क्रॉस को 5 कोशिकाओं के आंकड़ों में विभाजित करें। कार्य काटना। docx - कार्यों को काटना

1. एक वर्ग में 16 कोशिकाएँ होती हैं। वर्ग को दो बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले। (एक वर्ग को दो भागों में काटने के तरीकों को अलग माना जाएगा यदि काटने की एक विधि से प्राप्त वर्ग के भाग दूसरी विधि से प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं।) समस्या के कितने समाधान हैं?
2. एक 3x4 आयत में 12 सेल होते हैं। एक आयत को दो बराबर भागों में काटने के पाँच तरीके खोजें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले (काटने के तरीकों को अलग माना जाता है यदि काटने की एक विधि द्वारा प्राप्त भाग दूसरी विधि द्वारा प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं)।
3. 3X5 आयत में 15 सेल हैं और केंद्रीय सेल को हटा दिया गया है। शेष आकृति को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि कट रेखा कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले।
4. एक 6x6 वर्ग को 36 समान वर्गों में विभाजित किया गया है। एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटने के पाँच तरीके खोजें ताकि कटी हुई रेखा वर्गों की भुजाओं के साथ-साथ चले। नोट: समस्या के 200 से अधिक समाधान हैं।
5. 4x4 वर्ग को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले। आप काटने के कितने अलग-अलग तरीके खोज सकते हैं?
6. आकृति (चित्र 5) को तीन बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट लाइन वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले।

7. आकृति (चित्र 6) को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट रेखा वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले।

8. आकृति (चित्र 7) को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कटी हुई रेखाएँ वर्गों की भुजाओं के साथ-साथ जाएँ। जितना संभव हो उतने समाधान खोजें।

9. 5x5 वर्ग को चार बराबर भागों में काटकर केंद्रीय वर्ग से विभाजित करें।

10. चित्र 8 में दिखाए गए आंकड़ों को ग्रिड लाइनों के साथ दो बराबर भागों में काटें, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए।

11. चित्र 9 में दिखाए गए आंकड़े ग्रिड लाइनों के साथ चार बराबर भागों में काटे जाने चाहिए ताकि प्रत्येक भाग में एक वृत्त हो। यह कैसे करना है?

12. आकृति 10 में दर्शाई गई आकृति को ग्रिड लाइनों के साथ चार बराबर भागों में काटें और उन्हें एक वर्ग में मोड़ें ताकि वृत्त और तारे वर्ग की सममिति के सभी अक्षों के बारे में सममित हों।

13. इस वर्ग (चित्र 11) को कोशिकाओं के किनारों के साथ काटें ताकि सभी भाग समान आकार और आकार के हों और प्रत्येक में एक वृत्त और एक तारक हो।

14. चित्र 12 में दिखाए गए 6x6 चेकर पेपर वर्ग को चार बराबर भागों में काटें ताकि उनमें से प्रत्येक में तीन रंगीन वर्ग हों।

10. चेकर पेपर की एक चौकोर शीट को कोशिकाओं के किनारों पर चलने वाले खंडों द्वारा छोटे वर्गों में विभाजित किया जाता है। सिद्ध कीजिए कि इन खंडों की लंबाई का योग 4 से विभाज्य है (कोशिका की भुजा की लंबाई 1 है)।

हल: मान लीजिए कि Q कागज की एक वर्गाकार शीट है, L(Q) कोशिकाओं की उन भुजाओं की लंबाई का योग है जो इसके अंदर स्थित हैं। तब L(Q) 4 से विभाज्य है, क्योंकि सभी मानी गई भुजाओं को चार भुजाओं में विभाजित किया जाता है, जो वर्ग के केंद्र के सापेक्ष 90 0 और 180 0 के घूर्णन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त की जाती हैं।

यदि वर्ग Q को वर्गों Q 1, …, Q n में विभाजित किया जाता है, तो विभाजन खंडों की लंबाई का योग बराबर होता है

एल (क्यू) - एल (क्यू 1) - ... - एल (क्यू एन)। यह स्पष्ट है कि यह संख्या 4 से विभाज्य है, क्योंकि संख्याएँ L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) 4 से विभाज्य हैं।

4. अपरिवर्तनशीलताओं

11. बिसात दी। इसे एक ही बार में किसी भी क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर की सभी कोशिकाओं को एक अलग रंग में फिर से रंगने की अनुमति है। क्या इसका परिणाम बिल्कुल एक ब्लैक सेल वाले बोर्ड में हो सकता है?

समाधान: k ब्लैक और 8-k व्हाइट सेल्स वाली एक हॉरिजॉन्टल या वर्टिकल लाइन को फिर से पेंट करने से 8-k ब्लैक और k व्हाइट सेल बनेंगे। इसलिए, काली कोशिकाओं की संख्या बदल जाएगी (8-k)-k=8-2k, यानी। एक सम संख्या के लिए। चूँकि काली कोशिकाओं की संख्या की समता बनी रहती है, इसलिए हमें मूल 32 काली कोशिकाओं में से एक काली कोशिका नहीं मिल सकती है।

12. बिसात दी। इसे एक बार में 2 x 2 वर्ग के अंदर स्थित सभी कोशिकाओं को एक अलग रंग में फिर से रंगने की अनुमति है। क्या बोर्ड पर बिल्कुल एक काली कोशिका रह सकती है?

समाधान: k ब्लैक और 4-k व्हाइट सेल वाले 2 x 2 वर्ग को फिर से रंगने से 4-k ब्लैक और k व्हाइट सेल बनेंगे। इसलिए, काली कोशिकाओं की संख्या बदल जाएगी (4-k)-k=4-2k, यानी। एक सम संख्या के लिए। चूँकि काली कोशिकाओं की संख्या की समता बनी रहती है, इसलिए हमें मूल 32 काली कोशिकाओं में से एक काली कोशिका नहीं मिल सकती है।

13. सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल बहुभुज को एक परिमित संख्या में गैर-उत्तल चतुर्भुजों में नहीं काटा जा सकता है।

हल: मान लीजिए कि एक उत्तल बहुभुज M को गैर-उत्तल चतुर्भुज M 1 ,…, M n में काटा जाता है। प्रत्येक बहुभुज N के लिए हम एक संख्या f(N) निर्दिष्ट करते हैं, जो 180 से कम इसके आंतरिक कोणों के योग और 180 से अधिक के कोणों के पूरक कोणों के योग के बीच अंतर के बराबर होती है। संख्याओं की तुलना करें A=f(M) और बी=एफ(एम 1)+…+ एफ(एम एन)। इसके लिए उन सभी बिंदुओं पर विचार करें जो चतुर्भुज M 1 ..., M n के शीर्ष हैं। इन्हें चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।

1. बहुभुज M के शीर्ष। ये बिंदु A और B में समान रूप से योगदान करते हैं।

2. बहुभुज M या M के किनारों पर स्थित बिंदु 1. ऐसे प्रत्येक बिंदु का B पर योगदान

A से 180 अधिक।

3. बहुभुज के आंतरिक बिंदु जिन पर चतुर्भुज के कोने मिलते हैं,

180 से कम। ऐसे प्रत्येक बिंदु का B को योगदान A से 360 अधिक है।

4. बहुभुज M के आंतरिक बिंदु जिन पर चतुर्भुजों के कोने मिलते हैं, और उनमें से एक 180 से बड़ा है। ऐसे बिंदु A और B को शून्य योगदान देते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें A . प्राप्त होता है<В. С другой стороны, А>0 और बी = 0। असमानता ए> 0 स्पष्ट है, और समानता बी = 0 साबित करने के लिए यह जांचना पर्याप्त है कि यदि एन एक गैर-उत्तल चतुर्भुज है, तो एफ (एन) = 0। माना कोण N a>b>c>d है। किसी भी गैर-उत्तल चतुर्भुज में 180 से अधिक कोण होता है, इसलिए f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

एक विरोधाभास प्राप्त होता है, इसलिए उत्तल बहुभुज को गैर-उत्तल चतुर्भुजों की एक सीमित संख्या में नहीं काटा जा सकता है।

14. बिसात के प्रत्येक सेल के केंद्र में एक चिप होती है। चिप्स को फिर से व्यवस्थित किया गया ताकि उनके बीच जोड़ीदार दूरियां कम न हों। सिद्ध कीजिए कि वास्तव में जोड़ीवार दूरियाँ नहीं बदली हैं।

समाधान: यदि चिप्स के बीच कम से कम एक दूरी बढ़ जाती है, तो चिप्स के बीच सभी जोड़ीदार दूरियों का योग भी बढ़ जाएगा, लेकिन चिप्स के बीच सभी जोड़ीदार दूरियों का योग किसी भी क्रमपरिवर्तन के साथ नहीं बदलता है।

15. वर्गाकार खेत को 100 समान वर्ग वर्गों में विभाजित किया गया है, जिनमें से 9 खरपतवारों से भरे हुए हैं। यह ज्ञात है कि एक वर्ष में खरपतवार उन और केवल उन भूखंडों तक फैलते हैं जिनमें कम से कम दो आसन्न (यानी, एक सामान्य पक्ष वाले) भूखंड पहले से ही मातम से अधिक हो जाते हैं। सिद्ध कीजिए कि खेत कभी भी पूरी तरह से खरपतवारों से नहीं उगेगा।

समाधान: यह जांचना आसान है कि पूरे वीडी क्षेत्र (या कई क्षेत्रों) की सीमा की लंबाई नहीं बढ़ेगी। प्रारंभिक क्षण में, यह 4*9=36 से अधिक नहीं है, इसलिए, अंतिम क्षण में, यह 40 के बराबर नहीं हो सकता है।

नतीजतन, खेत कभी भी पूरी तरह से मातम के साथ नहीं उगेगा।

16. एक उत्तल 2m-gon А 1 …А 2 m दिया गया है। इसके अंदर एक बिंदु P लिया गया है, जो किसी भी विकर्ण पर नहीं है। सिद्ध कीजिए कि बिंदु सम संख्या में त्रिभुजों से संबंधित है जिनके शीर्ष А 1 ,…, А 2 m पर हैं।

हल: विकर्ण बहुभुज को कई भागों में तोड़ते हैं। हम फोन करेंगे पड़ोसीउनमें से जिनका एक सामान्य पक्ष है। यह स्पष्ट है कि कोई भी बहुभुज के किसी भी आंतरिक बिंदु से किसी भी अन्य बिंदु तक पहुंच सकता है, हर बार केवल पड़ोसी भाग से पड़ोसी भाग तक जा सकता है। समतल का वह भाग जो बहुभुज के बाहर स्थित होता है, भी इन्हीं भागों में से एक माना जा सकता है। इस भाग के बिंदुओं के लिए विचाराधीन त्रिभुजों की संख्या शून्य के बराबर है, इसलिए यह साबित करना पर्याप्त है कि पड़ोसी भाग से पड़ोसी भाग में जाने पर त्रिभुजों की संख्या की समता बनी रहती है।

मान लीजिए कि दो पड़ोसी भागों की उभयनिष्ठ भुजा विकर्ण (या भुजा) PQ पर स्थित है। फिर सभी माने गए त्रिभुजों में, PQ भुजा वाले त्रिभुजों को छोड़कर, ये दोनों भाग या तो संबंधित हैं या नहीं हैं। इसलिए, एक भाग से दूसरे भाग में जाने पर, त्रिभुजों की संख्या k 1 -k 2 से बदल जाती है, जहाँ k 1 PQ के एक तरफ स्थित बहुभुज शीर्षों की संख्या है। चूँकि k 1 +k 2 =2m-2, तो k 1 -k 2 सम संख्या है।

4. चेकरबोर्ड पैटर्न में सहायक रंग

17. 5 x 5 बोर्ड के प्रत्येक वर्ग में एक भृंग है। किसी बिंदु पर, सभी भृंग आसन्न (क्षैतिज या लंबवत) कोशिकाओं पर रेंगते हैं। क्या यह अनिवार्य रूप से एक खाली सेल छोड़ता है?

हल: चूंकि 5 x 5 शतरंज की बिसात पर कोशिकाओं की कुल संख्या विषम होती है, इसलिए समान संख्या में श्वेत और श्याम कक्ष नहीं हो सकते। निश्चितता के लिए अधिक काली कोशिकाएँ होने दें। फिर श्वेत कोशिकाओं पर काली कोशिकाओं की तुलना में कम भृंग बैठे हैं। इसलिए, कम से कम एक काली कोशिका खाली रहती है, क्योंकि केवल श्वेत कोशिकाओं पर बैठे भृंग ही काली कोशिकाओं पर रेंगते हैं।

19. सिद्ध कीजिए कि 10 x 10 वर्ग के एक बोर्ड को चार वर्गों वाली टी-आकार की आकृतियों में नहीं काटा जा सकता है।

हल: मान लीजिए कि 10 x 10 वर्ग के बोर्ड को ऐसी आकृतियों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक आकृति में या तो 1 या 3 काली कोशिकाएँ होती हैं, अर्थात। हमेशा एक विषम संख्या। आंकड़े स्वयं 100/4 = 25 टुकड़े होने चाहिए। इसलिए, उनमें विषम संख्या में काली कोशिकाएँ होती हैं, और कुल 100/2=50 काली कोशिकाएँ होती हैं। एक विरोधाभास प्राप्त हुआ है।

5. रंग भरने की समस्या

20. विमान को दो रंगों में चित्रित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि एक ही रंग के दो बिंदु हैं, जिनके बीच की दूरी ठीक 1 है।

हल: एक समकोण त्रिभुज पर विचार कीजिए जिसकी भुजा 1 है।

प्रतिलिपि

1 एम. ए. एकिमोवा, जी.पी. कुकिन एमटीएनएमओ मॉस्को, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. काटने की समस्या। एम.: एमटीएसएनएमओ, पी.: बीमार। श्रृंखला: "गणित पढ़ाने का रहस्य"। यह पुस्तक सीक्रेट ऑफ़ टीचिंग मैथमेटिक्स सीरीज़ की पहली पुस्तक है, जिसे गणित शिक्षा के क्षेत्र में संचित अनुभव को प्रस्तुत करने और सारांशित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह संग्रह "ग्रेड 5-7 में तर्क विकसित करना" पाठ्यक्रम के भागों में से एक है। पुस्तक में दी गई सभी समस्याओं के समाधान या निर्देश दिए गए हैं। गणित में पाठ्येतर कार्य के लिए पुस्तक की सिफारिश की जाती है। बीबीके आईएसबीएन सी कुकिन जी.पी., एकिमोवा एम.ए., सी एमटीएसएनएमओ, 2002।

3 प्रस्तावना वर्तमान में स्कूली बच्चों द्वारा अध्ययन किए जाने वाले विषयों की संरचना के पारंपरिक दृष्टिकोण को संशोधित और परिष्कृत किया जा रहा है। स्कूली पाठ्यक्रम में कई नए विषयों को शामिल किया गया है। इन्हीं विषयों में से एक है लॉजिक। तर्क का अध्ययन तर्क की सुंदरता और लालित्य, तर्क करने की क्षमता, व्यक्ति के रचनात्मक विकास, व्यक्ति की सौंदर्य शिक्षा की समझ में योगदान देता है। प्रत्येक सुसंस्कृत व्यक्ति को तार्किक समस्याओं, पहेलियों, खेलों से परिचित होना चाहिए जो दुनिया के कई देशों में कई शताब्दियों या सहस्राब्दियों से ज्ञात हैं। किसी भी व्यक्ति के लिए यदि वह सफल होना चाहता है और जीवन में सामंजस्य स्थापित करना चाहता है, तो उसके लिए सरलता, सरलता और सोच की स्वतंत्रता का विकास आवश्यक है। हमारे अनुभव से पता चलता है कि औपचारिक तर्क या गणितीय तर्क के अंशों का व्यवस्थित अध्ययन माध्यमिक विद्यालय के उच्च ग्रेड तक स्थगित कर दिया जाना चाहिए। साथ ही जितनी जल्दी हो सके तार्किक सोच विकसित करना आवश्यक है। वास्तव में, स्कूली विषयों का अध्ययन करते समय, तर्क और प्रमाण केवल 7 वीं कक्षा में दिखाई देते हैं (जब व्यवस्थित ज्यामिति पाठ्यक्रम शुरू होता है)। कई छात्रों के लिए, अचानक संक्रमण (कोई तर्क नहीं था बहुत तर्क बन गया) असहनीय रूप से कठिन है। कक्षा 5-7 के लिए तर्क विकसित करने के क्रम में, स्कूली बच्चों को तर्क करना, सिद्ध करना और पैटर्न खोजना सिखाना काफी संभव है। उदाहरण के लिए, गणितीय पहेलियों को हल करते समय, किसी को न केवल कई उत्तरों का अनुमान लगाना (उठाना) चाहिए, बल्कि यह भी साबित करना चाहिए कि संभावित उत्तरों की पूरी सूची प्राप्त हो गई है। यह 5वीं कक्षा के लिए बहुत अच्छा है। लेकिन माध्यमिक विद्यालयों के ग्रेड 5-7 में तर्क पढ़ाने की प्रक्रिया में, शिक्षकों को कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है: पाठ्यपुस्तकों, उपदेशात्मक सामग्री, मैनुअल और दृश्य सामग्री की कमी। इन सबका संकलन, लेखन और रचना स्वयं शिक्षक को करनी होती है। इस संग्रह का एक लक्ष्य शिक्षक के लिए कक्षाओं की तैयारी और संचालन को आसान बनाना है। हम संग्रह के साथ काम करने से पहले पाठों के संचालन के लिए कुछ सिफारिशें देंगे।

4 4 परिचय पांचवीं कक्षा से स्कूली बच्चों को तर्क पढ़ाना शुरू करना वांछनीय है, और शायद पहले भी। तर्क को आराम से, लगभग कामचलाऊ शैली में पढ़ाया जाना चाहिए। इस स्पष्ट हल्केपन के लिए वास्तव में शिक्षक से बहुत गंभीर तैयारी की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एक मोटी हस्तलिखित नोटबुक से एक दिलचस्प और मनोरंजक समस्या को ठीक करना अस्वीकार्य है, जैसा कि शिक्षक कभी-कभी करते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप गैर-मानक रूप में कक्षाएं संचालित करें। पाठों में यथासंभव दृश्य सामग्री का उपयोग करना आवश्यक है: विभिन्न कार्ड, चित्र, आंकड़ों के सेट, समस्याओं को हल करने के लिए चित्र, आरेख। आपको युवा छात्रों के साथ एक ही विषय पर लंबे समय तक व्यवहार नहीं करना चाहिए। किसी विषय का विश्लेषण करते समय, आपको मुख्य तार्किक मील के पत्थर को उजागर करने और इन बिंदुओं की समझ (और याद नहीं) प्राप्त करने का प्रयास करना चाहिए। कवर की गई सामग्री पर लगातार लौटना आवश्यक है। यह स्वतंत्र कार्य, टीम प्रतियोगिताओं (पाठों के दौरान), तिमाही के अंत में परीक्षण, मौखिक और लिखित ओलंपियाड, मैटबॉय (स्कूल के समय के बाहर) में किया जा सकता है। कक्षा में मनोरंजक और हास्य कार्यों का उपयोग करना भी आवश्यक है, कभी-कभी गतिविधि की दिशा बदलने के लिए यह उपयोगी होता है। यह संग्रह "ग्रेड 5-7 में तर्क विकसित करना" "काटने की समस्या" पाठ्यक्रम के कुछ हिस्सों में से एक है। ओम्स्क में लिसेयुम स्कूल 74 के ग्रेड 5-7 में तर्क के पाठ में इस भाग का परीक्षण किया गया था। कई वैज्ञानिकों को प्राचीन काल से ही समस्याओं को काटने का शौक रहा है। प्राचीन यूनानियों और चीनी लोगों द्वारा कई सरल काटने की समस्याओं का समाधान पाया गया था, लेकिन इस विषय पर पहला व्यवस्थित ग्रंथ 10 वीं शताब्दी के प्रसिद्ध फारसी खगोलशास्त्री अबुल-वेफ द्वारा लिखा गया था, जो बगदाद में रहते थे। जिओमीटर गंभीरता से 20वीं शताब्दी की शुरुआत में ही आंकड़ों को सबसे छोटे भागों में काटने और फिर उनसे एक या दूसरे नए आंकड़े की रचना करने की समस्याओं को हल करने में लगे हुए थे। ज्यामिति की इस आकर्षक शाखा के संस्थापकों में से एक प्रसिद्ध पहेली संकलक हेनरी थे

5 परिचय 5 ई. डुडेनी। ऑस्ट्रेलियाई पेटेंट कार्यालय, हैरी लिंडग्रेन के एक विशेषज्ञ द्वारा विशेष रूप से बड़ी संख्या में पूर्व-मौजूदा आंकड़े काटने के रिकॉर्ड तोड़ दिए गए थे। वह एक अग्रणी फिगर कटर हैं। आज, पहेली प्रेमी काटने की समस्याओं को हल करने के शौकीन हैं, मुख्यतः क्योंकि ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं है, और हर कोई जो उनका समाधान लेता है, वह पूरी तरह से अपनी सरलता, अंतर्ज्ञान और रचनात्मक रूप से सोचने की क्षमता का प्रदर्शन कर सकता है। चूंकि यहां ज्यामिति के गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, शौकिया कभी-कभी पेशेवर गणितज्ञों से भी बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं। साथ ही, टुकड़े टुकड़े करने की समस्याएं तुच्छ या बेकार नहीं हैं, वे गंभीर गणितीय समस्याओं से दूर नहीं हैं। काटने की समस्याओं से, बोयाई-गेर्विन प्रमेय का जन्म हुआ था कि कोई भी दो समान आकार के बहुभुज समान रूप से बने होते हैं (विपरीत स्पष्ट है), और फिर हिल्बर्ट की तीसरी समस्या: क्या पॉलीहेड्रा के लिए एक समान कथन सत्य है? काटने के कार्य स्कूली बच्चों को विभिन्न प्रकार की सामग्रियों पर जल्द से जल्द ज्यामितीय निरूपण बनाने में मदद करते हैं। ऐसी समस्याओं का समाधान करते समय प्रकृति में सौन्दर्य, कानून-व्यवस्था की अनुभूति होती है। संग्रह "काटने की समस्या" को दो खंडों में विभाजित किया गया है। पहले खंड से समस्याओं को हल करते समय, छात्रों को योजनामिति की मूल बातों के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होगी, लेकिन उन्हें सरलता, ज्यामितीय कल्पना और काफी सरल ज्यामितीय जानकारी की आवश्यकता होगी जो सभी को पता हो। दूसरा खंड वैकल्पिक कार्य है। इनमें ऐसे कार्य शामिल थे, जिनके समाधान के लिए आंकड़ों, उनके गुणों और विशेषताओं, कुछ प्रमेयों के ज्ञान के बारे में बुनियादी ज्यामितीय जानकारी की आवश्यकता होगी। प्रत्येक खंड को पैराग्राफ में विभाजित किया गया है, जिसमें हमने एक विषय पर कार्यों को संयोजित करने का प्रयास किया है, और बदले में, बढ़ती कठिनाई के क्रम में उन्हें प्रत्येक सजातीय कार्यों वाले पाठों में विभाजित किया गया है। पहले खंड में आठ पैराग्राफ हैं। 1. चेकर पेपर पर कार्य। इस खंड में ऐसी समस्याएं हैं जिनमें आकृतियों (मुख्य रूप से वर्ग और आयत) की कटाई कोशिकाओं के किनारों के साथ होती है। पैराग्राफ में 4 पाठ हैं, हम उन्हें 5 वीं कक्षा के छात्रों द्वारा अध्ययन करने की सलाह देते हैं।

6 6 परिचय 2. पेंटोमिनो। इस पैराग्राफ में पेंटोमिनो आंकड़ों से संबंधित कार्य हैं, इसलिए इन पाठों के लिए बच्चों को इन आंकड़ों के सेट वितरित करने की सलाह दी जाती है। यहां दो पाठ हैं, हम उन्हें 5-6 वीं कक्षा के छात्रों द्वारा अध्ययन करने की सलाह देते हैं। 3. मुश्किल काटने का काम। यहां अधिक जटिल आकार की आकृतियों को काटने के लिए कार्य एकत्र किए गए हैं, उदाहरण के लिए, सीमाओं के साथ जो चाप हैं, और काटने के लिए अधिक जटिल कार्य हैं। इस पैराग्राफ में दो पाठ हैं, हम अनुशंसा करते हैं कि उन्हें 7 वीं कक्षा में पढ़ाया जाए। 4. विमान को विभाजित करना। यहां एकत्रित समस्याएं हैं जिनमें आपको आयताकार टाइलों में आयतों के ठोस विभाजन, लकड़ी की छत के संकलन की समस्याएं, आयत या वर्ग में आकृतियों की सबसे घनी पैकिंग के लिए समस्याएं खोजने की आवश्यकता है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप इस अनुच्छेद का अध्ययन ग्रेड 6-7 में करें। 5. तंगराम। यहाँ प्राचीन चीनी पहेली "तांग्राम" से संबंधित कार्य एकत्र किए गए हैं। इस पाठ के लिए यह वांछनीय है कि यह पहेली कम से कम गत्ते से बनी हो। यह खंड 5वीं कक्षा में अध्ययन के लिए अनुशंसित है। 6. अंतरिक्ष में काटने की समस्या। यहां, छात्रों को एक घन के विकास से परिचित कराया जाता है, एक त्रिकोणीय पिरामिड, समानताएं खींची जाती हैं और एक विमान और त्रि-आयामी निकायों के आंकड़ों के बीच अंतर दिखाया जाता है, जिसका अर्थ है समस्याओं को हल करने में अंतर। पैराग्राफ में एक पाठ है, जिसे हम छठी कक्षा के छात्रों द्वारा अध्ययन करने की सलाह देते हैं। 7. रंग भरने के लिए कार्य। यह दिखाता है कि किसी आकृति को रंगना किसी समस्या को हल करने में कैसे मदद करता है। यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि किसी आकृति को भागों में काटने की समस्या का समाधान संभव है, यह किसी तरह से काटने के लिए पर्याप्त है। लेकिन यह साबित करना कि काटना असंभव है, अधिक कठिन है। आकृति को रंगने से हमें ऐसा करने में मदद मिलती है। इस अनुच्छेद में तीन पाठ हैं। हम उन्हें 7 वीं कक्षा के छात्रों द्वारा अध्ययन करने की सलाह देते हैं। 8. हालत में रंग भरने के साथ कार्य। यहां एकत्रित कार्य हैं जिनमें आपको एक निश्चित तरीके से एक आकृति को रंगने की आवश्यकता है, प्रश्न का उत्तर दें: इस तरह के रंग के लिए कितने रंगों की आवश्यकता है (सबसे छोटी या सबसे बड़ी संख्या), आदि। पैराग्राफ में सात पाठ हैं। हम उन्हें 7 वीं कक्षा के छात्रों द्वारा अध्ययन करने की सलाह देते हैं। दूसरे खंड में ऐसे कार्य शामिल हैं जिन्हें अतिरिक्त कक्षाओं में हल किया जा सकता है। इसमें तीन पैराग्राफ हैं।

7 प्रस्तावना 7 9. आंकड़ों का परिवर्तन। इसमें ऐसे कार्य होते हैं जिनमें एक आकृति को उन भागों में काटा जाता है जिनसे दूसरी आकृति बनाई जाती है। इस पैराग्राफ में तीन पाठ हैं, पहला विभिन्न आंकड़ों के "रूपांतरण" से संबंधित है (काफी आसान कार्य यहां एकत्र किए गए हैं), और दूसरा पाठ एक वर्ग के परिवर्तन की ज्यामिति से संबंधित है। 10. काटने के लिए विभिन्न कार्य। इसमें विभिन्न काटने के कार्य शामिल हैं जिन्हें विभिन्न तरीकों से हल किया जाता है। इस खंड में तीन पाठ हैं। 11. आंकड़ों का क्षेत्रफल। इस खंड में दो पाठ हैं। पहले पाठ में, समस्याओं पर विचार किया जाता है, जिसके समाधान में आंकड़ों को भागों में काटना आवश्यक है, और फिर यह साबित करना है कि आंकड़े समान रूप से बनाए गए हैं, दूसरे पाठ में जिन समस्याओं का समाधान करना आवश्यक है आंकड़ों के क्षेत्रों के गुण।

8 खंड 1 1. चेकर पेपर पर कार्य पाठ 1.1 विषय: चेकर पेपर पर काटने के लिए कार्य। उद्देश्य: समरूपता के बारे में विचारों को विकसित करने के लिए संयोजन कौशल विकसित करने के लिए (आंकड़ों की एक कट लाइन के निर्माण के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के लिए, नियम जो इस रेखा का निर्माण करते समय समाधान खोने की अनुमति नहीं देते हैं)। हम पाठ में समस्याओं का समाधान करते हैं, घर के लिए समस्या 1.5 वर्ग में 16 कक्ष होते हैं। वर्ग को दो बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले। (एक वर्ग को दो भागों में काटने के तरीकों को अलग माना जाएगा यदि काटने की एक विधि से प्राप्त वर्ग के भाग दूसरी विधि से प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं।) समस्या के कितने समाधान हैं? निर्देश। इस समस्या के कई समाधान खोजना इतना कठिन नहीं है। अंजीर पर। 1, उनमें से कुछ दिखाए गए हैं, और समाधान बी) और सी) समान हैं, क्योंकि उनमें प्राप्त आंकड़ों को सुपरपोजिशन (यदि आप वर्ग सी को घुमाते हैं) को 90 डिग्री से जोड़ा जा सकता है)। चावल। 1 लेकिन सभी समाधान खोजना और किसी भी समाधान को न खोना पहले से ही अधिक कठिन है। ध्यान दें कि वर्ग को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाली टूटी हुई रेखा वर्ग के केंद्र के संबंध में सममित है। यह अवलोकन हमें कदम उठाने की अनुमति देता है

9 दो सिरों से पॉलीलाइन खींचने का चरण दर पाठ पाठ। उदाहरण के लिए, यदि पॉलीलाइन का आरंभ बिंदु A पर है, तो इसका अंत बिंदु B पर होगा (चित्र 2)। सुनिश्चित करें कि इस समस्या के लिए, पॉलीलाइन की शुरुआत और अंत दो तरह से खींचा जा सकता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 2. टूटी हुई रेखा का निर्माण करते समय, किसी भी समाधान को न खोने के लिए, आप इस नियम का पालन कर सकते हैं। यदि पॉलीलाइन का अगला लिंक दो तरीकों से खींचा जा सकता है, तो पहले आपको एक दूसरी समान ड्राइंग तैयार करने की आवश्यकता है और इस चरण को पहले तरीके से एक ड्राइंग पर और दूसरे पर दूसरे तरीके से करें (चित्र 3 दो दिखाता है) चित्र 2 (ए)) की निरंतरता। इसी तरह, आपको तब कार्य करने की आवश्यकता है जब दो नहीं, बल्कि तीन विधियाँ हों (चित्र 4 चित्र 2 (बी) की तीन निरंतरताएँ दिखाता है)। निर्दिष्ट प्रक्रिया सभी समाधान खोजने में मदद करती है। चावल। 2 अंजीर। 3 चावल के आयत 3 4 में 12 कोशिकाएँ होती हैं। एक आयत को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चले (काटने के तरीकों को अलग माना जाता है यदि काटने की एक विधि से प्राप्त भाग दूसरी विधि से प्राप्त भागों के बराबर नहीं हैं) आयत 3 5 में 15 कोशिकाएँ होती हैं और एक केंद्रीय कोशिका हटा दी जाती है। शेष आकृति को काटने के पांच तरीके खोजें

10 10 1. चेकर पेपर पर कार्यों को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ जाती है। वर्ग 6 6 को 36 समान वर्गों में विभाजित किया गया है। एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटने के पांच तरीके खोजें ताकि कट रेखा वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले। समस्या 1.4 में 200 से अधिक समाधान हैं। उनमें से कम से कम 15 खोजें। पाठ 1.2 विषय: चेकर्ड पेपर पर काटने की समस्या। उद्देश्य: समरूपता के बारे में विचारों को विकसित करना जारी रखने के लिए, "पेंटामिनो" विषय की तैयारी (विभिन्न आंकड़ों पर विचार जो पांच कोशिकाओं से बनाया जा सकता है)। समस्याएँ क्या 5 5 कोशिकाओं के एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटा जा सकता है ताकि कटी हुई रेखा कोशिकाओं की भुजाओं के साथ-साथ चली जाए? अपने उत्तर की पुष्टि करें वर्ग 4 4 को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट लाइन कोशिकाओं के किनारों के साथ-साथ चलती रहे। आप काटने के कितने अलग-अलग तरीके खोज सकते हैं? 1.8. आकृति (चित्र 5) को तीन बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट लाइन वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले। चावल। 5 अंजीर। अंजीर। 6 आकृति (चित्र 6) को चार बराबर भागों में विभाजित करें ताकि कट रेखा वर्गों के किनारों के साथ-साथ चले वर्ग जितना संभव हो उतने समाधान खोजें।

11 पाठ 5 5 कोशिकाओं के एक वर्ग को कटे हुए केंद्रीय सेल के साथ चार बराबर भागों में विभाजित करें। पाठ 1.3 विषय: चेकर पेपर पर समस्याओं को काटना। उद्देश्य: समरूपता (अक्षीय, केंद्रीय) के बारे में विचारों को विकसित करना जारी रखना। कार्य अंजीर में दिखाए गए आकृतियों को काटें। 8, ग्रिड लाइनों के साथ दो समान भागों में, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए। चावल। 8 चित्र अंजीर में दिखाए गए आंकड़े। 9, ग्रिड लाइनों के साथ चार बराबर भागों में कटौती करना आवश्यक है ताकि प्रत्येक भाग में एक चक्र हो। यह कैसे करना है? अंजीर में दिखाए गए चित्र को काटें। 10, ग्रिड लाइनों के साथ चार बराबर भागों में और उन्हें एक वर्ग में मोड़ो ताकि वृत्त और तारे वर्ग के समरूपता के सभी अक्षों के बारे में सममित रूप से व्यवस्थित हों। चावल। दस

12 12 1. चेकर पेपर पर कार्य इस वर्ग (चित्र 11) को कोशिकाओं के किनारों के साथ काटें ताकि सभी भाग समान आकार और आकार के हों और प्रत्येक में एक वृत्त और एक तारक हो। 12 को चार समान भागों में बाँटें ताकि उनमें से प्रत्येक में तीन भरी हुई कोशिकाएँ हों। पाठ 1.4 11 अंजीर। 12 विषय: चेकर्ड पेपर पर काटने की समस्या। लक्ष्य: एक आयत को दो बराबर भागों में काटना सीखें, जिससे आप एक वर्ग, एक और आयत जोड़ सकते हैं। यह निर्धारित करना सीखें कि आप किन आयतों को काटकर एक वर्ग बना सकते हैं। कार्य अतिरिक्त कार्य 1.23, 1.24 (इन कार्यों को वार्म-अप के लिए पाठ की शुरुआत में माना जा सकता है) आयत 4 9 कोशिकाओं को कोशिकाओं के किनारों के साथ दो बराबर भागों में काटें ताकि उन्हें फिर एक वर्ग में मोड़ा जा सके। एक आयत 4 8 कोशिकाओं को कोशिकाओं के किनारों के साथ दो भागों में काटा जाता है ताकि वे एक वर्ग बना सकें? 10 7 कोशिकाओं के एक आयत से 1 6 कोशिकाओं के एक आयत को काट दिया गया, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 13. परिणामी आकृति को दो भागों में काटें ताकि उन्हें एक वर्ग में मोड़ा जा सके। भरी हुई आकृतियों को 8 9 कोशिकाओं के एक आयत से काटा गया, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 14. परिणामी आकृति को दो बराबर भागों में काटें ताकि आप उनमें से 6 10 का आयत जोड़ सकें।

13 पाठ चित्र। 13 चावल एक 5 5 सेल वर्ग चेकर पेपर पर खींचा गया है। दिखाएँ कि इसे कोशिकाओं के किनारों के साथ 7 अलग-अलग आयतों में कैसे काटें, वर्ग को कोशिकाओं के किनारों के साथ 5 आयतों में काटें ताकि आयतों की भुजाओं की लंबाई को व्यक्त करने वाली सभी दस संख्याएँ अलग-अलग पूर्णांक हों। अंजीर में दिखाए गए आंकड़ों को विभाजित करें। . 15, दो बराबर भागों में। (आप न केवल सेल लाइनों के साथ, बल्कि उनके विकर्णों के साथ भी काट सकते हैं।) अंजीर। पंद्रह

14 14 2. पेंटोमिनो अंजीर में दिखाए गए आंकड़ों को काट लें। 16, चार बराबर भागों में। 2. पेंटोमिनो अंजीर। 16 पाठ 2.1 विषय: पेंटोमिनो। उद्देश्य: छात्रों के संयोजन कौशल का विकास। कार्य डोमिनोज़, ट्रोमिनोज़, टेट्रामिनोज़ (ऐसे आंकड़ों वाले गेम को टेट्रिस कहा जाता है) के आंकड़े, पेंटोमिनो दो, तीन, चार, पांच वर्गों से बने होते हैं ताकि किसी भी वर्ग में कम से कम एक वर्ग के साथ एक आम पक्ष हो। दो समान वर्गों से, केवल एक डोमिनोज़ आकृति बनाई जा सकती है (चित्र 17 देखें)। विभिन्न तरीकों से एक और वर्ग को जोड़कर एक एकल डोमिनोज़ आकृति से ट्रिमिनो आंकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं। आपको दो ट्रोमिनो आंकड़े मिलेंगे (चित्र 18)। चावल। 17 चावल सभी प्रकार के टेट्रामिनो आंकड़े बनाएं (ग्रीक शब्द "टेट्रा" चार से)। उन्हें कितने मिले? (रोटेशन या किसी अन्य से सममित प्रदर्शन द्वारा प्राप्त आकृतियों को नया नहीं माना जाता है)।

15 पाठ पेंटोमिनो के सभी संभव आंकड़े बनाएं (यूनानी "पेंटा" पांच से)। उन्हें कितने मिले? 2.3. अंजीर में दिखाए गए आंकड़ों की रचना करें। 19, पेंटोमिनो मूर्तियों से। प्रत्येक आकृति के लिए समस्या के कितने समाधान हैं? चित्रा पेंटोमिनो टुकड़ों के एक 3 5 आयत को मोड़ो। आपको कितने अलग-अलग समाधान मिलेंगे? 2.5. अंजीर में दिखाए गए आंकड़ों की रचना करें। 20, पेंटोमिनो मूर्तियों से। चावल। बीस

16 16 2. पेंटोमिनो पाठ 2.2 विषय: पेंटोमिनो। उद्देश्य: समरूपता के बारे में विचारों का विकास। समस्याएँ समस्या 2.2 में हमने सभी संभव पेंटोमिनो पीस बनाए। उन्हें अंजीर में देखें। 21. अंजीर। 21 चित्र 1 में निम्नलिखित गुण हैं। यदि इसे कागज से काटकर एक सीधी रेखा a (चित्र 22) के साथ मोड़ा जाता है, तो आकृति का एक भाग दूसरे के साथ मेल खाएगा। आकृति को समरूपता की सीधी धुरी के बारे में सममित कहा जाता है। चित्र 12 में समरूपता का अक्ष भी है, उनमें से दो भी सीधी रेखाएँ b और c हैं, जबकि आकृति 2 में सममिति की कोई कुल्हाड़ी नहीं है। चित्र प्रत्येक पेंटोमिनो आकृति में सममिति के कितने अक्ष हैं? 2.7. सभी 12 पेंटोमिनो आकृतियों में से, एक आयत को मोड़ें। विषम टुकड़ों को पलटने की अनुमति है। बारह पेंटोमिनो आकृतियों के 6 10 आयत को मोड़ें, और ताकि प्रत्येक तत्व इस आयत के एक तरफ को छू सके।

पाठ 17 अंजीर में दिखाए गए आयत को काटें। 23 (ए), आंतरिक रेखाओं के साथ दो ऐसे भागों में, जिसमें से एक सेल के आकार के तीन वर्ग छेदों के साथ एक आकृति को मोड़ना संभव है (चित्र 23 (बी))। अंजीर। पेंटोमिनो के आंकड़ों से, एक वर्ग 8 8 को बीच में काटकर एक वर्ग 2 2 के साथ मोड़ो। कई समाधान खोजें एक आयत में बारह पेंटोमिनो रखे गए हैं आंकड़ों की सीमाओं को पुनर्स्थापित करें (चित्र 24) यदि प्रत्येक तारा बिल्कुल सही में गिरता है एक पेंटोमिनो। चावल। 24 चित्र बारह पेंटोमिनो टुकड़े 12 10 बॉक्स में रखे गए हैं जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 25. शेष मुक्त क्षेत्र पर पेंटोमिनो का एक और सेट रखने का प्रयास करें।

18 18 3. मुश्किल काटने की समस्याएं 3. मुश्किल काटने की समस्याएं पाठ 3.1 विषय: सीमाओं के साथ अधिक जटिल आकार के आकार काटने की समस्याएं जो चाप हैं। उद्देश्य: यह जानने के लिए कि अधिक जटिल आकार की आकृतियों को आर्क्स के साथ कैसे काटें, और परिणामी भागों से एक वर्ग बनाएं। अंजीर में कार्य। 26 4 आंकड़े दिखाता है। एक कट के साथ, उनमें से प्रत्येक को दो भागों में विभाजित करें और उनमें से एक वर्ग बनाएं। चेकर्ड पेपर आपके लिए समस्या को हल करना आसान बना देगा। चावल वर्ग 6 6 को भागों में काटकर, अंजीर में दिखाए गए आंकड़े जोड़ें। 27. अंजीर। 27

19 पाठ 28 किले की दीवार का हिस्सा दिखाता है। पत्थरों में से एक का आकार इतना विचित्र है कि अगर आप इसे दीवार से खींचकर अलग तरीके से रख दें, तो दीवार सम हो जाएगी। इस पत्थर को ड्रा करें: एक वर्ग या इस असामान्य रिंग को पेंट करने के लिए और किस रंग का उपयोग किया जाएगा (चित्र 29)? चावल। 28 चावल अंजीर में दिखाए गए फूलदान को काट लें। 30, तीन भागों में, जिसमें से एक समचतुर्भुज को मोड़ा जा सकता है। चावल। 30 अंजीर। 31 अंजीर। 32 पाठ 3.2 विषय: काटने की अधिक जटिल समस्याएँ। उद्देश्य: अधिक जटिल काटने की समस्याओं को हल करने का अभ्यास करना। हम पाठ में समस्याओं को हल करते हैं, घर के लिए समस्या 3.12। आकृति (चित्र 31) को दो सीधे कटों के साथ ऐसे भागों में काटें जिससे आप एक वर्ग जोड़ सकें 32 आकृति को चार बराबर भागों में बाँटें, जिससे एक वर्ग जोड़ना संभव हो सके। अंजीर में दिखाए गए अक्षर E को काटें। 33, पाँच भागों में और उन्हें एक वर्ग में मोड़ो। भागों को उल्टा न करें

20 20 4. विमान को विभाजित करने की अनुमति है। यदि आप भागों को उल्टा करने की अनुमति देते हैं, तो क्या चार भागों के साथ प्राप्त करना संभव है? 3.9. पांच वर्गों से बने क्रॉस को ऐसे भागों में काटने की जरूरत है, जिससे एक समान आकार का क्रॉस (अर्थात क्षेत्रफल में बराबर) वर्ग बनाना संभव हो। दो शतरंज की बिसात दी गई है: एक साधारण एक, में 64 कोशिकाओं में, और दूसरा 36 कोशिकाओं में। उनमें से प्रत्येक को दो भागों में काटना आवश्यक है ताकि प्राप्त सभी चार भागों से कोशिकाओं की एक नई बिसात बनाई जा सके।कैबिनेट निर्माता के पास कीमती महोगनी से बने 7 7 कोशिकाओं के एक बिसात का एक टुकड़ा है। वह बिना सामग्री बर्बाद किए और अंजीर को स्वाइप किए बिना चाहता है। 33 केवल कोशिकाओं के किनारों के साथ काटते हैं, बोर्ड को 6 भागों में काटते हैं ताकि वे तीन नए वर्ग बना सकें, सभी अलग-अलग आकार के। यह कैसे करना है? क्या समस्या 3.11 को हल करना संभव है यदि भागों की संख्या 5 होनी चाहिए और कटौती की कुल लंबाई 17 है? 4. समतल को विभाजित करना पाठ 4.1 विषय: आयतों का ठोस विभाजन। उद्देश्य: आयताकार टाइलों के साथ आयतों के ठोस विभाजन बनाने का तरीका जानने के लिए। प्रश्न का उत्तर दें कि आयत किन परिस्थितियों में समतल के ऐसे विभाजन को स्वीकार करता है। कार्य (ए) पाठ में हल किए जाते हैं। कार्य 4.5 (बी), 4.6, 4.7 को घर पर छोड़ा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास 2 1 आयताकार टाइलों की असीमित आपूर्ति है, और हम उनका उपयोग एक आयताकार फर्श को बिछाने के लिए करना चाहते हैं, और कोई भी दो टाइलें ओवरलैप नहीं होनी चाहिए, एक 5-6 कमरे में फर्श पर 2 1 टाइलें बिछाएं। यह स्पष्ट है कि यदि एक आयताकार कमरे में फर्श p q को 2 1 टाइल किया गया है, तो p q सम है (चूंकि क्षेत्रफल 2 से विभाज्य है)। और इसके विपरीत: यदि p q सम है, तो फर्श को टाइल्स 2 1 से बिछाया जा सकता है।

21 पाठ वास्तव में, इस स्थिति में p या q में से एक संख्या सम होनी चाहिए। यदि, उदाहरण के लिए, p = 2r, तो फर्श को अंजीर में दिखाया जा सकता है। 34. लेकिन ऐसी लकड़ी की छतों में ब्रेक लाइनें होती हैं जो दीवार से दीवार तक पूरे "कमरे" को पार करती हैं, लेकिन टाइल्स को पार नहीं करती हैं। लेकिन व्यवहार में, ऐसी रेखाओं के बिना लकड़ी की छत का उपयोग किया जाता है - ठोस लकड़ी की छत। अंजीर टाइलें 2 1 कमरे की ठोस लकड़ी की छत 2 1 ए) आयत 4 6; बी) वर्ग टाइलें 2 1 ठोस लकड़ी की छत ए) कमरे 5 8; बी) कमरे 6 8। स्वाभाविक रूप से, प्रश्न उठता है कि आयत पी क्यू किस पी और क्यू के लिए टाइल्स 2 1 में निरंतर विभाजन को स्वीकार करता है? हम पहले से ही आवश्यक शर्तों को जानते हैं: 1) p q 2, 2) (p, q) (6, 6) और (p, q) (4, 6) से विभाज्य है। एक और शर्त को भी सत्यापित किया जा सकता है: 3) पी 5, क्यू 5। यह पता चला है कि ये तीन शर्तें भी पर्याप्त हैं। अन्य आकार की टाइलें बिना अंतराल के टाइलें 3 2 बिछाएं a) आयत 11 18; ख) आयत बिना अंतराल के, यदि संभव हो तो, टाइलों वाला एक वर्ग। क्या यह संभव है, 5 5 कोशिकाओं को मापने वाले चेकर पेपर का एक वर्ग लेकर, इसमें से 1 सेल को काट दिया जाए ताकि बाकी को 1 3 की प्लेटों में काटा जा सके। कोशिकाएं? पाठ 4.2 विषय: लकड़ी की छत।

22 22 4. विमान को विभाजित करना उद्देश्य: यह जानने के लिए कि विमान को विभिन्न आकृतियों के साथ कैसे कवर किया जाए (इसके अलावा, लकड़ी की छतें ब्रेक लाइनों या ठोस के साथ हो सकती हैं), या यह साबित करें कि यह असंभव है। समस्याएँ विमान के विभाजन के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों में से एक है: "एक टाइल किस आकार की होनी चाहिए ताकि उसकी प्रतियां बिना अंतराल और दोहरे आवरण के विमान को कवर कर सकें?" कुछ स्पष्ट रूप तुरंत दिमाग में आते हैं। यह साबित किया जा सकता है कि केवल तीन नियमित बहुभुज हैं जो विमान को कवर कर सकते हैं। यह एक समबाहु त्रिभुज, वर्ग और षट्भुज है (देखिए आकृति 35)। अनंत संख्या में अनियमित बहुभुज हैं जो समतल को ढक सकते हैं। अंजीर एक स्वेच्छ अधिक त्रिभुज को चार समान और समरूप त्रिभुजों में विभाजित करें। समस्या 4.8 में हम त्रिभुज को चार समान और समरूप त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। चार परिणामी त्रिभुजों में से प्रत्येक को बारी-बारी से चार समान और समरूप त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। , आदि, तो ऐसे त्रिकोण विमान को टाइल कर सकते हैं। विमान को अन्य आकृतियों के साथ कवर किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, ट्रेपेज़ॉइड, समांतर चतुर्भुज। विमान को अंजीर में दिखाए गए समान आंकड़ों के साथ कवर करें। 36.

23 पाठ अंजीर में दिखाए गए समान "कोष्ठक" के साथ विमान को टाइल करें। 37. अंजीर। 36 चावल चार वर्ग हैं जिनमें से एक की भुजा 1, आठ और 2 की भुजा है, बारह की भुजा 3 है। क्या आप उनमें से एक बड़ा वर्ग बना सकते हैं? क्या अंजीर में दर्शाई गई लकड़ी की टाइलों से किसी भी आकार के वर्ग को मोड़ना संभव है। 38 प्रकार, दोनों प्रकार की टाइलों का उपयोग करते हुए? पाठ 4.3 विषय: सबसे सघन पैकिंग की समस्याएँ। चावल। 38 उद्देश्य: इष्टतम समाधान की अवधारणा तैयार करना। कार्य 1 5 कोशिकाओं के आकार की स्ट्रिप्स की सबसे बड़ी संख्या को चेकर पेपर 8 8 कोशिकाओं के एक वर्ग से काटा जा सकता है? मास्टर के पास टिन स्क्वायर की एक शीट है। डीएम मास्टर इसमें से 3 5 वर्ग मीटर के अधिक से अधिक आयताकार रिक्त स्थान को काटना चाहता है। डीएम उसकी मदद करो क्या सेल के आयत को बिना अवशेष के 5 7 आकार के आयतों में काटना संभव है? हो सके तो कैसे? यदि नहीं, तो क्यों नहीं? चेकर पेपर की एक शीट पर, कोशिकाओं के आकार के साथ कटों को चिह्नित करें, जिनकी सहायता से आप चित्र में दिखाए गए अनुसार पूरे आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं। 39. अंजीर में दर्शाए गए आंकड़े। 39 (बी, डी), को चालू किया जा सकता है।

24 24 5. तंगराम चावल तंगराम पाठ 5.1 विषय: तंगराम। उद्देश्य: छात्रों को चीनी पहेली "तांग्राम" से परिचित कराना। ज्यामितीय अनुसंधान, डिजाइन का अभ्यास करें। संयोजन कौशल विकसित करें। समस्याओं को काटने की बात करें तो, प्राचीन चीनी पहेली "तांग्राम" का उल्लेख करने में कोई भी असफल नहीं हो सकता है, जो 4 हजार साल पहले चीन में पैदा हुआ था। चीन में इसे "ची ताओ तू" कहा जाता है, यानी सात टुकड़ों वाली मानसिक पहेली। दिशानिर्देश। इस पाठ को संचालित करने के लिए, हैंडआउट्स रखना वांछनीय है: एक पहेली (जिसे छात्र स्वयं बना सकते हैं), आकृतियों के चित्र जिन्हें मोड़ने की आवश्यकता होती है। चित्र स्वयं एक पहेली बनाएं: सात भागों (चित्र 40) में विभाजित एक वर्ग को मोटे कागज पर स्थानांतरित करें और इसे काटें पहेली के सभी सात भागों का उपयोग करके, अंजीर में दिखाए गए आंकड़े बनाएं। 41.

25 पाठ चित्र। 41 अंजीर। 42 दिशानिर्देश। बच्चों को आकृतियों के चित्र दिए जा सकते हैं a), b) पूर्ण आकार में। और इसलिए छात्र पहेली के कुछ हिस्सों को आकृति के चित्र पर रखकर समस्या का समाधान कर सकता है और इस तरह सही भागों का चयन कर सकता है, जिससे कार्य सरल हो जाता है। और चित्र चित्र

26 26 6. अंतरिक्ष में काटने की समस्याएं ग), डी) छोटे पैमाने पर दी जा सकती हैं; नतीजतन, इन कार्यों को हल करना अधिक कठिन होगा। अंजीर पर। स्व-संकलन के लिए 42 और आंकड़े दिए गए हैं। तंगग्राम के सभी सात भागों का उपयोग करके अपनी खुद की आकृति बनाने का प्रयास करें। तंगराम में, इसके सात भागों में, पहले से ही विभिन्न आकारों के त्रिकोण हैं। लेकिन इसके हिस्सों से आप अभी भी विभिन्न त्रिकोण जोड़ सकते हैं। टंग्राम के चार भागों का उपयोग करके एक त्रिभुज को मोड़ें: क) एक बड़ा त्रिभुज, दो छोटे त्रिभुज और एक वर्ग; बी) एक बड़ा त्रिभुज, दो छोटे त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज; ग) एक बड़ा त्रिभुज, एक मध्य त्रिभुज और दो छोटे त्रिभुज क्या आप एक स्पर्शरेखा के केवल दो भागों का उपयोग करके त्रिभुज बना सकते हैं? तीन हिस्से? पांच भाग? छह भाग? तांग्राम के सभी सात भाग? 5.6. जाहिर है कि तंगराम के सभी सात हिस्सों से एक वर्ग बनाया गया है। क्या दो भागों का वर्ग बनाना संभव है या असंभव? तीन में से? चार में से? 5.7. एक आयत बनाने के लिए टेंग्राम के किन विभिन्न भागों का उपयोग किया जा सकता है? अन्य कौन से उत्तल बहुभुज बनाए जा सकते हैं? 6. अंतरिक्ष में काटने की समस्या पाठ 6.1 विषय: अंतरिक्ष में काटने की समस्या। उद्देश्य: स्थानिक कल्पना विकसित करना। एक त्रिकोणीय पिरामिड, एक घन का झाडू बनाना सीखें, यह निर्धारित करें कि कौन से स्वीप गलत हैं। अंतरिक्ष में पिंडों को काटने के लिए समस्याओं को हल करने का अभ्यास करें (ऐसी समस्याओं का समाधान समतल पर आकृतियों को काटने की समस्याओं को हल करने से भिन्न होता है)। कार्य पिनोच्चियो में कागज था, एक तरफ पॉलीथीन के साथ चिपकाया गया था। उन्होंने अंजीर में दिखाया गया टुकड़ा बनाया। 43 इसमें से दूध की थैलियों (त्रिकोणीय पिरामिड) को गोंद कर दें। और लोमड़ी ऐलिस एक और खाली कर सकती है। क्या?

27 पाठ राइस कैट बेसिलियो को भी यह पेपर मिला, लेकिन वह क्यूब्स (केफिर बैग) को गोंद करना चाहता है। उन्होंने अंजीर में दिखाए गए रिक्त स्थान बनाए। 44. और लोमड़ी ऐलिस कहती है कि कुछ को तुरंत फेंका जा सकता है, क्योंकि वे अच्छे नहीं हैं। क्या वह सही है? चेप्स के पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, और इसके पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। पिनोच्चियो ऊपर चढ़ गया और शीर्ष पर किनारे के कोण को मापा (एएमडी, अंजीर में। 45)। यह 100 निकला। और लोमड़ी एलिस का कहना है कि उसने धूप में गर्म किया, क्योंकि यह नहीं हो सकता। क्या वह सही है? 6.4. एक घन को 64 छोटे घनों में विभाजित करने के लिए आवश्यक फ्लैट कटों की न्यूनतम संख्या क्या है? प्रत्येक कट के बाद, इसे अपनी पसंद के अनुसार क्यूब के हिस्सों को स्थानांतरित करने की अनुमति है। लकड़ी के क्यूब को बाहर की तरफ सफेद रंग से रंगा गया था, फिर इसके प्रत्येक किनारे को अंजीर में चित्रित किया गया था। 45 को 5 बराबर भागों में बाँटा गया, जिसके बाद इसे देखा गया ताकि छोटे-छोटे घन प्राप्त हों, जिनमें किनारा मूल घन से 5 गुना छोटा हो। कितने छोटे घन हैं? कितने घनों में तीन भुजाएँ रंगी हुई हैं? दो किनारे? एक किनारा? कितने अप्रकाशित घन बचे हैं? 6.6. तरबूज को 4 टुकड़ों में काट कर खाया जाता है। यह 5 क्रस्ट निकला। ऐसा हो सकता है?

28 28 7. रंग भरने के लिए कार्य 6.7. एक पैनकेक को तीन सीधे कटों के साथ अधिकतम कितने टुकड़ों में काटा जा सकता है? एक पाव रोटी के तीन टुकड़ों से कितने टुकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं? 7. रंग भरने के कार्य पाठ 7.1 विषय: रंग समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं। उद्देश्य: एक अच्छी तरह से चुने गए रंग (उदाहरण के लिए, एक बिसात पैटर्न में रंगना) का उपयोग करके, यह जानने के लिए कि कुछ काटने की समस्याओं का कोई समाधान नहीं है, जिससे छात्रों की तार्किक संस्कृति में सुधार होता है। समस्याएं यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि किसी आकृति को भागों में काटने की समस्या का समाधान संभव है: यह काटने की कुछ विधि प्रदान करने के लिए पर्याप्त है। सभी समाधान, यानी काटने के सभी तरीके खोजना, पहले से ही अधिक कठिन है। और यह साबित करना कि काटना असंभव है, काफी कठिन है। कुछ मामलों में, आकृति का रंग हमें ऐसा करने में मदद करता है हमने 8 8 मापने वाले चेकर पेपर का एक वर्ग लिया, इसमें से दो कोशिकाओं को काट दिया (निचला बाएं और ऊपरी दाएं)। क्या परिणामी आकृति को "डोमिनोज़" आयतों 1 2 के साथ पूरी तरह से कवर करना संभव है? 7.2. शतरंज की बिसात पर एक "ऊंट" आकृति होती है, जो तीन कोशिकाओं को लंबवत और एक क्षैतिज रूप से, या तीन क्षैतिज रूप से और एक लंबवत रूप से प्रत्येक चाल के साथ चलती है। क्या एक "ऊंट" कई चाल चलने के बाद अपने मूल पक्ष से सटे सेल में जा सकता है? 7.3. 5 5 वर्ग की प्रत्येक कोशिका में एक भृंग होता है। आदेश पर, प्रत्येक भृंग बगल की कोशिकाओं में से एक पर रेंगता है। क्या तब यह पता चल सकता है कि प्रत्येक कोशिका में ठीक एक भृंग फिर से बैठेगा? क्या होगा यदि मूल वर्ग का आयाम 6 6 हो? 7.4. क्या 4x4 चेकर पेपर के एक वर्ग को एक कुरसी, एक वर्ग, एक कॉलम और एक ज़िगज़ैग (चित्र 46) में काटना संभव है?

एम. ए. एकिमोवा, जी.पी. कुकिन एमटीएनएमओ मॉस्को, 2002 यूडीसी 514.11 एलबीसी 22.151.0 ई45 ई45 एकिमोवा एम.ए., कुकिन जी.पी. कटिंग प्रॉब्लम्स। एम .: एमटीएसएनएमओ, 2002. 120 पी .: बीमार। श्रृंखला: "गणित पढ़ाने का रहस्य"। इस

वी.ए. स्मिरनोव, आई.एम. स्मिरनोवा, आई.वी. यशचेंको 5 6 कक्षाओं में दृश्य ज्यामिति का क्या होना चाहिए गणित में GIA और USE के परिणाम बताते हैं कि ज्यामितीय की मुख्य समस्या

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I. V. Yakovlev गणित में सामग्री MathUs.ru उदाहरण और निर्माण 1. (अखिल रूसी, 2018, , 5.2) लड़की ने अपने नाम के प्रत्येक अक्षर को रूसी वर्णमाला में उसकी संख्या के साथ बदल दिया। परिणाम संख्या 2011533 है।

लेक्चर 24 प्लेन ग्राफ़ 1. प्लेन ग्राफ़ के लिए यूलर का फॉर्मूला परिभाषा 44: एक प्लेन ग्राफ़ एक प्लेन पर सेल्फ-चौराहे के बिना ग्राफ़ की एक छवि है। नोट ग्राफ फ्लैट के समान नहीं है

माध्यमिक (पूर्ण) सामान्य शिक्षा एमआई बश्माकोव गणित ग्रेड 11 समस्याओं का संग्रह तीसरा संस्करण यूडीसी 372.851 (075.3) एलबीसी 22.1ya721 बी 336 बश्माकोव एमआई बी 336 गणित। ग्रेड 11। कार्यों का संग्रह: माध्यमिक (पूर्ण)

वी.ए. स्मिरनोव 1. आकृतियों की पहचान 1. किस बहुफलक को घन कहा जाता है? 2. एक घन के कितने शीर्ष, किनारे, फलक होते हैं? 3. चेकर्ड पेपर पर एक क्यूब बनाएं। 4. किस बहुफलक को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है?

वी.ए. स्मिरनोव, आई.वी. यूनिफाइड स्टेट एग्जामिनेशन 2013 की तैयारी के लिए स्पेस हैंडबुक में यशचेंको फिगर्स परिचय यह मैनुअल गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए तैयार किया गया है। इसके लक्ष्य हैं:

1 दुनिया की वस्तुओं का वर्णन करने के लिए ज्यामितीय भाषा और ज्यामितीय प्रतीकवाद का उपयोग करना सीखें; के लिए प्रदान की गई समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में सरल तर्क और औचित्य को पूरा करना

गणित 5.1-5.3 वर्ग (तकनीकी प्रोफ़ाइल) बैंक ऑफ टास्क मॉड्यूल "ज्यामिति" "त्रिकोण और चतुर्भुज। सीधी रेखाएँ और वृत्त। समरूपता। पॉलीहेड्रा" बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी आवश्यक

युवा गणितज्ञ 2016 के तीसरे मिन्स्क सिटी ओपन टूर्नामेंट के लिए कार्य (जूनियर लीग, ग्रेड 5-7) मार्च 10-12, 2016 शैक्षणिक संस्थान, प्रमुख, उसका फोन नंबर इंगित करने वाले प्रारंभिक आवेदन

बरनौली के केंद्रीय जिले के नगरपालिका बजटीय पूर्वस्कूली शैक्षणिक संस्थान "किंडरगार्टन 30"

1 चरम नियम इगोर ज़ुक (अल्फ़ा, 1(4), 1999) आइए निम्नलिखित तीन समस्याओं से शुरू करें: समस्या 1। चेकर पेपर की एक अनंत शीट पर, प्रत्येक सेल में एक प्राकृतिक संख्या लिखी जाती है। यह ज्ञात है

ज्ञान सबसे उत्कृष्ट संपत्ति है। हर कोई इसके लिए प्रयास करता है, यह अपने आप नहीं आता है। अबू-आर-रायखान अल-बुरुनी "बहुभुज के क्षेत्र की अवधारणा" ज्यामिति ग्रेड 8 1 बहुपदों की विशेषता बंद पॉलीलाइन,

व्याख्यात्मक नोट 1. पाठ्यक्रम की सामान्य विशेषताएं इस कार्यक्रम को बुनियादी सामान्य शिक्षा के लिए संघीय राज्य शैक्षिक मानक की आवश्यकताओं के अनुसार संकलित किया गया है और इसका उद्देश्य है

मास्टर क्लास "गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री, भाग 1। अक्टूबर 2017। समस्याओं को हल करने के लिए, आपको ज्यामितीय आकृतियों और उनके गुणों के बारे में ज्ञान की आवश्यकता होती है, फ्लैट आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना, वॉल्यूम।

नगर बजटीय शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय 2" अनुलग्नक 3.20। पाठ्यक्रम "विजुअल ज्योमेट्री" ग्रेड 5-6 डेवलपर्स के लिए कार्य कार्यक्रम: ओविचिनिकोवा एन.वी.,

विषय 1. समता 1। एक बंद श्रृंखला में जुड़े टेबल पर 13 गियर हैं। क्या सभी गियर एक साथ घूम सकते हैं? 2. क्या एक सीधी रेखा जिसमें शीर्ष नहीं हैं, 13 . के साथ एक बंद पॉलीलाइन बना सकते हैं

कार्यों के तीसरे भाग के कार्यों का विश्लेषण 1 2 इलेक्ट्रॉनिक स्कूल Znanik कार्यों के तीसरे भाग के कार्यों का विश्लेषण ग्रेड 4 6 7 8 9 10 ए बी ए सी डी टास्क 6 हर 10 मीटर में सुरंग के अंदर चौकियां हैं।

IX अखिल रूसी पारी "युवा गणितज्ञ"। वीडीसी "ईगलेट"। गणितीय खेलों का VI टूर्नामेंट। गणितीय खेल "द्वंद्वयुद्ध"। जूनियर लीग। समाधान। सितंबर 08, 2013 1. दो समूहों में समान संख्या में छात्र पढ़ते हैं

घनों के साथ दिलचस्प समस्याएँ समस्या 1. क्रमांक (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) वाले घन के 8 शीर्षों की संख्या ताकि इसके छह फलकों में से प्रत्येक पर संख्याओं का योग समान हो ( अंजीर। 1 ए)।

गणित में कार्यों का बैंक ग्रेड 6 "बहुभुज और बहुफलक" 1. एक बहुफलक एक बंद सतह है जिसमें बहुभुज के समांतर चतुर्भुज और बहुभुज के बहुभुज के त्रिभुज होते हैं।

उच्च शिक्षा पर रूसी संघ की राज्य समिति नोवोसिबिर्स्क राज्य विश्वविद्यालय पत्राचार स्कूल गणितीय विभाग समानांतर डिजाइन ग्रेड 0, असाइनमेंट 3. नोवोसिबिर्स्क

विषय का कार्य कार्यक्रम "द वर्ल्ड ऑफ़ साइन्स एंड नंबर्स" ग्रेड 5 1. "द वर्ल्ड ऑफ़ साइन्स एंड नंबर्स" विषय के विकास के नियोजित परिणाम, ज्यामितीय भाषा में महारत हासिल करना, इसका वर्णन करने के लिए इसका उपयोग करना

7 वीं कक्षा में दृश्य ज्यामिति में पाठ्येतर पाठ। विषय: "कैंची की ज्यामिति। आकृतियों को काटने और मोड़ने में समस्याएँ"

उन्हें। स्मिरनोव, वी.ए. शैक्षिक संस्थानों के लिए चेक किए गए पेपर पाठ्यपुस्तक पर स्मिरनोव ज्यामिति मास्को 2009 प्राक्कथन प्रस्तावित मैनुअल में निर्माण के लिए छप्पन समस्याएं हैं और

कार्यपुस्तिका 2 रूपांतरण 1 परिवर्तन की अवधारणा उदाहरण 1. संकेंद्रित वृत्तों का एक दूसरे में परिवर्तन। वृत्त c 1 को उसके संकेंद्रित वृत्त c 2 में दिखाया गया है जैसा कि दिखाया गया है

शरद ऋतु भौतिकी और गणित गहन "100 घंटे" पॉलीओमाइन खेल और चेकर्ड आंकड़ों के साथ पहेली खोज़िन मिखाइल अनातोलियेविच डेज़रज़िन्स्क, अक्टूबर 29 नवंबर 2, 2016 पॉलीमोनो क्या है? डोमिनोज़ को हर कोई जानता है

नीचे दिए गए चित्रों में दिखाए गए अनुसार 7 आकार बिंदु-दर-बिंदु खींचे गए हैं। सी ए जी बी एफ नीचे दिए गए आंकड़ों में आंकड़े बनाने के लिए इन तत्वों का उपयोग कैसे करें दिखाएं ए) (अंक 0 अंक) बी) (अंक 0 अंक) सी) (3 अंक

2010 का उपयोग करें। गणित। समस्या B9. वर्कबुक स्मिरनोव वी.ए. (ए। एल। सेमेनोव और आई। वी। यशचेंको के संपादकीय के तहत) एम।: एमटीएसएनएमओ पब्लिशिंग हाउस; 2010, 48 पृष्ठों USE 2010 की गणित कार्यपुस्तिका। गणित श्रृंखला

1) प्रतिस्पर्धी दौर के IDm2014_006 उत्तर 2) टीम लीडर पोयार्कोवा ओल्गा सर्गेवना 3) तकनीकी निष्पादक (समन्वयक) संख्या 4) प्रतिस्पर्धी दौर के उत्तरों के साथ वेब पेज का URL (यदि कोई हो) नहीं 5) तालिका

10.1 (तकनीकी प्रोफाइल), 10.2 (प्रोफाइल स्तर) 2018-2019 शैक्षणिक वर्ष गणित में परीक्षण की तैयारी के लिए कार्यों का नमूना बैंक, खंड "ज्यामिति" (पाठ्यपुस्तक अतानासियन एल.एस., प्रोफाइल स्तर)

I. M. स्मिरनोवा, V. A. स्मिरनोव नियमित, अर्ध-नियमित और तारे के आकार का पॉलीहेड्रा मास्को MTsNMO पब्लिशिंग हाउस 010

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय नोवोसिबिर्स्क राज्य विश्वविद्यालय विशेष शैक्षिक और वैज्ञानिक केंद्र गणित ग्रेड 0 समानांतर डिजाइन नोवोसिबिर्स्क I. डिजाइन

2016 2017 स्कूल वर्ष 5 वीं कक्षा 51 प्रविष्टि 2 2 2 2 2 में कोष्ठक और क्रिया संकेत व्यवस्थित करें ताकि यह निकला 24 52 अन्या मंगलवार, बुधवार और गुरुवार को झूठ बोलती है और सप्ताह के अन्य सभी दिनों में सच बताती है

विषय 16. पॉलीहेड्रा 1. प्रिज्म और उसके तत्व: एक प्रिज्म एक पॉलीहेड्रॉन होता है, जिसके दो चेहरे समानांतर विमानों में स्थित समान बहुभुज होते हैं, और शेष चेहरे समांतर चतुर्भुज होते हैं।

ज्यामिति से ज्यामिति तक। पीडीए, ज्यामिति, तीसरा पाठ (मैक्सिमोव डी.वी.) जून 28, 2017 दृश्य ज्यामिति एक 3x3x3 घन 13 सफेद और 14 गहरे घनों से बना है। इसमें कौन सी तस्वीर है? नीचे दिखाया गया है

ग्रेड 7 7.1। क्या यह पता चल सकता है कि ओलंपियाड के 1000 प्रतिभागी इस समस्या को सही ढंग से हल करेंगे, और उनमें लड़कियों की तुलना में 43 लड़के अधिक होंगे? 7.2. प्राकृतिक संख्या से लाडा और लैरा का अनुमान लगाया गया। यदि एक

शिक्षा और युवा मामलों पर अल्ताई क्षेत्र के ज़ेमिनोगोर्स्क जिले के प्रशासन की समिति

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के कंप्यूटर साइंस फैकल्टी में इवनिंग मैथमैटिकल स्कूल में प्रवेश परीक्षा का नाम एम। वी। लोमोनोसोव (29 सितंबर, 2018) ग्रेड 8-9 1 के नाम पर रखा गया है। टीमों "गणितज्ञ", "भौतिक विज्ञानी" और "प्रोग्रामर" ने फुटबॉल खेला

अबकन शहर का नगर बजटीय शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय 11" ग्रेड 1-4 के एक्स्ट्रा करिकुलर प्रोग्राम के लिए सर्कल "युवा गणितज्ञ" की पाठ्येतर गतिविधियों का कार्यक्रम

विषयवस्तु I. समता समस्या 1. वर्गाकार तालिका 25 25 को 25 रंगों में रंगा गया है ताकि प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में सभी रंग हों। सिद्ध कीजिए कि यदि रंगों की व्यवस्था के सन्दर्भ में सममित है

1. सेट। सेट 1 पर संचालन। क्या यह सच है कि किसी भी सेट ए, बी के लिए समानता ए \ (ए \ बी) ए बी रखती है? 2. क्या यह सत्य है कि किसी समुच्चय A, B के लिए समानता (A \ B) (B \ A)

अंतिम कार्य असाइनमेंट द्वारा परीक्षण किए गए अनुभाग कोड आवश्यकताएँ (कौशल) चौथी कक्षा के छात्रों के लिए "गणित" विषय पर असाइनमेंट का बैंक खोलें कार्य 4. स्थानिक संबंध। ज्यामितीय

पॉलीहेड्रॉन की छवि एक निश्चित विमान पर इसके प्रक्षेपण के समान एक आकृति को एक आकृति की छवि के रूप में लिया जाता है। एक छवि का चयन किया जाता है जो आकृति के आकार का सही विचार देता है, है

एक बॉक्स में ग्रेड 5 दिमित्री गुशचिन की प्रारंभिक गणित वेबसाइट www.mathnet.spb.ru के लिए कार्य 5. यदि वह अपना सर्वश्रेष्ठ खेलता है तो कौन जीतता है? 2. वर्ग 5 5 में इसे विभाजित करके रेखाएँ खींची जाती हैं

Krasnogvardeisky जिला प्रशासन का शिक्षा विभाग नगरपालिका शैक्षणिक संस्थान "कलिनोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय" मैं स्वीकृति देता हूं: MBOU "कलिनोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय" बेलौसोवा के निदेशक

ज्यामिति में बारहवां अखिल रूसी ओलंपियाड। I. F. Sharygina चौदहवें ओरल ओलंपियाड इन ज्योमेट्री मॉस्को, 17 अप्रैल, 2016 समस्याओं का समाधान 8 9 कक्षा 1. (ए। ब्लिंकोव) एक षट्भुज में बराबर हैं

कार्य जी -11.5.16। एस पक्ष = पी मुख्य। * प्रिज्म की पार्श्व सतह को खोजने के लिए एच सूत्र -11.5.17। एस पक्ष = 1 पी मुख्य। * पिरामिड की सतह 2 की भुजा ज्ञात करने का ज सूत्र 6. विविध समस्याएँ -10.6.1.

आठवीं टीम-व्यक्तिगत टूर्नामेंट "गणितीय ऑल-अराउंड" 27 नवंबर, 2015, मॉस्को ज्योमेट्री (समाधान) जूनियर लीग 1. एक सर्कल और इसकी कॉर्ड दी गई है। जीवा के सिरों पर वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं

1. चेकर्ड पेपर पर एक आकृति बनाई गई थी। इसे 4 बराबर भागों में बाँट लें
चेकर पेपर की तर्ज पर भागों। सभी संभावित आंकड़े खोजें जिनके लिए
आप समस्या की स्थिति के अनुसार इस आंकड़े को काट सकते हैं।
समाधान।
2. वर्ग 5 5 से केंद्रीय सेल काट लें। परिणामी काटें
दो समान भागों में दो तरह से चित्रित करें।
समाधान।

3. 3×4 आयत को दो बराबर भागों में विभाजित करें। खोजें कि आप कैसे कर सकते हैं
अधिक तरीके। आप केवल 1 × 1 वर्ग, और विधियों के किनारे काट सकते हैं
अलग-अलग माने जाते हैं यदि परिणामी आंकड़े प्रत्येक के लिए समान नहीं हैं
मार्ग।
समाधान।
4. आकृति में दिखाई गई आकृति को 2 बराबर भागों में काटें।
समाधान।
5. आकृति में दिखाई गई आकृति को 2 बराबर भागों में काटें।

समाधान।
6. आकृति में दर्शाई गई आकृति को दो समान भागों में काटिये
ग्रिड लाइनें, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए।
समाधान।
7. आकृति में दिखाई गई आकृति को चार बराबर भागों में काटें

समाधान।

8. आकृति में दिखाई गई आकृति को चार बराबर भागों में काटें
ग्रिड लाइनों के साथ, और प्रत्येक भाग में एक वृत्त होना चाहिए।
समाधान।
9. इस वर्ग को कोशिकाओं के किनारों के साथ काटें ताकि सभी भाग
एक ही आकार और आकार का हो, और प्रत्येक में एक हो
मग और क्रॉस।
समाधान।

10. आकृति में दिखाए गए चित्र को ग्रिड लाइनों के साथ काटें
चार बराबर भागों में और उन्हें एक वर्ग में मोड़ो ताकि सर्कल और क्रॉस हो जाएं
वर्ग की सममिति के सभी अक्षों पर सममित रूप से स्थित है।
समाधान।
11. आकृति में दिखाए गए वर्ग 6 6 कोशिकाओं को चार में काटें
समान भागों ताकि उनमें से प्रत्येक में तीन भरी हुई कोशिकाएँ हों।

समाधान।
12. क्या एक वर्ग को चार भागों में काटना संभव है ताकि प्रत्येक भाग
अन्य तीन के संपर्क में था (यदि उनके पास एक सामान्य है तो भाग संपर्क में हैं
सीमा क्षेत्र)?
समाधान।
13. क्या 9 4 कोशिकाओं के एक आयत को दो बराबर भागों में काटना संभव है?

फिर इसे कैसे करें?
हल। ऐसे वर्ग का क्षेत्रफल 36 सेल होता है, अर्थात् इसकी भुजा 6 . होती है
कोशिकाएं। काटने की विधि अंजीर में दिखाई गई है।

14. क्या 5 10 कोशिकाओं के एक आयत को दो बराबर भागों में काटना संभव है?
कोशिकाओं के किनारे ताकि वे एक वर्ग बना सकें? यदि हां,
फिर इसे कैसे करें?
हल इस प्रकार के वर्ग का क्षेत्रफल 50 सेलों का होता है, अर्थात् इसकी भुजा होती है
7 से अधिक, लेकिन 8 से कम संपूर्ण कोशिकाएं। तो, ऐसे आयत को काटने के लिए
कोशिकाओं के किनारों पर आवश्यक तरीके से असंभव है।
15. कागज की 9 शीट थीं। उनमें से कुछ को तीन भागों में काट दिया गया था। कुल
15 चादरें बन गईं। कागज की कितनी शीट काटी गई?
हल। 3 शीट काटें: 3 3 + 6 = 15।