एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना। क्रांति के शरीर का आयतन

I. क्रांति के निकायों की मात्रा। G. M. Fikhtengol'ts* की पाठ्यपुस्तक के अनुसार अध्याय XII, p°p° 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * p° 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. दीर्घवृत्त के घूर्णन द्वारा x-अक्ष के चारों ओर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस तरह,

530. साइनसॉइड y \u003d sin x के बिंदु X \u003d 0 से बिंदु X \u003d के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले एक शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

532. द्वारा गठित सतह क्षेत्र की गणना करें

क्षुद्रग्रह x3 -) - y* - a3 का x-अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. x-अक्ष के चारों ओर वक्र 18 y-x(6-x)r के लूप के व्युत्क्रमण द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

534. वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के x-अक्ष के चारों ओर घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह का पता लगाएं।

535. वृत्त के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें X = एक लागत, y = ऑक्स अक्ष के चारों ओर असिंट।

536. वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के अक्ष के चारों ओर लूप के घूमने से बनने वाले सतह के क्षेत्र की गणना करें।

537. वक्र x = e * sint, y = el अक्ष के चारों ओर चाप के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टी = 0 से टी = -।

538. दिखाएँ कि ओए अक्ष के चारों ओर चक्रज x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) के चाप के घूमने से उत्पन्न सतह 16 u2 o2 के बराबर है।

539. कार्डियोइड को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह का पता लगाएं।

540. लेमनिसकेट के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर।

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल

541. एक वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष ओह।

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

543. पहले चतुर्थांश में स्थित और वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिए

एल समन्वय अक्ष।

544. के भीतर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

546. लूप के अंदर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधे और वक्र

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें
एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करना?

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं, एक निश्चित अभिन्न की मदद से, आप एक आकृति के क्षेत्र, क्रांति के एक शरीर की मात्रा, एक चाप की लंबाई की गणना कर सकते हैं, रोटेशन का सतह क्षेत्र और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना कीजिए। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास;
- y-अक्ष के चारों ओर।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और आपको बताते हैं कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ-साथ क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। इतना बोनस भी नहीं जितना कि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: क्षेत्र की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्र के साथ शुरू होता है. यही है, विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। चित्रों को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणतथा । यह एक चीनी अनुस्मारक है और मैं इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया जाता है, और यह वह आकृति है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक में कुछ निर्दिष्ट करना बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में, पूर्णांक से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा है।

एकीकरण "ए" और "बी" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। समतल आकृति ऊपर से परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: , इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका सामना अक्सर व्यवहार में भी किया जाता है।

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधानरेखाएँ

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा का अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस काटे गए शंकु के आयतन को इस रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में परिक्रमा करती है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी प्राप्त होगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (एक अन्य) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में सपाट आकृति को देखें - यह क्षेत्र में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति के अक्ष के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिण्ड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ ।

यह स्वयं का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, रेडीमेड इंटीग्रेशन लिमिट्स वास्तव में दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन को सही ढंग से बनाएं, मैं आपको पाठ की सामग्री के बारे में याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकृत करके, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों में मेरे शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे सभी को पढ़ने की सलाह देता हूं, यहां तक ​​कि पूर्ण डमी भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ की आत्मसात सामग्री दोहरे अभिन्नों की गणना में अमूल्य मदद होगी.

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए , , .

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले वाले को पहले पढ़ना सुनिश्चित करें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है, जो "अपनी तरफ है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिसे पाठ में माना गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, समाकल के अंतर्गत जड़ें, और समाकल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में कोई भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को उठाया।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें उलटा कार्यों में संक्रमण और अक्ष के साथ एकीकरण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास करें? मोटे तौर पर, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी: अक्ष के साथ एकीकरण सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेंगे:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। पहले हमें व्युत्क्रम कार्यों पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्राओं के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी शरीर के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है 4 शक्ति के लिए प्रारंभिक रूप से एकीकृत और बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन का निकलेगा।

रेखाओं और अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए।

1) इनवर्स फंक्शन्स पर जाएं और वेरिएबल पर इंटीग्रेट करके इन लाइनों से बंधे हुए एक फ्लैट फिगर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं का उदाहरण है। जो लोग चाहते हैं वे "सामान्य" तरीके से आकृति का क्षेत्र भी पा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 का परीक्षण पूरा हो जाएगा)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में कार्य के दो प्रस्तावित मदों का पूर्ण समाधान।

ओह, और रोटेशन निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!

मैं चाहता था, यह पहले से ही, लेख को समाप्त करने के लिए था, लेकिन आज वे y- अक्ष के चारों ओर क्रांति के एक शरीर की मात्रा को खोजने के लिए एक दिलचस्प उदाहरण लाए। ताज़ा:

वक्रों से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के रेखांकन से परिचित होते हैं। सम फलन का ऐसा रोचक आलेख....

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में, पूर्णांक से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा है।

एकीकरण "ए" और "बी" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। समतल आकृति ऊपर से परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है: , इस प्रकार क्रांति के पिंड का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका सामना अक्सर व्यवहार में भी किया जाता है।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधान:आइए रेखाचित्र , , , , द्वारा बंधी हुई एक सपाट आकृति को आरेखण में चित्रित करें, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा का अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस काटे गए शंकु के आयतन को इस रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में परिक्रमा करती है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी प्राप्त होगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (वही नहीं) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही किताब, जो उनके द्वारा 1950 में लिखी गई थी, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और आपको समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बहुत रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक अच्छा शगल, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक अच्छी बात है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति के अक्ष के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिण्ड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ ।

यह स्वयं का उदाहरण है। कृपया ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, लगभग तैयार एकीकरण सीमाएं दी जाती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ को सही ढंग से खींचने का भी प्रयास करें, यदि तर्क को दो से विभाजित किया जाता है: तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक खोजने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारऔर ड्राइंग को और सटीक बनाएं। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों में मेरे शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए , , .

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहें, पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान:कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है, जो "अपनी तरफ है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिसे पाठ में माना गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, समाकल के अंतर्गत जड़ें, और समाकल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में कोई भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को उठाया।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें उलटा कार्यों में संक्रमण और अक्ष के साथ एकीकरण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास करें? मोटे तौर पर, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! नोट: अक्ष के साथ एकीकरण की सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेंगे:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। पहले हमें व्युत्क्रम कार्यों पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्राओं के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी शरीर के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है 4 शक्ति के लिए प्रारंभिक रूप से एकीकृत और बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

हालांकि, एक बीमार तितली।

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन का निकलेगा।

उदाहरण 6

रेखाओं और अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए।

1) इनवर्स फंक्शन्स पर जाएं और वेरिएबल पर इंटीग्रेट करके इन लाइनों से बंधे हुए एक फ्लैट फिगर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

के अलावा एक निश्चित समाकल का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना (7.2.3 देखें।)विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है क्रांति के एक शरीर की मात्रा की गणना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: इसे हल करने में सक्षम होना आवश्यक है अनिश्चित समाकलनमध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करें निश्चित अभिन्न, nमजबूत प्रारूपण कौशल भी आवश्यक हैं। सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में कई दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं; एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप एक आकृति के क्षेत्र, क्रांति के एक शरीर की मात्रा, एक चाप की लंबाई, के सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। \u200b\u200bशरीर, और भी बहुत कुछ। निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना कीजिए। प्रतिनिधित्व किया? ... अब इस आकृति को भी घुमाया जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के चारों ओर ;

- y-अक्ष के चारों ओर .

आइए दोनों मामलों पर एक नजर डालते हैं। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना बैल

उदाहरण 1

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:क्षेत्र खोजने की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्र के साथ शुरू होता है. यानी विमान में XOYयह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है, जबकि रेखाओं से घिरी हुई आकृति का निर्माण करना आवश्यक है। यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, धुरी पर दो तेज चोटियों के साथ थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है। बैल, अक्ष के बारे में सममित बैल. वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, संदर्भ पुस्तक में देखें।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें? यदि पिंड एक अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप बनता हैबैल, यह मानसिक रूप से छोटी मोटाई की समानांतर परतों में विभाजित है डीएक्सजो अक्ष के लंबवत हैं बैल. पूरे शरीर का आयतन स्पष्ट रूप से ऐसी प्राथमिक परतों के आयतन के योग के बराबर होता है। प्रत्येक परत, नींबू के एक गोल टुकड़े की तरह, एक कम सिलेंडर उच्च है डीएक्सऔर आधार त्रिज्या के साथ एफ(एक्स) तब एक परत का आयतन आधार क्षेत्र का गुणनफल होता है एफ 2 सिलेंडर की ऊंचाई तक ( डीएक्स), या एफ 2 (एक्स)∙डीएक्स. और क्रांति के पूरे शरीर का क्षेत्र प्राथमिक मात्रा, या संबंधित निश्चित अभिन्न का योग है। क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

.

एकीकरण सीमा "ए" और "बी" कैसे सेट करें, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है। फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। समतल आकृति ऊपर से परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है। व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है बैल. यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में फ़ंक्शन चुकता है: एफ 2 (एक्स), इस प्रकार, क्रांति के पिंड का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है। इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

.

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि यह सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण है। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए बैलरेखाएँ , , , से घिरी हुई आकृति।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

रेखाओं , , और से घिरी हुई आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:आइए हम रेखाचित्र , , , , द्वारा परिबद्ध एक सपाट आकृति को आरेखण में चित्रित करें, जबकि यह न भूलें कि समीकरण एक्स= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है ओए:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलयह एक सपाट कोणीय बैगेल (दो शंक्वाकार सतहों वाला एक वॉशर) निकलता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा का अंतर. सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलएक काटे गए शंकु के परिणामस्वरूप। आइए हम इस काटे गए शंकु के आयतन को इस प्रकार निरूपित करें वी 1 .

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में परिक्रमा करती है। यदि हम इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं बैल, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी मिलता है। आइए हम इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें वी 2 .

जाहिर है, मात्रा अंतर वी = वी 1 - वी 2 हमारे "डोनट" का आयतन है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

जैसा कि क्षेत्र खोजने की समस्या के साथ है, आपको आश्वस्त ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण बात है (चूंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप कार्यप्रणाली सामग्री और ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों की सहायता से एक सक्षम और तेज़ रेखांकन तकनीक में महारत हासिल कर सकते हैं। लेकिन, वास्तव में, मैंने पाठ में रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बार-बार बात की है।

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग होते हैं, एक निश्चित अभिन्न की मदद से, आप एक आकृति के क्षेत्र, क्रांति के एक शरीर की मात्रा, चाप की लंबाई, सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं रोटेशन, और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

निर्देशांक तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना कीजिए। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र खोज चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, इस आंकड़े को दो तरीकों से घुमाया और घुमाया भी जा सकता है:

- एब्सिस्सा अक्ष के आसपास;
- y-अक्ष के चारों ओर।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और आपको बताते हैं कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ-साथ क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। इतना बोनस भी नहीं जितना कि सामग्री विषय में अच्छी तरह फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 1

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से घिरी हुई आकृति को घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: क्षेत्र की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के चित्र के साथ शुरू होता है. यही है, विमान पर रेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। चित्रों को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुणतथा समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. यह एक चीनी अनुस्मारक है और मैं इस बिंदु पर नहीं रुकता।

यहाँ चित्र बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया जाता है, और यह वह आकृति है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन संदर्भ पुस्तक में कुछ निर्दिष्ट करना बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

सूत्र में, पूर्णांक से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में जो कुछ भी घूमता है वह इस स्थिरांक से जुड़ा है।

एकीकरण "ए" और "बी" की सीमा कैसे निर्धारित करें, मुझे लगता है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

फंक्शन... यह फंक्शन क्या है? आइए ड्राइंग को देखें। समतल आकृति ऊपर से परवलय ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: , इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। यानी हमारे रोटेशन के शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। क्यों बिल्कुल घन इकाइयों? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जिनका सामना अक्सर व्यवहार में भी किया जाता है।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें, और

समाधानरेखाएँ

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा का अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल रंग में परिक्रमा करती है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस काटे गए शंकु के आयतन को इस रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में परिक्रमा करती है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा सा छोटा शंकु भी प्राप्त होगा। आइए इसके आयतन को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, मात्रा में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" की मात्रा है।

हम क्रांति के एक निकाय का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित शरीर का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करके समाधान की जाँच की जा सकती है।

निर्णय स्वयं अक्सर छोटा किया जाता है, कुछ इस तरह:

अब चलिए एक विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रम के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जो पेरेलमैन (एक अन्य) ने पुस्तक में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा लगता है, और क्रांति के शरीर का आयतन केवल 50 घन इकाई से अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, अपने पूरे जीवन में औसत व्यक्ति 18 वर्ग मीटर के कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, 1950 में वापस प्रकाशित हुई, बहुत अच्छी तरह से विकसित हुई, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और आपको समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बहुत रुचि के साथ फिर से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक अच्छा शगल, विद्वता और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक अच्छी बात है।

एक गेय विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति के अक्ष के परितः घूर्णन द्वारा निर्मित किसी पिण्ड के आयतन की गणना कीजिए, जहाँ ।

यह स्वयं का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, रेडीमेड इंटीग्रेशन लिमिट्स वास्तव में दी गई हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन को सही ढंग से बनाएं, मैं आपको पाठ की सामग्री के बारे में याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के अनुदिश दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है और बहुत तर्कसंगत रूप से नहीं।

घूर्णन द्वारा गठित पिंड के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पारित करने पर विचार किया जाएगा एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - अक्ष के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि आपको यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक व्यावहारिक अर्थ भी है! जैसा कि गणित शिक्षण विधियों में मेरे शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें इन शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर ढंग से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर का लाभ उठाते हुए, मैं उनके प्रति भी अपना बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग उसके इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे सभी को पढ़ने की सलाह देता हूं, यहां तक ​​कि पूर्ण डमी भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ की आत्मसात सामग्री दोहरे अभिन्नों की गणना में अमूल्य मदद होगी.

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए , , .

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहें, पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है, जो "अपनी तरफ है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिसे पाठ में माना गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न अंग हैं। दूसरे, समाकल के अंतर्गत जड़ें, और समाकल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में कोई भ्रमित हो सकता है। वास्तव में, अभिन्न, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को उठाया।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें उलटा कार्यों में संक्रमण और अक्ष के साथ एकीकरण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास करें? मोटे तौर पर, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी: अक्ष के साथ एकीकरण सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेंगे:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। पहले हमें व्युत्क्रम कार्यों पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्राओं के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए, आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी शरीर के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है इंटीग्रैंड को चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

हालांकि, एक बीमार तितली।

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन का निकलेगा।

उदाहरण 6

रेखाओं और अक्ष से घिरी एक सपाट आकृति को देखते हुए।

1) इनवर्स फंक्शन्स पर जाएं और वेरिएबल पर इंटीग्रेट करके इन लाइनों से बंधे हुए एक फ्लैट फिगर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं का उदाहरण है। जो लोग चाहते हैं वे "सामान्य" तरीके से आकृति का क्षेत्र भी पा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 का परीक्षण पूरा हो जाएगा)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में कार्य के दो प्रस्तावित मदों का पूर्ण समाधान।

ओह, और रोटेशन निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!