दूसरी उल्लेखनीय सीमा की गणना। ऑनलाइन कैलकुलेटर। समाधान की सीमा

शब्द "उल्लेखनीय सीमा" का उपयोग पाठ्यपुस्तकों और शिक्षण सहायक सामग्री में व्यापक रूप से महत्वपूर्ण पहचानों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो महत्वपूर्ण रूप से मदद करते हैं काम को आसान बनानासीमा खोजने के लिए।

पर वो लाने में सक्षम होउल्लेखनीय करने के लिए इसकी सीमा, आपको इसे अच्छी तरह से देखने की जरूरत है, क्योंकि वे सीधे नहीं होते हैं, लेकिन अक्सर परिणाम के रूप में, अतिरिक्त शर्तों और कारकों से सुसज्जित होते हैं। हालाँकि, पहले सिद्धांत, फिर उदाहरण, और आप सफल होंगे!

पहली अद्भुत सीमा

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पहली उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है ($0/0$ फॉर्म की अनिश्चितता):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणाम

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b)। $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

समाधान उदाहरण: 1 अद्भुत सीमा

उदाहरण 1 गणना सीमा $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

समाधान।पहला चरण हमेशा समान होता है - हम फ़ंक्शन में सीमा मान $x=0$ को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$\बाएं[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

हमें $\left[\frac(0)(0)\right]$ फॉर्म की अनिश्चितता मिली, जिसे हल किया जाना चाहिए। यदि आप बारीकी से देखें, तो मूल सीमा पहले उल्लेखनीय के समान है, लेकिन इसके साथ मेल नहीं खाती है। हमारा काम समानता लाना है। आइए इसे इस तरह से रूपांतरित करें - साइन के नीचे के व्यंजक को देखें, हर में ऐसा ही करें (अपेक्षाकृत बोलें, गुणा करें और $ 3x$ से विभाजित करें), और कम करें और सरल करें:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x) )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8)। $$

ऊपर, पहली अद्भुत सीमा प्राप्त की गई थी: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text(एक सशर्त प्रतिस्थापन किया गया) y=3x। $$ उत्तर: $3/8$.

उदाहरण 2 गणना सीमा $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

समाधान।हम फ़ंक्शन में सीमा मान $x=0$ को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$\बाएं[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

हमें $\left[\frac(0)(0)\right]$ फॉर्म की अनिश्चितता मिली। आइए सरलीकरण में पहली अद्भुत सीमा (तीन बार!) का उपयोग करके सीमा को बदलें:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac((9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)(32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16)। $$

उत्तर: $9/16$.

उदाहरण 3 सीमा ज्ञात कीजिए $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

समाधान।लेकिन क्या होगा अगर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तहत एक जटिल अभिव्यक्ति है? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, और यहाँ हम उसी तरह से कार्य करते हैं। सबसे पहले, अनिश्चितता के प्रकार की जाँच करें, फ़ंक्शन में $x=0$ स्थानापन्न करें और प्राप्त करें:

$$\बाएं[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

हमें $\left[\frac(0)(0)\right]$ फॉर्म की अनिश्चितता मिली। $2x^3+3x$ से गुणा और भाग करें:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \बाएं[\frac(0)(0)\right] = $$

फिर से अनिश्चितता मिली, लेकिन इस मामले में यह सिर्फ एक अंश है। आइए अंश और हर को $x$ से कम करें:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ फ्रैक(3)(5)। $$

उत्तर: $3/5$.

दूसरी अद्भुत सीमा

दूसरी उल्लेखनीय सीमा इस प्रकार लिखी गई है (फॉर्म की अनिश्चितता $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \बाएं(1+x\दाएं)^(1/x)=e. $$

दूसरी उल्लेखनीय सीमा के परिणाम

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab)। $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

समाधान उदाहरण: 2 अद्भुत सीमा

उदाहरण 4 सीमा खोजें $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

समाधान।आइए अनिश्चितता के प्रकार की जांच करें, फ़ंक्शन में $x=\infty$ स्थानापन्न करें और प्राप्त करें:

$$\बाएं[ \बाएं(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

हमें $\बाएं$ फॉर्म की अनिश्चितता मिली। सीमा को दूसरे उल्लेखनीय तक घटाया जा सकता है। आइए रूपांतरित करें:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

ब्रैकेटेड अभिव्यक्ति वास्तव में दूसरी अद्भुत सीमा है $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, केवल $t=- 3x/2$, तो

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3)। $$

उत्तर:$ई^(-2/3)$।

उदाहरण 5 सीमा खोजें $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

समाधान।फ़ंक्शन में $x=\infty$ को प्रतिस्थापित करें और $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ फॉर्म की अनिश्चितता प्राप्त करें। और हमें $\बाएं$ की जरूरत है। तो चलिए शुरू करते हैं कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को परिवर्तित करके:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\दाएं)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

ब्रैकेटेड अभिव्यक्ति वास्तव में दूसरी अद्भुत सीमा है $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, केवल $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, इसलिए

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2)। $$

कई अद्भुत सीमाएँ हैं, लेकिन सबसे प्रसिद्ध पहली और दूसरी अद्भुत सीमाएँ हैं। इन सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि इनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और कई समस्याओं में आने वाली अन्य सीमाओं को खोजने के लिए उपयोग किया जा सकता है। इस पाठ के व्यावहारिक भाग में हम यही करेंगे। पहली या दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक कम करके समस्याओं को हल करने के लिए, उनमें निहित अनिश्चितताओं का खुलासा करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इन सीमाओं के मूल्यों को महान गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से घटाया गया है।

पहली उल्लेखनीय सीमारेडियन माप में व्यक्त एक ही चाप के लिए एक असीम रूप से छोटे चाप की ज्या के अनुपात की सीमा कहा जाता है:

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा पर समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ें। नोट: यदि कोई त्रिकोणमितीय फलन सीमा चिह्न के अंतर्गत है, तो यह लगभग निश्चित संकेत है कि इस व्यंजक को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है।

उदाहरण 1सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। इसके बजाय प्रतिस्थापन एक्सशून्य अनिश्चितता की ओर ले जाता है:

.

हर एक साइन है, इसलिए, अभिव्यक्ति को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है। आइए परिवर्तन शुरू करें:

.

हर में - तीन x की ज्या, और अंश में केवल एक x होता है, जिसका अर्थ है कि आपको अंश में तीन x प्राप्त करने की आवश्यकता है। किसलिए? पेश करने के लिए 3 एक्स = एकऔर अभिव्यक्ति प्राप्त करें।

और हम पहली उल्लेखनीय सीमा के बदलाव पर आते हैं:

क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस सूत्र में x के बजाय कौन सा अक्षर (चर) है।

हम x को तीन से गुणा करते हैं और तुरंत विभाजित करते हैं:

.

विख्यात पहली उल्लेखनीय सीमा के अनुसार, हम भिन्नात्मक व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं:

अब हम अंत में इस सीमा को हल कर सकते हैं:

.

उदाहरण 2सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन फिर से "शून्य से शून्य विभाजन" अनिश्चितता की ओर जाता है:

.

पहली उल्लेखनीय सीमा प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि अंश में साइन साइन के तहत x और हर में सिर्फ x समान गुणांक के साथ हो। इस गुणांक को 2 के बराबर होने दें। ऐसा करने के लिए, नीचे दिए गए x पर वर्तमान गुणांक की कल्पना करें, भिन्नों के साथ क्रिया करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। प्रतिस्थापित करते समय, हमें फिर से अनिश्चितता "शून्य से शून्य से विभाजित" मिलती है:

.

आप शायद पहले से ही समझते हैं कि मूल अभिव्यक्ति से आप पहली अद्भुत सीमा को पहली अद्भुत सीमा से गुणा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंश में x के वर्गों और हर में साइन को समान कारकों में विघटित करते हैं, और x और साइन के लिए समान गुणांक प्राप्त करने के लिए, हम x को अंश में 3 से विभाजित करते हैं और तुरंत 3 से गुणा करें। हमें मिलता है:

.

उदाहरण 4सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। फिर से हमें अनिश्चितता "शून्य से शून्य से विभाजित" मिलती है:

.

हम पहली दो उल्लेखनीय सीमाओं का अनुपात प्राप्त कर सकते हैं। हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करते हैं। फिर, गुणांकों के लिए ज्या और x पर संयोग करने के लिए, हम ऊपरी x को 2 से गुणा करते हैं और तुरंत 2 से विभाजित करते हैं, और निचले x को 3 से गुणा करते हैं और तुरंत 3 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है:

उदाहरण 5सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। और फिर, "शून्य से विभाजित शून्य" की अनिश्चितता:

हम त्रिकोणमिति से याद करते हैं कि स्पर्शरेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है, और शून्य की कोज्या एक के बराबर है। हम परिवर्तन करते हैं और प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 6सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। सीमा चिह्न के तहत त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन फिर से पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने का विचार सुझाता है। हम इसे ज्या से कोज्या के अनुपात के रूप में निरूपित करते हैं।

उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि सीमा क्या है और इसके साथ क्या खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? आप यह नहीं समझ सकते हैं कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल करते हैं, आप शायद यह नहीं समझ सकते हैं कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "पांच" पर खोजें। लेकिन अगर आपको समझ में नहीं आता कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। इसके अलावा, निर्णयों के डिजाइन के नमूनों और डिजाइन के लिए मेरी सिफारिशों के साथ खुद को परिचित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत की जाती है।

और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए, हमें निम्नलिखित कार्यप्रणाली सामग्री की आवश्यकता है: उल्लेखनीय सीमाएंतथा त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं। मैनुअल प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह बहुत अधिक सुविधाजनक है, इसके अलावा, उन्हें अक्सर ऑफ़लाइन एक्सेस करना पड़ता है।

अद्भुत सीमाओं के बारे में क्या उल्लेखनीय है? इन सीमाओं की उल्लेखनीयता इस तथ्य में निहित है कि वे प्रसिद्ध गणितज्ञों के महानतम दिमागों द्वारा सिद्ध किए गए थे, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणक और डिग्री के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। यही है, सीमा खोजने पर, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।

कई उल्लेखनीय सीमाएं हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में अंशकालिक छात्रों की दो उल्लेखनीय सीमाएं हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब यह एक बहुत ही विशिष्ट चीज है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा।

पहली अद्भुत सीमा

निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "वह" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री की प्रस्तुति के संदर्भ में अधिक सुविधाजनक है)।

सीमा ज्ञात करने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें .) सीमाएं। समाधान उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की साइन शून्य है), हर में, जाहिर है, शून्य भी। इस प्रकार, हम प्रपत्र की अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं, जिसे सौभाग्य से, प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित होता है कि:

इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन हम इसके ज्यामितीय अर्थ पर पाठ में विचार करेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.

अक्सर व्यावहारिक कार्यों में, कार्यों को अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:

- वही पहली अद्भुत सीमा।

लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में एक सीमा दी गई है, तो उसे उसी रूप में हल किया जाना चाहिए, बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए।

व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक प्राथमिक कार्य, एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल इतना महत्वपूर्ण है कि यह शून्य हो जाता है.

उदाहरण:
, , ,

यहां , , , , और सब कुछ गुलजार है - पहली अद्भुत सीमा लागू होती है।

और यहाँ अगली प्रविष्टि है - विधर्म:

क्यों? क्योंकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।

वैसे सवाल बैकफिलिंग का है, लेकिन लिमिट क्या है? ? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, सब कुछ इतना आसान नहीं है, लगभग कभी भी एक छात्र को एक मुफ्त सीमा को हल करने और एक आसान क्रेडिट प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाएगी। हम्म्... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर लगता है, यह परीक्षण में अमूल्य मदद हो सकती है, जब मुद्दा "दो" और "तीन" के बीच तय किया जाएगा, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या सरलतम उदाहरण को हल करने की पेशकश करने का फैसला करता है ("शायद वह (ए) अभी भी जानता है?")।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों पर चलते हैं:

उदाहरण 1

सीमा का पता लगाएं

यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या मसौदे पर करते हैं):

तो, हमारे पास रूप की एक अनिश्चितता है, इसकी इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में। सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा की तरह दिखती है, लेकिन यह काफी नहीं है, यह साइन के तहत है, लेकिन हर में है।

ऐसे मामलों में, हमें कृत्रिम उपकरण का उपयोग करके पहली अद्भुत सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "साइन के तहत हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि हमें भी हर में आने की आवश्यकता है"।
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब यह रिकॉर्ड एक जाना-पहचाना आकार ले चुका है।
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो एक साधारण पेंसिल के साथ पहली अद्भुत सीमा को चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:

क्या हुआ? वास्तव में, गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई है और उत्पाद में गायब हो गई है:

अब केवल तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना बाकी है:

बहुमंजिला भिन्नों का सरलीकरण कौन भूल गया है, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें हॉट स्कूल गणित सूत्र .

तैयार। अंतिम उत्तर:

यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो समाधान को इस प्रकार स्वरूपित किया जा सकता है:

“

हम पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हैं

“

उदाहरण 2

सीमा का पता लगाएं

फिर से हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। हम अंश और हर में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएं। समाधान उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है। यहां - वही बात, हम डिग्री को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

इसी तरह पिछले उदाहरण के लिए, हम एक पेंसिल के साथ अद्भुत सीमाओं की रूपरेखा तैयार करते हैं (यहां उनमें से दो हैं), और इंगित करते हैं कि वे एक के लिए जाते हैं:

दरअसल, जवाब तैयार है:

निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मुझे लगता है कि एक नोटबुक में समाधान को सही ढंग से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले ही समझ चुके हैं।

उदाहरण 3

सीमा का पता लगाएं

हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसे प्रकट करने की आवश्यकता है। यदि सीमा में एक स्पर्शरेखा है, तो यह लगभग हमेशा प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार साइन और कोसाइन में परिवर्तित हो जाता है (वैसे, वे कोटेंजेंट के साथ भी ऐसा ही करते हैं, कार्यप्रणाली सामग्री देखें गर्म त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, टेबल और संदर्भ सामग्री).

इस मामले में:

शून्य की कोज्या एक के बराबर है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर जाता है):

इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर, इसे एक इकाई में बदल दिया जाना चाहिए, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।

यहाँ सब कुछ सरल हो गया, बिना किसी गुणा और भाग के। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एकता में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

फलतः अनंत प्राप्त होता है, ऐसा होता है।

उदाहरण 4

सीमा का पता लगाएं

हम अंश और हर में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

प्राप्त अनिश्चितता (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने की सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।

हम सीमा चिह्न से परे निरंतर गुणकों को निकालते हैं:

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करें:

यहां हमारे पास केवल एक अद्भुत सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

आइए तीन मंजिला से छुटकारा पाएं:

सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष साइन शून्य हो जाता है:

उदाहरण 5

सीमा का पता लगाएं

यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:

चर को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं हल करने के तरीके सीमित करें.

दूसरी अद्भुत सीमा

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध होता है कि:

इस तथ्य को कहा जाता है दूसरी उल्लेखनीय सीमा.

संदर्भ: एक अपरिमेय संख्या है।

न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल इतना महत्वपूर्ण है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.

उदाहरण 6

सीमा का पता लगाएं

जब सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति शक्ति में है - यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा को लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

लेकिन पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक असीम रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, यह किस सिद्धांत के अनुसार किया जाता है, पाठ में इसका विश्लेषण किया गया था। सीमाएं। समाधान उदाहरण.

यह देखना आसान है कि कब डिग्री का आधार, और घातांक - , अर्थात्, प्रपत्र की अनिश्चितता है:

यह अनिश्चितता दूसरी उल्लेखनीय सीमा की सहायता से ही प्रकट होती है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली पर नहीं होती है, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। आप निम्नानुसार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में, पैरामीटर का अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को एक शक्ति तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति में बदलाव न हो, हम इसे एक शक्ति तक बढ़ाते हैं:

जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो हम एक पेंसिल से चिह्नित करते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक सुंदर पत्र में बदल गई है:

उसी समय, लिमिट आइकन को ही इंडिकेटर में ले जाया जाता है:

उदाहरण 7

सीमा का पता लगाएं

ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत सामान्य है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

हम सीमा चिह्न के अंतर्गत व्यंजक में एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

परिणाम एक अनिश्चितता है। लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? आपको डिग्री के आधार को बदलने की जरूरत है। हम इस तरह तर्क देते हैं: हमारे पास हर में, जिसका अर्थ है कि हमें अंश में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है।

सबूत:

आइए पहले हम अनुक्रम की स्थिति के लिए प्रमेय सिद्ध करें

न्यूटन के द्विपद सूत्र के अनुसार:

मान लें कि हमें मिलता है

इस समानता (1) से यह इस प्रकार है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, दायीं ओर धनात्मक पदों की संख्या बढ़ती जाती है। इसके अलावा, जैसे-जैसे n बढ़ता है, संख्या घटती जाती है, इसलिए मात्राएँ बढ़ोतरी। इसलिए क्रम बढ़ रहा है, जबकि (2)* आइए हम दिखाते हैं कि यह परिबद्ध है। हम समानता के दाईं ओर प्रत्येक कोष्ठक को एक से बदलते हैं, दाईं ओर बढ़ता है, हमें असमानता मिलती है

हम परिणामी असमानता को मजबूत करते हैं, संख्या 2 के साथ भिन्नों के हर में खड़े 3,4,5, ... को प्रतिस्थापित करते हैं: हम ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक में योग पाते हैं: इसलिए (3)*

इस प्रकार, अनुक्रम ऊपर से घिरा हुआ है, जबकि असमानताएं (2) और (3) धारण करती हैं: इसलिए, वीयरस्ट्रैस प्रमेय (एक अनुक्रम के अभिसरण के लिए एक मानदंड) के आधार पर, अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ता है और घिरा होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है, जिसे अक्षर ई द्वारा दर्शाया गया है। वे।

यह जानते हुए कि x के प्राकृतिक मूल्यों के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सत्य है, हम वास्तविक x के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सिद्ध करते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि . दो मामलों पर विचार करें:

1. मान लीजिए कि प्रत्येक x का मान दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच है: , x का पूर्णांक भाग कहाँ है। => =>

यदि , तो इसलिए , सीमा के अनुसार हमारे पास है

सीमाओं के अस्तित्व के आधार पर (एक मध्यवर्ती कार्य की सीमा पर)

2. चलो। आइए एक प्रतिस्थापन करें - x = t, फिर

इन दो मामलों से यह इस प्रकार है कि वास्तविक एक्स के लिए

परिणाम:

9 .) अतिसूक्ष्म जीवों की तुलना। सीमा में इनफिनिटिमल्स के स्थान पर तुल्यांक वाले थ्योरम और इनफ़िनिटिमल्स के प्रमुख भाग पर थ्योरम।

मान लीजिए कि फलन a( एक्स) और बी( एक्स) - बी.एम. पर एक्स ® एक्स 0 .

परिभाषाएँ।

1) ए ( एक्स) बुलाया की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम बी (एक्स) यदि

नीचे लिखें: ए ( एक्स) = ओ (बी ( एक्स)) .

2)ए( एक्स) तथाबी( एक्स)बुलाया एक ही क्रम के अपरिमित, यदि

जहां सीнℝ and सी¹ 0 .

नीचे लिखें: ए ( एक्स) = हे(बी( एक्स)) .

3) ए ( एक्स) तथाबी( एक्स) बुलाया बराबर , यदि

नीचे लिखें: ए ( एक्स) ~ बी ( एक्स).

4) ए ( एक्स) के संबंध में एक अतिसूक्ष्म क्रम k कहलाता है
अति सूक्ष्मबी( एक्स), यदि अतिसूक्ष्मएक( एक्स)तथा(बी( एक्स)) क एक ही आदेश है, अर्थात्। यदि

जहां सीнℝ and सी¹ 0 .

प्रमेय 6 (इनफिनिटिमल्स को समकक्ष वाले से बदलने पर)।

होने देनाएक( एक्स), बी( एक्स), एक 1 ( एक्स), ख 1 ( एक्स)- बी.एम. x . पर ® एक्स 0 . यदि एकएक( एक्स) ~ ए 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स),

फिर

प्रमाण: मान लीजिए a( एक्स) ~ ए 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स), फिर

प्रमेय 7 (असीम रूप से छोटे के मुख्य भाग के बारे में)।

होने देनाएक( एक्स)तथाबी( एक्स)- बी.एम. x . पर ® एक्स 0 , तथाबी( एक्स)- बी.एम. की तुलना में उच्च क्रमएक( एक्स).

= , a चूँकि b( एक्स) - एक से अधिक आदेश ( एक्स) , फिर , यानी। से यह स्पष्ट है कि एक ( एक्स) + बी ( एक्स) ~ ए ( एक्स)

10) एक बिंदु पर कार्य निरंतरता (एप्सिलॉन-डेल्टा सीमा की भाषा में, ज्यामितीय) एकतरफा निरंतरता। एक अंतराल पर, एक खंड पर निरंतरता। निरंतर कार्यों के गुण।

1. मूल परिभाषाएं

होने देना एफ(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है एक्स 0 .

परिभाषा 1. समारोह एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 अगर समानता सच है

टिप्पणियां.

1) 3 के प्रमेय 5 द्वारा, समानता (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

शर्त (2) - एक तरफा सीमा की भाषा में एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता की परिभाषा.

2) समानता (1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

वे कहते हैं: "यदि कोई फलन एक बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 है, तो सीमा के चिन्ह और फलन को आपस में बदला जा सकता है।

परिभाषा 2 (भाषा ई-डी में)।

समारोह एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि"ई>0 $d>0 ऐसा, क्या

अगर xयू( एक्स 0 , डी) (अर्थात, | एक्स – एक्स 0 | < d),

फिर च(एक्स)Оयू( एफ(एक्स 0), ई) (यानी | एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) | < e).

होने देना एक्स, एक्स 0 Î डी(एफ) (एक्स 0 - निश्चित, एक्स-मनमाना)

निरूपित करें: डी एक्स= एक्स-एक्स 0 – तर्क वृद्धि

डी एफ(एक्स 0) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) – बिंदु x . पर फ़ंक्शन वृद्धि 0

परिभाषा 3 (ज्यामितीय)।

समारोह एफ(एक्स) पर बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि इस बिंदु पर तर्क की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म वृद्धि से मेल खाती है, अर्थात।

चलो समारोह एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [ एक्स 0 ; एक्स 0 + डी) (अंतराल पर ( एक्स 0 - डी; एक्स 0 ]).

परिभाषा। समारोह एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 दायी ओर (बाएं ), अगर समानता सच है

जाहिर सी बात है एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 Û एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 दाएं और बाएं।

परिभाषा। समारोह एफ(एक्स) बुलाया निरंतर प्रति अंतराल इ ( एक; बी) यदि यह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है.

समारोह एफ(एक्स) खंड पर निरंतर कहा जाता है [एक; बी] अगर यह अंतराल पर निरंतर है (एक; बी) और सीमा बिंदुओं पर एकतरफा निरंतरता है(अर्थात बिंदु पर निरंतर एकसही, बिंदु बी- बाईं तरफ)।

11) विराम बिंदु, उनका वर्गीकरण

परिभाषा। यदि फलन f(एक्स) बिंदु x . के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है 0 , लेकिन उस बिंदु पर निरंतर नहीं है, तो एफ(एक्स) बिंदु x . पर असंतत कहा जाता है 0 , लेकिन बिंदु एक्स 0 ब्रेकिंग पॉइंट कहा जाता है कार्य f(एक्स) .

टिप्पणियां.

1) एफ(एक्स) बिंदु के अधूरे पड़ोस में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 0 .

फिर फ़ंक्शन की संगत एकतरफा निरंतरता पर विचार करें।

2) z की परिभाषा से, बिंदु एक्स 0 फ़ंक्शन का विराम बिंदु है एफ(एक्स) दो मामलों में:

ए) यू( एक्स 0, डी) नहीं डी(एफ) , लेकिन के लिए एफ(एक्स) समानता संतुष्ट नहीं है

बी) यू * ( एक्स 0, डी) नहीं डी(एफ) .

प्राथमिक कार्यों के लिए, केवल मामला b) संभव है।

होने देना एक्स 0 - फ़ंक्शन का विराम बिंदु एफ(एक्स) .

परिभाषा। बिंदु x 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति मैं मेहरबान यदि फलन f(एक्स)इस बिंदु पर बाईं और दाईं ओर सीमित सीमाएँ हैं.

यदि, इसके अतिरिक्त, ये सीमाएँ समान हैं, तो बिंदु x 0 बुलाया विराम बिंदु , अन्यथा - कूद बिंदु .

परिभाषा। बिंदु x 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति द्वितीय मेहरबान यदि फलन की कम से कम एक तरफा सीमा f(एक्स)इस बिंदु पर के बराबर है¥ या मौजूद नहीं है.

12) एक खंड पर निरंतर कार्यों के गुण (वीयरस्ट्रैस (बिना प्रमाण के) और कॉची के प्रमेय

वीयरस्ट्रैस प्रमेय

मान लें कि फलन f(x) खंड पर सतत है, तब

1)f(x) तक सीमित है

2) f (x) अंतराल पर अपना सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान लेता है

परिभाषा: किसी x D(f) के लिए यदि m≤f(x) फलन m=f का मान सबसे छोटा कहा जाता है।

फलन का मान m=f सबसे बड़ा कहलाता है यदि किसी x D(f) के लिए m≥f(x) हो।

फ़ंक्शन सेगमेंट के कई बिंदुओं पर सबसे छोटा \ सबसे बड़ा मान ले सकता है।

f(x 3)=f(x 4)=max

कॉची का प्रमेय।

मान लें कि फलन f(x) खंड पर निरंतर है और x f(a) और f(b) के बीच संलग्न संख्या है, तो कम से कम एक बिंदु x 0 € ऐसा है कि f(x 0)= g

दूसरी उल्लेखनीय सीमा का सूत्र है lim x → 1 + 1 x x = e । लेखन का दूसरा रूप इस तरह दिखता है: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e।

जब हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा के बारे में बात करते हैं, तो हमें फॉर्म 1 की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, अर्थात। एक अनंत डिग्री के लिए इकाई।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

उन समस्याओं पर विचार करें जिनमें हमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता है।

उदाहरण 1

सीमा x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 ज्ञात कीजिए।

समाधान

वांछित सूत्र को प्रतिस्थापित करें और गणना करें।

लिम एक्स → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1

हमारे उत्तर में हमें अनंत की घात का एक मात्रक मिला है। समाधान विधि निर्धारित करने के लिए, हम अनिश्चितताओं की तालिका का उपयोग करते हैं। हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा चुनते हैं और चरों में परिवर्तन करते हैं।

टी \u003d - एक्स 2 + 1 2 x 2 + 1 4 \u003d - टी 2

यदि x → तो t → - ।

आइए देखें कि प्रतिस्थापन के बाद हमें क्या मिला:

लिम एक्स → ∞ 1 - 2 एक्स 2 + 1 एक्स 2 + 1 4 = 1 ∞ = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 1 2 टी = लिम टी → ∞ 1 + 1 टी टी - 1 2 = ई - 1 2

उत्तर:लिम एक्स → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = ई - 1 2।

उदाहरण 2

सीमा की गणना करें x → ∞ x - 1 x + 1 x ।

समाधान

अनंत को प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित प्राप्त करें।

लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = लिम एक्स → ∞ 1 - 1 एक्स 1 + 1 एक्स एक्स = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1

उत्तर में, हमें फिर से पिछली समस्या के समान ही मिला, इसलिए, हम फिर से दूसरी अद्भुत सीमा का उपयोग कर सकते हैं। अगला, हमें पावर फ़ंक्शन के आधार पर पूर्णांक भाग का चयन करने की आवश्यकता है:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

उसके बाद, सीमा निम्नलिखित रूप लेती है:

लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = 1 ∞ = लिम एक्स → ∞ 1 - 2 एक्स + 1 एक्स

हम चर बदलते हैं। मान लीजिए कि t = - x + 1 2 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; यदि x → , तो t → ।

उसके बाद, हम लिखते हैं कि हमें मूल सीमा में क्या मिला:

लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = 1 ∞ = लिम एक्स → ∞ 1 - 2 एक्स + 1 एक्स = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी - 1 = = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी 1 + 1 टी - 1 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 1 = = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी टी - 2 1 + 1 ∞ = ई - 2 (1 + 0) - 1 = ई - 2

इस परिवर्तन को करने के लिए, हमने सीमाओं और शक्तियों के मूल गुणों का उपयोग किया।

उत्तर:लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = ई - 2।

उदाहरण 3

सीमा की गणना करें x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5।

समाधान

लिम एक्स → ∞ एक्स 3 + 1 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 3 एक्स 4 2 एक्स 3 - 5 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 एक्स 3 1 + 2 एक्स - 1 एक्स 3 3 2 एक्स - 5 एक्स 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

उसके बाद, हमें दूसरी अद्भुत सीमा लागू करने के लिए एक फ़ंक्शन परिवर्तन करने की आवश्यकता है। हमें निम्नलिखित मिला:

लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 = लिम x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

चूँकि अब हमारे पास भिन्न के अंश और हर में समान घातांक हैं (छह के बराबर), अनंत पर भिन्न की सीमा उच्च घातों पर इन गुणांकों के अनुपात के बराबर होगी।

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = लिम x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 के स्थान पर हमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा प्राप्त होती है। मतलब क्या:

लिम एक्स → ∞ 1 + - 2 एक्स 2 + 2 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 - 2 एक्स 2 + 2 - 3 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी टी - 3 = ई - 3

उत्तर:लिम एक्स → ∞ एक्स 3 + 1 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 3 एक्स 4 2 एक्स 3 - 5 = ई - 3।

निष्कर्ष

अनिश्चितता 1 , यानी। एक अनंत डिग्री की इकाई, एक शक्ति-कानून अनिश्चितता है, इसलिए, इसे घातीय शक्ति कार्यों की सीमा खोजने के लिए नियमों का उपयोग करके प्रकट किया जा सकता है।

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