एक्स्ट्रीमा, कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मूल्य। लेबल: स्थानीय चरम सीमा

$ई \ सबसेट \ mathbb (आर) ^ (एन) $। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय अधिकतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \leqslant f \बाएं(x_(0)\right)$.

स्थानीय अधिकतम कहा जाता है कठोर , अगर पड़ोस $U$ को इस तरह से चुना जा सकता है कि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ से अलग हो तो $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

परिभाषा
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। ऐसा कहा जाता है कि $f$ है स्थानीय न्यूनतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ मौजूद है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) \geqslant f \बाएं(x_(0)\दाएं)$.

एक स्थानीय न्यूनतम को सख्त कहा जाता है यदि पड़ोस $U$ को चुना जा सके ताकि सभी $x \in U$ के लिए $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ से अलग हो) (0)\दाएं)$.

एक स्थानीय चरम सीमा स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम की अवधारणाओं को जोड़ती है।

प्रमेय (एक भिन्न कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त)
$f$ एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक कार्य होने दें। यदि बिंदु $x_(0) \in E$ पर फ़ंक्शन $f$ में इस बिंदु पर एक स्थानीय चरम सीमा भी है, तो $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ शून्य अंतर की समानता इस तथ्य के बराबर है कि सभी शून्य के बराबर हैं, अर्थात। $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

एक आयामी मामले में, यह . निरूपित $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, जहां $h$ एक मनमाना वेक्टर है। फ़ंक्शन $\phi$ को $t$ के पर्याप्त रूप से छोटे मॉड्यूल मानों के लिए परिभाषित किया गया है। इसके अलावा, के संबंध में, यह अलग-अलग है, और $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$।
मान लें कि $f$ का स्थानीय अधिकतम x $0$ है। इसलिए, फ़ंक्शन $\phi$ पर $t = 0$ का स्थानीय अधिकतम है और, Fermat के प्रमेय के अनुसार, $(\phi)' \left(0\right)=0$।
तो, हमें मिला कि $df \left(x_(0)\right) = 0$, यानी। फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ किसी भी वेक्टर $h$ पर शून्य के बराबर है।

परिभाषा
जिन बिंदुओं पर अंतर शून्य के बराबर है, अर्थात। वे जिसमें सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, स्थिर कहलाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शन $f$ वे बिंदु हैं जिन पर $f$ अवकलनीय नहीं है, या यह शून्य के बराबर है। यदि बिंदु स्थिर है, तो यह अभी तक इस बात का पालन नहीं करता है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है।

उदाहरण 1
चलो $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$। फिर $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, इसलिए $\बाएं(0,0\दाएं)$ एक स्थिर बिंदु है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है। वास्तव में, $f \बाएं(0,0\दाएं) = 0$, लेकिन यह देखना आसान है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $\बाएं(0,0\दाएं)$ फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है।

उदाहरण 2
फ़ंक्शन $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ में एक स्थिर बिंदु के रूप में निर्देशांक की उत्पत्ति होती है, लेकिन यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर कोई चरम नहीं है।

प्रमेय (एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति)।
एक खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक फ़ंक्शन $f$ को लगातार दो बार अलग-अलग होने दें। मान लीजिए $x_(0) \in E$ एक स्थिर बिंदु है और $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ तब

1. अगर $Q_(x_(0))$ है, तो फ़ंक्शन $f$ बिंदु पर $x_(0)$ में एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि फॉर्म सकारात्मक-निश्चित है और अधिकतम यदि फॉर्म है नकारात्मक-निश्चित;
2. यदि द्विघात रूप $Q_(x_(0))$ अनिश्चित है, तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का कोई चरम नहीं है।

आइए टेलर सूत्र के अनुसार विस्तार का उपयोग करें (12.7 पृष्ठ 292)। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि $x_(0)$ बिंदु पर पहला ऑर्डर आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर है, हमें $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) मिलता है )\दाएं) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ आंशिक x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ जहां $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, और $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ के लिए, तो दायां पक्ष पर्याप्त रूप से छोटी लंबाई के किसी भी वेक्टर $h$ के लिए सकारात्मक है।
इस प्रकार, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि बिंदु के कुछ पड़ोस में $x_(0)$ असमानता $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ संतुष्ट है यदि केवल $ x \neq x_ (0)$ (हम $x=x_(0)+h$\right डालते हैं)। इसका मतलब है कि बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन का एक सख्त स्थानीय न्यूनतम है, और इस प्रकार हमारे प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।
अब मान लीजिए कि $Q_(x_(0))$ एक अनिश्चित रूप है। फिर वेक्टर हैं $h_(1)$, $h_(2)$ जैसे कि $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \बाएं(h_(2)\दाएं)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$। फिर हमें मिलता है $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ बाएँ [ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ पर्याप्त रूप से छोटे $t>0$ के लिए, दाईं ओर है सकारात्मक। इसका मतलब यह है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस में $x_(0)$ फ़ंक्शन $f$ मान लेता है $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ से अधिक।
इसी तरह, हम प्राप्त करते हैं कि बिंदु $x_(0)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन $f$ $f \left(x_(0)\right)$ से कम मान लेता है। यह, पिछले एक के साथ, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $x_(0)$ पर एक चरम सीमा नहीं है।

आइए हम इस प्रमेय के एक विशेष मामले पर विचार करें $f \left(x,y\right)$ बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित दो चर के $f \left(x_(0),y_(0)\right) $ और पहले और दूसरे ऑर्डर के निरंतर आंशिक डेरिवेटिव। चलो $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ एक स्थिर बिंदु बनें और $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \बाएं(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right )। $$ फिर पिछला प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है।

प्रमेय
चलो $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$। फिर:

1. यदि $\Delta>0$, तो फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $\बाएं(x_(0),y_(0)\right)$ पर एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात्, न्यूनतम यदि $a_(11)> 0$ , और अधिकतम यदि $a_(11)<0$;
2. अगर $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

समस्या समाधान के उदाहरण

कई चर के एक समारोह के चरम को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम स्थिर बिंदु पाते हैं;
2. हम सभी स्थिर बिंदुओं पर दूसरे क्रम का अंतर पाते हैं
3. कई चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर दूसरे क्रम के अंतर पर विचार करते हैं

1. फ़ंक्शन को चरम $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ तक जांचें।
   समाधान

   पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial) f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ सिस्टम को लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ दूसरे समीकरण से, हम $x=4 \cdot y^(2)$ व्यक्त करते हैं - पहले समीकरण में स्थानापन्न करें: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ दाएं )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) - 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) - y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ परिणामस्वरूप, 2 स्थिर अंक प्राप्त होते हैं:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \बाएं(0, 0\दाएं)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \बाएं(\frac(1)(2), 1\right)$
   आइए हम पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) बिंदु के लिए $M_(1)= \बाएं(0,0\दाएं)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) बिंदु $M_(2)$ के लिए:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) - C_(2)^(2) = 108>0$, इसलिए बिंदु $M_(2)$ पर एक चरम सीमा है, और चूंकि $A_(2)>0 $, तो यह न्यूनतम है।
   उत्तर: बिंदु $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ फंक्शन $f$ का न्यूनतम बिंदु है।
   

2. चरम $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ के लिए फलन की जांच करें।
   समाधान

   स्थिर बिंदु खोजें: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
   सिस्टम लिखें और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ दायां तीर \ शुरू (केस) 2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(केस) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(मामलों) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ एक स्थिर बिंदु है।
   आइए पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जांच करें: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; बी=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   उत्तर: कोई एक्स्ट्रेमा नहीं हैं।
   

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1 .

अंकों की संख्या: 1

एक्स्ट्रेमा के लिए $f$ फ़ंक्शन की जांच करें: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

सही ढंग से


ठीक से नहीं


1. 4 का टास्क 2

   2 .

   अंकों की संख्या: 1

   क्या फ़ंक्शन $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ है

>> चरम

फंक्शन एक्सट्रीमम

चरम की परिभाषा

समारोह y = f(x) कहा जाता है की बढ़ती (घट) कुछ अंतराल में यदि x 1 . के लिए< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >एफ (एक्स 2))।

यदि एक खंड पर एक भिन्न कार्य y \u003d f (x) बढ़ता है (घटता है), तो इस खंड पर इसका व्युत्पन्न f " (एक्स )> 0

(एफ"(एक्स)< 0).

दूरसंचार विभाग एक्स के बारे में बुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (न्यूनतम) फ़ंक्शन का f (x) यदि बिंदु का एक पड़ोस है एक्स ओ, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनमें असमानता f (x) है≤ एफ (एक्स ओ) (एफ (एक्स)≥ एफ (एक्स ओ))।

अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं एक्स्ट्रेमा।

चरम बिंदु

एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें . अगर बिंदु एक्स के बारे में फ़ंक्शन f (x) का एक चरम बिंदु है, तो या तो f " (एक्स ओ) = 0, या एफ(एक्स ओ) मौजूद नहीं है। ऐसे बिंदु कहलाते हैं नाजुक,जहां फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु पर ही परिभाषित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच मांगा जाना चाहिए।

पहली पर्याप्त शर्त। होने देना एक्स के बारे में - महत्वपूर्ण बिंदु। अगर च" (x ) बिंदु से गुजरते समय एक्स के बारे में प्लस चिह्न को माइनस में बदल देता है, फिर बिंदु पर एक्स ओफ़ंक्शन में अधिकतम है, अन्यथा इसमें न्यूनतम है। यदि व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स के बारे में कोई चरम नहीं है।

दूसरी पर्याप्त शर्त। मान लीजिए फलन f(x) में है
एफ" (x ) बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स के बारे में और दूसरा व्युत्पन्न बहुत ही बिंदु पर एक्स ओ. अगर च"(एक्स ओ) = 0, >0 ( <0), то точка एक्स ओफ़ंक्शन f(x) का स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि = 0 है, तो व्यक्ति को या तो पहली पर्याप्त शर्त का उपयोग करना चाहिए, या उच्चतर शर्तों को शामिल करना चाहिए।

एक खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक पहुंच सकता है।

उदाहरण 3.22।

समाधान।इसलिये एफ " (

किसी फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए कार्य

उदाहरण 3.23। एक

समाधान। एक्सतथा आप आप
0 ≤ एक्स≤
> 0, जबकि एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्यों वर्ग. इकाइयों).

उदाहरण 3.24।पी

समाधान।पीपी
एस"
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

उदाहरण 3.22।फलन f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।इसलिये एफ " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3. चरम बिंदु केवल इन पर हो सकते हैं अंक। चूंकि बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन में अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस में बदल जाता है, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है। अंक में फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का एक्स्ट्रेमा पाते हैं: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13।

उदाहरण 3.23।पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि इसे तीन तरफ से तार की जाली से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ की दीवार को जोड़ दिया जाए। इसके लिए है एकग्रिड के रैखिक मीटर। किस पक्षानुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।के माध्यम से साइट के किनारों को निरूपित करें एक्सतथा आप. साइट का क्षेत्रफल S = xy के बराबर है। होने देना आपदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समता 2x + y = a अवश्य धारण करें। इसलिए y = a - 2x और S = x (a - 2x), जहाँ
0 ≤ एक्स≤ a/2 (पैड की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।एस "= ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। क्यों कि x = a /4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाता है। एक्स ए / 4 एस के लिए "> 0, जबकि एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्यों एस(ए/4) = ए/4(ए - ए/2) = ए 2/8 (वर्ग. इकाइयों). चूँकि S निरंतर चालू है और S(0) और S(a / 2) के सिरों पर इसके मान शून्य के बराबर हैं, तो पाया गया मान फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान होगा। इस प्रकार, समस्या की दी गई परिस्थितियों में साइट का सबसे अनुकूल पहलू अनुपात y = 2x है।

उदाहरण 3.24।V=16 . की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक हैपी 50 मीटर 3. इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग करने के लिए टैंक (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) के आयाम क्या होने चाहिए?

समाधान।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2 . हैपी आर (आर + एच)। हम बेलन का आयतन V = . जानते हैंपी आर 2 एन एन \u003d वी / पी आर 2 \u003d 16 पी / पी आर 2 \u003d 16 / आर 2। तो एस (आर) = 2पी (आर2+16/आर)। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस"(आर) \u003d 2 पी (2 आर- 16 / आर 2) \u003d 4 पी (आर- 8 / आर 2)। एस" (आर) = 0 के लिए आर 3 = 8, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

अधिकतम और न्यूनतम अंक

जिन बिंदुओं पर यह परिभाषा के क्षेत्र में सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान लेता है; ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है पूर्ण अधिकतम या पूर्ण न्यूनतम के अंक भी। यदि f को टोपोलॉजिकल पर परिभाषित किया गया है स्पेस एक्स, फिर बिंदु एक्स 0बुलाया स्थानीय अधिकतम का बिंदु (स्थानीय न्यूनतम), यदि ऐसा कोई बिंदु मौजूद है एक्स 0,कि इस पड़ोस में विचाराधीन समारोह के प्रतिबंध के लिए, बिंदु एक्स 0निरपेक्ष अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु है। सख्त और गैर-सख्त अधिकतम (मिनी एम यू एम ए) (पूर्ण और स्थानीय दोनों) के अंक अलग करें। उदाहरण के लिए, एक बिंदु जिसे कहा जाता है फ़ंक्शन का एक गैर-सख्त (सख्त) स्थानीय अधिकतम बिंदु f, यदि बिंदु का ऐसा पड़ोस मौजूद है एक्स 0,जो सभी के लिए धारण करता है (क्रमशः, f(x) X 0). )/

परिमित-आयामी डोमेन पर परिभाषित कार्यों के लिए, अंतर कलन के संदर्भ में, किसी दिए गए बिंदु के लिए स्थानीय अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु होने की शर्तें और मानदंड हैं। मान लें कि फलन f को वास्तविक अक्ष के बॉक्स x 0 के एक निश्चित पड़ोस में परिभाषित किया गया है। यदि एक एक्स 0 -गैर-सख्त स्थानीय अधिकतम (न्यूनतम) का बिंदु और इस बिंदु पर मौजूद है f"( X 0), तो यह शून्य के बराबर है।

यदि दिया गया फलन f किसी बिंदु के पड़ोस में अवकलनीय है एक्स 0,सिवाय, शायद, इस बिंदु के लिए, जिस पर यह निरंतर है, और व्युत्पन्न f" बिंदु के प्रत्येक तरफ X 0इस पड़ोस में एक निरंतर चिन्ह रखता है, फिर करने के लिए X 0एक सख्त स्थानीय अधिकतम (स्थानीय न्यूनतम) का एक बिंदु था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, अर्थात, f "(x)> 0 x पर<.X 0और च"(एक्स)<0 при x>X 0(क्रमशः माइनस से प्लस तक: एफ"(एक्स) <0 x . पर<X 0और f"(x)>0 जब एक्स>एक्स 0). हालांकि, एक बिंदु के पड़ोस में अलग-अलग प्रत्येक कार्य के लिए नहीं एक्स 0,कोई इस बिंदु पर व्युत्पन्न के संकेत में बदलाव की बात कर सकता है। . "

यदि फलन f का बिंदु . है एक्स 0 टीडेरिवेटिव, इसके अलावा, के क्रम में एक्स 0सख्त स्थानीय अधिकतम का एक बिंदु है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि τ सम हो और वह f (m) ( X 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (X 0)>0.

मान लीजिए फलन f( एक्स 1 ..., एक्स पी] एक बिंदु के एन-आयामी पड़ोस में परिभाषित किया गया है और इस बिंदु पर अलग-अलग है। यदि x (0) एक गैर-सख्त स्थानीय अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु है, तो इस बिंदु पर फलन f शून्य के बराबर है। यह स्थिति फलन f के पहले क्रम के सभी आंशिक व्युत्पन्नों के इस बिंदु पर शून्य की समानता के बराबर है। यदि किसी फलन का x(0) पर दूसरा सतत आंशिक अवकलज है, तो उसके सभी प्रथम अवकलज x(0) पर लुप्त हो जाते हैं और x(0) पर द्वितीय कोटि अंतर एक ऋणात्मक (धनात्मक) द्विघात आकृति है, तो x(0) एक है सख्त स्थानीय अधिकतम (न्यूनतम) का बिंदु। शर्तों को एम. और एम. टी. अलग-अलग कार्यों के लिए जाना जाता है, जब तर्कों में परिवर्तन पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं: बाधा समीकरण संतुष्ट होते हैं। एक वास्तविक कार्य के अधिकतम (न्यूनतम) के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें, जिसमें अधिक जटिल संरचना होती है, का अध्ययन गणित की विशेष शाखाओं में किया जाता है: उदाहरण के लिए, में उत्तल विश्लेषण, गणितीय प्रोग्रामिंग(यह सभी देखें अधिकतमकरण और समारोह न्यूनीकरण). कई गुना पर परिभाषित एम और एमटी कार्यों का अध्ययन किया जाता है सामान्य रूप से भिन्नताओं की गणना,और एम और एमटी फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर परिभाषित कार्यों के लिए, यानी, कार्यात्मक के लिए, in परिवर्तनशील गणना।एम. और एम. टी. की संख्यात्मक अनुमानित खोज के विभिन्न तरीके भी हैं।

लिट: इलिन वी.ए., पॉज़्न्या से ई.जी., गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांत, तीसरा संस्करण, भाग 1, एम।, 1971; कुद्रियात्सेव एल. एल डी कुद्रियात्सेव।

गणितीय विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

देखें कि "अधिकतम और न्यूनतम बिंदु" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

समय-असतत नियंत्रण प्रक्रियाओं के लिए असतत पोंट्रीगिन अधिकतम सिद्धांत। ऐसी प्रक्रिया के लिए, एमपी संतुष्ट नहीं हो सकता है, हालांकि इसके निरंतर एनालॉग के लिए, जो परिमित अंतर ऑपरेटर को एक अंतर के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है ... ... गणितीय विश्वकोश

विश्लेषणात्मक के मॉड्यूल के मुख्य गुणों में से एक को व्यक्त करने वाला एक प्रमेय। कार्य। मान लें कि f(z) एक स्थिरांक के अलावा एक जटिल संख्या स्थान के डोमेन D में p-कॉम्प्लेक्स चर का एक नियमित विश्लेषणात्मक, या होलोमोर्फिक, फ़ंक्शन है, M. m. s. in ... ... गणितीय विश्वकोश

सबसे बड़ा और, तदनुसार, किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान जो वास्तविक मान लेता है। प्रश्न में फलन की परिभाषा के क्षेत्र का वह बिंदु जिसमें यह अधिकतम या न्यूनतम लेता है, कहलाता है। क्रमशः अधिकतम बिंदु या न्यूनतम बिंदु ... ... गणितीय विश्वकोश

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम, एक बिंदु का अधिकतम और न्यूनतम देखें... गणितीय विश्वकोश

एक सतत फ़ंक्शन का मान जो अधिकतम या न्यूनतम है (अधिकतम और न्यूनतम अंक देखें)। ले शब्द ... गणितीय विश्वकोश

सूचक- (संकेतक) एक संकेतक एक सूचना प्रणाली, एक पदार्थ, एक उपकरण, एक उपकरण है जो किसी भी पैरामीटर में परिवर्तन प्रदर्शित करता है। विदेशी मुद्रा मुद्रा बाजार चार्ट के संकेतक, वे क्या हैं और उन्हें कहां से डाउनलोड किया जा सकता है? एमएसीडी संकेतकों का विवरण, ... ... निवेशक का विश्वकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, चरम (अर्थ) देखें। गणित में चरम (लैटिन चरम चरम) किसी दिए गए सेट पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान है। जिस बिंदु पर चरम सीमा पर पहुँच जाता है वह है ... ... विकिपीडिया

डिफरेंशियल कैलकुलस गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है जो व्युत्पन्न और अंतर की अवधारणाओं का अध्ययन करती है और उन्हें कार्यों के अध्ययन में कैसे लागू किया जा सकता है। सामग्री 1 एक चर के कार्यों का विभेदक कलन ... विकिपीडिया

लेम्निस्केट और उसकी चालें बर्नौली लेम्निस्केट एक समतल बीजगणितीय वक्र है। अंक, उत्पाद के स्थान के रूप में परिभाषित ... विकिपीडिया

विचलन- (डाइवर्जेंस) एक संकेतक के रूप में डायवर्जेंस एमएसीडी डाइवर्जेंस के साथ ट्रेडिंग रणनीति सामग्री सामग्री धारा 1 पर। धारा 2. विचलन कैसे। विचलन एक शब्द है जिसका इस्तेमाल अर्थशास्त्र में विचलन के साथ आंदोलन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है ... ... निवेशक का विश्वकोश

एक निश्चित बिंदु पर एक फ़ंक्शन का परिवर्तन और तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो शून्य हो जाता है। इसे खोजने के लिए, डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, फलन y = x3 का अवकलज y' = x2 के बराबर होगा।

इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें (इस मामले में x2=0)।

दिए गए चर का मान ज्ञात कीजिए। ये वे मान होंगे जिनके लिए यह व्युत्पन्न 0 के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, एक्स के बजाय एक्सप्रेशन में मनमानी संख्याएँ बदलें, जिस पर पूरा एक्सप्रेशन शून्य हो जाएगा। उदाहरण के लिए:

2-2x2 = 0
(1-एक्स)(1+एक्स) = 0
x1=1, x2=-1

प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करें और प्रत्येक प्राप्त के लिए व्युत्पन्न के संकेत की गणना करें। निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं को अंकित किया जाता है, जिन्हें मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है। अंतराल में मान की गणना करने के लिए, मानदंड से मेल खाने वाले मनमाना मानों को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, अंतराल -1 तक के पिछले फ़ंक्शन के लिए, आप मान -2 चुन सकते हैं। -1 से 1 के लिए, आप 0 चुन सकते हैं, और 1 से अधिक मानों के लिए 2 चुनें। इन संख्याओं को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और व्युत्पन्न के चिह्न का पता लगाएं। इस स्थिति में, x = -2 के साथ अवकलज -0.24 के बराबर होगा, अर्थात। ऋणात्मक और इस अंतराल पर ऋण चिह्न होगा। यदि x = 0, तो मान 2 के बराबर होगा, और इस अंतराल पर एक चिन्ह लगाया जाता है। यदि x=1, तो अवकलज भी -0.24 के बराबर होगा और एक ऋण लगाया जाता है।

यदि, समन्वय रेखा पर एक बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न अपना चिह्न माइनस से प्लस में बदल देता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है, और यदि प्लस से माइनस तक, तो यह अधिकतम बिंदु है।

संबंधित वीडियो

उपयोगी सलाह

व्युत्पन्न खोजने के लिए, ऑनलाइन सेवाएं हैं जो आवश्यक मूल्यों की गणना करती हैं और परिणाम प्रदर्शित करती हैं। ऐसी साइटों पर, आप अधिकतम 5 ऑर्डर का व्युत्पन्न पा सकते हैं।

स्रोत:

• डेरिवेटिव की गणना के लिए सेवाओं में से एक
• फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु

फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं के साथ-साथ न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन अपना व्यवहार बदलता है। एक्स्ट्रीमा सीमित संख्यात्मक अंतराल पर निर्धारित होते हैं और हमेशा स्थानीय होते हैं।

अनुदेश

स्थानीय एक्स्ट्रेमा को खोजने की प्रक्रिया को एक फ़ंक्शन कहा जाता है और फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव का विश्लेषण करके किया जाता है। अन्वेषण शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि तर्क मानों की निर्दिष्ट श्रेणी अनुमत मानों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F=1/x के लिए, तर्क x=0 का मान अमान्य है। या फ़ंक्शन Y=tg(x) के लिए, तर्क का मान x=90° नहीं हो सकता।

सुनिश्चित करें कि पूरे दिए गए अंतराल में Y फ़ंक्शन अलग-अलग है। पहला व्युत्पन्न Y खोजें। यह स्पष्ट है कि स्थानीय अधिकतम बिंदु तक पहुंचने से पहले, फ़ंक्शन बढ़ता है, और अधिकतम से गुजरते समय, फ़ंक्शन घट जाता है। इसके भौतिक अर्थ में पहला व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। जबकि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, इस प्रक्रिया की दर एक सकारात्मक मान है। स्थानीय अधिकतम से गुजरने पर, फ़ंक्शन घटने लगता है, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की प्रक्रिया की दर नकारात्मक हो जाती है। परिवर्तन की दर का संक्रमण शून्य के माध्यम से फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम बिंदु पर होता है।

कहा जाता है कि फ़ंक्शन में एक आंतरिक बिंदु होता है
क्षेत्रों डी स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) यदि बिंदु का ऐसा पड़ोस है
, प्रत्येक बिंदु के लिए
जो असमानता को संतुष्ट करता है

यदि फ़ंक्शन बिंदु पर है
स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम, तो हम कहते हैं कि यह इस बिंदु पर है स्थानीय चरम(या बस चरम).

प्रमेय (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त) यदि अवकलनीय फलन बिंदु पर चरम सीमा तक पहुँच जाता है
, फिर प्रत्येक प्रथम-क्रम फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

वे बिंदु जिन पर प्रथम कोटि के सभी आंशिक अवकलज लुप्त हो जाते हैं, कहलाते हैं समारोह के स्थिर बिंदु
. इन बिंदुओं के निर्देशांक को सिस्टम से हल करके पाया जा सकता है समीकरण

.

एक भिन्न कार्य के मामले में एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त को संक्षेप में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

ऐसे मामले हैं जब कुछ बिंदुओं पर कुछ आंशिक डेरिवेटिव के अनंत मूल्य होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं (जबकि बाकी शून्य के बराबर होते हैं)। ऐसे बिंदु कहलाते हैं समारोह के महत्वपूर्ण बिंदु।इन बिंदुओं को चरम सीमा के साथ-साथ स्थिर लोगों के लिए भी "संदिग्ध" माना जाना चाहिए।

दो चर के एक समारोह के मामले में, एक चरम के लिए आवश्यक शर्त, अर्थात् चरम बिंदु पर आंशिक डेरिवेटिव (अंतर) के शून्य की समानता, एक ज्यामितीय व्याख्या है: सतह पर स्पर्शरेखा विमान
चरम बिंदु पर विमान के समानांतर होना चाहिए
.

20. एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें

किसी बिंदु पर एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति वहां एक चरम के अस्तित्व की गारंटी नहीं देती है। एक उदाहरण के रूप में, हम हर जगह अलग-अलग कार्य कर सकते हैं
. इसके आंशिक व्युत्पन्न और फ़ंक्शन दोनों ही बिंदु पर गायब हो जाते हैं
. हालांकि, इस बिंदु के किसी भी पड़ोस में, दोनों सकारात्मक (बड़े .) हैं
) और नकारात्मक (छोटा .)
) इस फ़ंक्शन के मान। इसलिए, इस बिंदु पर, परिभाषा के अनुसार, कोई चरम सीमा नहीं है। इसलिए, पर्याप्त परिस्थितियों को जानना आवश्यक है जिसके तहत एक चरम पर संदिग्ध बिंदु अध्ययन के तहत कार्य का एक चरम बिंदु है।

दो चरों के एक फलन के मामले पर विचार करें। आइए मान लें कि फ़ंक्शन
परिभाषित, निरंतर, और निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है और कुछ बिंदु के पड़ोस में दूसरे क्रम को शामिल करता है
, जो फ़ंक्शन का स्थिर बिंदु है
, अर्थात्, शर्तों को पूरा करता है

,
.

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

प्रमेय (एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें) चलो समारोह
उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है, अर्थात्: स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में अवकलनीय
और बिंदु पर ही दो बार अवकलनीय है
. तो अगर

यदि
फिर समारोह
बिंदु पर
पहुँचती है

स्थानीय अधिकतमपर
तथा

स्थानीय न्यूनतमपर
.

सामान्य तौर पर, एक समारोह के लिए
एक बिंदु पर अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति
स्थानीयन्यूनतम(ज्यादा से ज्यादा) है सकारात्मक(नकारात्मक) दूसरे अंतर की निश्चितता।

दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित कथन सत्य है।

प्रमेय . यदि बिंदु पर
समारोह के लिए

किसी के लिए एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं
, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन है न्यूनतम(एक जैसा ज्यादा से ज्यादा, यदि
).

उदाहरण 18.किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम बिंदु खोजें

समाधान. फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हमें दो संभावित चरम बिंदु मिलते हैं:

आइए इस फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

इसलिए, पहले स्थिर बिंदु पर, तथा
इसलिए, इस बिंदु के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। समारोह मूल्य
इस बिंदु पर शून्य है:
आगे,

पर

एक

पर

इसलिए, बिंदु के किसी भी मोहल्ले में
समारोह
मानों को बड़ा लेता है
, और छोटा
, और इसलिए बिंदु पर
समारोह
, परिभाषा के अनुसार, कोई स्थानीय चरम सीमा नहीं है।

दूसरे स्थिर बिंदु पर



इसलिए, इसलिए, चूंकि
फिर बिंदु पर
फ़ंक्शन में स्थानीय अधिकतम है।