सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें। कंप्यूटिंग के तर्कसंगत तरीके

कंप्यूटिंग ऑटोमेशन टूल्स के विकास के वर्तमान स्तर ने कई लोगों के लिए यह भ्रम पैदा कर दिया है कि कंप्यूटिंग कौशल विकसित करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इससे छात्रों की तैयारी प्रभावित हुई। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, साधारण कम्प्यूटेशनल कार्य भी कई लोगों के लिए एक समस्या बन जाते हैं।

इसी समय, परीक्षा कार्यों और परीक्षा सामग्री में कई कार्य होते हैं, जिनके समाधान के लिए परीक्षण विषयों की गणना को तर्कसंगत रूप से व्यवस्थित करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

इस लेख में, हम प्रतिस्पर्धी कार्यों के लिए गणना और उनके आवेदन के अनुकूलन के लिए कुछ तरीकों पर विचार करेंगे।

अक्सर, गणना के अनुकूलन के तरीके अंकगणितीय संचालन करने के लिए बुनियादी कानूनों के आवेदन से जुड़े होते हैं।

उदाहरण के लिए:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; या

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 आदि।

दूसरी दिशा - संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग।

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; या

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525।

निम्नलिखित उदाहरण गणना के लिए दिलचस्प है।

गणना करें:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

गणनाओं को अनुकूलित करने के लिए ये लगभग मानक तरीके हैं। कभी-कभी अधिक विदेशी पेशकश की जाती है। एक उदाहरण के रूप में, दो अंकों की संख्याओं को गुणा करने की विधि पर विचार करें, जिनकी इकाइयों का योग 10 है।

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 या

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741।

गुणन योजना को चित्र से समझा जा सकता है।

ऐसी गुणन योजना कहाँ से आती है?

शर्त के अनुसार हमारी संख्या का रूप है: M = 10m + n, K = 10k + (10 - n)। आइए एक काम बनाएं:

एम के = (10 मी + एन) (10k + (10 - एन)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= एम (के + 1) 100 + एन (10k + 10 - एन) =
= (10 मी) (10 (के + 1)) + एन (के - 10 मी) और विधि उचित है।

जटिल गणनाओं को मानसिक समस्याओं में बदलने के कई सरल तरीके हैं। लेकिन आप यह नहीं सोच सकते कि गणना को सरल बनाने के लिए सभी को इन्हें और अन्य सरल तरीकों को याद रखने की आवश्यकता है। केवल कुछ मूल बातें सीखना महत्वपूर्ण है। दूसरों का विश्लेषण केवल बुनियादी तरीकों को लागू करने में कौशल विकसित करने के लिए समझ में आता है। यह उनका रचनात्मक अनुप्रयोग है जो कम्प्यूटेशनल समस्याओं को जल्दी और सही ढंग से हल करना संभव बनाता है।

कभी-कभी, गणना के लिए उदाहरणों को हल करते समय, संख्याओं के साथ व्यंजक के रूपांतरण से बहुपदों के रूपांतरण में स्विच करना सुविधाजनक होता है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

समाधान।

मान लीजिए a = 1/117 और b = 1/119। फिर 3 1/117 = 3 + ए, 4 1/119 = 4 + बी, 1 116/117 = 2 - ए, 5 118/119 = 6 - बी।

इस प्रकार, दिए गए व्यंजक को (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b के रूप में लिखा जा सकता है।

बहुपद का सरल रूपांतरण करने के बाद, हमें 10a या 10/117 मिलता है।

यहाँ हमने पाया है कि हमारे व्यंजक का मान b पर निर्भर नहीं करता है। और इसका मतलब यह है कि हमने न केवल इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना की है, बल्कि मूल्यों को प्रतिस्थापित करके (3 + ए) (4 + बी) - (2 - ए) (6 - बी) - 5 बी से प्राप्त किसी अन्य को भी प्राप्त किया है। ए और बी की। यदि, उदाहरण के लिए, a = 5/329, तो उत्तर में हमें प्राप्त होता है 50 / 329 , जो कुछ भी बी.

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसे कैलकुलेटर के साथ हल करना लगभग असंभव है, और यदि आप इस प्रकार के उदाहरणों को हल करने के लिए दृष्टिकोण जानते हैं तो उत्तर काफी सरल है।

गणना

1/6 7 1024 - (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

समाधान।

चलो हालत बदलते हैं

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1 ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1)) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1)) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1)) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1)) · (7 16 - 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

एक उदाहरण पर विचार करें, जो पहले ही बन चुका है बेसिक स्कूल के पाठ्यक्रम के लिए परीक्षा सामग्री में पाठ्यपुस्तक।

योग की गणना करें:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

अर्थात्, प्रत्येक भिन्न को दो भिन्नों के अंतर से बदलने की विधि ने हमें इस समस्या को हल करने की अनुमति दी। योग पहली और आखिरी को छोड़कर सभी के विपरीत संख्याओं के जोड़े निकला।

लेकिन इस उदाहरण को सामान्यीकृत किया जा सकता है। राशि पर विचार करें:

के/(एन (एन + के)) + के/((एन + के) (एन + 2 के)) + के/((एन + 2 के) (एन + 3 के)) + … + के / (( एन + ( एम – 1)के) (एन + एमके))

इसके लिए, पिछले उदाहरण में किए गए सभी समान तर्क मान्य हैं। वास्तव में:

1/एन – 1/(एन + के) = के/(एन (एन + के));

1/((एन+के) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) आदि।

फिर हम उसी योजना के अनुसार उत्तर का निर्माण करते हैं: 1/n – 1/(एन + एमके) = एमके/(एन (एन + एमके))

और "लंबी" राशियों के बारे में अधिक।

राशि

एक्स \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

एक ज्यामितीय प्रगति के 11 सदस्यों के योग के रूप में गणना की जा सकती है जिसमें हर 1/2 और पहला सदस्य 1 है। लेकिन समान राशि की गणना 5 वीं कक्षा के छात्र द्वारा की जा सकती है, जिसे प्रगति के बारे में कोई जानकारी नहीं है। ऐसा करने के लिए, यह सफलतापूर्वक एक संख्या चुनने के लिए पर्याप्त है जिसे हम योग X में जोड़ते हैं। यह संख्या यहां 1/1024 होगी।

गणना करना

एक्स + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

अब यह स्पष्ट है कि X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

दूसरा तरीका भी कम आशाजनक नहीं है। इसके साथ, आप राशि की गणना कर सकते हैं:

एस = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999।

यहाँ "भाग्यशाली" संख्या 11 है। इसे S में जोड़कर सभी 11 पदों में समान रूप से वितरित करें। उनमें से प्रत्येक को तब 1 मिलेगा। तब हमारे पास है:

एस + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

इसलिए, एस = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

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सुदूर अतीत में, जब कलन प्रणाली का आविष्कार नहीं हुआ था, लोगों ने अपनी उंगलियों पर सब कुछ गिना। अंकगणित और गणित की बुनियादी बातों के आगमन के साथ, वस्तुओं, उत्पादों और घरेलू वस्तुओं का रिकॉर्ड रखना बहुत आसान और अधिक व्यावहारिक हो गया है। हालांकि, कलन की आधुनिक प्रणाली कैसी दिखती है: किस प्रकार की मौजूदा संख्याओं को विभाजित किया गया है और "संख्याओं के तर्कसंगत रूप" का क्या अर्थ है? आइए इसका पता लगाते हैं।

गणित में अंक कितने प्रकार के होते हैं?

"संख्या" की अवधारणा किसी भी वस्तु की एक निश्चित इकाई को दर्शाती है, जो इसके मात्रात्मक, तुलनात्मक या क्रमिक संकेतकों की विशेषता है। कुछ चीजों की संख्या की सही गणना करने के लिए या संख्याओं के साथ कुछ गणितीय संक्रियाओं को करने के लिए (जोड़ें, गुणा करें, आदि), आपको सबसे पहले इन समान संख्याओं की किस्मों से खुद को परिचित करना चाहिए।

तो, मौजूदा संख्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

1. प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनसे हम वस्तुओं की संख्या गिनते हैं (सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है, यह तर्कसंगत है कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला अनंत है, अर्थात कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है)। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर N अक्षर से दर्शाया जाता है।
2. पूर्ण संख्याएं। इस सेट में सब कुछ शामिल है, जबकि इसमें "शून्य" संख्या सहित नकारात्मक मान जोड़े जाते हैं। पूर्णांकों के समुच्चय का पदनाम लैटिन अक्षर Z के रूप में लिखा गया है।
3. परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें हम मानसिक रूप से एक भिन्न में परिवर्तित कर सकते हैं, जिसका अंश पूर्णांकों के समूह से संबंधित होगा, और हर प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित होगा। नीचे हम और अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि "परिमेय संख्या" का क्या अर्थ है, और कुछ उदाहरण देंगे।
4. - एक समुच्चय जिसमें सभी परिमेय शामिल हैं और यह समुच्चय R अक्षर से निरूपित होता है।
5. सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक का भाग और चर का भाग होता है। उनका उपयोग विभिन्न घन समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जो बदले में, सूत्रों में एक नकारात्मक अभिव्यक्ति हो सकती है (i 2 = -1)।

"तर्कसंगत" का क्या अर्थ है: हम उदाहरणों के साथ इसका विश्लेषण करते हैं

यदि वे संख्याएँ जिन्हें हम एक सामान्य भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं, को परिमेय माना जाता है, तो यह पता चलता है कि सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक भी परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल हैं। आखिरकार, किसी भी पूर्णांक, उदाहरण के लिए 3 या 15, को एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां हर एक होगा।

भिन्न: -9/3; 7/5, 6/55 परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

"तर्कसंगत अभिव्यक्ति" का क्या अर्थ है?

आगे बढ़ो। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि संख्याओं के परिमेय रूप का क्या अर्थ है। आइए अब एक गणितीय व्यंजक की कल्पना करें जिसमें विभिन्न संख्याओं और चरों का योग, अंतर, गुणनफल या भागफल होता है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक भिन्न, जिसके अंश में दो या अधिक पूर्णांकों का योग होता है, और हर में एक पूर्णांक और कुछ चर दोनों होते हैं। यह वह अभिव्यक्ति है जिसे तर्कसंगत कहा जाता है। "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते" नियम के आधार पर आप अनुमान लगा सकते हैं कि इस चर का मान ऐसा नहीं हो सकता कि हर का मान शून्य हो जाए। इसलिए, एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को हल करते समय, आपको पहले चर की सीमा निर्धारित करनी होगी। उदाहरण के लिए, यदि हर में निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: x+5-2, तो यह पता चलता है कि "x" -3 के बराबर नहीं हो सकता। दरअसल, इस मामले में, संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य में बदल जाती है, इसलिए हल करते समय, इस चर के लिए पूर्णांक -3 को बाहर करना आवश्यक है।

तर्कसंगत समीकरणों को सही तरीके से कैसे हल करें?

परिमेय व्यंजकों में बड़ी संख्या में संख्याएँ और यहाँ तक कि 2 चर भी हो सकते हैं, इसलिए कभी-कभी उनका समाधान कठिन हो जाता है। इस तरह की अभिव्यक्ति के समाधान की सुविधा के लिए, कुछ कार्यों को तर्कसंगत तरीके से करने की सिफारिश की जाती है। तो, "तर्कसंगत तरीके से" का क्या अर्थ है, और निर्णय लेते समय किन नियमों को लागू किया जाना चाहिए?

1. पहला प्रकार, जब यह केवल अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप अंश और हर को एक इरेड्यूसेबल मान तक कम करने के संचालन का सहारा ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि अंश में व्यंजक 18x और हर 9x है, तो दोनों संकेतकों को 9x से कम करने पर, हमें केवल 2 के बराबर एक पूर्णांक प्राप्त होता है।
2. दूसरी विधि व्यावहारिक है जब हमारे अंश में एकपदी और हर में एक बहुपद होता है। आइए एक उदाहरण देखें: अंश में हमारे पास 5x है, और हर में - 5x + 20x 2। इस मामले में, हर में वेरिएबल को कोष्ठक से बाहर निकालना सबसे अच्छा है, हमें हर का निम्नलिखित रूप मिलता है: 5x(1+4x)। और अब आप पहले नियम का उपयोग कर सकते हैं और अंश और हर में 5x घटाकर व्यंजक को सरल बना सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 1/1+4x के रूप का एक भिन्न प्राप्त होता है।

परिमेय संख्याओं के साथ कौन से ऑपरेशन किए जा सकते हैं?

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की अपनी कई विशिष्टताएँ होती हैं। उनमें से कई उस विशेषता के समान हैं जो पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याओं में मौजूद है, इस तथ्य को देखते हुए कि बाद वाले हमेशा परिमेय सेट में शामिल होते हैं। यहाँ परिमेय संख्याओं के कुछ गुण दिए गए हैं, जिन्हें जानकर आप किसी भी परिमेय व्यंजक को आसानी से हल कर सकते हैं।

1. क्रमपरिवर्तन गुण आपको दो या दो से अधिक संख्याओं का योग करने की अनुमति देता है, चाहे उनका क्रम कुछ भी हो। सीधे शब्दों में कहें, योग शर्तों के स्थानों में बदलाव से नहीं बदलता है।
2. वितरण संपत्ति वितरण कानून का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।
3. और अंत में, जोड़ और घटाव के संचालन।

यहां तक ​​​​कि स्कूली बच्चे भी जानते हैं कि "तर्कसंगत प्रकार की संख्या" का क्या अर्थ है और इस तरह के भावों के आधार पर समस्याओं को कैसे हल किया जाए, इसलिए एक शिक्षित वयस्क को कम से कम तर्कसंगत संख्याओं के सेट की मूल बातें याद रखने की जरूरत है।

इस लेख में, हम अध्ययन करना शुरू करेंगे परिमेय संख्या. यहां हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा देते हैं, आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं और परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। उसके बाद, हम इस बात पर ध्यान देंगे कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

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परिमेय संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

इस उपभाग में हम परिमेय संख्याओं की कई परिभाषाएँ देते हैं। शब्दों में अंतर के बावजूद, इन सभी परिभाषाओं का एक ही अर्थ है: परिमेय संख्याएं पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं को जोड़ती हैं, जैसे पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं, उनकी विपरीत संख्याओं और संख्या शून्य को जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याएँ पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण करती हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं परिमेय संख्याओं की परिभाषाजिसे सबसे स्वाभाविक माना जाता है।

ध्वनि की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि एक परिमेय संख्या है:

• कोई भी प्राकृत संख्या n. वास्तव में, किसी भी प्राकृत संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3=3/1।
• कोई भी पूर्णांक, विशेष रूप से संख्या शून्य। दरअसल, किसी भी पूर्णांक को या तो एक सकारात्मक सामान्य अंश के रूप में, या एक नकारात्मक सामान्य अंश के रूप में, या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 26=26/1 , .
• कोई भी साधारण अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)। यह परिमेय संख्याओं की दी गई परिभाषा द्वारा सीधे तौर पर कहा गया है।
• कोई भी मिश्रित संख्या। वास्तव में, एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित सामान्य भिन्न के रूप में निरूपित करना हमेशा संभव होता है। उदाहरण के लिए, और।
• कोई भी परिमित दशमलव या अनंत आवर्त भिन्न। ऐसा इसलिए है क्योंकि निर्दिष्ट दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, , और 0,(3)=1/3 ।

यह भी स्पष्ट है कि कोई भी अनंत गैर-दोहराव वाला दशमलव एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि इसे एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

अब हम आसानी से ला सकते हैं परिमेय संख्याओं के उदाहरण. संख्याएँ 4, 903, 100,321 परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि वे प्राकृत संख्याएँ हैं। पूर्णांक 58 , −72 , 0 , −833 333 333 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। साधारण भिन्न 4/9, 99/3 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। परिमेय संख्याएँ भी संख्याएँ होती हैं।

उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों परिमेय संख्याएँ हैं, और परिमेय संख्या शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा को संक्षिप्त रूप में तैयार किया जा सकता है।

परिभाषा।

परिमेय संख्याकॉल संख्याएँ जिन्हें भिन्न z/n के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है।

आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं की यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समतुल्य है। हम जानते हैं कि हम भिन्न के दंड को भाग का चिह्न मान सकते हैं, फिर पूर्णांकों को विभाजित करने के गुणों और पूर्णांकों को विभाजित करने के नियमों से निम्नलिखित समानताएँ अनुसरण करती हैं और . इस प्रकार, जो प्रमाण है।

हम इस परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। संख्याएँ −5 , 0 , 3 , और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि उन्हें एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में और क्रमशः लिखा जा सकता है।

निम्नलिखित सूत्रीकरण में परिमेय संख्याओं की परिभाषा भी दी जा सकती है।

परिभाषा।

परिमेय संख्यावे संख्याएँ हैं जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा भी पहली परिभाषा के बराबर है, क्योंकि कोई भी साधारण अंश एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से मेल खाता है और इसके विपरीत, और किसी भी पूर्णांक को दशमलव बिंदु के बाद शून्य के साथ दशमलव अंश से जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5 , 0 , -13 , परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं क्योंकि इन्हें निम्न दशमलव 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 और −7,(18) के रूप में लिखा जा सकता है।

हम इस खंड के सिद्धांत को निम्नलिखित कथनों के साथ समाप्त करते हैं:

• पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ (धनात्मक और ऋणात्मक) परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न एक परिमेय संख्या है;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न कुछ परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या यह संख्या तर्कसंगत है?

पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, कोई पूर्णांक, कोई साधारण अंश, कोई मिश्रित संख्या, कोई अंतिम दशमलव अंश, और कोई भी आवधिक दशमलव अंश एक तर्कसंगत संख्या है। यह ज्ञान हमें लिखित संख्याओं के समुच्चय से परिमेय संख्याओं को "पहचानने" की अनुमति देता है।

लेकिन क्या होगा यदि संख्या कुछ के रूप में दी गई है, या के रूप में, आदि, प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए, क्या दी गई संख्या तर्कसंगत है? कई मामलों में इसका जवाब देना बहुत मुश्किल होता है। आइए हम विचार के पाठ्यक्रम के लिए कुछ दिशाओं की ओर संकेत करें।

यदि किसी संख्या को एक संख्यात्मक व्यंजक के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है जिसमें केवल परिमेय संख्याएँ और अंकगणितीय चिह्न (+, -, · और:) होते हैं, तो इस व्यंजक का मान एक परिमेय संख्या है। यह इस प्रकार है कि कैसे परिमेय संख्याओं पर संक्रियाओं को परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक में सभी संक्रियाओं को करने के बाद, हमें एक परिमेय संख्या 18 प्राप्त होती है।

कभी-कभी, व्यंजकों के सरलीकरण और अधिक जटिल रूप के बाद, यह निर्धारित करना संभव हो जाता है कि दी गई संख्या परिमेय है या नहीं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। संख्या 2 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि कोई भी प्राकृत संख्या परिमेय होती है। संख्या के बारे में क्या? क्या यह तर्कसंगत है? यह पता चला है कि नहीं - यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक अपरिमेय संख्या है (विरोधाभास द्वारा इस तथ्य का प्रमाण कक्षा 8 के लिए बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक में दिया गया है, जो संदर्भों की सूची में नीचे दर्शाया गया है)। यह भी सिद्ध होता है कि एक प्राकृत संख्या का वर्गमूल एक परिमेय संख्या होती है, केवल उन मामलों में जहाँ मूल एक ऐसी संख्या होती है जो किसी प्राकृत संख्या का पूर्ण वर्ग होती है। उदाहरण के लिए, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि 81=9 2 और 1024=32 2 , और संख्याएँ और परिमेय नहीं हैं, क्योंकि संख्याएँ 7 और 199 प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

संख्या तर्कसंगत है या नहीं? इस मामले में, यह देखना आसान है कि, इसलिए, यह संख्या परिमेय है। क्या संख्या तर्कसंगत है? यह सिद्ध होता है कि किसी पूर्णांक का kवाँ मूल एक परिमेय संख्या तभी होती है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की kth घात हो। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसकी पाँचवीं घात 121 हो।

विरोधाभास की विधि हमें यह साबित करने की अनुमति देती है कि कुछ संख्याओं के लघुगणक, किसी कारण से, परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि - एक परिमेय संख्या नहीं है।

इसके विपरीत मान लीजिए, मान लीजिए कि यह एक परिमेय संख्या है और इसे एक साधारण भिन्न m/n के रूप में लिखा जा सकता है। फिर और निम्नलिखित समानताएँ दें: . अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि इसके बाईं ओर है विषम संख्या 5 n , और दाईं ओर एक सम संख्या 2 m है। इसलिए, हमारी धारणा गलत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

अंत में, यह जोर देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता या अपरिमेयता को स्पष्ट करते समय, अचानक निष्कर्ष से बचना चाहिए।

उदाहरण के लिए, किसी को तुरंत यह दावा नहीं करना चाहिए कि अपरिमेय संख्याओं और e का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या है, यह "जैसे कि स्पष्ट" है, लेकिन सिद्ध नहीं है। यह प्रश्न उठाता है: "उत्पाद एक परिमेय संख्या क्यों होगी"? और क्यों नहीं, क्योंकि आप अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं, जिसका गुणनफल एक परिमेय संख्या देता है:।

यह भी अज्ञात है कि संख्याएँ और कई अन्य संख्याएँ परिमेय हैं या नहीं। उदाहरण के लिए, ऐसी अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनकी अपरिमेय घात एक परिमेय संख्या है। उदाहरण के लिए, आइए रूप की एक डिग्री दें, इस डिग्री का आधार और घातांक परिमेय संख्याएं नहीं हैं, लेकिन, और 3 एक परिमेय संख्या है।

ग्रंथ सूची।

• गणित।ग्रेड 6: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [एन. हां। विलेनकिन और अन्य]। - 22वां संस्करण, रेव. - एम .: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-00897-2।
• बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

कोझिनोवा अनास्तासिया

नगरपालिका गैर विशिष्ट बजट

सामान्य शैक्षणिक संस्थान

"लिसेम 76"

तर्कसंगत गणना का रहस्य क्या है?

प्रदर्शन किया:

छात्र 5 "बी" वर्ग

कोझिनोवा अनास्तासिया

पर्यवेक्षक:

गणित के शिक्षक

शिक्लिना तातियाना

निकोलेवना

नोवोकुज़नेत्स्क 2013

परिचय ………………………………………………… 3

मुख्य भाग…………………………………………………… 5-13

निष्कर्ष और निष्कर्ष…………………………………………… 13-14

सन्दर्भ …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….

अनुप्रयोग……………………………………………………। 16-31

मैं. परिचय

संकट: संख्यात्मक भावों के मूल्यों का पता लगाना

उद्देश्य:खोज, तर्कसंगत गणना की मौजूदा विधियों और तकनीकों का अध्ययन, व्यवहार में उनका अनुप्रयोग।

कार्य:

1. समानांतर कक्षाओं के बीच एक प्रश्नावली के रूप में एक लघु सर्वेक्षण करें।

2. शोध के विषय पर विश्लेषण करें: स्कूल के पुस्तकालय में उपलब्ध साहित्य, कक्षा 5 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक में जानकारी, इंटरनेट पर।

3. तर्कसंगत गणना के सबसे प्रभावी तरीके और साधन चुनें।

4. तेजी से मौखिक और लिखित गिनती के मौजूदा तरीकों के वर्गीकरण का संचालन करें।

5. समानांतर 5 कक्षाओं में उपयोग के लिए तर्कसंगत गणना तकनीकों वाले मेमो बनाएं।

अध्ययन की वस्तु: तर्कसंगत खाता।

अध्ययन का विषय: तर्कसंगत गिनती के तरीके।

शोध कार्य की प्रभावशीलता के लिए, मैंने निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया: विभिन्न संसाधनों से प्राप्त जानकारी का विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण; एक प्रश्नावली के रूप में जनमत सर्वेक्षण। प्रश्नावली मेरे द्वारा अध्ययन के उद्देश्य और उद्देश्यों, उत्तरदाताओं की उम्र के अनुसार विकसित की गई थी और काम के मुख्य भाग में प्रस्तुत की गई है।

शोध कार्य के दौरान, तर्कसंगत गणना के तरीकों और तकनीकों से संबंधित मुद्दों पर विचार किया गया, और कंप्यूटिंग कौशल के साथ समस्याओं को खत्म करने, कंप्यूटिंग संस्कृति बनाने के लिए सिफारिशें दी गईं।

द्वितीय. मुख्य हिस्सा

छात्रों की कंप्यूटिंग संस्कृति का गठन

5-6 ग्रेड।

यह स्पष्ट है कि तर्कसंगत गणना के तरीके प्रत्येक व्यक्ति के जीवन में कम्प्यूटेशनल संस्कृति का एक आवश्यक तत्व हैं, मुख्यतः उनके व्यावहारिक महत्व के कारण, और छात्रों को लगभग हर पाठ में इसकी आवश्यकता होती है।

कम्प्यूटेशनल संस्कृति गणित और अन्य शैक्षणिक विषयों के अध्ययन की नींव है, क्योंकि इस तथ्य के अलावा कि गणना स्मृति, ध्यान को सक्रिय करती है, गतिविधियों को तर्कसंगत रूप से व्यवस्थित करने में मदद करती है और मानव विकास को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, प्रशिक्षण सत्रों में, जब हर मिनट को महत्व दिया जाता है, तो बिना गलती किए और बिना किसी अतिरिक्त कंप्यूटिंग टूल का उपयोग किए मौखिक और लिखित गणनाओं को जल्दी और तर्कसंगत रूप से करना बहुत महत्वपूर्ण है।

हम, स्कूली बच्चे, हर जगह इस समस्या का सामना करते हैं: कक्षा में, घर पर, दुकान में, आदि। इसके अलावा, ग्रेड 9 और 11 के बाद, हमें आईजीए और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के रूप में परीक्षा देनी होगी, जहां माइक्रोकैलकुलेटर के उपयोग की अनुमति नहीं है। इसलिए, प्रत्येक व्यक्ति में एक कम्प्यूटेशनल संस्कृति के गठन की समस्या, जिसका एक तत्व तर्कसंगत गिनती के तरीकों में महारत हासिल कर रहा है, अत्यंत महत्वपूर्ण हो जाता है।

तर्कसंगत गिनती के तरीकों में महारत हासिल करना विशेष रूप से आवश्यक है।

गणित, इतिहास, प्रौद्योगिकी, कंप्यूटर विज्ञान, आदि जैसे विषयों के अध्ययन में, यानी तर्कसंगत गिनती से संबंधित विषयों में महारत हासिल करने में मदद मिलती है, अध्ययन की जा रही सामग्री को बेहतर ढंग से नेविगेट करने के लिए, जीवन स्थितियों में। तो हम किस बात का इंतज़ार कर रहे हैं? आइए चलते हैं गिनती के परिमेय तरीकों के रहस्यों की दुनिया में!!!

गणना करते समय छात्रों को क्या समस्याएँ आती हैं?

अक्सर, मेरी उम्र के साथियों को विभिन्न कार्यों को करने में समस्या होती है जिसमें गणना को त्वरित और सुविधाजनक तरीके से करना आवश्यक होता है। . क्यों???

यहाँ कुछ अनुमान हैं:

1. छात्र ने अच्छी तरह से अध्ययन किए गए विषय में महारत हासिल नहीं की

2. छात्र सामग्री को दोहराता नहीं है

3. विद्यार्थी का अंकगणित कौशल खराब है

4. छात्र इस विषय का अध्ययन नहीं करना चाहता

5. छात्र का मानना ​​है कि यह उसके लिए उपयोगी नहीं होगा।

मैंने इन सभी धारणाओं को अपने अनुभव और अपने सहपाठियों और साथियों के अनुभव से लिया। हालांकि, तर्कसंगत गणना कौशल कम्प्यूटेशनल अभ्यास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, इसलिए मैंने कुछ तर्कसंगत गणना तकनीकों का अध्ययन, आवेदन किया है और आपको प्रस्तुत करना चाहता हूं।

मौखिक और लिखित गणना के तर्कसंगत तरीके।

कार्य और जीवन में विभिन्न प्रकार की गणनाओं की आवश्यकता निरंतर उत्पन्न होती है। मानसिक गणना के सरलतम तरीकों का उपयोग करने से थकान कम होती है, ध्यान और स्मृति विकसित होती है। श्रम, सटीकता और गणना की गति को बढ़ाने के लिए तर्कसंगत गणना विधियों का उपयोग आवश्यक है। गणना की गति और सटीकता केवल यांत्रिक गणना के तरीकों और साधनों के तर्कसंगत उपयोग के साथ-साथ मानसिक गणना विधियों के सही उपयोग के साथ ही प्राप्त की जा सकती है।

मैं. सरलीकृत संख्या जोड़ने की तकनीक

जोड़ के चार तरीके हैं जो आपको गणनाओं में तेजी लाने की अनुमति देते हैं।

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ विधि मानसिक गणना में उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह शब्दों के योग को सरल और तेज करता है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, जोड़ उच्चतम अंकों से शुरू होता है: दूसरे पद के संबंधित अंक पहले पद में जोड़े जाते हैं।

उदाहरण। आइए अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि का उपयोग करके संख्याओं 5287 और 3564 का योग ज्ञात करें।

समाधान। हम निम्नलिखित क्रम में गणना करेंगे:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

उत्तर: 8 851

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ का दूसरा तरीका इस तथ्य में शामिल है कि दूसरे पद के उच्चतम पद को पहले पद के उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है, फिर दूसरे पद के अगले अंक को पहले पद के अगले अंक में जोड़ा जाता है, और इसी तरह आगे भी।

आइए दिए गए उदाहरण में इस समाधान पर विचार करें, हमें मिलता है:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

उत्तर : 8851.

गोल संख्या विधि . वह संख्या जिसमें एक सार्थक अंक होता है और एक या एक से अधिक शून्य पर समाप्त होती है, गोल संख्या कहलाती है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब दो या दो से अधिक पदों को चुना जा सकता है जिन्हें एक गोल संख्या में पूरा किया जा सकता है। गणना की स्थिति में निर्दिष्ट गोल संख्या और संख्या के बीच के अंतर को पूरक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1000 - 978 = 22। इस मामले में, संख्या 22 संख्या 978 से 1000 का अंकगणितीय जोड़ है।

गोल संख्या विधि से जोड़ने के लिए, गोल संख्याओं के करीब एक या अधिक पदों को पूर्णांकित किया जाना चाहिए, गोल संख्याएँ जोड़नी चाहिए, और परिणामी योग से अंकगणितीय योग घटाना चाहिए।

उदाहरण। गोल संख्या विधि का उपयोग करके संख्याओं 1238 और 193 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान। संख्या 193 से 200 तक गोल करें और इस प्रकार जोड़ें: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431। (सहयोगी कानून)

शब्दों को समूहीकृत करने की विधि . इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब पदों को एक साथ समूहित करने पर, गोल संख्याएँ दी जाती हैं, जिन्हें बाद में एक साथ जोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। 74, 32, 67, 48, 33 और 26 संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए इस प्रकार समूहीकृत संख्याओं का योग करें: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280।

(सहयोगी-विस्थापन कानून)

या, जब संख्याओं को समूहीकृत करने का परिणाम समान होता है:

उदाहरण: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(सहयोगी-विस्थापन कानून)

द्वितीय. संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीक

अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि। यह विधि क्रमिक रूप से घटाए गए अंक से घटाए गए प्रत्येक अंक को घटाती है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब संख्याओं को गोल नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण। संख्या 721 और 398 के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए निम्नलिखित क्रम में दी गई संख्याओं का अंतर ज्ञात करने के लिए क्रियाएँ करें:

संख्या 398 को योग के रूप में निरूपित करें: 300 + 90 + 8 = 398;

बिटवाइज घटाव करें:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

गोल संख्या विधि . इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सबट्रेंड एक गोल संख्या के करीब होता है। गणना करने के लिए, एक गोल संख्या के रूप में लिए गए सबट्रेंड को घटाए गए से घटाना और परिणामी अंतर में अंकगणितीय जोड़ जोड़ना आवश्यक है।

उदाहरण. आइए गोल संख्या पद्धति का उपयोग करके संख्याओं 235 और 197 के बीच के अंतर की गणना करें।

समाधान। 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

तृतीय. संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीक

एक से गुणा और उसके बाद शून्य। जब किसी संख्या को किसी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें शून्य (10; 100; 1,000, आदि) के बाद एक इकाई शामिल होती है, तो उसे दाईं ओर उतने ही शून्य दिए जाते हैं जितने कि इकाई के बाद गुणक में होते हैं।

उदाहरण। संख्या 568 और 100 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। 568 x 100 = 56,800।

बिटवाइज गुणन विधि . इस विधि का प्रयोग किसी संख्या को किसी एक अंक की संख्या से गुणा करते समय किया जाता है। यदि आपको दो अंकों वाली (तीन-, चार-अंकीय, आदि) संख्या को एक अंक वाले से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले एकल-अंकीय गुणक को दूसरे कारक के दसियों से गुणा किया जाता है, फिर इसकी इकाइयों और परिणामी से गुणा किया जाता है। उत्पादों को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण। संख्या 39 और 7 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम)

गोल संख्या विधि . इस पद्धति का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब कारकों में से एक गोल संख्या के करीब हो। गुणक को एक गोल संख्या से गुणा किया जाता है, और फिर अंकगणितीय जोड़ से, और अंत में पहले उत्पाद से दूसरा घटाया जाता है।

उदाहरण। संख्या 174 और 69 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006। (घटाव के संबंध में गुणन का वितरण नियम)

कारकों में से एक का विस्तार करने का एक तरीका। इस पद्धति में, कारकों में से एक को पहले भागों (शब्दों) में विघटित किया जाता है, फिर दूसरे कारक को पहले कारक के प्रत्येक भाग से गुणा किया जाता है, और परिणामी उत्पादों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है।

उदाहरण. संख्या 13 और 325 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

आइए संख्या 13 को शब्दों में विभाजित करें: 13 \u003d 10 + 3। आइए प्राप्त प्रत्येक पद को 325: 10 x 325 \u003d 3 250 से गुणा करें; 3 x 325 = 975। परिणामी उत्पादों का योग: 3250 + 975 = 4225

तर्कसंगत मानसिक गणना के कौशल में महारत हासिल करने से आपका काम और अधिक कुशल हो जाएगा। यह उपरोक्त सभी अंकगणितीय संक्रियाओं की अच्छी महारत के साथ ही संभव है। गणना के तर्कसंगत तरीकों का उपयोग गणना को गति देता है और आवश्यक सटीकता प्रदान करता है। लेकिन आपको न केवल गणना करने में सक्षम होना चाहिए, बल्कि आपको गुणन तालिका, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों, वर्गों और अंकों को भी जानना होगा।

मानसिक गणना प्रणाली हैं जो आपको मौखिक रूप से जल्दी और तर्कसंगत रूप से गिनने की अनुमति देती हैं। हम कुछ सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली तकनीकों को देखेंगे।

1. दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना।

हमने इस पद्धति का अध्ययन किया है, लेकिन हमने इसका अंत तक अध्ययन नहीं किया है। इस पद्धति का रहस्य यह है कि इसे अंकगणितीय संक्रियाओं का नियम माना जा सकता है।

उदाहरण:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (वितरण नियम और गोल संख्या विधि)

हमने इस विधि का अध्ययन किया, लेकिन हम दूसरी विधि नहीं जानते थे। दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने का रहस्य।

दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने पर प्राप्त परिणामों को देखकर, मैंने देखा कि आप उत्तर को अधिक सुविधाजनक तरीके से प्राप्त कर सकते हैं। : दो अंकों की किसी संख्या को 11 से गुणा करने पर इस संख्या के अंकों को अलग कर दिया जाता है और इन अंकों के योग को बीच में डाल दिया जाता है।

क) 23 11=253, क्योंकि 2+3=5;

बी) 45 11=495, क्योंकि 4+5=9;

ग) 57 11=627, क्योंकि 5+7=12, दो को बीच में रखा गया, और एक को सैकड़ा के स्थान पर जोड़ा गया;

d) 78 11=858, 7+8=15 से, तो दहाई की संख्या 5 के बराबर होगी, और सैकड़ों की संख्या में एक की वृद्धि होगी और यह 8 के बराबर होगी।

मुझे इंटरनेट पर इस पद्धति की पुष्टि मिली।

2) दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल जिसमें दहाई की संख्या समान है, और इकाइयों का योग 10 है, अर्थात 23 27; 34 36; 52 58 आदि।

नियम: प्राकृतिक श्रृंखला में दहाई के अंक को अगले अंक से गुणा किया जाता है, परिणाम दर्ज किया जाता है और इकाइयों के उत्पाद को इसके लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।

ए) 23 27 = 621। आपको 621 कैसे मिले? हम संख्या 2 को 3 से गुणा करते हैं ("दो" के बाद "तीन"), यह 6 होगा, और आगे हम इकाइयों के उत्पाद को विशेषता देंगे: 3 7 \u003d 21, यह 621 निकला।

b) 34 36 = 1224, चूँकि 3 4 = 12, हम 24 को संख्या 12 से जोड़ते हैं, यह इन संख्याओं की इकाइयों का गुणनफल है: 4 6।

ग) 52 58 \u003d 3016, चूंकि हम दहाई की संख्या 5 को 6 से गुणा करते हैं, यह 30 होगा, हम 2 और 8 के गुणनफल को गुणित करते हैं, अर्थात 16।

घ) 61 69=4209। यह स्पष्ट है कि 6 को 7 से गुणा किया गया और 42 प्राप्त किया गया। और शून्य कहाँ से आता है? हमने इकाइयों को गुणा किया और प्राप्त किया: 1 9 \u003d 9, लेकिन परिणाम दो अंकों का होना चाहिए, इसलिए हम 09 लेते हैं।

3) समान अंक वाली तीन अंकों की संख्याओं को 37 से विभाजित करें। परिणाम तीन अंकों की संख्या (या तीन अंकों की संख्या के अंक के तीन गुना के बराबर) के इन समान अंकों का योग है।

उदाहरण: क) 222:37=6. यह 2+2+2=6 का योग है; ख) 333:37=9, क्योंकि 3+3+3=9।

ग) 777:37=21, यानी 7+7+7=21 तक।

घ) 888:37=24, क्योंकि 8+8+8=24.

हम इस तथ्य को भी ध्यान में रखते हैं कि 888:24=37.

तृतीय. निष्कर्ष

अपने काम के विषय में मुख्य रहस्य को जानने के लिए, मुझे कड़ी मेहनत करनी पड़ी - जानकारी खोजने, विश्लेषण करने, सहपाठियों से सवाल करने, शुरुआती ज्ञात तरीकों को दोहराने और तर्कसंगत गिनती के कई अपरिचित तरीकों को खोजने के लिए, और अंत में, समझने के लिए उसका रहस्य क्या है? और मैंने महसूस किया कि मुख्य बात यह है कि ज्ञात लोगों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना, गिनती के नए तर्कसंगत तरीके, गुणन तालिका, संख्या की संरचना (वर्ग और अंक), अंकगणितीय संचालन के नियम। अलावा,

ऐसा करने के नए तरीकों की तलाश करें:

- सरलीकृत संख्या जोड़ने की तकनीक: (क्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि; एक गोल संख्या की विधि; किसी एक कारक को शब्दों में विघटित करने की विधि);

-संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीक(क्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि; गोल संख्या विधि);

-संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीक(एक से गुणा और उसके बाद शून्य; बिटवाइज गुणन विधि; गोल संख्या विधि; कारकों में से एक की विस्तार विधि ;

- तेजी से मानसिक गिनती का राज(दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर, इस संख्या के अंकों को अलग कर दिया जाता है और इन अंकों के योग को बीच में डाल दिया जाता है; दो अंकों की संख्या का गुणनफल होता है दहाई की संख्या समान है, और इकाइयों का योग 10 है; 37 संख्या पर समान अंकों से युक्त तीन अंकों की संख्याओं का विभाजन। संभवतः ऐसे कई और तरीके हैं, इसलिए मैं अगले वर्ष इस विषय पर काम करना जारी रखूंगा।

चतुर्थ। ग्रन्थसूची

1. Savin A. P. गणितीय लघुचित्र / A. P. Savin। - एम।: बाल साहित्य, 1991

2. जुबरेवा I.I., गणित, ग्रेड 5: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / I.I. Zubareva, A.G. मोर्दकोविच। - एम .: मेनेमोसिन, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. गणित-पुनरावृत्ति। एन

वी. अनुप्रयोग

लघु अध्ययन (प्रश्नावली के रूप में सर्वेक्षण)

तर्कसंगत गणना के बारे में विद्यार्थियों के ज्ञान की पहचान करने के लिए, मैंने निम्नलिखित प्रश्नों पर एक प्रश्नावली के रूप में एक सर्वेक्षण किया:

* क्या आप जानते हैं कि गिनती के तर्कसंगत तरीके क्या हैं?

*यदि हाँ, तो कहाँ और यदि नहीं तो क्यों नहीं?

* आप तर्कसंगत गिनती के कितने तरीके जानते हैं?

* क्या आपको मानसिक गणना में कठिनाई होती है ?

* आप गणित कैसे पढ़ते हैं? ए) "5" पर; बी) "4" पर; सी) "3" पर

* आपको गणित के बारे में सबसे ज्यादा क्या पसंद है?

ए) उदाहरण; बी) कार्य; सी) अंश

* आप क्या सोचते हैं, गणित के अलावा मानसिक गणना कहाँ उपयोगी हो सकती है? * क्या आपको अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम याद हैं, यदि हां, तो कौन से हैं?

एक सर्वेक्षण करने के बाद, मैंने महसूस किया कि मेरे सहपाठी अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों को पर्याप्त रूप से नहीं जानते हैं, उनमें से अधिकांश को तर्कसंगत गणना में समस्या है, कई छात्र धीरे-धीरे और त्रुटियों के साथ गिनते हैं, और हर कोई सीखना चाहता है कि कैसे जल्दी, सही और सही तरीके से गिनें। एक सुविधाजनक तरीका। इसलिए मेरे शोध कार्य का विषय ही नहीं सभी विद्यार्थियों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

1. गणित के पाठों में हमने गणित के पाठों में "गणित, ग्रेड 5" के उदाहरणों का उपयोग करते हुए गणना के दिलचस्प मौखिक और लिखित तरीके:

यहाँ उनमें से कुछ हैं:

किसी संख्या को शीघ्रता से 5 . से गुणा करने के लिए, यह नोट करना पर्याप्त है कि 5=10:2।

उदाहरण के लिए, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

किसी संख्या को 50 . से गुणा करना , आप इसे 100 से गुणा कर सकते हैं और 2 से भाग दे सकते हैं।

उदाहरण के लिए: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

किसी संख्या को 25 . से गुणा करना , आप इसे 100 से गुणा कर सकते हैं और 4 से विभाजित कर सकते हैं,

उदाहरण के लिए, 32x25=(32x100):4=3200:4=800

किसी संख्या को 125 . से गुणा करना , आप इसे 1000 से गुणा कर सकते हैं और 8 से भाग दे सकते हैं,

उदाहरण के लिए: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

दो 0 के साथ समाप्त होने वाली एक गोल संख्या को 25 . से विभाजित करने के लिए , आप इसे 100 से विभाजित कर सकते हैं और 4 से गुणा कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

एक गोल संख्या को 50 . से विभाजित करने के लिए , को 100 से विभाजित किया जा सकता है और 2 . से गुणा किया जा सकता है

उदाहरण के लिए: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

लेकिन न केवल आपको गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, बल्कि आपको गुणन तालिका, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम, संख्या की संरचना (वर्ग और अंक) जानने की भी आवश्यकता है और उनका उपयोग करने का कौशल भी होना चाहिए।

अंकगणितीय संचालन के नियम।

एक + बी = बी + एक

जोड़ का कम्यूटेटिव कानून

(एक + बी) + सी = एक + (बी + सी)

जोड़ का साहचर्य नियम

एक · बी = बी · एक

गुणन का क्रमविनिमेय नियम

(एक · बी) · सी = एक · (बी · सी)

गुणन का साहचर्य नियम

(एक = बी) · सी = एक · सी = बी · सी

गुणन का वितरण नियम (जोड़ के संबंध में)

पहाड़ा।

गुणन क्या है?

यह स्मार्ट जोड़ है।

आखिरकार, गुणा करना बेहतर है,

एक घंटे के लिए सब कुछ जोड़ने की तुलना में।

पहाड़ा

हम सभी को जीवन में इसकी आवश्यकता होती है।

और बिना कारण नाम के नहीं

इसे गुणा करें!

रैंक और कक्षाएं

पढ़ने के लिए सुविधाजनक बनाने के लिए और बड़े मूल्यों के साथ संख्याओं को याद रखने के लिए, उन्हें तथाकथित "वर्गों" में विभाजित किया जाना चाहिए: दाईं ओर से शुरू होकर, संख्या को एक स्थान से तीन अंकों "प्रथम श्रेणी" में विभाजित किया जाता है, फिर तीन अधिक अंकों का चयन किया जाता है, "द्वितीय श्रेणी" और आदि। संख्या के अर्थ के आधार पर अंतिम वर्ग तीन, दो या एक अंक के साथ समाप्त हो सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35461298 इस प्रकार लिखी गई है:

यह संख्या वर्गों में विभाजित है:

482 - प्रथम श्रेणी (इकाइयों का वर्ग)

630 - द्वितीय श्रेणी (हजारों का वर्ग)

35 - तृतीय श्रेणी (लाखों का वर्ग)

स्राव होना

वर्ग बनाने वाले प्रत्येक अंक को उसकी श्रेणी कहते हैं, जिसकी उलटी गिनती भी दाईं ओर जाती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35 630 482 को वर्गों और अंकों में विघटित किया जा सकता है:

482 - प्रथम श्रेणी

2 - पहला अंक (इकाई अंक)

8 - दूसरा अंक (दहाई अंक)

4 - तीसरा अंक (सौ अंक)

630 - द्वितीय श्रेणी

0 - पहला अंक (हजार अंक)

3 - दूसरा अंक (दसियों हजार का अंक)

6 - तीसरा अंक (सौ हजार अंक)

35 - तीसरी कक्षा

5 - पहला अंक (लाखों की इकाइयों का अंक)

3 - दूसरा अंक (दसियों लाख का अंक)

संख्या 35 630 482 पढ़ती है:

पैंतीस लाख छह सौ तीस हजार चार सौ बयासी।

तर्कसंगत गिनती में समस्याएं और उन्हें कैसे ठीक करें

याद रखने के तर्कसंगत तरीके।

सर्वेक्षण और पाठों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, मैंने देखा कि कुछ छात्र विभिन्न समस्याओं को हल करते हैं और खराब अभ्यास करते हैं क्योंकि वे कंप्यूटिंग के तर्कसंगत तरीकों से परिचित नहीं हैं।

1. विधियों में से एक अध्ययन सामग्री को ऐसी प्रणाली में लाना है जो याद रखने और स्मृति में भंडारण के लिए सुविधाजनक हो।

2. एक निश्चित प्रणाली में स्मृति द्वारा याद किए गए सामग्री को संग्रहीत करने के लिए, इसकी सामग्री पर कुछ काम किया जाना चाहिए।

3. फिर आप पाठ के प्रत्येक व्यक्तिगत भाग में महारत हासिल करना शुरू कर सकते हैं, इसे फिर से पढ़ सकते हैं और जो आप पढ़ते हैं उसे तुरंत पुन: पेश करने का प्रयास कर सकते हैं (खुद को या जोर से दोहराएं)।

4. याद रखने के लिए बहुत महत्व सामग्री की पुनरावृत्ति है। यह लोकप्रिय कहावत से भी प्रमाणित होता है: "दोहराव सीखने की जननी है।" लेकिन इसे यथोचित और सही ढंग से दोहराया भी जाना चाहिए।

दोहराव के कार्य को उन दृष्टांतों या उदाहरणों के आधार पर पुनर्जीवित किया जाना चाहिए जो पहले मौजूद नहीं थे या जिन्हें पहले ही भुला दिया गया है।

पूर्वगामी के आधार पर, हम शैक्षिक सामग्री के सफल आत्मसात के लिए निम्नलिखित सिफारिशें संक्षेप में तैयार कर सकते हैं:

1. एक कार्य निर्धारित करें, लंबे समय तक शैक्षिक सामग्री को जल्दी और दृढ़ता से याद रखें।

2. सीखने की जरूरत पर ध्यान दें।

3. स्टडी मटेरियल को अच्छे से समझें।

4. याद किए गए पाठ की योजना बनाएं, उसमें मुख्य विचारों को उजागर करें, पाठ को भागों में विभाजित करें।

5. यदि सामग्री बड़ी है, तो क्रमिक रूप से एक के बाद एक भाग को आत्मसात करें, और फिर सब कुछ समग्र रूप से बताएं।

6. सामग्री को पढ़ने के बाद उसे पुन: प्रस्तुत करना आवश्यक है (जो पढ़ा गया था उसे बताएं)।

7. सामग्री को तब तक दोहराएं जब तक वह भूल न जाए।

8. पुनरावृत्ति को अधिक समय तक वितरित करें।

9. याद करते समय, विभिन्न प्रकार की मेमोरी (मुख्य रूप से सिमेंटिक) और अपनी मेमोरी की कुछ व्यक्तिगत विशेषताओं (दृश्य, श्रवण या मोटर) का उपयोग करें।

10. बिस्तर पर जाने से पहले कठिन सामग्री को दोहराया जाना चाहिए, और फिर सुबह में, "ताजा स्मृति के लिए।"

11. अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लाने का प्रयास करें। यह उन्हें स्मृति में रखने का सबसे अच्छा तरीका है (बिना किसी कारण के वे कहते हैं: "सिद्धांत की असली मां दोहराव नहीं है, बल्कि आवेदन है")।

12. कुछ नया सीखने के लिए अधिक ज्ञान प्राप्त करना आवश्यक है।

अब आप सीख चुके हैं कि अध्ययन की गई सामग्री को जल्दी और सही तरीके से कैसे याद किया जाए।

2 से 10 . तक क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के साथ संयोजन में कुछ संख्याओं को 9 से गुणा करने की एक दिलचस्प तकनीक

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

दिलचस्प खेल "संख्या का अनुमान लगाएं"

क्या आपने गेस द नंबर गेम खेला है? यह एक बहुत ही सरल खेल है। मान लीजिए कि मैं 100 से कम की प्राकृतिक संख्या के बारे में सोचता हूं, इसे कागज पर लिख लें (ताकि धोखा देने का कोई तरीका न हो), और आप ऐसे प्रश्न पूछकर इसका अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं जिनका उत्तर केवल "हां" या "नहीं" में दिया जा सकता है। . तब आप संख्या का अनुमान लगाते हैं, और मैं इसका अनुमान लगाने की कोशिश करता हूं। जो कम से कम प्रश्नों में अनुमान लगाता है वह जीत जाता है।

मेरी संख्या का अनुमान लगाने के लिए आपको कितने प्रश्नों की आवश्यकता है? मत जानो? मैं केवल सात प्रश्न पूछकर आपकी संख्या का अनुमान लगाने का वचन देता हूं। कैसे? लेकिन, उदाहरण के लिए, कैसे। आपको संख्या का अनुमान लगाने दीजिए। मैं पूछता हूं, "क्या यह 64 से कम है?" - "हाँ"। - "32 से कम?" - "हाँ"। - "16 से कम?" - "हाँ"। - "8 से कम?" - "नहीं"। - "12 से कम?" - "नहीं"। - "14 से कम?" - "हाँ"। - "13 से कम?" - "नहीं"। - "13 नंबर की कल्पना की गई है।"

साफ़? मैं संभावित संख्याओं के समुच्चय को आधे में विभाजित करता हूं, फिर शेष आधे को फिर से आधे में, और इसी तरह, जब तक कि शेष एक संख्या न हो जाए।

यदि आपको खेल पसंद है या, इसके विपरीत, आप और अधिक चाहते हैं, तो पुस्तकालय में जाएं और "ए" पुस्तक लें। पी. सविन (गणितीय लघुचित्र)। इस किताब में आपको बहुत सी रोचक और रोमांचक चीजें मिलेंगी। पुस्तक चित्र:

ध्यान देने के लिए आप सभी का धन्यवाद

और मैं आपको सफलता की कामना करता हूं !!!

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तर्कसंगत गिनती का रहस्य क्या है?

कार्य का उद्देश्य: सूचना की खोज, तर्कसंगत गणना की मौजूदा विधियों और तकनीकों का अध्ययन, व्यवहार में उनका अनुप्रयोग।

कार्य: 1. समानांतर कक्षाओं के बीच प्रश्नावली के रूप में एक छोटा सर्वेक्षण करें। 2. शोध के विषय पर विश्लेषण करें: स्कूल के पुस्तकालय में उपलब्ध साहित्य, कक्षा 5 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक में जानकारी के साथ-साथ इंटरनेट पर भी। 3. तर्कसंगत गणना के सबसे प्रभावी तरीके और साधन चुनें। 4. तेजी से मौखिक और लिखित गिनती के मौजूदा तरीकों का वर्गीकरण करें। 5. समानांतर 5 कक्षाओं में उपयोग के लिए तर्कसंगत गणना तकनीकों वाले मेमो बनाएं।

जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, तर्कसंगत गणना का विषय न केवल छात्रों के लिए, बल्कि प्रत्येक व्यक्ति के लिए प्रासंगिक है, यह सुनिश्चित करने के लिए, मैंने 5 वीं कक्षा के छात्रों के बीच एक सर्वेक्षण किया। सर्वेक्षण के प्रश्न और उत्तर आपको आवेदन में प्रस्तुत किए जाते हैं।

एक तर्कसंगत खाता क्या है? एक तर्कसंगत खाता एक सुविधाजनक खाता है (तर्कसंगत शब्द का अर्थ सुविधाजनक, सही है)

छात्रों को क्यों होती है परेशानी?

यहाँ कुछ धारणाएँ हैं: छात्र: 1. अध्ययन किए गए विषय में अच्छी तरह से महारत हासिल नहीं की; 2. सामग्री को दोहराता नहीं है; 3. खराब गिनती कौशल है; चार । सोचता है कि उसे इसकी आवश्यकता नहीं होगी।

मौखिक और लिखित गणना के तर्कसंगत तरीके। कार्य और जीवन में विभिन्न प्रकार की गणनाओं की आवश्यकता निरंतर उत्पन्न होती है। मानसिक गणना के सरलतम तरीकों का उपयोग करने से थकान कम होती है, ध्यान और स्मृति विकसित होती है।

जोड़ के चार तरीके हैं जो आपको गणनाओं में तेजी लाने की अनुमति देते हैं। I. संख्याओं के सरलीकृत जोड़ के लिए तकनीक

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि का उपयोग मानसिक गणनाओं में किया जाता है, क्योंकि यह शब्दों के योग को सरल और गति प्रदान करता है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, जोड़ उच्चतम अंकों से शुरू होता है: दूसरे पद के संबंधित अंक पहले पद में जोड़े जाते हैं। उदाहरण। इस विधि का प्रयोग करके संख्याओं 5287 और 3564 का योग ज्ञात कीजिए। समाधान। हम निम्नलिखित क्रम में गणना करेंगे: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851। उत्तर : 8 851.

क्रमिक बिटवाइज़ जोड़ का दूसरा तरीका यह है कि दूसरे पद के उच्चतम अंक को पहले पद के उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है, फिर दूसरे पद के अगले अंक को पहले पद के अगले अंक में जोड़ा जाता है, और इसी तरह आगे भी। आइए दिए गए उदाहरण में इस समाधान पर विचार करें, हमें मिलता है: 5,000 + 3,000 = 8,000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 उत्तर: 8851।

गोल संख्या विधि। एक या अधिक शून्य में समाप्त होने वाली संख्या को गोल संख्या कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब दो या दो से अधिक पदों को चुना जा सकता है जिन्हें एक गोल संख्या में पूरा किया जा सकता है। गणना की स्थिति में निर्दिष्ट गोल संख्या और संख्या के बीच के अंतर को पूरक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1000 - 978 = 22। इस मामले में, संख्या 22 संख्या 978 से 1000 की अंकगणितीय पूरक है। गोल संख्या विधि से जोड़ने के लिए, गोल संख्याओं के करीब एक या अधिक पदों को पूर्णांकित किया जाना चाहिए, गोल संख्याएँ जोड़नी चाहिए, और परिणामी योग से अंकगणितीय योग घटाना चाहिए। उदाहरण। गोल संख्या विधि का उपयोग करके संख्याओं 1238 और 193 का योग ज्ञात कीजिए। समाधान। संख्या 193 से 200 तक गोल करें और इस प्रकार जोड़ें: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431।

शर्तों को समूहीकृत करने की विधि। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब पदों को एक साथ समूहित करने पर, गोल संख्याएँ दी जाती हैं, जिन्हें बाद में एक साथ जोड़ दिया जाता है। उदाहरण। संख्याओं 74, 32, 67, 48, 33 और 26 का योग ज्ञात कीजिए। हल। आइए इस प्रकार समूहीकृत संख्याओं का योग करें: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280।

शब्दों के समूहन के आधार पर जोड़ विधि। उदाहरण: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50 = 5050।

द्वितीय. संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीक

अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि। यह विधि क्रमिक रूप से घटाए गए अंक से घटाए गए प्रत्येक अंक को घटाती है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब संख्याओं को गोल नहीं किया जा सकता है। उदाहरण। संख्याओं 721 और 398 के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए। आइए निम्नलिखित क्रम में दी गई संख्याओं का अंतर ज्ञात करने के लिए क्रियाएँ करें: संख्या 398 को योग के रूप में निरूपित करें: 300 + 90 + 8 = 398; थोड़ा सा घटाव करें: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

गोल संख्या विधि। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सबट्रेंड एक गोल संख्या के करीब होता है। गणना करने के लिए, एक गोल संख्या के रूप में लिए गए सबट्रेंड को घटाए गए से घटाना और परिणामी अंतर में अंकगणितीय जोड़ जोड़ना आवश्यक है। उदाहरण। आइए गोल संख्या पद्धति का उपयोग करके संख्याओं 235 और 197 के बीच के अंतर की गणना करें। समाधान। 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीक

एक से गुणा और उसके बाद शून्य। जब किसी संख्या को किसी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें शून्य (10; 100; 1,000, आदि) के बाद एक इकाई शामिल होती है, तो उसे दाईं ओर उतने ही शून्य दिए जाते हैं जितने कि इकाई के बाद गुणक में होते हैं। उदाहरण। संख्या 568 और 100 का गुणनफल ज्ञात कीजिए। हल। 568 x 100 = 56,800।

अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि। इस विधि का प्रयोग किसी संख्या को किसी एक अंक की संख्या से गुणा करते समय किया जाता है। यदि आपको दो अंकों (तीन-, चार अंकों, आदि) संख्या को एक एकल से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले कारकों में से एक को दूसरे कारक के दसियों से गुणा किया जाता है, फिर इसकी इकाइयों और परिणामी उत्पादों से गुणा किया जाता है सारांश पेश करना। उदाहरण। आइए संख्या 39 और 7 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273।

गोल संख्या विधि। इस पद्धति का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब कारकों में से एक गोल संख्या के करीब हो। गुणक को एक गोल संख्या से गुणा किया जाता है, और फिर अंकगणितीय जोड़ से, और अंत में पहले उत्पाद से दूसरा घटाया जाता है। उदाहरण। आइए 174 और 69 की संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006।

कारकों में से एक का विस्तार करने का एक तरीका। इस पद्धति में, कारकों में से एक को पहले भागों (शब्दों) में विघटित किया जाता है, फिर दूसरे कारक को पहले कारक के प्रत्येक भाग से गुणा किया जाता है, और परिणामी उत्पादों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है। उदाहरण। आइए संख्या 13 और 325 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। आइए संख्या को शब्दों में विघटित करें: 13 \u003d 10 + 3। आइए प्राप्त प्रत्येक पद को 325: 10 x 325 \u003d 3 250 से गुणा करें; 3 x 325 = 975 हम प्राप्त उत्पादों का योग करते हैं: 3,250 + 975 = 4,225।

तेजी से मानसिक गिनती का राज। मानसिक गणना प्रणाली हैं जो आपको मौखिक रूप से जल्दी और तर्कसंगत रूप से गिनने की अनुमति देती हैं। हम कुछ सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली तकनीकों को देखेंगे।

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना।

उदाहरण: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (वितरण कानून और गोल संख्या विधि) हम इस पद्धति का अध्ययन किया, लेकिन हमें दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने का एक और रहस्य नहीं पता था।

दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने पर प्राप्त परिणामों को देखते हुए, मैंने देखा कि आप उत्तर को अधिक सुविधाजनक तरीके से प्राप्त कर सकते हैं: जब दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा किया जाता है, तो इस संख्या के अंक अलग हो जाते हैं और इनका योग अंकों को बीच में रखा गया है। उदाहरण। क) 23 11=253, क्योंकि 2+3=5; बी) 45 11=495, क्योंकि 4+5=9; ग) 57 11=627, क्योंकि 5+7=12, दो को बीच में रखा गया, और एक को सैकड़ा के स्थान पर जोड़ा गया; मुझे इंटरनेट पर इस पद्धति की पुष्टि मिली।

2) दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल जिसमें दहाई की संख्या समान है, और इकाइयों का योग 10 है, अर्थात 23 27; 34 36; 52 58, आदि नियम: प्राकृतिक श्रृंखला में दहाई के अंक को अगले अंक से गुणा किया जाता है, परिणाम नीचे लिखा जाता है और इकाइयों के उत्पाद को इसके लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। उदाहरण। ए) 23 27 = 621। आपको 621 कैसे मिले? हम संख्या 2 को 3 से गुणा करते हैं ("दो" के बाद "तीन"), यह 6 होगा, और आगे हम इकाइयों के उत्पाद को असाइन करेंगे: 3 7 \u003d 21, यह 621 निकला। b) 34 36 = 1224, चूँकि 3 4 = 12, हम 24 को संख्या 12 से जोड़ते हैं, यह इन संख्याओं की इकाइयों का गुणनफल है: 4 6।

3) समान अंकों वाली तीन अंकों की संख्याओं को 37 संख्या से विभाजित करना। परिणाम तीन अंकों की संख्या के इन समान अंकों के योग के बराबर होता है (या तीन अंकों की संख्या के अंकों के तीन गुना के बराबर संख्या) ) उदाहरण। क) 222:37=6. यह 2+2+2=6 का योग है। ख) 333:37=9, क्योंकि 3+3+3=9। ग) 777:37=21, क्योंकि 7+7+7=21. घ) 888:37=24, 8+8+8=24 के बाद से। हम इस तथ्य को भी ध्यान में रखते हैं कि 888:24=37.

तर्कसंगत मानसिक गणना के कौशल में महारत हासिल करने से आपका काम और अधिक कुशल हो जाएगा। यह उपरोक्त सभी अंकगणितीय संक्रियाओं की अच्छी महारत के साथ ही संभव है। गणना के तर्कसंगत तरीकों का उपयोग गणना को गति देता है और आवश्यक सटीकता प्रदान करता है।

निष्कर्ष अपने काम के विषय में मुख्य रहस्य को जानने के लिए, मुझे कड़ी मेहनत करनी पड़ी - जानकारी खोजने, विश्लेषण करने, सहपाठियों से सवाल करने, शुरुआती ज्ञात तरीकों को दोहराने और तर्कसंगत गिनती के कई अपरिचित तरीकों को खोजने के लिए, और अंत में, यह समझें कि इसका क्या है गुप्त? और मैंने महसूस किया कि मुख्य बात यह है कि ज्ञात लोगों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना, गिनती के नए तर्कसंगत तरीकों को खोजने के लिए, गुणन तालिका को जानना, संख्या (वर्ग और अंक) की संरचना, अंकगणितीय संचालन के नियम। इसके अलावा, ऐसा करने के नए तरीकों की तलाश करें:

संख्याओं के सरलीकृत जोड़ के लिए तकनीक: (क्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि; एक गोल संख्या की विधि; किसी एक कारक को शब्दों में विघटित करने की विधि); - संख्याओं के सरलीकृत घटाव के लिए तकनीक (क्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि; एक गोल संख्या की विधि); - संख्याओं के सरलीकृत गुणा के लिए तकनीक (एक के बाद एक शून्य से गुणा; अनुक्रमिक बिटवाइज गुणा की विधि; एक गोल संख्या की विधि; कारकों में से एक के विस्तार की विधि; - त्वरित मानसिक गणना का रहस्य (दो अंकों की संख्या का गुणा) 11: जब दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा किया जाता है, तो इस संख्या के अंकों को अलग कर दिया जाता है और बीच में वे इन अंकों का योग डालते हैं; दो अंकों की संख्या का गुणन जिसमें दसियों की संख्या समान होती है, और योग इकाइयों की संख्या 10 है; समान अंकों वाली तीन अंकों की संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करना। शायद, अभी भी ऐसे बहुत से तरीके हैं, इसलिए मैं अगले साल इस विषय पर काम करना जारी रखूंगा।

अंत में, मैं अपना भाषण निम्नलिखित शब्दों के साथ समाप्त करना चाहूंगा:

ध्यान देने के लिए आप सभी का धन्यवाद, मैं आपकी सफलता की कामना करता हूं !!!