चार रूपों में एक सीधी रेखा का समीकरण। एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक दिशा वेक्टर तक जाने वाली सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है मैंकेवल तभी जब सदिश और संरेखी हों, अर्थात्, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनतथा पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश अशून्य है, तो सभी संख्याएँ एम , एनतथा पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि कुल्हाड़ियों पर वेक्टर के अनुमान ओएतथा आउंसशून्य के बराबर हैं। इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दी गई सदिश और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएतथा आउंस, यानी विमान योज़ .

उदाहरण 1समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें और अक्ष के साथ इस विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए आउंस .

समाधान। अक्ष के साथ दिए गए समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आउंस. चूंकि अक्ष पर कोई बिंदु आउंस, निर्देशांक है, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए एक्स = वाई = 0, हमें 4 . प्राप्त होता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2। इसलिए, दिए गए समतल का अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक हैं (0; 0; 2)। चूंकि वांछित रेखा तल के लंबवत है, इसलिए यह अपने सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सामान्य वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में काम कर सकता है विमान दिया।

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में :

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर पड़े दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है तथा इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2बिंदुओं से होकर जाने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान। हम सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं:

.

चूँकि , तब वांछित रेखा अक्ष के लंबवत होती है ओए .

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और, यानी, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में।

निकाय के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों की रचना करें

समाधान। एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखने के लिए या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखने के लिए, आपको सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। वे किन्हीं दो समन्वय विमानों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं, उदाहरण के लिए योज़तथा xOz .

समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु योज़एब्सिस्सा है एक्स= 0। इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0 , हमें दो चरों वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय आप = 2 , जेड= 6 साथ में एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित रेखा का। समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें आप= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में आप= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल वाली रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हर को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

बिंदु K(x 0; y 0) से होकर जाने वाली रेखा और रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

वाई - वाई 0 \u003d के (एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा के समानांतर Ax+By+C=0 को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 । (2)

बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए। ;) रेखा y = . के समानांतर एक्स + .

उदाहरण 1। बिंदु M 0 (-2.1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें और उसी समय:
ए) सीधी रेखा के समानांतर 2x+3y -7 = 0;
ख) रेखा 2x+3y -7 = 0 के लंबवत।
समाधान . आइए ढलान समीकरण को y = kx + a के रूप में प्रस्तुत करें। ऐसा करने के लिए, हम y को छोड़कर सभी मानों को दाईं ओर स्थानांतरित करेंगे: 3y = -2x + 7 । फिर हम दाईं ओर को गुणांक 3 से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं: y = -2/3x + 7/3
सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7/3 के समानांतर बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाला समीकरण NK ज्ञात कीजिए।
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:
वाई-1 = -2 / 3 (एक्स-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण # 2। सीधी रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए और निर्देशांक अक्षों को मिलाकर एक ऐसा त्रिभुज बनाइए जिसका क्षेत्रफल 5 हो।
समाधान . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b उसके पैर हैं। निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। क्षेत्र के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें: . हमें दो हल मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y - 10 = 0।

उदाहरण #3। बिंदु (-2; 5) और समांतर रेखा 5x-7y-4=0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।
समाधान। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 ।

उदाहरण # 4। उदाहरण 3 को हल करना (A=5, B=-7) सूत्र (2) का उपयोग करके, हम पाते हैं 5(x+2)-7(y-5)=0.

उदाहरण संख्या 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और एक समानांतर सीधी रेखा 7x+10=0 का समीकरण लिखिए।
समाधान। यहां ए = 7, बी = 0। फॉर्मूला (2) देता है 7(x+2)=0, यानी। एक्स+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है)।

मान लीजिए कि सीधी रेखा बिंदुओं M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है y- y 1 \u003d क (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ पे क - अभी भी अज्ञात गुणांक।

चूंकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, इसलिए इस बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण (10.6): y 2 -y 1 \u003d को पूरा करना चाहिए क (एक्स 2-एक्स 1)।

यहाँ से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए पाते हैं क समीकरण (10.6) में, हम बिंदुओं M 1 और M 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 x 2, y 1 y 2

यदि x 1 \u003d x 2, तो बिंदु M 1 (x 1, y I) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 \u003d y I, तो सीधी रेखा के समीकरण को y \u003d y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 x-अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लें कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a; 0) पर और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0; b) पर काटती है। समीकरण रूप लेगा:
वे।
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करते हैं कि कौन सी रेखाएं समन्वय अक्षों पर सीधी रेखा काटती हैं.

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

आइए किसी दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत है।

सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात,

ए (एक्स - एक्सओ) + बी (वाई - यो) = 0। (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण .

वेक्टर n = (ए; बी) रेखा के लंबवत को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को फिर से लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)

जहाँ A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C \u003d -Ax o - Vu o - मुक्त सदस्य। समीकरण (10.9) एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।

Fig.1 Fig.2

सीधी रेखा के विहित समीकरण

,

कहाँ पे
उस बिंदु के निर्देशांक हैं जिससे होकर रेखा गुजरती है, और
- दिशा वेक्टर।

दूसरे क्रम के वक्र वृत्त

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या के एक वृत्त का विहित समीकरण आर एक बिंदु पर केंद्रित
:

विशेष रूप से, यदि हिस्सेदारी का केंद्र मूल के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग तथा , जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है
, foci . के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका फॉसी ऑक्स अक्ष पर स्थित है और जिसका मूल फॉसी के बीच में है, का रूप है
जी डेएक प्रमुख अर्ध-अक्ष की लंबाई;बी लघु अर्धअक्ष की लंबाई है (चित्र 2)।

एक विमान पर एक रेखा का समीकरण।

जैसा कि ज्ञात है, समतल पर किसी भी बिंदु को किसी समन्वय प्रणाली में दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। आधार और उत्पत्ति की पसंद के आधार पर समन्वय प्रणाली भिन्न हो सकती है।

परिभाषा। रेखा समीकरणइस रेखा को बनाने वाले बिंदुओं के निर्देशांकों के बीच संबंध y = f(x) है।

ध्यान दें कि रेखा समीकरण को पैरामीट्रिक तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक निर्देशांक को कुछ स्वतंत्र पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है टी.

एक विशिष्ट उदाहरण एक चलती बिंदु का प्रक्षेपवक्र है। इस मामले में, समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है।

एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा। समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए, बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, अर्थात। ए 2 + बी 2  0. इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

सी \u003d 0, ए 0, बी  0 - रेखा मूल से गुजरती है

ए \u003d 0, बी  0, सी 0 (बाय + सी \u003d 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0, ए 0, सी  0 ( कुल्हाड़ी + सी \u003d 0) - रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0, ए 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए \u003d सी \u003d 0, बी 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

किसी दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा। एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई रेखा के लंबवत है।

उदाहरण।सदिश के लंबवत बिंदु A (1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए (3, -1).

आइए हम A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C को खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

हमें मिलता है: 3 - 2 + सी \u003d 0, इसलिए सी \u003d -1।

कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

एक तल पर, ऊपर लिखी गई एक सीधी रेखा का समीकरण सरल होता है:

यदि x 1 x 2 और x \u003d x 1, यदि x 1 \u003d x 2।

अंश
=k कहा जाता है ढलान कारकसीधा।

उदाहरण।बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा Ax + Vy + C = 0 का सामान्य समीकरण रूप की ओर ले जाता है:

और नामित करें
, तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु पर एक सीधी रेखा का समीकरण और एक निर्देशन वेक्टर।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करते हुए बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशन वेक्टर में प्रवेश कर सकते हैं।

परिभाषा। प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर ( 1 ,  2), जिसके घटक A 1 + B 2 = 0 शर्त को पूरा करते हैं, रेखा का निर्देशन सदिश कहलाते हैं

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण।एक दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण खोजें (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरते हुए।

हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1A + (-1)B = 0, अर्थात्। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C/A = 0।

x = 1, y = 2 पर हमें С/A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात्। वांछित समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C 0, तो –C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

, कहाँ पे

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक एक x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x - y + 1 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए। खंडों में इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1,
, ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को कुल्हाड़ी + वाई + सी = 0 संख्या से विभाजित किया जाता है
, जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcos + ysin - p = 0 -

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

सामान्यीकरण कारक के चिह्न को चुना जाना चाहिए ताकि< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा पर गिराए गए लंब की लंबाई है, और  इस लंब द्वारा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण है।

उदाहरण।रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरणों को लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण।सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खण्डों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है:
, ए = बी = 1; एबी/2 = 8; ए = 4; -चार।

a = -4 समस्या की स्थिति के अनुकूल नहीं है।

कुल:
या एक्स + वाई - 4 = 0।

उदाहरण।बिंदु A (-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है:
, जहाँ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; एक्स 2 \u003d -2; वाई 2 \u003d -3।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा। यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

.

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 ।

दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/k 2 ।

प्रमेय। सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C = 0 और A 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 समांतर होते हैं जब गुणांक A समानुपाती होता है 1 =  ए, बी 1 =  B. यदि भी C 1 =  सी, तो रेखाएं मेल खाती हैं।

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत।

परिभाषा। बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।

प्रमेय। यदि एक बिंदु M(x .) 0 , आप 0 ), तो रेखा Ax + Vy + C = 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

सबूत। मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है।

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण।रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3x + 7; वाई = 2x + 1।

के 1 \u003d -3; कश्मीर 2 = 2tg =
; = /4.

उदाहरण।दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण।त्रिभुज A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी।

कश्मीर = . फिर वाई =
. इसलिये ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
जहां से बी = 17. कुल:
.

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

अंतरिक्ष में रेखा समीकरण।

एक बिंदु द्वारा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण और

दिशा वेक्टर।

एक मनमाना रेखा और एक वेक्टर लें (एम, एन, पी) दी गई रेखा के समानांतर। वेक्टर बुलाया गाइड वेक्टरसीधा।

आइए दो मनमाना बिंदु M 0 (x 0 , y 0 , z 0) और M(x, y, z) सीधी रेखा पर लें।

जेड

एम1

आइए हम इन बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को निरूपित करें: तथा , यह स्पष्ट है कि - =
.

इसलिये वैक्टर
तथा संरेख हैं, तो संबंध सत्य है
= टी, जहां टी कुछ पैरामीटर है।

कुल मिलाकर, हम लिख सकते हैं: = + टी।

इसलिये यह समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, तो परिणामी समीकरण होता है एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण.

इस सदिश समीकरण को निर्देशांक रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रणाली को बदलने और पैरामीटर टी के मूल्यों की बराबरी करते हुए, हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं:

.

परिभाषा। दिशा कोज्याप्रत्यक्ष वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं , जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है:

;

.

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं: m: n: p = cos : cos : cos।

संख्याएँ m, n, p कहलाती हैं ढलान कारकसीधा। इसलिये एक गैर-शून्य वेक्टर है, एम, एन और पी एक ही समय में शून्य नहीं हो सकते हैं, लेकिन इनमें से एक या दो संख्याएं शून्य हो सकती हैं। इस मामले में, एक सीधी रेखा के समीकरण में, संबंधित अंशों को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए।

अंतरिक्ष से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

दो बिंदुओं के माध्यम से।

यदि दो मनमाना बिंदु M1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा पर चिह्नित किया जाता है, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए ऊपर प्राप्त सीधी रेखा:

.

इसके अलावा, बिंदु M 1 के लिए हम लिख सकते हैं:

.

इन समीकरणों को एक साथ हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

यह अंतरिक्ष में दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण।

एक सीधी रेखा के समीकरण को दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा का समीकरण माना जा सकता है।

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, समीकरण द्वारा वेक्टर रूप में एक विमान दिया जा सकता है:

+ डी = 0, जहां

- सामान्य विमान; - विमान के एक मनमाना बिंदु का त्रिज्या-सदिश।

यह लेख एक समतल पर स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति का खुलासा करता है। हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरण दिखाएंगे और हल करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक अभिगृहीत है जो कहता है कि एक समतल पर दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक। दूसरे शब्दों में, समतल के दो दिए गए बिंदु इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा निर्धारित होते हैं।

यदि समतल को आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सी द्वारा दिया गया है, तो इसमें दर्शाई गई कोई भी सीधी रेखा समतल पर सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के साथ भी एक संबंध है।ये आंकड़े दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को तैयार करने के लिए पर्याप्त हैं।

इसी तरह की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में स्थित दो बेमेल बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करना आवश्यक है।

एक विमान पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण में, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y के रूप में, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को एक सीधी रेखा के साथ निर्दिष्ट किया जाता है जो निर्देशांक M के साथ एक बिंदु पर इसके साथ प्रतिच्छेद करता है। 1 (x 1, y 1) गाइड वेक्टर a → = (a x , a y) के साथ।

सीधी रेखा a के विहित समीकरण की रचना करना आवश्यक है, जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरेगा।

सीधी रेखा a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक निर्देशन वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदुओं M 1 और M 2 को प्रतिच्छेद करता है। दिशा वेक्टर एम 1 एम 2 → = (एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1) के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए हमने आवश्यक डेटा प्राप्त किया है और उन पर स्थित बिंदुओं एम 1 के निर्देशांक (एक्स 1, वाई 1) और एम 2 (एक्स 2, वाई 2)। हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

गणनाओं के बाद, हम एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण को एक समतल में लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरता है। हमें x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) या x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) का समीकरण मिलता है। वाई \u003d वाई 2 + (वाई 2 - वाई 1) ।

आइए कुछ उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 के साथ दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

निर्देशांक x 1 , y 1 और x 2 , y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 है। समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। यहाँ से हम पाते हैं कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेगा।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6।

यदि किसी भिन्न प्रकार के समीकरण के साथ किसी समस्या को हल करना आवश्यक है, तो शुरुआत के लिए आप विहित पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य के पास आना आसान है।

उदाहरण 2

O x y निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें।

समाधान

सबसे पहले आपको दी गई रेखा के विहित समीकरण को लिखने की जरूरत है जो दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

हम विहित समीकरण को वांछित रूप में लाते हैं, फिर हम प्राप्त करते हैं:

x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

उत्तर:एक्स - 3 वाई + 2 = 0।

बीजगणित पाठों में स्कूली पाठ्यपुस्तकों में ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर विचार किया गया था। स्कूल के कार्य इस मायने में भिन्न थे कि ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण को y \u003d k x + b के रूप में जाना जाता था। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिस पर समीकरण y \u003d k x + b, O x y प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M से होकर गुजरती है। 2 (x 2, y 2) , जहां x 1 x 2 । जब x 1 = x 2 , तो ढलान अनंत के मान पर ले जाता है, और सीधी रेखा एम 1 एम 2 को फॉर्म के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है x - x 1 = 0 .

क्योंकि डॉट्स एम 1तथा एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। k और b के सन्दर्भ में समीकरण y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b के निकाय को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, हम k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x पाते हैं। 1 बी \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ।

k और b के ऐसे मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2।

इतनी बड़ी संख्या में सूत्र एक साथ याद करने से काम नहीं चलेगा। ऐसा करने के लिए, समस्याओं को हल करने में दोहराव की संख्या में वृद्धि करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम एक ढलान के साथ एक सूत्र का उपयोग करते हैं जिसका रूप y \u003d k x + b है। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए कि यह समीकरण M 1 (- 7 , - 5) और M 2 (2 , 1) निर्देशांक के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के संगत हो।

अंक एम 1तथा एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित है, तो उनके निर्देशांक समीकरण y = k x + b को सही समानता में उलट देना चाहिए। यहाँ से हम पाते हैं कि - 5 = k · (- 7) + b और 1 = k · 2 + b। आइए समीकरण को सिस्टम में जोड़ते हैं - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर, हम पाते हैं कि

5 = के - 7 + बी 1 = के 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 बी = - 5 + 7 k k = 2 3 b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 b = - 1 3 k = 2 3

अब k = 2 3 और b = - 1 3 के मानों को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला वांछित समीकरण एक समीकरण होगा जिसका रूप y = 2 3 x - 1 3 होगा।

हल करने का यह तरीका बड़ी मात्रा में समय के व्यय को पूर्व निर्धारित करता है। एक तरीका है जिसमें कार्य को दो चरणों में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है।

हम एम 2 (2, 1) और एम 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) के रूप में लिखते हैं। ) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6।

अब चलो ढलान समीकरण पर चलते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3।

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3।

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है जिसमें निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ दो गैर-संयोग बिंदु दिए गए हैं, तो सीधी रेखा M उनके बीच से गुजरती है 1 M 2 , इस रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण हैं और x = x 1 + a x y = y 1 + a y z = z 1 + के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। a z O x y z निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देश सदिश a → = (a x, a y, a z) के साथ निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा सेट करने में सक्षम हैं।

सीधे एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा वेक्टर है, जहां रेखा बिंदु M 1 (x 1 , y 1 , z) से होकर गुजरती है। 1) और एम 2 (x 2, y 2, z 2), इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z के रूप में हो सकता है 2 - z 1 या x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, बदले में, पैरामीट्रिक x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) z = z 1 + (z 2 - z 1) या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) ।

एक आकृति पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाती है।

उदाहरण 4

दिए गए दो बिंदुओं से निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, -5 ) .

समाधान

हमें विहित समीकरण खोजने की जरूरत है। चूँकि हम त्रिविमीय समष्टि के बारे में बात कर रहे हैं, इसका अर्थ है कि जब एक सीधी रेखा दिए गए बिंदुओं से गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = का रूप लेगा। जेड - जेड 1 जेड 2 - जेड 1।

शर्त के अनुसार, हमारे पास x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 है। यह इस प्रकार है कि आवश्यक समीकरण निम्नानुसार लिखे जा सकते हैं:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5।

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