रैखिक समीकरणों (धीमी) की प्रणालियों को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि। रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों का संख्यात्मक समाधान

सरल पुनरावृत्तियों की विधि मूल समीकरण को एक समान समीकरण से बदलने पर आधारित है:

बता दें कि मूल का प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात है एक्स = एक्स 0. इसे समीकरण (2.7) के दाईं ओर रखने पर हमें एक नया सन्निकटन प्राप्त होता है , तो इसी तरह से हमें मिलता है आदि।:

. (2.8)

सभी परिस्थितियों में नहीं, पुनरावृत्ति प्रक्रिया समीकरण के मूल में परिवर्तित हो जाती है एक्स. आइए इस प्रक्रिया पर अधिक विस्तार से विचार करें। चित्र 2.6 एकतरफा अभिसरण और अपसारी प्रक्रिया की चित्रमय व्याख्या दिखाता है। चित्र 2.7 दोतरफा अभिसरण और अपसारी प्रक्रियाओं को दर्शाता है। एक विचलन प्रक्रिया को तर्क और कार्य के मूल्यों में तेजी से वृद्धि और संबंधित कार्यक्रम के दुर्घटनाग्रस्त होने की विशेषता है।

दो-तरफ़ा प्रक्रिया के साथ, एक लूप संभव है, अर्थात्, फ़ंक्शन और तर्क के समान मूल्यों का एक अंतहीन दोहराव। लूपिंग एक अलग प्रक्रिया को एक अभिसरण से अलग करता है।

रेखांकन से यह देखा जा सकता है कि एक तरफा और दो तरफा दोनों प्रक्रियाओं में, जड़ से अभिसरण जड़ के पास वक्र के ढलान से निर्धारित होता है। ढलान जितना छोटा होगा, अभिसरण उतना ही बेहतर होगा। जैसा कि आप जानते हैं, वक्र के ढलान की स्पर्शरेखा किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के अवकलज के बराबर होती है।

इसलिए, जड़ के पास जितना कम होगा, प्रक्रिया उतनी ही तेजी से परिवर्तित होगी।

पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अभिसरण करने के लिए, निम्नलिखित असमानता को जड़ के आसपास के क्षेत्र में संतुष्ट किया जाना चाहिए:

समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, जो फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है एफ (एक्स)।ऐसे संक्रमण में, एक फ़ंक्शन का निर्माण इस तरह से करना आवश्यक है कि अभिसरण की स्थिति (2.9) संतुष्ट हो।

समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण के लिए सामान्य एल्गोरिदम में से एक पर विचार करें।

हम समीकरण (2.1) के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा करते हैं बीऔर दोनों भागों में अज्ञात जोड़ें एक्स।इस मामले में, मूल समीकरण की जड़ें नहीं बदलेगी:

हम संकेतन का परिचय देते हैं और संबंध (2.10) से समीकरण (2.8) तक जाते हैं।

स्थिरांक का मनमाना चुनाव बीअभिसरण शर्त (2.9) की पूर्ति सुनिश्चित करेगा। शर्त (2.2) पुनरावृत्ति प्रक्रिया के लिए समाप्ति मानदंड होगा। चित्र 2.8 वर्णित प्रतिनिधित्व विधि के साथ सरल पुनरावृत्तियों की विधि की चित्रमय व्याख्या दिखाता है (एक्स और वाई अक्षों के साथ तराजू अलग हैं)।

यदि फ़ंक्शन को रूप में चुना जाता है, तो इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा। उच्चतम अभिसरण दर होगी , तब और पुनरावृत्ति सूत्र (2.11) न्यूटन के सूत्र में चला जाता है। इस प्रकार, न्यूटन की विधि में सभी पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के अभिसरण की उच्चतम डिग्री है।

सरल पुनरावृत्तियों की विधि का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन एक सबरूटीन प्रक्रिया के रूप में किया जाता है इटेरास(कार्यक्रम 2.1)।

पूरी प्रक्रिया में व्यावहारिक रूप से एक एकल दोहराव होता है ... लूप तक, जो पुनरावृत्ति प्रक्रिया को समाप्त करने की स्थिति को ध्यान में रखते हुए सूत्र (2.11) को लागू करता है (सूत्र (2.2))।

लूप सुरक्षा को Niter चर का उपयोग करके लूपों की संख्या की गणना करके प्रक्रिया में बनाया गया है। व्यावहारिक अभ्यासों में, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि कार्यक्रम चलाकर, गुणांक का चुनाव कैसे प्रभावित करता है बीऔर मूल को खोजने की प्रक्रिया पर प्रारंभिक सन्निकटन। गुणांक बदलते समय बीअध्ययन के तहत कार्य के लिए पुनरावृत्त प्रक्रिया की प्रकृति में परिवर्तन होता है। यह पहले दो तरफा हो जाता है, और फिर लूप (चित्र। 2.9)। कुल्हाड़ियों के साथ स्केल एक्सतथा यूको अलग। एक और भी बड़ा मापांक b एक भिन्न प्रक्रिया की ओर ले जाता है।

समीकरणों के अनुमानित हल के लिए विधियों की तुलना

ऊपर वर्णित समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के तरीकों की तुलना एक प्रोग्राम का उपयोग करके की गई थी जो आपको पीसी स्क्रीन पर ग्राफिकल रूप में रूट खोजने की प्रक्रिया का निरीक्षण करने की अनुमति देता है। इस कार्यक्रम में शामिल प्रक्रियाएं और तुलनात्मक विधियों को लागू करना नीचे दिया गया है (प्रोग्राम 2.1)।

चावल। 2.3-2.5, 2.8, 2.9 पुनरावृत्त प्रक्रिया के अंत में पीसी स्क्रीन की प्रतियां हैं।

सभी मामलों में, द्विघात समीकरण x 2 -x-6 \u003d 0 को एक विश्लेषणात्मक समाधान x 1 \u003d -2 और x 2 \u003d 3 के अध्ययन के तहत कार्य के रूप में लिया गया था। त्रुटि और प्रारंभिक अनुमानों के लिए बराबर लिया गया था सभी तरीके। रूट खोज परिणाम एक्स =चित्र में दिखाए गए 3 इस प्रकार हैं। द्विभाजन विधि सबसे धीमी - 22 पुनरावृत्तियों को, सबसे तेज़ - सरल पुनरावृत्तियों की विधि को b = -0.2 - 5 पुनरावृत्तियों में परिवर्तित करती है। यहाँ इस कथन का कोई विरोध नहीं है कि न्यूटन की विधि सबसे तेज है।

एक बिंदु पर अध्ययन के तहत कार्य का व्युत्पन्न एक्स= 3 -0.2 के बराबर है, अर्थात, इस मामले में गणना समीकरण के मूल बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के साथ न्यूटन विधि द्वारा व्यावहारिक रूप से की गई थी। गुणांक बदलते समय बीअभिसरण दर कम हो जाती है और धीरे-धीरे अभिसरण प्रक्रिया पहले चक्र, फिर भिन्न हो जाती है।

बीजीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए व्याख्यान पुनरावृत्ति विधियाँ।

पुनरावृत्ति प्रक्रिया की अभिसरण स्थिति। जैकोबी विधि। सीडल विधि

सरल पुनरावृत्ति विधि

रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय माना जाता है

पुनरावृत्त विधियों को लागू करने के लिए, सिस्टम को एक समान रूप में कम किया जाना चाहिए

फिर, समीकरणों की प्रणाली के समाधान के लिए प्रारंभिक सन्निकटन चुना जाता है, और मूल के सन्निकटन का एक क्रम पाया जाता है।

पुनरावृत्त प्रक्रिया को अभिसरण करने के लिए, यह पर्याप्त है कि स्थिति
(मैट्रिक्स मानदंड)। पुनरावृत्तियों के लिए समाप्ति मानदंड लागू पुनरावृत्त विधि पर निर्भर करता है।

जैकोबी विधि .

सिस्टम को पुनरावृति के लिए सुविधाजनक रूप में लाने का सबसे सरल तरीका इस प्रकार है:

सिस्टम के पहले समीकरण से, हम अज्ञात को व्यक्त करते हैं एक्स 1, सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्स 2, आदि

नतीजतन, हम मैट्रिक्स बी के साथ समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसमें शून्य तत्व मुख्य विकर्ण पर होते हैं, और शेष तत्वों की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

वेक्टर डी के घटकों की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

सरल पुनरावृत्ति विधि की गणना सूत्र है:

या समन्वय संकेतन में इस तरह दिखता है:

जैकोबी विधि में पुनरावृत्तियों को समाप्त करने की कसौटी का रूप है:

यदि एक
, तो पुनरावृत्तियों को समाप्त करने के लिए एक सरल मानदंड लागू किया जा सकता है

उदाहरण 1जैकोबी विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान।

मान लीजिए कि समीकरणों की प्रणाली दी गई है:

सटीकता के साथ सिस्टम का समाधान खोजना आवश्यक है

हम सिस्टम को पुनरावृति के लिए सुविधाजनक रूप में लाते हैं:

हम एक प्रारंभिक सन्निकटन चुनते हैं, उदाहरण के लिए,

दाईं ओर का वेक्टर है।

तब पहली पुनरावृत्ति इस तरह दिखती है:

समाधान के लिए निम्नलिखित सन्निकटन इसी तरह प्राप्त होते हैं।

मैट्रिक्स B का मान ज्ञात कीजिए।

हम मानदंड का उपयोग करेंगे

चूंकि प्रत्येक पंक्ति में तत्वों के मॉड्यूल का योग 0.2 है, तो
, इसलिए इस समस्या में पुनरावृत्तियों को समाप्त करने की कसौटी है

आइए हम वैक्टर के अंतर के मानदंडों की गणना करें:

इसलिये
निर्दिष्ट सटीकता चौथे पुनरावृत्ति पर पहुंच जाती है।

उत्तर: एक्स 1 = 1.102, एक्स 2 = 0.991, एक्स 3 = 1.0 1 1

सीडल विधि .

विधि को जैकोबी पद्धति के संशोधन के रूप में माना जा सकता है। मुख्य विचार यह है कि अगले की गणना करते समय (एन+1)अज्ञात के लिए -वें सन्निकटन एक्स मैंपर मैं>1उपयोग पहले से ही पाया गया (एन+1)-अज्ञात के करीब एक्स 1 ,एक्स 2 , ...,एक्समैं -1 , नहीं एनवें सन्निकटन, जैसा कि जैकोबी पद्धति में है।

निर्देशांक-वार संकेतन में विधि का परिकलन सूत्र इस प्रकार है:

पुनरावृत्तियों के लिए अभिसरण की स्थिति और समाप्ति मानदंड को जैकोबी पद्धति के समान ही लिया जा सकता है।

उदाहरण 2सीडल विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना।

समानांतर में समीकरणों की 3 प्रणालियों के समाधान पर विचार करें:

हम सिस्टम को पुनरावृत्तियों के लिए सुविधाजनक रूप में लाते हैं:

ध्यान दें कि अभिसरण की स्थिति
केवल पहली प्रणाली के लिए प्रदर्शन किया। हम प्रत्येक मामले में समाधान के लिए पहले 3 अनुमानों की गणना करते हैं।

पहली प्रणाली:

सटीक समाधान मान होंगे: एक्स 1 = 1.4, एक्स 2 = 0.2 . पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है।

दूसरी प्रणाली:

यह देखा जा सकता है कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया अलग हो जाती है।

सटीक समाधान एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 0.2 .

तीसरी प्रणाली:

यह देखा जा सकता है कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया लूप हो गई है।

सटीक समाधान एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2 .

मान लीजिए कि समीकरण A के निकाय का मैट्रिक्स सममित और धनात्मक निश्चित है। फिर, प्रारंभिक सन्निकटन के किसी भी विकल्प के लिए, सीडल विधि अभिसरण करती है। कुछ मैट्रिक्स के मानदंड की लघुता पर अतिरिक्त शर्तें यहां नहीं लगाई गई हैं।

सरल पुनरावृत्ति विधि.

यदि ए एक सममित और सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, तो समीकरणों की प्रणाली अक्सर एक समकक्ष रूप में कम हो जाती है:

एक्स=एक्स-τ(ए एक्स- बी), एक पुनरावृत्त पैरामीटर है।

इस मामले में सरल पुनरावृत्ति विधि की गणना सूत्र है:

एक्स (एन+1) =एक्स एन- (ए एक्स (एन) - बी)।

और पैरामीटर τ > 0 को चुना जाता है ताकि, यदि संभव हो तो, न्यूनतम मान

मान लें कि मिनट और λ अधिकतम मैट्रिक्स ए का न्यूनतम और अधिकतम आइजनवैल्यू हैं। इष्टतम विकल्प पैरामीटर है

इस मामले में
के बराबर न्यूनतम मान लेता है:

उदाहरण 3 सरल पुनरावृत्ति द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। (मैथकैड में)

माना समीकरणों का निकाय Ax = b

एक पुनरावृत्त प्रक्रिया का निर्माण करने के लिए, हम मैट्रिक्स A के eigenvalues ​​पाते हैं:

- eigenvalues ​​​​खोजने के लिए एक अंतर्निहित फ़ंक्शन का उपयोग करता है।

पुनरावृत्त पैरामीटर की गणना करें और अभिसरण स्थिति की जांच करें

अभिसरण की स्थिति संतुष्ट है।

आइए प्रारंभिक सन्निकटन लें - वेक्टर x0, सटीकता को 0.001 पर सेट करें और नीचे दिए गए प्रोग्राम का उपयोग करके प्रारंभिक अनुमान लगाएं:

सटीक समाधान

टिप्पणी। यदि प्रोग्राम मैट्रिक्स रेज लौटाता है, तो आप पाए गए सभी पुनरावृत्तियों को देख सकते हैं।

पुनरावृत्त विधियों का लाभ खराब स्थिति वाली प्रणालियों और उच्च क्रम की प्रणालियों के लिए उनकी प्रयोज्यता, उनका आत्म-सुधार और एक पीसी पर कार्यान्वयन में आसानी है। गणना शुरू करने के लिए पुनरावृत्त विधियों को वांछित समाधान के लिए कुछ प्रारंभिक सन्निकटन की आवश्यकता होती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की स्थिति और दर अनिवार्य रूप से मैट्रिक्स के गुणों पर निर्भर करती है लेकिनप्रणाली और प्रारंभिक सन्निकटन की पसंद पर।

पुनरावृत्ति विधि को लागू करने के लिए, मूल प्रणाली (2.1) या (2.2) को फॉर्म में कम किया जाना चाहिए

जिसके बाद आवर्तक सूत्रों के अनुसार पुनरावृत्ति प्रक्रिया की जाती है

, क = 0, 1, 2, ... . (2.26एक)

आव्यूह जीऔर वेक्टर सिस्टम (2.1) के परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं।

अभिसरण के लिए (2.26 एक) |l . के लिए आवश्यक और पर्याप्त है मैं(जी)| < 1, где lमैं(जी) मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​हैं जी. अभिसरण भी होगा अगर || जी|| < 1, так как |lमैं(जी)| < " ||जी||, जहां " कोई है।

प्रतीक || ... || मतलब मैट्रिक्स का मानदंड। इसका मूल्य निर्धारित करते समय, वे अक्सर दो स्थितियों की जाँच करना बंद कर देते हैं:

||जी|| = या || जी|| = , (2.27)

कहाँ पे । मूल मैट्रिक्स होने पर अभिसरण की भी गारंटी है लेकिनएक विकर्ण प्रधानता है, अर्थात्।

. (2.28)

यदि (2.27) या (2.28) संतुष्ट है, तो पुनरावृत्ति विधि किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण करती है। अक्सर, वेक्टर को या तो शून्य या एकता के रूप में लिया जाता है, या स्वयं वेक्टर को (2.26) से लिया जाता है।

मूल प्रणाली (2.2) को मैट्रिक्स के साथ बदलने के कई तरीके हैं लेकिनफॉर्म (2.26) सुनिश्चित करने के लिए या अभिसरण शर्तों (2.27) और (2.28) को पूरा करने के लिए।

उदाहरण के लिए, (2.26) निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना लेकिन = पर+ से, अलग पर 0; फिर ( बी+ से)= Þ बी= −सी+ Þ Þ बी –1 बी= −बी –1 सी+ बी-1, कहाँ से = − बी –1 सी+ बी –1 .

लगाना - बी –1 सी = जी, बी-1 = , हम प्राप्त करते हैं (2.26)।

अभिसरण स्थितियों (2.27) और (2.28) से यह देखा जाता है कि प्रतिनिधित्व लेकिन = पर+ सेमनमाना नहीं हो सकता।

यदि मैट्रिक्स लेकिनशर्तों को संतुष्ट करता है (2.28), फिर एक मैट्रिक्स के रूप में परआप निचला त्रिकोणीय चुन सकते हैं:

, एक ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

पैरामीटर a चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि || जी|| = ||इ+ए ए|| < 1.

यदि (2.28) प्रबल होता है, तो (2.26) में परिवर्तन प्रत्येक को हल करके किया जा सकता है मैंप्रणाली का वां समीकरण (2.1) के संबंध में एक्स मैंनिम्नलिखित पुनरावर्ती सूत्रों के अनुसार:

(2.28एक)

यदि मैट्रिक्स में लेकिनकोई विकर्ण प्रधानता नहीं है, इसे कुछ रैखिक परिवर्तनों की सहायता से प्राप्त किया जाना चाहिए जो उनके समकक्ष का उल्लंघन नहीं करते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, सिस्टम पर विचार करें

(2.29)

जैसा कि देखा जा सकता है, समीकरणों (1) और (2) में कोई विकर्ण प्रभुत्व नहीं है, लेकिन (3) में है, इसलिए हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

आइए हम समीकरण (1) में विकर्ण प्रभुत्व प्राप्त करें। (1) को a से (2) b से गुणा करें, दोनों समीकरणों को जोड़ें, और परिणामी समीकरण में a और b चुनें ताकि विकर्ण प्रभुत्व हो:

(2ए + 3बी) एक्स 1 + (-1.8a + 2b) एक्स 2 +(0.4a - 1.1b) एक्स 3 = ए.

a = b = 5 लेने पर, हमें 25 . प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 – 3,5एक्स 3 = 5.

समीकरण (2) को प्रभुत्व (1) के साथ बदलने के लिए, हम g से गुणा करते हैं, (2) हम d से गुणा करते हैं, और (2) से (1) घटाते हैं। प्राप्त

(3 डी - 2 जी) एक्स 1+(2d+1.8g) एक्स 2 +(-1.1d - 0.4g) एक्स 3 = -जी।

d = 2, g = 3 रखने पर हमें 0 . प्राप्त होता है एक्स 1 + 9,4 एक्स 2 – 3,4 एक्स 3 = -3। नतीजतन, हमें सिस्टम मिलता है

(2.30)

इस तकनीक का उपयोग मैट्रिसेस की एक विस्तृत श्रेणी के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है।

या

प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में वेक्टर लेना = (0.2; -0.32; 0) टी, हम तकनीक का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करेंगे (2.26 .) एक):

क = 0, 1, 2, ... .

गणना प्रक्रिया तब रुक जाती है जब समाधान वेक्टर के दो पड़ोसी सन्निकटन सटीकता में मेल खाते हैं, अर्थात।

.

प्रपत्र की पुनरावृत्त समाधान तकनीक (2.26 .) एक) नामांकित किया गया है सरल पुनरावृत्ति द्वारा .

सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए पूर्ण त्रुटि अनुमान:

जहां प्रतीक || ... || मतलब मानदंड।

उदाहरण 2.1. ई = 0.001 की सटीकता के साथ सरल पुनरावृत्ति की विधि का उपयोग करके, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

ई = 0.001 का सटीक उत्तर देने वाले चरणों की संख्या संबंध से निर्धारित की जा सकती है

£0.001।

आइए हम सूत्र (2.27) द्वारा अभिसरण का अनुमान लगाएं। यहाँ || जी|| = = अधिकतम (0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, हम मुक्त पदों का सदिश लेते हैं, अर्थात् = (2.15; -0.83; 1.16; 0.44) टी. हम वेक्टर के मूल्यों को (2.26 .) में प्रतिस्थापित करते हैं एक):

गणना जारी रखते हुए, हम तालिका में परिणाम दर्ज करेंगे:

क	एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

हज़ारों में अभिसरण पहले से ही 10वें चरण में होता है।

उत्तर: एक्स 1 »3.571; एक्स 2 »-0.957; एक्स 3 »1.489; एक्स 4 "-0.836.

यह समाधान सूत्रों का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है (2.28 .) एक).

उदाहरण 2.2. सूत्रों का उपयोग करके एल्गोरिथ्म को चित्रित करने के लिए (2.28 .) एक) सिस्टम के समाधान पर विचार करें (केवल दो पुनरावृत्तियों):

; . (2.31)

आइए हम सिस्टम को (2.28 .) के अनुसार फॉर्म (2.26) में बदलें एक):

Þ (2.32)

आइए प्रारंभिक सन्निकटन लें = (0; 0; 0) टी. फिर के लिए क= 0 स्पष्ट रूप से मूल्य = (0.5; 0.8; 1.5) टी. आइए हम इन मानों को (2.32) में प्रतिस्थापित करें, अर्थात्, for क= 1 हमें मिलता है = (1.075; 1.3; 1.175) टी.

त्रुटि ई 2 = = अधिकतम (0.575; 0.5; 0.325) = 0.575।

कार्य सूत्रों के अनुसार सरल पुनरावृत्तियों की विधि द्वारा SLAE का समाधान खोजने के लिए एल्गोरिथम का ब्लॉक आरेख (2.28 एक) अंजीर में दिखाया गया है। 2.4.

ब्लॉक आरेख की एक विशेषता निम्नलिखित ब्लॉकों की उपस्थिति है:

- खंड 13 - इसके उद्देश्य पर नीचे चर्चा की गई है;

- ब्लॉक 21 - स्क्रीन पर परिणाम प्रदर्शित करना;

- ब्लॉक 22 - अभिसरण का सत्यापन (संकेतक)।

आइए प्रणाली के उदाहरण पर प्रस्तावित योजना का विश्लेषण करें (2.31) ( एन= 3, डब्ल्यू = 1, ई = 0.001):

= ; .

अवरोध पैदा करना 1. प्रारंभिक डेटा दर्ज करें ए, , हम, एन: एन= 3, डब्ल्यू = 1, ई = 0.001।

साइकिल I. वैक्टर के प्रारंभिक मान सेट करें एक्स 0मैंतथा एक्स मैं (मैं = 1, 2, 3).

अवरोध पैदा करना 5. पुनरावृत्तियों की संख्या के काउंटर को रीसेट करें।

अवरोध पैदा करना 6. वर्तमान त्रुटि काउंटर को रीसेट करें।

परलूप II मैट्रिक्स की पंक्ति संख्याओं को बदलता है लेकिनऔर वेक्टर।

साइकिल II:मैं = 1: एस = बी 1 = 2 (ब्लॉक 8)।

नेस्टेड लूप III पर जाएं, ब्लॉक 9 - मैट्रिक्स कॉलम की संख्या का काउंटर लेकिन: जे = 1.

अवरोध पैदा करना 10: जे = मैं, इसलिए, हम ब्लॉक 9 पर लौटते हैं और बढ़ाते हैं जेप्रति यूनिट: जे = 2.

ब्लॉक 10 . में जे ¹ मैं(2 1) - ब्लॉक 11 पर जाएँ।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 2 - (-1) × एक्स 0 2 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, ब्लॉक 9 पर जाएं, जिसमें जेएक से बढ़ो: जे = 3.

ब्लॉक 10 में, शर्त जे ¹ मैंनिष्पादित, इसलिए ब्लॉक 11 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 2 - (-1) × एक्स 0 3 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, जिसके बाद हम ब्लॉक 9 में जाते हैं, जिसमें जेएक से वृद्धि ( जे= 4)। अर्थ जेअधिक एन (एन= 3) - लूप को समाप्त करें और ब्लॉक 12 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 12: एस = एस / एक 11 = 2 / 4 = 0,5.

अवरोध पैदा करना 13: डब्ल्यू = 1; एस = एस + 0 = 0,5.

अवरोध पैदा करना 14: डी = | एक्स मैं – एस | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

अवरोध पैदा करना 15: एक्स मैं = 0,5 (मैं = 1).

अवरोध पैदा करना 16. स्थिति की जाँच करें डी > डे: 0.5 > 0, इसलिए, ब्लॉक 17 पर जाएँ, जिसमें हम असाइन करते हैं डे= 0.5 और संदर्भ द्वारा वापसी " लेकिन» चक्र II के अगले चरण में - ब्लॉक7 तक, जिसमें मैंएक की वृद्धि।

साइकिल II: मैं = 2: एस = बी 2 = 4 (ब्लॉक 8)।

जे = 1.

ब्लॉक 10 . के माध्यम से जे ¹ मैं(1 2) - ब्लॉक 11 पर जाएँ।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 4 - 1 × 0 = 4, ब्लॉक 9 पर जाएँ, जिसमें जेएक से बढ़ो: जे = 2.

ब्लॉक 10 में, शर्त पूरी नहीं होती है, इसलिए हम ब्लॉक 9 में जाते हैं, जिसमें जेएक से बढ़ो: जे= 3. सादृश्य से, हम ब्लॉक 11 को पास करते हैं।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 4 - (-2) × 0 = 4, जिसके बाद हम चक्र III समाप्त करते हैं और ब्लॉक 12 पर जाते हैं।

अवरोध पैदा करना 12: एस = एस/ एक 22 = 4 / 5 = 0,8.

अवरोध पैदा करना 13: डब्ल्यू = 1; एस = एस + 0 = 0,8.

अवरोध पैदा करना 14: डी = | 1 – 0,8 | = 0,2.

अवरोध पैदा करना 15: एक्स मैं = 0,8 (मैं = 2).

अवरोध पैदा करना 16. स्थिति की जाँच करें डी > डे: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «लेकिन» चक्र II के अगले चरण के लिए - ब्लॉक 7 तक।

साइकिल II: मैं = 3: एस = बी 3 = 6 (ब्लॉक 8)।

नेस्टेड लूप III, ब्लॉक 9 पर जाएं: जे = 1.

अवरोध पैदा करना 11: एस= 6 - 1 × 0 = 6, ब्लॉक 9 पर जाएँ: जे = 2.

ब्लॉक 10 के माध्यम से, हम ब्लॉक 11 के लिए आगे बढ़ते हैं।

अवरोध पैदा करना 11: एस= 6 - 1 × 0 = 6. चक्र III समाप्त करें और ब्लॉक 12 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 12: एस = एस/ एक 33 = 6 / 4 = 1,5.

अवरोध पैदा करना 13: एस = 1,5.

अवरोध पैदा करना 14: डी = | 1 – 1,5 | = 0,5.

अवरोध पैदा करना 15: एक्स मैं = 1,5 (मैं = 3).

खंड 16 के अनुसार (संदर्भों को ध्यान में रखते हुए " लेकिन" तथा " से”) चक्र II से बाहर निकलें और ब्लॉक 18 पर जाएं।

अवरोध पैदा करना 18. पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ाएँ यह = यह + 1 = 0 + 1 = 1.

चक्र IV के खंड 19 और 20 में, हम प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 0मैंप्राप्त मूल्य एक्स मैं (मैं = 1, 2, 3).

अवरोध पैदा करना 21. हम वर्तमान पुनरावृत्ति के मध्यवर्ती मूल्यों को प्रिंट करते हैं, इस मामले में: = (0.5; 0.8; 1.5) टी, यह = 1; डे = 0,5.

ब्लॉक 7 पर चक्र II पर जाएं और नए प्रारंभिक मूल्यों के साथ गणना की गई गणना करें एक्स 0मैं (मैं = 1, 2, 3).

जिसके बाद हमें मिलता है एक्स 1 = 1,075; एक्स 2 = 1,3; एक्स 3 = 1,175.

यहाँ, फिर, सीडल विधि अभिसरण करती है।

सूत्रों द्वारा (2.33)

क	एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

उत्तर: एक्स 1 = 0,248; एक्स 2 = 1,115; एक्स 3 = –0,224.

टिप्पणी. यदि समान प्रणाली के लिए सरल पुनरावृत्ति और सीडल विधियाँ अभिसरण करती हैं, तो सीडल विधि बेहतर है। हालाँकि, व्यवहार में, इन विधियों के अभिसरण के क्षेत्र भिन्न हो सकते हैं, अर्थात, सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है, जबकि सीडल विधि भिन्न होती है, और इसके विपरीत। दोनों तरीकों के लिए, अगर || जी|| के करीब इकाई, अभिसरण की दर बहुत कम है।

अभिसरण में तेजी लाने के लिए, एक कृत्रिम तकनीक का उपयोग किया जाता है - तथाकथित विश्राम विधि . इसका सार इस तथ्य में निहित है कि पुनरावृत्ति विधि द्वारा प्राप्त अगला मान एक्स मैं (क) सूत्र के अनुसार पुनर्गणना की जाती है

जहां w को आमतौर पर 0 से 2 (0 .) में बदला जाता है< w £ 2) с каким-либо шагом (एच= 0.1 या 0.2)। पैरामीटर w को चुना जाता है ताकि विधि का अभिसरण न्यूनतम संख्या में पुनरावृत्तियों में प्राप्त हो।

विश्राम- इस अवस्था (भौतिक। तकनीक।) का कारण बनने वाले कारकों की समाप्ति के बाद शरीर की किसी भी अवस्था का धीरे-धीरे कमजोर होना।

उदाहरण 2.4. विश्राम सूत्र का उपयोग करके पांचवें पुनरावृत्ति के परिणाम पर विचार करें। आइए w = 1.5 लें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, लगभग सातवें पुनरावृत्ति का परिणाम प्राप्त हो गया है।

सरल पुनरावृत्ति की विधि, जिसे क्रमिक सन्निकटन की विधि भी कहा जाता है, एक अज्ञात मात्रा के मूल्य को धीरे-धीरे परिष्कृत करके खोजने के लिए एक गणितीय एल्गोरिथम है। इस पद्धति का सार यह है कि, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, बाद वाले को प्रारंभिक सन्निकटन से धीरे-धीरे व्यक्त करते हुए, उन्हें अधिक से अधिक परिष्कृत परिणाम मिलते हैं। इस पद्धति का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन में एक चर के मान को खोजने के लिए किया जाता है, साथ ही साथ रैखिक और गैर-रैखिक दोनों समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में भी किया जाता है।

आइए विचार करें कि SLAE को हल करते समय इस पद्धति को कैसे लागू किया जाता है। सरल पुनरावृत्ति विधि में निम्नलिखित एल्गोरिथम है:

1. मूल मैट्रिक्स में अभिसरण स्थिति का सत्यापन। अभिसरण प्रमेय: यदि प्रणाली के मूल मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व है (अर्थात, प्रत्येक पंक्ति में, मुख्य विकर्ण के तत्वों को मापांक में पक्ष विकर्णों के तत्वों के योग से अधिक होना चाहिए), तो सरल की विधि पुनरावृत्तियां अभिसरण हैं।

2. मूल प्रणाली के मैट्रिक्स में हमेशा विकर्ण प्रभुत्व नहीं होता है। ऐसे मामलों में, सिस्टम को परिवर्तित किया जा सकता है। अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण अछूते रह जाते हैं, और जो नहीं करते हैं, वे रैखिक संयोजन बनाते हैं, अर्थात। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक गुणा करें, घटाएं, समीकरण जोड़ें।

यदि परिणामी प्रणाली में मुख्य विकर्ण पर असुविधाजनक गुणांक हैं, तो इस तरह के समीकरण के दोनों हिस्सों में फॉर्म c i *x i की शर्तें जोड़ दी जाती हैं, जिनमें से संकेत विकर्ण तत्वों के संकेतों के साथ मेल खाना चाहिए।

3. परिणामी प्रणाली का सामान्य रूप में परिवर्तन:

एक्स - =β - +α*x -

यह कई तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: पहले समीकरण से, अन्य अज्ञात के संदर्भ में x 1 व्यक्त करें, दूसरे से - x 2, तीसरे से - x 3, आदि। यहां हम सूत्रों का उपयोग करते हैं:

α ij = -(एक आईजे / ए ii)

मैं = बी मैं / एक ii
आपको फिर से यह सुनिश्चित करना चाहिए कि सामान्य रूप की परिणामी प्रणाली अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करती है:

(j=1) |α ij |≤ 1, जबकि i= 1,2,...n

4. हम वास्तव में, क्रमिक सन्निकटन की विधि को ही लागू करना शुरू करते हैं।

x (0) - प्रारंभिक सन्निकटन, हम इसके माध्यम से x (1) व्यक्त करते हैं, फिर x (1) के माध्यम से हम x (2) व्यक्त करते हैं। मैट्रिक्स रूप में सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

एक्स (एन) = β - +α*x (एन-1)

हम तब तक गणना करते हैं जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते:

अधिकतम |x मैं (के)-एक्स मैं (के+1)

तो, आइए अभ्यास में सरल पुनरावृत्ति विधि को देखें। उदाहरण:
SLAE हल करें:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 सटीकता के साथ ε=10 -3

आइए देखें कि क्या विकर्ण तत्व मॉड्यूलो को प्रबल करते हैं।

हम देखते हैं कि केवल तीसरा समीकरण अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करता है। हम पहले और दूसरे समीकरण को बदलते हैं, दूसरे को पहले समीकरण में जोड़ते हैं:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

पहले को तीसरे से घटाएं:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

हमने मूल प्रणाली को एक समकक्ष में बदल दिया है:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

अब सिस्टम को सामान्य स्थिति में लाते हैं:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

हम पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करते हैं:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 यानी। शर्त पूरी की जाती है।

0,3947
प्रारंभिक अनुमान x(0) = 0.4762
0,8511

इन मानों को सामान्य रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

0,08835
एक्स(1) = 0.486793
0,446639

नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

0,215243
एक्स(2) = 0.405396
0,558336

हम गणना तब तक जारी रखते हैं जब तक हम दी गई शर्त को पूरा करने वाले मानों के करीब नहीं पहुंच जाते।

एक्स(7) = 0.441091

आइए प्राप्त परिणामों की शुद्धता की जांच करें:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

मूल समीकरणों में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त परिणाम समीकरण की शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं, सरल पुनरावृत्ति विधि काफी सटीक परिणाम देती है, हालांकि, इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें बहुत समय व्यतीत करना पड़ा और बोझिल गणना करना पड़ा।