इरीना 25 उचित और अनुचित अंश। उचित और अनुचित भिन्न

वे सही और गलत में विभाजित हैं।

उचित भिन्न

उचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसका अंश हर से छोटा होता है।

यह पता लगाने के लिए कि क्या भिन्न सही है, आपको इसके पदों की एक दूसरे से तुलना करने की आवश्यकता है। भिन्न के पदों की तुलना प्राकृत संख्याओं की तुलना करने के नियम के अनुसार की जाती है।

उदाहरण।एक अंश पर विचार करें:

7

8

उदाहरण:

8	= 1	1
7		7

अनुवाद के नियम और अतिरिक्त उदाहरण इस विषय में पाए जा सकते हैं कि अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलना। आप गलत अंश को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं।

उचित और अनुचित भिन्नों की तुलना

कोई भी अनुचित साधारण भिन्न एक उचित भिन्न से बड़ा होता है, क्योंकि एक उचित भिन्न हमेशा एक से छोटा होता है, और एक अनुचित भिन्न एक से बड़ा या उसके बराबर होता है।

उदाहरण:

3	>	99
2		100

तुलना नियम और अतिरिक्त उदाहरण साधारण भिन्नों की तुलना विषय में पाए जा सकते हैं। साथ ही भिन्नों की तुलना करने या तुलना की जांच करने के लिए जिसका आप उपयोग कर सकते हैं

साधारण भिन्नों को \textit (उचित) और \textit (अनुचित) भिन्नों में विभाजित किया जाता है। यह विभाजन अंश और हर की तुलना पर आधारित है।

उचित भिन्न

उचित अंशएक साधारण भिन्न $\frac(m)(n)$ है जिसका अंश हर से कम है, अर्थात। $m

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ नियमित हैं , तो कैसे उनमें से प्रत्येक में अंश हर से कम है, जो एक उचित भिन्न की परिभाषा से मेल खाता है।

एक उचित भिन्न की एक परिभाषा होती है, जो किसी भिन्न की एक इकाई से तुलना करने पर आधारित होती है।

सहीयदि यह एक से कम है:

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, सार्व भिन्न $\frac(6)(13)$ उचित है क्योंकि शर्त $\frac(6)(13)

अनुचित भिन्न

अनुचित अंशएक साधारण भिन्न $\frac(m)(n)$ है जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है, अर्थात $ एम \ जीई एन $।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, भिन्न $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ अनुचित हैं , तो कैसे उनमें से प्रत्येक में अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है, जो एक अनुचित भिन्न की परिभाषा से मेल खाता है।

आइए एक अनुचित भिन्न की परिभाषा दें, जो इकाई के साथ इसकी तुलना पर आधारित है।

साधारण अंश $\frac(m)(n)$ is गलतयदि यह एक के बराबर या उससे अधिक है:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

उदाहरण 4

उदाहरण के लिए, सार्व भिन्न $\frac(21)(4)$ अनुचित है क्योंकि शर्त $\frac(21)(4) >1$ संतुष्ट है;

साधारण भिन्न $\frac(8)(8)$ अनुचित है क्योंकि शर्त $\frac(8)(8)=1$ संतुष्ट है।

आइए हम एक अनुचित भिन्न की अवधारणा पर अधिक विस्तार से विचार करें।

आइए एक उदाहरण के रूप में $\frac(7)(7)$ लेते हैं। इस भिन्न का मान किसी वस्तु के सात भागों के रूप में लिया जाता है, जिसे सात बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। इस प्रकार, जो सात शेयर उपलब्ध हैं, उनमें से आप पूरे विषय को बना सकते हैं। वे। अनुचित अंश $\frac(7)(7)$ संपूर्ण वस्तु और $\frac(7)(7)=1$ का वर्णन करता है। इसलिए, अनुचित भिन्न, जिसमें अंश हर के बराबर होता है, एक संपूर्ण वस्तु का वर्णन करता है, और इस तरह के अंश को एक प्राकृतिक संख्या $1$ से बदला जा सकता है।

$\frac(5)(2)$ - यह बहुत स्पष्ट है कि ये पांच दूसरे भाग $ 2$ पूरे आइटम बना सकते हैं (एक पूरी वस्तु $ 2$ भाग बना देगी, और दो पूरी वस्तुओं को बनाने के लिए आपको $ 2 + 2 = 4 $ की आवश्यकता होगी शेयर) और एक सेकंड का हिस्सा रहता है। अर्थात्, अनुचित भिन्न $\frac(5)(2)$ किसी वस्तु के $2$ और उस वस्तु के $\frac(1)(2)$ का वर्णन करता है।

$\frac(21)(7)$ -- इक्कीसवें हिस्से से $3$ संपूर्ण आइटम ($3$ आइटम प्रत्येक $7$ शेयरों के साथ) बना सकते हैं। वे। भिन्न $\frac(21)(7)$ $3$ पूर्णांकों का वर्णन करता है।

विचार किए गए उदाहरणों से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है: एक अनुचित अंश को एक प्राकृतिक संख्या से बदला जा सकता है यदि अंश हर से पूरी तरह से विभाज्य है (उदाहरण के लिए, $\frac(7)(7)=1$ और $\ frac(21)(7)=3$) , या एक प्राकृत संख्या और एक उचित भिन्न का योग यदि अंश हर से विभाज्य भी नहीं है (उदाहरण के लिए, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). इसलिए, ऐसे अंशों को कहा जाता है गलत.

परिभाषा 1

एक प्राकृतिक संख्या और एक उचित भिन्न के योग के रूप में एक अनुचित अंश का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया (उदाहरण के लिए, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) कहलाती है एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालना.

अनुचित भिन्नों के साथ कार्य करते समय, उनके और मिश्रित संख्याओं के बीच घनिष्ठ संबंध होता है।

एक अनुचित अंश को अक्सर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक संख्या जिसमें एक पूर्ण संख्या और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

एक मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित अंश लिखने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। भागफल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग होगा, शेष भिन्नात्मक भाग का अंश होगा, और भाजक भिन्नात्मक भाग का हर होगा।

उदाहरण 5

अनुचित भिन्न $\frac(37)(12)$ को मिश्रित संख्या के रूप में लिखें।

समाधान।

हर द्वारा अंश को शेषफल से विभाजित करें:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (शेष\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

उत्तर।$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$।

एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश के रूप में लिखने के लिए, आपको संख्या के पूर्णांक भाग से हर को गुणा करना होगा, भिन्नात्मक भाग के अंश को उत्पाद में जोड़ना होगा, और परिणामी राशि को अंश के अंश में लिखना होगा। अनुचित भिन्न का हर मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर के बराबर होगा।

उदाहरण 6

मिश्रित संख्या $5\frac(3)(7)$ को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखें।

समाधान।

उत्तर।$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

एक मिश्रित संख्या और एक उचित भिन्न जोड़ना

मिश्रित संख्या जोड़ना$a\frac(b)(c)$ और उचित अंश$\frac(d)(e)$ दी गई मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग को दिए गए भिन्न में जोड़कर प्रदर्शित करता है:

उदाहरण 7

उचित अंश $\frac(4)(15)$ और मिश्रित संख्या $3\frac(2)(5)$ जोड़ें।

समाधान।

आइए एक मिश्रित संख्या और एक उचित भिन्न को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ लेफ्ट(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( पंद्रह)\]

संख्या \textit(5 ) द्वारा विभाजन की कसौटी से कोई यह निर्धारित कर सकता है कि अंश $\frac(10)(15)$ कम करने योग्य है। कमी करें और जोड़ का परिणाम खोजें:

तो, उचित भिन्न $\frac(4)(15)$ और मिश्रित संख्या $3\frac(2)(5)$ को जोड़ने का परिणाम $3\frac(2)(3)$ है।

उत्तर:$3\frac(2)(3)$

एक मिश्रित संख्या और एक अनुचित भिन्न जोड़ना

एक अनुचित भिन्न और एक मिश्रित संख्या जोड़नादो मिश्रित संख्याओं को जोड़ने के लिए कम करें, जिसके लिए यह एक अनुचित अंश से पूरे भाग का चयन करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण 8

मिश्रित संख्या $6\frac(2)(15)$ और अनुचित भिन्न $\frac(13)(5)$ के योग की गणना करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम पूर्णांक भाग को अनुचित अंश $\frac(13)(5)$ से निकालते हैं:

उत्तर:$8\frac(11)(15)$।

उन्होंने केक को 8 बराबर भागों में काटा (चित्र 122, ए) और 3 भागों को एक प्लेट पर रख दिया।

उस पर एक पिरोग था (चित्र 122, बी)। यदि आप सभी 8 भागों को रखते हैं, तो प्लेट पर एक पाई होगी, यानी पूरी पाई (चित्र। 122, सी)।

चावल। 122

सो = 1.

आइए इसी तरह की एक और पाई लें और इसे भी 8 बराबर भागों में काट लें (चित्र 123, ए)। यदि आप, उदाहरण के लिए, प्लेट पर 11 भाग रखते हैं, तो एक पाई होगी (चित्र। 123, बी)।

चावल। 123

एक भिन्न में, अंश हर से छोटा होता है। ऐसे अंशों को उचित कहा जाता है। भिन्न में अंश हर के बराबर होता है और भिन्न में अंश हर से बड़ा होता है। ऐसे अंशों को अनुचित कहा जाता है।

चावल। 124

उदाहरण के लिए,< 1, = 1, > 1.

आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न

• एक उचित अंश क्या है?
• एक अनुचित अंश क्या है?
• क्या एक उचित भिन्न 1 से बड़ी हो सकती है?
• क्या एक अनुचित भिन्न हमेशा 1 से बड़ा होता है?
• यदि इनमें से एक सही है और दूसरी गलत है तो कौन सी भिन्न बड़ी होगी?

व्यायाम करें

974. खंड AB की लंबाई 8 सेमी है। एक खंड खींचिए जिसकी लंबाई है:

975. निर्देशांक के साथ बीम पर अंक चिह्नित करें:

एकल खंड के लिए, नोटबुक की 12 कोशिकाओं की लंबाई लें।

976. लिखना:

• ए) 6 के हर के साथ सभी उचित अंश;
• बी) अंश 5 के साथ सभी अनुचित अंश।

977. a का कौन-सा मान भिन्न है:

978. एक मशीन 6 मिनट में 1 मीटर लंबी खाई खोद सकती है। मशीन 1 मिनट में कितनी खाई खोद सकती है; 5 मिनट; 7 मिनट; 11 मिनट?

979. एक किलोग्राम पेंट सतह के 5 m2 को कवर कर सकता है। 3 मीटर 2 पेंट करने के लिए कितना पेंट चाहिए; 6 मीटर 2; सतह का 13 m2?

980. निर्माण टीम ने 48 दिनों में खेत का निर्माण किया। इस बार योजना की मांग की है। योजना के अनुसार फार्म के निर्माण के लिए कितने दिन आवंटित किए गए थे?

981. टर्नर ने दैनिक मानदंड को पूरा करते हुए 3 घंटे में 135 भागों को खराद पर घुमाया। मानक के अनुसार उसे एक कार्य दिवस (8 घंटे) में कितने भाग पीसने पड़ते हैं? यदि वह समान उत्पादकता के साथ कार्य करता है तो वह एक कार्य दिवस में कितने भागों को मशीन करेगा?

982. टर्नर ने 135 भागों को एक खराद पर घुमाया, जिससे दैनिक मानदंड पूरा हो गया। उसका दैनिक भत्ता क्या है?

983. युवा संगीतकारों का संगीत कार्यक्रम, नियोजित 3 घंटे के बजाय, इस बार जारी रहा, क्योंकि दर्शकों ने अपने कुछ पसंदीदा प्रदर्शनों को दोहराने के लिए कहा। कॉन्सर्ट कितने समय तक चला? दोहराना कितने मिनट का था?

984. मौखिक रूप से गणना करें:

985. एक घंटे में कितने मिनट? एक घंटे का कौन सा अंश 1 मिनट है? 7 मिनट; 15 मिनट?

986. एक सेंटीमीटर एक किलोग्राम से कितने गुना अधिक होता है? एक सेंटीमीटर का कौन सा भाग एक किलोग्राम है? एक किलोग्राम से अधिक कितने सेंटीमीटर हैं?

987. कितने मिनट

988. संख्याएँ 40 और संख्याएँ 60 जोड़ें। संख्या 81 को संख्या 72 से घटाएँ।

989. आधी संख्या 18 है। यह संख्या ज्ञात कीजिए। संख्या का एक तिहाई 27 है। यह संख्या ज्ञात कीजिए। संख्या का तीन चौथाई 60 है। यह संख्या ज्ञात कीजिए।

990. चतुर्भुज ABCD (चित्र 125) का कौन-सा भाग छायांकित है? कौन सा भाग अप्रकाशित रहता है?

चावल। 125

991. ग्राम में व्यक्त करें:

• ए) 3 किलो 400 ग्राम;
• बी) 2 किलो 30 ग्राम;
• सी) 15 किलो।

992. भिन्नों को आरोही क्रम में क्रमबद्ध करें:

इन भिन्नों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

993. चार भिन्नों के नाम बताइए जो . से कम हैं

994. से बड़ी 5 भिन्नों के नाम लिखिए।

995. 4 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग बनाएं। चित्र पर दिखाएं: एक वर्ग, एक वर्ग। वर्ग के इन भागों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और परिणाम की व्याख्या कीजिए।

996. पहले दिन, ब्रिगेड ने 5 टन 400 किलो आलू एकत्र किया, और दूसरे दिन - पहले की तुलना में 1 टन 200 किलो कम। तीसरे दिन, ब्रिगेड ने दूसरे दिन की तुलना में 2 गुना अधिक आलू एकत्र किया। इन तीन दिनों में ब्रिगेड द्वारा कितने आलू काटे गए?

997. समीकरण के अनुसार एक समस्या लिखें:

• ए) (वाई + 6) - 2 = 15;
• बी) 2 (ए - 5) = 24;
• सी) 3 (25 + बी) + 15 = 135।

998. पहली कार में लोग थे, और दूसरी में - बी लोग। स्टॉप पर, c लोग पहली कार से उतरे, और d लोग दूसरी कार से उतरे। निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का अर्थ क्या है:

• ए + बी;
• एसी;
• सी + डी;
• बी-डी;
• (ए + बी) - (सी + डी);
• (ए - सी) + (बी - डी)?

समझाओ क्यों

(ए + बी) - (सी + डी) = (ए - सी) + (बी - डी)

ए> सी, बी> डी के लिए।

इस समानता की जाँच a = 45, b = 39, c = 14, d = 12 से करें।

परिणामी समानता का उपयोग करते हुए, व्यंजक के मान की गणना करें:

• क) (548 + 897) - (148 + 227);
• बी) (391 + 199) - (181 + 79)।

999. पाँच भिन्नों के बारे में सोचिए जिनका अंश हर से 3 कम है। पाँच भिन्न लिखिए जिनका अंश हर से तीन गुना है।

1000. x के किन मानों के लिए भिन्न अनुचित होगा?

1001. किसान ने खेत से 12 टन सब्जियां लेने की योजना बनाई, लेकिन उसने यह राशि एकत्र कर ली। किसान ने कितने टन सब्जियां इकट्ठी की?

1002. पर्यटक पहले दिन 18 किमी चला, यही वह रास्ता है जिसे उसे दूसरे दिन तय करना होगा। इन दो दिनों में एक पर्यटक को कितने किलोमीटर चलना चाहिए?

1003. एक मालगाड़ी 48 किमी/घंटा की गति से सेंट पीटर्सबर्ग से मास्को के लिए रवाना हुई, और एक घंटे बाद एक तेज ट्रेन 82 किमी/घंटा की गति से मास्को से सेंट पीटर्सबर्ग के लिए रवाना हुई। ट्रेनों के बीच की दूरी का पता लगाएं:

• ए) फास्ट ट्रेन से बाहर निकलने के 1 घंटे बाद;
• बी) मालगाड़ी के प्रस्थान के 3 घंटे बाद;
• ग) फास्ट ट्रेन के बाहर निकलने के 5 घंटे बाद।

मास्को से सेंट पीटर्सबर्ग की दूरी 650 किमी है।

1004. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

• क) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• बी) (2 254 175 + 94 447): 414 - 1329;
• ग) (123 - 93): (12 - 9);
• डी) (62 + जेड 2) 2।