अर्थ भी यही होता है। शब्द "निर्धारक" से पदनाम डेट प्रकट हुआ।

आइए निर्धारकों के कुछ गुणों पर विचार करें, जिन्हें हम कथनों के रूप में तैयार करेंगे।

कथन 1.मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ करते समय, निर्धारक नहीं बदलता है, अर्थात।

कथन 2.वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का निर्धारक गुणनखंडों के निर्धारकों के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात।

कथन 3.यदि मैट्रिक्स में दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है, तो इसका निर्धारक चिह्न बदल जाएगा।

कथन 4.यदि किसी मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ हैं, तो इसका सारणिक शून्य है।

भविष्य में, हमें स्ट्रिंग्स जोड़ने और एक स्ट्रिंग को एक संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होगी। हम इन क्रियाओं को पंक्तियों (कॉलम) पर उसी तरह से निष्पादित करेंगे जैसे पंक्ति मैट्रिक्स (कॉलम मैट्रिक्स) पर क्रियाएं करते हैं, यानी तत्व दर तत्व। परिणाम एक पंक्ति (स्तंभ) होगा, जो, एक नियम के रूप में, मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों से मेल नहीं खाता है। यदि पंक्तियों (स्तंभों) को जोड़ने और उन्हें किसी संख्या से गुणा करने का संचालन होता है, तो हम पंक्तियों (स्तंभों) के रैखिक संयोजनों के बारे में भी बात कर सकते हैं, यानी संख्यात्मक गुणांक वाले योग।

कथन 5.यदि किसी मैट्रिक्स की एक पंक्ति को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्धारक को इस संख्या से गुणा किया जाएगा।

कथन 6.यदि किसी मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति है, तो इसका निर्धारक शून्य है।

कथन 7.यदि मैट्रिक्स की एक पंक्ति दूसरे के बराबर है, किसी संख्या से गुणा की जाती है (पंक्तियाँ आनुपातिक हैं), तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

कथन 8.मान लीजिए कि मैट्रिक्स में i-वीं पंक्ति का रूप है। फिर, जहां मैट्रिक्स से i-th पंक्ति को पंक्ति के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, और मैट्रिक्स i-th पंक्ति को पंक्ति के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

कथन 9.यदि आप मैट्रिक्स पंक्तियों में से किसी एक संख्या से गुणा करके दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक नहीं बदलेगा।

कथन 10.यदि मैट्रिक्स की एक पंक्ति उसकी अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

परिभाषा 2. बीजगणितीय पूरकएक मैट्रिक्स तत्व के बराबर एक संख्या है, जहां i-th पंक्ति और j-th कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है। मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक को द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण।होने देना . तब

टिप्पणी।बीजगणितीय योगों का उपयोग करते हुए, 1 निर्धारक की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:

कथन 11. एक मनमानी स्ट्रिंग में निर्धारक का विस्तार।

मैट्रिक्स के निर्धारक का सूत्र है

उदाहरण।गणना .

समाधान।आइए तीसरी पंक्ति के साथ विस्तार का उपयोग करें, यह अधिक लाभदायक है, क्योंकि तीसरी पंक्ति में तीन में से दो संख्याएँ शून्य हैं। हम पाते हैं

कथन 12.क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, संबंध रखता है: .

कथन 13.पंक्तियों के लिए तैयार किए गए निर्धारक के सभी गुण (कथन 1 - 11) स्तंभों के लिए भी मान्य हैं, विशेष रूप से, जे-वें कॉलम में निर्धारक का अपघटन मान्य है और समानता पर ।

कथन 14.एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक उसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

परिणाम।पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक एक के बराबर है।

निष्कर्ष।ऊपर सूचीबद्ध गुण अपेक्षाकृत कम मात्रा में गणना के साथ पर्याप्त उच्च क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारकों को ढूंढना संभव बनाते हैं। गणना एल्गोरिथ्म इस प्रकार है।

किसी कॉलम में शून्य बनाने के लिए एल्गोरिदम।मान लीजिए हमें आदेश निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। यदि, तो पहली पंक्ति और किसी अन्य पंक्ति को स्वैप करें जिसमें पहला तत्व शून्य नहीं है। परिणामस्वरूप, निर्धारक, विपरीत चिह्न के साथ नए मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होगा। यदि प्रत्येक पंक्ति का पहला तत्व शून्य के बराबर है, तो मैट्रिक्स में एक शून्य स्तंभ है और, कथन 1, 13 के अनुसार, इसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

तो, हम मानते हैं कि यह पहले से ही मूल मैट्रिक्स में है। हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करके जोड़ें। तब दूसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा .

हम नई दूसरी पंक्ति के शेष तत्वों को, द्वारा निरूपित करते हैं। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है। पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें। नई तीसरी पंक्ति का पहला तत्व बराबर होगा

हम नई तीसरी पंक्ति के शेष तत्वों को, द्वारा निरूपित करते हैं। कथन 9 के अनुसार नए मैट्रिक्स का निर्धारक बराबर है।

हम रेखाओं के प्रथम तत्वों के स्थान पर शून्य प्राप्त करने की प्रक्रिया जारी रखेंगे। अंत में, पहली पंक्ति को एक संख्या से गुणा करें और इसे अंतिम पंक्ति में जोड़ें। परिणाम एक मैट्रिक्स है, आइए इसे निरूपित करें, जिसका रूप है

और । मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, हम पहले कॉलम में विस्तार का उपयोग करते हैं

के बाद से

दाईं ओर ऑर्डर मैट्रिक्स का निर्धारक है। हम इसमें समान एल्गोरिदम लागू करते हैं, और मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना ऑर्डर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए कम हो जाएगी। हम प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक हम दूसरे क्रम के निर्धारक तक नहीं पहुंच जाते, जिसकी गणना परिभाषा के अनुसार की जाती है।

यदि मैट्रिक्स में कोई विशिष्ट गुण नहीं हैं, तो प्रस्तावित एल्गोरिदम की तुलना में गणना की मात्रा को महत्वपूर्ण रूप से कम करना संभव नहीं है। इस एल्गोरिदम का एक और अच्छा पहलू यह है कि बड़े ऑर्डर के मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने के लिए इसका उपयोग करना आसान है। निर्धारकों की गणना के लिए मानक कार्यक्रम कंप्यूटर गणना में राउंडिंग त्रुटियों और इनपुट डेटा त्रुटियों के प्रभाव को कम करने से संबंधित मामूली बदलावों के साथ इस एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण।मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें .

समाधान।हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। दूसरी पंक्ति में हम पहली को संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता. तीसरी पंक्ति में हम पहली को संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता. चौथी पंक्ति में हम पहली को संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं:

निर्धारक नहीं बदलता. परिणाम हमें मिलता है

उसी एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम दाईं ओर स्थित क्रम 3 के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं। हम पहली पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, पहली पंक्ति को संख्या से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ते हैं :

तीसरी पंक्ति में हम पहली को संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं :

परिणाम हमें मिलता है

उत्तर। .

टिप्पणी।हालाँकि गणना में भिन्नों का उपयोग किया गया था, परिणाम एक पूर्ण संख्या निकला। वास्तव में, निर्धारकों के गुणों और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि मूल संख्याएँ पूर्णांक हैं, भिन्नों के साथ संक्रियाओं से बचा जा सकता है। लेकिन इंजीनियरिंग अभ्यास में, संख्याएँ बहुत कम ही पूर्णांक होती हैं। इसलिए, एक नियम के रूप में, निर्धारक के तत्व दशमलव भिन्न होंगे और गणना को सरल बनाने के लिए किसी भी तरकीब का उपयोग करना अनुचित है।

उलटा मैट्रिक्स

परिभाषा 3.मैट्रिक्स कहा जाता है उलटा मैट्रिक्सएक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, यदि .

परिभाषा से यह पता चलता है कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मैट्रिक्स के समान क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स होगा (अन्यथा उत्पादों में से एक या परिभाषित नहीं किया जाएगा)।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, यदि अस्तित्व है, तो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि मैट्रिक्स, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है, अर्थात। आव्यूहों के बारे में हम कह सकते हैं कि वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम या परस्पर व्युत्क्रम होते हैं।

यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।

चूँकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए यह महत्वपूर्ण है कि मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के बराबर है या नहीं, हम निम्नलिखित परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 4.आइए वर्ग मैट्रिक्स को कॉल करें पतितया विशेष मैट्रिक्स, अगर गैर पतितया गैर-एकवचन मैट्रिक्स, अगर ।

कथन।यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

कथन।यदि एक वर्ग मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद है और (1) तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक कहाँ हैं।

प्रमेय.एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स अद्वितीय है, और सूत्र (1) मान्य है।

टिप्पणी।व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र में बीजीय योगों द्वारा व्याप्त स्थानों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए: पहला सूचकांक संख्या दर्शाता है स्तंभ, और दूसरा नंबर है पंक्तियां, जिसमें आपको परिकलित बीजगणितीय जोड़ लिखना होगा।

उदाहरण। .

समाधान।निर्धारक ढूँढना

चूँकि, मैट्रिक्स गैर-पतित है, और इसका व्युत्क्रम मौजूद है। बीजगणितीय पूरक ढूँढना:

हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स की रचना करते हैं, पाए गए बीजगणितीय योगों को रखते हैं ताकि पहला सूचकांक कॉलम से मेल खाए, और दूसरा पंक्ति से: (2)

परिणामी मैट्रिक्स (2) समस्या के उत्तर के रूप में कार्य करता है।

टिप्पणी।पिछले उदाहरण में, उत्तर को इस प्रकार लिखना अधिक सटीक होगा:
(3)

हालाँकि, अंकन (2) अधिक संक्षिप्त है और यदि आवश्यक हो तो इसके साथ आगे की गणना करना अधिक सुविधाजनक है। इसलिए, यदि मैट्रिक्स तत्व पूर्णांक हैं तो फॉर्म (2) में उत्तर लिखना बेहतर है। और इसके विपरीत, यदि मैट्रिक्स के तत्व दशमलव अंश हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स को बिना किसी कारक के लिखना बेहतर है।

टिप्पणी।व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढ़ते समय, आपको काफी गणनाएँ करनी पड़ती हैं और अंतिम मैट्रिक्स में बीजगणितीय योगों को व्यवस्थित करने का नियम असामान्य है। अत: त्रुटि की सम्भावना अधिक है। त्रुटियों से बचने के लिए, आपको जाँच करनी चाहिए: मूल मैट्रिक्स और अंतिम मैट्रिक्स के उत्पाद की एक या दूसरे क्रम में गणना करें। यदि परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स सही पाया गया है। अन्यथा, आपको एक त्रुटि की तलाश करनी होगी।

उदाहरण।मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए .

समाधान। - मौजूद।

उत्तर: .

निष्कर्ष।सूत्र (1) का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है। चौथे क्रम और उससे ऊपर के आव्यूहों के लिए, यह अस्वीकार्य है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए वास्तविक एल्गोरिदम बाद में दिया जाएगा।

गॉसियन विधि का उपयोग करके निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना

गाऊसी विधि का उपयोग सारणिक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए किया जा सकता है।

अर्थात्, मैट्रिक्स का निर्धारक डेट के बराबर है।

गाऊसी उन्मूलन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया जाता है:

पहचान मैट्रिक्स का जे-वां कॉलम कहां है, वांछित वेक्टर है।

परिणामी समाधान वैक्टर स्पष्ट रूप से मैट्रिक्स के कॉलम बनाते हैं, क्योंकि।

निर्धारक के लिए सूत्र

1. यदि मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, तो और (प्रमुख तत्वों का उत्पाद)।

निर्देश

5x5 मैट्रिक्स के निर्धारक (डिट ए) की गणना करने के लिए, पहली पंक्ति के साथ तत्व बनाएं। ऐसा करने के लिए, किसी दी गई पंक्ति का पहला तत्व लें और मैट्रिक्स से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसके चौराहे पर वह स्थित है। पहले के उत्पाद और परिणामी चौथे क्रम मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए सूत्र लिखें: a11*detM1 - यह Det A खोजने के लिए पहला पद होगा। शेष चार-बिट मैट्रिक्स M1 में आप बाद में निर्धारक भी पाएंगे (अतिरिक्त लघु).

इसी प्रकार, प्रारंभिक मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के 2, 3, 4 और 5 तत्वों वाले कॉलम और पंक्ति को क्रमिक रूप से काटें, और उनमें से प्रत्येक के लिए संबंधित 4x4 मैट्रिक्स ढूंढें। इन तत्वों के उत्पादों को अतिरिक्त लघु भागों में लिखें: a12*detM2, a13*detM3, a14*detM4, a15*detM5।

परिणामी चौथे क्रम के आव्यूहों के निर्धारक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आयामीता को कम करने के लिए उसी विधि का उपयोग करें। मैट्रिक्स M1 के पहले तत्व b11 को शेष 3x3 मैट्रिक्स (C1) के निर्धारक से गुणा करें। त्रि-आयामी मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है: detC1 = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 - c21* c12*c33 - c13* c22*c31 - c11* c32*c23, जहां cij - परिणामी मैट्रिक्स C1 के तत्व।

इसके बाद, इसी प्रकार मैट्रिक्स M1 के दूसरे तत्व b12 पर विचार करें और परिणामी त्रि-आयामी मैट्रिक्स के संबंधित अतिरिक्त लघु detC2 के साथ इसकी गणना करें। उसी तरह, पहले चौथे क्रम के मैट्रिक्स के तीसरे और चौथे तत्वों के लिए उत्पाद खोजें। फिर मैट्रिक्स detM1 का आवश्यक अतिरिक्त माइनर निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, पंक्ति विस्तार सूत्र के अनुसार: detМ1 = b11*detC1 - b12*detC2 + b13*detC3 - b14*detC4। आपने Det A को खोजने के लिए आवश्यक पहला पद प्राप्त कर लिया है।

प्रत्येक चौथे-क्रम मैट्रिक्स के आयाम को समान रूप से कम करके पांचवें क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक के शेष शब्दों की गणना करें। अंतिम है: Det A = a11*detM1 - a12*detM2 + a13*detM3 - a14*detM4 + a15*detM5।

निर्देश

इस ऑपरेशन का सबसे सरल और सबसे संक्षिप्त सूत्रीकरण इस प्रकार है: आव्यूहों को "पंक्ति दर स्तंभ" एल्गोरिथम का उपयोग करके गुणा किया जाता है।

अब इस नियम के साथ-साथ संभावित प्रतिबंधों और सुविधाओं के बारे में और जानें।

किसी मैट्रिक्स को एक से गुणा करने पर मूल मैट्रिक्स स्वयं में बदल जाता है (संख्याओं को गुणा करने के बराबर जहां तत्वों में से एक 1 है)। इसी प्रकार, शून्य मैट्रिक्स से गुणा करने पर शून्य मैट्रिक्स उत्पन्न होता है।

ऑपरेशन में शामिल मैट्रिक्स पर लगाई गई मुख्य शर्त निष्पादन की विधि से होती है: पहले मैट्रिक्स में उतनी ही पंक्तियाँ होनी चाहिए जितनी दूसरे में कॉलम हैं। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि अन्यथा करने को कुछ है ही नहीं।

यह एक अन्य महत्वपूर्ण बिंदु पर भी ध्यान देने योग्य है: मैट्रिक्स गुणन में क्रमपरिवर्तनशीलता (या "परिवर्तनशीलता") नहीं होती है, दूसरे शब्दों में, ए गुणा बी, बी गुणा ए के बराबर नहीं है। इसे याद रखें और संख्याओं को गुणा करने के नियम के साथ इसे भ्रमित न करें।

अब, गुणन की वास्तविक प्रक्रिया।

आइए मैट्रिक्स ए को दाईं ओर मैट्रिक्स बी से गुणा करें।

हम मैट्रिक्स A की पहली पंक्ति लेते हैं और इसके i-वें तत्व को मैट्रिक्स B के पहले कॉलम के i-वें तत्व से गुणा करते हैं। हम सभी परिणामों को जोड़ते हैं और उन्हें अंतिम मैट्रिक्स में a11 के स्थान पर लिखते हैं।

फिर हम मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति और तीसरी, चौथी आदि के साथ भी ऐसा ही करते हैं। मैट्रिक्स बी के कॉलम, इस प्रकार अंतिम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति भरते हैं।

अब हम दूसरी पंक्ति में जाते हैं और इसे फिर से पहले से शुरू करके सभी कॉलमों से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं। हम परिणाम को अंतिम मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में लिखते हैं।

फिर तीसरे, चौथे आदि तक।

हम तब तक दोहराते हैं जब तक हम मैट्रिक्स ए की सभी पंक्तियों को मैट्रिक्स बी के सभी कॉलमों से गुणा नहीं कर देते।

मैट्रिसेससंख्यात्मक जानकारी प्रस्तुत करने का एक प्रभावी तरीका है। रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली का समाधान मैट्रिक्स (संख्याओं से बना एक आयत) के रूप में लिखा जा सकता है। आव्यूहों को गुणा करने की क्षमता उच्च शिक्षा में रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रमों में पढ़ाए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण कौशलों में से एक है।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर

निर्देश

इस स्थिति की जांच करने के लिए, सबसे आसान तरीका निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करना है - पहले मैट्रिक्स के आयाम को (ए * बी) के रूप में लिखें। फिर दूसरा आयाम (सी*डी) है। यदि b=c - आव्यूह आनुपातिक हैं, तो उन्हें गुणा किया जा सकता है।

इसके बाद, गुणन स्वयं करें। याद रखें - जब आप दो आव्यूहों को गुणा करते हैं, तो आपको एक आव्यूह प्राप्त होता है। अर्थात्, गुणन समस्या को आयाम (ए*डी) के साथ एक नया खोजने की समस्या तक सीमित कर दिया गया है। एसआई में, मैट्रिक्स गुणन समस्या इस तरह दिखती है:
शून्य मैट्रिक्समल्टी(int m1[n], int m1_row, int m1_col, int m2[n], int m2_row, int m2_col, int m3[n], int m3_row, int m3_col)
(के लिए (int i = 0; i< m3_row; i++)
(int j = 0; j के लिए)< m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
(int k = 0; k के लिए)< m2_col; k++)
(int i = 0; i के लिए)< m1_row; i++)
(int j = 0; j के लिए)< m1_col; j++)
एम3[आई][के] += एम1[आई][जे] * एम2[जे][के];
}

सीधे शब्दों में कहें तो, एक नया मैट्रिक्स पहले मैट्रिक्स के पंक्ति तत्वों और दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम तत्वों के उत्पादों का योग है। यदि आप संख्या (1;2) वाले तीसरे मैट्रिक्स के तत्व हैं, तो आपको बस पहले मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को दूसरे के दूसरे कॉलम से गुणा करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, प्रारंभिक राशि को शून्य मानें। इसके बाद, पहली पंक्ति के पहले तत्व को दूसरे कॉलम के पहले तत्व से गुणा करें, और योग में मान जोड़ें। आप ऐसा करें: पहली पंक्ति के i-वें तत्व को दूसरे कॉलम के i-वें तत्व से गुणा करें और पंक्ति समाप्त होने तक परिणामों को योग में जोड़ें। कुल राशि आवश्यक तत्व होगी.

तीसरे मैट्रिक्स के सभी तत्व मिल जाने के बाद, इसे लिख लें। तुम्हें मिल गया काममैट्रिक्स

स्रोत:

• 2019 में रूस का मुख्य गणितीय पोर्टल
• 2019 में मैट्रिक्स का उत्पाद कैसे खोजें

मैट्रिक्स का निर्धारक रैखिक बीजगणित में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। मैट्रिक्स का निर्धारक वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों का एक बहुपद है। चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करने के लिए, आपको निर्धारक की गणना के लिए एक सामान्य नियम की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

निर्देश

चौथे वर्ग मैट्रिक्स में चार पंक्तियाँ और चार स्तंभ होते हैं। इसके निर्धारक की गणना चित्र में दिखाए गए सामान्य पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके की जाती है। सूचकांकों के साथ एम इस मैट्रिक्स का एक अतिरिक्त लघु है। शीर्ष पर सूचकांक 1 और नीचे 1 से n तक सूचकांक के साथ क्रम n M के एक वर्ग मैट्रिक्स का लघु मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो पहली पंक्ति और j1...jn कॉलम को हटाकर मूल से प्राप्त किया जाता है। (चौथे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के मामले में j1...j4 कॉलम)।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि परिणामस्वरूप, चौथे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक चार पदों का योग होगा। प्रत्येक पद ((-1)^(1+j))aij का गुणनफल होगा, अर्थात, मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के पदों में से एक, एक सकारात्मक या चिह्न के साथ लिया गया, और एक तीसरे क्रम का वर्ग ( वर्ग मैट्रिक्स का लघु)।

परिणामी अवयस्क, जो तीसरे क्रम के मैट्रिक्स हैं, नए अवयस्कों का उपयोग किए बिना, एक प्रसिद्ध निजी सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना तथाकथित "त्रिकोण नियम" का उपयोग करके की जा सकती है। इस मामले में, निर्धारक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करने की कोई आवश्यकता नहीं है, लेकिन आप इसके ज्यामितीय आरेख को याद कर सकते हैं। यह नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। परिणामस्वरूप |ए| = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a11*a23*a32-a12*a21*a33-a13*a22*a31.
नतीजतन, नाबालिगों की गणना की जाती है और चौथे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना की जा सकती है।

स्रोत:

• निर्धारक की गणना कैसे करें

आपको चाहिये होगा

• - माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल प्रोग्राम।

निर्देश

माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल लॉन्च करें। डेटा एंट्री मेनू में, आपको दिया गया डेटा दर्ज करें आव्यूहइसके निर्धारक की बाद की गणना के लिए। रिक्त तालिका कक्षों में से एक का चयन करें, फिर निम्न सूत्र दर्ज करें: "=MOPRED(ak:fg)"। इस मामले में, ak का मतलब दिए गए मैट्रिक्स के ऊपरी बाएं कोने के अनुरूप निर्देशांक होगा, और fg का मतलब निचले दाएं कोने से होगा। निर्धारक प्राप्त करने के लिए, Enter कुंजी दबाएँ। आवश्यक मान आपके द्वारा चयनित खाली सेल में प्रदर्शित किया जाएगा।

अन्य मानों की गणना के लिए एक्सेल कार्यक्षमता का उपयोग करें। यदि आप नहीं जानते कि माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में सूत्रों का उपयोग कैसे करें, तो इस विषय पर विशेष साहित्य डाउनलोड करें, और इसे पढ़ने के बाद आपके लिए इस कार्यक्रम में नेविगेट करना काफी आसान हो जाएगा।

इस सॉफ़्टवेयर में सूत्र मानों के नामों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें, क्योंकि यदि आप उन्हें गलत तरीके से दर्ज करते हैं, तो आपके सभी परिणाम एक ही बार में खराब हो सकते हैं, खासकर उन लोगों के लिए जो एक समय में कई समान गणना करते हैं।

समय-समय पर माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में प्राप्त गणना परिणामों की जांच करें। यह इस तथ्य के कारण है कि समय के साथ सिस्टम में कुछ बदलाव हुए होंगे, विशेष रूप से यह उन लोगों पर लागू होता है जो एक टेम्पलेट के अनुसार कार्य करते हैं। एक साथ कई मौजूदा गणनाओं के परिणामों को एक बार फिर से जांचना हमेशा एक अच्छा विचार होगा।

साथ ही, सूत्रों के साथ काम करते समय बेहद सावधान रहें और वायरस को अपने कंप्यूटर पर आने से रोकें। भले ही आपको एक बार माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में सूत्रों के साथ संचालन की आवश्यकता हो, इस कार्यक्रम की कार्यक्षमता का अधिक हद तक अध्ययन करें, क्योंकि ये कौशल आपको भविष्य में लेखांकन स्वचालन को बेहतर ढंग से समझने और कुछ कार्यों को करने के लिए एक्सेल का उपयोग करने में मदद करेंगे।

सिद्ध- मैट्रिक्स बीजगणित की अवधारणाओं में से एक। यह एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें चार तत्व होते हैं, और निर्धारक की गणना करने के लिए दूसरा आदेश, आपको पहली पंक्ति के लिए विस्तार सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है।

निर्देश

सिद्धवर्ग वह है जिसका उपयोग विभिन्न गणनाओं में किया जाता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स, लघुगणक, बीजगणितीय जोड़, विभाजन संक्रियाओं को खोजते समय यह अपरिहार्य है, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय अक्सर निर्धारक पर जाने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

आव्यूह दूसरा आदेशदो पंक्तियों और स्तंभों पर व्यवस्थित चार तत्वों का एक संग्रह है। ये संख्याएँ अज्ञात समीकरणों की प्रणाली के गुणांकों के अनुरूप हैं, जिनका उपयोग कई लागू समस्याओं, उदाहरण के लिए, आर्थिक समस्याओं पर विचार करते समय किया जाता है।

कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स गणनाओं में परिवर्तन से दो चीजों में तुरंत मदद मिलती है: पहला, क्या इस समाधान का कोई समाधान है, और दूसरा, इसे ढूंढना। समाधान के लिए पर्याप्त शर्त है