भिन्नता विधि का उपयोग करके विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना। एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि के उदाहरण

मनमाना nवें क्रम के निरंतर गुणांक वाले एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
किसी स्थिरांक की भिन्नता की विधि, जिसे हमने प्रथम-क्रम समीकरण के लिए माना है, उच्च-क्रम समीकरणों के लिए भी लागू होती है।

समाधान दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, हम दाहिने पक्ष को हटा देते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें n मनमाना स्थिरांक वाला एक समाधान प्राप्त होता है। दूसरे चरण में हम स्थिरांक बदलते हैं। अर्थात्, हम मानते हैं कि ये स्थिरांक स्वतंत्र चर x के फलन हैं और इन फलनों का रूप ज्ञात करते हैं।

यद्यपि हम यहां स्थिर गुणांक वाले समीकरणों पर विचार कर रहे हैं, लेकिन लैग्रेंज की विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए भी लागू होती है. हालाँकि, इसके लिए सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली ज्ञात होनी चाहिए।

चरण 1. सजातीय समीकरण को हल करना

जैसा कि प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले में होता है, हम सबसे पहले सजातीय समीकरण के लिए एक सामान्य समाधान की तलाश करते हैं, जिसमें दाहिने हाथ के अमानवीय पक्ष को शून्य के बराबर किया जाता है:
(2) .
इस समीकरण का सामान्य समाधान है:
(3) .
यहां मनमाना स्थिरांक हैं; - n सजातीय समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, जो इस समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

चरण 2. स्थिरांकों का परिवर्तन - स्थिरांकों को फलनों से बदलना

दूसरे चरण में हम स्थिरांकों की भिन्नता से निपटेंगे। दूसरे शब्दों में, हम स्थिरांकों को स्वतंत्र चर x के फलनों से प्रतिस्थापित करेंगे:
.
यानी, हम मूल समीकरण (1) का समाधान निम्नलिखित रूप में ढूंढ रहे हैं:
(4) .

यदि हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें n कार्यों के लिए एक अंतर समीकरण मिलता है। इस स्थिति में, हम इन कार्यों को अतिरिक्त समीकरणों से जोड़ सकते हैं। फिर आपको n समीकरण मिलते हैं जिनसे n फ़ंक्शन निर्धारित किए जा सकते हैं। अतिरिक्त समीकरण विभिन्न तरीकों से लिखे जा सकते हैं। लेकिन हम ऐसा करेंगे ताकि समाधान का रूप सबसे सरल हो. ऐसा करने के लिए, विभेदित करते समय, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न वाले शब्दों को शून्य के बराबर करना होगा। आइए इसे प्रदर्शित करें।

प्रस्तावित समाधान (4) को मूल समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के लिए, हमें फॉर्म (4) में लिखे गए फ़ंक्शन के पहले एन ऑर्डर के डेरिवेटिव ढूंढने की आवश्यकता है। हम (4) का उपयोग करके अंतर करते हैं योगों में अंतर करने के नियमऔर काम करता है:
.
आइए सदस्यों को समूहित करें। सबसे पहले, हम के व्युत्पन्न वाले पदों को लिखते हैं, और फिर इसके व्युत्पन्न वाले पदों को लिखते हैं:

.
आइए फ़ंक्शंस पर पहली शर्त लागू करें:
(5.1) .
फिर पहले व्युत्पन्न के संबंध में अभिव्यक्ति का एक सरल रूप होगा:
(6.1) .

उसी विधि का उपयोग करके, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

.
आइए फ़ंक्शंस पर दूसरी शर्त लगाएं:
(5.2) .
तब
(6.2) .
और इसी तरह। अतिरिक्त स्थितियों में, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न वाले पदों को शून्य के बराबर करते हैं।

इस प्रकार, यदि हम कार्यों के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त समीकरण चुनते हैं:
(5.k) ,
तो पहले व्युत्पन्न के संबंध में सबसे सरल रूप होगा:
(6.k) .
यहाँ ।

nवाँ व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए:
(6.एन)
.

मूल समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें:
(1) ;






.
आइए हम इस बात को ध्यान में रखें कि सभी फ़ंक्शन समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं:
.
तब युक्त पदों का योग शून्य देता है। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:
(7) .

परिणामस्वरूप, हमें डेरिवेटिव के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.एन-1) ;
(7′) .

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम x के फलन के रूप में अवकलजों के लिए व्यंजक पाते हैं। एकीकृत करने पर, हमें मिलता है:
.
यहां वे स्थिरांक हैं जो अब x पर निर्भर नहीं हैं। (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मूल समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त होता है।

ध्यान दें कि डेरिवेटिव के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हमने कभी भी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया है कि गुणांक ए मैं स्थिर हैं। इसीलिए लैग्रेंज की विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए लागू होती है, यदि सजातीय समीकरण (2) के समाधान की मौलिक प्रणाली ज्ञात है।

उदाहरण

स्थिरांकों की भिन्नता की विधि (लैग्रेंज) का उपयोग करके समीकरणों को हल करें।

मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि

एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के समाधान के निर्माण के लिए मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि

ए एन (टी)जेड (एन) (टी) + ए एन − 1 (टी)जेड (एन − 1) (टी) + ... + ए 1 (टी)जेड"(टी) + ए 0 (टी)जेड(टी) = एफ(टी)

इसमें मनमाना स्थिरांकों को प्रतिस्थापित करना शामिल है सी कसामान्य समाधान में

जेड(टी) = सी 1 जेड 1 (टी) + सी 2 जेड 2 (टी) + ... + सी एन जेड एन (टी)

संगत सजातीय समीकरण

ए एन (टी)जेड (एन) (टी) + ए एन − 1 (टी)जेड (एन − 1) (टी) + ... + ए 1 (टी)जेड"(टी) + ए 0 (टी)जेड(टी) = 0

सहायक कार्यों के लिए सी क (टी) , जिसके व्युत्पन्न रैखिक बीजगणितीय प्रणाली को संतुष्ट करते हैं

सिस्टम का निर्धारक (1) फ़ंक्शंस का व्रोनस्कियन है जेड 1 ,जेड 2 ,...,जेड एन , जो इसके संबंध में इसकी अद्वितीय सॉल्वेबिलिटी सुनिश्चित करता है।

यदि एकीकरण स्थिरांक के निश्चित मूल्यों पर लिए गए एंटीडेरिवेटिव हैं, तो फ़ंक्शन

मूल रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का एक समाधान है। संगत सजातीय समीकरण के एक सामान्य समाधान की उपस्थिति में एक अमानवीय समीकरण का एकीकरण इस प्रकार चतुर्भुजों में कम हो जाता है।

वेक्टर सामान्य रूप में रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के निर्माण के लिए मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि

इसमें फॉर्म में एक विशेष समाधान (1) का निर्माण शामिल है

कहाँ जेड(टी) एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे गए संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान का आधार है, और वेक्टर फ़ंक्शन, जिसने मनमाना स्थिरांक के वेक्टर को प्रतिस्थापित किया है, संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। आवश्यक विशेष समाधान (शून्य प्रारंभिक मानों के साथ)। टी = टी 0 जैसा दिखता है

स्थिर गुणांक वाले सिस्टम के लिए, अंतिम अभिव्यक्ति को सरल बनाया गया है:

आव्यूह जेड(टी)जेड- 1 (τ)बुलाया कॉची मैट्रिक्सऑपरेटर एल = ए(टी) .

बाहरी संबंध

• exponenta.ru - उदाहरणों के साथ सैद्धांतिक जानकारी

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

आइए हम फॉर्म के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों पर विचार करें

कहाँ - तर्क का आवश्यक कार्य , और कार्य



दिए गए हैं और एक निश्चित अंतराल पर निरंतर हैं
.

आइए हम एक रैखिक सजातीय समीकरण पर विचार करें, जिसका बायाँ पक्ष अमानवीय समीकरण (2.31) के बाएँ पक्ष से मेल खाता है,

(2.32) रूप का एक समीकरण कहा जाता है अमानवीय समीकरण के अनुरूप सजातीय समीकरण (2.31).

निम्नलिखित प्रमेय अमानवीय रैखिक समीकरण (2.31) के सामान्य समाधान की संरचना के बारे में बताता है।

प्रमेय 2.6.क्षेत्र में रैखिक अमानवीय समीकरण (2.31) का सामान्य समाधान

इसके किसी विशेष समाधान का योग और डोमेन (2.33) में संबंधित सजातीय समीकरण (2.32) का सामान्य समाधान है, अर्थात।

कहाँ - समीकरण का विशेष समाधान (2.31),
सजातीय समीकरण (2.32) के समाधान की मूलभूत प्रणाली है, और
- मनमाना स्थिरांक.

इस प्रमेय का प्रमाण आपको इसमें मिलेगा।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके, हम एक ऐसी विधि की रूपरेखा तैयार करेंगे जिसके द्वारा कोई रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान पा सकता है। इस विधि को कहा जाता है मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की लैग्रेंज विधि.

तो, आइए हमें एक अमानवीय रैखिक समीकरण दिया जाए

(2.35)

गुणांक कहां हैं
और दाहिनी ओर
कुछ अंतराल में निरंतर
.

आइए हम इसे निरूपित करें
और
सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली

(2.36)

तब उसका सामान्य समाधान रूप होता है

(2.37)

कहाँ और - मनमाना स्थिरांक.

हम समीकरण (2.35) का हल उसी रूप में खोजेंगे , साथ ही संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान, मनमाना स्थिरांक को कुछ भिन्न कार्यों के साथ प्रतिस्थापित करना (हम मनमाने स्थिरांक बदलते हैं),वे।

कहाँ
और
- से कुछ भिन्न कार्य , जो अभी भी अज्ञात हैं और जिन्हें हम निर्धारित करने का प्रयास करेंगे ताकि फ़ंक्शन (2.38) अमानवीय समीकरण (2.35) का समाधान हो। समानता के दोनों पक्षों (2.38) को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

ताकि गणना करते समय के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न
और
, हमें हर जगह इसकी आवश्यकता है
शर्त पूरी की गई

फिर के लिए होगा

आइए दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें

के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रतिस्थापित करना ,,(2.38), (2.40), (2.41) से समीकरण (2.35) में, हम प्राप्त करते हैं

वर्गाकार कोष्ठकों में भाव हर जगह शून्य के बराबर हैं
, क्योंकि और - समीकरण का आंशिक समाधान (2.36)। इस मामले में, (2.42) इस स्थिति को शर्त (2.39) के साथ जोड़कर रूप लेगा, हमें निर्धारण के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है
और

(2.43)

अंतिम प्रणाली दो बीजगणितीय रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली है
और
. इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है ,और, इसलिए, हर जगह शून्येतर है
. इसका मतलब है कि सिस्टम (2.43) का एक अनूठा समाधान है। इसे किसी भी तरह से अपेक्षाकृत हल करके
,
हम ढूंढ लेंगे

कहाँ
और
- ज्ञात कार्य।

एकीकरण करना और उसे ध्यान में रखना
,
हमें कार्यों की एक जोड़ी लेनी चाहिए और एकीकरण स्थिरांक को शून्य के बराबर सेट करना चाहिए। हम पाते हैं

व्यंजकों (2.44) को संबंध (2.38) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम अमानवीय समीकरण (2.35) का वांछित समाधान इस रूप में लिख सकते हैं

रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने के लिए इस विधि को सामान्यीकृत किया जा सकता है -वाँ क्रम.

उदाहरण 2.6. प्रश्न हल करें
पर
यदि कार्य करता है

संगत सजातीय समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाएं।

आइए इस समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, लैग्रेंज विधि के अनुसार, हमें पहले सिस्टम (2.43) को हल करना होगा, जो हमारे मामले में फॉर्म है
प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को कम करना हम पाते हैं

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण के पद दर पद घटाने पर, हम पाते हैं
और फिर पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है
एकीकरण निष्पादित करना और एकीकरण स्थिरांक को शून्य पर सेट करना, हमारे पास होगा

इस समीकरण का एक विशेष समाधान इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

इस समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार है

कहाँ और - मनमाना स्थिरांक.

अंत में, आइए हम एक उल्लेखनीय गुण पर ध्यान दें, जिसे अक्सर समाधानों के सुपरपोजिशन का सिद्धांत कहा जाता है और इसे निम्नलिखित प्रमेय द्वारा वर्णित किया गया है।

प्रमेय 2.7.यदि बीच में
समारोह
- समीकरण फ़ंक्शन का विशेष समाधान
समान अंतराल पर समीकरण का एक विशेष समाधान फलन है
समीकरण का एक विशेष समाधान है

सामान्य समाधान y'' + (x) y' + (x) y = f (x) खोजने के लिए, एक विशेष समाधान खोजना आवश्यक है।

इसे समीकरण y'' + (x) y' + (x) y = 0 के सामान्य समाधान से मनमाना स्थिरांक के कुछ बदलावों से पाया जा सकता है

आइए (5.1) में स्थानापन्न करें

+ + + + (x) + +

(एक्स) + = एफ (एक्स)

+ + + + (x) +

(एक्स) + = एफ (एक्स)

एकीकरण से हम पाते हैं और

फिर, सूत्र (5.6) का उपयोग करके, हम एक सामान्य समाधान बनाते हैं

प्रमेय (5.2): o समाधान का अधिरोपण

यदि समीकरण y'' + (x) y' + (x) y = f (x) का दायां पक्ष 2 कार्यों का योग है:

एफ(एक्स) = (एक्स) + (एक्स) ,

और यू समीकरण का एक विशेष समाधान है

+ (एक्स) वाई ' + (एक्स) वाई = (एक्स)

+ (एक्स) वाई ' + (एक्स) वाई = (एक्स)

यही कार्य है

इस समीकरण का हल है

() '' + ) ' + ) '= '' + + + () '' + ) ' + = (x) + (x) = f(x)

10. बर्नौली का समीकरण.

11. रिकाती समीकरण:

रिकाती समीकरणसबसे दिलचस्प में से एक है प्रथम कोटि के अरैखिक अवकल समीकरण. यह इस रूप में लिखा गया है:

कहाँ ए(एक्स), बी(एक्स), सी(एक्स) - चर के आधार पर निरंतर कार्य एक्स.

रिकाटी समीकरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों (उदाहरण के लिए, बीजगणितीय ज्यामिति और अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत) और भौतिकी में पाया जाता है। यह प्रायः व्यावहारिक गणितीय समस्याओं में भी उत्पन्न होता है।

उपरोक्त समीकरण कहा जाता है सामान्य रिकाटी समीकरण. उनका समाधान निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है:

प्रमेय: यदि कोई विशेष समाधान ज्ञात हो यरिकाती समीकरण का 1, तो इसका सामान्य समाधान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

वास्तव में, समाधान को प्रतिस्थापित करना य = य 1 + यूरिकाटी समीकरण में, हमारे पास है:

बायीं और दायीं ओर रेखांकित शब्दों को संक्षिप्त किया जा सकता है क्योंकि य 1 एक विशेष समाधान है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है यू(एक्स):

रिकाटी का दूसरा संस्करण (उनमें से केवल एक लिखें)

सामान्य तौर पर, चतुर्भुज में एकीकृत नहीं है

हालाँकि, यदि एक विशेष समाधान ज्ञात है, तो रिकाती समीकरण को बर्नौली समीकरण में घटाया जा सकता है

ऐसा करने के लिए, आइए एक प्रतिस्थापन करें:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0

एन=2 Bernoulli

12. लैग्रेंज समीकरण.:

13. क्लैरौट समीकरण:

14. पहले से उच्चतर क्रम के विभेदक समीकरण। पदावनति के मामले.

15. nवें क्रम के रैखिक अवकल समीकरण। व्रोन्स्कियन। समाधान की मौलिक प्रणाली:

16. स्थिर गुणांक वाले सजातीय अंतर समीकरण। विशेषता समीकरण:

ऊपर चर्चा की गई रैखिक सजातीय लोगों का एक विशेष मामला

विभेदक समीकरण स्थिरांक वाले LODE हैं

गुणांक.

17. रैखिक अमानवीय समीकरण. अर्ध-बहुपद वाले समीकरण के मामले में एक विशेष समाधान ढूँढना:

यूलर का अर्ध-बहुपद:आइए स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LDDE पर विचार करें: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) आप लैग्रेंज विधि का उपयोग करके एक विशेष समाधान खोज सकते हैं, लेकिन कुछ मामलों में इसे अधिक सरलता से पाया जा सकता है: 1. f(x) = , घात n का एक बहुपद है। 2.f(x) = (cos β x + (x) पाप β x). इन मामलों में, f(x) को EULER अर्ध-बहुपद कहा जाता है। इन मामलों में, अनिर्धारित गुणांकों के साथ समाधान के अपेक्षित रूप को लिखें और इसे समीकरण (5.1) में प्रतिस्थापित करें। परिणामी पहचान से गुणांकों का मान ज्ञात किया जाता है। मामला एक : (5.7) के दाईं ओर का रूप है: f(x) = α R डिग्री n का एक बहुपद है। समीकरण (5.7) को इस रूप में लिखा जाएगा: y'' + p y' + q y = (5.8) इस मामले में, हम इस रूप में एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं: = Qn (x) (5.9) जहाँ r संख्या = बहुलता α विशेषता स्तर के मूल के रूप में + p k + q = 0 है, अर्थात। r - एक संख्या जो दर्शाती है कि α कितनी बार ur + p k + q = 0 का मूल है, इसके अलावा, Qn (x) = + + …. + A n घात n का एक बहुपद है, जो अनिर्धारित गुणांक Ai (i = 0, 1, 2,...n) के साथ लिखा जाता है। A) मान लीजिए कि α विशेषता स्तर का मूल नहीं है: + p k + q = 0, यानी। α , r = 0 और हम फॉर्म में एक समाधान ढूंढते हैं = Q n (x) B) मान लीजिए कि α विशेषता समीकरण + p k + q = 0 का एक एकल (सरल) मूल है, α = r = 1, = x Q n (x) B) मान लीजिए α = विशेषता स्तर का 2 गुना मूल है + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) केस 2: (5.7) के दाईं ओर का रूप इस प्रकार है: f(x) = ()cosβx + Q m (x) syn β (x), जहां ) और Qm (x) क्रमशः घात n और m के बहुपद हैं, α और β वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण (5.7) को y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) synxβ) (5.10) के रूप में लिखा जाएगा। इस मामले में, एक विशेष समाधान: = * (Ml ( x) cosβx + N l (x ) syn βx) (5.11) समीकरण के मूल के रूप में गुणन (α + βi) के बराबर r-संख्या: + pk + q = 0, Me (x) और Ne (x) अनिर्धारित गुणांक वाले घात l के बहुपद हैं। l बहुपदों की उच्चतम डिग्री है) और Qm (x), l =max(n,m)। नोट 1: फ़ंक्शन (5.11) को (5.10) में प्रतिस्थापित करने के बाद, समान नाम के त्रिकोण के सामने के बहुपद बराबर हो जाते हैं। यूआर-आई के बाएँ और दाएँ पक्ष पर कार्य करता है। नोट 2 : सूत्र (5.11) ) 0 और Qm (x) 0 के लिए समान रहता है। नोट 3 : यदि समीकरण (5.7) का दाहिना भाग फॉर्म 1 और 2 के कार्यों का योग है, तो इसे खोजने के लिए, आपको समाधान लगाने पर प्रमेय (5.2) का उपयोग करना चाहिए। प्रमेय (5.2): समाधान थोपने पर: यदि समीकरण (5.1) का दाहिना भाग 2 कार्यों के योग का प्रतिनिधित्व करता है: f(x) = (x) + (x), और u समीकरण + (x) y ' + (x) y = का आंशिक समाधान है (x) + (x) y ' + (x) y = (x)यह इस समीकरण का हल है। nवें क्रम LNDDE का एकीकरण (n एक स्थिर गुणांक और एक विशेष दाहिनी ओर। आइए n-वें क्रम LDDE + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) पर विचार करें जहां (x) , …, (x) , f(x) एक सतत फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट हैं अंतराल (ए, बी)। सम्मान. सजातीय समीकरण + (x) + … + (x)y = 0 . n-वें क्रम LNDDE का सामान्य समाधान y = NU के विशेष समाधान और OUy के सामान्य समाधान का योग =। यदि OS का सामान्य समाधान ज्ञात हो तो पाया जा सकता है = + + … + जहां yi(x) OS के समाधान की मौलिक प्रणाली बनाने वाला विशेष समाधान है, सिस्टम ur + + … + = 0 + + … + = संकलित है 0 + + … + = 0 + + … + = एफ (एक्स) हालांकि, निरंतर गुणांक वाले एनवें-क्रम एलडीडीई के लिए, दाईं ओर एफ (एक्स) जिसमें एक है विशेष रूप, अनिर्धारित गुणांक की विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है। समीकरण y'' + + ... + y = f (x) R के लिए एक विशेष समाधान चुनने की विधि, जहां f (x) यूलर अर्ध-बहुपद के समान है। n=2 के लिए.

प्रथम कोटि के एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण पर विचार करें:
(1) .
इस समीकरण को हल करने के तीन तरीके हैं:

• स्थिरांक के परिवर्तन की विधि (लैग्रेंज)।

आइए लैग्रेंज विधि का उपयोग करके प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण को हल करने पर विचार करें।

स्थिरांक के परिवर्तन की विधि (लैग्रेंज)

अचर विधि के परिवर्तन में हम समीकरण को दो चरणों में हल करते हैं। पहले चरण में, हम मूल समीकरण को सरल बनाते हैं और एक सजातीय समीकरण को हल करते हैं। दूसरे चरण में, हम समाधान के पहले चरण में प्राप्त एकीकरण स्थिरांक को एक फ़ंक्शन से प्रतिस्थापित करते हैं। फिर हम मूल समीकरण का एक सामान्य समाधान ढूंढते हैं।

समीकरण पर विचार करें:
(1)

चरण 1 एक सजातीय समीकरण को हल करना

हम सजातीय समीकरण का समाधान ढूंढ रहे हैं:

यह एक पृथक्करणीय समीकरण है

हम चरों को अलग करते हैं - dx से गुणा करते हैं, y से विभाजित करते हैं:

आइए एकीकृत करें:

Y पर अभिन्न - सारणीबद्ध:

तब

आइए प्रबल करें:

आइए स्थिरांक e C को C से बदलें और मापांक चिह्न को हटा दें, जो एक स्थिरांक से गुणा करने के लिए आता है ±1, जिसे हम C में शामिल करेंगे:

चरण 2 स्थिरांक C को फ़ंक्शन से बदलें

आइए अब स्थिरांक C को x के फ़ंक्शन से बदलें:
सी → यू (एक्स)
यानी हम मूल समीकरण का हल ढूंढेंगे (1) जैसा:
(2)
व्युत्पन्न ढूँढना.

एक जटिल फलन के विभेदन के नियम के अनुसार:
.
उत्पाद विभेदन नियम के अनुसार:

.
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें (1) :
(1) ;

.
दो सदस्य कम हुए:
;
.
आइए एकीकृत करें:
.
में स्थानापन्न (2) :
.
परिणामस्वरूप, हमें प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त होता है:
.

लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

प्रश्न हल करें

समाधान

हम सजातीय समीकरण हल करते हैं:

हम चर अलग करते हैं:

गुणा करके:

आइए एकीकृत करें:

सारणीबद्ध अभिन्न:

आइए प्रबल करें:

आइए स्थिरांक e C को C से बदलें और मापांक चिह्न हटाएँ:

यहाँ से:

आइए स्थिरांक C को x के फ़ंक्शन से बदलें:
सी → यू (एक्स)

व्युत्पन्न ढूँढना:
.
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
;
;
या:
;
.
आइए एकीकृत करें:
;
समीकरण का हल:
.