एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएं। रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मान लीजिए कि एक रैखिक समीकरण द्वारा दी गई एक सीधी रेखा और उसके निर्देशांक (x0, y0) द्वारा दिया गया एक बिंदु दिया गया है और इस सीधी रेखा पर नहीं है। एक ऐसे बिंदु को खोजना आवश्यक है जो किसी दी गई सीधी रेखा के संबंध में किसी दिए गए बिंदु के सममित होगा, अर्थात, यदि विमान मानसिक रूप से इस सीधी रेखा के साथ आधे में मुड़ा हुआ है, तो इसके साथ मेल खाएगा।

अनुदेश

1. यह स्पष्ट है कि दोनों बिंदु - दिए गए और वांछित - एक ही सीधी रेखा पर स्थित होने चाहिए, और यह रेखा दिए गए बिंदु पर लंबवत होनी चाहिए। इस प्रकार, समस्या का पहला भाग एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करना है जो किसी दी गई रेखा के लंबवत होगी और साथ ही किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरेगी।

2. एक सीधी रेखा को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है। एक सीधी रेखा का विहित समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + C = 0, जहाँ A, B और C स्थिरांक हैं। इसके अलावा, एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सीधी रेखा निर्धारित की जा सकती है: y \u003d kx + b, जहां k कोणीय घातांक है, b विस्थापन है। ये दो विधियाँ विनिमेय हैं, और इसे प्रत्येक से दूसरे में जाने की अनुमति है। यदि कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, तो y = - (एक्स + सी)/बी। दूसरे शब्दों में, एक रैखिक फलन में y = kx + b, कोणीय घातांक k = -A/B, और ऑफसेट b = -C/B। वर्तमान कार्य के लिए, एक सीधी रेखा के विहित समीकरण के आधार पर तर्क करना अधिक सुविधाजनक है।

3. यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं, और पहली पंक्ति का समीकरण Ax + By + C = 0 है, तो दूसरी पंक्ति का समीकरण Bx - Ay + D = 0 होना चाहिए, जहाँ D एक स्थिरांक है। D का एक निश्चित मान ज्ञात करने के लिए, यह अतिरिक्त रूप से जानना आवश्यक है कि लंब रेखा किस बिंदु से होकर गुजरती है। इस मामले में, यह बिंदु (x0, y0) है। नतीजतन, D को समानता को संतुष्ट करना चाहिए: Bx0 - Ay0 + D = 0, यानी D = Ay0 - Bx0।

4. बाद में, लंबवत रेखा मिलने के बाद, दिए गए एक के साथ इसके चौराहे के बिंदु के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, बीएक्स - एई + एई0 - बीएक्स 0 = 0। इसका समाधान संख्या (x1, y1) देगा जो कि निर्देशांक के रूप में काम करता है रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु।

5. वांछित बिंदु ज्ञात रेखा पर स्थित होना चाहिए, और चौराहे के बिंदु तक इसकी दूरी चौराहे बिंदु से बिंदु (x0, y0) तक की दूरी के बराबर होनी चाहिए। बिंदु (x0, y0) के सममित बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार समीकरणों की प्रणाली को हल करके पाए जा सकते हैं: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 =?((x - x1)^2 + (y - y1)^2)।

6. लेकिन चलिए इसे आसान बनाते हैं। यदि बिंदु (x0, y0) और (x, y) बिंदु (x1, y1) से समान दूरी पर हैं, और तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0। नतीजतन, x = 2×1 - x0, y = 2y1 - y0। इन मानों को पहली प्रणाली के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना और भावों को सरल बनाना, यह सुनिश्चित करना आसान है कि इसका दाहिना पक्ष बाईं ओर के समान हो। इसके अलावा, पहले समीकरण पर अधिक बारीकी से विचार करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह ज्ञात है कि बिंदु (x0, y0) और (x1, y1) इसे संतुष्ट करते हैं, और बिंदु (x, y) निश्चित रूप से एक ही रेखा पर स्थित है। .

समस्या का निरूपण। एक बिंदु के सममित बिंदु के निर्देशांक खोजें विमान के सापेक्ष।

समाधान योजना।

1. हम एक सीधी रेखा का समीकरण पाते हैं जो किसी दिए गए तल पर लंबवत होती है और एक बिंदु से गुजरती है . चूँकि रेखा दिए गए तल के लंबवत है, तो समतल के अभिलंब के सदिश को इसकी दिशा सदिश के रूप में लिया जा सकता है, अर्थात्।

.

इसलिए, एक सीधी रेखा का समीकरण होगा

.

2. एक बिंदु खोजें लाइन चौराहा और विमान (समस्या 13 देखें)।

3. बिंदु खंड का मध्यबिंदु है, जहां बिंदु एक बिंदु के सममित बिंदु है , इसीलिए

टास्क 14. विमान के संबंध में एक बिंदु के सममित बिंदु का पता लगाएं।

किसी दिए गए तल के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण होगा:

.

रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

कहाँ पे - रेखा और तल का प्रतिच्छेदन बिंदु खंड का मध्यबिंदु है, इसलिए

वे। .

सजातीय विमान निर्देशांक। विमान पर एफ़िन परिवर्तन।

होने देना एम एक्सतथा पर

एम(एक्स, परमैं (एक्स, पर, 1) अंतरिक्ष में (चित्र 8)।

मैं (एक्स, पर

मैं (एक्स, पर हु।

(एचएक्स, हाय, एच), एच  0,

टिप्पणी

एच(उदाहरण के लिए, एच

दरअसल, विचार कर एच

टिप्पणी

उदाहरण 1

बी) कोने में (चित्र 9)।

पहला कदम।

दूसरा चरण।कोण रोटेशन

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

तीसरा चरण।वेक्टर ए (ए,) में स्थानांतरण बी)

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

उदाहरण 3

 एक्स-अक्ष के साथ और

पहला कदम।

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

दूसरा चरण।

तीसरा चरण।

अंत में प्राप्त करें

टिप्पणी

[आर], [डी], [एम], [टी],

होने देना एम- निर्देशांक के साथ विमान का मनमाना बिंदु एक्सतथा परकिसी दिए गए रेक्टिलिनियर कोऑर्डिनेट सिस्टम के संबंध में गणना की जाती है। इस बिंदु के सजातीय निर्देशांक एक साथ गैर-शून्य संख्या x 1, x 2, x 3 के किसी भी ट्रिपल हैं, जो निम्नलिखित संबंधों द्वारा दी गई संख्या x और y से जुड़े हैं:

कंप्यूटर ग्राफिक्स समस्याओं को हल करते समय, सजातीय निर्देशांक आमतौर पर निम्नानुसार पेश किए जाते हैं: एक मनमाना बिंदु एम(एक्स, पर) विमान को एक बिंदु सौंपा गया है मैं (एक्स, पर, 1) अंतरिक्ष में (चित्र 8)।

ध्यान दें कि मूल बिंदु को जोड़ने वाली रेखा पर एक मनमाना बिंदु, बिंदु 0(0, 0, 0), बिंदु के साथ मैं (एक्स, पर, 1) फॉर्म (hx, hy, h) की संख्याओं के ट्रिपल द्वारा दिया जा सकता है।

निर्देशांक hx, hy के साथ वेक्टर 0 (0, 0, 0) और बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा का दिशा वेक्टर है। मैं (एक्स, पर, एक)। यह रेखा समतल z = 1 को बिंदु (x, y, 1) पर प्रतिच्छेद करती है, जो निर्देशांक तल के बिंदु (x, y) को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती है। हु।

इस प्रकार, निर्देशांक (x, y) के साथ एक मनमाना बिंदु और फॉर्म की संख्याओं के त्रिक के एक सेट के बीच

(एचएक्स, हाय, एच), एच  0,

ए (एक-से-एक) पत्राचार स्थापित किया गया है, जो हमें इस बिंदु के नए निर्देशांक के रूप में संख्या hx, hy, h पर विचार करने की अनुमति देता है।

टिप्पणी

प्रक्षेपी ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सजातीय निर्देशांक तथाकथित अनुचित तत्वों का प्रभावी ढंग से वर्णन करना संभव बनाते हैं (अनिवार्य रूप से, वे जिनमें प्रक्षेप्य विमान हमारे परिचित यूक्लिडियन विमान से भिन्न होता है)। इस अध्याय के चौथे खंड में पेश किए गए सजातीय निर्देशांक द्वारा प्रदान की गई नई सुविधाओं के बारे में अधिक जानकारी पर चर्चा की गई है।

प्रक्षेपी ज्यामिति में, सजातीय निर्देशांकों के लिए, निम्नलिखित संकेतन स्वीकार किए जाते हैं:

x: y: 1, या, अधिक सामान्यतः, x 1: x 2: x 3

(याद रखें कि यहां यह बिल्कुल आवश्यक है कि संख्याएँ x 1, x 2, x 3 एक ही समय में लुप्त न हों)।

सरलतम समस्याओं को हल करते हुए भी सजातीय निर्देशांक का उपयोग सुविधाजनक हो जाता है।

उदाहरण के लिए, स्केलिंग से संबंधित मुद्दों पर विचार करें। यदि डिस्प्ले डिवाइस केवल पूर्णांक के साथ काम करता है (या यदि केवल पूर्णांक के साथ काम करना आवश्यक है), तो एक मनमाना मूल्य के लिए एच(उदाहरण के लिए, एच= 1) सजातीय निर्देशांक वाला एक बिंदु

कल्पना नहीं की जा सकती। हालांकि, एच के उचित विकल्प के साथ, यह सुनिश्चित करना संभव है कि इस बिंदु के निर्देशांक पूर्णांक हैं। विशेष रूप से, एच ​​= 10 के लिए, विचाराधीन उदाहरण के लिए, हमारे पास है

आइए एक और मामले पर विचार करें। ताकि परिवर्तन के परिणाम अंकगणितीय अतिप्रवाह की ओर न ले जाएं, निर्देशांक के साथ एक बिंदु के लिए (80000 40000 1000) आप ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, एच = 0.001। परिणामस्वरूप, हमें (80 40 1) प्राप्त होता है।

दिए गए उदाहरण गणनाओं में सजातीय निर्देशांकों के उपयोग की उपयोगिता को दर्शाते हैं। हालांकि, कंप्यूटर ग्राफिक्स में सजातीय निर्देशांक पेश करने का मुख्य उद्देश्य ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए आवेदन करने में उनकी निस्संदेह सुविधा है।

सजातीय निर्देशांक के त्रिक और तीसरे क्रम के मैट्रिक्स की मदद से, विमान के किसी भी एफ़िन परिवर्तन का वर्णन किया जा सकता है।

दरअसल, विचार कर एच= 1, दो प्रविष्टियों की तुलना करें: * और निम्नलिखित, मैट्रिक्स के साथ चिह्नित:

यह देखना आसान है कि पिछले संबंध के दाईं ओर के भावों को गुणा करने पर, हमें सूत्र (*) और सही संख्यात्मक समानता 1=1 दोनों मिलते हैं।

टिप्पणी

कभी-कभी साहित्य में एक और संकेतन का उपयोग किया जाता है - स्तंभों द्वारा एक अंकन:

यह संकेतन ऊपर की रेखा संकेतन के बराबर है (और इसे स्थानान्तरण द्वारा प्राप्त किया जाता है)।

एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के एक मनमाना मैट्रिक्स के तत्वों में एक स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ नहीं होता है। इसलिए, किसी विशेष मानचित्रण को लागू करने के लिए, अर्थात किसी दिए गए ज्यामितीय विवरण के अनुसार संबंधित मैट्रिक्स के तत्वों को खोजने के लिए, विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। आम तौर पर, इस मैट्रिक्स का निर्माण, विचाराधीन समस्या की जटिलता के अनुसार और ऊपर वर्णित विशेष मामलों के अनुसार, कई चरणों में बांटा गया है।

प्रत्येक चरण में, एक मैट्रिक्स की खोज की जाती है जो उपरोक्त मामलों में से एक या किसी अन्य ए, बी, सी, या डी से मेल खाती है, जिसमें अच्छी तरह से परिभाषित ज्यामितीय गुण होते हैं।

आइए हम तीसरे क्रम के संगत आव्यूहों को लिखें।

ए रोटेशन मैट्रिक्स, (रोटेशन)

बी फैलाव मैट्रिक्स

बी परावर्तन मैट्रिक्स

D. स्थानांतरण मैट्रिक्स (अनुवाद)

विमान के एफाइन परिवर्तनों के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

बिंदु ए के चारों ओर एक रोटेशन मैट्रिक्स बनाएं (ए,बी) कोने में (चित्र 9)।

पहला कदम।मूल के साथ रोटेशन के केंद्र को संरेखित करने के लिए वेक्टर - ए (-ए, -बी) में स्थानांतरण;

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

दूसरा चरण।कोण रोटेशन

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

तीसरा चरण।वेक्टर ए (ए,) में स्थानांतरण बी)रोटेशन के केंद्र को उसकी पिछली स्थिति में वापस करने के लिए;

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

हम मैट्रिक्स को उसी क्रम में गुणा करते हैं जैसे वे लिखे गए हैं:

नतीजतन, हम पाते हैं कि वांछित परिवर्तन (मैट्रिक्स नोटेशन में) इस तरह दिखेगा:

परिणामी मैट्रिक्स के तत्वों (विशेषकर अंतिम पंक्ति में) को याद रखना आसान नहीं है। साथ ही, तीन गुणा मैट्रिक्स में से प्रत्येक को संबंधित मानचित्रण के ज्यामितीय विवरण से आसानी से बनाया जा सकता है।

उदाहरण 3

स्ट्रेच फैक्टर्स के साथ स्ट्रेच मैट्रिक्स बनाएं एक्स-अक्ष के साथ और y-अक्ष के अनुदिश और बिंदु A(a, b) पर केंद्रित है।

पहला कदम।मूल के साथ खींचने वाले केंद्र से मिलान करने के लिए वेक्टर -А(-а, -b) में स्थानांतरण करें;

संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स।

दूसरा चरण।निर्देशांक अक्षों के साथ क्रमशः गुणांक और के साथ खिंचाव; परिवर्तन मैट्रिक्स का रूप है

तीसरा चरण।स्ट्रेचिंग सेंटर को उसकी पिछली स्थिति में वापस लाने के लिए वेक्टर ए (ए, बी) में स्थानांतरित करें; संबंधित परिवर्तन का मैट्रिक्स है

एक ही क्रम में मैट्रिक्स गुणा करें

अंत में प्राप्त करें

टिप्पणी

इसी तरह से बहस करना, यानी प्रस्तावित परिवर्तन को मैट्रिसेस द्वारा समर्थित चरणों में तोड़ना[आर], [डी], [एम], [टी], कोई भी अपने ज्यामितीय विवरण से किसी भी एफाइन परिवर्तन के मैट्रिक्स का निर्माण कर सकता है।

शिफ्ट को जोड़ द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, और गुणा द्वारा स्केलिंग और रोटेशन किया जाता है।

स्केल परिवर्तन (फैलाव) मूल के सापेक्ष रूप है:

या मैट्रिक्स रूप में:

कहाँ पे डीएक्स,डीआपकुल्हाड़ियों के साथ स्केलिंग कारक हैं, और

- स्केलिंग मैट्रिक्स।

D > 1 के लिए, 0 . के लिए विस्तार होता है<=D<1- сжатие

ट्रांसफॉर्म घुमाएँ उत्पत्ति के सापेक्ष रूप है:

या मैट्रिक्स रूप में:

जहां घूर्णन कोण है, और

- रोटेशन मैट्रिक्स।

टिप्पणी:रोटेशन मैट्रिक्स के कॉलम और पंक्तियाँ परस्पर ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं। दरअसल, पंक्ति वैक्टर की लंबाई के वर्ग एक के बराबर हैं:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 और (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

और पंक्ति सदिशों का अदिश गुणनफल है

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ = 0.

सदिशों के अदिश गुणनफल के बाद से ए · बी = |ए| ·| बी| ·कोस, कहाँ | ए| - वेक्टर लंबाई ए, |बी| - वेक्टर लंबाई बी, और ψ उनके बीच सबसे छोटा धनात्मक कोण है, तो लंबाई 1 की दो पंक्ति सदिशों के अदिश गुणनफल की समानता 0 से यह इस प्रकार है कि उनके बीच का कोण 90° है।

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह छोटा है, जैसे कि आप खुद को वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, फिर विश्राम मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मूड रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो पंक्तियाँ कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर हो: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

डमी के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय चिन्ह को याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रवेश का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो पंक्तियों की आपेक्षिक स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक समानुपाती हों, यानी ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है कि समानताएं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरणों की रचना करें: . प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से कम करने पर आपको समान समीकरण प्राप्त होता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि चरों पर उनके गुणांक समानुपाती हों: , लेकिन.

एक उदाहरण के रूप में, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालांकि, यह स्पष्ट है कि .

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि चर के उनके गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, यानी "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएं पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है कि , और दूसरे समीकरण से: , इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चरों पर गुणांक आनुपातिक नहीं होते हैं।

निष्कर्ष: रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह कोलिनियरिटी के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अध्ययन पर आधारित:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस मामले में, मैं चौराहे पर पॉइंटर्स के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहां निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस तरह,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलाइनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप कुछ ही सेकंड में मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करना सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ देने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर एक रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिला डाकू कड़ी सजा देता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि रेखा "सी" का निर्देशन वेक्टर भी रेखा "ते" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश संरेख होगा)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से बहुत से लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएं बिना किसी आरेखण के समानांतर कैसे होती हैं।

स्वयं को सुलझाने के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए यदि

हल करने का एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। पाठ के अंत में सबसे छोटा रास्ता है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। मेल खाने वाली रेखाओं का मामला कम दिलचस्पी का है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता हो:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल होते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यह आप के लिए है दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थएक समतल पर दो प्रतिच्छेद (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीका केवल दी गई रेखाओं को खींचना है और ड्राइंग से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:। जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने का एक ग्राफिकल तरीका माना रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह से निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के पदवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को पूरा करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य को आसानी से कई चरणों में विभाजित किया जा सकता है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

एक्शन एल्गोरिथम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं इस पर बार-बार ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, जैसा कि हमें पाठ के दूसरे भाग में मिला है:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री की हो जाएगी:

किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा कैसे खींचना है?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: यह अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, इसलिए चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम कम से कम रास्ते में उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। अर्थात् एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको केवल संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना है और गणना करना है:

उत्तर:

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी ड्राइंग के अनुसार दूसरे कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

गणना में कठिनाइयाँ यहाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों को गिन सकते हैं। कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने का प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जाम:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटे कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी or विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा के साथ प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानतथा विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, फिर उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि , तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए फॉर्मूलेशन में लाइनों की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (अंजीर देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को हमेशा दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि एक तल का समीकरण दूसरे तल का समीकरण है, तो सरल रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया गया है

यहां गैर समरेख
. इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरण अंतरिक्ष में सीधी रेखा।

सीधी रेखा के विहित समीकरण

कोई भी शून्येतर सदिश किसी दी हुई रेखा पर या उसके समांतर स्थित होता है, इस रेखा का दिष्टकारी सदिश कहलाता है।

बात पता हो तो
रेखा और उसकी दिशा वेक्टर
, तो रेखा के विहित समीकरणों का रूप होता है:

. (9)

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण

मान लीजिए रेखा के विहित समीकरण दिए गए हैं

.

यहाँ से, हम सरल रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करते हैं:

(10)

ये समीकरण एक रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने में उपयोगी होते हैं।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
तथा
की तरह लगता है:

.

रेखाओं के बीच का कोण

रेखाओं के बीच का कोण

तथा

उनके दिशा वैक्टर के बीच के कोण के बराबर है। इसलिए, इसकी गणना सूत्र (4) द्वारा की जा सकती है:

समानांतर रेखाओं की स्थिति:

.

विमानों की लंबवतता की स्थिति:

एक सीधी रेखा से एक बिंदु की दूरी

पी दिया गया बिंदु
और प्रत्यक्ष

.

रेखा के विहित समीकरणों से, बिंदु ज्ञात होता है
, रेखा से संबंधित है, और इसकी दिशा वेक्टर
. फिर बिंदु दूरी
एक सीधी रेखा से सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के बराबर है तथा
. फलस्वरूप,

.

लाइन चौराहे की स्थिति

दो गैर-समानांतर रेखाएं

,

प्रतिच्छेद करें यदि और केवल यदि

.

एक सीधी रेखा और एक समतल की पारस्परिक व्यवस्था।

चलो सीधी रेखा
और फ्लैट। कोना उनके बीच सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

.

समस्या 73.रेखा के विहित समीकरण लिखिए

(11)

समाधान. रेखा (9) के विहित समीकरणों को लिखने के लिए, रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु और रेखा के निर्देशन सदिश को जानना आवश्यक है।

चलो वेक्टर खोजें दी गई रेखा के समानांतर। चूँकि यह इन तलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होना चाहिए, अर्थात्।

,
, फिर

.

सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से, हमारे पास है कि
,
. फिर

.

बिंदु के बाद से
रेखा के किसी भी बिंदु, तो उसके निर्देशांक को रेखा के समीकरणों को पूरा करना चाहिए, और उनमें से एक को निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए,
, हम सिस्टम से अन्य दो निर्देशांक पाते हैं (11):

यहाँ से,
.

इस प्रकार, वांछित रेखा के विहित समीकरणों का रूप है:

या
.

समस्या 74.

तथा
.

समाधान।पहली पंक्ति के विहित समीकरणों से, बिंदु के निर्देशांक ज्ञात होते हैं
रेखा से संबंधित है, और दिशा वेक्टर के निर्देशांक
. दूसरी पंक्ति के विहित समीकरणों से, बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात होते हैं
और दिशा वेक्टर निर्देशांक
.

समांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक बिंदु की दूरी के बराबर होती है
दूसरी पंक्ति से। इस दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

.

आइए वेक्टर के निर्देशांक खोजें
.

वेक्टर उत्पाद की गणना करें
:

.

समस्या 75.एक बिंदु खोजें सममित बिंदु
अपेक्षाकृत सीधा

.

समाधान. हम दी गई रेखा के लंबवत और बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखते हैं . इसके सामान्य वेक्टर के रूप में हम डायरेक्टिंग वेक्टर को एक सीधी रेखा के रूप में ले सकते हैं। फिर
. फलस्वरूप,

आइए एक बिंदु खोजें
दी गई रेखा और समतल P का प्रतिच्छेदन बिंदु। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों (10) का उपयोग करके रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं, हम प्राप्त करते हैं

फलस्वरूप,
.

होने देना
बिंदु के सममित बिंदु
इस लाइन के बारे में। फिर बिंदु
मध्य
. एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए हम खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं:

,
,
.

इसलिए,
.

समस्या 76.एक सीधी रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखिए
तथा

a) एक बिंदु के माध्यम से
;

बी) विमान के लंबवत।

समाधान।आइए हम इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों को लिखें। ऐसा करने के लिए, दो समानताओं पर विचार करें:

इसका मतलब है कि वांछित विमान जनरेटर के साथ विमानों की एक पेंसिल से संबंधित है और इसके समीकरण को फॉर्म (8) में लिखा जा सकता है:

ए) खोज
तथा इस शर्त से कि विमान बिंदु से गुजरता है
इसलिए, इसके निर्देशांकों को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। बिंदु के निर्देशांक बदलें
विमानों के एक बीम के समीकरण में:

पाया मूल्य
हम समीकरण (12) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम वांछित विमान का समीकरण प्राप्त करते हैं:

बी) खोजें
तथा इस शर्त से कि वांछित विमान विमान के लंबवत है। किसी दिए गए विमान का सामान्य वेक्टर
, वांछित विमान का सामान्य वेक्टर (तलों के एक बंडल के लिए समीकरण देखें (12)।

दो वैक्टर लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है। फलस्वरूप,

पाया गया मान बदलें
विमानों के एक बीम के समीकरण में (12)। हम वांछित विमान का समीकरण प्राप्त करते हैं:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

समस्या 77.रेखाओं के समीकरणों को विहित रूप में लाएँ:

1)
2)

समस्या 78.एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए
, यदि:

1)
,
; 2)
,
.

समस्या 79. एक बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए
रेखा के लंबवत

समस्या 80.एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण लिखिए
विमान के लंबवत।

समस्या 81.रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

1)
तथा
;

2)
तथा

समस्या 82.समानांतर रेखाएँ सिद्ध करें:

तथा
.

समस्या 83.रेखाओं की लंबवतता सिद्ध करें:

तथा

समस्या 84.बिंदु दूरी की गणना करें
सीधे से:

1)
; 2)
.

समस्या 85.समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करें:

तथा
.

समस्या 86. सीधी रेखा के समीकरणों में
पैरामीटर परिभाषित करें ताकि यह रेखा रेखा के साथ प्रतिच्छेद करे और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करे।

समस्या 87. इसे सीधा दिखाओ
विमान के समानांतर
, और सीधी रेखा
इस विमान में है।

समस्या 88. एक बिंदु खोजें सममित बिंदु विमान के सापेक्ष
, यदि:

1)
, ;

2)
, ;.

समस्या 89.एक बिंदु से गिराए गए लंबवत के लिए समीकरण लिखें
सीधे
.

समस्या 90. एक बिंदु खोजें सममित बिंदु
अपेक्षाकृत सीधा
.

कार्य बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

गणना में कठिनाइयाँ यहाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों को गिन सकते हैं। कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने का प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जाम:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटे कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी or विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा के साथ प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानतथा विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, फिर उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि , तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए फॉर्मूलेशन में लाइनों की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (अंजीर देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

मैं नहीं छिपूंगा, मैं खुद सीधी रेखाओं का चयन करता हूं ताकि कोण सकारात्मक हो। यह अधिक सुंदर है, लेकिन इससे अधिक कुछ नहीं।

समाधान की जांच करने के लिए, आप एक चांदा ले सकते हैं और कोण को माप सकते हैं।

विधि दो

यदि रेखाएँ ढलान वाले समीकरणों द्वारा दी गई हैं और लंबवत नहीं, फिर उन्मुखीउनके बीच का कोण सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति को समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिससे, वैसे, लंबवत रेखाओं के कोणीय गुणांक के बीच एक बहुत ही उपयोगी संबंध होता है: जिसका उपयोग कुछ समस्याओं में किया जाता है।

समाधान एल्गोरिथ्म पिछले पैराग्राफ के समान है। लेकिन पहले, आइए अपनी पंक्तियों को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

इस प्रकार, ढलान गुणांक:

1) जांचें कि क्या रेखाएं लंबवत हैं:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

उत्तर:

दूसरी विधि का उपयोग करने के लिए उपयुक्त है जब रेखाओं के समीकरण शुरू में ढलान के साथ सेट किए जाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कम से कम एक सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है, तो सूत्र बिल्कुल भी लागू नहीं होता है, क्योंकि ऐसी सीधी रेखाओं के लिए ढलान परिभाषित नहीं है (लेख देखें) समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण).

एक तीसरा उपाय भी है। पाठ में चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके रेखाओं के दिशा वैक्टर के बीच कोण की गणना करने का विचार है वैक्टर का डॉट उत्पाद:

यहां हम एक ओरिएंटेड एंगल की बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि "सिर्फ एक एंगल" की बात कर रहे हैं, यानी परिणाम निश्चित रूप से सकारात्मक होगा। पकड़ यह है कि आप एक अधिक कोण प्राप्त कर सकते हैं (वह नहीं जिसकी आपको आवश्यकता है)। इस मामले में, आपको आरक्षण करना होगा कि रेखाओं के बीच का कोण एक छोटा कोण है, और परिणामी चाप कोसाइन को "pi" रेडियन (180 डिग्री) से घटाएं।

जो लोग चाहते हैं वे समस्या को तीसरे तरीके से हल कर सकते हैं। लेकिन मैं अभी भी पहले कोण-उन्मुख दृष्टिकोण से चिपके रहने की सलाह देता हूं, क्योंकि यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 11

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। इसे दो तरह से हल करने का प्रयास करें।

किसी तरह परियों की कहानी रास्ते में ही दम तोड़ गई.... क्योंकि कोई काशी अमर नहीं है। वहाँ मैं हूँ, और विशेष रूप से धमाकेदार नहीं। सच कहूं तो मुझे लगा कि लेख बहुत लंबा होगा। लेकिन फिर भी, मैं चश्मे के साथ हाल ही में प्राप्त टोपी लूंगा और सितंबर झील के पानी में तैरने जाऊंगा। थकान और नकारात्मक ऊर्जा से पूरी तरह छुटकारा दिलाता है।

जल्दी मिलते हैं!

और याद रखें, बाबा यगा रद्द नहीं किया गया है =)

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3:समाधान : सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए :

हम बिंदु का उपयोग करके वांछित सीधी रेखा के समीकरण की रचना करेंगे और दिशा वेक्टर . चूंकि दिशा वेक्टर निर्देशांक में से एक शून्य है, समीकरण फॉर्म में फिर से लिखें:

उत्तर :

उदाहरण 5:समाधान :
1) सीधी रेखा समीकरण दो बिंदु बनाओ :

2) सीधी रेखा समीकरण दो बिंदु बनाओ :

3) चर के लिए संगत गुणांक समानुपाती न होना: , इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
4) एक बिंदु खोजें :


टिप्पणी : यहां सिस्टम के पहले समीकरण को 5 से गुणा किया जाता है, फिर दूसरे को पहले समीकरण से पद से घटाया जाता है।
उत्तर :