संख्याओं i 2 को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

मान लीजिए कि सदिश संख्या द्वारा सम्मिश्र तल पर दिया गया है।

धनात्मक अर्ध-अक्ष बैल और सदिश के बीच के कोण को φ से निरूपित करें (कोण φ को धनात्मक माना जाता है यदि इसे वामावर्त गिना जाता है, और अन्यथा ऋणात्मक)।

सदिश की लंबाई को r से निरूपित करें। फिर । हम भी निरूपित करते हैं

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या z को इस प्रकार लिखना

सम्मिश्र संख्या z का त्रिकोणमितीय रूप कहलाता है। संख्या r को सम्मिश्र संख्या z का मापांक कहा जाता है, और संख्या को इस सम्मिश्र संख्या का तर्क कहा जाता है और इसे Arg z द्वारा दर्शाया जाता है।

एक जटिल संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप - (यूलर का सूत्र) - एक जटिल संख्या लिखने का एक घातीय रूप:

सम्मिश्र संख्या z के अपरिमित रूप से कई तर्क हैं: यदि φ0 संख्या z का कोई तर्क है, तो अन्य सभी सूत्र द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं

एक सम्मिश्र संख्या के लिए, तर्क और त्रिकोणमितीय रूप परिभाषित नहीं हैं।

इस प्रकार, एक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या का तर्क समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान है:

(3)

एक सम्मिश्र संख्या z के तर्क का मान जो कि असमानताओं को संतुष्ट करता है, मुख्य मान कहलाता है और इसे arg z द्वारा निरूपित किया जाता है।

तर्क Arg z और arg z समानता से संबंधित हैं

, (4)

सूत्र (5) प्रणाली (3) का परिणाम है, इसलिए सम्मिश्र संख्या के सभी तर्क समानता (5) को संतुष्ट करते हैं, लेकिन समीकरण (5) के सभी समाधान संख्या z के तर्क नहीं हैं।

गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या के तर्क का मुख्य मान सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं के गुणन और विभाजन के सूत्र इस प्रकार हैं:

. (7)

एक जटिल संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाते समय, डी मोइवर के सूत्र का उपयोग किया जाता है:

किसी सम्मिश्र संख्या से जड़ निकालते समय, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

, (9)

जहां के = 0, 1, 2, …, एन -1।

समस्या 54. गणना करें, जहां।

आइए एक सम्मिश्र संख्या लिखने के घातीय रूप में इस व्यंजक के हल का प्रतिनिधित्व करें: .

तो अगर ।

फिर , . इसलिए, तब तथा , कहाँ पे ।

उत्तर: , पर ।

समस्या 55. त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ लिखिए:

एक) ; बी) ; में) ; जी) ; इ) ; इ) ; तथा) ।

चूँकि एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप है, तो:

ए) एक जटिल संख्या में:।

,

इसीलिए

बी) , कहाँ पे ,

जी) , कहाँ पे ,

इ) .

तथा) , एक , फिर ।

इसीलिए

उत्तर: ; 4; ; ; ; ; .

समस्या 56. एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप ज्ञात कीजिए

.

होने देना , .

फिर , , .

क्योंकि और , , फिर , और

इसलिए, इसलिए

उत्तर: , कहाँ पे ।

समस्या 57. एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित क्रियाएं करें: .

संख्याओं की कल्पना करें और त्रिकोणमितीय रूप में।

1) , जहां फिर

मुख्य तर्क का मूल्य ढूँढना:

मानों को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक में, हमें प्राप्त होता है

2) फिर कहाँ

फिर

3) भागफल ज्ञात कीजिए

k = 0, 1, 2 मानते हुए, हमें वांछित मूल के तीन अलग-अलग मान मिलते हैं:

तो अगर

तो अगर

तो अगर .

उत्तर: :

:

: .

समस्या 58. मान लीजिए , , , भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और . साबित करो

एक संख्या एक वास्तविक सकारात्मक संख्या है;

बी) समानता होती है:

क) आइए इन सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें:

इसलिये ।

आइए इसका ढोंग करें। फिर

.

अंतिम व्यंजक एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि साइन संकेतों के अंतर्गत अंतराल से संख्याएँ होती हैं।

क्योंकि संख्या वास्तविक और सकारात्मक। वास्तव में, यदि a और b सम्मिश्र संख्याएँ हैं और वास्तविक हैं और शून्य से बड़ी हैं, तो .

अलावा,

इसलिए आवश्यक समानता सिद्ध होती है।

समस्या 59. संख्या को बीजीय रूप में लिखिए .

हम त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, और फिर इसका बीजगणितीय रूप पाते हैं। हमारे पास है . के लिये हमें सिस्टम मिलता है:

इससे समानता इस प्रकार है: .

डी मोइवर का सूत्र लागू करना:

हम पाते हैं

दी गई संख्या का त्रिकोणमितीय रूप पाया जाता है।

अब हम इस संख्या को बीजीय रूप में लिखते हैं:

.

उत्तर: .

समस्या 60. योग ज्ञात कीजिए।

राशि पर विचार करें

डी मोइवर सूत्र को लागू करने पर, हम पाते हैं

यह योग हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के n पदों का योग है और पहला सदस्य .

इस तरह की प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र को लागू करना, हमारे पास है

अंतिम व्यंजक में काल्पनिक भाग को अलग करने पर, हम पाते हैं

वास्तविक भाग को अलग करने पर, हमें निम्न सूत्र भी प्राप्त होता है: , , ।

समस्या 61. योग ज्ञात कीजिए:

एक) ; बी) ।

न्यूटन के घात को बढ़ाने के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है

डी मोइवर के सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं:

के लिए प्राप्त व्यंजकों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करते हुए, हमारे पास है:

तथा .

इन सूत्रों को संक्षिप्त रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

,

, संख्या a का पूर्णांक भाग कहाँ है।

समस्या 62. वह सब ज्ञात कीजिए जिसके लिए .

क्यों कि , फिर, सूत्र लागू करना

, जड़ों को निकालने के लिए, हम प्राप्त करते हैं ,

फलस्वरूप, , ,

, .

संख्याओं के संगत बिंदु बिंदु (0;0) (चित्र 30) पर केन्द्रित त्रिज्या 2 के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग के शीर्षों पर स्थित होते हैं।

उत्तर: , ,

, .

समस्या 63. समीकरण हल करें , .

शर्त से; इसलिए, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, और इसलिए, यह समीकरण के बराबर है।

संख्या z को इस समीकरण का मूल बनाने के लिए, संख्या को संख्या 1 का nवाँ मूल होना चाहिए।

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल समीकरण की जड़ें समानता से निर्धारित होती हैं

,

इस तरह,

,

अर्थात। ,

उत्तर: .

समस्या 64. सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में समीकरण को हल करें।

चूँकि संख्या इस समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए इस समीकरण के लिए समीकरण के बराबर है

यानी समीकरण।

इस समीकरण के सभी मूल सूत्र से प्राप्त होते हैं (देखिए समस्या 62):

; ; ; ; .

समस्या 65. जटिल तल पर असमानताओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का एक समूह बनाएं: . (समस्या को हल करने का दूसरा तरीका 45)

होने देना .

समान मॉड्यूल के साथ जटिल संख्याएं मूल पर केंद्रित एक सर्कल पर स्थित विमान के बिंदुओं से मेल खाती हैं, इसलिए असमानता एक खुले वलय के सभी बिंदुओं को संतुष्ट करें जो मूल और त्रिज्या पर एक सामान्य केंद्र वाले वृत्तों से बंधे हैं और (चित्र। 31)। मान लीजिए कि सम्मिश्र तल का कोई बिंदु संख्या w0 के संगत है। संख्या , में मापांक w0 से मापांक गुना छोटा होता है, एक तर्क जो तर्क w0 से बड़ा होता है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से, w1 के संगत बिंदु को मूल और गुणांक पर केंद्रित एक समरूपता का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, साथ ही मूल के सापेक्ष एक वामावर्त रोटेशन भी प्राप्त किया जा सकता है। इन दो परिवर्तनों को रिंग के बिंदुओं पर लागू करने के परिणामस्वरूप (चित्र। 31), बाद वाला एक ही केंद्र और त्रिज्या 1 और 2 (चित्र। 32) के साथ वृत्तों से घिरी हुई रिंग में बदल जाएगा।

परिवर्तन वेक्टर पर समानांतर अनुवाद का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है। एक बिंदु पर केन्द्रित वलय को संकेतित सदिश में स्थानांतरित करने पर, हमें एक बिंदु पर केन्द्रित समान आकार का एक वलय प्राप्त होता है (चित्र 22)।

प्रस्तावित विधि, जो विमान के ज्यामितीय परिवर्तनों के विचार का उपयोग करती है, विवरण में शायद कम सुविधाजनक है, लेकिन यह बहुत ही सुरुचिपूर्ण और प्रभावी है।

समस्या 66. ढूँढें if .

चलो, फिर और। मूल समानता का रूप ले लेगा . दो सम्मिश्र संख्याओं की समानता की शर्त से, हम , , कहाँ से , प्राप्त करते हैं। इस तरह, ।

आइए संख्या z को त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

, कहाँ पे , । डी मोइवर के सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं।

उत्तर :- 64.

समस्या 67. एक सम्मिश्र संख्या के लिए, सभी सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि , तथा .

आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करें:

. अत , । एक संख्या के लिए हमें मिलता है, या तो बराबर हो सकता है।

पहले मामले में , क्षण में

.

उत्तर: , .

समस्या 68. संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए कि . इनमें से कोई एक नंबर निर्दिष्ट करें।

ध्यान दें कि पहले से ही समस्या के सूत्रीकरण से यह समझा जा सकता है कि समीकरण की जड़ों का योग स्वयं जड़ों की गणना किए बिना पाया जा सकता है। दरअसल, समीकरण की जड़ों का योग का गुणांक है, जो विपरीत चिन्ह (सामान्यीकृत विएटा प्रमेय) के साथ लिया जाता है, अर्थात।

छात्र, स्कूल प्रलेखन, इस अवधारणा को आत्मसात करने की डिग्री के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं। गणितीय सोच की विशेषताओं के अध्ययन और एक जटिल संख्या की अवधारणा को बनाने की प्रक्रिया को सारांशित करें। विधियों का विवरण। डायग्नोस्टिक: आई स्टेज। साक्षात्कार एक गणित शिक्षक के साथ आयोजित किया गया था जो 10 वीं कक्षा में बीजगणित और ज्यामिति पढ़ाता है। कुछ देर बाद बातचीत हुई...

अनुनाद "(!)), जिसमें स्वयं के व्यवहार का मूल्यांकन भी शामिल है। 4. स्थिति की किसी की समझ का महत्वपूर्ण मूल्यांकन (संदेह)। 5. अंत में, कानूनी मनोविज्ञान की सिफारिशों का उपयोग (के मनोवैज्ञानिक पहलुओं के लिए लेखांकन) वकील द्वारा किए गए पेशेवर कार्य - पेशेवर मनोवैज्ञानिक तैयारी। आइए अब कानूनी तथ्यों के मनोवैज्ञानिक विश्लेषण पर विचार करें। ...

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का गणित और विकसित शिक्षण पद्धति की प्रभावशीलता का सत्यापन। काम के चरण: 1. विषय पर एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम का विकास: "बीजगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का अनुप्रयोग" गणित के गहन अध्ययन के साथ कक्षाओं में छात्रों के साथ। 2. एक विकसित वैकल्पिक पाठ्यक्रम का संचालन करना। 3. नैदानिक ​​नियंत्रण करना...

संज्ञानात्मक कार्य केवल मौजूदा शिक्षण सहायक सामग्री के पूरक के लिए हैं और शैक्षिक प्रक्रिया के सभी पारंपरिक साधनों और तत्वों के साथ उपयुक्त संयोजन में होना चाहिए। मानविकी को सटीक, गणितीय समस्याओं से पढ़ाने में शैक्षिक समस्याओं के बीच का अंतर केवल इस तथ्य में है कि ऐतिहासिक समस्याओं में कोई सूत्र, कठोर एल्गोरिदम आदि नहीं हैं, जो उनके समाधान को जटिल बनाते हैं। ...

भाषण

एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप

योजना

1. सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

2. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय संकेतन।

3. त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

क) सम्मिश्र संख्याओं को निम्नलिखित नियम के अनुसार समतल के बिंदुओं द्वारा निरूपित किया जाता है: एक + द्वि = एम ( एक ; बी ) (चित्र एक)।

चित्र 1

बी) एक जटिल संख्या को एक वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है जो बिंदु से शुरू होता हैहे और एक दिए गए बिंदु पर समाप्त होता है (चित्र 2)।

चित्र 2

उदाहरण 7. सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले प्लॉट बिंदु:1; - मैं ; - 1 + मैं ; 2 – 3 मैं (चित्र 3)।

चित्र तीन

सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय संकेतन।

जटिल संख्याजेड = एक + द्वि त्रिज्या - वेक्टर का उपयोग करके सेट किया जा सकता है निर्देशांक के साथ( एक ; बी ) (चित्र 4)।

चित्र 4

परिभाषा . वेक्टर लंबाई सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करनाजेड , को इस संख्या का मापांक कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है याआर .

किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिएजेड इसका मॉड्यूलआर = | जेड | सूत्र द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है .

परिभाषा . वास्तविक अक्ष और सदिश की धनात्मक दिशा के बीच के कोण का मान एक सम्मिश्र संख्या को निरूपित करना इस सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है और इसे निरूपित किया जाता हैलेकिन आरजी जेड याφ .

जटिल संख्या तर्कजेड = 0 निर्धारित नहीं है। जटिल संख्या तर्कजेड0 एक बहु-मूल्यवान मात्रा है और इसे पद तक निर्धारित किया जाता है2πk (के = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): आर्ग जेड = आर्ग जेड + 2πk , कहाँ पेआर्ग जेड - अंतराल में संलग्न तर्क का मुख्य मूल्य(-π; π] , वह है-π < आर्ग जेड ≤ π (कभी-कभी अंतराल से संबंधित मान को तर्क के मुख्य मान के रूप में लिया जाता है .

के लिए यह सूत्रआर =1 अक्सर डी मोइवर के सूत्र के रूप में जाना जाता है:

(क्योंकि + मैं पाप ) एन = क्योंकि (एनφ) + मैं पाप (एनφ), एन  एन .

उदाहरण 11 गणना करें(1 + मैं ) 100 .

आइए एक सम्मिश्र संख्या लिखें1 + मैं त्रिकोणमितीय रूप में।

ए = 1, बी = 1 .

क्योंकि = , पाप = , φ = .

(1+i) 100 = [ (कोस + मैं पाप )] 100 = ( ) 100 (कोस 100 + मैं पाप 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos + i sin π) = - 2 50 .

4) किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालना।

किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालते समयएक + द्वि हमारे पास दो मामले हैं:

यदिबी > के बारे में , फिर ;

बीजीय रूप में लिखी गई सम्मिश्र संख्याओं पर क्रिया

सम्मिश्र संख्या z = . का बीजीय रूप(एक,बी) रूप का बीजीय व्यंजक कहलाता है

जेड = एक + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ जेड 1 = ए 1 +बी 1 मैंतथा जेड 2 = ए 2 +बी 2 मैंबीजगणितीय रूप में लिखे गए, निम्नानुसार किए जाते हैं।

1. सम्मिश्र संख्याओं का योग (अंतर)

जेड 1 ± z 2 = (एक 1 ± ए 2) + (बी 1 ±बी 2)i,

वे। जोड़ (घटाव) समान सदस्यों की कमी के साथ बहुपदों के योग के नियम के अनुसार किया जाता है।

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

जेड 1 z 2 = (एक 1 a 2 -बी 1 बी 2) + (एक 1 बी 2 + ए 2 बी 1)i,

वे। गुणन बहुपदों के गुणन के सामान्य नियम के अनुसार किया जाता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि मैं 2 = 1.

3. दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:

, (जेड 2 ≠ 0),

वे। भाजक के संयुग्म द्वारा भाजक और भाजक को गुणा करके विभाजन किया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के घातांक को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

यह दिखाना आसान है कि

उदाहरण.

1. सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जेड 1 = 2 – मैंतथा जेड 2 = – 4 + 3मैं।

जेड 1 +z 2 = (2 + (–1)i)+ (–4 + 3मैं) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) मैं = –2+2मैं।

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए जेड 1 = 2 – 3मैंतथा जेड 2 = –4 + 5मैं।

= (2 – 3मैं) ∙ (–4 + 5मैं) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3मैं)+ 2∙5मैं– 3मैं 5मैं = 7+22मैं।

3. निजी खोजें जेडविभाजन से जेड 1 \u003d 3 - 2 जेड 2 = 3 – मैं।

जेड = .

4. समीकरण हल करें:, एक्सतथा आप Î आर.

(2एक्स+वाई) + (एक्स+वाई)मैं = 2 + 3मैं।

सम्मिश्र संख्याओं की समानता के आधार पर, हमारे पास है:

कहाँ पे एक्स =–1 , आप= 4.

5. गणना करें: मैं 2 ,मैं 3 ,मैं 4 ,मैं 5 ,मैं 6 ,मैं -1 , मैं -2 .

6. गणना करें यदि ।

.

7. किसी संख्या के व्युत्क्रम की गणना करें जेड=3-मैं.

त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याएं

जटिल विमानकार्टेशियन निर्देशांक वाला एक विमान कहा जाता है ( एक्स, वाई), यदि प्रत्येक बिंदु निर्देशांक के साथ ( ए, बी) को एक सम्मिश्र संख्या दी गई है जेड = ए + द्वि. इस मामले में, भुज अक्ष कहा जाता है वास्तविक धुरी, और y-अक्ष है काल्पनिक. तब प्रत्येक सम्मिश्र संख्या a+biएक बिंदु के रूप में एक समतल पर ज्यामितीय रूप से निरूपित किया जाता है ए (ए, बी) या वेक्टर।

इसलिए, बिंदु की स्थिति लेकिन(और इसलिए जटिल संख्या जेड) वेक्टर की लंबाई से सेट किया जा सकता है | | = आरऔर कोण जेवेक्टर द्वारा गठित | | वास्तविक अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ। एक सदिश की लंबाई कहलाती है सम्मिश्र संख्या मापांकऔर द्वारा निरूपित किया जाता है | जेड|=आर, और कोण जेबुलाया जटिल संख्या तर्कऔर निरूपित जे = argz.

यह स्पष्ट है कि | जेड| 0 और | जेड | = 0 Û जेड = 0.

अंजीर से। 2 दिखाता है।

एक सम्मिश्र संख्या का तर्क अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, और 2 . तक पीके, केÎ जेड.

अंजीर से। 2 यह भी दर्शाता है कि यदि z=a+biतथा जे = आर्गज़,फिर

क्योंकि जे =पाप जे =, टीजी जे =।

यदि एक ज़ूआरतथा जेड > 0 तब आर्गज़ = 0 +2पी;

यदि जेडआरतथा जेड< 0 तब आर्गज़ = पी + 2पी;

यदि जेड = 0,argzनिर्धारित नहीं है।

तर्क का मुख्य मूल्य अंतराल 0 . पर निर्धारित होता है £argz£2 पी,

या -पी£ आर्ग जेड £ पी.

उदाहरण:

1. सम्मिश्र संख्याओं का मापांक ज्ञात कीजिए जेड 1 = 4 – 3मैंतथा जेड 2 = –2–2मैं।

2. जटिल विमान पर शर्तों द्वारा निर्दिष्ट क्षेत्रों का निर्धारण करें:

1) | जेड | = 5; 2) | जेड| £6; 3) | जेड – (2+मैं) | £3; 4) £6 | जेड – मैं| £7.

समाधान और उत्तर:

1) | जेड| = 5 त्रिज्या 5 वाले एक वृत्त का समीकरण है और मूल बिंदु पर केन्द्रित है।

2) त्रिज्या 6 वाला वृत्त मूल बिन्दु पर केन्द्रित है।

3) त्रिज्या 3 वाला वृत्त एक बिंदु . पर केंद्रित है र् 0 = 2 + मैं.

4) त्रिज्या 6 और 7 वाले वृत्तों से घिरा एक वलय एक बिंदु . पर केंद्रित है जेड 0 = मैं.

3. संख्याओं का मॉड्यूल और तर्क खोजें: 1); 2))।

1) ; एक = 1, बी = Þ ,

जे 1 = .

2) जेड 2 = –2 – 2मैं; ए =–2, ख =-2 ,

.

नोट: मुख्य तर्क को परिभाषित करते समय, जटिल तल का उपयोग करें।

इस तरह: जेड 1 = .

2) , आर 2 = 1, ज 2 = , .

3) , आर 3 = 1, जे 3 = , .

4) , आर 4 = 1, जे4 = , .

जटिल संख्या XI

§ 256. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

माना सम्मिश्र संख्या एक + द्वि वेक्टर से मेल खाती है ओए> निर्देशांक के साथ ( ए, बी ) (चित्र 332 देखें)।

इस वेक्टर की लंबाई को द्वारा निरूपित करें आर , और वह कोण जो अक्ष के साथ बनाता है एक्स , के माध्यम से φ . साइन और कोसाइन की परिभाषा के अनुसार:

एक / आर = कोस φ , बी / आर = पाप φ .

इसीलिए एक = आर क्योंकि φ , बी = आर पाप φ . लेकिन इस मामले में सम्मिश्र संख्या एक + द्वि के रूप में लिखा जा सकता है:

एक + द्वि = आर क्योंकि φ + आईआर पाप φ = आर (कोस φ + मैं पाप φ ).

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी सदिश की लंबाई का वर्ग उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसीलिए आर 2 = एक 2 + बी 2, कहाँ से आर = a 2 + बी 2

इसलिए, कोई सम्मिश्र संख्या एक + द्वि के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :

एक + द्वि = आर (कोस φ + मैं पाप φ ), (1)

जहां र = a 2 + बी 2 , और कोण φ शर्त से निर्धारित:

सम्मिश्र संख्याओं को लिखने के इस रूप को कहते हैं त्रिकोणमितीय.

संख्या आर सूत्र में (1) कहा जाता है मापांक, और कोण φ - बहस, जटिल संख्या एक + द्वि .

यदि एक सम्मिश्र संख्या एक + द्वि शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका मापांक धनात्मक होता है; यदि एक + द्वि = 0, तब ए = बी = 0 और फिर आर = 0.

किसी भी सम्मिश्र संख्या का मापांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

यदि एक सम्मिश्र संख्या एक + द्वि शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका तर्क सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है (2) निश्चित रूप से 2 . के कोण गुणज तक π . यदि एक + द्वि = 0, तब ए = बी = 0. इस मामले में आर = 0. सूत्र (1) से यह समझना आसान है कि तर्क के रूप में φ इस मामले में, आप कोई भी कोण चुन सकते हैं: आखिरकार, किसी के लिए भी φ

0 (कोस φ + मैं पाप φ ) = 0.

इसलिए, शून्य तर्क परिभाषित नहीं है।

जटिल संख्या मापांक आर कभी कभी निरूपित करें | जेड |, और तर्क arg जेड . आइए त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के निरूपण के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण। एक. 1 + मैं .

आइए मॉड्यूल खोजें आर और तर्क φ यह नंबर।

आर = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

इसलिए पाप φ = 1 / 2 , cos φ = 1 / 2 , कहाँ से φ = π / 4 + 2एनπ .

इस तरह,

1 + मैं = √ 2 ,

कहाँ पे पी - कोई पूर्णांक। आमतौर पर, एक जटिल संख्या के तर्क के मूल्यों के अनंत सेट से, एक को चुना जाता है जो 0 और 2 के बीच होता है π . इस मामले में, यह मान है π / चार । इसीलिए

1 + मैं = √ 2 (कोस π / 4 + मैं पाप π / 4)

उदाहरण 2त्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या लिखें √ 3 - मैं . हमारे पास है:

आर = √ 3+1 = 2 cos φ = 3 / 2 , पाप φ = - 1 / 2

अत: 2 . से विभाज्य कोण तक π , φ = 11 / 6 π ; फलस्वरूप,

√ 3 - मैं = 2(क्योंकि 11 / 6 .) π + मैं पाप 11 / 6 π ).

उदाहरण 3त्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या लिखें मैं ।

जटिल संख्या मैं वेक्टर से मेल खाती है ओए> अक्ष के बिंदु A पर समाप्त होता है पर कोटि 1 के साथ (चित्र 333)। ऐसे वेक्टर की लंबाई 1 के बराबर होती है, और एब्सिस्सा अक्ष के साथ जो कोण बनता है वह बराबर होता है π / 2. इसीलिए

मैं = कोस π / 2 + मैं पाप π / 2 .

उदाहरण 4सम्मिश्र संख्या 3 को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

सम्मिश्र संख्या 3 सदिश से मेल खाती है ओए > एक्स एब्सिस्सा 3 (चित्र। 334)।

ऐसे सदिश की लंबाई 3 है, और वह x-अक्ष से जो कोण बनाता है वह 0 है। इसलिए

3 = 3 (क्योंकि 0 + मैं पाप 0),

उदाहरण 5सम्मिश्र संख्या -5 को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

सम्मिश्र संख्या -5 वेक्टर से मेल खाती है ओए> अक्ष बिंदु पर समाप्त होना एक्स एब्सिस्सा -5 (चित्र। 335) के साथ। ऐसे सदिश की लंबाई 5 है, और यह x-अक्ष के साथ कोण बनाता है π . इसीलिए

5 = 5(कोस π + मैं पाप π ).

अभ्यास

2047. इन सम्मिश्र संख्याओं को उनके मॉड्यूल और तर्कों को परिभाषित करते हुए त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

1) 2 + 2√3 मैं , 4) 12मैं - 5; 7).3मैं ;

2) √3 + मैं ; 5) 25; 8) -2मैं ;

3) 6 - 6मैं ; 6) - 4; 9) 3मैं - 4.

2048. समतल पर उन सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं के सेट को इंगित करें जिनके मॉड्यूल r और तर्क शर्तों को पूरा करते हैं:

1) आर = 1, φ = π / 4 ; 4) आर < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) आर =2; 5) 2 < आर <3; 8) 0 < φ < я;

3) आर < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < आर < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. क्या संख्याएं एक ही समय में एक सम्मिश्र संख्या का मॉड्यूल हो सकती हैं? आर तथा - आर ?

2050. क्या एक सम्मिश्र संख्या का तर्क एक ही समय में कोण हो सकता है? φ तथा - φ ?

इन जटिल संख्याओं को उनके मॉड्यूल और तर्कों को परिभाषित करके त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें:

2051*. 1 + कोस α + मैं पाप α . 2054*. 2(cos 20° - मैं पाप 20 डिग्री)।

2052*. पाप φ + मैं क्योंकि φ . 2055*. 3(- cos 15° - मैं पाप 15°)।