आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए कतार प्रणाली के गणितीय मॉडल। काम शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि उपकरण और तारों को कोई दृश्य क्षति नहीं है

तस्वीर 0 - 2 इवेंट स्ट्रीम (ए) और सबसे सरल स्ट्रीम (बी)

10.5.2.1. stationarity

प्रवाह को स्थिर कहा जाता है , यदि प्रारंभिक अवधि में एक या दूसरी घटनाओं को हिट करने की संभावना है लंबाई (

चित्र 0-2 , एक)केवल खंड की लंबाई पर निर्भर करता है और यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि वास्तव में अक्ष पर कहां हैटी यह क्षेत्र स्थित है।

प्रवाह की स्थिरता का अर्थ है समय में इसकी एकरूपता; ऐसे प्रवाह की संभाव्य विशेषताएं समय के साथ नहीं बदलती हैं। विशेष रूप से, घटनाओं के प्रवाह की तथाकथित तीव्रता (या "घनत्व"), एक स्थिर प्रवाह के लिए प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या स्थिर रहनी चाहिए। यह, ज़ाहिर है, इसका मतलब यह नहीं है कि समय की प्रति इकाई दिखाई देने वाली घटनाओं की वास्तविक संख्या स्थिर है; प्रवाह में स्थानीय सांद्रता और दुर्लभता हो सकती है। यह महत्वपूर्ण है कि एक स्थिर प्रवाह के लिए ये सांद्रता और विरलन नियमित प्रकृति के न हों, और एक समय अंतराल पर पड़ने वाली घटनाओं की औसत संख्या विचाराधीन पूरी अवधि के लिए स्थिर रहती है।

व्यवहार में, अक्सर ऐसी घटनाओं का प्रवाह होता है जिन्हें (कम से कम सीमित समय के लिए) स्थिर माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12 से 13 घंटे के अंतराल में टेलीफोन एक्सचेंज में आने वाली कॉलों के प्रवाह को स्थिर माना जा सकता है। एक ही प्रवाह अब पूरे दिन के लिए स्थिर नहीं रहेगा (रात में, कॉलों के प्रवाह की तीव्रता दिन की तुलना में बहुत कम होती है)। ध्यान दें कि अधिकांश भौतिक प्रक्रियाओं के मामले में भी यही स्थिति है जिसे हम "स्थिर" कहते हैं, वे केवल सीमित अवधि के लिए स्थिर हैं, और इस अवधि को अनंत तक विस्तारित करना सरलीकरण के लिए उपयोग की जाने वाली एक सुविधाजनक चाल है।

10.5.2.2. कोई परिणाम नहीं

घटनाओं के प्रवाह को बिना प्रभाव के प्रवाह कहा जाता है , यदि किसी भी गैर-अतिव्यापी समय अंतराल के लिए उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कितनी घटनाएं दूसरे पर गिरीं (या अन्य, यदि दो से अधिक खंडों पर विचार किया जाता है)।

ऐसी धाराओं में, धारा बनाने वाली घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से समय पर क्रमिक बिंदुओं पर प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रो स्टेशन में प्रवेश करने वाले यात्रियों के प्रवाह को बिना किसी प्रभाव के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से इस विशेष क्षण में एक व्यक्तिगत यात्री के आगमन का कारण बनता है, और दूसरे पर नहीं, एक नियम के रूप में, समान कारणों से संबंधित नहीं हैं। अन्य यात्रियों के लिए। यदि ऐसी निर्भरता दिखाई देती है, तो एक परिणाम की अनुपस्थिति की स्थिति का उल्लंघन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रेलवे लाइन के साथ जाने वाली मालगाड़ियों के प्रवाह पर विचार करें। यदि, सुरक्षा कारणों से, वे समय के अंतराल से अधिक बार एक दूसरे का अनुसरण नहीं कर सकते हैं t0 , तो धारा में घटनाओं के बीच एक निर्भरता होती है, और कोई परिणाम नहीं होने की स्थिति का उल्लंघन होता है। हालांकि, अगर अंतराल t0 ट्रेनों के बीच औसत अंतराल की तुलना में छोटा है, तो ऐसा उल्लंघन नगण्य है।

तस्वीर 0 - 3 पॉसों वितरण

अक्ष पर विचार करेंटी तीव्रता के साथ घटनाओं का सबसे सरल प्रवाह λ। (चित्र 0-2 ख) . हम इस धारा में आसन्न घटनाओं के बीच एक यादृच्छिक समय अंतराल टी में रुचि लेंगे; इसका वितरण नियम ज्ञात कीजिए। सबसे पहले, आइए वितरण फ़ंक्शन खोजें:

एफ (टी) = पी (टी ( 0-2)

यानी प्रायिकता कि T . का मान से कम मूल्य होगाटी. अंतराल टी की शुरुआत से अलग सेट करें (अंक t0) खंड टी और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंतराल T कम होगाटी . ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि लंबाई के एक खंड के लिएटी , एक बिंदु के निकट t0 , कम से कम एक थ्रेड इवेंट हिट। आइए इसकी संभावना की गणना करेंएफ (टी) विपरीत घटना की संभावना के माध्यम से (प्रति खंडटी कोई स्ट्रीम ईवेंट हिट नहीं होगा):

एफ (टी) \u003d 1 - पी 0

संभावना पी 0हम सूत्र (1) द्वारा पाते हैं, मान लेते हैंएम = 0:

मान T का वितरण फलन कहाँ से होगा:

(0-3)

वितरण घनत्व ज्ञात करने के लिएच (टी) अनियमित चर टी,व्यंजक (0‑1) में अंतर करना आवश्यक हैटी:

0-4)

घनत्व (0-4) वाला वितरण नियम घातांक कहलाता है (या घातांक ). मान को पैरामीटर कहा जाता है अनुकरणीय कानून।

चित्र 0 - 4 घातांकी रूप से वितरण

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं टी- गणितीय अपेक्षा (औसत मूल्य)एम [टी] = एमटी , और फैलाव डी टी। हमारे पास है

( 0-5)

(भागों द्वारा एकीकृत).

T के मान का फैलाव है:

(0-6)

विचरण का वर्गमूल निकालने पर, हम यादृच्छिक चर का मानक विचलन पाते हैं टी।

तो, एक घातीय वितरण के लिए, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर के विपरीत हैं, जहां । प्रवाह तीव्रता।

इस प्रकार, उपस्थिति एम एक निश्चित समय अंतराल में होने वाली घटनाएं पॉइसन वितरण से मेल खाती हैं, और संभावना है कि घटनाओं के बीच का समय अंतराल कुछ पूर्व निर्धारित संख्या से कम होगा, घातीय वितरण से मेल खाती है। ये सभी एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के अलग-अलग विवरण हैं।

क्यूएस उदाहरण -1 .

एक उदाहरण के रूप में, बड़ी संख्या में ग्राहकों की सेवा करने वाली रीयल-टाइम बैंकिंग प्रणाली पर विचार करें। व्यस्त समय के दौरान, ग्राहकों के साथ काम करने वाले बैंक टेलर के अनुरोध एक पॉइसन प्रवाह बनाते हैं और औसतन दो प्रति 1 सेकंड (λ = 2) आते हैं। प्रवाह में 2 अनुरोध प्रति सेकंड की दर से आने वाले अनुरोध शामिल होते हैं।

संभावना पी की गणना करें (एम) घटनाएं एम 1 एस में संदेश। चूंकि = 2, पिछले सूत्र से हमारे पास है

एम = . को प्रतिस्थापित करना 0, 1, 2, 3, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं (चार तकदशमलव स्थान):

चित्र 0 - 5 सरलतम प्रवाह उदाहरण

1 s में 9 से अधिक संदेश भी संभव हैं, लेकिन इसकी संभावना बहुत कम है (लगभग 0.000046)।

परिणामी वितरण को हिस्टोग्राम के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र में दिखाया गया है)।

सीएमओ-2 का उदाहरण।

एक उपकरण (सर्वर) जो 1s में तीन संदेशों को संसाधित करता है।

ऐसे उपकरण होने दें जो तीन संदेशों को 1 s (µ=3) में संसाधित कर सकें। औसतन, 1s में और उसके अनुसार दो संदेश प्राप्त होते हैंसी पॉसों वितरण। इन संदेशों का कितना अनुपात प्राप्त होने पर तुरंत संसाधित किया जाएगा?

आगमन दर 3 s से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता द्वारा दी गई है

यदि सिस्टम 1 सेकंड में अधिकतम 3 संदेशों को संसाधित कर सकता है, तो संभावना है कि यह अतिभारित नहीं होगा

दूसरे शब्दों में, 85.71% संदेश तुरंत और 14.29% कुछ देरी से परोसे जाएंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, 3 संदेशों के प्रसंस्करण समय से अधिक समय के लिए एक संदेश को संसाधित करने में देरी शायद ही कभी होगी। 1 संदेश का संसाधन समय औसतन 1/3 सेकंड है। इसलिए, 1s से अधिक की देरी दुर्लभ होगी, जो कि अधिकांश प्रणालियों के लिए काफी स्वीकार्य है।

सीएमओ उदाहरण 3

· यदि कोई बैंक टेलर अपने काम के 80% समय में व्यस्त है, और वह शेष समय ग्राहकों की प्रतीक्षा में बिताता है, तो उसे 0.8 के उपयोग कारक के साथ एक उपकरण के रूप में माना जा सकता है।

· यदि संचार चैनल का उपयोग 2400 बीपीएस की दर से 8-बिट प्रतीकों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है, अर्थात 1 एस में अधिकतम 2400/8 प्रतीक प्रसारित होते हैं, और हम एक ऐसी प्रणाली का निर्माण कर रहे हैं जिसमें डेटा की कुल मात्रा 12000 प्रतीक भेजे गए हैं चैनल के माध्यम से विभिन्न उपकरणों से प्रति व्यस्त मिनट (सिंक्रनाइज़ेशन, संदेश के अंत वर्ण, नियंत्रण वर्ण, आदि सहित), तो इस मिनट के दौरान संचार चैनल के उपकरण की उपयोग दर बराबर है

· यदि व्यस्त घंटे फ़ाइल एक्सेस इंजन 9000 फ़ाइल एक्सेस करता है, और प्रति एक्सेस समय औसतन 300 एमएस है, तो व्यस्त घंटे एक्सेस इंजन हार्डवेयर उपयोग है

उपकरण उपयोग की अवधारणा का अक्सर उपयोग किया जाएगा। उपकरण का उपयोग 100% के जितना करीब होगा, देरी उतनी ही अधिक होगी और कतार भी लंबी होगी।

पिछले सूत्र का उपयोग करके, आप पॉइसन फ़ंक्शन मानों की तालिकाएँ संकलित कर सकते हैं, जिससे आप प्राप्त करने की संभावना निर्धारित कर सकते हैंएम या एक निश्चित अवधि में अधिक संदेश। उदाहरण के लिए, यदि प्रति सेकंड औसतन 3.1 संदेश [अर्थात। ई. = 3.1], तो किसी दिए गए सेकंड में 5 या अधिक संदेश प्राप्त करने की संभावना है 0.2018 (के लिएएम = 5 तालिका में)। या विश्लेषणात्मक रूप में

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, सिस्टम विश्लेषक इस संभावना की गणना कर सकता है कि सिस्टम किसी दिए गए लोड मानदंड को पूरा नहीं करेगा।

उपकरण लोड मूल्यों के लिए अक्सर प्रारंभिक गणना की जा सकती है।

पी 0.9

ये मान पोइसन तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

फिर से औसत संदेश आगमन दर = 3.1 संदेश/सेकेंड दें। तालिकाओं से यह पता चलता है कि 1 s में 6 या अधिक संदेश प्राप्त करने की प्रायिकता 0.0943 है। इसलिए, इस संख्या को प्रारंभिक गणना के लिए लोड मानदंड के रूप में लिया जा सकता है।

10.6.2. डिजाइन चुनौतियां

डिवाइस पर संदेशों के आगमन की यादृच्छिक प्रकृति के साथ, बाद वाला समय प्रत्येक संदेश को संसाधित करने या सर्विस करने में खर्च करता है, जिसके परिणामस्वरूप कतारें बनती हैं। बैंक में कतार खजांची और उसके कंप्यूटर (टर्मिनल) की रिहाई की प्रतीक्षा कर रही है। कंप्यूटर के इनपुट बफर में संदेश कतार प्रोसेसर द्वारा संसाधित होने की प्रतीक्षा कर रही है। डेटा सरणियों के लिए अनुरोधों की कतार चैनल आदि के जारी होने की प्रतीक्षा कर रही है। सिस्टम की सभी बाधाओं में कतारें बन सकती हैं।

उपकरण की उपयोग दर जितनी अधिक होगी, परिणामी कतारें उतनी ही लंबी होंगी। जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, एक ऐसी प्रणाली को डिजाइन करना संभव है जो = 0.7 के उपयोग कारक के साथ संतोषजनक ढंग से काम करे, लेकिन > 0.9 से अधिक कारक सेवा की खराब गुणवत्ता का परिणाम हो सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि बल्क डेटा लिंक में 20% लोड है, तो उस पर कतार होने की संभावना नहीं है। अगर लोड हो रहा है; 0.9 है, तो, एक नियम के रूप में, कतारें बनेंगी, कभी-कभी बहुत बड़ी।

उपकरण उपयोग का गुणांक उपकरण पर भार के अनुपात के बराबर है जो यह उपकरण सामना कर सकता है, या उस समय के अनुपात के बराबर है जब उपकरण अपने संचालन के कुल समय पर कब्जा कर लेता है।

एक प्रणाली को डिजाइन करते समय, विभिन्न प्रकार के उपकरणों के लिए उपयोग कारक का अनुमान लगाना आम बात है; प्रासंगिक उदाहरण बाद के अध्यायों में दिए जाएंगे। इन गुणांकों को जानने से आप संबंधित उपकरणों के लिए कतारों की गणना कर सकते हैं।

· कतार की लंबाई क्या है?

· इसमे कितना टाइम लगेगा?

इस प्रकार के प्रश्नों का उत्तर क्यूइंग थ्योरी का उपयोग करके दिया जा सकता है।

10.6.3. कतार प्रणाली, उनकी कक्षाएं और मुख्य विशेषताएं

क्यूएस के लिए, घटना प्रवाह अनुरोधों का प्रवाह है, "सर्विसिंग" अनुरोधों का प्रवाह, आदि। यदि ये प्रवाह पॉइसन (मार्कोव प्रक्रिया) नहीं हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रियाओं का गणितीय विवरण अतुलनीय रूप से अधिक जटिल हो जाता है और इसके लिए अधिक बोझिल उपकरण की आवश्यकता होती है, इसे विश्लेषणात्मक सूत्रों में लाना सरलतम मामलों में ही संभव है।

हालांकि, "मार्कोवियन" कतार सिद्धांत का तंत्र उस मामले में भी उपयोगी हो सकता है जब क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया मार्कोव एक से अलग होती है; इसकी मदद से, क्यूएस दक्षता विशेषताओं का अनुमान लगाया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस जितना जटिल होगा, इसमें जितने अधिक सेवा चैनल होंगे, मार्कोव सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित सूत्र उतने ही सटीक होंगे। इसके अलावा, कई मामलों में, क्यूएस के संचालन के प्रबंधन के बारे में सूचित निर्णय लेने के लिए, इसकी सभी विशेषताओं का सटीक ज्ञान होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, अक्सर काफी अनुमानित, सांकेतिक।

QS को सिस्टम में वर्गीकृत किया गया है:

विफलताओं (नुकसान के साथ)। ऐसी प्रणालियों में, एक अनुरोध जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, एक "इनकार" प्राप्त करता है, QS छोड़ देता है और आगे की सेवा प्रक्रिया में भाग नहीं लेता है।

प्रतीक्षा करना (कतार के साथ)। ऐसी प्रणालियों में, एक अनुरोध जो तब आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, कतारबद्ध हो जाता है और तब तक प्रतीक्षा करता है जब तक कि चैनलों में से एक मुक्त नहीं हो जाता। जब चैनल मुफ़्त होता है, तो कतार में लगे अनुप्रयोगों में से एक को सेवा के लिए स्वीकार किया जाता है।

प्रतीक्षा प्रणाली में सेवा (कतार अनुशासन) हो सकती है

व्यवस्थित (आवेदनों को प्राप्ति के क्रम में प्रस्तुत किया जाता है),

· बेक़ायदा(आवेदन यादृच्छिक क्रम में प्रस्तुत किए जाते हैं) या

ढेर (अंतिम आवेदन पहले कतार से चुना जाता है)।

वरीयता

हे स्थिर प्राथमिकता के साथ

हे गतिशील प्राथमिकता के साथ

(बाद के मामले में प्राथमिकता टेट, उदाहरण के लिए, अनुरोध के लिए प्रतीक्षा समय के साथ बढ़ सकता है)।

कतार वाले सिस्टम को सिस्टम में विभाजित किया जाता है

· असीमित प्रतीक्षा के साथ और

· सीमित . के साथ प्रतीक्षा करना।

असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, प्रत्येक अनुरोध जो उस समय आता है जब कोई मुफ्त चैनल नहीं होता है, कतार में लग जाता है और "धैर्यपूर्वक" चैनल के जारी होने की प्रतीक्षा करता है जो इसे सेवा के लिए स्वीकार करेगा। सीएमओ द्वारा प्राप्त किसी भी आवेदन को जल्द या बाद में तामील किया जाएगा।

सीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, आवेदन के कतार में रहने पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं। ये प्रतिबंध लागू हो सकते हैं

· कतार की लंबाई (सीमित कतार लंबाई के साथ कतार प्रणाली में एक साथ अनुप्रयोगों की संख्या),

· वह समय जब आवेदन कतार में रहता है (कतार में रहने की एक निश्चित अवधि के बाद, आवेदन कतार छोड़ देता है और सिस्टम सीमित प्रतीक्षा समय के साथ छोड़ देता है),

· QS . में आवेदन द्वारा बिताया गया कुल समय

आदि।

क्यूएस के प्रकार के आधार पर, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करते समय, कुछ मूल्यों (प्रदर्शन संकेतक) का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विफलताओं वाले क्यूएस के लिए, इसकी उत्पादकता की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक तथाकथित है पूर्ण बैंडविड्थअनुरोधों की औसत संख्या जो सिस्टम समय की प्रति यूनिट सेवा कर सकता है।

निरपेक्ष के साथ-साथ अक्सर माना जाता है सापेक्ष थ्रूपुटसीएमओ सिस्टम द्वारा दिए गए आने वाले अनुरोधों का औसत हिस्सा है (इस समय के दौरान प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या के लिए समय की प्रति यूनिट सिस्टम द्वारा दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या का अनुपात)।

विफलताओं के साथ क्यूएस के विश्लेषण में पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट के अलावा, हम अध्ययन के कार्य के आधार पर, अन्य विशेषताओं में रुचि ले सकते हैं, उदाहरण के लिए:

· व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

· संपूर्ण और एक व्यक्तिगत चैनल के रूप में सिस्टम का औसत सापेक्ष डाउनटाइम

आदि।

प्रत्याशित QS में थोड़ी भिन्न विशेषताएं होती हैं। जाहिर है, असीमित प्रतीक्षा समय वाले क्यूएस के लिए, निरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट दोनों अपना अर्थ खो देते हैं, क्योंकि प्रत्येक दावा जल्दी आता है।या बाद में परोसा जाएगा। ऐसे क्यूएस के लिए, महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं:

· कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

· सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या (कतार में और सेवा के तहत);

· कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

· सिस्टम में एक एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया औसत समय (कतार में और सेवा के तहत);

साथ ही अपेक्षा की अन्य विशेषताएं।

सीमित प्रतीक्षा वाले क्यूएस के लिए, विशेषताओं के दोनों समूह रुचि के हैं: पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट, और प्रतीक्षा विशेषताओं दोनों।

क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए, सिस्टम के मुख्य मापदंडों को जानना आवश्यक है: चैनलों की संख्या पी,अनुप्रयोग प्रवाह तीव्रताλ , प्रत्येक चैनल का प्रदर्शन (अनुरोधों की औसत संख्या μ प्रति यूनिट समय चैनल द्वारा सेवित), कतार के गठन की शर्तें (प्रतिबंध, यदि कोई हो)।

इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर, क्यूएस संचालन दक्षता की विशेषताओं को व्यक्त किया जाता है।

10.6.4. एक डिवाइस के साथ सेवा के मामले में क्यूएस विशेषताओं की गणना के लिए सूत्र

चित्र 0 - 6 कतार के साथ कतार प्रणाली का मॉडल

संसाधित होने की प्रतीक्षा कर रहे प्रोसेसर के इनपुट पर संदेशों द्वारा ऐसी कतारें बनाई जा सकती हैं। वे मल्टीपॉइंट संचार चैनल से जुड़े ग्राहक स्टेशनों के संचालन के दौरान हो सकते हैं। इसी तरह पेट्रोल पंपों पर कारों की कतार लग जाती है। हालांकि, अगर सेवा में एक से अधिक प्रवेश द्वार हैं, तो हमारे पास कई उपकरणों के साथ एक कतार है और विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है।

सेवा अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के मामले पर विचार करें।

यहां प्रस्तुत कतार सिद्धांत का उद्देश्य कतार के औसत आकार के साथ-साथ कतारों में प्रतीक्षा कर रहे संदेशों द्वारा व्यतीत औसत समय का अनुमान लगाना है। यह अनुमान लगाना भी वांछनीय है कि कतार कितनी बार एक निश्चित लंबाई से अधिक हो जाती है। यह जानकारी हमें गणना करने की अनुमति देगी, उदाहरण के लिए, संदेश कतारों और संबंधित कार्यक्रमों को संग्रहीत करने के लिए बफर मेमोरी की आवश्यक मात्रा, संचार लाइनों की आवश्यक संख्या, हब के लिए आवश्यक बफर आकार, आदि। प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाना संभव होगा।

प्रत्येक विशेषता उपयोग किए गए साधनों के आधार पर भिन्न होती है।

एक सर्वर के साथ एक कतार पर विचार करें। कंप्यूटिंग सिस्टम को डिजाइन करते समय, इस प्रकार की अधिकांश कतारों की गणना उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके की जाती है।सेवा समय भिन्नता कारक

खिनचिन-पोलाचेक सूत्र का उपयोग सूचना प्रणाली के डिजाइन में कतार की लंबाई की गणना के लिए किया जाता है। यह सेवा समय के किसी भी वितरण और किसी भी नियंत्रण अनुशासन के लिए आगमन समय के घातीय वितरण के मामले में लागू होता है, जब तक कि सेवा के लिए अगले संदेश का चुनाव सेवा समय पर निर्भर न हो।

सिस्टम डिजाइन करते समय, ऐसी स्थितियां होती हैं जब कतारें उत्पन्न होती हैं जब नियंत्रण अनुशासन निस्संदेह सेवा समय पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कुछ मामलों में, हम तेजी से औसत सेवा समय प्राप्त करने के लिए पहले सेवा के लिए छोटे संदेशों का उपयोग करना चुन सकते हैं। संचार लाइन का प्रबंधन करते समय, आउटपुट संदेशों की तुलना में इनपुट संदेशों को उच्च प्राथमिकता देना संभव है, क्योंकि पहले वाले संदेश छोटे होते हैं। ऐसे मामलों में, खिनचिन समीकरण का उपयोग करना अब आवश्यक नहीं है

सूचना प्रणाली में अधिकांश सेवा समय इन दो मामलों के बीच में होता है। सेवा समय जो स्थिर हैं दुर्लभ हैं। यहां तक ​​कि सतह पर डेटा सरणियों की अलग-अलग स्थिति के कारण हार्ड डिस्क तक पहुंच का समय भी स्थिर नहीं है। निरंतर सेवा समय के मामले को दर्शाने वाला एक उदाहरण एक निश्चित लंबाई के संदेशों के प्रसारण के लिए संचार लाइन का व्यवसाय है।

दूसरी ओर, सेवा समय का प्रसार उतना बड़ा नहीं है जितना कि एक मनमाना या घातीय वितरण के मामले में, अर्थात, s शायद ही कभी मूल्यों तक पहुंचता हैटी एस. इस मामले को कभी-कभी "सबसे खराब स्थिति" माना जाता है और इसलिए सूत्रों का उपयोग किया जाता है जो सेवा समय के घातीय वितरण को संदर्भित करते हैं। इस तरह की गणना कुछ हद तक अनुमानित कतार आकार और प्रतीक्षा समय दे सकती है, लेकिन यह त्रुटि कम से कम खतरनाक नहीं है।

सेवा समय का घातीय वितरण निश्चित रूप से सबसे खराब स्थिति नहीं है जिससे किसी को वास्तव में निपटना पड़ता है। हालांकि, यदि कतारों की गणना से प्राप्त सेवा समय तेजी से वितरित समय की तुलना में खराब वितरित हो जाता है, तो यह अक्सर डेवलपर के लिए एक चेतावनी संकेत होता है। यदि मानक विचलन माध्य मान से अधिक है, तो आमतौर पर गणनाओं को सही करने की आवश्यकता होती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। 15, 20, 25, 30, 35, और 300 के सेवा समय के साथ छह संदेश प्रकार हैं। प्रत्येक प्रकार के संदेशों की संख्या समान है। इन समयों का मानक विचलन उनके औसत से कुछ अधिक है। अंतिम सेवा समय का मूल्य दूसरों की तुलना में बहुत बड़ा है। यह संदेशों को सेवा समय समान क्रम के होने की तुलना में अधिक लंबे समय तक कतार में रहने का कारण बनेगा। इस मामले में, डिजाइन करते समय, कतार की लंबाई को कम करने के उपाय करने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, यदि ये नंबर संदेश की लंबाई से संबंधित हैं, तो शायद बहुत लंबे संदेशों को भागों में विभाजित किया जाना चाहिए।

10.6.6. गणना उदाहरण

बैंकिंग प्रणाली को डिजाइन करते समय, उन ग्राहकों की संख्या जानना वांछनीय है, जिन्हें पीक आवर्स के दौरान एक कैशियर के लिए लाइन में इंतजार करना होगा।

सिस्टम प्रतिक्रिया समय और इसके मानक विचलन की गणना वर्कस्टेशन, प्रिंटिंग और दस्तावेज़ प्रसंस्करण से डेटा प्रविष्टि के समय को ध्यान में रखकर की जाती है।

कैशियर की कार्रवाई समयबद्ध थी। सेवा समय ts ग्राहक पर कैशियर द्वारा खर्च किए गए कुल समय के बराबर है। खजांची की उपयोगिता दर उसके रोजगार के समय के समानुपाती होती है। यदि व्यस्त समय के दौरान ग्राहकों की संख्या है, तो खजांची के लिए है

मान लें कि व्यस्त समय के दौरान प्रति घंटे 30 ग्राहक होते हैं। औसतन, एक कैशियर प्रति ग्राहक 1.5 मिनट खर्च करता है। फिर

= (1.5 * 30) / 60 = 0.75

यानी कैशियर का उपयोग 75% द्वारा किया जाता है।

रेखांकन का उपयोग करके लाइन में लोगों की संख्या का शीघ्रता से अनुमान लगाया जा सकता है। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि = 0.75, तो लोगों की औसत संख्या nq हैचेकआउट में लाइन में 1.88 और 3.0 के बीच मानक विचलन के आधार पर होता हैटी एस .

मान लें कि t . के लिए मानक विचलन का मापनएस 0.5 मिनट का मान दिया। फिर

एस = 0.33 टी एस

पहले आंकड़े में ग्राफ से, हम पाते हैं कि nq = 2.0, यानी औसतन, दो ग्राहक चेकआउट के लिए प्रतीक्षा कर रहे होंगे।

ग्राहक द्वारा चेकआउट पर बिताया गया कुल समय इस प्रकार पाया जा सकता है

टी = टी क्यू + टी एस = 2.5 मिनट + 1.5 मिनट = 4 मिनट

जहां टी सो खिनचिन-पोलाचेक सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

10.6.7. लाभ कारक

आंकड़ों में वक्रों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि जब कतार की सेवा करने वाले उपकरण 80% से अधिक उपयोग किए जाते हैं, तो वक्र खतरनाक दर से बढ़ने लगते हैं। डेटा ट्रांसमिशन सिस्टम के डिजाइन में यह तथ्य बहुत महत्वपूर्ण है। यदि हम 80% से अधिक हार्डवेयर उपयोग के साथ एक सिस्टम डिज़ाइन कर रहे हैं, तो ट्रैफ़िक में थोड़ी सी वृद्धि से सिस्टम के प्रदर्शन में भारी गिरावट आ सकती है या यह क्रैश भी हो सकता है।

आने वाले ट्रैफ़िक में x% की एक छोटी संख्या में वृद्धि। कतार के आकार में लगभग वृद्धि की ओर जाता है

यदि उपकरण उपयोग दर 50% है, तो यह वृद्धि सेवा समय के घातीय वितरण के लिए 4ts% के बराबर है। लेकिन अगर उपकरण का उपयोग 90% है, तो कतार के आकार में वृद्धि 100ts% है, जो कि 25 गुना अधिक है। 90% उपकरण उपयोग पर लोड में मामूली वृद्धि 50% उपकरण उपयोग के मामले की तुलना में कतार के आकार में 25 गुना वृद्धि की ओर ले जाती है।

इसी तरह, कतार का समय बढ़ जाता है

घातीय रूप से वितरित सेवा समय के साथ, इस मान का मान 4 t . हैएस 2 उपकरण उपयोग के लिए 50% और 100 t . के बराबरएस 2 90% के गुणांक के लिए, यानी फिर से 25 गुना बदतर।

इसके अलावा, छोटे उपकरण उपयोग कारकों के लिए, कतार के आकार पर s में परिवर्तन का प्रभाव नगण्य है। हालांकि, बड़े गुणांक के लिए, परिवर्तन σएस कतार के आकार को बहुत प्रभावित करता है। इसलिए, उच्च उपकरण उपयोग के साथ सिस्टम डिजाइन करते समय, पैरामीटर के बारे में सटीक जानकारी प्राप्त करना वांछनीय हैσ एस. टी . के वितरण की घातीयता के संबंध में धारणा की अशुद्धिएसके बड़े मूल्यों पर सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। इसके अलावा, यदि सेवा समय अचानक बढ़ जाता है, जो लंबे संदेशों को प्रसारित करते समय संचार चैनलों में संभव है, तो बड़े के मामले में, एक महत्वपूर्ण कतार बनती है।

पिछले व्याख्यान में माना जाता है, असतत राज्यों और निरंतर समय के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया कतार प्रणाली (क्यूएस) में होती है।

कतार प्रणाली - ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें सेवा अनुरोध यादृच्छिक समय पर प्राप्त होते हैं, जबकि प्राप्त अनुरोधों को सिस्टम के लिए उपलब्ध सेवा चैनलों का उपयोग करके सेवित किया जाता है।

कतार प्रणाली के उदाहरण हैं:

• बैंकों, उद्यमों में निपटान और नकद नोड्स;
• व्यक्तिगत कंप्यूटर जो आने वाले अनुप्रयोगों या कुछ समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकताओं की पूर्ति करते हैं;
• कार सर्विस स्टेशन; पेट्रोल पंप;
• ऑडिट फर्म;
• उद्यमों की वर्तमान रिपोर्टिंग की स्वीकृति और सत्यापन में शामिल कर निरीक्षण विभाग;
• टेलीफोन एक्सचेंज, आदि।

	समुद्री मील	आवश्यकताएं
अस्पताल	अर्दली	मरीजों
उत्पादन
हवाई अड्डा	रनवे से बाहर निकलता है पंजीकरण अंक	यात्रियों

क्यूएस ऑपरेशन की योजना पर विचार करें (चित्र 1)। सिस्टम में एक अनुरोध जनरेटर, एक डिस्पैचर और एक सेवा नोड, एक विफलता लेखा नोड (टर्मिनेटर, अनुरोध विध्वंसक) शामिल हैं। एक सेवा नोड में आम तौर पर कई सेवा चैनल हो सकते हैं।

चावल। एक

1. एप्लिकेशन जेनरेटर - एक वस्तु जो अनुप्रयोग उत्पन्न करती है: एक सड़क, स्थापित इकाइयों के साथ एक कार्यशाला। इनपुट है आवेदन प्रवाह(स्टोर में ग्राहकों का प्रवाह, मरम्मत के लिए टूटी हुई इकाइयों (कारों, मशीन टूल्स) का प्रवाह, अलमारी में आगंतुकों का प्रवाह, कारों का गैस स्टेशनों तक प्रवाह, आदि)।
2. डिस्पैचर - एक व्यक्ति या उपकरण जो जानता है कि टिकट के साथ क्या करना है। एक नोड जो सेवा चैनलों के अनुरोधों को नियंत्रित और निर्देशित करता है। डिस्पैचर:

• आवेदन स्वीकार करता है;
• यदि सभी चैनल व्यस्त हैं तो एक कतार बनाता है;
• उन्हें सेवा चैनलों, यदि कोई हो, के लिए निर्देशित करता है;
• आवेदनों को अस्वीकार करता है (विभिन्न कारणों से);
• मुफ्त चैनलों के बारे में सेवा नोड से जानकारी प्राप्त करता है;
• सिस्टम समय का ट्रैक रखता है।

1. मोड़ - अनुरोध संचायक। कतार मौजूद नहीं हो सकती है।
2. सेवा नोड सेवा चैनलों की एक सीमित संख्या के होते हैं। प्रत्येक चैनल में 3 अवस्थाएँ होती हैं: मुफ़्त, व्यस्त, निष्क्रिय। यदि सभी चैनल व्यस्त हैं, तो आप एक रणनीति के साथ आ सकते हैं कि आवेदन किसके पास स्थानांतरित किया जाए।
3. इनकार सेवा से तब होता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं (उनमें से कुछ काम नहीं कर सकते हैं)।

क्यूएस में इन बुनियादी तत्वों के अतिरिक्त, कुछ स्रोत निम्नलिखित घटकों को भी अलग करते हैं:

टर्मिनेटर - लेनदेन को नष्ट करने वाला;

गोदाम - संसाधनों और तैयार उत्पादों का भंडारण;

लेखा खाता - "पोस्टिंग" प्रकार के संचालन के लिए;

प्रबंधक - संसाधनों का प्रबंधक;

सीएमओ वर्गीकरण

पहला विभाजन (कतार की उपस्थिति से):

• विफलताओं के साथ सीएमओ;
• कतार में लगे सीएमओ।

पर विफलताओं के साथ सीएमओएक अनुरोध जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है, QS छोड़ देता है, और आगे नहीं परोसा जाता है।

पर कतार में लगे सीएमओएक एप्लिकेशन जो ऐसे समय में आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, वह नहीं जाता है, लेकिन कतार में खड़ा होता है और सेवा के अवसर की प्रतीक्षा करता है।

क्यूएस कतारों के साथकतार को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, इसके आधार पर विभिन्न प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सीमित या सीमित नहीं. प्रतिबंध कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय, "सेवा अनुशासन" दोनों से संबंधित हो सकते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित QS पर विचार किया जाता है:

• अधीर अनुरोधों के साथ क्यूएस (कतार की लंबाई और सेवा का समय सीमित है);
• प्राथमिकता सेवा के साथ क्यूएस, यानी कुछ आवेदनों को बारी-बारी से परोसा जाता है, आदि।

कतार प्रतिबंध प्रकारों को जोड़ा जा सकता है।

एक अन्य वर्गीकरण सीएमओ को अनुप्रयोगों के स्रोत के अनुसार विभाजित करता है। सिस्टम स्वयं या कुछ बाहरी वातावरण जो सिस्टम से स्वतंत्र रूप से मौजूद है, एप्लिकेशन (आवश्यकताएं) उत्पन्न कर सकता है।

स्वाभाविक रूप से, सिस्टम द्वारा उत्पन्न अनुरोधों का प्रवाह स्वयं सिस्टम और उसकी स्थिति पर निर्भर करेगा।

इसके अलावा, एसएमओ में विभाजित हैं खोलनासीएमओ और बंद किया हुआएसएमओ।

एक खुले क्यूएस में, अनुप्रयोगों के प्रवाह की विशेषताएं स्वयं क्यूएस की स्थिति पर निर्भर नहीं करती हैं (कितने चैनल व्यस्त हैं)। एक बंद क्यूएस में, वे निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार्यकर्ता मशीनों के एक समूह की सेवा करता है जिसे समय-समय पर समायोजन की आवश्यकता होती है, तो मशीनों से "आवश्यकताओं" के प्रवाह की तीव्रता इस बात पर निर्भर करती है कि उनमें से कितने पहले से ही अच्छे क्रम में हैं और समायोजन की प्रतीक्षा कर रहे हैं।

एक बंद प्रणाली का एक उदाहरण: एक उद्यम में एक खजांची द्वारा वेतन जारी करना।

चैनलों की संख्या से, QS को इसमें विभाजित किया गया है:

• एक चैनल;
• मल्टीचैनल।

कतार प्रणाली के लक्षण

किसी भी प्रकार की कतार प्रणाली की मुख्य विशेषताएं हैं:

• आने वाली आवश्यकताओं या सेवा अनुरोधों की इनपुट स्ट्रीम;
• कतार अनुशासन;
• सेवा तंत्र।

आवश्यकताएँ इनपुट स्ट्रीम

इनपुट स्ट्रीम का वर्णन करने के लिए, आपको सेट करना होगा एक संभाव्य कानून जो सेवा आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों का क्रम निर्धारित करता है,और प्रत्येक नियमित रसीद में ऐसे दावों की संख्या का उल्लेख करें। इस मामले में, एक नियम के रूप में, वे "आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों के संभाव्य वितरण" की अवधारणा के साथ काम करते हैं। यहाँ आप की तरह कार्य कर सकते हैं एकल और समूह आवश्यकताएं (प्रत्येक अनुवर्ती रसीद में ऐसे दावों की संख्या) बाद के मामले में, हम आम तौर पर समानांतर-समूह सेवा के साथ एक कतार प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं।

एक मैं- आवश्यकताओं के बीच आगमन का समय - स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर;

ई (ए)माध्य (MO) आगमन का समय है;

λ=1/ई(ए)- आवश्यकताओं की प्राप्ति की तीव्रता;

इनपुट स्ट्रीम विशेषताएं:

1. एक संभाव्य कानून जो सेवा आवश्यकताओं की प्राप्ति के क्षणों का क्रम निर्धारित करता है।
2. मल्टीकास्ट प्रवाह के लिए प्रत्येक अगले आगमन में अनुरोधों की संख्या।

कतार अनुशासन

मोड़ - सेवित होने की प्रतीक्षा में आवश्यकताओं का एक सेट।

कतार का एक नाम है।

कतार अनुशासन उस सिद्धांत को निर्धारित करता है जिसके अनुसार सेवा प्रणाली के इनपुट पर आने वाले अनुरोध कतार से सेवा प्रक्रिया से जुड़े होते हैं। सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली कतार विषयों को निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है:

• पहले आओ पहले पाओ;

फर्स्ट इन फर्स्ट आउट (फीफो)

कतार का सबसे आम प्रकार।

ऐसी कतार का वर्णन करने के लिए कौन सी डेटा संरचना उपयुक्त है? सरणी खराब (सीमित) है। आप एक सूची संरचना का उपयोग कर सकते हैं।

सूची की शुरुआत और अंत है। सूची में प्रविष्टियां हैं। एक प्रविष्टि एक सूची सेल है। आवेदन सूची के अंत में आता है, और सूची की शुरुआत से सेवा के लिए चुना जाता है। प्रविष्टि में आवेदन का विवरण और एक लिंक (इसके पीछे कौन है इसका एक सूचकांक) शामिल है। इसके अलावा, यदि कतार की समय सीमा है, तो समय सीमा भी निर्दिष्ट की जानी चाहिए।

आप, प्रोग्रामर के रूप में, दो तरफा, एक तरफा सूचियां बनाने में सक्षम होना चाहिए।

सूची कार्रवाइयां:

• पूंछ में डालें;
• शुरू से ले लो;
• टाइमआउट के बाद सूची से हटा दें।
• अंतिम आओ, पहले पाओ LIFO (कारतूस क्लिप, रेलवे स्टेशन पर मृत अंत, एक पूर्ण कार में चला गया)।

एक संरचना जिसे STACK के रूप में जाना जाता है। एक सरणी या सूची संरचना द्वारा वर्णित किया जा सकता है;

• अनुप्रयोगों का यादृच्छिक चयन;
• प्राथमिकता मानदंड द्वारा आवेदनों का चयन।

प्रत्येक एप्लिकेशन को अन्य बातों के अलावा, प्राथमिकता के स्तर से चिह्नित किया जाता है और आगमन पर, कतार की पूंछ पर नहीं, बल्कि उसके प्राथमिकता समूह के अंत में रखा जाता है। डिस्पैचर प्राथमिकता के आधार पर छाँटता है।

कतार विशेषताएँ

• परिसीमनइंतजार का समयसेवा की घटना का क्षण (सेवा के लिए सीमित प्रतीक्षा समय के साथ एक कतार है, जो "स्वीकार्य कतार लंबाई" की अवधारणा से जुड़ी है);
• कतार की लंबाई।

सेवा तंत्र

सेवा तंत्र सेवा प्रक्रिया की विशेषताओं और सेवा प्रणाली की संरचना द्वारा ही निर्धारित किया जाता है। रखरखाव प्रक्रियाओं में शामिल हैं:

• सेवा चैनलों की संख्या ( एन);
• सेवा प्रक्रिया की अवधि (आवश्यकताओं के सेवा समय का संभाव्य वितरण);
• ऐसी प्रत्येक प्रक्रिया (समूह अनुप्रयोगों के लिए) के कार्यान्वयन के परिणामस्वरूप संतुष्ट आवश्यकताओं की संख्या;
• सेवारत चैनल की विफलता की संभावना;
• सेवा प्रणाली संरचना।

सेवा प्रक्रिया की विशेषताओं के विश्लेषणात्मक विवरण के लिए, "आवश्यकताओं के सेवा समय के संभाव्य वितरण" की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

सी- सेवा का समय मैंवें आवश्यकता;

ई (एस)- औसत सेवा समय;

μ=1/ई(एस)- सेवा आवश्यकताओं की गति।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग का समय एप्लिकेशन की प्रकृति या क्लाइंट की आवश्यकताओं और सर्विसिंग सिस्टम की स्थिति और क्षमताओं पर निर्भर करता है। कुछ मामलों में इसे ध्यान में रखना भी आवश्यक है सेवा चैनल विफलता संभावनाएक निश्चित सीमित समय अंतराल के बाद। इस विशेषता को क्यूएस में प्रवेश करने और अन्य सभी अनुप्रयोगों पर प्राथमिकता रखने में विफलताओं की एक धारा के रूप में तैयार किया जा सकता है।

क्यूएस उपयोग कारक

एनμ - सिस्टम में सेवा दर जब सभी सेवा उपकरण व्यस्त होते हैं।

ρ=λ/( एनμ) कहा जाता है क्यूएस उपयोग कारक , दिखाता है कि सिस्टम संसाधनों का कितना उपयोग किया जा रहा है।

सेवा प्रणाली संरचना

सेवा प्रणाली की संरचना सेवा चैनलों (तंत्र, उपकरण, आदि) की संख्या और पारस्परिक व्यवस्था द्वारा निर्धारित की जाती है। सबसे पहले, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि एक सेवा प्रणाली में एक सेवा चैनल नहीं, बल्कि कई हो सकते हैं; इस तरह की प्रणाली एक साथ कई आवश्यकताओं को पूरा करने में सक्षम है। इस मामले में, सभी सेवा चैनल समान सेवाएं प्रदान करते हैं, और इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि वहाँ है समानांतर सेवा .

उदाहरण। दुकान में कैश रजिस्टर।

सेवा प्रणाली में कई अलग-अलग प्रकार के सेवा चैनल शामिल हो सकते हैं, जिसके माध्यम से प्रत्येक सेवा की आवश्यकता को पारित किया जाना चाहिए, अर्थात सेवा प्रणाली में आवश्यकताओं की सर्विसिंग प्रक्रियाओं को क्रमिक रूप से लागू किया जाता है . सेवा तंत्र अनुरोधों की आउटगोइंग (सेवित) धारा की विशेषताओं को परिभाषित करता है।

उदाहरण। चिकित्सा आयोग।

संयुक्त सेवा - बचत बैंक में जमा जमा करना: पहले नियंत्रक, फिर खजांची। एक नियम के रूप में, प्रति कैशियर 2 नियंत्रक।

इसलिए, किसी भी कतार प्रणाली की कार्यक्षमता निम्नलिखित मुख्य कारकों द्वारा निर्धारित की जाती है: :

• सेवा अनुरोधों (एकल या समूह) की प्राप्ति के क्षणों का संभाव्य वितरण;
• आवश्यकता स्रोत क्षमता;
• सेवा अवधि समय का संभाव्य वितरण;
• सेवा प्रणाली विन्यास (समानांतर, धारावाहिक या समानांतर-धारावाहिक सेवा);
• सेवारत चैनलों की संख्या और प्रदर्शन;
• कतार अनुशासन।

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मुख्य मानदंड

जैसा कतार प्रणाली के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मुख्य मानदंड हल की जा रही समस्या की प्रकृति के आधार पर, हो सकता है:

• प्राप्त आवेदन की तत्काल सेवा की संभावना (पी सेवा = के ओब्स / के पद);
• प्राप्त आवेदन की सेवा से इनकार करने की संभावना (पी ओटीके = के ओटीके / के पोस्ट);

यह स्पष्ट है कि R obl + P otk = 1।

प्रवाह, देरी, सेवा। पोलासेक-खिनचिन फॉर्मूला

देरी - क्यूएस सेवा मानदंडों में से एक, सेवा की प्रत्याशा में अनुरोध द्वारा बिताया गया समय।

डी मैं- अनुरोध कतार में देरी मैं;

डब्ल्यू मैं \u003d डी आई + एस आई- आवश्यकता की प्रणाली में बिताया गया समय मैं.

(संभावना 1 के साथ) कतार में अनुरोध की स्थापित औसत देरी है;

(संभावना 1 के साथ) स्थिर-अवस्था का औसत समय है जो आवश्यकता QS (प्रतीक्षा) में खर्च करती है।

क्यू(टी) -एक समय में कतार में अनुरोधों की संख्या टी;

एल(टी)– एक समय में सिस्टम में ग्राहकों की संख्या टी(क्यू(टी)साथ ही उस समय सेवा में मौजूद आवश्यकताओं की संख्या टी।

फिर घातांक (यदि कोई हो)

(संभावना 1 के साथ) कतार में अनुरोधों की स्थिर-अवस्था समय-औसत संख्या है;

(संभावना 1 के साथ) सिस्टम में अनुरोधों की स्थिर-अवस्था समय-औसत संख्या है।

ध्यान दें कि<1 – обязательное условие существования डी, डब्ल्यू, क्यूतथा लीकतार प्रणाली में।

अगर हमें याद है कि ρ= /( एनμ), तो यह स्पष्ट है कि यदि अनुरोधों की प्राप्ति की तीव्रता . से अधिक है एनμ, फिर ρ>1, और यह स्वाभाविक है कि सिस्टम अनुप्रयोगों के ऐसे प्रवाह से निपटने में सक्षम नहीं होगा, और इसलिए, कोई बात नहीं कर सकता डी, डब्ल्यू, क्यूतथा एल

कतारबद्ध प्रणालियों के लिए सबसे सामान्य और आवश्यक परिणामों में संरक्षण समीकरण शामिल हैं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिस्टम के प्रदर्शन के मूल्यांकन के लिए उपरोक्त मानदंड को क्यूइंग सिस्टम के लिए विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जा सकती है एम/एम/एन(एन>1), यानी मार्कोव के साथ सिस्टम ग्राहकों और सेवाओं के प्रवाह। के लिये एम/जी/एल किसी भी वितरण के लिए जीऔर कुछ अन्य प्रणालियों के लिए। सामान्य तौर पर, आगमन के बीच समय का वितरण, सेवा समय का वितरण, या दोनों एक विश्लेषणात्मक समाधान संभव होने के लिए घातीय (या एक प्रकार का k-th क्रम घातीय एरलांग वितरण) होना चाहिए।

इसके अलावा, आप ऐसी विशेषताओं के बारे में भी बात कर सकते हैं जैसे:

• सिस्टम का निरपेक्ष थ्रूपुट - =Р सेवा *λ;
• सिस्टम के सापेक्ष थ्रूपुट -

एक विश्लेषणात्मक समाधान का एक और दिलचस्प (और उदाहरण) उदाहरण – एक कतार प्रणाली के लिए स्थिर-राज्य औसत कतार विलंब की गणना एम/जी/ 1 सूत्र के अनुसार:

.

रूस में, इस सूत्र को पोलासेक सूत्र के रूप में जाना जाता है। – खिनचिन, विदेश में यह सूत्र रॉस के नाम से जुड़ा है।

इस प्रकार, यदि ई (एस)अधिक मूल्य है, फिर अधिभार (इस मामले में मापा जाता है) डी) बड़ा होगा; जिसकी अपेक्षा की जानी है। सूत्र एक कम स्पष्ट तथ्य को भी प्रकट करता है: सेवा समय वितरण में परिवर्तनशीलता बढ़ने पर भीड़ भी बढ़ जाती है, भले ही औसत सेवा समय समान रहे। सहज रूप से, इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है: सेवा समय का विचरण यादृच्छिक चर एक बड़ा मान ले सकता है (क्योंकि यह सकारात्मक होना चाहिए), अर्थात एकमात्र सेवा उपकरण लंबे समय तक व्यस्त रहेगा, जिससे वृद्धि होगी कतार में।

कतार सिद्धांत का विषयकतार प्रणाली की कार्यक्षमता और इसके कामकाज की दक्षता को निर्धारित करने वाले कारकों के बीच संबंध स्थापित करना है। ज्यादातर मामलों में, कतार प्रणाली का वर्णन करने वाले सभी पैरामीटर यादृच्छिक चर या कार्य होते हैं, इसलिए इन प्रणालियों को स्टोकेस्टिक सिस्टम के रूप में संदर्भित किया जाता है।

अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) के प्रवाह की यादृच्छिक प्रकृति, साथ ही, सामान्य मामले में, सेवा की अवधि इस तथ्य की ओर ले जाती है कि कतार प्रणाली में एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है। यादृच्छिक प्रक्रिया की प्रकृति से एक क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) में होने वाली प्रतिष्ठित हैं मार्कोव और गैर-मार्कोव सिस्टम . मार्कोव सिस्टम में, अनुरोधों का आने वाला प्रवाह और सेवित अनुरोधों (दावों) का आउटगोइंग प्रवाह पॉइसन है। पोइसन प्रवाह कतार प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करना और निर्माण करना आसान बनाता है। इन मॉडलों में काफी सरल समाधान हैं, इसलिए कतार सिद्धांत के अधिकांश प्रसिद्ध अनुप्रयोग मार्कोव योजना का उपयोग करते हैं। गैर-मार्कोवियन प्रक्रियाओं के मामले में, क्यूइंग सिस्टम का अध्ययन करने की समस्याएं बहुत अधिक जटिल हो जाती हैं और कंप्यूटर का उपयोग करके सांख्यिकीय मॉडलिंग, संख्यात्मक विधियों के उपयोग की आवश्यकता होती है।

सिस्टम का एक बड़ा वर्ग जो विश्लेषणात्मक रूप से अध्ययन करना मुश्किल है, लेकिन सांख्यिकीय मॉडलिंग विधियों द्वारा अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है, क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) में कम हो जाता है।

एसएमओ का तात्पर्य है कि वहाँ है नमूना पथ(सेवा चैनल) जिसके माध्यम से अनुप्रयोग. यह कहने की प्रथा है कि आवेदन सेवितचैनल। चैनल उद्देश्य, विशेषताओं में भिन्न हो सकते हैं, उन्हें विभिन्न संयोजनों में जोड़ा जा सकता है; आवेदन कतार में हो सकते हैं और सेवा की प्रतीक्षा कर सकते हैं। कुछ एप्लिकेशन चैनलों द्वारा प्रस्तुत किए जा सकते हैं, और कुछ ऐसा करने से मना कर सकते हैं। यह महत्वपूर्ण है कि सिस्टम के दृष्टिकोण से अनुरोध अमूर्त हैं: यह वही है जो सेवा करना चाहता है, यानी सिस्टम में एक निश्चित पथ से गुजरना चाहता है। चैनल भी एक अमूर्त हैं: वे वही हैं जो अनुरोध करते हैं।

अनुप्रयोग असमान रूप से आ सकते हैं, चैनल अलग-अलग समय पर अलग-अलग अनुप्रयोगों की सेवा कर सकते हैं, और इसी तरह, अनुप्रयोगों की संख्या हमेशा बहुत बड़ी होती है। यह सब ऐसी प्रणालियों का अध्ययन और प्रबंधन करना कठिन बनाता है, और उनमें सभी कारण संबंधों का पता लगाना संभव नहीं है। इसलिए, यह धारणा कि जटिल प्रणालियों में रखरखाव यादृच्छिक है, स्वीकार किया जाता है।

क्यूएस के उदाहरण (तालिका 30.1 देखें) हैं: बस मार्ग और यात्री परिवहन; प्रसंस्करण भागों के लिए उत्पादन कन्वेयर; विदेशी क्षेत्र में उड़ान भरने वाले विमानों का एक स्क्वाड्रन, जिसे वायु रक्षा विमान भेदी तोपों द्वारा "सेवा" दिया जाता है; मशीन गन का बैरल और हॉर्न, जो कारतूस को "सेवा" देता है; किसी उपकरण आदि में गतिमान विद्युत आवेश।

तालिका 30.1. कतार प्रणाली के उदाहरण

अनुप्रयोग चैनल यात्रियों का बस मार्ग और परिवहन यात्रियों बसों भागों प्रसंस्करण के लिए उत्पादन कन्वेयर विवरण, समुद्री मील मशीन टूल्स, गोदामों विदेशी क्षेत्र में उड़ान भरने वाले विमानों का एक स्क्वाड्रन, जिसे वायु रक्षा विमान भेदी तोपों द्वारा "सेवा" दिया जाता है हवाई जहाज विमान भेदी बंदूकें, रडार, तीर, गोले मशीन गन का बैरल और हॉर्न, जो कारतूस को "सेवा" देता है बैरल, हॉर्न किसी उपकरण में गतिमान विद्युत आवेश तकनीकी उपकरण कैस्केड

लेकिन इन सभी प्रणालियों को क्यूएस के एक वर्ग में जोड़ दिया गया है, क्योंकि उनके अध्ययन का दृष्टिकोण समान है। यह इस तथ्य में शामिल है कि, सबसे पहले, एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर की मदद से, यादृच्छिक संख्याएं खेली जाती हैं, जो अनुप्रयोगों की उपस्थिति और चैनलों में उनकी सेवा के समय के यादृच्छिक क्षणों की नकल करती हैं। लेकिन एक साथ लिया गया, ये यादृच्छिक संख्याएं, निश्चित रूप से, के अधीन हैं सांख्यिकीयपैटर्न।

उदाहरण के लिए, मान लें: "आवेदन औसतन 5 पीस प्रति घंटे की मात्रा में आते हैं।" इसका मतलब है कि दो पड़ोसी दावों के आगमन के बीच का समय यादृच्छिक है, उदाहरण के लिए: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 30.1, लेकिन कुल मिलाकर वे 1 का औसत देते हैं (ध्यान दें कि उदाहरण में यह ठीक 1 नहीं है, बल्कि 1.1 है - लेकिन एक और घंटे में यह योग, उदाहरण के लिए, 0.9 के बराबर हो सकता है); लेकिन सिर्फ काफी देर तकइन नंबरों का औसत एक घंटे के करीब हो जाएगा।

परिणाम (उदाहरण के लिए, सिस्टम का थ्रूपुट), निश्चित रूप से, अलग-अलग समय अंतराल पर एक यादृच्छिक चर भी होगा। लेकिन लंबी अवधि में मापा गया यह मान पहले से ही, औसतन, सटीक समाधान के अनुरूप होगा। अर्थात्, क्यूएस को चिह्नित करने के लिए, वे सांख्यिकीय अर्थों में उत्तरों में रुचि रखते हैं।

इसलिए, किसी दिए गए सांख्यिकीय कानून के अधीन यादृच्छिक इनपुट संकेतों के साथ सिस्टम का परीक्षण किया जाता है, और परिणामस्वरूप, सांख्यिकीय संकेतकों को विचार के समय या प्रयोगों की संख्या के औसत से लिया जाता है। इससे पहले, में व्याख्यान 21(सेमी। चावल। 21.1), हमने पहले ही इस तरह के एक सांख्यिकीय प्रयोग के लिए एक योजना विकसित कर ली है (चित्र 30.2 देखें)।

दूसरे, सभी क्यूएस मॉडल तत्वों के एक छोटे से सेट (चैनल, अनुरोध स्रोत, कतार, अनुरोध, सेवा अनुशासन, स्टैक, रिंग, और इसी तरह) से एक विशिष्ट तरीके से इकट्ठे होते हैं, जो इन कार्यों को अनुकरण करने की अनुमति देता है। ठेठतौर-तरीका। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मॉडल को ऐसे तत्वों के निर्माता से इकट्ठा किया जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस विशेष प्रणाली का अध्ययन किया जा रहा है, यह महत्वपूर्ण है कि सिस्टम आरेख को उन्हीं तत्वों से इकट्ठा किया जाए। बेशक, सर्किट की संरचना हमेशा अलग होगी।

आइए हम QS की कुछ बुनियादी अवधारणाओं को सूचीबद्ध करें।

चैनल वही हैं जो काम करते हैं; गर्म हैं (वे चैनल में प्रवेश करते ही अनुरोध परोसना शुरू कर देते हैं) और ठंडे (चैनल को सर्विसिंग शुरू करने के लिए तैयारी के लिए समय चाहिए)। अनुरोध स्रोत - उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट सांख्यिकीय कानून के अनुसार, यादृच्छिक समय पर अनुरोध उत्पन्न करें। अनुप्रयोग, वे भी ग्राहक हैं, सिस्टम में प्रवेश करते हैं (अनुप्रयोगों के स्रोतों द्वारा उत्पन्न), इसके तत्वों से गुजरते हैं (सेवारत), इसे सेवा या असंतुष्ट छोड़ दें। अधीर आवेदन हैं - वे जो प्रतीक्षा या व्यवस्था में रहकर थक चुके हैं और जो अपनी मर्जी से सीएमओ को छोड़ देते हैं। एप्लिकेशन फॉर्म स्ट्रीम - सिस्टम इनपुट पर एप्लिकेशन की एक स्ट्रीम, सर्विस्ड एप्लिकेशन की एक स्ट्रीम, अस्वीकृत एप्लिकेशन की एक स्ट्रीम। प्रवाह को एक निश्चित प्रकार के अनुप्रयोगों की संख्या की विशेषता है, जो क्यूएस के किसी स्थान पर प्रति इकाई समय (घंटे, दिन, महीने) में मनाया जाता है, अर्थात प्रवाह एक सांख्यिकीय मूल्य है।

कतारों को कतारबद्ध नियमों (सेवा अनुशासन), कतार में स्थानों की संख्या (कितने ग्राहक कतार में अधिकतम हो सकते हैं), कतार की संरचना (कतार में स्थानों के बीच संबंध) की विशेषता है। सीमित और असीमित कतारें हैं। आइए सेवा के सबसे महत्वपूर्ण विषयों की सूची बनाएं। फीफो (फर्स्ट इन, फर्स्ट आउट - फर्स्ट इन, फर्स्ट आउट): यदि आवेदन कतार में प्रवेश करने वाला पहला व्यक्ति है, तो यह सेवा के लिए जाने वाला पहला व्यक्ति होगा। LIFO (लास्ट इन, फर्स्ट आउट - लास्ट इन, फर्स्ट आउट): यदि एप्लिकेशन कतार में अंतिम था, तो यह सेवा के लिए जाने वाला पहला व्यक्ति होगा (उदाहरण के लिए, मशीन के हॉर्न में कारतूस)। एसएफ (शॉर्ट फॉरवर्ड - शॉर्ट फॉरवर्ड): कतार से उन अनुप्रयोगों को सबसे कम सेवा समय दिया जाता है।

आइए एक आकर्षक उदाहरण देते हैं जो दिखाते हैं कि कैसे एक या किसी अन्य सेवा अनुशासन का सही विकल्प आपको वास्तविक समय बचत प्राप्त करने की अनुमति देता है।

दो दुकान होने दो। स्टोर नंबर 1 में, सेवा पहले आओ, पहले पाओ के आधार पर की जाती है, यानी फीफो सेवा अनुशासन यहां लागू किया गया है (चित्र 30.3 देखें)।

सेवा का समय टीसर्विस अंजीर में। 30.3 दिखाता है कि विक्रेता एक खरीदार को सेवा प्रदान करने में कितना समय व्यतीत करेगा। यह स्पष्ट है कि टुकड़ा सामान खरीदते समय, विक्रेता सेवा पर कम समय व्यतीत करेगा, जब थोक उत्पादों को खरीदने के लिए अतिरिक्त जोड़तोड़ की आवश्यकता होती है (उठाएं, वजन करें, मूल्य की गणना करें, आदि)। इंतजार का समय टीअपेक्षित होना दिखाता है कि विक्रेता द्वारा अगले खरीदार को किस समय के बाद सेवा दी जाएगी।

स्टोर #2 एसएफ अनुशासन को लागू करता है (चित्र 30.4 देखें), जिसका अर्थ है कि सेवा समय के बाद से टुकड़ा सामान बदले में खरीदा जा सकता है टीसर्विस ऐसी खरीद छोटी है।

जैसा कि दोनों आंकड़ों से देखा जा सकता है, अंतिम (पांचवां) खरीदार एक टुकड़ा सामान खरीदने जा रहा है, इसलिए इसकी सेवा का समय छोटा है - 0.5 मिनट। यदि यह ग्राहक स्टोर नंबर 1 पर आता है तो उसे पूरे 8 मिनट लाइन में खड़ा होना पड़ेगा, जबकि स्टोर नंबर 2 में उसे तत्काल, आउट ऑफ टर्न सेवा दी जाएगी। इस प्रकार, फीफो सेवा अनुशासन वाले स्टोर में प्रत्येक ग्राहक के लिए औसत सेवा समय 4 मिनट होगा, और फीफो सेवा अनुशासन वाले स्टोर में यह केवल 2.8 मिनट होगा। और सार्वजनिक लाभ, समय की बचत होगी: (1-2.8/4) · 100% = 30 प्रतिशत! तो, समाज के लिए 30% समय की बचत हुई - और यह केवल सेवा अनुशासन के सही विकल्प के कारण है।

सिस्टम विशेषज्ञ को उनके द्वारा डिजाइन किए गए सिस्टम के प्रदर्शन और दक्षता संसाधनों की अच्छी समझ होनी चाहिए, जो मापदंडों, संरचनाओं और रखरखाव विषयों के अनुकूलन में छिपा हुआ है। मॉडलिंग इन छिपे हुए भंडार को प्रकट करने में मदद करती है।

सिमुलेशन परिणामों का विश्लेषण करते समय, हितों और उनके कार्यान्वयन की डिग्री को इंगित करना भी महत्वपूर्ण है। क्लाइंट के हितों और सिस्टम के मालिक के हितों के बीच अंतर करें। ध्यान दें कि ये रुचियां हमेशा मेल नहीं खातीं।

आप संकेतकों द्वारा सीएमओ के काम के परिणामों का न्याय कर सकते हैं। उनमें से सबसे लोकप्रिय:

सिस्टम द्वारा ग्राहक सेवा की संभावना;

सिस्टम का थ्रूपुट;

ग्राहक को सेवा से वंचित करने की संभावना;

प्रत्येक चैनल और सभी के एक साथ अधिभोग की संभावना;

प्रत्येक चैनल का औसत व्यस्त समय;

सभी चैनलों के अधिभोग की संभावना;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

प्रत्येक चैनल की डाउनटाइम संभावना;

पूरे सिस्टम के डाउनटाइम की संभावना;

कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

आवेदन की सेवा का औसत समय;

सिस्टम में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया औसत समय।

संकेतकों के मूल्यों की समग्रता से परिणामी प्रणाली की गुणवत्ता का न्याय करना आवश्यक है। सिमुलेशन परिणामों (संकेतक) का विश्लेषण करते समय, क्लाइंट के हितों और सिस्टम के मालिक के हितों पर ध्यान देना भी महत्वपूर्ण है, अर्थात, इस या उस संकेतक को कम करना या अधिकतम करना आवश्यक है, साथ ही साथ डिग्री भी। उनके कार्यान्वयन का। ध्यान दें कि अक्सर ग्राहक और मालिक के हित एक दूसरे के साथ मेल नहीं खाते हैं या हमेशा मेल नहीं खाते हैं। संकेतकों को आगे निरूपित किया जाएगा एच = { एच 1 , एच 2 , …} .

क्यूएस पैरामीटर हो सकते हैं: अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, सेवा के प्रवाह की तीव्रता, औसत समय जिसके दौरान आवेदन कतार में सेवा के लिए प्रतीक्षा करने के लिए तैयार है, सेवा चैनलों की संख्या, सेवा का अनुशासन, और जल्द ही। पैरामीटर वे हैं जो सिस्टम के प्रदर्शन को प्रभावित करते हैं। मापदंडों को नीचे दर्शाया जाएगा आर = { आर 1 , आर 2 , …} .

उदाहरण। फिलिंग स्टेशन (गैस स्टेशन)।

1. समस्या का विवरण. अंजीर पर। 30.5 गैस स्टेशन की योजना को दर्शाता है। आइए इसके उदाहरण और इसके शोध की योजना पर QS मॉडलिंग पद्धति पर विचार करें। सड़क पर पिछले गैस स्टेशनों को चलाने वाले ड्राइवर अपनी कार भरना चाह सकते हैं। एक पंक्ति में सभी मोटर चालक सेवित नहीं होना चाहते हैं (गैसोलीन के साथ कार को फिर से भरना); मान लीजिए कि कारों के पूरे प्रवाह में से, प्रति घंटे औसतन 5 कारें गैस स्टेशन पर आती हैं।

गैस स्टेशन पर दो समान डिस्पेंसर हैं, जिनमें से प्रत्येक का सांख्यिकीय प्रदर्शन ज्ञात है। पहला कॉलम औसतन 1 कार प्रति घंटे, दूसरा औसतन - 3 कार प्रति घंटे पर कार्य करता है। गैस स्टेशन के मालिक ने कारों के लिए एक जगह बनाई जहां वे सेवा के लिए इंतजार कर सकते हैं। यदि स्तंभों पर कब्जा है, तो अन्य कारें इस स्थान पर सेवा के लिए प्रतीक्षा कर सकती हैं, लेकिन एक बार में दो से अधिक नहीं। कतार सामान्य मानी जाएगी। जैसे ही कॉलम में से एक खाली हो जाता है, कतार से पहली कार कॉलम पर अपना स्थान ले सकती है (इस मामले में, दूसरी कार कतार में पहले स्थान पर चली जाती है)। यदि कोई तीसरी कार दिखाई देती है, और कतार में सभी स्थानों (उनमें से दो) पर कब्जा कर लिया जाता है, तो उसे सेवा से वंचित कर दिया जाता है, क्योंकि सड़क पर खड़ा होना मना है (गैस स्टेशनों के पास सड़क के संकेत देखें)। ऐसी कार सिस्टम को हमेशा के लिए छोड़ देती है और एक संभावित ग्राहक के रूप में, गैस स्टेशन के मालिक के लिए खो जाती है। आप कैश रजिस्टर (एक अन्य सेवा चैनल, जहां आपको किसी एक कॉलम में सेवा करने के बाद प्राप्त करने की आवश्यकता है) और इसके लिए कतार, और इसी तरह विचार करके कार्य को जटिल बना सकते हैं। लेकिन सबसे सरल संस्करण में, यह स्पष्ट है कि QS के माध्यम से अनुरोधों के प्रवाह पथ को एक समान आरेख के रूप में दर्शाया जा सकता है, और QS के प्रत्येक तत्व की विशेषताओं के मूल्यों और पदनामों को जोड़कर, हम अंत में आरेख प्राप्त करते हैं चित्र में दिखाया गया है 30.6.

2. क्यूएस की अनुसंधान विधि. हमारे उदाहरण में, हम अनुरोधों की क्रमिक पोस्टिंग के सिद्धांत को लागू करेंगे (मॉडलिंग के सिद्धांतों के विवरण के लिए, अंजीर देखें। व्याख्यान 32) उनका विचार यह है कि प्रवेश से निकास तक आवेदन पूरे सिस्टम के माध्यम से किया जाता है, और उसके बाद ही वे अगले आवेदन की मॉडलिंग शुरू करते हैं।

स्पष्टता के लिए, हम प्रत्येक शासक (समय अक्ष .) पर प्रतिबिंबित करते हुए, क्यूएस ऑपरेशन का एक समय आरेख तैयार करेंगे टी) प्रणाली के एक व्यक्तिगत तत्व की स्थिति। क्यूएस, स्ट्रीम में जितने अलग-अलग स्थान हैं, उतनी ही समय-सीमाएँ हैं। हमारे उदाहरण में, उनमें से 7 हैं (अनुरोधों का प्रवाह, कतार में पहले स्थान पर प्रतीक्षा का प्रवाह, कतार में दूसरे स्थान पर प्रतीक्षा का प्रवाह, चैनल 1 में सेवा प्रवाह, सेवा प्रवाह में चैनल 2, सिस्टम द्वारा दिए गए अनुरोधों का प्रवाह, अस्वीकृत अनुरोधों का प्रवाह)।

अनुरोधों के आगमन का समय उत्पन्न करने के लिए, हम दो यादृच्छिक घटनाओं के आगमन के क्षणों के बीच अंतराल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं (चित्र देखें। व्याख्यान 28):

इस सूत्र में, प्रवाह की मात्रा λ निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (इससे पहले, यह प्रयोगात्मक रूप से वस्तु पर सांख्यिकीय औसत के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए), आर- आरएनजी या . से 0 से 1 तक यादृच्छिक समान रूप से वितरित संख्या टेबल, जिसमें यादृच्छिक संख्याओं को एक पंक्ति में लिया जाना चाहिए (विशेष रूप से चुने बिना)।

एक कार्य। प्रति घंटे 5 घटनाओं की घटना दर के साथ 10 यादृच्छिक घटनाओं की एक धारा उत्पन्न करें।

समस्या का समाधान। आइए 0 से 1 के अंतराल में समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याएँ लें (चित्र देखें। मेज़), और उनके प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें (तालिका 30.2 देखें)।

तालिका 30.2. यादृच्छिक संख्याओं और उनके लघुगणक की तालिका का टुकड़ा

आर पीपी एलएन(आर पीपी )

पॉइसन प्रवाह सूत्र दो यादृच्छिक घटनाओं के बीच की दूरी को निम्नानुसार परिभाषित करता है: टी= -एलएन (आर पीपीआर) / λ . फिर, उस पर विचार करते हुए λ = 5, हमारे पास दो यादृच्छिक पड़ोसी घटनाओं के बीच की दूरी है: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 घंटे। अर्थात्, घटनाएँ घटित होती हैं: पहला - एक समय में टी= 0 , दूसरा - समय के क्षण में टी= 0.68 , तीसरा - उस समय टी= 0.89 , चौथा - समय पर टी= 1.20, पाँचवाँ - समय पर टी= 1.32 और इसी तरह। घटनाएँ - आवेदनों का आगमन पहली पंक्ति में परिलक्षित होगा (चित्र 30.7) देखें।

चावल। 30.7. क्यूएस ऑपरेशन का समय आरेख

पहला अनुरोध लिया जाता है और चूंकि चैनल इस समय मुफ़्त हैं, इसलिए इसे पहले चैनल में सेवा के लिए सेट किया गया है। एप्लिकेशन 1 को "1 चैनल" लाइन में स्थानांतरित कर दिया गया है।

चैनल में सेवा समय भी यादृच्छिक है और एक समान सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

जहां सेवा प्रवाह के परिमाण द्वारा तीव्रता की भूमिका निभाई जाती है μ 1 या μ 2 , इस पर निर्भर करता है कि कौन सा चैनल अनुरोध करता है। हम आरेख पर सेवा के अंत का क्षण पाते हैं, सेवा शुरू होने के क्षण से उत्पन्न सेवा समय को स्थगित कर देते हैं, और अनुरोध को "सेवित" लाइन तक कम कर देते हैं।

आवेदन पूरे रास्ते सीएमओ के पास गया। अब आदेशों की क्रमिक पोस्टिंग के सिद्धांत के अनुसार, दूसरे क्रम के पथ का अनुकरण करना भी संभव है।

यदि किसी बिंदु पर यह पता चलता है कि दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध को कतार में रखा जाना चाहिए। अंजीर पर। 30.7 नंबर 3 के साथ अनुरोध है। ध्यान दें कि, कार्य की शर्तों के अनुसार, कतार में, चैनलों के विपरीत, अनुरोध बेतरतीब ढंग से स्थित नहीं हैं, लेकिन चैनलों में से एक के मुक्त होने की प्रतीक्षा कर रहे हैं। चैनल जारी होने के बाद, अनुरोध को संबंधित चैनल की लाइन में ले जाया जाता है और इसकी सर्विसिंग वहां आयोजित की जाती है।

यदि अगला आवेदन आने पर कतार के सभी स्थानों पर कब्जा है, तो आवेदन को "अस्वीकार" लाइन पर भेजा जाना चाहिए। अंजीर पर। 30.7 बोली संख्या 6 है।

कुछ समय के अवलोकन के लिए अनुरोधों की सेवा का अनुकरण करने की प्रक्रिया जारी है टीएन। यह समय जितना लंबा होगा, भविष्य में सिमुलेशन परिणाम उतने ही सटीक होंगे। वास्तव में, सरल प्रणालियों के लिए चुनें टी n, 50-100 या अधिक घंटों के बराबर, हालांकि कभी-कभी इस मान को विचार किए गए अनुप्रयोगों की संख्या से मापना बेहतर होता है।

क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) का विश्लेषणात्मक अध्ययन सिमुलेशन मॉडलिंग के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है और प्रत्येक व्यक्तिगत प्रयोग में इन सूत्रों में तर्क मूल्यों के बाद के प्रतिस्थापन के साथ क्यूएस के आउटपुट मापदंडों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करना शामिल है।

क्यूएस मॉडल में, निम्नलिखित वस्तुओं पर विचार किया जाता है:

1) सेवा अनुरोध (लेनदेन);

2) सेवा उपकरण (OA), या उपकरण।

क्यूइंग थ्योरी का व्यावहारिक कार्य इन वस्तुओं द्वारा संचालन के अध्ययन से संबंधित है और इसमें अलग-अलग तत्व होते हैं जो यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होते हैं।

कतार के सिद्धांत में मानी जाने वाली समस्याओं के एक उदाहरण के रूप में, कोई उद्धृत कर सकता है: एक डेटा ट्रांसमिशन चैनल के साथ एक संदेश स्रोत के थ्रूपुट का मिलान, शहरी परिवहन के इष्टतम प्रवाह का विश्लेषण, एक हवाई अड्डे पर यात्रियों के लिए प्रतीक्षा कक्ष की क्षमता की गणना करना , आदि।

अनुरोध या तो सेवा राज्य में या सेवा लंबित स्थिति में हो सकता है।

सेवा उपकरण या तो सेवा में व्यस्त हो सकता है या मुफ्त।

क्यूएस राज्य सेवा उपकरणों और अनुप्रयोगों के राज्यों के एक समूह द्वारा विशेषता है। क्यूएस में राज्यों के परिवर्तन को एक घटना कहा जाता है।

क्यूएस मॉडल का उपयोग सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जब अनुप्रयोग प्रवाह के इनपुट पर लागू होता है। ये प्रक्रियाएं घटनाओं का एक क्रम हैं।

क्यूएस का सबसे महत्वपूर्ण आउटपुट पैरामीटर

प्रदर्शन

बैंडविड्थ

सेवा की संभावना से इनकार

औसत सेवा समय;

उपकरण लोड फैक्टर (OA)।

एप्लिकेशन उत्पादों के उत्पादन, कंप्यूटर सिस्टम में हल किए गए कार्यों, बैंकों में ग्राहकों, परिवहन के लिए आने वाले सामान आदि के लिए ऑर्डर हो सकते हैं। यह स्पष्ट है कि सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों के पैरामीटर यादृच्छिक चर हैं और केवल उनके पैरामीटर के दौरान ही जाना जा सकता है अनुसंधान या डिजाइन वितरण कानून।

इस संबंध में, सिस्टम स्तर पर कामकाज का विश्लेषण, एक नियम के रूप में, एक सांख्यिकीय प्रकृति का है। क्यूइंग के सिद्धांत को गणितीय मॉडलिंग टूल के रूप में लेना और इस स्तर पर सिस्टम के मॉडल के रूप में क्यूइंग सिस्टम का उपयोग करना सुविधाजनक है।

सबसे सरल क्यूएस मॉडल

सबसे सरल मामले में, क्यूएस एक उपकरण है जिसे सेवा उपकरण (ओए) कहा जाता है, जिसमें इनपुट पर अनुप्रयोगों की कतार होती है।

एम ओ डी ई एल ओ एन एस ई आर ई एन टी ई आर ई एस एस ई एन सी ए टी आई ओ एन (छवि 5.1)

चावल। 5.1. क्यूएस मॉडल विफलताओं के साथ:

0 - अनुरोध स्रोत;

1 - सेवा उपकरण;

एक- सेवा के लिए अनुरोधों की इनपुट स्ट्रीम;

मेंसेवित अनुरोधों की आउटपुट स्ट्रीम है;

साथअसेवित अनुरोधों की आउटपुट स्ट्रीम है।

इस मॉडल में, OA के इनपुट पर कोई दावा संचायक नहीं है। यदि दावा उस समय स्रोत 0 से आता है जब एए पिछले दावे की सेवा में व्यस्त है, तो नया आया दावा सिस्टम से बाहर निकल जाता है (क्योंकि इसे सेवा से वंचित कर दिया गया था) और खो जाता है (प्रवाह साथ).

एम ओ डी ई एल ओ एफ सी ए एन डी आई एन जी एस ई सी आर आई ओ एन एस (चित्र। 5.2)

चावल। 5.2. उम्मीद के साथ क्यूएस मॉडल

(एन- 1) - संचायक में फिट होने वाले अनुप्रयोगों की संख्या

इस मॉडल में OA के इनपुट पर दावा संचायक है। यदि कोई ग्राहक उस समय स्रोत 0 से आता है जब सीए पिछले ग्राहक की सेवा में व्यस्त है, तो नया आया ग्राहक संचायक में प्रवेश करता है, जहां वह सीए के मुक्त होने तक अनिश्चित काल तक प्रतीक्षा करता है।

सीमित समय सेवा मॉडल

डब्ल्यू आई डी ए एन वाई (चित्र 5.3)

चावल। 5.4. विफलताओं के साथ मल्टीचैनल QS मॉडल:

एन- समान सेवा उपकरणों (उपकरणों) की संख्या

इस मॉडल में, एक OA नहीं, बल्कि कई हैं। आवेदन, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो, किसी भी गैर-सेवारत एबी को प्रस्तुत किया जा सकता है। कोई भंडारण नहीं है, इसलिए इस मॉडल में अंजीर में दिखाए गए मॉडल के गुण शामिल हैं। 5.1: आवेदन की सेवा से इनकार करने का अर्थ है इसकी अपूरणीय हानि (ऐसा तभी होता है जब इस आवेदन के आने के समय सबओए व्यस्त हैं)।

डब्ल्यू ए टी एच आई एन टी एच ओ एम ई (चित्र। 5.5)

चावल। 5.6. प्रतीक्षा और पुनर्प्राप्ति OA के साथ मल्टी-चैनल QS मॉडल:

इ- सेवा उपकरण जो क्रम से बाहर हैं;

एफ- बहाल सेवा वाहन

इस मॉडल में अंजीर में प्रस्तुत मॉडल के गुण हैं। 5.2 और 5.4, साथ ही संपत्ति जो ओए की संभावित यादृच्छिक विफलताओं को ध्यान में रखती है, जो इस मामले में मरम्मत ब्लॉक 2 में प्रवेश करती है, जहां वे अपनी बहाली पर खर्च किए गए यादृच्छिक समय के लिए रहते हैं, और फिर वापस लौटते हैं सर्विस ब्लॉक 1 फिर से।

एम आई एन ओ एन ए एल एम ओ एल एल क्यू ओ

OA के ठीक होने का समय और रिकवरी (चित्र 5.7)

चावल। 5.7. सीमित प्रतीक्षा समय और OA पुनर्प्राप्ति के साथ मल्टीचैनल QS मॉडल

यह मॉडल काफी जटिल है, क्योंकि यह एक साथ दो सरलतम मॉडल (आंकड़े 5.5 और 5.6) के गुणों को ध्यान में रखता है।

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परिचय

अध्याय 1. सैद्धांतिक भाग

1.1 विफलताओं के साथ कतारबद्ध प्रणाली

1.2 कतार प्रणाली की मॉडलिंग

1.3 विफलताओं के साथ सबसे सरल QS

1.4 विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

1.5 विफलताओं के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

1.6 सीमित कतार लंबाई के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

1.7 असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

1.8 मल्टीचैनल क्यूएस सीमित कतार लंबाई के साथ

1.9 असीमित कतार के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

1.10 क्यूएस मॉडलिंग एल्गोरिदम

अध्याय 2. व्यावहारिक भाग

अध्याय 3. सुरक्षा विनियम

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

हाल ही में, अभ्यास के विभिन्न क्षेत्रों में, तथाकथित क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) के संचालन से संबंधित विभिन्न संभाव्य समस्याओं को हल करना आवश्यक हो गया है।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण हैं: टेलीफोन एक्सचेंज, मरम्मत की दुकानें, टिकट कार्यालय, टैक्सी रैंक, हेयरड्रेसर आदि।

इस पाठ्यक्रम परियोजना का विषय ठीक ऐसी समस्या का समाधान है।

हालांकि, प्रस्तावित समस्या में, एक क्यूएस की जांच की जाएगी, जिसमें आवेदनों के 2 प्रवाहों पर विचार किया जाता है, जिनमें से एक की प्राथमिकता होती है।

साथ ही, मानी जाने वाली प्रक्रियाएं गैर-मार्कोवियन हैं, क्योंकि समय कारक महत्वपूर्ण है।

इसलिए, इस समस्या का समाधान प्रणाली के विश्लेषणात्मक विवरण पर नहीं, बल्कि सांख्यिकीय मॉडलिंग पर आधारित है।

पाठ्यक्रम कार्य का उद्देश्य कतार प्रणाली के रूप में मुख्य उपकरण के प्रतिनिधित्व के आधार पर उत्पादन प्रक्रिया का मॉडल बनाना है।

लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्य निर्धारित किए गए थे: - उत्पादन प्रक्रिया प्रबंधन की विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए; - समय पर उत्पादन प्रक्रिया के संगठन पर विचार करें; - उत्पादन चक्र की अवधि को कम करने के लिए मुख्य विकल्प दें;

उद्यम में उत्पादन प्रक्रिया के प्रबंधन के तरीकों का विश्लेषण करने के लिए;

क्यूएस के सिद्धांत का उपयोग करके उत्पादन प्रक्रिया के मॉडलिंग की विशेषताओं पर विचार करें;

उत्पादन प्रक्रिया का एक मॉडल विकसित करें और क्यूएस की मुख्य विशेषताओं का मूल्यांकन करें, इसके आगे के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की संभावनाएं प्रस्तुत करें।

सैद्धांतिक ज्ञान का समेकन और उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए कौशल प्राप्त करना;

रिपोर्ट में एक परिचय, तीन अध्याय, एक निष्कर्ष, संदर्भों की एक सूची, आवेदन शामिल हैं।

दूसरा अध्याय कतार प्रणाली की सैद्धांतिक सामग्री से संबंधित है। और तीसरे में हम कतार प्रणाली की समस्या की गणना करते हैं।

अध्याय 1. सैद्धांतिक भाग

1.1 कतार प्रणालीसीविफलताओं

एक क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) किसी भी सिस्टम को यादृच्छिक समय पर पहुंचने वाले किसी भी अनुरोध (आवश्यकताओं) को पूरा करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। सर्विसिंग अनुरोधों में सीधे शामिल होने वाले किसी भी उपकरण को सर्विस चैनल (या "डिवाइस") कहा जाता है। सीएमओ सिंगल और मल्टी चैनल दोनों हैं।

विफलताओं के साथ QS और कतार के साथ QS हैं। इनकार के साथ एक क्यूएस में, एक अनुरोध जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, एक इनकार प्राप्त करता है, क्यूएस छोड़ देता है, और फिर इसके संचालन में भाग नहीं लेता है। क्यूएस में एक क्यू के साथ, एक दावा जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं क्यूएस को नहीं छोड़ते हैं, लेकिन कतार में प्रवेश करते हैं और एक चैनल के मुक्त होने तक प्रतीक्षा करते हैं। कतार में स्थानों की संख्या m सीमित और असीमित दोनों हो सकती है। जब एम = 0, क्यू के साथ क्यूएस विफलताओं के साथ क्यूएस में बदल जाता है। एक कतार न केवल उसमें खड़े अनुरोधों की संख्या (कतार की लंबाई) तक सीमित हो सकती है, बल्कि प्रतीक्षा समय (ऐसे क्यूएस को "अधीर ग्राहकों के साथ सिस्टम" कहा जाता है) द्वारा भी सीमित किया जा सकता है।

क्यूएस का एक विश्लेषणात्मक अध्ययन सबसे सरल है यदि घटनाओं के सभी प्रवाह जो इसे एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करते हैं, सबसे सरल (स्थिर पॉइसन) हैं। इसका मतलब यह है कि धाराओं में घटनाओं के बीच के समय अंतराल में संबंधित धारा की तीव्रता के बराबर पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण होता है। क्यूएस के लिए, इस धारणा का अर्थ है कि अनुरोधों का प्रवाह और सेवा का प्रवाह दोनों ही सबसे सरल हैं। एक सेवा प्रवाह को एक के बाद एक लगातार व्यस्त चैनल द्वारा दिए गए अनुरोधों के प्रवाह के रूप में समझा जाता है। यह प्रवाह केवल तभी सरल होता है जब अनुरोध tservice का सेवा समय एक घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर हो। इस वितरण एम का पैरामीटर औसत सेवा समय का पारस्परिक है:

"सेवा प्रवाह सबसे सरल है" वाक्यांश के बजाय, वे अक्सर कहते हैं "सेवा समय सांकेतिक है"। कोई भी QS जिसमें सभी प्रवाह सरल होते हैं, सरल QS कहलाते हैं।

यदि सभी घटना प्रवाह सरल हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया असतत राज्यों और निरंतर समय के साथ एक मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया है। इस प्रक्रिया के लिए कुछ शर्तों के तहत, एक अंतिम स्थिर शासन होता है, जिसमें राज्यों की संभावनाएं और प्रक्रिया की अन्य विशेषताएं दोनों समय पर निर्भर नहीं होती हैं।

क्यूएस मॉडल आधुनिक कंप्यूटिंग सिस्टम के अलग-अलग सबसिस्टम का वर्णन करने के लिए सुविधाजनक हैं, जैसे कि प्रोसेसर-मेन मेमोरी सबसिस्टम, इनपुट-आउटपुट चैनल, आदि।

समग्र रूप से कंप्यूटिंग सिस्टम परस्पर जुड़े हुए सबसिस्टम का एक सेट है, जिसकी बातचीत एक संभाव्य प्रकृति की है। एक निश्चित समस्या को हल करने के लिए एक आवेदन जो कंप्यूटिंग सिस्टम में प्रवेश करता है, गिनती के चरणों के अनुक्रम से गुजरता है, बाहरी भंडारण उपकरणों और इनपुट-आउटपुट उपकरणों तक पहुंचता है।

ऐसे चरणों के एक निश्चित क्रम को पूरा करने के बाद, जिसकी संख्या और अवधि कार्यक्रम की जटिलता पर निर्भर करती है, अनुरोध को सेवित माना जाता है और कंप्यूटिंग सिस्टम को छोड़ देता है।

इस प्रकार, संपूर्ण रूप से कंप्यूटिंग सिस्टम को QS के एक सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक अलग डिवाइस या उसी प्रकार के उपकरणों के समूह के कामकाज की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है जो सिस्टम का हिस्सा हैं।

कतार सिद्धांत के कार्य क्यूएस के विभिन्न राज्यों की संभावनाओं को खोजने के साथ-साथ दिए गए पैरामीटर (चैनलों की संख्या एन, अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता एल, सेवा समय का वितरण) के बीच संबंध स्थापित करना है। , आदि) और क्यूएस की प्रदर्शन विशेषताओं। ऐसी विशेषताओं पर विचार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित:

क्यूएस द्वारा समय की प्रति यूनिट, या क्यूएस के पूर्ण थ्रूपुट द्वारा प्रदान किए गए अनुप्रयोगों की औसत संख्या;

आने वाले अनुरोध क्यू या क्यूएस के सापेक्ष थ्रूपुट की सर्विसिंग की संभावना; क्यू \u003d ए / एल;

रोथक विफलता संभावना, यानी। संभावना है कि प्राप्त आवेदन की तामील नहीं की जाएगी और खारिज कर दी जाएगी; रोटक = 1 - क्यू;

क्यूएस में आवेदनों की औसत संख्या (सेवा की गई या लाइन में प्रतीक्षा कर रही है);

कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

सीएमओ (कतार में या सेवा के तहत) में एक आवेदन द्वारा बिताया गया औसत समय;

औसत समय एक आवेदन कतार में खर्च करता है;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या।

सामान्य तौर पर, ये सभी विशेषताएं समय पर निर्भर करती हैं। लेकिन कई क्यूएस काफी लंबे समय तक स्थिर परिस्थितियों में काम करते हैं, और इसलिए स्थिर के करीब एक शासन उनके लिए स्थापित होने का समय है।

हम यहां हर जगह हैं, हर बार विशेष रूप से इसे निर्धारित किए बिना, हम राज्यों की अंतिम संभावनाओं और इसके संचालन के सीमित स्थिर मोड से संबंधित क्यूएस दक्षता की अंतिम विशेषताओं की गणना करेंगे।

एक क्यूएस को खुला कहा जाता है यदि अनुप्रयोगों के आने वाले प्रवाह की तीव्रता क्यूएस की स्थिति पर निर्भर नहीं होती है।

सीमित स्थिर मोड में किसी भी खुले क्यूएस के लिए, सिस्टम में एक ग्राहक के औसत निवास समय को लिटिल फॉर्मूला का उपयोग करके सिस्टम में ग्राहकों की औसत संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है:

जहाँ l अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता है।

एक समान सूत्र (जिसे लिटिल का सूत्र भी कहा जाता है) एक कतार में टिकट के औसत समय और एक कतार में टिकटों की औसत संख्या से संबंधित है:

लिटिल के सूत्र बहुत उपयोगी हैं, क्योंकि वे आपको दक्षता विशेषताओं (औसत निवास समय और ग्राहकों की औसत संख्या) दोनों की गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं, लेकिन उनमें से केवल एक ही।

हम विशेष रूप से इस बात पर जोर देते हैं कि सूत्र (1) और (2) किसी भी खुले QS (एकल-चैनल, बहु-चैनल, किसी भी प्रकार के अनुरोध प्रवाह और सेवा प्रवाह के लिए) के लिए मान्य हैं; ग्राहक प्रवाह और सेवाओं के लिए एकमात्र आवश्यकता यह है कि वे स्थिर हों।

इसी तरह, पूर्ण बैंडविड्थ ए के माध्यम से कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या को व्यक्त करने वाला सूत्र खुले क्यूएस के लिए एक सार्वभौमिक मूल्य है:

सेवा प्रवाह की तीव्रता कहां है।

सबसे सरल क्यूएस से संबंधित कतार के सिद्धांत की बहुत सारी समस्याएं, मृत्यु और प्रजनन की योजना का उपयोग करके हल की जाती हैं।

राज्यों की अंतिम संभावनाएँ सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती हैं:

स्क्रॉल क्यूइंग सिस्टम की विशेषताओं को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

· औसत सेवा समय;

कतार में औसत प्रतीक्षा समय;

एसएमओ में बिताया गया औसत समय;

औसत कतार लंबाई

सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या;

सेवा चैनलों की संख्या;

अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह की तीव्रता;

सेवा तीव्रता;

भार तीव्रता;

लोड फैक्टर

सापेक्ष थ्रूपुट;

निरपेक्ष थ्रूपुट

क्यूएस डाउनटाइम का हिस्सा;

सेवित अनुप्रयोगों का हिस्सा;

खोए हुए आवेदनों का अनुपात;

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

मुफ्त चैनलों की औसत संख्या;

चैनल लोड फैक्टर;

चैनलों का औसत निष्क्रिय समय।

1 . 2 कतार प्रणाली की मॉडलिंग

एक राज्य से दूसरे राज्य में क्यूएस संक्रमण अच्छी तरह से परिभाषित घटनाओं के प्रभाव में होता है - आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सर्विसिंग। समय के यादृच्छिक क्षणों में एक के बाद एक घटनाओं के घटित होने का क्रम तथाकथित घटनाओं की धारा बनाता है। वाणिज्यिक गतिविधियों में इस तरह के प्रवाह के उदाहरण विभिन्न प्रकृति के प्रवाह हैं - माल, पैसा, दस्तावेज, परिवहन, ग्राहक, ग्राहक, फोन कॉल, बातचीत। प्रणाली का व्यवहार आमतौर पर एक से नहीं, बल्कि घटनाओं की कई धाराओं द्वारा एक साथ निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी स्टोर में ग्राहक सेवा ग्राहक प्रवाह और सेवा प्रवाह द्वारा निर्धारित की जाती है; इन प्रवाहों में, खरीदारों की उपस्थिति के क्षण, कतार में बिताया गया समय और प्रत्येक खरीदार की सेवा करने में लगने वाला समय यादृच्छिक होता है।

इस मामले में, प्रवाह की मुख्य विशेषता पड़ोसी घटनाओं के बीच समय का संभाव्य वितरण है। विभिन्न धाराएँ हैं जो अपनी विशेषताओं में भिन्न हैं।

घटनाओं की एक धारा को नियमित कहा जाता है यदि इसमें होने वाली घटनाएं एक के बाद एक पूर्व निर्धारित और कड़ाई से परिभाषित समय अंतराल पर होती हैं। ऐसा प्रवाह आदर्श है और व्यवहार में बहुत दुर्लभ है। अधिक बार अनियमित प्रवाह होते हैं जिनमें नियमितता का गुण नहीं होता है।

घटनाओं की एक धारा स्थिर कहलाती है यदि किसी समय अंतराल में कई घटनाओं के गिरने की संभावना केवल इस अंतराल की लंबाई पर निर्भर करती है और यह इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि यह अंतराल समय की शुरुआत से कितनी दूर है। प्रवाह की स्थिरता का अर्थ है कि इसकी संभाव्य विशेषताएं समय से स्वतंत्र हैं, विशेष रूप से, इस तरह के प्रवाह की तीव्रता समय की प्रति इकाई घटनाओं की औसत संख्या है और स्थिर रहती है। व्यवहार में, प्रवाह को आमतौर पर केवल एक निश्चित सीमित समय अंतराल के लिए स्थिर माना जा सकता है। आमतौर पर, ग्राहकों का प्रवाह, उदाहरण के लिए, एक स्टोर में कार्य दिवस के दौरान महत्वपूर्ण रूप से बदल जाता है। हालांकि, कुछ निश्चित समय अंतरालों को अलग करना संभव है जिसके भीतर इस प्रवाह को स्थिर माना जा सकता है, जिसमें निरंतर तीव्रता होती है।

घटनाओं की एक धारा को परिणामों के बिना एक धारा कहा जाता है यदि मनमाने ढंग से चुने गए समय अंतराल में से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या दूसरे पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या पर निर्भर नहीं करती है, यह भी मनमाने ढंग से चुने गए अंतराल पर निर्भर करती है, बशर्ते कि ये अंतराल प्रतिच्छेद न करें . बिना किसी परिणाम के प्रवाह में, घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमिक समय पर प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, एक स्टोर में प्रवेश करने वाले ग्राहकों के प्रवाह को बिना किसी परिणाम के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से उनमें से प्रत्येक के आने का कारण अन्य ग्राहकों के लिए समान कारणों से संबंधित नहीं हैं।

घटनाओं की एक धारा को सामान्य कहा जाता है यदि केवल एक घटना के टकराने की संभावना की तुलना में बहुत कम समय के लिए दो या दो से अधिक घटनाओं के एक साथ टकराने की संभावना नगण्य है। एक सामान्य धारा में, घटनाएँ दो या अधिक बार के बजाय एक बार में घटित होती हैं। यदि एक प्रवाह में एक साथ स्थिरता, सामान्यता और परिणाम की अनुपस्थिति के गुण होते हैं, तो ऐसे प्रवाह को घटनाओं का सबसे सरल (या पॉइसन) प्रवाह कहा जाता है। सिस्टम पर इस तरह के प्रवाह के प्रभाव का गणितीय विवरण सबसे सरल है। इसलिए, विशेष रूप से, सरलतम प्रवाह अन्य मौजूदा प्रवाहों के बीच एक विशेष भूमिका निभाता है।

समय अक्ष पर कुछ समय अंतराल t पर विचार करें। आइए मान लें कि इस अंतराल में एक यादृच्छिक घटना की संभावना पी है, और संभावित घटनाओं की कुल संख्या n है। घटनाओं के सामान्य प्रवाह की संपत्ति की उपस्थिति में, संभावना पी पर्याप्त रूप से छोटा मान होना चाहिए, और मैं पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में हूं, क्योंकि सामूहिक घटनाओं पर विचार किया जाता है।

इन शर्तों के तहत, समय अंतराल t में एक निश्चित संख्या में घटनाओं t को हिट करने की संभावना की गणना करने के लिए, आप पॉइसन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

पीएम, एन = am_e-a; (एम = 0, एन),

जहाँ मान a \u003d pr समय अंतराल t पर पड़ने वाली घटनाओं की औसत संख्या है, जिसे घटनाओं X के प्रवाह की तीव्रता के माध्यम से निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है: a \u003d l f

प्रवाह तीव्रता X का आयाम प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या है। p और l, p और f के बीच निम्नलिखित संबंध है:

एन = एल टी; पी = एफ / टी

जहां टी समय की पूरी अवधि है जिस पर घटनाओं के प्रवाह की क्रिया पर विचार किया जाता है।

ऐसी धारा में घटनाओं के बीच समय अंतराल टी के वितरण को निर्धारित करना आवश्यक है। चूँकि यह एक यादृच्छिक चर है, आइए इसका वितरण फलन ज्ञात करें। जैसा कि प्रायिकता सिद्धांत से ज्ञात होता है, समाकलन वितरण फलन F(t) प्रायिकता है कि मान T, समय t से कम होगा।

एफ (टी) = पी (टी

शर्त के अनुसार, समय T के दौरान कोई घटना नहीं होनी चाहिए, और समय अंतराल t पर कम से कम एक घटना दिखाई देनी चाहिए। इस प्रायिकता की गणना समय अंतराल (0; t) पर विपरीत घटना की प्रायिकता का उपयोग करके की जाती है, जहां कोई घटना नहीं घटी, अर्थात। एम = 0, तब

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

छोटे? टी के लिए, आप फ़ंक्शन ई-एक्सटी को प्रतिस्थापित करके प्राप्त अनुमानित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, शक्तियों में श्रृंखला में विस्तार के केवल दो शब्दों के साथ, तो कम से कम एक घटना को कम समय अंतराल में मारने की संभावना? टी is

पी (टी

दो क्रमिक घटनाओं के बीच समय अंतराल का वितरण घनत्व समय के संबंध में F(t) को अलग करके प्राप्त किया जाता है,

एफ (टी) = एल ई- एल टी, टी? 0

प्राप्त वितरण घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई यादृच्छिक चर टी की संख्यात्मक विशेषताओं को प्राप्त कर सकता है: गणितीय अपेक्षा एम (टी), विचरण डी (टी) और मानक विचलन वाई (टी)।

एम (टी) = एल ?? 0 टी * ई-एलटी * डीटी = 1 / एल; डी(टी)=1/ एल2 ; वाई (टी) = 1 / एल।

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सबसे सरल प्रवाह में किन्हीं दो पड़ोसी घटनाओं के बीच औसत समय अंतराल T औसतन 1/l है, और इसका मानक विचलन भी 1/l है, जहां, प्रवाह की तीव्रता है, अर्थात। समय की प्रति इकाई होने वाली घटनाओं की औसत संख्या। ऐसे गुणों वाले यादृच्छिक चर के वितरण का नियम M(T) = T को घातांक (या घातांक) कहा जाता है, और मान l इस घातीय नियम का एक पैरामीटर है। इस प्रकार, सबसे सरल प्रवाह के लिए, पड़ोसी घटनाओं के बीच समय अंतराल की गणितीय अपेक्षा इसके मानक विचलन के बराबर है। इस मामले में, समय अंतराल t में सर्विसिंग के लिए आने वाले अनुरोधों की संख्या k के बराबर होने की संभावना पॉइसन कानून द्वारा निर्धारित की जाती है:

पीके (टी) = (एलटी) के / के! *ई-एल टी,

जहां एल - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, क्यूएस प्रति यूनिट समय में घटनाओं की औसत संख्या, उदाहरण के लिए [व्यक्ति / मिनट; रगड़ / घंटा; चेक / घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टन/वर्ष]।

अनुप्रयोगों के इस तरह के प्रवाह के लिए, दो पड़ोसी अनुप्रयोगों टी के बीच का समय संभाव्यता घनत्व के साथ तेजी से वितरित किया जाता है:

(टी)= एल ई-एल टी।

सेवा प्रारंभ कतार t में यादृच्छिक प्रतीक्षा समय को भी घातीय रूप से वितरित माना जा सकता है:

? (टोच) = वी * ई-वी तोच,

जहां v कतार मार्ग प्रवाह की तीव्रता है, जो समय की प्रति यूनिट सेवा के लिए गुजरने वाले आवेदनों की औसत संख्या से निर्धारित होती है:

v=1/बिंदु,

जहां कतार में सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय है।

अनुरोधों का आउटपुट प्रवाह चैनल में सेवा प्रवाह के साथ जुड़ा हुआ है, जहां सेवा अवधि टोब्स भी एक यादृच्छिक चर है और कई मामलों में एक संभाव्यता घनत्व के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है:

?(t obs)=µ*e µ t obs,

जहां सेवा प्रवाह की तीव्रता है, अर्थात। प्रति यूनिट समय पर दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या:

µ=1/ t प्रेक्षण [लोग/मिनट; रगड़ / घंटा; चेक / घंटा; दस्तावेज़/दिन; किग्रा./घंटा; टन/वर्ष],

जहां t obs सर्विसिंग अनुरोधों के लिए औसत समय है।

क्यूएस की एक महत्वपूर्ण विशेषता, जो संकेतक एल और μ को जोड़ती है, लोड की तीव्रता है: с= l/ µ, जो सेवा चैनल अनुरोधों के इनपुट और आउटपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री को दर्शाता है और की स्थिरता को निर्धारित करता है कतार प्रणाली।

घटनाओं के सबसे सरल प्रवाह की अवधारणा के अलावा, अक्सर अन्य प्रकार के प्रवाह की अवधारणाओं का उपयोग करना आवश्यक होता है। घटनाओं की एक धारा को पाम स्ट्रीम कहा जाता है जब इस धारा में क्रमिक घटनाओं T1, T2, ..., Tk ..., Tn के बीच समय अंतराल स्वतंत्र, समान रूप से वितरित, यादृच्छिक चर होते हैं, लेकिन सबसे सरल धारा के विपरीत, वे हैं जरूरी नहीं कि एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाए। सबसे सरल प्रवाह पाम प्रवाह का एक विशेष मामला है।

पाम धारा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तथाकथित एरलांग धारा है।

यह धारा सबसे सरल धारा को "पतला" करके प्राप्त की जाती है। इस तरह के "पतला" एक निश्चित नियम के अनुसार एक साधारण धारा से घटनाओं का चयन करके किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सरलतम प्रवाह के तत्वों से केवल हर दूसरी घटना को ध्यान में रखने के लिए सहमत हैं, तो हमें एक दूसरे क्रम का एरलांग प्रवाह मिलता है। यदि हम केवल हर तीसरी घटना को लेते हैं, तो तीसरे क्रम का एक एरलांग प्रवाह बनता है, और इसी तरह।

किसी भी k-th क्रम की Erlang धाराएँ प्राप्त करना संभव है। जाहिर है, सबसे सरल प्रवाह पहले क्रम का एरलांग प्रवाह है।

क्यूइंग सिस्टम का कोई भी अध्ययन इस बात के अध्ययन से शुरू होता है कि क्या परोसा जाना चाहिए, और इसलिए ग्राहकों की आने वाली धारा और इसकी विशेषताओं की जांच के साथ।

चूंकि समय क्षण t और अनुरोधों की प्राप्ति के समय अंतराल φ, तो सेवा संचालन की अवधि t obs और कतार में प्रतीक्षा समय, साथ ही कतार lch की लंबाई यादृच्छिक चर हैं, इसलिए, इसलिए, क्यूएस राज्य की विशेषताएं एक संभाव्य प्रकृति की हैं, और उनका विवरण कतार सिद्धांत के तरीकों और मॉडलों को लागू करना चाहिए।

विशेषताएँ k, f, l, Loch, Toch, v, tobs, µ, p, Pk ऊपर सूचीबद्ध QS के लिए सबसे आम हैं, जो आमतौर पर उद्देश्य फ़ंक्शन का केवल कुछ हिस्सा हैं, क्योंकि इसे ध्यान में रखना भी आवश्यक है वाणिज्यिक गतिविधि के संकेतक।

1 . 3 विफलताओं के साथ सबसे सरल क्यूएस

विफलताओं वाला एक n-चैनल QS तीव्रता l के साथ अनुप्रयोगों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त करता है; सेवा समय - एक पैरामीटर के साथ सांकेतिक। क्यूएस राज्यों को क्यूएस में अनुरोधों की संख्या के अनुसार क्रमांकित किया जाता है (कतार की अनुपस्थिति के कारण, यह व्यस्त चैनलों की संख्या के साथ मेल खाता है):

S0 - QS मुफ़्त है;

S1 - एक चैनल पर कब्जा है, बाकी मुफ्त हैं;

...;

एस क- व्यस्त कचैनल, बाकी मुफ़्त हैं (1 कएन);

…;

एस एन- सब व्यस्त हैं एनचैनल।

अंतिम राज्य संभावनाएं एरलांग सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती हैं:

जहां एस = एल / एम।

प्रदर्शन गुण:

ए = (1-पी एन); क्यू = 1-पी एन; पीपी = पी एन; =(1-पी एन).

बड़े मूल्यों के लिए पीराज्य की संभावनाओं (1*) की गणना सारणीबद्ध कार्यों का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है:

(जहर वितरण) और

,

जिनमें से पहले को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

इन कार्यों का उपयोग करते हुए, Erlang सूत्र (1*) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

.

1.4 विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

आइए हम सेवा के इनकार के साथ एक साधारण सिंगल-चैनल क्यूएस का विश्लेषण करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है, और सेवा तीव्रता एम के साथ पॉइसन प्रवाह की कार्रवाई के तहत होती है।

एकल-चैनल QS n=1 के संचालन को एक लेबल वाले राज्य ग्राफ (3.1) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक राज्य S0 से दूसरे S1 में QS संक्रमण तीव्रता के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह की कार्रवाई के तहत होता है, और रिवर्स संक्रमण तीव्रता m के साथ सेवा प्रवाह की कार्रवाई के तहत होता है।

आइए हम उपरोक्त नियमों के अनुसार राज्य की संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की प्रणाली लिखें:

जहां से हमें राज्य S0 की प्रायिकता p0(t) निर्धारित करने के लिए अवकल समीकरण प्राप्त होता है:

इस समीकरण को प्रारंभिक स्थितियों के तहत इस धारणा के तहत हल किया जा सकता है कि सिस्टम इस समय t=0 राज्य S0 में था, फिर р0(0)=1, р1(0)=0.

इस मामले में, अंतर समीकरण का समाधान हमें इस संभावना को निर्धारित करने की अनुमति देता है कि चैनल मुक्त है और सेवा में व्यस्त नहीं है:

तब चैनल के व्यस्त होने की प्रायिकता निर्धारित करने की प्रायिकता के लिए व्यंजक प्राप्त करना कठिन नहीं है:

प्रायिकता p0(t) समय के साथ घटती जाती है और t> की सीमा में घटती जाती है? आकार लेता है

और प्रायिकता p1(t) उसी समय 0 से बढ़ जाती है, जो t> के रूप में सीमा की ओर प्रवृत्त होती है? मूल्य के लिए

ये संभाव्यता सीमाएं कोलमोगोरोव समीकरणों से सीधे शर्त के तहत प्राप्त की जा सकती हैं

फ़ंक्शन p0(t) और p1(t) एकल-चैनल QS में क्षणिक प्रक्रिया का निर्धारण करते हैं और विचाराधीन सिस्टम की समय-स्थिर विशेषता के साथ अपनी सीमा स्थिति में QS के घातीय सन्निकटन की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ, हम मान सकते हैं कि QS में क्षणिक प्रक्रिया 3f के बराबर समय के भीतर समाप्त हो जाती है।

प्रायिकता p0(t) QS के सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करती है, जो समय की प्रति यूनिट आने वाले अनुरोधों की कुल संख्या के संबंध में सेवित अनुरोधों के अनुपात को निर्धारित करती है।

वास्तव में, p0(t) प्रायिकता है कि समय t पर पहुंचने वाला दावा सेवा के लिए स्वीकार किया जाएगा। कुल मिलाकर, l अनुरोध औसतन प्रति यूनिट समय पर आते हैं, और lp0 अनुरोध उनसे सेवित होते हैं।

फिर अनुरोधों के पूरे प्रवाह के संबंध में सेवित अनुरोधों का हिस्सा मूल्य द्वारा निर्धारित किया जाता है

टी> की सीमा में? व्यावहारिक रूप से पहले से ही t>3f पर सापेक्ष थ्रूपुट का मान बराबर होगा

निरपेक्ष थ्रूपुट, जो t>? की सीमा में समय की प्रति इकाई समय पर दिए गए अनुरोधों की संख्या निर्धारित करता है, इसके बराबर है:

तदनुसार, अस्वीकार किए गए आवेदनों का हिस्सा समान सीमित शर्तों के तहत है:

और असेवित अनुरोधों की कुल संख्या बराबर है

सेवा से इनकार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस के उदाहरण हैं: स्टोर में ऑर्डर डेस्क, ट्रकिंग कंपनी का नियंत्रण कक्ष, गोदाम कार्यालय, एक वाणिज्यिक कंपनी का प्रबंधन कार्यालय, जिसके साथ टेलीफोन द्वारा संचार स्थापित किया जाता है।

1.5 विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

वाणिज्यिक गतिविधियों में, मल्टी-चैनल सीएमओ के उदाहरण कई टेलीफोन चैनलों के साथ वाणिज्यिक उद्यमों के कार्यालय हैं, मॉस्को में ऑटो स्टोर में सबसे सस्ती कारों की उपलब्धता के लिए एक मुफ्त संदर्भ सेवा में 7 टेलीफोन नंबर हैं, और, जैसा कि आप जानते हैं, यह बहुत है के माध्यम से प्राप्त करना और सहायता प्राप्त करना मुश्किल है।

नतीजतन, ऑटो की दुकानें ग्राहकों को खो रही हैं, बेची गई कारों की संख्या और बिक्री राजस्व, कारोबार, लाभ बढ़ाने का अवसर।

टूरिस्ट टूर कंपनियों के पास एक्सप्रेस-लाइन जैसे दो, तीन, चार या अधिक चैनल हैं।

आइए हम सेवा के इनकार के साथ एक बहु-चैनल QS पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है।

प्रत्येक चैनल में सेवा प्रवाह की तीव्रता m होती है। QS अनुरोधों की संख्या के आधार पर, इसकी अवस्थाएँ Sk निर्धारित की जाती हैं, जिन्हें एक लेबल किए गए ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है:

S0 - सभी चैनल मुफ्त हैं k=0,

S1 - केवल एक चैनल पर कब्जा है, k=1,

S2 - केवल दो चैनलों का कब्जा है, k=2,

Sk - k चैनलों पर कब्जा है,

एसएन - सभी एन चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, के = एन।

एक मल्टीचैनल QS की अवस्थाएँ यादृच्छिक समय पर अचानक बदल जाती हैं। एक राज्य से संक्रमण, उदाहरण के लिए, S0 से S1, तीव्रता के साथ अनुरोधों के इनपुट प्रवाह के प्रभाव में होता है, और इसके विपरीत - तीव्रता m के साथ सर्विसिंग अनुरोधों के प्रवाह के प्रभाव में।

राज्य Sk से Sk-1 में सिस्टम के संक्रमण के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा चैनल जारी किया गया है, इसलिए QS को स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता किमी है, इसलिए, सिस्टम को स्थानांतरित करने वाली घटनाओं का प्रवाह एसएन से एसएन -1 की तीव्रता एनएम है।

इस तरह से शास्त्रीय एरलांग समस्या तैयार की जाती है, जिसका नाम डेनिश इंजीनियर - गणितज्ञ - कतार के सिद्धांत के संस्थापक के नाम पर रखा गया है।

क्यूएस में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया "जन्म-मृत्यु" प्रक्रिया का एक विशेष मामला है और इसे एरलांग अंतर समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है, जो किसी को विचाराधीन प्रणाली की स्थिति की सीमित संभावनाओं के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिसे कहा जाता है एरलांग सूत्र:

.

विफलताओं p0, p1, p2, ..., pk, ..., pn के साथ n-चैनल QS के राज्यों की सभी संभावनाओं की गणना करने के बाद, हम सेवा प्रणाली की विशेषताओं का पता लगा सकते हैं।

सेवा से इनकार करने की संभावना इस संभावना से निर्धारित होती है कि आने वाले सेवा अनुरोध सभी n चैनलों को व्यस्त पाएंगे, सिस्टम राज्य में होगा Sn:

के = एन।

विफलताओं, विफलता और रखरखाव की घटनाओं वाले सिस्टम में घटनाओं का एक पूरा समूह होता है, इसलिए:

रोथक+रॉब्स=1

इस आधार पर, सापेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्यू \u003d पोब्स \u003d 1-रोटक \u003d 1-Pn

QS का निरपेक्ष थ्रूपुट सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

ए = एल * रॉब्स

सेवा की संभावना, या सेवित अनुरोधों का अनुपात, क्यूएस के सापेक्ष थ्रूपुट को निर्धारित करता है, जिसे किसी अन्य सूत्र द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है:

इस अभिव्यक्ति से, आप सेवा के तहत आवेदनों की औसत संख्या निर्धारित कर सकते हैं, या, वही क्या है, सर्विसिंग द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या

चैनल अधिभोग दर व्यस्त चैनलों की औसत संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात से निर्धारित होती है

सेवा द्वारा चैनल ऑक्यूपेंसी की संभावना, जो ऑक्यूपेंसी लोड के औसत समय और चैनलों के निष्क्रिय समय tpr को ध्यान में रखती है, निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

इस अभिव्यक्ति से, आप चैनलों का औसत निष्क्रिय समय निर्धारित कर सकते हैं

स्थिर अवस्था में सिस्टम में आवेदन का औसत निवास समय लिटिल के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

त्मो \u003d एनजेड / एल।

1.6 सीमित कतार लंबाई के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

व्यावसायिक गतिविधियों में, प्रतीक्षा के साथ QS (कतार) अधिक सामान्य हैं।

एक सीमित कतार के साथ एक साधारण एकल-चैनल QS पर विचार करें, जिसमें कतार में स्थानों की संख्या m एक निश्चित मान है। नतीजतन, एक आवेदन जो उस समय आता है जब कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है, सेवा के लिए स्वीकार नहीं किया जाता है, कतार में प्रवेश नहीं करता है, और सिस्टम छोड़ देता है।

इस क्यूएस का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.4 और अंजीर में दिए गए ग्राफ के साथ मेल खाता है। 2.1 "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का वर्णन करते हुए, इस अंतर के साथ कि केवल एक चैनल की उपस्थिति में।

सेवा के "जन्म-मृत्यु" की प्रक्रिया का अंकित ग्राफ, सेवा प्रवाह की सभी तीव्रताएँ समान हैं

क्यूएस राज्यों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

S0 - सर्विस चैनल फ्री है,

एस, - सेवा चैनल व्यस्त है, लेकिन कतार नहीं है,

S2 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में एक अनुरोध है,

S3 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में दो अनुरोध हैं,

एसएम+1 - सेवा चैनल व्यस्त है, कतार में सभी एम स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है, कोई भी अगला अनुरोध अस्वीकार कर दिया गया है।

क्यूएस की यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, पहले बताए गए नियमों और सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं को परिभाषित करने वाले व्यंजक लिखें:

p0 के लिए व्यंजक इस मामले में सरल तरीके से लिखा जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि p के संबंध में हर एक ज्यामितीय प्रगति है, फिर उपयुक्त परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है:

सी = (1- साथ)

यह सूत्र 1 के अलावा सभी p के लिए मान्य है, लेकिन यदि p = 1 है, तो p0 = 1/(m + 2), और अन्य सभी संभावनाएं भी 1/(m + 2) के बराबर हैं।

यदि हम m = 0 मान लेते हैं, तो हम सेवा के इनकार के साथ पहले से ही माने गए सिंगल-चैनल QS की प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS के विचार से गुजरते हैं।

वास्तव में, m = 0 के मामले में सीमांत प्रायिकता p0 के लिए व्यंजक का रूप है:

पो \u003d एम / (एल + एम)

और l \u003d m के मामले में, इसका मान p0 \u003d 1/2 है।

आइए प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस की मुख्य विशेषताओं को परिभाषित करें: सापेक्ष और पूर्ण थ्रूपुट, विफलता की संभावना, साथ ही औसत कतार लंबाई और कतार में एक आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है यदि यह उस समय आता है जब क्यूएस पहले से ही एसएम + 1 राज्य में है और इसलिए, कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया गया है और एक चैनल सेवा करता है

इसलिए, विफलता की संभावना घटना की संभावना से निर्धारित होती है

एसएम+1 कहता है:

पोटक = दोपहर+1 = सेमी+1 * पी0

सापेक्ष थ्रूपुट, या समय की प्रति यूनिट आने वाले सेवित अनुरोधों का अनुपात, अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

क्यू \u003d 1- पॉट \u003d 1- सेमी + 1 * पी0

निरपेक्ष बैंडविड्थ है:

सेवा कतार में खड़े अनुप्रयोगों की औसत संख्या यादृच्छिक चर k की गणितीय अपेक्षा से निर्धारित होती है - कतार में खड़े अनुप्रयोगों की संख्या

यादृच्छिक चर k निम्नलिखित केवल पूर्णांक मान लेता है:

1 - कतार में एक आवेदन है,

2 - कतार में दो आवेदन हैं,

t-कतार में सभी स्थानों पर कब्जा है

इन मूल्यों की संभावनाएं राज्य एस 2 से शुरू होने वाली संबंधित राज्य संभावनाओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं। असतत यादृच्छिक चर k का वितरण नियम निम्नानुसार दर्शाया गया है:

तालिका 1. एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम

इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है:

लोच = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

सामान्य स्थिति में, p? 1 के लिए, इस योग को ज्यामितीय प्रगति मॉडल का उपयोग करके अधिक सुविधाजनक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

लोच = पी2 * 1 बजे * (मिमी*पी+1)*पी0

विशेष स्थिति में p = 1 पर, जब सभी प्रायिकता pk समान हो जाती है, तो कोई व्यक्ति संख्या श्रृंखला के पदों के योग के लिए व्यंजक का उपयोग कर सकता है।

1+2+3+ मी = एम(एम+1)

तब हमें सूत्र मिलता है

एल "ओच \u003d एम (एम + 1)* पी0 = एम (एम + 1)(पी = 1)।

समान तर्क और परिवर्तनों को लागू करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि अनुरोध और कतार की सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

प्वाइंट \u003d लोच / ए (पी? 1 पर) और टी 1 ओच \u003d एल "ओच / ए (पी \u003d 1 पर)।

ऐसा परिणाम, जब यह पता चलता है कि Tox ~ 1/l, अजीब लग सकता है: अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता में वृद्धि के साथ, ऐसा लगता है कि कतार की लंबाई बढ़नी चाहिए और औसत प्रतीक्षा समय कम होना चाहिए। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि, सबसे पहले, लोच का मान एल और एम का एक कार्य है और दूसरा, विचाराधीन क्यूएस की सीमित कतार लंबाई एम अनुप्रयोगों से अधिक नहीं है।

एक अनुरोध जो क्यूएस पर ऐसे समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, अस्वीकार कर दिया जाता है, और, परिणामस्वरूप, क्यूएस में इसका "प्रतीक्षा" समय शून्य होता है। यह सामान्य मामले में (पी? 1 के लिए) टोक्रोस्टोम एल में कमी की ओर जाता है, क्योंकि ऐसे अनुप्रयोगों का अनुपात एल की वृद्धि के साथ बढ़ता है।

यदि हम कतार की लंबाई पर प्रतिबंध को छोड़ देते हैं, अर्थात। एस्पायर एम->>?, फिर केस पी< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए, प्रायिकता p k शून्य हो जाती है। इसलिए, सापेक्ष थ्रूपुट क्यू \u003d 1 होगा, और पूर्ण थ्रूपुट ए - एल क्यू - एल के बराबर होगा, इसलिए, आने वाले सभी अनुरोधों की सेवा की जाती है, और औसत कतार की लंबाई बराबर होगी:

लोच = पी2 1-पी

और लिटिल के सूत्र के अनुसार औसत प्रतीक्षा समय

प्वाइंट \u003d लोच / ए

सीमा पी . में<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?) इसलिए, राज्यों की सीमित संभावनाओं को निर्धारित नहीं किया जा सकता है: क्यू = 1 के लिए वे शून्य के बराबर हैं। वास्तव में, सीएमओ अपने कार्यों को पूरा नहीं करता है, क्योंकि यह आने वाले सभी अनुप्रयोगों की सेवा करने में सक्षम नहीं है।

यह निर्धारित करना आसान है कि क्रमशः सेवित अनुरोधों और निरपेक्ष थ्रूपुट का अनुपात, औसत c और m, हालांकि, कतार में असीमित वृद्धि, और इसलिए इसमें प्रतीक्षा समय, इस तथ्य की ओर जाता है कि थोड़ी देर के बाद, अनुरोध बहुत समय के लिए कतार में जमा होने लगते हैं।

क्यूएस की विशेषताओं में से एक के रूप में, क्यूएस में आवेदन के रहने के औसत समय Tsmo का उपयोग किया जाता है, जिसमें कतार में बिताया गया औसत समय और औसत सेवा समय शामिल है। इस मान की गणना लिटिल के सूत्रों द्वारा की जाती है: यदि कतार की लंबाई सीमित है, तो कतार में आवेदनों की औसत संख्या बराबर है:

एलएमओ = एम+1 ;2

टीएसएमओ = लीएसएमओ;पी पर?1

और फिर कतार प्रणाली में अनुरोध का औसत निवास समय (कतार में और सेवा के तहत दोनों) के बराबर है:

टीएसएमओ = एम+1 पी पर?1 2m

1.7 असीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

वाणिज्यिक गतिविधियों में, उदाहरण के लिए, एक वाणिज्यिक निदेशक असीमित प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल क्यूएस है, क्योंकि वह, एक नियम के रूप में, एक अलग प्रकृति के सेवा अनुप्रयोगों के लिए मजबूर है: दस्तावेज़, टेलीफोन वार्तालाप, अधीनस्थों के साथ बैठकें और बातचीत, के प्रतिनिधि कर निरीक्षक, पुलिस, वस्तु विशेषज्ञ, विपणक, उत्पाद आपूर्तिकर्ता और उच्च स्तर की वित्तीय जिम्मेदारी के साथ वस्तु और वित्तीय क्षेत्र में समस्याओं का समाधान करते हैं, जो अनुरोधों की अनिवार्य पूर्ति से जुड़ा होता है जो कभी-कभी अपनी आवश्यकताओं की पूर्ति का बेसब्री से इंतजार करते हैं, और अनुचित सेवा त्रुटियां आमतौर पर आर्थिक रूप से बहुत मूर्त होती हैं। मार्कोव विफलता रखरखाव मॉडल

उसी समय, बिक्री (सेवा) के लिए आयात किए गए सामान, जबकि गोदाम में, सेवा (बिक्री) के लिए एक कतार बनाते हैं।

कतार की लंबाई बेची जाने वाली वस्तुओं की संख्या है। इस स्थिति में, विक्रेता सामान परोसने वाले चैनल के रूप में कार्य करते हैं।

यदि बिक्री के लिए अभिप्रेत माल की मात्रा बड़ी है, तो इस मामले में हम उम्मीद के साथ QS के एक विशिष्ट मामले से निपट रहे हैं।

आइए सेवा प्रतीक्षा के साथ सबसे सरल सिंगल-चैनल QS पर विचार करें, जो तीव्रता l और सेवा तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करता है।

इसके अलावा, उस समय प्राप्त अनुरोध जब चैनल सर्विसिंग में व्यस्त है, कतारबद्ध है और सर्विसिंग की प्रतीक्षा कर रहा है।

ऐसी प्रणाली का नामांकित राज्य ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3.5

इसकी संभावित अवस्थाओं की संख्या अनंत है:

चैनल मुफ़्त है, कोई कतार नहीं है;

चैनल सेवा में व्यस्त है, कोई कतार नहीं है;

चैनल व्यस्त है, एक अनुरोध कतार में है;

चैनल व्यस्त है, आवेदन कतार में है।

असीमित कतार के साथ एक क्यूएस के राज्यों की संभावना का आकलन करने के लिए मॉडल एक क्यूएस के लिए अलग-अलग सूत्रों से असीमित कतार के साथ प्राप्त किया जा सकता है जब एम> ?:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस के लिए सूत्र में सीमित कतार लंबाई के साथ

पहले पद 1 और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।

ऐसा क्रम पर अनंत पदों की संख्या का योग है।

यह योग तब अभिसरण करता है जब प्रगति, अनंत रूप से घटती है, जो कि क्यूएस के स्थिर-राज्य संचालन को निर्धारित करती है, साथ में, समय के साथ कतार अनंत तक बढ़ सकती है।

चूंकि माना क्यूएस में कतार की लंबाई की कोई सीमा नहीं है, इसलिए किसी भी आवेदन को परोसा जा सकता है, इसलिए, क्रमशः सापेक्ष थ्रूपुट, और पूर्ण थ्रूपुट

k अनुप्रयोगों के लिए कतार में होने की संभावना के बराबर है:

कतार में आवेदनों की औसत संख्या -

सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या -

सिस्टम में एक आवेदन का औसत निवास समय -

सिस्टम के साथ एक आवेदन का औसत निवास समय -

यदि प्रतीक्षा के साथ एकल-चैनल QS में, अनुरोधों की प्राप्ति की तीव्रता सेवा की तीव्रता से अधिक है, तो कतार लगातार बढ़ेगी। इस संबंध में, सबसे बड़ी रुचि एक स्थिर मोड में स्थिर क्यूएस के संचालन का विश्लेषण है।

1.8 सीमित कतार लंबाई के साथ मल्टीचैनल क्यूएस

आइए हम एक मल्टी-चैनल QS पर विचार करें, जिसके इनपुट को तीव्रता के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त होता है, और प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता है, कतार में स्थानों की अधिकतम संभव संख्या मी द्वारा सीमित है। क्यूएस की असतत अवस्थाएं सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों की संख्या से निर्धारित होती हैं, जिन्हें रिकॉर्ड किया जा सकता है।

सभी चैनल मुफ़्त हैं, ;

केवल एक चैनल पर कब्जा है (कोई भी), ;

केवल दो चैनलों पर कब्जा है (कोई भी), ;

सभी चैनल व्यस्त हैं।

जबकि क्यूएस इनमें से किसी भी राज्य में है, वहां कोई कतार नहीं है। सभी सेवा चैनल व्यस्त होने के बाद, बाद के अनुरोध एक कतार बनाते हैं, जिससे सिस्टम की आगे की स्थिति का निर्धारण होता है:

सभी चैनल व्यस्त हैं और एक आवेदन कतार में है,

सभी चैनल व्यस्त हैं और दो आवेदन कतार में हैं,

सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है और कतार में सभी जगहों पर कब्जा कर लिया गया है,

क्यूएस का बड़ी संख्या वाले राज्य में संक्रमण तीव्रता के साथ आने वाले अनुरोधों के प्रवाह से निर्धारित होता है, जबकि शर्त के अनुसार, इन अनुरोधों को समान चैनलों द्वारा प्रत्येक चैनल के लिए समान सेवा प्रवाह की तीव्रता के साथ परोसा जाता है। इस मामले में, नए चैनलों के कनेक्शन के साथ सेवा प्रवाह की कुल तीव्रता ऐसी स्थिति तक बढ़ जाती है जब सभी n चैनल व्यस्त होते हैं। कतार के आगमन के साथ, सेवा की तीव्रता अधिक बढ़ जाती है, क्योंकि यह पहले से ही अधिकतम मूल्य के बराबर पहुंच चुकी है।

आइए हम राज्यों की सीमित संभावनाओं के लिए व्यंजक लिखें:

हर के साथ पदों के योग के लिए ज्यामितीय प्रगति सूत्र का उपयोग करके के लिए अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जा सकता है:

एक कतार का गठन संभव है जब एक नया प्राप्त अनुरोध सिस्टम में आवश्यकताओं से कम नहीं पाता है, अर्थात। जब सिस्टम में आवश्यकताएं होंगी।

ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए सभी चैनलों के व्यस्त होने की प्रायिकता संबंधित प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है

इसलिए, एक कतार बनाने की संभावना के बराबर है:

सेवा से वंचित होने की संभावना तब होती है जब सभी चैनल और कतार में सभी स्थानों पर कब्जा कर लिया जाता है:

सापेक्ष थ्रूपुट के बराबर होगा:

पूर्ण बैंडविड्थ -

व्यस्त चैनलों की औसत संख्या -

निष्क्रिय चैनलों की औसत संख्या -

चैनलों का ऑक्यूपेंसी (उपयोग) गुणांक -

चैनल डाउनटाइम अनुपात -

कतारों में आवेदनों की औसत संख्या -

यदि यह सूत्र भिन्न रूप धारण कर लेता है -

एक कतार में औसत प्रतीक्षा समय लिटिल के सूत्रों द्वारा दिया जाता है -

क्यूएस में एक आवेदन का औसत निवास समय, एकल-चैनल क्यूएस के लिए, औसत सेवा समय से कतार में औसत प्रतीक्षा समय से अधिक है, जो कि बराबर है, क्योंकि आवेदन हमेशा केवल एक चैनल द्वारा परोसा जाता है :

1.9 असीमित कतार के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस

आइए हम प्रतीक्षा के साथ एक मल्टी-चैनल क्यूएस और कतार की असीमित लंबाई पर विचार करें, जो तीव्रता के साथ अनुरोधों का प्रवाह प्राप्त करता है और जिसमें प्रत्येक चैनल की सेवा तीव्रता होती है।

नामांकित अवस्था ग्राफ चित्र 3.7 में दिखाया गया है। इसमें अनंत अवस्थाएँ हैं:

एस - सभी चैनल मुफ्त हैं, के = 0;

एस - एक चैनल पर कब्जा कर लिया गया है, बाकी मुफ्त हैं, के = 1;

एस - दो चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, बाकी मुफ्त हैं, के = 2;

एस - सभी एन चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है, के = एन, कोई कतार नहीं है;

S - सभी n चैनल व्यस्त हैं, एक अनुरोध कतार में है, k=n+1,

S - सभी n चैनल व्यस्त हैं, r अनुरोध कतार में हैं, k=n+r,

जब हम m की सीमा से गुजरते हैं तो हम सीमित कतार वाले मल्टीचैनल QS के सूत्रों से राज्यों की प्रायिकता प्राप्त करते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पी के लिए अभिव्यक्ति में ज्यामितीय प्रगति का योग लोड स्तर p/n>1 पर विचलन करता है, कतार अनिश्चित काल तक बढ़ेगी, और पी/एन पर<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

कोई कतार नहीं

चूंकि ऐसी प्रणालियों में सेवा से इनकार नहीं किया जा सकता है, थ्रूपुट विशेषताएं हैं:

कतार में आवेदनों की औसत संख्या -

कतार में औसत प्रतीक्षा समय -

सीएमओ में आवेदनों की औसत संख्या -

संभावना है कि क्यूएस ऐसी स्थिति में है जहां कोई अनुरोध नहीं है और कोई चैनल पर कब्जा नहीं है अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह संभावना सर्विस चैनल डाउनटाइम का औसत अंश निर्धारित करती है। k अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त होने की प्रायिकता -

इस आधार पर, सभी चैनलों के सेवा में व्यस्त होने की संभावना या समय का अनुपात निर्धारित करना संभव है

यदि सभी चैनल पहले से ही सेवा के कब्जे में हैं, तो राज्य की संभावना अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है

कतार में होने की संभावना पहले से ही सेवा में व्यस्त सभी चैनलों को खोजने की संभावना के बराबर है

कतार में और सेवा की प्रतीक्षा में अनुरोधों की औसत संख्या इसके बराबर है:

लिटल के सूत्र के अनुसार कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय:

और सिस्टम में

सेवा के कब्जे वाले चैनलों की औसत संख्या:

मुफ़्त चैनलों की औसत संख्या:

सेवा चैनल अधिभोग दर:

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि पैरामीटर इनपुट प्रवाह के समन्वय की डिग्री की विशेषता है, उदाहरण के लिए, स्टोर में ग्राहक सेवा प्रवाह की तीव्रता के साथ। सेवा प्रक्रिया स्थिर होगी यदि, हालांकि, औसत कतार की लंबाई और ग्राहकों के लिए सेवा शुरू करने के लिए औसत प्रतीक्षा समय सिस्टम में बढ़ जाएगा और इसलिए, क्यूएस अस्थिर रूप से काम करेगा।

1.10 क्यूएस मॉडलिंग एल्गोरिदम

समस्या में माना जाने वाला QS एक QS है:

दोहरी चैनल सेवा;

एक दो-चैनल इनपुट स्ट्रीम (इसमें 2 इनपुट हैं, जिनमें से एक अनुरोध I की एक यादृच्छिक स्ट्रीम प्राप्त करता है, दूसरा इनपुट अनुरोध II की एक स्ट्रीम प्राप्त करता है)।

आवेदनों की प्राप्ति और सेवा के समय का निर्धारण:

· अनुरोधों की प्राप्ति और सेवा का समय किसी दिए गए घातीय वितरण कानून के साथ बेतरतीब ढंग से उत्पन्न होता है;

· अनुरोधों की प्राप्ति और सेवा की तीव्रता निर्धारित की जाती है;

माना क्यूएस की कार्यप्रणाली:

प्रत्येक चैनल एक बार में एक अनुरोध परोसता है;

यदि कोई नया अनुरोध आने पर कम से कम एक चैनल मुफ़्त है, तो आने वाला अनुरोध सेवा में प्रवेश करता है;

यदि कोई अनुप्रयोग नहीं हैं, तो सिस्टम निष्क्रिय है।

सेवा अनुशासन:

अनुरोधों की प्राथमिकता I: यदि सिस्टम व्यस्त है (दोनों चैनल अनुरोधों को पूरा करते हैं), और चैनलों में से एक पर अनुरोध II का कब्जा है, तो अनुरोध I अनुरोध II को पूर्ववत करता है; एप्लिकेशन II सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देता है;

यदि अनुरोध II के आने तक दोनों चैनल व्यस्त हैं, तो अनुरोध II प्रस्तुत नहीं किया जाता है;

यदि अनुरोध के आने के क्षण तक मैं दोनों चैनल अनुरोध I की सेवा करते हैं, तो प्राप्त अनुरोध I सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ देता है;

मॉडलिंग कार्य: अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह के मापदंडों को जानना, सिस्टम के व्यवहार का अनुकरण करना और इसकी दक्षता की मुख्य विशेषताओं की गणना करना। T के मान को छोटे मानों से बड़े मानों में बदलकर (समय अंतराल जिसके दौरान सेवा के लिए QS में पहली और दूसरी धाराओं के आवेदन प्राप्त करने की एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है), कोई भी मानदंड में परिवर्तन पा सकता है कामकाज की दक्षता और इष्टतम चुनें।

क्यूएस के कामकाज की प्रभावशीलता के लिए मानदंड:

· विफलता की संभावना;

· सापेक्ष थ्रूपुट;

· पूर्ण थ्रूपुट;

मॉडलिंग सिद्धांत:

हम प्रारंभिक शर्तों का परिचय देते हैं: सिस्टम का कुल समय, अनुरोधों के प्रवाह की तीव्रता का मान; प्रणाली के कार्यान्वयन की संख्या;

हम समय के क्षण उत्पन्न करते हैं जिस पर अनुरोध आते हैं, अनुरोध II के अनुरोध I के आगमन का क्रम, प्रत्येक आने वाले अनुरोध का सेवा समय;

हम गिनते हैं कि कितने आवेदन प्रस्तुत किए गए, और कितने अस्वीकृत हुए;

हम क्यूएस की दक्षता मानदंड की गणना करते हैं;

अध्याय2 . व्यावहारिक भाग

चित्र 1. ओपीएसएस की समय पर निर्भरता

कार्यक्रम CAN_SMO;

चैनल = (मुफ़्त, दावा 1, दावा 2);

तीव्रता = शब्द;

सांख्यिकी = शब्द;

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL; (चैनल)

टी_, टी, टीसी1, टीसी2: टाइम; (समय)

एल 1, एल 2, एन 1, एन 2: तीव्रता; (तीव्रता)

सेवित1, नहीं_सेवित1,

सेवित2, नहीं_सेवित2,

एस: सांख्यिकी; (सांख्यिकी)

एम, एन: पूर्णांक; (कार्यान्वयन की संख्या)

समारोह डब्ल्यू (टी: समय; एल: तीव्रता): बूलियन; (यह निर्धारित करता है कि कोई आदेश प्रकट हुआ है या नहीं)

प्रारंभ (प्रवाह तीव्रता l द्वारा)

अगर यादृच्छिक< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

समारोह एफ (टी: समय; एन: तीव्रता): समय; (यह निर्धारित करता है कि अनुरोध कब तक संसाधित किया जाएगा)

प्रारंभ करें (सर्विसिंग अनुरोधों की तीव्रता के अनुसार n)

एफ: = टी + राउंड (60/(एन));

चित्र 2. ओपीपीएस की समय पर निर्भरता

WRITELN ("क्यूएस कार्य कार्यान्वयन की संख्या दर्ज करें");

writeln (एम, "वें कार्यान्वयन");

चैनल1:= मुफ़्त; चैनल 2: = मुफ़्त;

एल1:= 3; एल2:= 1; n1:= 2; n2: = 1;

सर्वर1:= 0; not_served1:= 0;

सर्वर2:= 0; not_served2:= 0;

लिखें ("क्यूएस अध्ययन समय दर्ज करें - टी:"); रीडलन (_T_);

अगर CHANNAL1 = CLAIM1 तो inc(served1) और inc(served2);

चैनल1:= मुफ़्त;

writeln ("चैनल 1 ने अनुरोध पूरा किया");

अगर CHANNAL2 = CLAIM1 तो inc(served1) और inc(served2);

चैनल 2: = मुफ़्त;

writeln ("चैनल 2 ने ऑर्डर पूरा किया");

चित्रा 3. समय-समय पर सिस्टम में विफलता की संभावना का ग्राफ

writeln ("अनुरोध प्राप्त 1");

अगर CHANNAL1 = मुफ़्त तो

CHANNAL1 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी1: = एफ (टी, एन 1); writeln ("चैनल 1 को अनुरोध 1 प्राप्त हुआ"); समाप्त

और अगर CHANNAL2 = मुफ़्त तो

CHANNAL2 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी 2: = एफ (टी, एन 1); writeln ("चैनल 2 ने अनुरोध 1 स्वीकार किया"); समाप्त

अन्यथा यदि CHANNAL1 = CLAIM2 तो

CHANNAL1 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी1: = एफ (टी, एन 1); इंक (not_served2); writeln ("चैनल 1 ने टिकट 2 के बजाय टिकट 1 स्वीकार किया"); समाप्त

अन्यथा यदि CHANNAL2 = CLAIM2 तो

CHANNAL2 शुरू करें: = CLAIM1; टीसी 2: = एफ (टी, एन 1); इंक (not_served2); writeln ("चैनल 2 ने टिकट 2 के बजाय टिकट 1 स्वीकार किया"); समाप्त

अन्य शुरुआत इंक (not_served1); writeln ("अनुरोध 1 प्रस्तुत नहीं किया गया"); समाप्त;

चित्र 4. समय पर आवेदनों की संख्या की निर्भरता

writeln ("अनुरोध 2 प्राप्त हुआ");

अगर CHANNAL1 = मुफ़्त तो

CHANNAL1 शुरू करें: = CLAIM2; टीसी 1: = एफ (टी, एन 2); writeln ("चैनल 1 ने अनुरोध 2 स्वीकार कर लिया है"); अंत

और अगर CHANNAL2 = मुफ़्त तो

CHANNAL2 शुरू करें: = CLAIM2; टीसी 2: = एफ (टी, एन 2); writeln ("चैनल 2 ने अनुरोध 2 स्वीकार किया"); अंत

अन्य शुरुआत इंक (not_served2); writeln ("अनुरोध 2 प्रस्तुत नहीं किया गया"); समाप्त;

एस: = सेवित1 + नोट_सेवित1 + सेवित2 + नोट_सेवित2;

राइटल ("क्यूएस ऑपरेशन टाइम", _ टी_);

writeln ("चैनल 1 द्वारा परोसा गया:", सर्व किया गया 1);

writeln ("चैनल 2 द्वारा परोसा गया:", सर्व किया गया 2);

writeln ("प्राप्त अनुरोध:", एस);

writeln ("आदेश दिया गया:", सेवित 1 + सेवित 2);

writeln ("कोई अनुरोध नहीं दिया गया:", not_served1+not_served2);

(लेखन ("सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की तीव्रता:", (सेवित1 + सर्व किया गया 2)/_T_: 2:3;)

writeln ("एब्सोल्यूट सिस्टम थ्रूपुट:", (सेवित1+सेवित2)/टी:2:3);

writeln ("विफलता की संभावना:", (not_served1+not_served2)/S*100:2:1,,"%");

writeln ("सापेक्ष सिस्टम थ्रूपुट:", (सेवित1+सेवित2)/एस:2:3);

writeln ("सिमुलेशन समाप्त");

तालिका 2. क्यूएस कार्य के परिणाम

क्यूएस के लक्षण

प्रचालन का समय

प्राप्त आवेदन

आवेदन प्रस्तुत किए गए

आवेदन प्रस्तुत नहीं किए गए

निरपेक्ष सिस्टम थ्रूपुट

सापेक्ष प्रणाली थ्रूपुट

अध्याय 3संरक्षा विनियम

सामान्य प्रावधान

· सुरक्षा निर्देशों और आचरण के नियमों से परिचित व्यक्तियों को कंप्यूटर क्लास में काम करने की अनुमति है।

· निर्देशों के उल्लंघन के मामले में, छात्र को काम से निलंबित कर दिया जाता है और शिक्षक की लिखित अनुमति के साथ ही अध्ययन करने की अनुमति दी जाती है।

· कंप्यूटर कक्षा में छात्रों के काम की अनुमति केवल शिक्षक (इंजीनियर, प्रयोगशाला सहायक) की उपस्थिति में ही दी जाती है।

· याद रखें कि प्रत्येक छात्र अपने कार्यस्थल की स्थिति और उस पर रखे उपकरणों की सुरक्षा के लिए जिम्मेदार है।

काम शुरू करने से पहले:

· काम शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि उपकरण और तारों को कोई दृश्य क्षति नहीं है। कंप्यूटर और बाह्य उपकरणों को स्थिर स्थिति में टेबल पर रखा जाना चाहिए।

· छात्रों को उपकरणों के अंदर जाने की सख्त मनाही है। आप केवल शिक्षक की अनुमति से उपकरणों को चालू कर सकते हैं।

कंप्यूटर क्लास में काम करते समय यह निषिद्ध है:

1. शिक्षक की अनुमति के बिना कक्षा में प्रवेश करना और छोड़ना।

2. कक्षा के लिए लेट होना।

3. ठंड के मौसम में बाहरी कपड़ों में गंदे और गीले जूते, धूल भरे कपड़ों में कक्षा में प्रवेश करना।

4. गीले हाथों से कंप्यूटर पर काम करें।

5. विदेशी वस्तुओं को कार्यस्थल पर रखें।

6. काम के दौरान उठें, घूमें, पड़ोसी से बात करें।

7. शिक्षक की अनुमति के बिना उपकरण चालू और बंद करें।

8. उपकरण को चालू और बंद करने के आदेश का उल्लंघन करें।

9. कंप्यूटर बंद होने पर कीबोर्ड और माउस को स्पर्श करें, फर्नीचर और उपकरण ले जाएं।

10. डिस्प्ले स्क्रीन, केबल, कनेक्टिंग वायर, कनेक्टर्स, प्लग और सॉकेट को टच करें।

11. बिना अनुमति के शिक्षक के कार्यस्थल पर पहुंचें

पीसी के साथ काम करते समय मानव स्वास्थ्य के लिए मुख्य खतरा बिजली के झटके का खतरा है। इसलिए, यह निषिद्ध है:

1. उन उपकरणों पर काम करें जिनमें दृश्य दोष हैं। सिस्टम ब्लॉक खोलें।

2. केबल कनेक्ट या डिस्कनेक्ट करें, कनेक्टिंग केबल्स, तारों और सॉकेट, ग्राउंडिंग डिवाइस के कनेक्टर्स को स्पर्श करें।

3. स्क्रीन और मॉनिटर के पिछले हिस्से, कीबोर्ड को स्पर्श करें।

4. उपकरण का स्वयं निवारण करने का प्रयास करें।

5. गीले कपड़े और गीले हाथों से काम करें

6. शिक्षक और प्रयोगशाला सहायक की आवश्यकताओं को पूरा करना; मौन और व्यवस्था बनाए रखें;

7. ऑनलाइन रहते हुए, केवल अपने नाम और पासवर्ड के तहत काम करें;

8. संचालन के तरीके का निरीक्षण करें (स्वच्छता नियमों और विनियमों के अनुसार);

9. शिक्षक की अनुमति से ही काम शुरू और खत्म करें।

10. स्वास्थ्य में तेज गिरावट (आंखों में दर्द की उपस्थिति, दृश्यता में तेज गिरावट, तेज पर ध्यान केंद्रित करने या ध्यान केंद्रित करने में असमर्थता, उंगलियों और हाथों में दर्द, हृदय गति में वृद्धि) के मामले में, तुरंत कार्यस्थल छोड़ दें , शिक्षक को घटना की रिपोर्ट करें और डॉक्टर से परामर्श लें;

11. कार्यस्थल को साफ रखें।

12. शिक्षक की अनुमति से काम खत्म करें।

13. पूर्ण किए गए कार्य को सौंपें।

14. सभी सक्रिय प्रोग्रामों से बाहर निकलें और कंप्यूटर को इनायत से बंद करें।

15. कार्यस्थल को क्रम में रखें।

16. अगले पाठ के लिए कार्यालय की तैयारी की जाँच करने के लिए कर्तव्य अधिकारी को।

उपकरण के संचालन के दौरान निम्नलिखित से सावधान रहना आवश्यक है: - बिजली का झटका;

- यांत्रिक क्षति, आघात

आपात स्थिति के मामले में:

1. यदि चिंगारी, जलने की गंध या अन्य समस्याओं का पता चलता है, तो तुरंत काम बंद कर दें और शिक्षक को इसके बारे में सूचित करें।

2. यदि किसी को विद्युत प्रवाह की चपेट में आ जाता है, तो यह आवश्यक है: काम करना बंद कर दें और सुरक्षित दूरी पर चले जाएं; वोल्टेज बंद करें (कैबिनेट के स्विचबोर्ड पर); शिक्षक को सूचित करें प्राथमिक चिकित्सा शुरू करें और डॉक्टर को बुलाएं।

3. आग लगने की स्थिति में यह आवश्यक है कि: काम बंद करो और निकासी शुरू करो; शिक्षक को सूचित करें और फायर ब्रिगेड को फोन करें (दूरभाष। 01); वोल्टेज बंद करें (कैबिनेट के स्विचबोर्ड पर); आग बुझाने वाले यंत्र से आग बुझाना शुरू करें (आग को पानी से बुझाना मना है।

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