एक व्यावहारिक पाठ में, हम इस पथ पर विचार करेंगे और एक सैद्धांतिक समाधान के साथ सिमुलेशन परिणामों की तुलना करेंगे। कतार प्रणाली की समस्याओं को हल करने के उदाहरण

गणितीय (अमूर्त) वस्तु, जिसके तत्व हैं (चित्र। 2.1):

• इनपुट (आने वाली) सेवा के लिए आवेदनों (आवश्यकताओं) का प्रवाह;
• सेवा उपकरण (चैनल);
• सेवा की प्रतीक्षा में आवेदनों की एक कतार;
• सेवित अनुरोधों का आउटपुट (आउटगोइंग) प्रवाह;
• सेवा में रुकावट के बाद देखभाल के लिए अनुरोधों का प्रवाह;
• अप्रयुक्त अनुरोधों का प्रवाह।

प्रार्थना(अनुरोध, आवश्यकता, कॉल, क्लाइंट, संदेश, पैकेज) - क्यूएस में प्रवेश करने वाली वस्तु और डिवाइस में सेवा की आवश्यकता होती है। समय के रूप में वितरित लगातार आवेदनों का सेट अनुप्रयोगों का इनपुट प्रवाह।

चावल। 2.1.

सेवा उपकरण(डिवाइस, डिवाइस, चैनल, लाइन, टूल, कार, राउटर, आदि) - क्यूएस एलिमेंट, जिसका उद्देश्य सर्विस रिक्वेस्ट करना है।

सेवा- सेवा उपकरण में कुछ समय के लिए अनुरोध में देरी।

सेवा अवधि- डिवाइस में एप्लिकेशन का विलंब समय (सेवा)।

भंडारण युक्ति(बफर, इनपुट बफर, आउटपुट बफर) - सेवारत डिवाइस के सामने अनुप्रयोगों की प्रतीक्षा के लिए स्थानों का एक सेट। प्रतीक्षा स्थलों की संख्या - भंडारण क्षमता।

सीएमओ द्वारा प्राप्त एक आवेदन दो राज्यों में हो सकता है:

• 1) सर्विस(डिवाइस में);
• 2) अपेक्षाएं(संचयक में), यदि सभी उपकरण अन्य अनुरोधों को पूरा करने में व्यस्त हैं।

संचायक और प्रतीक्षारत सेवा प्रपत्र में दावे मोड़अनुप्रयोग। सेवा प्रतीक्षित संचायक में आवेदनों की संख्या - कतार की लंबाई।

बफरिंग अनुशासन(कतार अनुशासन) - आने वाले अनुप्रयोगों को ड्राइव (बफर) में दर्ज करने का नियम।

सेवा अनुशासन- डिवाइस में सेवा के लिए कतार से अनुरोध चुनने का नियम।

प्राथमिक्ता- संचयक में प्रवेश करने या अन्य वर्गों के अनुप्रयोगों के संबंध में एक वर्ग के डिवाइस अनुप्रयोगों में सर्विसिंग के लिए कतार से चयन करने के लिए प्रीमेप्टिव अधिकार (संसाधनों पर कब्जा करने के लिए)।

कई कतारबद्ध प्रणालियाँ हैं जो संरचनात्मक और कार्यात्मक संगठन में भिन्न हैं। साथ ही, कई मामलों में क्यूएस प्रदर्शन संकेतकों की गणना के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास में कई प्रतिबंध और धारणाएं शामिल हैं जो अध्ययन के तहत क्यूएस के सेट को सीमित करती हैं। इसीलिए एक मनमाना जटिल संरचना QS के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक मॉडल नहीं है।

क्यूएस विश्लेषणात्मक मॉडल समीकरणों या सूत्रों का एक सेट है जो आने वाले प्रवाह और सेवा चैनलों, बफरिंग और सेवा विषयों के ज्ञात मानकों के आधार पर इसके संचालन और प्रदर्शन संकेतकों के दौरान सिस्टम राज्यों की संभावनाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

यदि QS में होने वाली प्रक्रियाएं मार्कोवियन हैं (अनुप्रयोगों का प्रवाह सबसे सरल है, सेवा समय तेजी से वितरित किया जाता है) तो QS का विश्लेषणात्मक मॉडलिंग बहुत सुविधाजनक है। इस मामले में, क्यूएस में सभी प्रक्रियाओं को साधारण अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और सीमित स्थिति में - स्थिर राज्यों के लिए - रैखिक बीजीय समीकरणों द्वारा और, गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में उपलब्ध किसी भी तरीके से उन्हें हल करने के बाद, चयनित प्रदर्शन संकेतक निर्धारित करते हैं .

IM सिस्टम में, QS को लागू करते समय, निम्नलिखित प्रतिबंध और धारणाएँ स्वीकार की जाती हैं:

• आवेदन प्रणाली में दर्ज किया गया हाथों हाथकतार में कोई अनुरोध नहीं होने पर सेवा में आता है और डिवाइस मुफ़्त है;
• किसी भी समय रखरखाव के लिए डिवाइस में केवल हो सकता है एकअनुरोध;
• डिवाइस में किसी भी अनुरोध की सेवा समाप्त होने के बाद, अगले अनुरोध को तत्काल सर्विसिंग के लिए कतार से चुना जाता है, यानी डिवाइस निष्क्रिय नहीं होतायदि कतार में कम से कम एक आवेदन है;
• क्यूएस में आवेदनों की प्राप्ति और उनकी सेवा की अवधि सिस्टम में पहले से मौजूद आवेदनों की संख्या या किसी अन्य कारक पर निर्भर नहीं करती है;
• सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की तीव्रता पर निर्भर नहीं करती है।

आइए हम QS के कुछ तत्वों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

अनुप्रयोगों का इनपुट (आने वाला) प्रवाह। घटनाओं का प्रवाहएक के बाद एक और कुछ में घटित होने वाली सजातीय घटनाओं का एक क्रम कहा जाता है, आम तौर पर बोलते हुए, यादृच्छिक रूप सेसमय में अंक। यदि घटना दावों की उपस्थिति में होती है, तो हमारे पास आवेदन प्रवाह।सामान्य स्थिति में अनुप्रयोगों के प्रवाह का वर्णन करने के लिए, समय अंतराल t = . निर्धारित करना आवश्यक है टी को - टी के-1आसन्न क्षणों के बीच टी के _ केतथा टी कोक्रमांक के साथ आवेदनों की प्राप्ति प्रति - 1 और प्रतिक्रमश: (प्रति - 1, 2, ...; टी 0 - 0 - समय का प्रारंभिक क्षण)।

अनुप्रयोग प्रवाह की मुख्य विशेषता इसकी है एक्स तीव्रता- समय की प्रति यूनिट क्यूएस इनपुट पर पहुंचने वाले आवेदनों की औसत संख्या। मान टी = 1/एक्सको परिभाषित करता है लगातार दो आदेशों के बीच औसत समय अंतराल।

प्रवाह कहा जाता है नियतात्मकयदि समय अंतराल टी टूआसन्न अनुप्रयोगों के बीच कुछ पूर्व-ज्ञात मान लेते हैं। यदि अंतराल समान हैं (एक्स से= टी सभी के लिए कश्मीर = 1, 2, ...), तब धारा कहलाती है नियमित।अनुरोधों के नियमित प्रवाह के पूर्ण विवरण के लिए, प्रवाह की तीव्रता निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है एक्सया अंतराल t = . का मान 1 / एक्स।

एक धारा जिसमें समय अंतराल एक्स केआसन्न अनुप्रयोगों के बीच यादृच्छिक चर हैं, जिन्हें कहा जाता है यादृच्छिक रूप से।सामान्य स्थिति में अनुप्रयोगों के यादृच्छिक प्रवाह के पूर्ण विवरण के लिए, प्रत्येक समय अंतराल के लिए वितरण नियम F fc (x fc) निर्धारित करना आवश्यक है। एक्स के, के = 1,2, ....

यादृच्छिक धारा जिसमें सभी समय अंतराल एक्स बी एक्स 2,... आसन्न लगातार ग्राहकों के बीच वितरण कार्यों FjCij), F 2 . द्वारा वर्णित स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं (x 2), ... क्रमशः, के साथ प्रवाह कहा जाता है सीमित परिणाम।

यादृच्छिक धारा कहलाती है आवर्तक,यदि सभी समय अंतराल एक्सबीटी 2 , ... अनुप्रयोगों के बीच वितरित इसी कानून के तहतएफ (टी)। कई आवर्त धाराएँ हैं। प्रत्येक वितरण कानून अपना आवर्तक प्रवाह उत्पन्न करता है। आवर्तक धाराएँ अन्यथा पाम धाराएँ कहलाती हैं।

अगर तीव्रता एक्सऔर लगातार अनुरोधों के बीच अंतराल का वितरण कानून F(t) समय के साथ नहीं बदलता है, तो अनुरोधों के प्रवाह को कहा जाता है स्थावरअन्यथा, अनुप्रयोग प्रवाह है गैर-स्थिर।

अगर हर पल टी को QS के इनपुट पर केवल एक ग्राहक दिखाई दे सकता है, तो ग्राहकों के प्रवाह को कहा जाता है साधारण।यदि एक से अधिक आवेदन किसी भी समय प्रकट हो सकते हैं, तो आवेदनों का प्रवाह है असाधारण,या समूह।

अनुरोधों के प्रवाह को प्रवाह कहा जाता है कोई परिणाम नहीं,यदि आवेदन प्राप्त होते हैं ध्यान दिए बिनाएक दूसरे से, अर्थात्। अगले आवेदन की प्राप्ति का क्षण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि इस क्षण से पहले कब और कितने आवेदन प्राप्त हुए हैं।

बिना प्रभाव के एक स्थिर सामान्य प्रवाह कहलाता है सबसे साधारण।

सबसे सरल प्रवाह में अनुरोधों के बीच समय अंतराल t के अनुसार वितरित किया जाता है घातीय (उदाहरणात्मक) कानून:वितरण फलन के साथ F(t) = 1 - ई ~ एम;वितरण घनत्व/(च) = हे ~ "एल,कहाँ पे एक्स > 0 - वितरण पैरामीटर - अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता।

सरलतम प्रवाह को अक्सर कहा जाता है पॉइसन।नाम इस तथ्य से आता है कि इस प्रवाह के लिए घटना की संभावना P fc (At) ठीक है प्रतिएक निश्चित समय अंतराल के लिए अनुरोध पर निर्धारित किया जाता है पॉइसन का नियम:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पॉइसन प्रवाह, सबसे सरल के विपरीत, हो सकता है:

• स्थावर,अगर तीव्रता एक्ससमय के साथ नहीं बदलता है;
• गैर-स्थिर,यदि प्रवाह दर समय पर निर्भर करती है: एक्स=>। (टी)।

साथ ही, परिभाषा के अनुसार सबसे सरल प्रवाह हमेशा स्थिर होता है।

कतारबद्ध मॉडल का विश्लेषणात्मक अध्ययन अक्सर अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह की धारणा के तहत किया जाता है, जो इसमें निहित कई उल्लेखनीय विशेषताओं के कारण होता है।

1. प्रवाह का योग (एकीकरण)। क्यूएस सिद्धांत में सबसे सरल प्रवाह संभाव्यता सिद्धांत में सामान्य वितरण कानून के समान है: एक प्रवाह की सीमा में संक्रमण जो मनमानी विशेषताओं के साथ प्रवाह की संख्या में अनंत वृद्धि और उनकी तीव्रता में कमी के साथ प्रवाह का योग है। सबसे सरल प्रवाह के लिए।

जोड़ एनतीव्रता के साथ स्वतंत्र स्थिर सामान्य प्रवाह एक्स एक्स एक्स 2 ,..., एक्सएनतीव्रता के साथ सरलतम प्रवाह बनाता है

एक्स = वाई, ^ आईबशर्ते कि जोड़ा गया प्रवाह अधिक हो या

कुल प्रवाह पर कम समान रूप से छोटा प्रभाव। व्यवहार में, कुल प्रवाह सबसे सरल के करीब है एन > 5. सो जब स्वतंत्र सरलतम प्रवाहों का योग होता है, तो कुल प्रवाह सबसे सरल होगाकिसी भी मूल्य के लिए एन।

• 2. प्रवाह की संभाव्यता दुर्लभता। संभाव्य(लेकिन गैर नियतात्मक) रेयरफैक्शन सबसे सरल प्रवाहअनुप्रयोग, जिसमें कोई भी अनुप्रयोग कुछ संभाव्यता के साथ यादृच्छिक रूप से होता है आरप्रवाह से बाहर रखा गया है चाहे अन्य अनुप्रयोगों को बाहर रखा गया हो या नहीं, गठन की ओर जाता है सबसे सरल प्रवाहतीव्रता के साथ एक्स* = पीएक्स,कहाँ पे एक्स- प्रारंभिक धारा की तीव्रता। बहिष्कृत अनुप्रयोगों का प्रवाह तीव्रता के साथ एक्स ** = (1 - पी) एक्स- बहुत प्रोटोजोआबहे।
• 3. दक्षता। यदि सेवा देने वाले चैनल (उपकरण) तीव्रता के साथ अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के लिए डिज़ाइन किए गए हैं एक्स,फिर अन्य प्रकार के प्रवाह (उसी तीव्रता के साथ) की सर्विसिंग कम दक्षता के साथ प्रदान नहीं की जाएगी।
• 4. सादगी। अनुप्रयोगों के सबसे सरल प्रवाह की धारणा कई गणितीय मॉडलों को मापदंडों पर क्यूएस संकेतकों की निर्भरता को स्पष्ट रूप में प्राप्त करने की अनुमति देती है। अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के लिए विश्लेषणात्मक परिणामों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त की गई थी।

अनुप्रयोग प्रवाह वाले मॉडलों का विश्लेषण जो सरलतम से भिन्न होते हैं, आमतौर पर गणितीय गणनाओं को जटिल बनाते हैं और हमेशा एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। इस विशेषता के कारण "सरल" प्रवाह को इसका नाम मिला।

सेवा शुरू करने के लिए अनुप्रयोगों के अलग-अलग अधिकार हो सकते हैं। इस मामले में, आवेदनों को कहा जाता है विषम।सेवा की शुरुआत में दूसरों पर अनुप्रयोगों के कुछ प्रवाह के लाभ प्राथमिकताओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

इनपुट स्ट्रीम की एक महत्वपूर्ण विशेषता है भिन्नता का गुणांक

जहाँ t int - अंतराल की लंबाई की गणितीय अपेक्षा; के बारे में- अंतराल x int (यादृच्छिक चर) की लंबाई का मानक विचलन।

सबसे सरल प्रवाह (a = -, m = -) के लिए हमारे पास v = 1 है। अधिकांश के लिए

वास्तविक प्रवाह 0

सेवा चैनल (उपकरण)। चैनल की मुख्य विशेषता सेवा की अवधि है।

सेवा अवधि- डिवाइस में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया समय - सामान्य स्थिति में, मान यादृच्छिक होता है। क्यूएस के गैर-समान भार के मामले में, विभिन्न वर्गों के अनुरोधों के लिए सेवा समय वितरण कानूनों या केवल औसत मूल्यों से भिन्न हो सकता है। इस मामले में, आमतौर पर यह माना जाता है कि प्रत्येक वर्ग के अनुरोधों के लिए सेवा समय स्वतंत्र है।

अक्सर, चिकित्सक यह मानते हैं कि सर्विसिंग अनुरोधों की अवधि अधिक वितरित की जाती है घातीय कानूनजो विश्लेषणात्मक गणनाओं को बहुत सरल करता है। यह इस तथ्य के कारण है कि सिस्टम में होने वाली प्रक्रियाएं समय अंतराल के घातीय वितरण के साथ होती हैं मार्कोवप्रक्रियाएं:

जहां सी - सेवा तीव्रता,यहां पी = _--; टी 0 बीएसएल - गणित-

सेवा के लिए टिक प्रतीक्षा समय।

घातांक वितरण के अलावा, एरलांग / सी-वितरण, हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण, त्रिकोणीय वितरण और कुछ अन्य हैं। यह हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए, क्योंकि यह दिखाया गया है कि क्यूएस दक्षता मानदंड का मूल्य सेवा समय वितरण कानून के रूप पर बहुत कम निर्भर करता है।

क्यूएस के अध्ययन में, सेवा का सार, सेवा की गुणवत्ता, विचार से बाहर हो जाती है।

चैनल हो सकते हैं बिल्कुल विश्वसनीयवे। असफल मत हो। बल्कि अध्ययन में इसे स्वीकार किया जा सकता है। चैनल हो सकता है अंतिम विश्वसनीयता।इस मामले में, क्यूएस मॉडल बहुत अधिक जटिल है।

क्यूएस दक्षता न केवल इनपुट स्ट्रीम और सेवा चैनलों के मापदंडों पर निर्भर करती है, बल्कि उस क्रम पर भी निर्भर करती है जिसमें आने वाले अनुरोधों को सेवित किया जाता है, अर्थात। अनुप्रयोगों के प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीकों से जब वे सिस्टम में प्रवेश करते हैं और सेवा के लिए भेजे जाते हैं।

अनुप्रयोगों के प्रवाह को प्रबंधित करने के तरीके विषयों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

• बफरिंग;
• सर्विस।

बफरिंग और रखरखाव विषयों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• विभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच प्राथमिकताओं की उपलब्धता;
• अनुप्रयोगों को कतार से बाहर धकेलने की एक विधि (बफ़रिंग विषयों के लिए) और सेवा अनुरोध निर्दिष्ट करना (सेवा विषयों के लिए);
• सेवा अनुरोधों को पूर्व-खाली करने या चुनने का नियम;
• प्राथमिकताओं को बदलने की क्षमता।

सूचीबद्ध सुविधाओं के अनुसार बफरिंग विषयों (कतार) के वर्गीकरण का एक प्रकार अंजीर में दिखाया गया है। 2.2.

निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं की कमीविभिन्न वर्गों के अनुप्रयोगों के बीच, सभी बफरिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता।

द्वारा अनुप्रयोगों को भंडारण से बाहर धकेलने की विधिबफरिंग विषयों के निम्नलिखित वर्गों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

• अनुरोधों को क्राउड आउट किए बिना - सिस्टम में प्रवेश करने वाले और ड्राइव को पूरी तरह से भरे हुए पाए जाने वाले अनुरोध खो गए हैं;
• इस वर्ग के आवेदन के विस्थापन के साथ, अर्थात। प्राप्त आवेदन के समान वर्ग;
• न्यूनतम प्राथमिकता के वर्ग से आवेदन के विस्थापन के साथ;
• कम प्राथमिकता वाले वर्गों के समूह से आवेदन के विस्थापन के साथ।

चावल। 2.2.

बफरिंग विषय निम्नलिखित का उपयोग कर सकते हैं संचायक से अनुरोध निकालने के नियम:

• आकस्मिक विस्थापन;
• अंतिम आदेश का अपवर्जन, अर्थात्। बाद में सिस्टम में प्रवेश किया;
• एक "लॉन्ग" ऑर्डर को क्राउड आउट करना, यानी। सभी पहले प्राप्त आवेदनों की तुलना में लंबे समय तक संचायक में स्थित है।

अंजीर पर। 2.3 बफरिंग के विषयों के समान सुविधाओं के अनुसार सर्विसिंग अनुप्रयोगों के लिए विषयों का वर्गीकरण दिखाता है।

कभी-कभी मॉडलों में भंडारण क्षमता को असीमित माना जाता है, हालांकि वास्तविक प्रणाली में यह सीमित है। ऐसी धारणा उचित है जब भंडारण क्षमता अतिप्रवाह के कारण वास्तविक प्रणाली में ऑर्डर खोने की संभावना 10 _3 से कम है। इस मामले में, अनुरोधों के प्रदर्शन पर अनुशासन का व्यावहारिक रूप से कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

निर्भर करना उपलब्धताया प्राथमिकताओं की कमीविभिन्न वर्गों के अनुरोधों के बीच, सभी सेवा विषयों के साथ-साथ बफरिंग विषयों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गैर-प्राथमिकता और प्राथमिकता वाले।

द्वारा सेवा टिकट कैसे आवंटित किए जाते हैंसेवा विषयों को विषयों में विभाजित किया जा सकता है:

• एकल मोड;
• समूह मोड;
• संयुक्त मोड।

चावल। 2.3.

सेवा विषयों में एकल मोडहर बार सेवा केवल एक असाइन किया गयाअनुरोध, जिसके लिए पिछले अनुरोध की सेवा समाप्त होने के बाद कतारों को स्कैन किया जाता है।

सेवा विषयों में समूह मोडहर बार सेवा अनुरोधों का एक समूह सौंपा गया हैएक कतार, जिसके लिए पहले से निर्दिष्ट समूह के सभी अनुरोधों के बाद ही कतारों को स्कैन किया जाता है। टिकटों के नए नियत समूह में दी गई कतार के सभी टिकट शामिल हो सकते हैं। असाइन किए गए समूह अनुरोध कतार से क्रमिक रूप से चयनितऔर डिवाइस द्वारा सेवित होते हैं, जिसके बाद निर्दिष्ट सेवा अनुशासन के अनुसार सेवा के लिए अन्य कतार के अनुप्रयोगों के अगले समूह को असाइन किया जाता है।

संयुक्त मोड- एकल और समूह मोड का एक संयोजन, जब अनुरोध कतार का हिस्सा एकल मोड में संसाधित होता है, और दूसरा भाग - समूह मोड में।

सेवा विषय निम्नलिखित सेवा अनुरोध चयन नियमों का उपयोग कर सकते हैं।

गैर प्राथमिकता(एप्लिकेशन के पास प्रारंभिक सेवा विशेषाधिकार नहीं हैं - संसाधन कैप्चर):

• पहले आओ पहले पाओ सेवा फीफो (पहली बार -पहले बाहर,पेहले आये पेहलॆ गये)
• रिवर्स सर्विस- आवेदन मोड में कतार से चुना गया है जीवन (आखरी अंदर - पहले बाहर,अंतिम अंदर प्रथम बाहर)
• यादृच्छिक सेवा- आवेदन मोड में कतार से चुना गया है हाशिया (यादृच्छिक रूप से- बेतरतीब);
• चक्रीय सेवा- अनुक्रम 1, 2 में ड्राइव के चक्रीय मतदान की प्रक्रिया में आवेदनों का चयन किया जाता है, एचसे एच- ड्राइव की संख्या), जिसके बाद निर्दिष्ट अनुक्रम दोहराया जाता है;

वरीयता(एप्लिकेशन के पास प्रारंभिक सेवा के लिए विशेषाधिकार हैं - संसाधन पर कब्जा):

• साथ सापेक्ष प्राथमिकताएं- यदि अनुरोध की वर्तमान सर्विसिंग के दौरान, उच्च प्राथमिकता वाले अनुरोध सिस्टम में प्रवेश करते हैं, तो प्राथमिकता के बिना भी वर्तमान अनुरोध की सर्विसिंग बाधित नहीं होती है, और प्राप्त अनुरोधों को कतार में भेज दिया जाता है; सापेक्ष प्राथमिकताएं केवल एप्लिकेशन की वर्तमान सेवा के अंत में एक भूमिका निभाती हैं जब कतार से एक नया सेवा अनुरोध चुना जाता है।
• साथ पूर्ण प्राथमिकताएं- उच्च प्राथमिकता के साथ अनुरोध प्राप्त होने पर, कम प्राथमिकता वाले अनुरोध की सेवा बाधित होती है और प्राप्त अनुरोध सर्विसिंग के लिए भेजा जाता है; एक बाधित आवेदन को कतार में वापस किया जा सकता है या सिस्टम से हटाया जा सकता है; यदि आवेदन को कतार में वापस कर दिया जाता है, तो इसकी आगे की सेवा बाधित स्थान या नए सिरे से की जा सकती है;
• सीओ मिश्रित प्राथमिकताएं- व्यक्तिगत अनुप्रयोगों की सेवा के लिए कतार में प्रतीक्षा समय पर सख्त प्रतिबंध के लिए उन्हें पूर्ण प्राथमिकताओं के असाइनमेंट की आवश्यकता होती है; परिणामस्वरूप, कम प्राथमिकताओं वाले अनुप्रयोगों के लिए प्रतीक्षा समय अस्वीकार्य रूप से बड़ा हो सकता है, हालांकि व्यक्तिगत अनुप्रयोगों में प्रतीक्षा समय का अंतर होता है; सभी प्रकार के अनुरोधों पर प्रतिबंधों को पूरा करने के लिए, पूर्ण प्राथमिकताओं के साथ, कुछ अनुरोधों को सापेक्ष प्राथमिकताएं दी जा सकती हैं, और बाकी को गैर-प्राथमिकता मोड में परोसा जा सकता है;
• साथ वैकल्पिक प्राथमिकताएं- सापेक्ष प्राथमिकताओं का एक एनालॉग, प्राथमिकता को केवल एक कतार के अनुरोधों के समूह की वर्तमान सर्विसिंग और सर्विसिंग के लिए एक नए समूह के असाइनमेंट के पूरा होने के क्षणों में ध्यान में रखा जाता है;
• निर्धारित मरम्मत- विभिन्न वर्गों (विभिन्न भंडारणों में स्थित) के दावों को एक निश्चित अनुसूची के अनुसार सेवा के लिए चुना जाता है जो आवेदनों की कतारों के मतदान के क्रम को निर्दिष्ट करता है, उदाहरण के लिए, आवेदनों के तीन वर्गों (स्टोर) के मामले में, शेड्यूल देख सकता है जैसे (2, 1, 3, 3, 1, 2) या (1, 2, 3, 3, 2, 1)।

कंप्यूटर आईएम सिस्टम में, एक नियम के रूप में, अनुशासन डिफ़ॉल्ट रूप से लागू किया जाता है फीफो.हालांकि, उनके पास ऐसे टूल हैं जो उपयोगकर्ता को शेड्यूल के अनुसार सेवा विषयों को व्यवस्थित करने का अवसर प्रदान करते हैं, जिसमें उनकी ज़रूरत होती है।

सीएमओ द्वारा प्राप्त आवेदनों को वर्गों में बांटा गया है। QS में, जो एक अमूर्त गणितीय मॉडल है, आवेदन विभिन्न वर्गों के हैंइस घटना में कि वे सिम्युलेटेड वास्तविक प्रणाली में निम्न में से कम से कम एक विशेषता से भिन्न हैं:

• सेवा की अवधि;
• प्राथमिकताएं।

यदि एप्लिकेशन सेवा अवधि और प्राथमिकताओं में भिन्न नहीं होते हैं, तो उन्हें एक ही वर्ग के अनुप्रयोगों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें वे विभिन्न स्रोतों से आते हैं।

मिश्रित प्राथमिकताओं के साथ सेवा विषयों के गणितीय विवरण के लिए, हम उपयोग करते हैं प्राथमिकता मैट्रिक्स,जो एक वर्ग आव्यूह है Q = (q, ;), मैं, जे - 1,..., I, I - सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों के वर्गों की संख्या।

तत्व क्यू (जेमैट्रिक्स वर्ग अनुरोधों की प्राथमिकता निर्धारित करता है मैंवर्ग अनुप्रयोगों के संबंध में; और निम्नलिखित मान ले सकते हैं:

• 0 - कोई प्राथमिकता नहीं;
• 1 - सापेक्ष प्राथमिकता;
• 2 - पूर्ण प्राथमिकता।

प्राथमिकता मैट्रिक्स के तत्वों को निम्नलिखित को पूरा करना चाहिए आवश्यकताएं:

• क्यू नहीं= 0, चूंकि एक ही वर्ग के अनुरोधों के बीच कोई प्राथमिकता निर्धारित नहीं की जा सकती है;
• यदि क्यू (जे = 1 या 2 तब क्यू^ = 0, क्योंकि यदि वर्ग अनुप्रयोग मैंवर्ग अनुरोधों पर वरीयता लें जे,तब उत्तरार्द्ध वर्ग के दावों पर पूर्वता नहीं ले सकता मैं (मैं, जे = 1, ..., मैं)।

निर्भर करना प्राथमिकताओं को बदलने के अवसरसिस्टम के संचालन के दौरान, बफरिंग और सर्विसिंग के प्राथमिकता वाले विषयों को दो वर्गों में बांटा गया है:

• 1) के साथ स्थिर प्राथमिकताएं,जो समय के साथ नहीं बदलते;
• 2) के साथ गतिशील प्राथमिकताएं,जो विभिन्न कारकों के आधार पर सिस्टम के संचालन के दौरान बदल सकता है, उदाहरण के लिए, जब किसी वर्ग के अनुप्रयोगों की कतार लंबाई का एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य जिसमें प्राथमिकता नहीं है या कम प्राथमिकता है, तो इसे उच्च दिया जा सकता है वरीयता।

IM कंप्यूटर सिस्टम में, आवश्यक रूप से एक ही तत्व (ऑब्जेक्ट) होता है, जिसके माध्यम से और केवल इसके माध्यम से, मॉडल में अनुरोध दर्ज किए जाते हैं। डिफ़ॉल्ट रूप से, सभी दर्ज किए गए एप्लिकेशन गैर-प्राथमिकता वाले होते हैं। लेकिन अनुक्रम 1, 2, ... में प्राथमिकताएं निर्दिष्ट करने की संभावनाएं हैं, जिसमें मॉडल के निष्पादन के दौरान, अर्थात्। गतिकी में।

आउटगोइंग स्ट्रीम QS को छोड़कर सेवित अनुरोधों का प्रवाह है। वास्तविक प्रणालियों में, अनुप्रयोग कई क्यूएस से गुजरते हैं: पारगमन संचार, उत्पादन पाइपलाइन, आदि। इस मामले में, आउटगोइंग स्ट्रीम अगले QS के लिए इनकमिंग स्ट्रीम है।

पहले QS की आने वाली धारा, बाद के QS से होकर गुजरती है, विकृत हो जाती है, और यह विश्लेषणात्मक मॉडलिंग को जटिल बनाती है। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सबसे सरल इनपुट स्ट्रीम और घातीय सेवा के साथ(वे। मार्कोव सिस्टम में) आउटपुट स्ट्रीम भी सबसे सरल है।यदि सेवा समय में गैर-घातीय वितरण है, तो आउटगोइंग स्ट्रीम न केवल सरल है, बल्कि आवर्तक भी है।

ध्यान दें कि आउटगोइंग अनुरोधों के बीच का समय अंतराल सेवा अंतराल के समान नहीं है। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि अगली सेवा समाप्त होने के बाद, क्यूएस अनुप्रयोगों की कमी के कारण कुछ समय के लिए निष्क्रिय है। इस मामले में, आउटगोइंग प्रवाह अंतराल में QS का निष्क्रिय समय और डाउनटाइम के बाद आने वाले पहले अनुरोध का सेवा अंतराल शामिल होता है।

QS में, सेवित अनुरोधों के आउटगोइंग प्रवाह के अलावा, हो सकता है अप्रयुक्त अनुरोधों का प्रवाह।यदि ऐसा क्यूएस एक आवर्तक प्रवाह प्राप्त करता है, और सेवा घातीय है, तो बिना सेवा वाले ग्राहकों का प्रवाह भी आवर्तक है।

मुफ़्त चैनल कतारें। मल्टी-चैनल QS में, निःशुल्क चैनलों की कतारें बनाई जा सकती हैं। मुफ़्त चैनलों की संख्या एक यादृच्छिक मान है। शोधकर्ताओं को इस यादृच्छिक चर की विभिन्न विशेषताओं में रुचि हो सकती है। आम तौर पर, यह प्रति सर्वेक्षण अंतराल और उनके लोड कारकों में सेवा द्वारा कब्जा किए गए चैनलों की औसत संख्या है।

जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, वास्तविक वस्तुओं में, अनुरोध कई क्यूएस में क्रमिक रूप से सेवित होते हैं।

क्रमिक रूप से परस्पर जुड़े QS का एक परिमित सेट जो उनमें परिसंचारी अनुप्रयोगों को संसाधित करता है, कहलाता है कतारबद्ध नेटवर्क (सेमो) (चित्र 2.4, एक)।

चावल। 2.4.

SEMO को भी कहा जाता है मल्टीफ़ेज़ क्यूएस।

हम बाद में QEMO IM के निर्माण के उदाहरण पर विचार करेंगे।

क्यूएस के मुख्य तत्व अनुरोध (जी) के नोड्स (यू) और स्रोत (जनरेटर) हैं।

गांठनेटवर्क एक कतार प्रणाली है।

स्रोत- नेटवर्क में प्रवेश करने वाले अनुप्रयोगों का एक जनरेटर और नेटवर्क नोड्स में सेवा के कुछ चरणों की आवश्यकता होती है।

QEMO की सरलीकृत छवि के लिए एक ग्राफ का उपयोग किया जाता है।

काउंट सेमो- एक निर्देशित ग्राफ (डिग्राफ), जिसके कोने QEM नोड्स से मेल खाते हैं, और आर्क्स नोड्स के बीच अनुप्रयोगों के संक्रमण का प्रतिनिधित्व करते हैं (चित्र। 2.4, बी)।

इसलिए, हमने QS की मूल अवधारणाओं पर विचार किया है। लेकिन IM के लिए कंप्यूटर सिस्टम के विकास और उनके सुधार में, वर्तमान में QS के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग में निहित विशाल रचनात्मक क्षमता का भी उपयोग किया जाता है।

इस रचनात्मक क्षमता की बेहतर धारणा के लिए, पहले सन्निकटन के रूप में, आइए हम क्यूएस मॉडल के वर्गीकरण पर ध्यान दें।

तस्वीर 0 - 2 इवेंट स्ट्रीम (ए) और सबसे सरल स्ट्रीम (बी)

10.5.2.1. stationarity

प्रवाह को स्थिर कहा जाता है , यदि प्रारंभिक अवधि में एक या दूसरी घटनाओं को हिट करने की संभावना है लंबाई (

चित्र 0-2 , एक)केवल खंड की लंबाई पर निर्भर करता है और यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि वास्तव में अक्ष पर कहां हैटी यह क्षेत्र स्थित है।

प्रवाह की स्थिरता का अर्थ है समय में इसकी एकरूपता; ऐसे प्रवाह की संभाव्य विशेषताएं समय के साथ नहीं बदलती हैं। विशेष रूप से, घटनाओं के प्रवाह की तथाकथित तीव्रता (या "घनत्व"), एक स्थिर प्रवाह के लिए प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या स्थिर रहनी चाहिए। यह, ज़ाहिर है, इसका मतलब यह नहीं है कि समय की प्रति इकाई दिखाई देने वाली घटनाओं की वास्तविक संख्या स्थिर है; प्रवाह में स्थानीय सांद्रता और दुर्लभता हो सकती है। यह महत्वपूर्ण है कि एक स्थिर प्रवाह के लिए ये सांद्रता और विरलन नियमित प्रकृति के न हों, और एक समय अंतराल पर पड़ने वाली घटनाओं की औसत संख्या विचाराधीन पूरी अवधि के लिए स्थिर रहती है।

व्यवहार में, अक्सर ऐसी घटनाओं का प्रवाह होता है जिन्हें (कम से कम सीमित समय के लिए) स्थिर माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12 से 13 घंटे के अंतराल में टेलीफोन एक्सचेंज में आने वाली कॉलों के प्रवाह को स्थिर माना जा सकता है। एक ही प्रवाह अब पूरे दिन के लिए स्थिर नहीं रहेगा (रात में, कॉलों के प्रवाह की तीव्रता दिन की तुलना में बहुत कम होती है)। ध्यान दें कि अधिकांश भौतिक प्रक्रियाओं के मामले में भी यही स्थिति है जिसे हम "स्थिर" कहते हैं, वे केवल सीमित अवधि के लिए स्थिर हैं, और इस अवधि को अनंत तक विस्तारित करना सरलीकरण के लिए उपयोग की जाने वाली एक सुविधाजनक चाल है।

10.5.2.2. कोई परिणाम नहीं

घटनाओं के प्रवाह को बिना प्रभाव के प्रवाह कहा जाता है , यदि किसी भी गैर-अतिव्यापी समय अंतराल के लिए उनमें से एक पर पड़ने वाली घटनाओं की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कितनी घटनाएं दूसरे पर गिरीं (या अन्य, यदि दो से अधिक खंडों पर विचार किया जाता है)।

ऐसी धाराओं में, धारा बनाने वाली घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से समय पर क्रमिक बिंदुओं पर प्रकट होती हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रो स्टेशन में प्रवेश करने वाले यात्रियों के प्रवाह को बिना किसी प्रभाव के प्रवाह माना जा सकता है, क्योंकि जिन कारणों से इस विशेष क्षण में एक व्यक्तिगत यात्री के आगमन का कारण बनता है, और दूसरे पर नहीं, एक नियम के रूप में, समान कारणों से संबंधित नहीं हैं। अन्य यात्रियों के लिए। यदि ऐसी निर्भरता दिखाई देती है, तो एक परिणाम की अनुपस्थिति की स्थिति का उल्लंघन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रेलवे लाइन के साथ जाने वाली मालगाड़ियों के प्रवाह पर विचार करें। यदि, सुरक्षा कारणों से, वे समय के अंतराल से अधिक बार एक दूसरे का अनुसरण नहीं कर सकते हैं t0 , तो धारा में घटनाओं के बीच एक निर्भरता होती है, और कोई परिणाम नहीं होने की स्थिति का उल्लंघन होता है। हालांकि, अगर अंतराल t0 ट्रेनों के बीच औसत अंतराल की तुलना में छोटा है, तो ऐसा उल्लंघन नगण्य है।

तस्वीर 0 - 3 पॉसों वितरण

अक्ष पर विचार करेंटी तीव्रता के साथ घटनाओं का सबसे सरल प्रवाह λ। (चित्र 0-2 ख) . हम इस धारा में आसन्न घटनाओं के बीच एक यादृच्छिक समय अंतराल टी में रुचि लेंगे; इसका वितरण नियम ज्ञात कीजिए। सबसे पहले, आइए वितरण फ़ंक्शन खोजें:

एफ (टी) = पी (टी ( 0-2)

यानी प्रायिकता कि T . का मान से कम मूल्य होगाटी. अंतराल टी की शुरुआत से अलग सेट करें (अंक t0) खंड टी और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंतराल T कम होगाटी . ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि लंबाई के एक खंड के लिएटी , एक बिंदु के निकट t0 , कम से कम एक थ्रेड इवेंट हिट। आइए इसकी संभावना की गणना करेंएफ (टी) विपरीत घटना की संभावना के माध्यम से (प्रति खंडटी कोई स्ट्रीम ईवेंट हिट नहीं होगा):

एफ (टी) \u003d 1 - पी 0

संभावना पी 0हम सूत्र (1) द्वारा पाते हैं, मान लेते हैंएम = 0:

मान T का वितरण फलन कहाँ से होगा:

(0-3)

वितरण घनत्व ज्ञात करने के लिएच (टी) अनियमित चर टी,व्यंजक (0‑1) में अंतर करना आवश्यक हैटी:

0-4)

घनत्व (0-4) वाला वितरण नियम घातांक कहलाता है (या घातांक ). मान को पैरामीटर कहा जाता है अनुकरणीय कानून।

चित्र 0 - 4 घातांकी रूप से वितरण

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं टी- गणितीय अपेक्षा (औसत मूल्य)एम [टी] = एमटी , और फैलाव डी टी। हमारे पास है

( 0-5)

(भागों द्वारा एकीकृत).

T के मान का फैलाव है:

(0-6)

विचरण का वर्गमूल निकालने पर, हम यादृच्छिक चर का मानक विचलन पाते हैं टी।

तो, एक घातीय वितरण के लिए, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं और पैरामीटर के विपरीत हैं, जहां । प्रवाह तीव्रता।

इस प्रकार, उपस्थिति एम एक निश्चित समय अंतराल में होने वाली घटनाएं पॉइसन वितरण से मेल खाती हैं, और संभावना है कि घटनाओं के बीच का समय अंतराल कुछ पूर्व निर्धारित संख्या से कम होगा, घातीय वितरण से मेल खाती है। ये सभी एक ही स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के अलग-अलग विवरण हैं।

क्यूएस उदाहरण -1 .

एक उदाहरण के रूप में, बड़ी संख्या में ग्राहकों की सेवा करने वाली रीयल-टाइम बैंकिंग प्रणाली पर विचार करें। व्यस्त समय के दौरान, ग्राहकों के साथ काम करने वाले बैंक टेलर के अनुरोध एक पॉइसन प्रवाह बनाते हैं और औसतन दो प्रति 1 सेकंड (λ = 2) आते हैं। प्रवाह में 2 अनुरोध प्रति सेकंड की दर से आने वाले अनुरोध शामिल होते हैं।

संभावना पी की गणना करें (एम) घटनाएं एम 1 एस में संदेश। चूंकि = 2, पिछले सूत्र से हमारे पास है

एम = . को प्रतिस्थापित करना 0, 1, 2, 3, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं (चार तकदशमलव स्थान):

चित्र 0 - 5 सरलतम प्रवाह उदाहरण

1 s में 9 से अधिक संदेश भी संभव हैं, लेकिन इसकी संभावना बहुत कम है (लगभग 0.000046)।

परिणामी वितरण को हिस्टोग्राम के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र में दिखाया गया है)।

सीएमओ-2 का उदाहरण।

एक उपकरण (सर्वर) जो 1s में तीन संदेशों को संसाधित करता है।

ऐसे उपकरण होने दें जो तीन संदेशों को 1 s (µ=3) में संसाधित कर सकें। औसतन, 1s में और उसके अनुसार दो संदेश प्राप्त होते हैंसी पॉसों वितरण। इन संदेशों का कितना अनुपात प्राप्त होने पर तुरंत संसाधित किया जाएगा?

आगमन दर 3 s से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता द्वारा दी गई है

यदि सिस्टम 1 सेकंड में अधिकतम 3 संदेशों को संसाधित कर सकता है, तो संभावना है कि यह अतिभारित नहीं होगा

दूसरे शब्दों में, 85.71% संदेश तुरंत और 14.29% कुछ देरी से परोसे जाएंगे। जैसा कि आप देख सकते हैं, 3 संदेशों के प्रसंस्करण समय से अधिक समय के लिए एक संदेश को संसाधित करने में देरी शायद ही कभी होगी। 1 संदेश का संसाधन समय औसतन 1/3 सेकंड है। इसलिए, 1s से अधिक की देरी दुर्लभ होगी, जो कि अधिकांश प्रणालियों के लिए काफी स्वीकार्य है।

सीएमओ उदाहरण 3

· यदि कोई बैंक टेलर अपने काम के 80% समय में व्यस्त है, और वह शेष समय ग्राहकों की प्रतीक्षा में बिताता है, तो उसे 0.8 के उपयोग कारक के साथ एक उपकरण के रूप में माना जा सकता है।

· यदि संचार चैनल का उपयोग 2400 बीपीएस की दर से 8-बिट प्रतीकों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है, अर्थात 1 एस में अधिकतम 2400/8 प्रतीक प्रसारित होते हैं, और हम एक ऐसी प्रणाली का निर्माण कर रहे हैं जिसमें डेटा की कुल मात्रा 12000 प्रतीक भेजे गए हैं चैनल के माध्यम से विभिन्न उपकरणों से प्रति व्यस्त मिनट (सिंक्रनाइज़ेशन, संदेश के अंत वर्ण, नियंत्रण वर्ण, आदि सहित), तो इस मिनट के दौरान संचार चैनल के उपकरण की उपयोग दर बराबर है

· यदि व्यस्त घंटे फ़ाइल एक्सेस इंजन 9000 फ़ाइल एक्सेस करता है, और प्रति एक्सेस समय औसतन 300 एमएस है, तो व्यस्त घंटे एक्सेस इंजन हार्डवेयर उपयोग है

उपकरण उपयोग की अवधारणा का अक्सर उपयोग किया जाएगा। उपकरण का उपयोग 100% के जितना करीब होगा, देरी उतनी ही अधिक होगी और कतार भी लंबी होगी।

पिछले सूत्र का उपयोग करके, आप पॉइसन फ़ंक्शन मानों की तालिकाएँ संकलित कर सकते हैं, जिससे आप प्राप्त करने की संभावना निर्धारित कर सकते हैंएम या एक निश्चित अवधि में अधिक संदेश। उदाहरण के लिए, यदि प्रति सेकंड औसतन 3.1 संदेश [अर्थात। ई. = 3.1], तो किसी दिए गए सेकंड में 5 या अधिक संदेश प्राप्त करने की संभावना है 0.2018 (के लिएएम = 5 तालिका में)। या विश्लेषणात्मक रूप में

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, सिस्टम विश्लेषक इस संभावना की गणना कर सकता है कि सिस्टम किसी दिए गए लोड मानदंड को पूरा नहीं करेगा।

उपकरण लोड मूल्यों के लिए अक्सर प्रारंभिक गणना की जा सकती है।

पी 0.9

ये मान पोइसन तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

फिर से औसत संदेश आगमन दर = 3.1 संदेश/सेकेंड दें। तालिकाओं से यह पता चलता है कि 1 s में 6 या अधिक संदेश प्राप्त करने की प्रायिकता 0.0943 है। इसलिए, इस संख्या को प्रारंभिक गणना के लिए लोड मानदंड के रूप में लिया जा सकता है।

10.6.2. डिजाइन चुनौतियां

डिवाइस पर संदेशों के आगमन की यादृच्छिक प्रकृति के साथ, बाद वाला समय प्रत्येक संदेश को संसाधित करने या सर्विस करने में खर्च करता है, जिसके परिणामस्वरूप कतारें बनती हैं। बैंक में कतार खजांची और उसके कंप्यूटर (टर्मिनल) की रिहाई की प्रतीक्षा कर रही है। कंप्यूटर के इनपुट बफर में संदेश कतार प्रोसेसर द्वारा संसाधित होने की प्रतीक्षा कर रही है। डेटा सरणियों के लिए अनुरोधों की कतार चैनल आदि के जारी होने की प्रतीक्षा कर रही है। सिस्टम की सभी बाधाओं में कतारें बन सकती हैं।

उपकरण की उपयोग दर जितनी अधिक होगी, परिणामी कतारें उतनी ही लंबी होंगी। जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, एक ऐसी प्रणाली को डिजाइन करना संभव है जो = 0.7 के उपयोग कारक के साथ संतोषजनक ढंग से काम करे, लेकिन > 0.9 से अधिक कारक सेवा की खराब गुणवत्ता का परिणाम हो सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि बल्क डेटा लिंक में 20% लोड है, तो उस पर कतार होने की संभावना नहीं है। अगर लोड हो रहा है; 0.9 है, तो, एक नियम के रूप में, कतारें बनेंगी, कभी-कभी बहुत बड़ी।

उपकरण उपयोग का गुणांक उपकरण पर भार के अनुपात के बराबर है जो यह उपकरण सामना कर सकता है, या उस समय के अनुपात के बराबर है जब उपकरण अपने संचालन के कुल समय पर कब्जा कर लेता है।

एक प्रणाली को डिजाइन करते समय, विभिन्न प्रकार के उपकरणों के लिए उपयोग कारक का अनुमान लगाना आम बात है; प्रासंगिक उदाहरण बाद के अध्यायों में दिए जाएंगे। इन गुणांकों को जानने से आप संबंधित उपकरणों के लिए कतारों की गणना कर सकते हैं।

· कतार की लंबाई क्या है?

· इसमे कितना टाइम लगेगा?

इस प्रकार के प्रश्नों का उत्तर क्यूइंग थ्योरी का उपयोग करके दिया जा सकता है।

10.6.3. कतार प्रणाली, उनकी कक्षाएं और मुख्य विशेषताएं

क्यूएस के लिए, घटना प्रवाह अनुरोधों का प्रवाह है, "सर्विसिंग" अनुरोधों का प्रवाह, आदि। यदि ये प्रवाह पॉइसन (मार्कोव प्रक्रिया) नहीं हैं, तो क्यूएस में होने वाली प्रक्रियाओं का गणितीय विवरण अतुलनीय रूप से अधिक जटिल हो जाता है और इसके लिए अधिक बोझिल उपकरण की आवश्यकता होती है, इसे विश्लेषणात्मक सूत्रों में लाना सरलतम मामलों में ही संभव है।

हालांकि, "मार्कोवियन" कतार सिद्धांत का तंत्र उस मामले में भी उपयोगी हो सकता है जब क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया मार्कोव एक से अलग होती है; इसकी मदद से, क्यूएस दक्षता विशेषताओं का अनुमान लगाया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्यूएस जितना जटिल होगा, इसमें जितने अधिक सेवा चैनल होंगे, मार्कोव सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित सूत्र उतने ही सटीक होंगे। इसके अलावा, कई मामलों में, क्यूएस के संचालन के प्रबंधन के बारे में सूचित निर्णय लेने के लिए, इसकी सभी विशेषताओं का सटीक ज्ञान होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, अक्सर काफी अनुमानित, सांकेतिक।

QS को सिस्टम में वर्गीकृत किया गया है:

विफलताओं (नुकसान के साथ)। ऐसी प्रणालियों में, एक अनुरोध जो उस समय आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, एक "इनकार" प्राप्त करता है, QS छोड़ देता है और आगे की सेवा प्रक्रिया में भाग नहीं लेता है।

प्रतीक्षा करना (कतार के साथ)। ऐसी प्रणालियों में, एक अनुरोध जो तब आता है जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं, कतारबद्ध हो जाता है और तब तक प्रतीक्षा करता है जब तक कि चैनलों में से एक मुक्त नहीं हो जाता। जब चैनल मुफ़्त होता है, तो कतार में लगे अनुप्रयोगों में से एक को सेवा के लिए स्वीकार किया जाता है।

प्रतीक्षा प्रणाली में सेवा (कतार अनुशासन) हो सकती है

व्यवस्थित (आवेदनों को प्राप्ति के क्रम में प्रस्तुत किया जाता है),

· बेक़ायदा(आवेदन यादृच्छिक क्रम में प्रस्तुत किए जाते हैं) या

ढेर (अंतिम आवेदन पहले कतार से चुना जाता है)।

वरीयता

हे स्थिर प्राथमिकता के साथ

हे गतिशील प्राथमिकता के साथ

(बाद के मामले में प्राथमिकता टेट, उदाहरण के लिए, अनुरोध के लिए प्रतीक्षा समय के साथ बढ़ सकता है)।

कतार वाले सिस्टम को सिस्टम में विभाजित किया जाता है

· असीमित प्रतीक्षा के साथ और

· सीमित . के साथ प्रतीक्षा करना।

असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, प्रत्येक अनुरोध जो उस समय आता है जब कोई मुफ्त चैनल नहीं होता है, कतार में लग जाता है और "धैर्यपूर्वक" चैनल के जारी होने की प्रतीक्षा करता है जो इसे सेवा के लिए स्वीकार करेगा। सीएमओ द्वारा प्राप्त किसी भी आवेदन को जल्द या बाद में तामील किया जाएगा।

सीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम में, आवेदन के कतार में रहने पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं। ये प्रतिबंध लागू हो सकते हैं

· कतार की लंबाई (सीमित कतार लंबाई के साथ कतार प्रणाली में एक साथ अनुप्रयोगों की संख्या),

· वह समय जब आवेदन कतार में रहता है (कतार में रहने की एक निश्चित अवधि के बाद, आवेदन कतार छोड़ देता है और सिस्टम सीमित प्रतीक्षा समय के साथ छोड़ देता है),

· QS . में आवेदन द्वारा बिताया गया कुल समय

आदि।

क्यूएस के प्रकार के आधार पर, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करते समय, कुछ मूल्यों (प्रदर्शन संकेतक) का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विफलताओं वाले QS के लिए, इसकी उत्पादकता की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक तथाकथित है पूर्ण बैंडविड्थअनुरोधों की औसत संख्या जो सिस्टम समय की प्रति यूनिट सेवा कर सकता है।

निरपेक्ष के साथ-साथ अक्सर माना जाता है सापेक्ष थ्रूपुटसीएमओ सिस्टम द्वारा दिए गए आने वाले अनुरोधों का औसत हिस्सा है (इस समय के दौरान प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या के लिए समय की प्रति यूनिट सिस्टम द्वारा दिए गए अनुरोधों की औसत संख्या का अनुपात)।

विफलताओं के साथ क्यूएस के विश्लेषण में पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट के अलावा, हम अध्ययन के कार्य के आधार पर, अन्य विशेषताओं में रुचि ले सकते हैं, उदाहरण के लिए:

· व्यस्त चैनलों की औसत संख्या;

· संपूर्ण और एक व्यक्तिगत चैनल के रूप में सिस्टम का औसत सापेक्ष डाउनटाइम

आदि।

प्रत्याशित QS में थोड़ी भिन्न विशेषताएं होती हैं। जाहिर है, असीमित प्रतीक्षा समय वाले क्यूएस के लिए, निरपेक्ष और सापेक्ष थ्रूपुट दोनों अपना अर्थ खो देते हैं, क्योंकि प्रत्येक दावा जल्दी आता है।या बाद में परोसा जाएगा। ऐसे क्यूएस के लिए, महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं:

· कतार में आवेदनों की औसत संख्या;

· सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या (कतार में और सेवा के तहत);

· कतार में आवेदन के लिए औसत प्रतीक्षा समय;

· सिस्टम में एक एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया औसत समय (कतार में और सेवा के तहत);

साथ ही अपेक्षा की अन्य विशेषताएं।

सीमित प्रतीक्षा वाले क्यूएस के लिए, विशेषताओं के दोनों समूह रुचि के हैं: पूर्ण और सापेक्ष थ्रूपुट, और प्रतीक्षा विशेषताओं दोनों।

क्यूएस में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए, सिस्टम के मुख्य मापदंडों को जानना आवश्यक है: चैनलों की संख्या पी,अनुप्रयोग प्रवाह तीव्रताλ , प्रत्येक चैनल का प्रदर्शन (अनुरोधों की औसत संख्या μ प्रति यूनिट समय चैनल द्वारा सेवित), कतार के गठन की शर्तें (प्रतिबंध, यदि कोई हो)।

इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर, क्यूएस संचालन दक्षता की विशेषताओं को व्यक्त किया जाता है।

10.6.4. एक डिवाइस के साथ सेवा के मामले में क्यूएस विशेषताओं की गणना के लिए सूत्र

चित्र 0 - 6 कतार के साथ कतार प्रणाली का मॉडल

संसाधित होने की प्रतीक्षा कर रहे प्रोसेसर के इनपुट पर संदेशों द्वारा ऐसी कतारें बनाई जा सकती हैं। वे मल्टीपॉइंट संचार चैनल से जुड़े ग्राहक स्टेशनों के संचालन के दौरान हो सकते हैं। इसी तरह पेट्रोल पंपों पर कारों की कतार लग जाती है। हालांकि, अगर सेवा में एक से अधिक प्रवेश द्वार हैं, तो हमारे पास कई उपकरणों के साथ एक कतार है और विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है।

सेवा अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह के मामले पर विचार करें।

यहां प्रस्तुत कतार सिद्धांत का उद्देश्य कतार के औसत आकार के साथ-साथ कतारों में प्रतीक्षा कर रहे संदेशों द्वारा व्यतीत औसत समय का अनुमान लगाना है। यह अनुमान लगाना भी वांछनीय है कि कतार कितनी बार एक निश्चित लंबाई से अधिक हो जाती है। यह जानकारी हमें गणना करने की अनुमति देगी, उदाहरण के लिए, संदेश कतारों और संबंधित कार्यक्रमों को संग्रहीत करने के लिए बफर मेमोरी की आवश्यक मात्रा, संचार लाइनों की आवश्यक संख्या, हब के लिए आवश्यक बफर आकार, आदि। प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाना संभव होगा।

प्रत्येक विशेषता उपयोग किए गए साधनों के आधार पर भिन्न होती है।

एक सर्वर के साथ एक कतार पर विचार करें। कंप्यूटिंग सिस्टम को डिजाइन करते समय, इस प्रकार की अधिकांश कतारों की गणना उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके की जाती है।सेवा समय भिन्नता कारक

खिनचिन-पोलाचेक सूत्र का उपयोग सूचना प्रणाली के डिजाइन में कतार की लंबाई की गणना के लिए किया जाता है। यह सेवा समय के किसी भी वितरण और किसी भी नियंत्रण अनुशासन के लिए आगमन समय के घातीय वितरण के मामले में लागू होता है, जब तक कि सेवा के लिए अगले संदेश का चुनाव सेवा समय पर निर्भर न हो।

सिस्टम डिजाइन करते समय, ऐसी स्थितियां होती हैं जब कतारें उत्पन्न होती हैं जब नियंत्रण अनुशासन निस्संदेह सेवा समय पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कुछ मामलों में, हम तेजी से औसत सेवा समय प्राप्त करने के लिए पहले सेवा के लिए छोटे संदेशों का उपयोग करना चुन सकते हैं। संचार लाइन का प्रबंधन करते समय, आउटपुट संदेशों की तुलना में इनपुट संदेशों को उच्च प्राथमिकता देना संभव है, क्योंकि पहले वाले संदेश छोटे होते हैं। ऐसे मामलों में, खिनचिन समीकरण का उपयोग करना अब आवश्यक नहीं है

सूचना प्रणाली में अधिकांश सेवा समय इन दो मामलों के बीच में होता है। सेवा समय जो स्थिर हैं दुर्लभ हैं। यहां तक ​​कि सतह पर डेटा सरणियों की अलग-अलग स्थिति के कारण हार्ड डिस्क तक पहुंच का समय भी स्थिर नहीं है। निरंतर सेवा समय के मामले को दर्शाने वाला एक उदाहरण एक निश्चित लंबाई के संदेशों के प्रसारण के लिए संचार लाइन का व्यवसाय है।

दूसरी ओर, सेवा समय का प्रसार उतना बड़ा नहीं है जितना कि एक मनमाना या घातीय वितरण के मामले में, अर्थात, s शायद ही कभी मूल्यों तक पहुंचता हैटी एस. इस मामले को कभी-कभी "सबसे खराब स्थिति" माना जाता है और इसलिए सूत्रों का उपयोग किया जाता है जो सेवा समय के घातीय वितरण को संदर्भित करते हैं। इस तरह की गणना कुछ हद तक अनुमानित कतार आकार और प्रतीक्षा समय दे सकती है, लेकिन यह त्रुटि कम से कम खतरनाक नहीं है।

सेवा समय का घातीय वितरण निश्चित रूप से सबसे खराब स्थिति नहीं है जिससे किसी को वास्तव में निपटना पड़ता है। हालांकि, यदि कतारों की गणना से प्राप्त सेवा समय तेजी से वितरित समय की तुलना में खराब वितरित हो जाता है, तो यह अक्सर डेवलपर के लिए एक चेतावनी संकेत होता है। यदि मानक विचलन माध्य मान से अधिक है, तो आमतौर पर गणनाओं को सही करने की आवश्यकता होती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। 15, 20, 25, 30, 35, और 300 के सेवा समय के साथ छह संदेश प्रकार हैं। प्रत्येक प्रकार के संदेशों की संख्या समान है। इन समयों का मानक विचलन उनके औसत से कुछ अधिक है। अंतिम सेवा समय का मूल्य दूसरों की तुलना में बहुत बड़ा है। यह संदेशों को सेवा समय समान क्रम के होने की तुलना में अधिक लंबे समय तक कतार में रहने का कारण बनेगा। इस मामले में, डिजाइन करते समय, कतार की लंबाई को कम करने के उपाय करने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, यदि ये नंबर संदेश की लंबाई से संबंधित हैं, तो शायद बहुत लंबे संदेशों को भागों में विभाजित किया जाना चाहिए।

10.6.6. गणना उदाहरण

बैंकिंग प्रणाली को डिजाइन करते समय, उन ग्राहकों की संख्या जानना वांछनीय है, जिन्हें पीक आवर्स के दौरान एक कैशियर के लिए लाइन में इंतजार करना होगा।

सिस्टम प्रतिक्रिया समय और इसके मानक विचलन की गणना वर्कस्टेशन, प्रिंटिंग और दस्तावेज़ प्रसंस्करण से डेटा प्रविष्टि के समय को ध्यान में रखकर की जाती है।

कैशियर की कार्रवाई समयबद्ध थी। सेवा समय ts ग्राहक पर कैशियर द्वारा खर्च किए गए कुल समय के बराबर है। खजांची की उपयोगिता दर उसके रोजगार के समय के समानुपाती होती है। यदि व्यस्त समय के दौरान ग्राहकों की संख्या है, तो खजांची के लिए है

मान लें कि व्यस्त समय के दौरान प्रति घंटे 30 ग्राहक होते हैं। औसतन, एक कैशियर प्रति ग्राहक 1.5 मिनट खर्च करता है। फिर

= (1.5 * 30) / 60 = 0.75

यानी कैशियर का उपयोग 75% द्वारा किया जाता है।

रेखांकन का उपयोग करके लाइन में लोगों की संख्या का शीघ्रता से अनुमान लगाया जा सकता है। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि = 0.75, तो लोगों की औसत संख्या nq हैचेकआउट में लाइन में 1.88 और 3.0 के बीच मानक विचलन के आधार पर होता हैटी एस .

मान लें कि t . के लिए मानक विचलन का मापनएस 0.5 मिनट का मान दिया। फिर

एस = 0.33 टी एस

पहले आंकड़े में ग्राफ से, हम पाते हैं कि nq = 2.0, यानी औसतन, दो ग्राहक चेकआउट के लिए प्रतीक्षा कर रहे होंगे।

ग्राहक द्वारा चेकआउट पर बिताया गया कुल समय इस प्रकार पाया जा सकता है

टी = टी क्यू + टी एस = 2.5 मिनट + 1.5 मिनट = 4 मिनट

जहां टी सो खिनचिन-पोलाचेक सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

10.6.7. लाभ कारक

आंकड़ों में वक्रों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि जब कतार की सेवा करने वाले उपकरण 80% से अधिक उपयोग किए जाते हैं, तो वक्र खतरनाक दर से बढ़ने लगते हैं। डेटा ट्रांसमिशन सिस्टम के डिजाइन में यह तथ्य बहुत महत्वपूर्ण है। यदि हम 80% से अधिक हार्डवेयर उपयोग के साथ एक सिस्टम डिज़ाइन कर रहे हैं, तो ट्रैफ़िक में थोड़ी सी वृद्धि से सिस्टम के प्रदर्शन में भारी गिरावट आ सकती है या यह क्रैश भी हो सकता है।

आने वाले ट्रैफ़िक में x% की एक छोटी संख्या में वृद्धि। कतार के आकार में लगभग वृद्धि की ओर जाता है

यदि उपकरण उपयोग दर 50% है, तो यह वृद्धि सेवा समय के घातीय वितरण के लिए 4ts% के बराबर है। लेकिन अगर उपकरण का उपयोग 90% है, तो कतार के आकार में वृद्धि 100ts% है, जो कि 25 गुना अधिक है। 90% उपकरण उपयोग पर लोड में मामूली वृद्धि 50% उपकरण उपयोग के मामले की तुलना में कतार के आकार में 25 गुना वृद्धि की ओर ले जाती है।

इसी तरह, कतार का समय बढ़ जाता है

घातीय रूप से वितरित सेवा समय के साथ, इस मान का मान 4 t . हैएस 2 उपकरण उपयोग के लिए 50% और 100 t . के बराबरएस 2 90% के गुणांक के लिए, यानी फिर से 25 गुना बदतर।

इसके अलावा, छोटे उपकरण उपयोग कारकों के लिए, कतार के आकार पर s में परिवर्तन का प्रभाव नगण्य है। हालांकि, बड़े गुणांक के लिए, परिवर्तन σएस कतार के आकार को बहुत प्रभावित करता है। इसलिए, उच्च उपकरण उपयोग के साथ सिस्टम डिजाइन करते समय, पैरामीटर के बारे में सटीक जानकारी प्राप्त करना वांछनीय हैσ एस. टी . के वितरण की घातीयता के संबंध में धारणा की अशुद्धिएसके बड़े मूल्यों पर सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। इसके अलावा, यदि सेवा समय अचानक बढ़ जाता है, जो लंबे संदेशों को प्रसारित करते समय संचार चैनलों में संभव है, तो बड़े के मामले में, एक महत्वपूर्ण कतार बनती है।

अक्सर, आर्थिक प्रणालियों का विश्लेषण करते समय, निम्नलिखित स्थिति में उत्पन्न होने वाली तथाकथित कतार समस्याओं को हल करना पड़ता है। विभिन्न क्षमताओं के स्टेशनों की एक निश्चित संख्या से युक्त कार रखरखाव प्रणाली का विश्लेषण करने दें। प्रत्येक स्टेशन (सिस्टम तत्व) पर, कम से कम दो विशिष्ट स्थितियाँ हो सकती हैं:

1. इस स्टेशन के लिए आवेदनों की संख्या बहुत अधिक है, कतारें हैं, और आपको सेवा में देरी के लिए भुगतान करना होगा;
2. स्टेशन को बहुत कम अनुरोध प्राप्त होते हैं और अब स्टेशन डाउनटाइम के कारण होने वाले नुकसान को ध्यान में रखना आवश्यक है।

यह स्पष्ट है कि इस मामले में सिस्टम विश्लेषण का लक्ष्य आय के नुकसान के बीच कुछ संबंध निर्धारित करना है कतारोंऔर नुकसान सिर्फ मैंस्टेशन।

कतार सिद्धांत- सिस्टम सिद्धांत का एक विशेष खंड संभाव्यता सिद्धांत का एक खंड है जिसमें गणितीय मॉडल का उपयोग करके कतार प्रणाली का अध्ययन किया जाता है।

कतार प्रणाली (क्यूएस)- यह एक मॉडल है जिसमें शामिल हैं: 1) आवश्यकताओं, कॉल या सेवा की आवश्यकता वाले ग्राहकों का एक यादृच्छिक प्रवाह; 2) इस सेवा के कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिथ्म; 3) रखरखाव के लिए चैनल (उपकरण)।

सीएमओ के उदाहरण कैश डेस्क, गैस स्टेशन, हवाई अड्डे, विक्रेता, हेयरड्रेसर, डॉक्टर, टेलीफोन एक्सचेंज और अन्य सुविधाएं हैं जो कुछ अनुप्रयोगों की सेवा करते हैं।

कतारबद्ध सिद्धांत समस्याइष्टतम लागत पर उच्च सेवा दक्षता सुनिश्चित करने के लिए क्यूएस के तर्कसंगत निर्माण और उनके काम के तर्कसंगत संगठन के लिए विकासशील सिफारिशें शामिल हैं।

इस वर्ग की समस्याओं की मुख्य विशेषता विश्लेषण के परिणामों और दो बाहरी कारकों पर प्राप्त सिफारिशों की स्पष्ट निर्भरता है: प्राप्ति की आवृत्ति और आदेशों की जटिलता (और इसलिए उनके निष्पादन का समय)।

कतार के सिद्धांत का विषय अनुप्रयोगों के प्रवाह की प्रकृति, एक अलग सेवा चैनल के प्रदर्शन, चैनलों की संख्या और सेवा की दक्षता के बीच संबंध स्थापित करना है।

जैसा क्यूएस विशेषताएंसोच-विचार किया हुआ:

• आवेदनों का औसत प्रतिशत जो अस्वीकार कर दिया गया है और सिस्टम को बिना सेवा के छोड़ दिया गया है;
• अलग-अलग चैनलों और पूरे सिस्टम का औसत डाउनटाइम;
• कतार में औसत प्रतीक्षा समय;
• संभावना है कि प्राप्त आवेदन को तुरंत सेवित किया जाएगा;
• कतार लंबाई वितरण कानून और अन्य।

हम जोड़ते हैं कि अनुरोध (आवश्यकताएं) संक्षेपण और दुर्लभता के बिंदुओं के साथ यादृच्छिक रूप से (यादृच्छिक समय पर) क्यूएस दर्ज करते हैं। प्रत्येक आवश्यकता का सेवा समय भी यादृच्छिक होता है, जिसके बाद सेवा चैनल मुक्त हो जाता है और अगली आवश्यकता को पूरा करने के लिए तैयार हो जाता है। चैनलों की संख्या और उनके प्रदर्शन के आधार पर प्रत्येक क्यूएस की एक निश्चित क्षमता होती है। एसएमओ थ्रूपुटशायद शुद्ध(प्रति यूनिट समय पर दिए गए आवेदनों की औसत संख्या) और रिश्तेदार(प्रस्तुत किए गए आवेदनों की संख्या और प्रस्तुत किए गए आवेदनों की संख्या का औसत अनुपात)।

3.1 कतार प्रणाली के मॉडल।

प्रत्येक QS को व्यंजक द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है: (ए / बी / सी): (डी / ई / एफ) , कहाँ पे

एक - अनुप्रयोगों के इनपुट प्रवाह का वितरण;

बी - अनुप्रयोगों के आउटपुट प्रवाह का वितरण;

सी - सेवा तंत्र का विन्यास;

डी - कतार अनुशासन;

इ - प्रतीक्षारत ब्लॉक;

एफ स्रोत की क्षमता है।

अब आइए प्रत्येक विशेषता पर करीब से नज़र डालें।

अनुप्रयोगों की इनपुट स्ट्रीम- सिस्टम द्वारा प्राप्त आवेदनों की संख्या। इनपुट प्रवाह की तीव्रता द्वारा विशेषता मैं.

अनुप्रयोगों की आउटपुट स्ट्रीम- सिस्टम द्वारा दिए गए आवेदनों की संख्या। आउटपुट प्रवाह की तीव्रता द्वारा विशेषता एम.

प्रणाली विन्यासमतलब चैनलों और सर्विस नोड्स की कुल संख्या। एसएमओ में शामिल हो सकते हैं:

1. एक चैनलसेवाएं (एक रनवे, एक विक्रेता);
2. सेवा का एक चैनल, सहित एकाधिक सीरियल नोड्स(कैंटीन, क्लिनिक, कन्वेयर);
3. कई समान चैनलसमानांतर में जुड़ी सेवाएं (गैस स्टेशन, सूचना डेस्क, रेलवे स्टेशन)।

इस प्रकार, सिंगल- और मल्टी-चैनल QS को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

दूसरी ओर, यदि क्यूएस में सभी सेवा चैनल व्यस्त हैं, तो संपर्क किया गया आवेदन कतार में रह सकता है, या सिस्टम को छोड़ सकता है (उदाहरण के लिए, एक बचत बैंक और एक टेलीफोन एक्सचेंज)। इस मामले में, हम एक कतार (प्रतीक्षा) वाले सिस्टम और विफलताओं वाले सिस्टम के बारे में बात कर रहे हैं।

मोड़अनुप्रयोगों का एक सेट है जो सेवा के लिए सिस्टम में प्रवेश कर चुका है और सेवा की प्रतीक्षा कर रहा है। कतार को कतार की लंबाई और उसके अनुशासन की विशेषता है।

कतार अनुशासनकतार से अनुरोधों को पूरा करने का नियम है। मुख्य प्रकार की कतारों में निम्नलिखित शामिल हैं:

1. PERPPO (पहले आओ, पहले पाओ) सबसे आम प्रकार है;
2. POSPPO (अंतिम आओ - पहले पाओ);
3. SOP (आवेदन का यादृच्छिक चयन) - डेटा बैंक से।
4. पीआर - प्राथमिकता सेवा।

कतार की लंबाईशायद

• असीमित - तब कोई शुद्ध अपेक्षा वाली प्रणाली की बात करता है;
• शून्य के बराबर - फिर वे विफलताओं वाली प्रणाली के बारे में बात करते हैं;
• लंबाई में सीमित (मिश्रित प्रकार प्रणाली)।

वेटिंग ब्लॉक- सिस्टम की "क्षमता" - सिस्टम में अनुप्रयोगों की कुल संख्या (कतार में और सेवा पर)। इस तरह, ई = सी +डी.

स्रोत क्षमताजो सेवा अनुरोध उत्पन्न करता है, वह अधिकतम अनुरोध है जो QS में प्रवेश कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक हवाई अड्डे पर, स्रोत क्षमता सभी मौजूदा विमानों की संख्या से सीमित होती है, और एक टेलीफोन एक्सचेंज की स्रोत क्षमता पृथ्वी के निवासियों की संख्या के बराबर होती है, अर्थात। इसे असीमित माना जा सकता है।

क्यूएस मॉडल की संख्या इन घटकों के संभावित संयोजनों की संख्या से मेल खाती है।

3.2 आवश्यकताओं की इनपुट स्ट्रीम।

समय के हर खिंचाव के साथ एक, एक+ टी ], आइए हम एक यादृच्छिक चर को जोड़ते हैं एक्स, समय के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त अनुरोधों की संख्या के बराबर टी.

अनुरोधों के प्रवाह को कहा जाता है स्थावर, यदि वितरण नियम अंतराल के प्रारंभिक बिंदु पर निर्भर नहीं करता है एक, लेकिन केवल दिए गए अंतराल की लंबाई पर निर्भर करता है टी. उदाहरण के लिए, दिन के दौरान टेलीफोन एक्सचेंज में आवेदनों का प्रवाह ( टी\u003d 24 घंटे) को स्थिर नहीं माना जा सकता, लेकिन 13 से 14 घंटे ( टी\u003d 60 मिनट) - आप कर सकते हैं।

प्रवाह कहा जाता है कोई परिणाम नहीं, यदि प्रवाह का इतिहास भविष्य में आवश्यकताओं की प्राप्ति को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात। आवश्यकताएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

प्रवाह कहा जाता है साधारण, यदि बहुत कम समय में एक से अधिक अनुरोध सिस्टम में प्रवेश नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, नाई के लिए प्रवाह सामान्य है, लेकिन रजिस्ट्री कार्यालय में नहीं। लेकिन अगर एक यादृच्छिक चर के रूप में एक्सरजिस्ट्री कार्यालय में प्रवेश करने वाले आवेदनों के जोड़े पर विचार करें, तो ऐसा प्रवाह सामान्य होगा (अर्थात, कभी-कभी एक असाधारण प्रवाह को सामान्य में घटाया जा सकता है)।

प्रवाह कहा जाता है सबसे साधारण, अगर यह स्थिर है, बिना किसी प्रभाव के और सामान्य है।

मुख्य प्रमेय।यदि प्रवाह सबसे सरल है, तो r.v. एक्स [ए। ए + टी] पोइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, अर्थात। .

कोरोलरी 1. सबसे सरल प्रवाह को पॉइसन प्रवाह भी कहा जाता है।

परिणाम 2. एम(एक्स)= एम(एक्स [ एक , एक + टी ] )= मैंटी, अर्थात। दौरान टी मैंटीअनुप्रयोग। इसलिए, समय की एक इकाई के लिए, सिस्टम औसतन प्राप्त करता है मैंअनुप्रयोग। इस मान को कहा जाता है तीव्रताआगत प्रवाह।

उदाहरण पर विचार करें .

स्टूडियो को प्रतिदिन औसतन 3 आवेदन प्राप्त होते हैं। प्रवाह को सबसे सरल मानते हुए, अगले दो दिनों के भीतर अनुरोधों की संख्या कम से कम 5 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।

कार्य के अनुसार, मैं=3, टी= 2 दिन, पॉइसन इनपुट स्ट्रीम, एन 5. हल करते समय, विपरीत घटना को पेश करना सुविधाजनक होता है, जिसमें यह तथ्य होता है कि समय के दौरान टी 5 से कम आवेदन प्राप्त होंगे। इसलिए, पॉइसन सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

^

3.3 सिस्टम की स्थिति। संक्रमण का मैट्रिक्स और ग्राफ।

समय में एक यादृच्छिक क्षण में, क्यूएस एक राज्य से दूसरे राज्य में जाता है: व्यस्त चैनलों की संख्या, अनुरोधों और कतारों की संख्या, आदि, परिवर्तन। इस प्रकार, क्यूएस के साथ एनचैनल और कतार की लंबाई . के बराबर एम, निम्नलिखित राज्यों में से एक में हो सकता है:

इ 0 - सभी चैनल मुफ्त हैं;

इ 1 - एक चैनल पर कब्जा है;

इ एन- सभी चैनलों पर कब्जा कर लिया गया है;

इ एन +1 - सभी चैनल व्यस्त हैं और एक अनुरोध कतार में है;

इ एन + एम- सभी चैनल और कतार में सभी जगहों पर कब्जा है।

विफलताओं वाली एक समान प्रणाली राज्यों में हो सकती है इ 0 – इ एन .

शुद्ध अपेक्षा वाले QS के लिए, राज्यों का एक अनंत सेट होता है। इस तरह, स्थि‍ति इ एन समय पर क्यूएस टी मात्रा है एन एप्लिकेशन (आवश्यकताएं) जो एक निश्चित समय पर सिस्टम में हैं, अर्थात। एन= एन(टी) - यादृच्छिक मूल्य, इ एन (टी) इस यादृच्छिक चर के परिणाम हैं, और पी एन (टी) संभावना है कि सिस्टम राज्य में है इ एन .

हम सिस्टम की स्थिति से पहले से ही परिचित हैं। ध्यान दें कि सिस्टम के सभी राज्य समान नहीं हैं। सिस्टम की स्थिति को कहा जाता है स्रोतअगर सिस्टम इस राज्य को छोड़ सकता है लेकिन इसमें वापस नहीं आ सकता है। सिस्टम की स्थिति को कहा जाता है पृथक,यदि सिस्टम इस स्थिति से बाहर या प्रवेश नहीं कर सकता है।

सिस्टम राज्यों की छवियों की कल्पना करने के लिए, आरेखों (तथाकथित संक्रमण ग्राफ़) का उपयोग किया जाता है, जिसमें तीर एक राज्य से दूसरे राज्य में सिस्टम के संभावित संक्रमणों के साथ-साथ ऐसे संक्रमणों की संभावनाओं को इंगित करते हैं।

चित्र 3.1 - संक्रमण ग्राफ

कॉम्प.	ई 0	ई 1	ई 2
ई 0	पी 0.0	पी 0.1	पी 0.2
ई 1	पी 1.0	आर 1.1	आर 1.2
ई 2	आर 2.0	आर 2.2	आर 2.2

कभी-कभी ट्रांज़िशन मैट्रिक्स का उपयोग करना भी सुविधाजनक होता है। इस मामले में, पहले कॉलम का अर्थ है सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति (वर्तमान), और फिर इन राज्यों से अन्य राज्यों में संक्रमण की संभावनाएं दी गई हैं।

चूंकि सिस्टम अनिवार्य रूप से एक से गुजरेगा

दूसरे के लिए राज्य, तो प्रत्येक पंक्ति में संभावनाओं का योग हमेशा एक के बराबर होता है।

3.4 सिंगल-चैनल क्यूएस।

3.4.1 विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।

हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जो आवश्यकताओं को पूरा करती हैं:

(पी/ई/1):(-/1/¥) । आइए हम यह भी मान लें कि ग्राहक का सेवा समय सिस्टम में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है। यहाँ और नीचे, "P" का अर्थ है कि इनपुट प्रवाह पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, अर्थात। सबसे सरल, "ई" का अर्थ है कि आउटपुट प्रवाह तेजी से वितरित किया जाता है। साथ ही यहां और नीचे, मुख्य सूत्र बिना प्रमाण के दिए गए हैं।

ऐसी प्रणाली के लिए, दो राज्य संभव हैं: इ 0 - सिस्टम फ्री है और इ 1 - सिस्टम व्यस्त है। आइए एक ट्रांज़िशन मैट्रिक्स बनाएं। चलो ले लो डीटीसमय की एक अनंत राशि है। बता दें कि घटना ए में इस तथ्य को शामिल किया गया है कि सिस्टम में समय के दौरान डीटीएक अनुरोध प्राप्त हुआ। घटना बी इस तथ्य में शामिल है कि समय के दौरान डीटीएक अनुरोध दिया गया है। आयोजन लेकिन मैं , क- दौरान डीटीसिस्टम राज्य से जाएगा इ मैंएक राज्य में इ क. इसलिये मैंइनपुट प्रवाह की तीव्रता है, तो समय के दौरान डीटीऔसतन सिस्टम में प्रवेश करता है एल*डीटीआवश्यकताएं। यानी एक दावा मिलने की प्रायिकता पी (ए) =मैं* डीटी, और विपरीत घटना की संभावना (А)=1-एल*डीटी.पी (बी) =एफ(डीटी)= पी(बी< डी टी)=1- इ - एम डी टी = एम डीटी- समय पर अनुरोध को पूरा करने की संभावना डीटी. फिर ए 00 - आवेदन प्राप्त नहीं होगा या प्राप्त नहीं होगा, लेकिन परोसा जाएगा। ए 00 \u003d + ए * वी. आर 00 \u003d 1 - एल*डीटी. (हमने ध्यान में रखा कि (डीटी) 2 एक अनंत मूल्य है)

ए 01 - आवेदन प्राप्त होगा, लेकिन तामील नहीं किया जाएगा। ए 01 = ए * . आर 01 = एल*डीटी.

और 10 - आवेदन की तामील की जाएगी और कोई नया नहीं होगा। ए 10 \u003d बी * एक। आर 10 = एम*डीटी.

और 11 - आवेदन नहीं दिया जाएगा या एक नया आ जाएगा जो अभी तक परोसा नहीं गया है। ए 11 = +वी * ए. आर 01 = 1- एम*डीटी.

इस प्रकार, हम संक्रमण मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

कॉम्प.	ई 0	ई 1
ई 0	1-एल * डीटी	मैं * डीटी
ई 1	एम * डीटी	1-मीटर * डीटी

सिस्टम डाउनटाइम और विफलता की संभावना।

आइए अब इस प्रणाली के राज्य में होने की प्रायिकता ज्ञात करें इ 0 किसी भी समय टी(वे। आर 0 ( टी) ) फंक्शन ग्राफ
चित्र 3.2 में दिखाया गया है।

ग्राफ का स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है
.

जाहिर है, किसी बिंदु से टी,

1

चित्र 3.2

हम अंत में इसे प्राप्त करते हैं
तथा
, कहाँ पे आर 1 (टी) संभावना है कि समय पर टी सिस्टम व्यस्त है (अर्थात स्थिति में है इ 1 ).

यह स्पष्ट है कि क्यूएस ऑपरेशन की शुरुआत में, चल रही प्रक्रिया स्थिर नहीं होगी: यह एक "संक्रमणकालीन", गैर-स्थिर मोड होगा। कुछ समय बाद (जो इनपुट और आउटपुट प्रवाह की तीव्रता पर निर्भर करता है), यह प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी और सिस्टम एक स्थिर, स्थिर संचालन की स्थिति में बदल जाएगा, और संभाव्य विशेषताएं अब समय पर निर्भर नहीं होंगी।

स्थिर संचालन मोड और सिस्टम लोड फैक्टर।

यदि सिस्टम के किसी राज्य में होने की प्रायिकता इ क, अर्थात। आर क (टी), समय पर निर्भर नहीं करता टी, तो वे कहते हैं कि QS ने स्थापित किया है स्थिर मोडकाम। उसी समय, मूल्य
बुलाया सिस्टम लोड फैक्टर(या अनुप्रयोगों के प्रवाह की कम घनत्व)। फिर संभावनाओं के लिए आर 0 (टी) तथा आर 1 (टी) हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:
,
. आप यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं: सिस्टम लोड फैक्टर जितना अधिक होगा, सिस्टम के विफल होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी (यानी, सिस्टम के व्यस्त होने की संभावना)।

कार वॉश में मेंटेनेंस के लिए एक यूनिट होती है। पॉसों वितरण में कारें 5 कारों/घंटा की दर से पहुंचती हैं। एक कार के लिए औसत सेवा समय 10 मिनट है। यदि QS स्थिर मोड में है, तो आने वाली कार के सिस्टम में व्यस्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।कार्य के अनुसार, मैं=5, एम आप = 5/6। हमें संभावना खोजने की जरूरत है आर 1 सिस्टम फेल होने की संभावना है।
.

3.4.2 असीमित कतार लंबाई के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।

हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जो आवश्यकताओं को पूरा करती हैं: (Р/Е/1):(d/¥/¥)। सिस्टम किसी एक राज्य में हो सकता है इ 0 , …, इ क, ... विश्लेषण से पता चलता है कि कुछ समय बाद ऐसी प्रणाली एक स्थिर मोड में काम करना शुरू कर देती है यदि आउटपुट प्रवाह की तीव्रता इनपुट प्रवाह की तीव्रता से अधिक हो जाती है (यानी, सिस्टम लोड फैक्टर एक से कम है)। इस स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

जिसका समाधान हम पाते हैं। इस प्रकार, बशर्ते कि आप<1, получим
आखिरकार,
तथा
QS के राज्य में होने की प्रायिकता है इ कएक यादृच्छिक समय पर।

प्रणाली की औसत विशेषताएं।

सिस्टम में आवश्यकताओं की असमान प्राप्ति और सेवा समय में उतार-चढ़ाव के कारण, सिस्टम में एक कतार बन जाती है। ऐसी प्रणाली के लिए, आप एक्सप्लोर कर सकते हैं:

• एन - क्यूएस में आवश्यकताओं की संख्या (कतार में और सेवा में);
• वी - कतार की लंबाई;
• वू - सेवा शुरू प्रतीक्षा समय;
• वू 0 सिस्टम में बिताया गया कुल समय है।

हमें दिलचस्पी होगी औसत विशेषताएं(अर्थात, हम माने गए यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा लेते हैं, और याद रखें कि आप<1).

सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या है।

औसत कतार लंबाई है।

सेवा की शुरुआत के लिए औसत प्रतीक्षा समय है, अर्थात। लाइन में प्रतीक्षा समय।

- औसत समय जो एप्लिकेशन सिस्टम में खर्च करता है - कतार में और सेवा के लिए।

कार वॉश में सर्विस के लिए एक ब्लॉक होता है और कतार के लिए जगह होती है। पॉसों वितरण में कारें 5 कारों/घंटा की दर से पहुंचती हैं। एक कार के लिए औसत सेवा समय 10 मिनट है। सभी औसत क्यूएस विशेषताओं का पता लगाएं।

समाधान। मैं=5, एम=60मिनट/10मिनट = 6. लोड फैक्टर आप = 5/6। तब सिस्टम में कारों की औसत संख्या
, औसत कतार लंबाई
, सेवा शुरू होने का औसत प्रतीक्षा समय
घंटे = 50 मिनट, और अंत में सिस्टम में बिताया गया औसत समय
घंटा।

3.4.3 मिश्रित प्रकार के सिंगल-चैनल क्यूएस।

मान लीजिए कि कतार की लंबाई है एमआवश्यकताएं। फिर, किसी के लिए एस£ एम, राज्य में क्यूएस खोजने की संभावना इ 1+ एस, सूत्र द्वारा गणना की जाती है
, अर्थात। एक आवेदन दिया जा रहा है और दूसरा एसआवेदन कतार में हैं।

सिस्टम डाउनटाइम की संभावना है
,

और सिस्टम की विफलता की संभावना है
.

प्रत्येक के लिए तीन सिंगल-चैनल सिस्टम दिए गए हैं मैं=5, एम =6. लेकिन पहली प्रणाली विफलताओं के साथ है, दूसरी शुद्ध प्रतीक्षा के साथ है, और तीसरी सीमित कतार की लंबाई के साथ है, एम= 2. इन तीन प्रणालियों की डाउनटाइम संभावनाओं को खोजें और तुलना करें।

समाधान।सभी प्रणालियों के लिए लोड फैक्टर आप= 5/6। विफलताओं वाली प्रणाली के लिए
. शुद्ध अपेक्षा वाली प्रणाली के लिए
. सीमित कतार लंबाई वाले सिस्टम के लिए
. निष्कर्ष स्पष्ट है: जितने अधिक अनुप्रयोग कतार में होंगे, सिस्टम डाउनटाइम की संभावना उतनी ही कम होगी।

3.5 मल्टीचैनल क्यूएस।

3.5.1 मल्टीचैनल QS विफलताओं के साथ।

हम सिस्टम (Р/Е/s) पर विचार करेंगे:(-/s/¥) इस धारणा के तहत कि सेवा समय इनपुट स्ट्रीम पर निर्भर नहीं करता है और सभी लाइनें स्वतंत्र रूप से काम करती हैं। मल्टीचैनल सिस्टम, लोड फैक्टर के अलावा, गुणांक द्वारा भी विशेषता हो सकती है
, कहाँ पे एस- सेवा चैनलों की संख्या। मल्टीचैनल क्यूएस की खोज करते हुए, हम राज्य में सिस्टम की संभावना के लिए निम्नलिखित सूत्र (एरलांग सूत्र) प्राप्त करते हैं इ कयादृच्छिक समय पर:

, के = 0, 1, …

लागत कार्य।

सिंगल-चैनल सिस्टम की तरह, लोड फैक्टर में वृद्धि से सिस्टम के विफल होने की संभावना बढ़ जाती है। दूसरी ओर, सेवा लाइनों की संख्या में वृद्धि से सिस्टम या व्यक्तिगत चैनलों के डाउनटाइम की संभावना में वृद्धि होती है। इस प्रकार, इस QS के लिए सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या ज्ञात करना आवश्यक है। निःशुल्क सेवा लाइनों की औसत संख्या सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है
. आइए परिचय देते हैं सी ( एस) – लागत कार्यक्यूएस पर निर्भर करता है साथ 1 - एक इनकार की लागत (एक अधूरे आवेदन के लिए जुर्माना) और से साथ 2 - समय की प्रति यूनिट एक लाइन के डाउनटाइम की लागत।

इष्टतम विकल्प खोजने के लिए, आपको लागत फ़ंक्शन का न्यूनतम मूल्य (और यह किया जा सकता है) खोजने की आवश्यकता है: से(एस) = साथ 1* मैं * पी एस +सी 2*, जिसका ग्राफ चित्र 3.3 में दिखाया गया है:

चित्र 3.3

लागत फ़ंक्शन के न्यूनतम मूल्य की खोज यह है कि हम इसके मूल्यों को पहले पाते हैं एस = 1, फिर के लिए एस = 2, फिर के लिए एस = 3, आदि। जब तक किसी चरण में फ़ंक्शन का मान ( एस) पिछले वाले से बड़ा नहीं होगा। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुंच गया है और बढ़ना शुरू हो गया है। उत्तर सेवा चैनलों की संख्या है (मान .) एस) जिसके लिए लागत फलन न्यूनतम है।

उदाहरण .

कितनी सेवा लाइनों में विफलताओं के साथ QS होना चाहिए, यदि मैं\u003d 2reb / ​​घंटा, एम\u003d 1reb / ​​घंटा, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 7 हजार रूबल है, एक पंक्ति के लिए डाउनटाइम की लागत 2 हजार रूबल है। घंटे में?

समाधान। आप = 2/1=2. साथ 1 =7, साथ 2 =2.

आइए मान लें कि क्यूएस के दो सर्विस चैनल हैं, यानी। एस = 2. फिर
. फलस्वरूप, सी(2) = सी 1 *एल*पी 2 +सी 2 *(2- वाई*(1-आर 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

चलो दिखावा करते हैं कि एस =3. फिर
, सी(3) = सी 1 *एल*पी 3 +सी 2 *
=5.79.

आइए मान लें कि चार चैनल हैं, यानी। एस = 4। फिर
,
, सी(4) = सी 1 *एल*पी 4 +सी 2 *
=5.71.

आइए मान लें कि क्यूएस में पांच सर्विस चैनल हैं, यानी। एस =5. फिर
, सी(5) = 6.7 - पिछले मान से अधिक। इसलिए, सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या चार है।

3.5.2 क्यू के साथ मल्टी-चैनल क्यूएस।

हम सिस्टम (Р/Е/s) पर विचार करेंगे:(d/d+s/¥) इस धारणा के तहत कि सेवा समय इनपुट स्ट्रीम पर निर्भर नहीं करता है और सभी लाइनें स्वतंत्र रूप से संचालित होती हैं। हम कहेंगे कि सिस्टम स्थापित हो गया है स्थिर संचालन, यदि आने वाले दावों की औसत संख्या सिस्टम की सभी लाइनों पर दिए गए दावों की औसत संख्या से कम है, अर्थात। मैं

पी (डब्ल्यू> 0) सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा की संभावना है,
.

अंतिम विशेषता सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या निर्धारित करने की समस्या को हल करने की अनुमति देती है ताकि सेवा शुरू होने की प्रतीक्षा की संभावना किसी दिए गए संख्या से कम हो। ऐसा करने के लिए, यह क्रमिक रूप से उम्मीद की संभावना की गणना करने के लिए पर्याप्त है एस =1, एस =2, एस= 3 आदि

उदाहरण .

एसएमओ - एक छोटे से माइक्रोडिस्ट्रिक्ट का एम्बुलेंस स्टेशन। मैं=3 कॉल प्रति घंटा, और एम= एक टीम के लिए प्रति घंटे 4 कॉल। स्टेशन पर कितने चालक दल होने चाहिए ताकि बाहर निकलने की प्रतीक्षा की संभावना 0.01 से कम हो?

समाधान।सिस्टम लोड फैक्टर आप = 0.75। मान लें कि दो टीमें उपलब्ध हैं। आइए हम सेवा के शुरू होने की प्रतीक्षा की प्रायिकता ज्ञात करें एस =2.
,
.

मान लीजिए कि तीन ब्रिगेड हैं, यानी। एस=3. सूत्रों के अनुसार, हम पाते हैं कि आर 0 =8/17, पी(वू>0)=0.04>0.01 .

मान लीजिए कि स्टेशन पर चार क्रू हैं, यानी। एस= 4। तब हमें वह मिलता है आर 0 =416/881, पी(वू>0)=0.0077<0.01 . इसलिए स्टेशन पर चार ब्रिगेड होनी चाहिए।

3.6 आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1. कतार के सिद्धांत का विषय और कार्य।
2. क्यूएस, उनके मॉडल और पदनाम।
3. आवश्यकताएँ इनपुट स्ट्रीम। इनपुट स्ट्रीम की तीव्रता।
4. सिस्टम की स्थिति। संक्रमण का मैट्रिक्स और ग्राफ।
5. विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।
6. कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस। विशेषताएं।
7. संचालन का स्थिर तरीका। सिस्टम लोड फैक्टर
8. विफलताओं के साथ मल्टीचैनल क्यूएस।
9. लागत समारोह अनुकूलन।
10. एक कतार के साथ मल्टीचैनल क्यूएस। विशेषताएं।

3.7 स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. गैस स्टेशन के स्नैक बार में एक काउंटर है। पॉइसन वितरण के अनुसार कारें प्रति 5 मिनट में औसतन 2 कारों के साथ आती हैं। औसतन, 1.5 मिनट एक आदेश को पूरा करने के लिए पर्याप्त है, हालांकि सेवा की अवधि एक घातीय कानून के अनुसार वितरित की जाती है। खोजें: क) स्टाल के निष्क्रिय होने की प्रायिकता; बी) औसत प्रदर्शन; ग) आने वाली कारों की संख्या कम से कम 10 होने की संभावना है।
2. एक्स-रे मशीन आपको प्रति घंटे औसतन 7 लोगों की जांच करने की अनुमति देती है। आगंतुकों की तीव्रता प्रति घंटे 5 लोग हैं। स्थिर संचालन मानते हुए, औसत विशेषताओं का निर्धारण करें।
3. क्यूएस में सेवा समय एक घातीय कानून का पालन करता है,
   एम = प्रति घंटे 7 आवश्यकताएँ। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि a) सेवा समय 3 से 30 मिनट के बीच है; बी) दावा एक घंटे के भीतर परोसा जाएगा। फ़ंक्शन मान तालिका का उपयोग करें इ एक्स .
4. नदी बंदरगाह में एक बर्थ है, इनपुट प्रवाह की तीव्रता प्रति दिन 5 जहाजों है। लोडिंग और अनलोडिंग ऑपरेशन की तीव्रता प्रति दिन 6 जहाज है। संचालन के स्थिर मोड को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम की सभी औसत विशेषताओं का निर्धारण करें।
5. मैं=3, एम=2, प्रत्येक विफलता के लिए दंड 5 है, और डाउनटाइम लागत प्रति पंक्ति 2 है?
6. सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या क्या है जो एक QS के पास होनी चाहिए यदि मैं=3, एम = 1, प्रत्येक विफलता के लिए दंड 7 है, और डाउनटाइम लागत प्रति पंक्ति 3 है?
7. सेवा चैनलों की इष्टतम संख्या क्या है जो एक QS के पास होनी चाहिए यदि मैं=4, एम=2, प्रत्येक विफलता के लिए दंड 5 है, और डाउनटाइम लागत प्रति पंक्ति 1 है?
8. विमान के लिए रनवे की संख्या निर्धारित करें, इस आवश्यकता के अधीन कि प्रतीक्षा संभावना 0.05 से कम होनी चाहिए। इसी समय, इनपुट प्रवाह की तीव्रता 27 विमान प्रति दिन है, और उनकी सेवा की तीव्रता प्रति दिन 30 विमान है।
9. वर्क लय सुनिश्चित करने के लिए वर्कशॉप में कितनी समान स्वतंत्र कन्वेयर लाइनें होनी चाहिए, जिस पर उत्पादों के प्रसंस्करण की प्रतीक्षा की संभावना 0.03 से कम होनी चाहिए (प्रत्येक उत्पाद एक लाइन द्वारा निर्मित होता है)। यह ज्ञात है कि ऑर्डर प्राप्त करने की तीव्रता प्रति घंटे 30 उत्पाद है, और एक उत्पाद को एक पंक्ति में संसाधित करने की तीव्रता 36 उत्पाद प्रति घंटे है।
10. एक सतत यादृच्छिक चर X को पैरामीटर l=5 के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। वितरण फलन, विशेषताओं और r.v से टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। X 0.17 से 0.28 की सीमा में है।
11. एक मिनट में PBX पर आने वाली कॉलों की औसत संख्या 3 है। मान लें कि प्रवाह पॉइसन है, तो 2 मिनट में होने वाली प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) दो कॉल; बी) दो से कम कॉल; ग) कम से कम दो कॉल।
12. एक बॉक्स में 17 भाग हैं, जिनमें से 4 खराब हैं। असेंबलर यादृच्छिक रूप से 5 टुकड़े खींचता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि क) सभी निकाले गए भाग उच्च गुणवत्ता के हैं; बी) निकाले गए भागों में से 3 दोषपूर्ण हैं।
13. विफलताओं वाले QS में कितने चैनल होने चाहिए यदि मैं\u003d 2reb / ​​घंटा, एम\u003d 1reb / ​​घंटा, प्रत्येक विफलता के लिए जुर्माना 8 हजार रूबल है, एक पंक्ति के लिए डाउनटाइम की लागत 2 हजार रूबल है। घंटे में?

1. विफलताओं के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।

उदाहरण।मान लें कि विफलताओं वाला एकल-चैनल QS कार धोने के लिए एक दैनिक सर्विस स्टेशन (OD) का प्रतिनिधित्व करता है। आवेदन - एक कार जो उस समय पहुंची जब पोस्ट व्यस्त हो - सेवा से वंचित है।

वाहन प्रवाह दर = 1.0 (वाहन प्रति घंटा)।

औसत सेवा समय 1.8 घंटे है।

कार प्रवाह और सेवा प्रवाह सबसे सरल हैं।

परिभाषित करने के लिए आवश्यकस्थिर अवस्था में सीमा मान:

सापेक्ष बैंडविड्थ क्यू;

निरपेक्ष बैंडविड्थ लेकिन ;

विफलता की संभावनाएं पी खुला.

तुलना करने की जरूरत है वास्तविकक्यूएस थ्रूपुट के साथ नाममात्र, जो तब होगा जब प्रत्येक कार को ठीक 1.8 घंटे की सेवा दी जाए और कारों को एक के बाद एक बिना ब्रेक के पीछा किया जाए।

2. प्रतीक्षा के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

सिस्टम विशेषता

एसएमओ का एक चैनल है।

सेवा के लिए अनुरोधों का आने वाला प्रवाह तीव्रता के साथ सबसे सरल प्रवाह है।

सेवा प्रवाह की तीव्रता मी के बराबर है (अर्थात, औसतन, एक निरंतर व्यस्त चैनल मी सेवित अनुरोध जारी करेगा)।

सेवा की अवधि एक घातांकीय वितरण कानून के अधीन एक यादृच्छिक चर है।

सेवा प्रवाह घटनाओं का सबसे सरल पॉइसन प्रवाह है।

अनुरोध, उस समय प्राप्त होता है जब चैनल व्यस्त होता है, कतार में लग जाता है और सेवा की प्रतीक्षा करता है।

राज्य ग्राफ

क्यूएस राज्यों की निम्नलिखित व्याख्या है:

एस 0 - "चैनल मुफ़्त है";

एस 1 - "चैनल व्यस्त है" (कोई कतार नहीं है);

एस 2 - "चैनल व्यस्त है" (एक आवेदन कतार में है);

…………………………………………………….

एस.एन.- "चैनल व्यस्त है" ( एन-1 आवेदन कतार में हैं);

एस.एन.- "चैनल व्यस्त है" ( एन- 1 आवेदन कतार में हैं)।

इस प्रणाली में स्थिर प्रक्रिया को बीजीय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है:

समीकरणों की प्रणाली का हल है:

3. सीमित कतार के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस।

कतार की लंबाई :( एन - 1)

सिस्टम विशेषताएं:

1. सिस्टम को सेवा से वंचित करने की संभावना:

2. सिस्टम के सापेक्ष थ्रूपुट:

3. सिस्टम का निरपेक्ष थ्रूपुट:

4. सिस्टम में आवेदनों की औसत संख्या:

5. सिस्टम में एक आवेदन का औसत निवास समय:

6. कतार में ग्राहक (आवेदन) के ठहरने की औसत अवधि:

7. कतार में आवेदनों की औसत संख्या (क्लाइंट) (कतार की लंबाई):

उदाहरण।

एक विशिष्ट नैदानिक ​​पोस्ट एकल-चैनल QS है।

निदान की प्रतीक्षा कर रही कारों के लिए पार्किंग स्थल की संख्या सीमित है और 3 के बराबर है [( एन- 1) = 3]। यदि सभी पार्किंग स्थल पर कब्जा कर लिया गया है, यानी कतार में पहले से ही तीन कारें हैं, तो निदान के लिए आने वाली अगली कार सेवा कतार में नहीं आती है।

निदान के लिए आने वाली कारों का प्रवाह पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है और इसकी तीव्रता 0.85 (कार प्रति घंटा) होती है।

कार डायग्नोस्टिक्स का समय घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और औसतन 1.05 घंटे के बराबर होता है।

4. प्रतीक्षा के साथ सिंगल-चैनल क्यूएस

कोई कतार लंबाई सीमा नहीं

क्यूएस के कामकाज की शर्तें अपरिवर्तित रहती हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि एन।

ऐसे क्यूएस के संचालन का स्थिर तरीका मौजूद है:

किसी के लिए भी एन= 0, 1, 2, ... और कब λ < μ .

QS के संचालन का वर्णन करने वाले समीकरणों की प्रणाली:

समीकरणों की प्रणाली के समाधान का रूप है:

2. सिस्टम में क्लाइंट के ठहरने की औसत अवधि:

3. सेवा कतार में ग्राहकों की औसत संख्या:

4. कतार में ग्राहक के रहने की औसत अवधि:

उदाहरण।

एक विशिष्ट नैदानिक ​​पोस्ट एकल-चैनल QS है। निदान की प्रतीक्षा कर रही कारों के लिए पार्किंग की संख्या सीमित नहीं है। निदान के लिए आने वाली कारों का प्रवाह पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और इसकी तीव्रता λ = 0.85 (कार प्रति घंटा) होती है। कार डायग्नोस्टिक्स का समय घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है और औसतन 1.05 घंटे के बराबर होता है।

एक स्थिर मोड में काम कर रहे नैदानिक ​​पोस्ट की संभाव्य विशेषताओं को निर्धारित करना आवश्यक है।

समस्या को हल करने के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित संभाव्य विशेषताओं के अंतिम मूल्यों को निर्धारित करना आवश्यक है:

ü सिस्टम स्टेट्स की संभावनाएं (नैदानिक ​​पोस्ट);

ü सिस्टम में कारों की औसत संख्या (सेवा में और कतार में);

ü सिस्टम में कार के ठहरने की औसत अवधि (सेवा में और कतार में);

ü सेवा कतार में कारों की औसत संख्या;

एक कार कतार में लगने वाला औसत समय।

1. सेवा प्रवाह का पैरामीटर और कार प्रवाह की कम तीव्रता:

μ = 0.952; = 0.893।

2. सिस्टम की स्थिति की सीमित संभावनाएं:

पी 0 (टी) उस समय के अनुपात को निर्धारित करता है जिसके दौरान नैदानिक ​​​​पोस्ट को निष्क्रिय (निष्क्रिय) होने के लिए मजबूर किया जाता है। उदाहरण में, यह अनुपात 10.7% है, क्योंकि पी 0 (टी) = 0,107.

3. सिस्टम में कारों की औसत संख्या

(सेवा में और लाइन में):

4. सिस्टम में क्लाइंट के ठहरने की औसत अवधि

5. सेवा कतार में कारों की औसत संख्या:

6. कतार में कार के ठहरने की औसत अवधि:

7. सिस्टम के सापेक्ष थ्रूपुट:

क्यू= 1, यानी, सिस्टम में प्रवेश करने वाले प्रत्येक अनुरोध को सेवित किया जाएगा।

8. पूर्ण बैंडविड्थ:

सामग्री का प्रस्तुतिकरण डिज़ाइन "TMO" फ़ाइल में प्रस्तुत किया गया है

प्रश्न और कार्य

(अफानासेव एम.यू के अनुसार।)

प्रश्न 1।एक कार्यकर्ता तीस करघों का रखरखाव करता है, यह सुनिश्चित करता है कि वे धागे के टूटने के बाद शुरू हों। इस तरह की कतार प्रणाली के मॉडल की विशेषता इस प्रकार हो सकती है:

1) सीमित आबादी के साथ बहु-चैनल एकल-चरण;

2) असीमित आबादी के साथ एकल-चैनल एकल-चरण;

3) सीमित आबादी के साथ सिंगल-चैनल मल्टीफ़ेज़;

4) सीमित आबादी के साथ एकल-चैनल एकल-चरण;

5) असीमित आबादी के साथ मल्टी-चैनल सिंगल-फेज।

प्रश्न 2।कतार के सिद्धांत में, सिस्टम के इनपुट पर आने वाले अनुरोधों के सबसे सरल प्रवाह का वर्णन करने के लिए, संभाव्यता वितरण का उपयोग किया जाता है:

1) सामान्य;

2) घातीय;

3) पॉइसन;

4) द्विपद;

प्रश्न 3।कतारबद्ध सिद्धांत में, यह माना जाता है कि जनसंख्या में ग्राहकों की संख्या है:

1) निश्चित या परिवर्तनशील;

2) सीमित या असीमित;

3) ज्ञात या अज्ञात;

4) यादृच्छिक या नियतात्मक;

5) उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 4.कतार प्रणाली के विन्यास को निर्धारित करने वाले दो मुख्य पैरामीटर हैं:

1) प्राप्ति की दर और सेवा की दर;

2) कतार की लंबाई और सेवा नियम;

3) अनुप्रयोगों और सेवा समय के वितरण के बीच समय का वितरण;

4) चैनलों की संख्या और सेवा चरणों की संख्या;

5) उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 5.कतारबद्ध सिद्धांत में, एक संभाव्यता वितरण आमतौर पर सर्विसिंग अनुरोधों पर खर्च किए गए समय का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है:

1) सामान्य;

2) घातीय;

3) पॉइसन;

4) द्विपद;

5) उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है।

प्रश्न 6.अर्थशास्त्र संकाय में टूटे हुए कंप्यूटरों की मरम्मत एक साथ और स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तीन विशेषज्ञों द्वारा की जाती है। इस तरह की कतार प्रणाली के मॉडल की विशेषता इस प्रकार हो सकती है:

1) सीमित आबादी के साथ बहु-चैनल;

2) असीमित आबादी वाला एकल चैनल;

3) सीमित आबादी वाला एकल चैनल;

4) सीमित कतार के साथ एकल-चैनल;

5) असीमित आबादी वाला मल्टीचैनल।

सवालों के जवाब: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

नेटवर्क योजना और प्रबंधन

नेटवर्क प्लानिंग एंड मैनेजमेंट सिस्टम (एसपीयू) एक विशेष प्रकार की संगठित प्रबंधन प्रणाली है जिसे टीमों की उत्पादन गतिविधियों को विनियमित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इस वर्ग की अन्य प्रणालियों की तरह, एसटीसी सिस्टम में "नियंत्रण की वस्तु" उन कलाकारों की एक टीम है जिनके पास कुछ संसाधन हैं: मानव, सामग्री, वित्तीय। हालाँकि, इन प्रणालियों में कई विशेषताएं हैं, क्योंकि उनका कार्यप्रणाली आधार संचालन अनुसंधान के तरीके, निर्देशित ग्राफ़ का सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी के कुछ खंड हैं। योजना और प्रबंधन प्रणाली की एक आवश्यक संपत्ति भी वर्तमान स्थिति का आकलन करने, काम के आगे के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करने की क्षमता है और इस प्रकार तैयारी और उत्पादन के पाठ्यक्रम को प्रभावित करती है ताकि काम की पूरी श्रृंखला समय पर और सबसे कम लागत पर पूरी हो सके। .

वर्तमान में, एसटीसी मॉडल और विधियों का व्यापक रूप से निर्माण और स्थापना कार्यों की योजना और कार्यान्वयन, व्यापारिक गतिविधियों की योजना बनाने, लेखा रिपोर्ट संकलित करने, व्यापार और वित्तीय योजना विकसित करने आदि में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एसपीएम के आवेदन की सीमा बहुत व्यापक है: व्यक्तियों की गतिविधियों से संबंधित कार्यों से, सैकड़ों संगठनों और हजारों लोगों को शामिल करने वाली परियोजनाओं तक (उदाहरण के लिए, एक बड़े क्षेत्रीय-औद्योगिक परिसर का विकास और निर्माण)।

बड़ी और जटिल परियोजनाओं के कार्यान्वयन के लिए एक कार्य योजना तैयार करने के लिए, जिसमें हजारों अलग-अलग अध्ययन और संचालन शामिल हैं, कुछ गणितीय मॉडल का उपयोग करके इसका वर्णन करना आवश्यक है। परियोजनाओं (परिसरों) का वर्णन करने के लिए ऐसा उपकरण एक नेटवर्क मॉडल है।