विचरण का विश्लेषण लागू किया जाता है. विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण

भिन्नता का विश्लेषण

1. विचरण के विश्लेषण की अवधारणा

भिन्नता का विश्लेषणकिसी भी नियंत्रित परिवर्तनशील कारकों के प्रभाव में किसी गुण की परिवर्तनशीलता का विश्लेषण है। विदेशी साहित्य में, विचरण के विश्लेषण को अक्सर एनोवा के रूप में जाना जाता है, जिसका अनुवाद परिवर्तनशीलता के विश्लेषण (एनालिसिस ऑफ वेरिएंस) के रूप में किया जाता है।

एनोवा समस्याकिसी गुण की सामान्य परिवर्तनशीलता से भिन्न प्रकार की परिवर्तनशीलता को अलग करना शामिल है:

ए) अध्ययन के तहत प्रत्येक स्वतंत्र चर की कार्रवाई के कारण परिवर्तनशीलता;

बी) अध्ययन किए जा रहे स्वतंत्र चरों की परस्पर क्रिया के कारण परिवर्तनशीलता;

ग) अन्य सभी अज्ञात चरों के कारण यादृच्छिक परिवर्तनशीलता।

अध्ययन के तहत चर की कार्रवाई और उनकी बातचीत के कारण परिवर्तनशीलता यादृच्छिक परिवर्तनशीलता के साथ सहसंबद्ध है। इस संबंध का एक संकेतक फिशर का एफ परीक्षण है।

एफ मानदंड की गणना के सूत्र में भिन्नताओं का अनुमान शामिल है, यानी, विशेषता के वितरण पैरामीटर, इसलिए एफ मानदंड एक पैरामीट्रिक मानदंड है।

किसी गुण की परिवर्तनशीलता अध्ययनाधीन चरों (कारकों) या उनकी अंतःक्रिया के कारण जितनी अधिक होगी, उतनी ही अधिक होगी अनुभवजन्य मानदंड मान.

शून्य विचरण के विश्लेषण में परिकल्पना बताएगी कि अध्ययन की गई प्रभावी विशेषता के औसत मूल्य सभी ग्रेडेशन में समान हैं।

विकल्प परिकल्पना बताएगी कि अध्ययन के तहत कारक के विभिन्न ग्रेडेशन में परिणामी विशेषता के औसत मूल्य अलग-अलग हैं।

विचरण का विश्लेषण हमें किसी विशेषता में परिवर्तन बताने की अनुमति देता है, लेकिन संकेत नहीं देता है दिशायह परिवर्तन।

आइए विचरण विश्लेषण पर अपना विचार सबसे सरल मामले से शुरू करें, जब हम केवल की क्रिया का अध्ययन करते हैं एकपरिवर्तनशील (एक कारक)।

2. असंबंधित नमूनों के लिए विचरण का एकतरफा विश्लेषण

2.1. विधि का उद्देश्य

विचरण के एक-कारक विश्लेषण की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां किसी कारक की बदलती परिस्थितियों या उन्नयन के प्रभाव में एक प्रभावी विशेषता में परिवर्तन का अध्ययन किया जाता है। विधि के इस संस्करण में, कारक के प्रत्येक ग्रेडेशन का प्रभाव होता है अलगविषयों के नमूने. कारक के कम से कम तीन ग्रेडेशन होने चाहिए। (दो ग्रेडेशन हो सकते हैं, लेकिन इस मामले में हम नॉनलाइनियर निर्भरता स्थापित नहीं कर पाएंगे और सरल निर्भरता का उपयोग करना अधिक उचित लगता है)।

इस प्रकार के विश्लेषण का एक गैर-पैरामीट्रिक संस्करण क्रुस्कल-वालिस एच परीक्षण है।

परिकल्पना

एच 0: कारक ग्रेड (विभिन्न स्थितियों) के बीच अंतर प्रत्येक समूह के भीतर यादृच्छिक अंतर से अधिक नहीं है।

एच 1: कारक ग्रेड (विभिन्न स्थितियों) के बीच अंतर प्रत्येक समूह के भीतर यादृच्छिक अंतर से अधिक है।

2.2. असंबंधित नमूनों के लिए भिन्नता के एक-तरफ़ा विश्लेषण की सीमाएँ

1. विचरण के एक-तरफ़ा विश्लेषण के लिए कारक के कम से कम तीन ग्रेडेशन और प्रत्येक ग्रेडेशन में कम से कम दो विषयों की आवश्यकता होती है।

2. परिणामी विशेषता को अध्ययन के तहत नमूने में सामान्य रूप से वितरित किया जाना चाहिए।

सच है, आमतौर पर यह संकेत नहीं दिया जाता है कि क्या हम संपूर्ण सर्वेक्षण किए गए नमूने में विशेषता के वितरण के बारे में बात कर रहे हैं या उसके उस हिस्से में जो फैलाव परिसर बनाता है।

3. उदाहरण का उपयोग करके असंबद्ध नमूनों के लिए भिन्नता के एक-तरफ़ा विश्लेषण की विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण:

छह विषयों के तीन अलग-अलग समूहों को दस-दस शब्दों की सूचियाँ दी गईं। पहले समूह को शब्द कम गति पर प्रस्तुत किए गए - प्रति 5 सेकंड में 1 शब्द, दूसरे समूह को औसत गति पर - 1 शब्द प्रति 2 सेकंड, और तीसरे समूह को उच्च गति पर - 1 शब्द प्रति सेकंड। अनुमान लगाया गया था कि पुनरुत्पादन प्रदर्शन शब्द प्रस्तुति की गति पर निर्भर करेगा। परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 1.

पुनरुत्पादित शब्दों की संख्या तालिका नंबर एक

विषय क्रमांक	धीमी गति	औसत गति	उच्च गति
कुल राशि

एच 0: शब्द उत्पादन अवधि में अंतर बीच मेंसमूह यादृच्छिक मतभेदों से अधिक स्पष्ट नहीं हैं अंदरप्रत्येक समूह।

एच1: शब्द उत्पादन मात्रा में अंतर बीच मेंसमूह यादृच्छिक अंतरों की तुलना में अधिक स्पष्ट होते हैं अंदरप्रत्येक समूह। तालिका में प्रस्तुत प्रयोगात्मक मूल्यों का उपयोग करना। 1, हम कुछ मान स्थापित करेंगे जो एफ मानदंड की गणना के लिए आवश्यक होंगे।

विचरण के एक-तरफ़ा विश्लेषण के लिए मुख्य मात्राओं की गणना तालिका में प्रस्तुत की गई है:

तालिका 2

टेबल तीन

असंबद्ध नमूनों के लिए विचरण के एक-तरफ़ा विश्लेषण में संचालन का अनुक्रम

अक्सर इस और बाद की तालिकाओं में पाया जाता है, पदनाम एसएस "वर्गों के योग" का संक्षिप्त रूप है। इस संक्षिप्त नाम का प्रयोग अक्सर अनुवादित स्रोतों में किया जाता है।

एसएस तथ्यअध्ययन के तहत कारक की कार्रवाई के कारण विशेषता की परिवर्तनशीलता का मतलब है;

एसएस आम तौर पर- विशेषता की सामान्य परिवर्तनशीलता;

एस सीए।-बेहिसाब कारकों के कारण परिवर्तनशीलता, "यादृच्छिक" या "अवशिष्ट" परिवर्तनशीलता।

एमएस- "माध्य वर्ग", या वर्गों के योग की गणितीय अपेक्षा, संबंधित एसएस का औसत मूल्य।

डीएफ - स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, जिसे गैर-पैरामीट्रिक मानदंडों पर विचार करते समय, हम ग्रीक अक्षर द्वारा निरूपित करते हैं वी.

निष्कर्ष: एच 0 को अस्वीकार कर दिया गया है। एच 1 स्वीकृत है. समूहों के बीच शब्द स्मरण में अंतर प्रत्येक समूह के भीतर यादृच्छिक अंतर से अधिक था (α=0.05)। इसलिए, शब्दों की प्रस्तुति की गति उनके पुनरुत्पादन की मात्रा को प्रभावित करती है।

एक्सेल में समस्या को हल करने का एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है:

आरंभिक डेटा:

कमांड का उपयोग करते हुए: टूल्स->डेटा विश्लेषण->वन-वे एनोवा, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, फैलाव विधि सांख्यिकीय समूहों से निकटता से संबंधित है और मानती है कि अध्ययन के तहत जनसंख्या को कारक विशेषताओं के अनुसार समूहों में विभाजित किया गया है, जिसके प्रभाव का अध्ययन किया जाना चाहिए।

विचरण विश्लेषण के आधार पर, निम्नलिखित का उत्पादन किया जाता है:

1. एक या कई कारक विशेषताओं के लिए समूह में अंतर की विश्वसनीयता का आकलन;

2. कारक अंतःक्रियाओं की विश्वसनीयता का आकलन करना;

3. साधनों के जोड़े के बीच आंशिक अंतर का आकलन।

विचरण विश्लेषण का अनुप्रयोग किसी विशेषता के विचरणों (विविधताओं) को घटकों में विघटित करने के नियम पर आधारित है।

समूहीकरण के दौरान परिणामी विशेषता की कुल भिन्नता डी को निम्नलिखित घटकों में विघटित किया जा सकता है:

1. आपस में समूह बनानाडी एम एक समूहीकरण विशेषता से जुड़ा हुआ है;

2. अवशिष्ट के लिए(इंट्रा-ग्रुप) डी बी समूहीकरण विशेषता से संबंधित नहीं है।

इन संकेतकों के बीच संबंध इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

डी ओ = डी एम + डी इन। (1.30)

आइए एक उदाहरण के साथ विचरण विश्लेषण के उपयोग को देखें।

मान लीजिए कि आप यह साबित करना चाहते हैं कि क्या बुआई की तारीखें गेहूं की पैदावार को प्रभावित करती हैं। विचरण के विश्लेषण के लिए प्रारंभिक प्रयोगात्मक डेटा तालिका में प्रस्तुत किया गया है। 8.

तालिका 8

इस उदाहरण में, एन = 32, के = 4, एल = 8।

आइए हम उपज में कुल भिन्नता का निर्धारण करें, जो समग्र औसत से किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का योग है:

जहाँ N जनसंख्या इकाइयों की संख्या है; वाई आई - व्यक्तिगत उपज मूल्य; Yo संपूर्ण जनसंख्या के लिए कुल औसत उपज है।

अंतरसमूह कुल भिन्नता को निर्धारित करने के लिए, जो अध्ययन किए जा रहे कारक के कारण प्रभावी विशेषता की भिन्नता निर्धारित करता है, प्रत्येक समूह के लिए प्रभावी विशेषता के औसत मूल्यों को जानना आवश्यक है। यह कुल भिन्नता विशेषता के समग्र औसत मूल्य से समूह औसत के वर्ग विचलन के योग के बराबर है, प्रत्येक समूह में जनसंख्या इकाइयों की संख्या द्वारा भारित:

समूह के भीतर कुल भिन्नता प्रत्येक समूह के लिए समूह औसत से किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन के योग के बराबर होती है, जो जनसंख्या में सभी समूहों के योग के बराबर होती है।

परिणामी विशेषता पर एक कारक का प्रभाव डीएम और डीवी के बीच संबंध में प्रकट होता है: अध्ययन की जा रही विशेषता के मूल्य पर कारक का प्रभाव जितना मजबूत होगा, डीएम उतना ही अधिक और डीवी उतना ही कम होगा।

विचरण का विश्लेषण करने के लिए, किसी विशेषता में भिन्नता के स्रोत, स्रोत द्वारा भिन्नता की मात्रा, और भिन्नता के प्रत्येक घटक के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या निर्धारित करना आवश्यक है।

भिन्नता की मात्रा पहले ही स्थापित हो चुकी है; अब भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या निर्धारित करना आवश्यक है। स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के उसके औसत मूल्य से स्वतंत्र विचलन की संख्या है। एनोवा में वर्ग विचलन के कुल योग के अनुरूप स्वतंत्रता की डिग्री की कुल संख्या, भिन्नता के घटकों में विघटित हो जाती है। इस प्रकार, वर्ग विचलन डी ओ का कुल योग एन - 1 = 31 के बराबर भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से मेल खाता है। समूह भिन्नता डी एम, के - 1 के बराबर भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से मेल खाती है = 3. इंट्राग्रुप अवशिष्ट भिन्नता एन - के = 28 के बराबर भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से मेल खाती है।

अब, वर्ग विचलनों का योग और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या जानकर, हम प्रत्येक घटक के लिए भिन्नताएं निर्धारित कर सकते हैं। आइए हम इन भिन्नताओं को निरूपित करें: d m - समूह और d in - इंट्राग्रुप।

इन भिन्नताओं की गणना करने के बाद, हम परिणामी विशेषता पर कारक के प्रभाव के महत्व को स्थापित करने के लिए आगे बढ़ेंगे। ऐसा करने के लिए, हम अनुपात पाते हैं: d M / d B = F f,

मात्रा एफ एफ, कहलाती है फिशर मानदंड , तालिका, एफ तालिका के साथ तुलना में। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि एफ एफ > एफ तालिका, तो प्रभावी विशेषता पर कारक का प्रभाव सिद्ध हो चुका है। यदि एफ एफ< F табл то можно утверждать, что различие между дисперсиями находится в пределах возможных случайных колебаний и, следовательно, не доказывает с достаточной вероятностью влияние изучаемого фактора.

सैद्धांतिक मूल्य संभाव्यता से जुड़ा हुआ है, और तालिका में इसका मूल्य निर्णय की संभाव्यता के एक निश्चित स्तर पर दिया गया है। परिशिष्ट में एक तालिका है जो आपको निर्णय की संभावना के लिए संभावित एफ मान निर्धारित करने की अनुमति देती है, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला: "शून्य परिकल्पना" का संभाव्यता स्तर 0.05 है। "शून्य परिकल्पना" संभावनाओं के बजाय, तालिका को कारक के प्रभाव के महत्व की 0.95 की संभावना के लिए तालिका कहा जा सकता है। संभाव्यता स्तर को बढ़ाने के लिए तुलना के लिए तालिका के उच्च F मान की आवश्यकता होती है।

एफ तालिका का मान तुलना की जा रही दो विचरणों की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या पर भी निर्भर करता है। यदि स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या अनंत की ओर प्रवृत्त होती है, तो तालिका F एक की ओर प्रवृत्त होती है।

एफ तालिका मानों की तालिका इस प्रकार बनाई गई है: तालिका के कॉलम बड़े फैलाव के लिए भिन्नता की स्वतंत्रता की डिग्री दर्शाते हैं, और पंक्तियाँ छोटे (समूह के भीतर) फैलाव के लिए स्वतंत्रता की डिग्री दर्शाती हैं। F का मान भिन्नता की स्वतंत्रता की संगत डिग्री के स्तंभ और पंक्ति के प्रतिच्छेदन पर पाया जाता है।

तो, हमारे उदाहरण में, एफ एफ = 21.3/3.8 = 5.6। 0.95 की संभावना और स्वतंत्रता की डिग्री के लिए एफ तालिका का सारणीबद्ध मान क्रमशः 3 और 28 के बराबर है, एफ तालिका = 2.95।

प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त एफ एफ का मान 0.99 की संभावना के लिए भी सैद्धांतिक मान से अधिक है। नतीजतन, 0.99 से अधिक की संभावना वाला अनुभव उपज पर अध्ययन किए गए कारक के प्रभाव को साबित करता है, यानी अनुभव को विश्वसनीय, सिद्ध माना जा सकता है, और इसलिए बुवाई के समय का गेहूं की उपज पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है। इष्टतम बुआई अवधि 10 से 15 मई की अवधि मानी जानी चाहिए, क्योंकि इसी बुआई अवधि के दौरान सर्वोत्तम उपज परिणाम प्राप्त हुए थे।

हमने एक विशेषता के आधार पर समूहीकरण और समूह के भीतर प्रतिकृतियों को बेतरतीब ढंग से वितरित करते समय विचरण के विश्लेषण की विधि की जांच की। हालाँकि, अक्सर ऐसा होता है कि प्रायोगिक प्लॉट में मिट्टी की उर्वरता आदि में कुछ अंतर होता है। इसलिए, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है कि विकल्पों में से किसी एक के प्लॉट की बड़ी संख्या सबसे अच्छे हिस्से पर पड़ेगी, और इसके संकेतक अधिक अनुमानित होंगे, और दूसरे विकल्प का - सबसे खराब भाग से, और इस मामले में परिणाम स्वाभाविक रूप से बदतर होंगे, यानी कम करके आंका जाएगा।

प्रयोग से संबंधित नहीं होने वाले कारणों से होने वाली भिन्नता को बाहर करने के लिए, प्रतिकृति (ब्लॉक) से गणना की गई भिन्नता को समूह के भीतर (अवशिष्ट) भिन्नता से अलग करना आवश्यक है।

इस मामले में वर्ग विचलनों का कुल योग 3 घटकों में विभाजित है:

डी ओ = डी एम + डी दोहराव + डी आराम। (1.33)

हमारे उदाहरण के लिए, दोहराव के कारण वर्ग विचलन का योग बराबर होगा:

इसलिए, वर्ग विचलनों का वास्तविक यादृच्छिक योग इसके बराबर होगा:

डी रेस्ट = डी इन - डी रिपीट; डी शेष = 106 – 44 = 62.

अवशिष्ट फैलाव के लिए, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 28 - 7 = 21 के बराबर होगी। भिन्नता के विश्लेषण के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 9.

तालिका 9

चूंकि 0.95 की संभावना के लिए एफ-मानदंड का वास्तविक मान सारणीबद्ध से अधिक है, इसलिए गेहूं की उपज पर बुवाई की तारीखों और पुनरावृत्ति के प्रभाव को महत्वपूर्ण माना जाना चाहिए। किसी प्रयोग के निर्माण की सुविचारित विधि, जब साइट को प्रारंभिक रूप से अपेक्षाकृत संरेखित स्थितियों के साथ ब्लॉकों में विभाजित किया जाता है, और परीक्षण किए गए विकल्पों को ब्लॉक के भीतर यादृच्छिक क्रम में वितरित किया जाता है, यादृच्छिक ब्लॉकों की विधि कहलाती है।

विचरण के विश्लेषण का उपयोग करके, आप परिणाम पर न केवल एक कारक, बल्कि दो या अधिक के प्रभाव का अध्ययन कर सकते हैं। इस मामले में विचरण का विश्लेषण बुलाया जाएगा विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण .

दोतरफा एनोवा यह दो एकल-कारक वाले से भिन्न है निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दे सकते हैं:

1. 1दोनों कारकों का एक साथ क्या प्रभाव पड़ता है?

2. इन कारकों के संयोजन की क्या भूमिका है?

आइए प्रयोग के विचरण के विश्लेषण पर विचार करें, जिसमें न केवल बुवाई की तारीखों, बल्कि गेहूं की उपज पर किस्मों के प्रभाव की पहचान करना भी आवश्यक है (तालिका 10)।

तालिका 10. गेहूं की उपज पर बुआई की तारीखों और किस्मों के प्रभाव पर प्रायोगिक डेटा

समग्र औसत से व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का योग है।

बुआई के समय एवं किस्म के संयुक्त प्रभाव में भिन्नता

समग्र माध्य से उपसमूह माध्य के वर्ग विचलन का योग है, प्रतिकृति की संख्या से भारित, यानी 4 से।

केवल बुआई के समय के प्रभाव के आधार पर भिन्नता की गणना:

अवशिष्ट भिन्नता को कुल भिन्नता और अध्ययन किए गए कारकों के संयुक्त प्रभाव में भिन्नता के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

डी बाकी = डी ओ - डी पीएस = 170 - 96 = 74।

सभी गणनाओं को एक तालिका (तालिका 11) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

तालिका 11. विचरण के विश्लेषण के परिणाम

भिन्नता के विश्लेषण के नतीजे बताते हैं कि गेहूं की उपज पर अध्ययन किए गए कारकों, यानी, बुवाई का समय और विविधता का प्रभाव महत्वपूर्ण है, क्योंकि प्रत्येक कारक के लिए वास्तविक एफ-मानदंड संबंधित डिग्री के लिए पाए गए सारणीबद्ध मानदंडों से काफी अधिक है। स्वतंत्रता की, और साथ ही काफी उच्च संभावना के साथ (पी = 0.99)। इस मामले में कारकों के संयोजन का प्रभाव अनुपस्थित है, क्योंकि कारक एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

परिणाम पर तीन कारकों के प्रभाव का विश्लेषण दो कारकों के समान सिद्धांत के अनुसार किया जाता है, केवल इस मामले में कारकों के लिए तीन भिन्नताएं और कारकों के संयोजन के लिए चार भिन्नताएं होंगी। कारकों की संख्या में वृद्धि के साथ, गणना कार्य की मात्रा तेजी से बढ़ जाती है और इसके अलावा, प्रारंभिक जानकारी को एक संयोजन तालिका में व्यवस्थित करना मुश्किल हो जाता है। इसलिए, विचरण के विश्लेषण का उपयोग करके परिणाम पर कई कारकों के प्रभाव का अध्ययन करना शायद ही उचित है; छोटी संख्या लेना बेहतर है, लेकिन आर्थिक विश्लेषण के दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण कारकों को चुनें।

अक्सर शोधकर्ता को तथाकथित अनुपातहीन फैलाव परिसरों से निपटना पड़ता है, यानी जिनमें वेरिएंट की संख्या की आनुपातिकता नहीं देखी जाती है।

ऐसे परिसरों में, कारकों के कुल प्रभाव में भिन्नता कारकों के बीच भिन्नता और कारकों के संयोजन में भिन्नता के योग के बराबर नहीं होती है। आनुपातिकता के उल्लंघन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाले व्यक्तिगत कारकों के बीच कनेक्शन की डिग्री के आधार पर यह मात्रा में भिन्न होता है।

इस मामले में, प्रत्येक कारक के प्रभाव की डिग्री निर्धारित करने में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, क्योंकि व्यक्तिगत प्रभावों का योग कुल प्रभाव के बराबर नहीं होता है।

किसी एकल संरचना में अनुपातहीन कॉम्प्लेक्स को कम करने के तरीकों में से एक इसे आनुपातिक कॉम्प्लेक्स के साथ बदलना है, जिसमें समूहों पर आवृत्तियों का औसत होता है। जब ऐसा प्रतिस्थापन किया जाता है, तो समस्या को आनुपातिक परिसरों के सिद्धांतों के अनुसार हल किया जाता है।

भिन्नता का विश्लेषण -यह एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसे एक प्रयोग के परिणाम पर विभिन्न कारकों के प्रभाव का मूल्यांकन करने के साथ-साथ एक समान प्रयोग की बाद की योजना के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह विधि आपको मीट्रिक पैमाने पर मापी गई विशेषता पर कई (दो से अधिक) नमूनों की तुलना करने की अनुमति देती है। विचरण के विश्लेषण के लिए आम तौर पर स्वीकृत संक्षिप्त नाम एनोवा (अंग्रेजी एनालिसिस ऑफ वेरिएंस से) है।

विचरण विश्लेषण के निर्माता उत्कृष्ट अंग्रेजी शोधकर्ता रोनाल्ड फिशर हैं, जिन्होंने आधुनिक सांख्यिकी की नींव रखी।

इस विधि का मुख्य उद्देश्य साधनों के बीच अंतर के महत्व का अध्ययन करना है। यह अजीब लग सकता है कि साधनों की तुलना करने की प्रक्रिया को विचरण का विश्लेषण कहा जाता है। यह वास्तव में इसलिए है क्योंकि जब हम दो (या अधिक) समूहों के बीच के अंतर के सांख्यिकीय महत्व की जांच करते हैं, तो हम वास्तव में नमूना भिन्नताओं की तुलना (यानी, विश्लेषण) कर रहे होते हैं। शायद अधिक प्राकृतिक शब्द वर्गों के योग का विश्लेषण या भिन्नता का विश्लेषण होगा, लेकिन परंपरा के कारण, भिन्नता का विश्लेषण शब्द का उपयोग किया जाता है।

वे चर जिनका मान किसी प्रयोग के दौरान माप द्वारा निर्धारित किया जाता है (उदाहरण के लिए, एक परीक्षण स्कोर) कहलाते हैं आश्रितचर। वे चर जिन्हें किसी प्रयोग में नियंत्रित किया जा सकता है (जैसे शिक्षण विधियाँ या अन्य मानदंड जो अवलोकनों को समूहों में विभाजित करने या वर्गीकृत करने की अनुमति देते हैं) कहलाते हैं कारकोंया स्वतंत्र प्रभावित करने वाली वस्तुएँ।

उन कारकों की संख्या के आधार पर जिनके प्रभाव का अध्ययन किया जाता है, विचरण के एकल-कारक और बहुकारक विश्लेषण के बीच अंतर किया जाता है। हम विचरण के एकतरफ़ा विश्लेषण पर विचार करेंगे।

विचरण के विश्लेषण की बुनियादी धारणाएँ:

• 1) प्रत्येक कारक समूह के लिए आश्रित चर का वितरण सामान्य कानून से मेल खाता है (इस धारणा का उल्लंघन, जैसा कि कई अध्ययनों से पता चला है, विचरण के विश्लेषण के परिणामों पर महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं पड़ता है);
• 2) कारक के विभिन्न ग्रेडेशन के अनुरूप नमूनों के भिन्नताएं एक-दूसरे के बराबर होती हैं (यदि तुलना किए गए नमूने आकार में भिन्न होते हैं तो भिन्नता के विश्लेषण के परिणामों के लिए यह धारणा आवश्यक है);
• 3) कारक ग्रेडेशन के अनुरूप नमूने स्वतंत्र होने चाहिए (किसी भी मामले में इस धारणा की पूर्ति अनिवार्य है)। स्वतंत्र नमूने वे नमूने होते हैं जिनमें अध्ययन के विषयों को एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से भर्ती किया गया था, अर्थात, एक नमूने में किसी भी विषय के चयन की संभावना दूसरे नमूने में किसी भी विषय के चयन पर निर्भर नहीं करती है। इसके विपरीत, आश्रित नमूनों की विशेषता इस तथ्य से होती है कि एक नमूने का प्रत्येक विषय दूसरे नमूने के एक विषय द्वारा एक निश्चित मानदंड के अनुसार मेल खाता है (आश्रित नमूनों का एक विशिष्ट उदाहरण पहले और बाद में एक ही नमूने पर एक संपत्ति का माप है) प्रक्रिया। इस मामले में, नमूने निर्भर हैं क्योंकि वे एक ही विषय से बने हैं। आश्रित नमूनों का एक और उदाहरण: पति एक नमूना हैं, उनकी पत्नियाँ एक और नमूना हैं)।

विचरण का विश्लेषण करने के लिए एल्गोरिदम:

• 1. हमने एक परिकल्पना सामने रखी एच 0- परिणाम पर समूहीकरण कारक का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
• 2. अंतरसमूह (फैक्टोरियल) और इंट्राग्रुप (अवशिष्ट) प्रसरण खोजें (वें fttऔर Docm).
• 3. फिशर-स्नेडेकोर मानदंड के देखे गए मान की गणना करें:

4. फिशर-स्नेडेकोर वितरण के महत्वपूर्ण बिंदुओं की तालिका का उपयोग करके या मानक एमएस एक्सेल फ़ंक्शन "ERASPOBR" का उपयोग करके हम पाते हैं

कहाँ: ए- महत्व का निर्दिष्ट स्तर, के एक्सऔर से 2- क्रमशः कारक और अवशिष्ट फैलाव की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या।

5. यदि एफ हा6जी> एफ के.पी, तो परिकल्पना I 0 अस्वीकृत हो जाती है। इसका मतलब यह है कि परिणाम पर समूह कारक का प्रभाव होता है।

अगर FHa6jlएफ के.पी, तो परिकल्पना #0 स्वीकृत की जाती है। इसका मतलब यह है कि परिणाम पर समूहीकरण कारक का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

इस प्रकार, विचरण का विश्लेषण यह निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि क्या किसी निश्चित कारक का महत्वपूर्ण प्रभाव है एफ, जो है आरस्तर: एफएक्स, एफ 2 ,..., एफपी, अध्ययन किए जा रहे मूल्य के लिए।

• गमुरमन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत। पी. 467.

वेरिएंस विश्लेषण सांख्यिकीय विधियों का एक सेट है जिसे कुछ विशेषताओं और अध्ययन किए गए कारकों के बीच संबंधों के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनका कोई मात्रात्मक विवरण नहीं है, साथ ही कारकों के प्रभाव की डिग्री और उनकी बातचीत को स्थापित करने के लिए भी डिज़ाइन किया गया है। विशिष्ट साहित्य में इसे अक्सर एनोवा (अंग्रेजी नाम एनालिसिस ऑफ वेरिएशन से) कहा जाता है। इस पद्धति को पहली बार 1925 में आर. फिशर द्वारा विकसित किया गया था।

विचरण के विश्लेषण के प्रकार और मानदंड

इस विधि का उपयोग गुणात्मक (नाममात्र) विशेषताओं और मात्रात्मक (निरंतर) चर के बीच संबंध का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। संक्षेप में, यह कई नमूनों के अंकगणितीय माध्य की समानता के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करता है। इस प्रकार, इसे एक साथ कई नमूनों के केंद्रों की तुलना करने के लिए एक पैरामीट्रिक मानदंड माना जा सकता है। यदि इस पद्धति का उपयोग दो नमूनों के लिए किया जाता है, तो विचरण के विश्लेषण के परिणाम छात्र के टी-परीक्षण के परिणामों के समान होंगे। हालाँकि, अन्य मानदंडों के विपरीत, यह अध्ययन हमें समस्या का अधिक विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देता है।

आंकड़ों में फैलाव विश्लेषण कानून पर आधारित है: संयुक्त नमूने के वर्ग विचलन का योग वर्ग इंट्राग्रुप विचलन के योग और वर्ग अंतरसमूह विचलन के योग के बराबर है। अध्ययन अंतरसमूह भिन्नताओं और भीतर-समूह भिन्नताओं के बीच अंतर के महत्व को स्थापित करने के लिए फिशर परीक्षण का उपयोग करता है। हालाँकि, इसके लिए आवश्यक शर्तें वितरण की सामान्यता और नमूनों की समरूपता (विचरणों की समानता) हैं। विचरण और बहुभिन्नरूपी (बहुघटकीय) का अविभाज्य (एक-कारक) विश्लेषण होता है। पहला एक विशेषता पर अध्ययन के तहत मूल्य की निर्भरता पर विचार करता है, दूसरा - एक साथ कई पर, और हमें उनके बीच संबंध की पहचान करने की भी अनुमति देता है।

कारकों

कारक नियंत्रित परिस्थितियाँ हैं जो अंतिम परिणाम को प्रभावित करती हैं। इसका स्तर या प्रसंस्करण विधि एक ऐसा मान है जो इस स्थिति की एक विशिष्ट अभिव्यक्ति को दर्शाता है। ये संख्याएँ आमतौर पर नाममात्र या क्रमिक माप पैमाने पर प्रस्तुत की जाती हैं। अक्सर आउटपुट मानों को मात्रात्मक या क्रमिक पैमानों पर मापा जाता है। फिर आउटपुट डेटा को कई अवलोकनों में समूहीकृत करने की समस्या उत्पन्न होती है जो लगभग समान संख्यात्मक मानों के अनुरूप होते हैं। यदि समूहों की संख्या अत्यधिक बड़ी मान ली जाए तो उनमें अवलोकनों की संख्या विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करने के लिए अपर्याप्त हो सकती है। यदि आप संख्या बहुत छोटी लेते हैं, तो इससे सिस्टम पर प्रभाव की महत्वपूर्ण विशेषताओं का नुकसान हो सकता है। डेटा को समूहीकृत करने का विशिष्ट तरीका मूल्यों में भिन्नता की मात्रा और प्रकृति पर निर्भर करता है। यूनीवेरिएट विश्लेषण में अंतरालों की संख्या और आकार अक्सर समान अंतराल के सिद्धांत या समान आवृत्तियों के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

विचरण समस्याओं का विश्लेषण

इसलिए, ऐसे मामले होते हैं जब आपको दो या दो से अधिक नमूनों की तुलना करने की आवश्यकता होती है। तभी विचरण के विश्लेषण का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। विधि का नाम इंगित करता है कि विचरण घटकों के अध्ययन के आधार पर निष्कर्ष निकाले जाते हैं। अध्ययन का सार यह है कि संकेतक में समग्र परिवर्तन को घटक भागों में विभाजित किया गया है जो प्रत्येक व्यक्तिगत कारक की कार्रवाई के अनुरूप है। आइए कई समस्याओं पर विचार करें जिन्हें विचरण के विशिष्ट विश्लेषण द्वारा हल किया जाता है।

उदाहरण 1

कार्यशाला में कई स्वचालित मशीनें हैं जो एक विशिष्ट भाग का उत्पादन करती हैं। प्रत्येक भाग का आकार एक यादृच्छिक चर है जो प्रत्येक मशीन के सेटअप और भागों की निर्माण प्रक्रिया के दौरान होने वाले यादृच्छिक विचलन पर निर्भर करता है। भागों के आयामों के माप डेटा के आधार पर यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या मशीनें उसी तरह कॉन्फ़िगर की गई हैं।

उदाहरण 2

एक विद्युत उपकरण के निर्माण के दौरान, विभिन्न प्रकार के इंसुलेटिंग पेपर का उपयोग किया जाता है: कैपेसिटर, इलेक्ट्रिकल, आदि। डिवाइस को विभिन्न पदार्थों के साथ संसेचित किया जा सकता है: एपॉक्सी राल, वार्निश, एमएल -2 राल, आदि। लीक को वैक्यूम के तहत समाप्त किया जा सकता है ताप के साथ बढ़ा हुआ दबाव। संसेचन वार्निश में डुबो कर, वार्निश की एक सतत धारा के तहत आदि द्वारा किया जा सकता है। समग्र रूप से विद्युत उपकरण एक निश्चित यौगिक से भरा होता है, जिसके कई विकल्प हैं। गुणवत्ता संकेतक इन्सुलेशन की विद्युत शक्ति, ऑपरेटिंग मोड में वाइंडिंग का अति ताप तापमान और कई अन्य हैं। विनिर्माण उपकरणों की तकनीकी प्रक्रिया के विकास के दौरान, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि प्रत्येक सूचीबद्ध कारक डिवाइस के प्रदर्शन को कैसे प्रभावित करता है।

उदाहरण 3

ट्रॉलीबस डिपो कई ट्रॉलीबस मार्गों पर कार्य करता है। वे विभिन्न प्रकार की ट्रॉलीबसें संचालित करते हैं, और 125 निरीक्षक किराया एकत्र करते हैं। डिपो प्रबंधन इस प्रश्न में रुचि रखता है: विभिन्न मार्गों और विभिन्न प्रकार की ट्रॉलीबसों को ध्यान में रखते हुए प्रत्येक नियंत्रक (राजस्व) के काम के आर्थिक संकेतकों की तुलना कैसे करें? किसी विशेष मार्ग पर एक निश्चित प्रकार की ट्रॉलीबस के उत्पादन की आर्थिक व्यवहार्यता का निर्धारण कैसे करें? विभिन्न प्रकार की ट्रॉलीबसों में प्रत्येक मार्ग पर एक कंडक्टर जो राजस्व लाता है, उसके लिए उचित आवश्यकताएं कैसे स्थापित करें?

एक विधि चुनने का कार्य यह है कि अंतिम परिणाम पर प्रत्येक कारक के प्रभाव के संबंध में अधिकतम जानकारी कैसे प्राप्त की जाए, ऐसे प्रभाव की संख्यात्मक विशेषताओं, न्यूनतम लागत पर और कम से कम संभव समय में उनकी विश्वसनीयता निर्धारित की जाए। विचरण विश्लेषण के तरीके ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देते हैं।

वस्तु के एक प्रकार विश्लेषण

अध्ययन का उद्देश्य विश्लेषण की गई समीक्षा पर किसी विशेष मामले के प्रभाव की भयावहता का आकलन करना है। यूनीवेरिएट विश्लेषण का एक अन्य उद्देश्य स्मरण पर उनके प्रभाव में अंतर निर्धारित करने के लिए दो या दो से अधिक परिस्थितियों की एक दूसरे के साथ तुलना करना हो सकता है। यदि शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है, तो अगला कदम प्राप्त विशेषताओं के लिए आत्मविश्वास अंतराल की मात्रा निर्धारित करना और उसका निर्माण करना है। ऐसे मामले में जहां शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जा सकता है, आमतौर पर इसे स्वीकार कर लिया जाता है और प्रभाव की प्रकृति के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

विचरण का एक-तरफ़ा विश्लेषण क्रुस्कल-वालिस रैंक पद्धति का एक गैर-पैरामीट्रिक एनालॉग बन सकता है। इसे 1952 में अमेरिकी गणितज्ञ विलियम क्रुस्कल और अर्थशास्त्री विल्सन वालिस द्वारा विकसित किया गया था। यह मानदंड अज्ञात लेकिन समान औसत मूल्यों के साथ अध्ययन किए गए नमूनों पर प्रभावों की समानता की शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इस स्थिति में नमूनों की संख्या दो से अधिक होनी चाहिए।

जॉनखीरे-टेरपस्ट्रा मानदंड को 1952 में डच गणितज्ञ टी.जे. टर्पस्ट्रा और 1954 में ब्रिटिश मनोवैज्ञानिक ई.आर. जोन्कीरे द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तावित किया गया था। इसका उपयोग तब किया जाता है जब यह पहले से ज्ञात हो कि परिणामों के मौजूदा समूह प्रभाव की वृद्धि के अनुसार क्रमबद्ध हैं। अध्ययनाधीन कारक, जिसे क्रमिक पैमाने पर मापा जाता है।

एम - 1937 में ब्रिटिश सांख्यिकीविद् मौरिस स्टीवेन्सन बार्टलेट द्वारा प्रस्तावित बार्टलेट परीक्षण का उपयोग कई सामान्य आबादी के भिन्नताओं की समानता के बारे में शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है, जहां से अध्ययन के तहत नमूने लिए जाते हैं, आम तौर पर अलग-अलग आकार होते हैं (प्रत्येक की संख्या) नमूना कम से कम चार होना चाहिए)।

जी - कोचरन का परीक्षण, जिसे 1941 में अमेरिकी विलियम जेमेल कोचरन द्वारा खोजा गया था। इसका उपयोग समान आकार के स्वतंत्र नमूनों में सामान्य आबादी के भिन्नताओं की समानता के बारे में शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है।

1960 में अमेरिकी गणितज्ञ हॉवर्ड लेवेने द्वारा प्रस्तावित नॉनपैरामीट्रिक लेवेने परीक्षण, उन स्थितियों में बार्टलेट परीक्षण का एक विकल्प है जहां कोई भरोसा नहीं है कि अध्ययन के तहत नमूने सामान्य वितरण के अधीन हैं।

1974 में, अमेरिकी सांख्यिकीविद् मॉर्टन बी. ब्राउन और एलन बी. फोर्सिथे ने एक परीक्षण (ब्राउन-फोर्सिथ परीक्षण) प्रस्तावित किया जो लेवेने के परीक्षण से थोड़ा अलग है।

दो-कारक विश्लेषण

विचरण का दो-तरफ़ा विश्लेषण संबंधित सामान्य रूप से वितरित नमूनों के लिए उपयोग किया जाता है। व्यवहार में, इस पद्धति की जटिल तालिकाओं का अक्सर उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से वे जिनमें प्रत्येक कोशिका में निश्चित स्तर के मूल्यों के अनुरूप डेटा का एक सेट (बार-बार माप) होता है। यदि विचरण के दो-तरफा विश्लेषण को लागू करने के लिए आवश्यक धारणाएं पूरी नहीं होती हैं, तो 1930 के अंत में अमेरिकी अर्थशास्त्री मिल्टन फ्रीडमैन द्वारा विकसित नॉनपैरामीट्रिक फ्रीडमैन रैंक टेस्ट (फ्रीडमैन, केंडल और स्मिथ) का उपयोग करें। यह परीक्षण प्रकार पर निर्भर नहीं करता है वितरण का.

यह केवल माना जाता है कि मूल्यों का वितरण समान और निरंतर है, और वे स्वयं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। अशक्त परिकल्पना का परीक्षण करते समय, आउटपुट डेटा को एक आयताकार मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें पंक्तियाँ कारक बी के स्तर के अनुरूप होती हैं, और कॉलम ए के स्तर के अनुरूप होते हैं। तालिका (ब्लॉक) की प्रत्येक कोशिका हो सकती है दोनों कारकों के स्तर के निरंतर मूल्यों के साथ एक वस्तु पर या वस्तुओं के समूह पर मापदंडों के माप का परिणाम। इस मामले में, संबंधित डेटा को अध्ययन के तहत नमूने के सभी आयामों या वस्तुओं के लिए एक निश्चित पैरामीटर के औसत मान के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। आउटपुट मानदंड लागू करने के लिए, माप के प्रत्यक्ष परिणामों से उनकी रैंक तक जाना आवश्यक है। रैंकिंग प्रत्येक पंक्ति के लिए अलग से की जाती है, अर्थात प्रत्येक निश्चित मान के लिए मानों का क्रम दिया जाता है।

1963 में अमेरिकी सांख्यिकीविद् ई.बी. पेज द्वारा प्रस्तावित पेज परीक्षण (एल-टेस्ट) को शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। बड़े नमूनों के लिए, पेज सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। वे, संबंधित शून्य परिकल्पनाओं की वास्तविकता के अधीन, मानक सामान्य वितरण का पालन करते हैं। ऐसे मामले में जहां स्रोत तालिका की पंक्तियों का मान समान है, औसत रैंक का उपयोग करना आवश्यक है। इस मामले में, निष्कर्षों की सटीकता जितनी खराब होगी, ऐसे मैचों की संख्या उतनी ही अधिक होगी।

प्रश्न - कोचरन का मानदंड, 1937 में डब्ल्यू कोचरन द्वारा प्रस्तावित। इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां सजातीय विषयों के समूह प्रभावों के संपर्क में आते हैं, जिनकी संख्या दो से अधिक होती है और जिसके लिए प्रतिक्रिया के लिए दो विकल्प संभव हैं - सशर्त नकारात्मक (0) और सशर्त रूप से सकारात्मक (1) . शून्य परिकल्पना में उपचार प्रभावों की समानता शामिल है। विचरण का दो-तरफ़ा विश्लेषण उपचार प्रभावों के अस्तित्व को निर्धारित करना संभव बनाता है, लेकिन यह निर्धारित करना संभव नहीं बनाता है कि यह प्रभाव किन विशिष्ट स्तंभों के लिए मौजूद है। इस समस्या को हल करने के लिए, संबंधित नमूनों के लिए एकाधिक शेफ़ी समीकरणों की विधि का उपयोग किया जाता है।

बहुभिन्नरूपी विश्लेषण

विचरण के बहुभिन्नरूपी विश्लेषण की समस्या तब उत्पन्न होती है जब आपको एक निश्चित यादृच्छिक चर पर दो या दो से अधिक स्थितियों के प्रभाव को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अध्ययन में एक आश्रित यादृच्छिक चर की उपस्थिति शामिल है, जिसे अंतर या अनुपात पैमाने पर मापा जाता है, और कई स्वतंत्र चर, जिनमें से प्रत्येक को नामकरण या रैंक पैमाने पर व्यक्त किया जाता है। डेटा का विचरण विश्लेषण गणितीय सांख्यिकी का एक काफी विकसित अनुभाग है, जिसमें बहुत सारे विकल्प हैं। अनुसंधान अवधारणा एकल-कारक और बहु-कारक दोनों के लिए सामान्य है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि कुल विचरण को घटकों में विभाजित किया गया है, जो डेटा के एक निश्चित समूह से मेल खाता है। प्रत्येक डेटा समूह का अपना मॉडल होता है। यहां हम इसके सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले विकल्पों को समझने और व्यावहारिक उपयोग के लिए आवश्यक केवल बुनियादी प्रावधानों पर विचार करेंगे।

कारकों के विचरण विश्लेषण के लिए इनपुट डेटा के संग्रह और प्रस्तुति और विशेष रूप से परिणामों की व्याख्या के लिए काफी सावधान रवैये की आवश्यकता होती है। एक-कारक परीक्षण के विपरीत, जिसके परिणामों को सशर्त रूप से एक निश्चित अनुक्रम में रखा जा सकता है, दो-कारक परीक्षण के परिणामों के लिए अधिक जटिल प्रस्तुति की आवश्यकता होती है। स्थिति तब और भी जटिल हो जाती है जब तीन, चार या अधिक परिस्थितियाँ हों। इस वजह से, एक मॉडल में तीन (चार) से अधिक स्थितियों को शामिल करना काफी दुर्लभ है। एक उदाहरण विद्युत वृत्त की धारिता और प्रेरण के एक निश्चित मूल्य पर प्रतिध्वनि की घटना होगी; तत्वों के एक निश्चित समूह के साथ रासायनिक प्रतिक्रिया की अभिव्यक्ति जिससे सिस्टम बनाया गया है; परिस्थितियों के एक निश्चित संयोग के तहत जटिल प्रणालियों में असामान्य प्रभावों की घटना। अंतःक्रिया की उपस्थिति प्रणाली के मॉडल को मौलिक रूप से बदल सकती है और कभी-कभी उस घटना की प्रकृति पर पुनर्विचार कर सकती है जिसके साथ प्रयोगकर्ता निपट रहा है।

बार-बार प्रयोगों के साथ विचरण का बहुभिन्नरूपी विश्लेषण

मापन डेटा को अक्सर दो नहीं, बल्कि बड़ी संख्या में कारकों द्वारा समूहीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार, यदि हम परिस्थितियों (विनिर्माण संयंत्र और जिस मार्ग पर टायर संचालित होते हैं) को ध्यान में रखते हुए ट्रॉलीबस व्हील टायरों की सेवा जीवन के फैलाव विश्लेषण पर विचार करते हैं, तो हम उस मौसम को एक अलग स्थिति के रूप में पहचान सकते हैं जिसके दौरान टायर संचालित होते हैं (अर्थात्: सर्दी और गर्मी का संचालन)। परिणामस्वरूप, हमें त्रि-कारक पद्धति की समस्या होगी।

यदि अधिक स्थितियाँ हैं, तो दृष्टिकोण दो-कारक विश्लेषण के समान ही है। सभी मामलों में, वे मॉडल को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। दो कारकों की परस्पर क्रिया की घटना इतनी बार प्रकट नहीं होती है, और ट्रिपल अंतःक्रिया केवल असाधारण मामलों में ही होती है। उन इंटरैक्शन को शामिल करें जिनके लिए पिछली जानकारी है और मॉडल में इसे ध्यान में रखने के अच्छे कारण हैं। व्यक्तिगत कारकों की पहचान करने और उन्हें ध्यान में रखने की प्रक्रिया अपेक्षाकृत सरल है। इसलिए, अक्सर अधिक परिस्थितियों को उजागर करने की इच्छा होती है। आपको इसके चक्कर में नहीं पड़ना चाहिए. जितनी अधिक स्थितियाँ होंगी, मॉडल उतना ही कम विश्वसनीय होगा और त्रुटि की संभावना उतनी ही अधिक होगी। मॉडल, जिसमें बड़ी संख्या में स्वतंत्र चर शामिल हैं, व्याख्या करने में काफी जटिल और व्यावहारिक उपयोग के लिए असुविधाजनक हो जाता है।

विचरण के विश्लेषण का सामान्य विचार

आँकड़ों में भिन्नता का विश्लेषण विभिन्न एक साथ संचालित परिस्थितियों पर निर्भर अवलोकन परिणाम प्राप्त करने और उनके प्रभाव का आकलन करने की एक विधि है। एक नियंत्रित चर जो अध्ययन की वस्तु को प्रभावित करने की विधि से मेल खाता है और एक निश्चित अवधि में एक निश्चित मूल्य प्राप्त करता है, कारक कहलाता है। वे गुणात्मक और मात्रात्मक हो सकते हैं। मात्रात्मक स्थितियों के स्तर संख्यात्मक पैमाने पर एक निश्चित अर्थ प्राप्त करते हैं। उदाहरण तापमान, दबाव दबाव, पदार्थ की मात्रा हैं। गुणात्मक कारक विभिन्न पदार्थ, विभिन्न तकनीकी विधियाँ, उपकरण, भराव हैं। उनका स्तर नामों के पैमाने के अनुरूप है।

गुणवत्ता में पैकेजिंग सामग्री के प्रकार और खुराक के रूप की भंडारण की स्थिति भी शामिल हो सकती है। कच्चे माल की पीसने की डिग्री, कणिकाओं की भिन्नात्मक संरचना को शामिल करना भी तर्कसंगत है, जिनका मात्रात्मक महत्व है, लेकिन यदि मात्रात्मक पैमाने का उपयोग किया जाता है तो उन्हें विनियमित करना मुश्किल होता है। गुणात्मक कारकों की संख्या खुराक के प्रकार के साथ-साथ औषधीय पदार्थों के भौतिक और तकनीकी गुणों पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, क्रिस्टलीय पदार्थों से सीधे संपीड़न द्वारा गोलियाँ प्राप्त की जा सकती हैं। इस मामले में, स्लाइडिंग और चिकनाई वाले पदार्थों का चयन करना पर्याप्त है।

विभिन्न प्रकार के खुराक रूपों के लिए गुणवत्ता कारकों के उदाहरण

• टिंचर।निकालने वाले की संरचना, निकालने वाले का प्रकार, कच्चा माल तैयार करने की विधि, उत्पादन विधि, निस्पंदन विधि।
• अर्क (तरल, गाढ़ा, सूखा)।निष्कासक की संरचना, निष्कर्षण विधि, स्थापना का प्रकार, निष्कासक और गिट्टी पदार्थों को निकालने की विधि।
• गोलियाँ.सहायक पदार्थ, भराव, विघटनकारी, बाइंडर्स, स्नेहक और स्नेहक की संरचना। टेबलेट प्राप्त करने की विधि, तकनीकी उपकरण का प्रकार। शैल का प्रकार और उसके घटक, फिल्म बनाने वाले, रंगद्रव्य, रंजक, प्लास्टिसाइज़र, सॉल्वैंट्स।
• इंजेक्शन समाधान.विलायक का प्रकार, निस्पंदन विधि, स्टेबलाइजर्स और परिरक्षकों की प्रकृति, नसबंदी की स्थिति, ampoules भरने की विधि।
• सपोजिटरी।सपोसिटरी बेस की संरचना, सपोसिटरी बनाने की विधि, फिलर्स, पैकेजिंग।
• मलहम.आधार की संरचना, संरचनात्मक घटक, मरहम तैयार करने की विधि, उपकरण का प्रकार, पैकेजिंग।
• कैप्सूल.शैल सामग्री का प्रकार, कैप्सूल बनाने की विधि, प्लास्टिसाइज़र का प्रकार, परिरक्षक, डाई।
• लिनिमेंट।बनाने की विधि, संरचना, उपकरण का प्रकार, इमल्सीफायर का प्रकार।
• निलंबन.विलायक का प्रकार, स्टेबलाइजर का प्रकार, फैलाव विधि।

टैबलेट निर्माण प्रक्रिया के दौरान अध्ययन किए गए गुणवत्ता कारकों और उनके स्तरों के उदाहरण

• बेकिंग पाउडर।आलू स्टार्च, सफेद मिट्टी, साइट्रिक एसिड के साथ सोडियम बाइकार्बोनेट का मिश्रण, मूल मैग्नीशियम कार्बोनेट।
• बाइंडिंग समाधान.पानी, स्टार्च पेस्ट, चीनी सिरप, मिथाइलसेलुलोज घोल, हाइड्रॉक्सीप्रोपाइलमिथाइलसेलुलोज घोल, पॉलीविनाइलपाइरोलिडोन घोल, पॉलीविनाइल अल्कोहल घोल।
• फिसलने वाला पदार्थ।एरोसिल, स्टार्च, टैल्क।
• भराव.चीनी, ग्लूकोज, लैक्टोज, सोडियम क्लोराइड, कैल्शियम फॉस्फेट।
• स्नेहक।स्टीयरिक एसिड, पॉलीइथाइलीन ग्लाइकोल, पैराफिन।

राज्य प्रतिस्पर्धात्मकता के स्तर के अध्ययन में विचरण विश्लेषण के मॉडल

किसी राज्य की स्थिति का आकलन करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण मानदंडों में से एक, जिसके द्वारा उसकी भलाई और सामाजिक-आर्थिक विकास के स्तर का आकलन किया जाता है, प्रतिस्पर्धात्मकता है, अर्थात राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में निहित गुणों का एक समूह जो राज्य का निर्धारण करता है। अन्य देशों के साथ प्रतिस्पर्धा करने की क्षमता। विश्व बाजार में राज्य की जगह और भूमिका निर्धारित करने के बाद, अंतरराष्ट्रीय स्तर पर आर्थिक सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए एक स्पष्ट रणनीति स्थापित करना संभव है, क्योंकि यह रूस और विश्व बाजार में सभी खिलाड़ियों के बीच सकारात्मक संबंधों की कुंजी है: निवेशक , लेनदार, और सरकारें।

राज्यों की प्रतिस्पर्धात्मकता के स्तर की तुलना करने के लिए, देशों को जटिल सूचकांकों का उपयोग करके रैंक किया जाता है जिसमें विभिन्न भारित संकेतक शामिल होते हैं। ये सूचकांक आर्थिक, राजनीतिक आदि स्थिति को प्रभावित करने वाले प्रमुख कारकों पर आधारित हैं। राज्य की प्रतिस्पर्धात्मकता का अध्ययन करने के लिए मॉडलों के एक सेट में बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण विधियों (विशेष रूप से, विचरण (सांख्यिकी) का विश्लेषण, अर्थमितीय मॉडलिंग, निर्णय लेना) का उपयोग शामिल है और इसमें निम्नलिखित मुख्य चरण शामिल हैं:

1. संकेतकों की एक प्रणाली का गठन.
2. राज्य प्रतिस्पर्धात्मकता संकेतकों का आकलन और पूर्वानुमान।
3. राज्यों की प्रतिस्पर्धात्मकता के संकेतकों की तुलना।

आइए अब इस परिसर के प्रत्येक चरण के मॉडल की सामग्री पर नजर डालें।

पहले चरण मेंविशेषज्ञ अध्ययन विधियों का उपयोग करते हुए, राज्य की प्रतिस्पर्धात्मकता का आकलन करने के लिए आर्थिक संकेतकों का एक सुस्थापित सेट बनाया जाता है, जो अंतरराष्ट्रीय रेटिंग और सांख्यिकीय विभागों के डेटा के आधार पर इसके विकास की बारीकियों को ध्यान में रखता है, जो समग्र रूप से सिस्टम की स्थिति को दर्शाता है। और इसकी प्रक्रियाएँ। इन संकेतकों का चुनाव उन संकेतकों को चुनने की आवश्यकता से उचित है जो व्यावहारिक दृष्टिकोण से, हमें राज्य के स्तर, इसके निवेश आकर्षण और मौजूदा क्षमता और वास्तविक खतरों के सापेक्ष स्थानीयकरण की संभावना को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।

अंतर्राष्ट्रीय रेटिंग सिस्टम के मुख्य संकेतक सूचकांक हैं:

1. वैश्विक प्रतिस्पर्धात्मकता (जीसी)।
2. आर्थिक स्वतंत्रता (आईईएस)।
3. मानव विकास (एचडीआई)।
4. भ्रष्टाचार की धारणाएँ (सीपीसी)।
5. आंतरिक और बाहरी खतरे (IETH)।
6. अंतर्राष्ट्रीय प्रभाव क्षमता (आईपीआईपी)।

दूसरा चरणअध्ययन किए जा रहे दुनिया के 139 देशों के लिए अंतरराष्ट्रीय रेटिंग के अनुसार राज्य प्रतिस्पर्धात्मकता संकेतकों का मूल्यांकन और पूर्वानुमान प्रदान करता है।

तीसरा चरणसहसंबंध और प्रतिगमन विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करके राज्यों की प्रतिस्पर्धात्मकता की स्थितियों की तुलना प्रदान करता है।

अध्ययन के परिणामों का उपयोग करके, सामान्य रूप से और राज्य की प्रतिस्पर्धात्मकता के व्यक्तिगत घटकों के लिए प्रक्रियाओं की प्रकृति निर्धारित करना संभव है; कारकों के प्रभाव और उनके संबंधों के बारे में परिकल्पना का महत्व के उचित स्तर पर परीक्षण करें।

मॉडलों के प्रस्तावित सेट के कार्यान्वयन से न केवल राज्यों की प्रतिस्पर्धात्मकता और निवेश आकर्षण के स्तर की वर्तमान स्थिति का आकलन करने की अनुमति मिलेगी, बल्कि प्रबंधन की कमियों का विश्लेषण करने, गलत निर्णयों की त्रुटियों को रोकने और संकट के विकास को रोकने की भी अनुमति मिलेगी। राज्य।

प्रयोगों और परीक्षणों के परिणाम यादृच्छिक चर के औसत मूल्यों की परिवर्तनशीलता को प्रभावित करने वाले कुछ कारकों पर निर्भर हो सकते हैं। कारकों के मूल्यों को कारक स्तर कहा जाता है, और परिमाण को परिणामी विशेषता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, किसी निर्माण स्थल पर किए गए कार्य की मात्रा कार्य करने वाले दल पर निर्भर हो सकती है। इस मामले में, चालक दल की संख्या कारक का स्तर है, और प्रति शिफ्ट काम की मात्रा प्रभावी विशेषता है।

विचरण विधि का विश्लेषण, या एनोवा(विचरण का विश्लेषण - विचरण का विश्लेषण), तीन या अधिक नमूनों (कारक स्तर) के साधनों के बीच अंतर के सांख्यिकीय महत्व का अध्ययन करने का कार्य करता है। दो नमूनों में साधनों की तुलना करने के लिए, उपयोग करें टी-मानदंड

साधनों की तुलना करने की प्रक्रिया को विचरण का विश्लेषण कहा जाता है, क्योंकि अवलोकनों के कई समूहों के साधनों के बीच अंतर के सांख्यिकीय महत्व का अध्ययन करते समय, नमूना भिन्नताओं का विश्लेषण किया जाता है। विचरण के विश्लेषण की मौलिक अवधारणा फिशर द्वारा प्रस्तावित की गई थी।

विधि का सार कुल विचरण को दो भागों में विभाजित करना है, जिनमें से एक यादृच्छिक त्रुटि (अर्थात इंट्राग्रुप परिवर्तनशीलता) के कारण है, और दूसरा माध्य मानों में अंतर से जुड़ा है। अंतिम विचरण घटक का उपयोग साधनों के बीच अंतर के सांख्यिकीय महत्व का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यदि यह अंतर महत्वपूर्ण है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है और वैकल्पिक परिकल्पना को स्वीकार कर लिया जाता है कि साधनों के बीच अंतर है।

वे चर जिनका मान किसी प्रयोग के दौरान माप द्वारा निर्धारित किया जाता है (उदाहरण के लिए, आर्थिक दक्षता, उपज, परीक्षण परिणाम) आश्रित चर या विशेषताएँ कहलाते हैं। वे चर जिन्हें किसी प्रयोग में नियंत्रित किया जा सकता है (जैसे, प्रबंधन का स्तर, मिट्टी का प्रकार, शिक्षण विधियाँ) कारक या स्वतंत्र चर कहलाते हैं।

विचरण के शास्त्रीय विश्लेषण में, यह माना जाता है कि अध्ययन के तहत मूल्यों में निरंतर विचरण और औसत मूल्यों के साथ एक सामान्य वितरण होता है, जो विभिन्न नमूना आबादी के लिए भिन्न हो सकता है। समूह साधनों के विचरण और अवशिष्ट विचरण के अनुपात का उपयोग अशक्त परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए एक मानदंड के रूप में किया जाता है। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि विचरण का विश्लेषण गैर-गाऊसी यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य है, और प्रत्येक कारक स्तर के लिए n > 4 के नमूना आकार के साथ, त्रुटि अधिक नहीं है। यदि अनुमानों की उच्च सटीकता की आवश्यकता है, और वितरण अज्ञात है, तो गैरपैरामीट्रिक परीक्षणों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, विचरण के रैंक विश्लेषण का उपयोग करना।

एक तरफ़ा एनोवा

इसे क्रियान्वित किया जाये एमयादृच्छिक चर मानों के माप के समूह वाईकिसी कारक के मूल्य के विभिन्न स्तरों पर, और ए 1 , ए 2 , ए एम- कारक स्तरों पर प्रभावी विशेषता की गणितीय अपेक्षा ए (1) , ए (2) , ए(एम) ( मैं=1, 2, एम) क्रमश।

कारक से प्रभावी विशेषता की स्वतंत्रता के बारे में धारणा समूह गणितीय अपेक्षाओं की समानता के बारे में शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए आती है

एच 0: ए 1 = ए 2 = ए एम (6.12)

यदि प्रत्येक कारक स्तर के लिए निम्नलिखित आवश्यकताएँ पूरी होती हैं तो परिकल्पना परीक्षण संभव है:

1) अवलोकन स्वतंत्र हैं और समान परिस्थितियों में किए जाते हैं;

2) मापे गए यादृच्छिक चर में कारक के विभिन्न स्तरों के लिए निरंतर सामान्य भिन्नता के साथ एक सामान्य वितरण कानून होता है σ 2. अर्थात् परिकल्पना सत्य है

एच 0: σ 1 2 = σ 2 2 = σ एम 2।

इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए कि तीन या अधिक सामान्य वितरणों के प्रसरण बराबर हैं, बार्टलेट परीक्षण का उपयोग किया जाता है।

यदि परिकल्पना एच 0: σ 1 2 = σ 2 2 = σ एम 2पुष्टि हो जाती है, फिर हम समूह गणितीय अपेक्षाओं की समानता के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करना शुरू करते हैं एच 0: ए 1 = ए 2 = ए एम, अर्थात्, विचरण के विश्लेषण के लिए ही। विचरण विश्लेषण का आधार यह स्थिति है कि परिणामी विशेषता की परिवर्तनशीलता कारक ए के स्तर में परिवर्तन और यादृच्छिक अनियंत्रित कारकों के मूल्यों में परिवर्तनशीलता दोनों के कारण होती है। यादृच्छिक कारकों को अवशिष्ट कहा जाता है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि कुल नमूना विचरण को समूह माध्य के विचरण और समूह विचरण के औसत के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

, कहाँ

कुल नमूना विचरण;

प्रत्येक कारक स्तर के लिए समूह का अर्थ () की गणना की गई भिन्नता;

प्रत्येक कारक स्तर के लिए समूह भिन्नताओं का औसत () गणना की गई। पर प्रभाव से जुड़ा है वाईअवशिष्ट (यादृच्छिक) कारक।

सामान्य विचरण के विस्तार से नमूना मानों की ओर बढ़ते हुए, हम प्राप्त करते हैं

, (6.13)

प्रत्येक स्तर के लिए नमूना साधनों के वर्ग विचलन के भारित योग का प्रतिनिधित्व करता है ए(आई)सामान्य नमूना माध्य से,

स्तरों के भीतर वर्ग विचलन का औसत मूल्य।

यादृच्छिक चर, क्रमशः स्वतंत्रता की डिग्री के लिए निम्नलिखित मान हैं: एन - 1, एम - 1, एन - एम. यहाँ एन- नमूना मानों की कुल संख्या, एम- कारक स्तरों की संख्या.

गणितीय आँकड़ों में यह सिद्ध है कि यदि साधनों की समानता (10.8) के बारे में शून्य परिकल्पना सत्य है, तो मात्रा

यह है एफ-स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ वितरण क = एम- 1 और एल = एन-एम, वह है

(6.14)

यदि शून्य परिकल्पना संतुष्ट है, तो समूह के भीतर का विचरण व्यावहारिक रूप से समूह सदस्यता को ध्यान में रखे बिना गणना किए गए कुल विचरण के साथ मेल खाएगा। विचरण के विश्लेषण में, एक नियम के रूप में, अंश हर से बड़ा होता है। अन्यथा, यह माना जाता है कि अवलोकन परिणामी विशेषता पर कारक के प्रभाव की पुष्टि नहीं करते हैं और कोई आगे विश्लेषण नहीं किया जाता है। समूह के भीतर परिणामी भिन्नताओं की तुलना का उपयोग करके की जा सकती है एफ-मानदंड जो जांचता है कि भिन्नताओं का अनुपात 1 से काफी अधिक है या नहीं।

इस संबंध में परिकल्पना (6.12) का उपयोग कर परीक्षण करना एफ-मानदंड दाहिनी ओर के महत्वपूर्ण क्षेत्र का विश्लेषण करता है .

यदि गणना मूल्य एफनिर्दिष्ट अंतराल के भीतर आता है, तो शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है, और कारक का प्रभाव स्थापित माना जाता है एप्रभावी संकेत के लिए वाई.

आइए हम वर्गों के योग और नमूना प्रसरणों की गणना का एक उदाहरण दें। तालिका 6.2 में प्रस्तुत डेटा सेट पर विचार करें। इस उदाहरण में, हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि टीमों के प्रदर्शन में कोई महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं।

तालिका 6.2. वर्गों के योग की गणना का उदाहरण