वी। भिन्नता श्रृंखला, औसत मूल्य, विशेषता परिवर्तनशीलता
विविधता श्रृंखलाएक विशेषता के संख्यात्मक मूल्यों की एक श्रृंखला है।
विविधता श्रृंखला की मुख्य विशेषताएं: वी - संस्करण, पी - इसकी घटना की आवृत्ति।
विविधता श्रृंखला के प्रकार:
वेरिएंट की आवृत्ति के अनुसार: सरल - वेरिएंट एक बार होता है, भारित - वेरिएंट दो या अधिक बार होता है;
स्थान के अनुसार विकल्प: रैंक - विकल्पों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, बिना रैंक के - विकल्प किसी विशेष क्रम में नहीं लिखे जाते हैं;
विकल्प को समूहों में समूहित करके: समूहीकृत - विकल्प समूहों में संयुक्त होते हैं, असमूहीकृत - विकल्प समूहीकृत नहीं होते हैं;
मूल्य विकल्पों द्वारा: निरंतर - विकल्प एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, असतत - विकल्प एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जटिल - विकल्प एक सापेक्ष या औसत मूल्य द्वारा दर्शाए जाते हैं।
औसत मूल्यों की गणना के लिए एक विविधता श्रृंखला संकलित और तैयार की जाती है।
विविधता श्रृंखला संकेतन प्रपत्र:
8. औसत मूल्य, प्रकार, गणना पद्धति, स्वास्थ्य देखभाल में आवेदन
औसत मान- मात्रात्मक विशेषताओं की कुल सामान्यीकरण विशेषता। औसत का अनुप्रयोग:
1. चिकित्सा संस्थानों के काम के संगठन को चिह्नित करना और उनकी गतिविधियों का मूल्यांकन करना:
ए) पॉलीक्लिनिक में: डॉक्टरों के कार्यभार के संकेतक, यात्राओं की औसत संख्या, क्षेत्र में निवासियों की औसत संख्या;
बी) एक अस्पताल में: प्रति वर्ष बिस्तर के दिनों की औसत संख्या; अस्पताल में रहने की औसत अवधि;
ग) स्वच्छता, महामारी विज्ञान और सार्वजनिक स्वास्थ्य के केंद्र में: प्रति व्यक्ति औसत क्षेत्र (या घन क्षमता), औसत पोषण मानक (प्रोटीन, वसा, कार्बोहाइड्रेट, विटामिन, खनिज लवण, कैलोरी), स्वच्छता मानदंड और मानक, आदि। ;
2. शारीरिक विकास को चिह्नित करने के लिए (रूपात्मक और कार्यात्मक की मुख्य मानवशास्त्रीय विशेषताएं);
3. नैदानिक और प्रायोगिक अध्ययनों में सामान्य और रोग स्थितियों में शरीर के चिकित्सा और शारीरिक मापदंडों का निर्धारण करना।
4. विशेष वैज्ञानिक अनुसंधान में।
औसत मूल्यों और संकेतकों के बीच का अंतर:
1. गुणांक एक वैकल्पिक विशेषता की विशेषता है जो केवल सांख्यिकीय टीम के कुछ हिस्से में होती है, जो हो भी सकती है और नहीं भी।
औसत मूल्य टीम के सभी सदस्यों में निहित संकेतों को कवर करते हैं, लेकिन अलग-अलग डिग्री (वजन, ऊंचाई, अस्पताल में उपचार के दिन) तक।
2. गुणात्मक विशेषताओं को मापने के लिए गुणांक का उपयोग किया जाता है। औसत मूल्य अलग-अलग मात्रात्मक लक्षणों के लिए हैं।
औसत के प्रकार:
समांतर माध्य, इसकी विशेषताएँ - मानक विचलन और औसत त्रुटि
मोड और माध्यिका। फैशन (मो)- इस आबादी में सबसे अधिक बार पाए जाने वाले गुण के मूल्य से मेल खाती है। माध्यिका (मी)- विशेषता का मूल्य, जो इस आबादी में औसत मूल्य रखता है। यह प्रेक्षणों की संख्या के अनुसार श्रृंखला को 2 बराबर भागों में विभाजित करता है। अंकगणित माध्य मान (एम)- बहुलक और माध्यिका के विपरीत, यह किए गए सभी अवलोकनों पर निर्भर करता है, इसलिए यह संपूर्ण वितरण के लिए एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
अन्य प्रकार के औसत जो विशेष अध्ययनों में उपयोग किए जाते हैं: मूल माध्य वर्ग, घन, हार्मोनिक, ज्यामितीय, प्रगतिशील।
अंकगणित औसतसांख्यिकीय जनसंख्या के औसत स्तर की विशेषता है।
एक साधारण श्रृंखला के लिए जहाँ
v - योग विकल्प,
n प्रेक्षणों की संख्या है।
भारित श्रृंखला के लिए, जहां
vr प्रत्येक विकल्प के गुणनफल और उसके घटित होने की आवृत्ति का योग है
n प्रेक्षणों की संख्या है।
मानक विचलनअंकगणित माध्य या सिग्मा (σ) विशेषता की विविधता को दर्शाता है
- एक साधारण पंक्ति के लिए
d 2 - अंकगणित माध्य और प्रत्येक विकल्प के बीच अंतर के वर्गों का योग (d = M-V│)
n प्रेक्षणों की संख्या है
- भारित श्रृंखला के लिए
d 2 p अंकगणित माध्य और प्रत्येक विकल्प के बीच के अंतर के वर्गों के गुणनफल और इसके घटित होने की आवृत्ति का योग है,
n प्रेक्षणों की संख्या है।
विविधता की डिग्री को भिन्नता के गुणांक के मूल्य से आंका जा सकता है 
. 20% से अधिक - मजबूत विविधता, 10-20% - मध्यम विविधता, 10% से कम - कमजोर विविधता।
यदि एक सिग्मा (एम ± 1σ) को अंकगणित माध्य में जोड़ा और घटाया जाता है, तो सामान्य वितरण के साथ, सभी प्रकार (अवलोकन) का कम से कम 68.3% इन सीमाओं के भीतर होगा, जिसे अध्ययन के तहत घटना के लिए आदर्श माना जाता है। . यदि k 2 ± 2σ, तो सभी प्रेक्षणों का 95.5% इन सीमाओं के भीतर होगा, और यदि k M ± 3σ, तो सभी प्रेक्षणों का 99.7% इन सीमाओं के भीतर होगा। इस प्रकार, मानक विचलन मानक विचलन है, जो अध्ययन के तहत विशेषता के ऐसे मूल्य की घटना की संभावना की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, जो निर्दिष्ट सीमा के भीतर है।
अंकगणित माध्य की औसत त्रुटिया प्रतिनिधित्व त्रुटि। सरल, भारित श्रृंखला के लिए और क्षणों के नियम के अनुसार:
.
औसत मूल्यों की गणना करने के लिए, यह आवश्यक है: सामग्री की एकरूपता, पर्याप्त संख्या में अवलोकन। यदि प्रेक्षणों की संख्या 30 से कम है, तो और m की गणना के लिए सूत्रों में n-1 का उपयोग किया जाता है।
औसत त्रुटि के आकार से प्राप्त परिणाम का मूल्यांकन करते समय, एक आत्मविश्वास गुणांक का उपयोग किया जाता है, जो एक सही उत्तर की संभावना को निर्धारित करना संभव बनाता है, अर्थात यह इंगित करता है कि परिणामी नमूना त्रुटि वास्तविक त्रुटि से अधिक नहीं होगी निरंतर अवलोकन के परिणामस्वरूप किया गया। नतीजतन, आत्मविश्वास की संभावना में वृद्धि के साथ, विश्वास अंतराल की चौड़ाई बढ़ जाती है, जो बदले में, निर्णय के विश्वास को बढ़ाता है, प्राप्त परिणाम का समर्थन करता है।
विविधता श्रृंखला - एक श्रृंखला जिसमें उनकी तुलना की जाती है (आरोही या अवरोही क्रम में) विकल्पऔर उनके संबंधित आवृत्तियों
वेरिएंट एक विशेषता के अलग मात्रात्मक अभिव्यक्ति हैं। एक लैटिन अक्षर के साथ नामित वी . शब्द "संस्करण" की शास्त्रीय समझ यह मानती है कि किसी विशेषता के प्रत्येक अद्वितीय मान को एक प्रकार कहा जाता है, चाहे दोहराव की संख्या कुछ भी हो।
उदाहरण के लिए, दस रोगियों में मापा गया सिस्टोलिक रक्तचाप के संकेतकों की एक भिन्न श्रृंखला में:
110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;
केवल 6 मान विकल्प हैं:
110, 120, 130, 140, 160, 170.
फ़्रिक्वेंसी एक संख्या है जो दर्शाती है कि कोई विकल्प कितनी बार दोहराया जाता है। एक लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित पी . सभी आवृत्तियों का योग (जो, निश्चित रूप से, सभी अध्ययन की संख्या के बराबर है) को इस प्रकार दर्शाया गया है एन.
- हमारे उदाहरण में, फ़्रीक्वेंसी निम्नलिखित मानों पर आधारित होगी:
- वैरिएंट 110 फ़्रीक्वेंसी P = 1 के लिए (मान 110 एक मरीज़ में होता है),
- वैरिएंट 120 फ़्रीक्वेंसी P = 2 के लिए (मान 120 दो रोगियों में होता है),
- वैरिएंट के लिए 130 आवृत्ति पी = 3 (मूल्य 130 तीन रोगियों में होता है),
- वैरिएंट 140 फ़्रीक्वेंसी P = 2 के लिए (मान 140 दो रोगियों में होता है),
- संस्करण के लिए 160 आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 160 एक रोगी में होता है),
- संस्करण के लिए 170 आवृत्ति पी = 1 (मूल्य 170 एक रोगी में होता है),
विविधता श्रृंखला के प्रकार:
- सरल- यह एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक विकल्प केवल एक बार होता है (सभी आवृत्तियाँ 1 के बराबर होती हैं);
- निलंबित- एक श्रृंखला जिसमें एक या अधिक विकल्प बार-बार आते हैं।
विविधता श्रृंखला का उपयोग संख्याओं के बड़े सरणियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है; यह इस रूप में है कि अधिकांश चिकित्सा अध्ययनों के एकत्रित डेटा को शुरू में प्रस्तुत किया जाता है। भिन्नता श्रृंखला को चिह्नित करने के लिए, विशेष संकेतकों की गणना की जाती है, जिसमें औसत मूल्य, परिवर्तनशीलता के संकेतक (तथाकथित फैलाव), नमूना डेटा के प्रतिनिधित्व के संकेतक शामिल हैं।
विविधता श्रृंखला संकेतक
1) अंकगणित माध्य एक सामान्यीकरण संकेतक है जो अध्ययन किए गए गुण के आकार को दर्शाता है। अंकगणित माध्य को के रूप में दर्शाया गया है एम , औसत का सबसे सामान्य प्रकार है। अंकगणित माध्य की गणना अवलोकन की सभी इकाइयों के संकेतकों के मूल्यों के योग के अनुपात के रूप में की जाती है, जो सभी की जांच की जाती है। एक साधारण और भारित भिन्नता श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करने की विधि भिन्न होती है।
गणना के लिए सूत्र सरल अंकगणित माध्य:
गणना के लिए सूत्र भारित अंकगणित माध्य:
एम = (वी * पी) / एन
2) मोड - विविधता श्रृंखला का एक और औसत मूल्य, सबसे अधिक बार-बार दोहराए जाने वाले संस्करण के अनुरूप। या, इसे अलग तरीके से रखने के लिए, यह वह विकल्प है जो उच्चतम आवृत्ति से मेल खाता है। के रूप में नामित एमओ . बहुलक की गणना केवल भारित श्रृंखला के लिए की जाती है, क्योंकि साधारण श्रृंखला में कोई भी विकल्प दोहराया नहीं जाता है और सभी आवृत्तियां एक के बराबर होती हैं।
उदाहरण के लिए, हृदय गति मानों की विविधता श्रृंखला में:
80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;
मोड का मान 86 है, क्योंकि यह वैरिएंट 3 बार आता है, इसलिए इसकी आवृत्ति सबसे अधिक है।
3) माध्यिका - विकल्प का मान, भिन्नता श्रृंखला को आधे में विभाजित करना: इसके दोनों ओर समान संख्या में विकल्प होते हैं। माध्यिका, साथ ही अंकगणितीय माध्य और बहुलक, औसत मानों को संदर्भित करता है। के रूप में नामित मैं
4) मानक विचलन (समानार्थी शब्द: मानक विचलन, सिग्मा विचलन, सिग्मा) - भिन्नता श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का एक उपाय। यह एक अभिन्न संकेतक है जो एक प्रकार के विचलन के सभी मामलों को माध्य से जोड़ता है। वास्तव में, यह इस प्रश्न का उत्तर देता है: अंकगणित माध्य से विकल्प कितनी दूर और कितनी बार फैलते हैं। एक ग्रीक अक्षर द्वारा निरूपित σ ("सिग्मा").
जब जनसंख्या का आकार 30 इकाइयों से अधिक होता है, तो मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
छोटी आबादी के लिए - 30 अवलोकन इकाइयां या उससे कम - मानक विचलन की गणना एक अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
समूहीकरण विधि आपको मापने की अनुमति भी देती है उतार-चढ़ावसंकेतों की (परिवर्तनशीलता, उतार-चढ़ाव)। जनसंख्या इकाइयों की अपेक्षाकृत कम संख्या के साथ, भिन्नता को उन इकाइयों की श्रेणीबद्ध श्रृंखला के आधार पर मापा जाता है जो जनसंख्या का निर्माण करती हैं। पंक्ति कहा जाता है स्थान पर रहींयदि इकाइयों को आरोही (अवरोही) विशेषता में व्यवस्थित किया जाता है।
हालाँकि, जब भिन्नता की तुलनात्मक विशेषता की आवश्यकता होती है, तो क्रमबद्ध श्रृंखलाएँ सांकेतिक होती हैं। इसके अलावा, कई मामलों में बड़ी संख्या में इकाइयों से युक्त सांख्यिकीय समुच्चय से निपटना पड़ता है, जिन्हें एक विशिष्ट श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना व्यावहारिक रूप से कठिन होता है। इस संबंध में, सांख्यिकीय डेटा के साथ प्रारंभिक सामान्य परिचित के लिए और विशेष रूप से संकेतों की भिन्नता के अध्ययन की सुविधा के लिए, अध्ययन की गई घटनाओं और प्रक्रियाओं को आमतौर पर समूहों में जोड़ा जाता है, और समूहन के परिणाम समूह तालिकाओं के रूप में तैयार किए जाते हैं। .
यदि समूह तालिका में केवल दो स्तंभ हैं - चयनित विशेषता (विकल्प) और समूहों की संख्या (आवृत्तियों या आवृत्तियों) के अनुसार समूह, इसे कहा जाता है वितरण के निकट।
वितरण रेंज -एक विशेषता के अनुसार संरचनात्मक समूहन का सबसे सरल प्रकार, एक समूह तालिका में प्रदर्शित होता है जिसमें दो कॉलम होते हैं जिनमें विशेषता के वेरिएंट और आवृत्तियां होती हैं। कई मामलों में, ऐसे संरचनात्मक समूहन के साथ, अर्थात्। वितरण श्रृंखला के संकलन के साथ, प्रारंभिक सांख्यिकीय सामग्री का अध्ययन शुरू होता है।
वितरण श्रृंखला के रूप में संरचनात्मक समूहन को एक सच्चे संरचनात्मक समूह में बदल दिया जा सकता है यदि चयनित समूहों को न केवल आवृत्तियों द्वारा, बल्कि अन्य सांख्यिकीय संकेतकों द्वारा भी चित्रित किया जाता है। वितरण श्रृंखला का मुख्य उद्देश्य विशेषताओं की भिन्नता का अध्ययन करना है। वितरण श्रृंखला का सिद्धांत गणितीय आँकड़ों द्वारा विस्तार से विकसित किया गया है।
वितरण श्रृंखला में विभाजित हैं ठहराव(विशेषण विशेषताओं के आधार पर समूह बनाना, उदाहरण के लिए, लिंग, राष्ट्रीयता, वैवाहिक स्थिति, आदि द्वारा जनसंख्या का विभाजन) और परिवर्तन संबंधी(मात्रात्मक विशेषताओं द्वारा समूहीकरण)।
विविधता श्रृंखलाएक समूह तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं: एक मात्रात्मक विशेषता के अनुसार इकाइयों का समूह और प्रत्येक समूह में इकाइयों की संख्या। भिन्नता श्रृंखला में अंतराल आमतौर पर बराबर और बंद होते हैं। औसत प्रति व्यक्ति नकद आय (तालिका 3.10) के संदर्भ में भिन्नता श्रृंखला रूसी आबादी का निम्नलिखित समूह है।
तालिका 3.10
2004-2009 में औसत प्रति व्यक्ति आय के आधार पर रूस की जनसंख्या का वितरण
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जनसंख्या समूह औसत प्रति व्यक्ति नकद आय, रगड़/माह |
समूह में जनसंख्या, कुल के% में |
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8 000,1-10 000,0 |
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10 000,1-15 000,0 |
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15 000,1-25 000,0 |
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25,000.0 से अधिक |
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सभी जनसंख्या |
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परिवर्तनशील श्रृंखला, बदले में, असतत और अंतराल में विभाजित हैं। अलगविविधता श्रृंखला असतत सुविधाओं के वेरिएंट को जोड़ती है जो संकीर्ण सीमाओं के भीतर भिन्न होती हैं। असतत भिन्नता श्रृंखला का एक उदाहरण रूसी परिवारों का उनके बच्चों की संख्या के अनुसार वितरण है।
मध्यान्तरपरिवर्तनशील श्रृंखला या तो निरंतर विशेषताओं या असतत विशेषताओं के वेरिएंट को जोड़ती है जो एक विस्तृत श्रृंखला में बदलते हैं। अंतराल श्रृंखला औसत प्रति व्यक्ति नकद आय के संदर्भ में रूसी आबादी के वितरण की परिवर्तनशील श्रृंखला है।
असतत परिवर्तनशील श्रृंखला व्यवहार में बहुत बार उपयोग नहीं की जाती है। इस बीच, उन्हें संकलित करना मुश्किल नहीं है, क्योंकि समूहों की संरचना उन विशिष्ट रूपों द्वारा निर्धारित की जाती है जो वास्तव में अध्ययन की गई समूह विशेषताओं के पास होती हैं।
अंतराल भिन्नता श्रृंखला अधिक व्यापक हैं। उन्हें संकलित करने में, समूहों की संख्या के साथ-साथ स्थापित किए जाने वाले अंतरालों के आकार के बारे में कठिन प्रश्न उठता है।
इस मुद्दे को हल करने के सिद्धांत सांख्यिकीय समूहों के निर्माण के लिए कार्यप्रणाली पर अध्याय में निर्धारित किए गए हैं (पैराग्राफ 3.3 देखें)।
विविधता श्रृंखला विविध जानकारी को एक कॉम्पैक्ट रूप में संक्षिप्त या संपीड़ित करने का एक साधन है; अध्ययन के तहत सेट में शामिल घटनाओं के संकेतों में अंतर का अध्ययन करने के लिए, भिन्नता की प्रकृति के बारे में स्पष्ट रूप से स्पष्ट निर्णय लेने के लिए उनका उपयोग किया जा सकता है। लेकिन परिवर्तनशील श्रृंखला का सबसे महत्वपूर्ण महत्व यह है कि उनके आधार पर भिन्नता की विशेष सामान्यीकरण विशेषताओं की गणना की जाती है (अध्याय 7 देखें)।
परिवर्तन संबंधीमात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है। जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में मात्रात्मक विशेषताओं के मूल्य स्थिर नहीं होते हैं, कमोबेश एक दूसरे से भिन्न होते हैं।
उतार-चढ़ाव- उतार-चढ़ाव, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। अध्ययन की गई जनसंख्या में होने वाले लक्षण के पृथक संख्यात्मक मान कहलाते हैं विकल्पमूल्य। जनसंख्या के पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाता है।
भिन्नता की उपस्थिति विशेषता स्तर के गठन पर बड़ी संख्या में कारकों के प्रभाव के कारण होती है। ये कारक असमान बल के साथ और विभिन्न दिशाओं में कार्य करते हैं। विशेषता परिवर्तनशीलता के माप का वर्णन करने के लिए विविधता संकेतकों का उपयोग किया जाता है।
भिन्नता के सांख्यिकीय अध्ययन के कार्य:
- 1) जनसंख्या की अलग-अलग इकाइयों में संकेतों की भिन्नता की प्रकृति और डिग्री का अध्ययन;
- 2) जनसंख्या की कुछ विशेषताओं की भिन्नता में व्यक्तिगत कारकों या उनके समूहों की भूमिका का निर्धारण।
आंकड़ों में, संकेतकों की एक प्रणाली के उपयोग के आधार पर भिन्नता का अध्ययन करने के लिए विशेष विधियों का उपयोग किया जाता है, साथजिसके द्वारा भिन्नता को मापा जाता है।
भिन्नता का अध्ययन आवश्यक है। नमूना अवलोकन, सहसंबंध और विचरण विश्लेषण आदि करते समय विविधताओं का मापन आवश्यक है। एर्मोलेव ओ.यू. मनोवैज्ञानिकों के लिए गणितीय आँकड़े: पाठ्यपुस्तक [पाठ] / O.Yu. एर्मोलेव। - एम .: मॉस्को साइकोलॉजिकल एंड सोशल इंस्टीट्यूट, 2012 का फ्लिंट पब्लिशिंग हाउस। - 335p।
भिन्नता की डिग्री के अनुसार, कोई जनसंख्या की एकरूपता, विशेषताओं के व्यक्तिगत मूल्यों की स्थिरता और औसत की विशिष्टता का न्याय कर सकता है। उनके आधार पर, संकेतों के बीच संबंध की निकटता के संकेतक विकसित किए जाते हैं, चयनात्मक अवलोकन की सटीकता का आकलन करने के लिए संकेतक विकसित किए जाते हैं।
स्थान में भिन्नता है और समय में भिन्नता है।
अंतरिक्ष में भिन्नता को अलग-अलग क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाली जनसंख्या की इकाइयों में एक विशेषता के मूल्यों के उतार-चढ़ाव के रूप में समझा जाता है। समय में परिवर्तन के तहत विभिन्न अवधियों में विशेषता के मूल्यों में परिवर्तन का मतलब है।
वितरण श्रृंखला में भिन्नता का अध्ययन करने के लिए, विशेषता मानों के सभी प्रकारों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। इस प्रक्रिया को श्रृंखला रैंकिंग कहा जाता है।
भिन्नता के सबसे सरल संकेत हैं न्यूनतम और अधिकतम- समुच्चय में विशेषता का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्य। फीचर वैल्यू के अलग-अलग वेरिएंट की पुनरावृत्ति की संख्या को पुनरावृत्ति की आवृत्ति (फाई) कहा जाता है। आवृत्तियों के साथ आवृत्तियों को प्रतिस्थापित करना सुविधाजनक है - वाई। आवृत्ति - आवृत्ति का एक सापेक्ष संकेतक, जिसे एक इकाई या प्रतिशत के अंशों में व्यक्त किया जा सकता है और आपको भिन्नता श्रृंखला की तुलना विभिन्न टिप्पणियों के साथ करने की अनुमति देता है। सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया:
जहाँ Xmax, Xmin - समुच्चय में विशेषता का अधिकतम और न्यूनतम मान; n समूहों की संख्या है।
एक विशेषता की भिन्नता को मापने के लिए, विभिन्न निरपेक्ष और सापेक्ष संकेतकों का उपयोग किया जाता है। भिन्नता के निरपेक्ष संकेतकों में भिन्नता की सीमा, औसत रैखिक विचलन, विचरण, मानक विचलन शामिल हैं। उतार-चढ़ाव के सापेक्ष संकेतकों में दोलन का गुणांक, सापेक्ष रैखिक विचलन, भिन्नता का गुणांक शामिल है।
विविधता श्रृंखला खोजने का एक उदाहरण
व्यायाम।इस नमूने के लिए:
- ए) एक भिन्नता श्रृंखला खोजें;
- बी) वितरण समारोह का निर्माण;
संख्या = 42। नमूना आइटम:
1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2
समाधान।
- ए) एक क्रमबद्ध विविधता श्रृंखला का निर्माण:
- 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
- बी) एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण।
आइए स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके विविधता श्रृंखला में समूहों की संख्या की गणना करें:
आइए 7 के बराबर समूहों की संख्या लें।
समूहों की संख्या जानने के बाद, हम अंतराल के मूल्य की गणना करते हैं:
तालिका बनाने की सुविधा के लिए हम 8 के बराबर समूहों की संख्या लेंगे, अंतराल 1 होगा।
चावल। एक एक निश्चित अवधि के लिए स्टोर द्वारा माल की बिक्री की मात्रा
(एक परिवर्तनशील श्रृंखला की परिभाषा; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के घटक; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के तीन रूप; एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण की समीचीनता; निष्कर्ष जो निर्मित श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं)
एक परिवर्तनशील श्रृंखला गैर-घटते क्रम में व्यवस्थित नमूने के सभी तत्वों का एक क्रम है। वही तत्व दोहराए जाते हैं
भिन्नात्मक - ये मात्रात्मक आधार पर निर्मित श्रृंखलाएँ हैं।
विभिन्न वितरण श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: रूपांतर और आवृत्तियां:
वेरिएंट वितरण की विविधता श्रृंखला में मात्रात्मक विशेषता के संख्यात्मक मान हैं। वे सकारात्मक या नकारात्मक, पूर्ण या सापेक्ष हो सकते हैं। इसलिए, जब उद्यमों को आर्थिक गतिविधि के परिणामों के अनुसार समूहीकृत किया जाता है, तो विकल्प सकारात्मक होते हैं - यह लाभ है, और नकारात्मक संख्या - यह एक नुकसान है।
फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ निश्चित विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है और यह संपूर्ण जनसंख्या के तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है।
फ़्रीक्वेंसी वे फ़्रीक्वेंसी हैं जिन्हें सापेक्ष मूल्यों (इकाइयों या प्रतिशत के अंश) के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का योग एक या 100% के बराबर होता है। बारंबारताओं को बारंबारताओं से बदलने से विभिन्न संख्याओं के प्रेक्षणों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला की तुलना करना संभव हो जाता है।
विविधता श्रृंखला के तीन रूप हैं:क्रमबद्ध श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला।
एक क्रमबद्ध श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग मात्रात्मक डेटा को समूहों में विभाजित करना आसान बनाता है, तुरंत एक विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का पता लगाता है, उन मूल्यों को उजागर करता है जो सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।
विविधता श्रृंखला के अन्य रूप अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों में भिन्नता की प्रकृति के अनुसार संकलित समूह सारणी हैं। भिन्नता की प्रकृति से, असतत (असंतत) और निरंतर संकेत प्रतिष्ठित हैं।
एक असतत श्रृंखला एक ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला है, जिसका निर्माण एक असंतत परिवर्तन (असतत संकेत) वाले संकेतों पर आधारित होता है। उत्तरार्द्ध में टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि शामिल हैं। ये संकेत केवल कुछ निश्चित मानों की सीमित संख्या ले सकते हैं।
एक असतत विविधता श्रृंखला एक तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं। पहला कॉलम विशेषता के विशिष्ट मूल्य को इंगित करता है, और दूसरा - विशेषता के विशिष्ट मूल्य के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या।
यदि किसी चिन्ह में निरंतर परिवर्तन होता है (आय की राशि, कार्य अनुभव, किसी उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत, आदि, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मूल्य ले सकता है), तो इस संकेत के लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाई जानी चाहिए।
यहां समूह तालिका में भी दो स्तंभ हैं। पहला अंतराल "से - से" (विकल्प) में सुविधा के मूल्य को इंगित करता है, दूसरा - अंतराल (आवृत्ति) में शामिल इकाइयों की संख्या।
आवृत्ति (पुनरावृत्ति आवृत्ति) - विशेषता मानों के एक विशेष प्रकार के दोहराव की संख्या, निरूपित फाई, और अध्ययन की गई आबादी के आयतन के बराबर आवृत्तियों का योग, निरूपित
जहाँ k विशेषता मान विकल्पों की संख्या है
बहुत बार, तालिका को एक स्तंभ के साथ पूरक किया जाता है जिसमें संचित आवृत्तियों एस की गणना की जाती है, जो दर्शाती है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का एक विशेषता मान इस मान से अधिक नहीं है।
एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूह एक विशेषता के अनुसार बनाए जाते हैं जो अलग-अलग होते हैं और केवल पूर्णांक मान लेते हैं।
वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूहीकरण विशेषता, जो समूहीकरण का आधार बनती है, एक निश्चित अंतराल में भिन्नात्मक सहित कोई भी मान ले सकती है।
एक अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की भिन्नता के अंतराल का एक क्रमबद्ध सेट है जिसमें उनमें से प्रत्येक में गिरने वाली मात्रा के मूल्यों की संबंधित आवृत्तियों या आवृत्तियों के साथ होता है।
एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना समीचीन है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक असतत भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला में प्रकट होती है, अर्थात। असतत सुविधा के लिए विकल्पों की संख्या काफी बड़ी है।
इस श्रृंखला से पहले ही कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक भिन्नता श्रृंखला (माध्यिका) का औसत तत्व माप के सबसे संभावित परिणाम का अनुमान हो सकता है। परिवर्ती श्रेणी का पहला और अंतिम तत्व (अर्थात नमूने का न्यूनतम और अधिकतम तत्व) नमूने के तत्वों के प्रसार को दर्शाता है। कभी-कभी, यदि पहला या अंतिम तत्व बाकी नमूने से बहुत अलग होता है, तो उन्हें माप परिणामों से बाहर रखा जाता है, यह देखते हुए कि ये मान किसी प्रकार की सकल विफलता के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए थे, उदाहरण के लिए, प्रौद्योगिकी।
