भागों के उदाहरणों द्वारा निश्चित अभिन्न। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना

पहले, किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, विभिन्न सूत्रों और नियमों द्वारा निर्देशित, हमने इसका व्युत्पन्न पाया। व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोग हैं: यह गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

लेकिन गति के ज्ञात नियम से गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ एक व्युत्क्रम समस्या भी है - गति के नियम को ज्ञात गति से पुनर्स्थापित करने की समस्या। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 1एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा के साथ चलता है, समय t पर इसकी गति की गति सूत्र v=gt द्वारा दी जाती है। गति के नियम का पता लगाएं।
समाधान। मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = v(t)। इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन s = s(t) चुनना होगा, जिसका व्युत्पन्न gt के बराबर है। यह अनुमान लगाना आसान है कि \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) वास्तव में
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
उत्तर: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

हम तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अपूर्ण रूप से। हमें \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) मिला। वास्तव में, समस्या के असीम रूप से कई समाधान हैं: फॉर्म का कोई भी कार्य \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, के नियम के रूप में कार्य कर सकता है गति, चूंकि \(\बाएं (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

समस्या को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करना था: किसी बिंदु पर गतिमान बिंदु के निर्देशांक को इंगित करें, उदाहरण के लिए, t = 0 पर। यदि, कहें, s(0) = s 0 , तो से समानता s(t) = (gt 2)/2 + C हमें प्राप्त होती है: s(0) = 0 + C, अर्थात C = s 0 । अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 ।

गणित में, परस्पर प्रतिलोम संक्रियाओं को अलग-अलग नाम दिए जाते हैं, विशेष अंकन के साथ आते हैं, उदाहरण के लिए: वर्गमूल (x 2) और वर्गमूल निकालना (\(\sqrt(x) \)), साइन (पाप x) और आर्क्सिन ( आर्क्सिन एक्स) और आदि। किसी दिए गए फ़ंक्शन के संबंध में व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभाव, और व्युत्क्रम संक्रिया, अर्थात किसी दिए गए अवकलज द्वारा फलन ज्ञात करने की प्रक्रिया, - एकीकरण.

"व्युत्पन्न" शब्द को "सांसारिक तरीके से" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y \u003d f (x) "दुनिया में पैदा करता है" एक नया फ़ंक्शन y" \u003d f "(x)। फ़ंक्शन y \u003d f (x) एक "माता-पिता" के रूप में कार्य करता है, लेकिन गणितज्ञ, निश्चित रूप से, इसे "माता-पिता" या "निर्माता" नहीं कहते हैं, वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y के संबंध में है। = f" (x), प्राथमिक छवि, या प्रतिअवकलन।

परिभाषा।एक फलन y = F(x) अंतराल X पर किसी फलन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहलाता है यदि \(x \in X \) समानता F"(x) = f(x) को संतुष्ट करता है

व्यवहार में, अंतराल एक्स आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं है, लेकिन निहित है (फ़ंक्शन के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।

आइए उदाहरण देते हैं।
1) फ़ंक्शन y \u003d x 2 फ़ंक्शन y \u003d 2x के लिए एक प्रतिपक्षी है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 2) "\u003d 2x सत्य है
2) फ़ंक्शन y \u003d x 3 फ़ंक्शन y \u003d 3x 2 के लिए एक प्रतिपक्षी है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 3)" \u003d 3x 2 सत्य है
3) फ़ंक्शन y \u003d sin (x) फ़ंक्शन y \u003d cos (x) के लिए एक प्रतिपक्षी है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (sin (x)) "= cos (x) सत्य है।

एंटीडेरिवेटिव्स, साथ ही डेरिवेटिव्स को ढूंढते समय, न केवल फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है, बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।

हम जानते हैं कि किसी योग का अवकलज व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए संबंधित नियम उत्पन्न करता है।

नियम 1किसी योग का प्रतिअवकलज प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है।

हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए संबंधित नियम उत्पन्न करता है।

नियम 2यदि F(x) f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो kF(x) kf(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।

प्रमेय 1.यदि y = F(x) फलन y = f(x) का प्रतिअवकलन है, तो फलन y = f(kx + m) का प्रतिअवकलन फलन \(y=\frac(1)(k)F है। (केएक्स+एम) \)

प्रमेय 2।यदि y = F(x) अंतराल X पर किसी फलन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो फलन y = f(x) के अपरिमित रूप से अनेक प्रतिअवकलज हैं, और उन सभी का रूप y = F(x) है। + सी.

एकीकरण के तरीके

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

प्रतिस्थापन एकीकरण विधि में एक नया एकीकरण चर (अर्थात, एक प्रतिस्थापन) शुरू करना शामिल है। इस मामले में, दिया गया इंटीग्रल एक नए इंटीग्रल में बदल जाता है, जो सारणीबद्ध या इसके लिए रिड्यूसेबल होता है। प्रतिस्थापन के चयन के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। प्रतिस्थापन को सही ढंग से निर्धारित करने की क्षमता अभ्यास द्वारा प्राप्त की जाती है।
इसे अभिन्न \(\textstyle \int F(x)dx \) की गणना करने की आवश्यकता होने दें। आइए एक प्रतिस्थापन करें \(x= \varphi(t) \) जहां \(\varphi(t) \) एक ऐसा फलन है जिसका एक सतत व्युत्पन्न है।
तब \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) और अनिश्चितकालीन समाकलन सूत्र के इनवेरियन गुण के आधार पर, हम प्रतिस्थापन एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) जैसे भावों का एकीकरण

यदि m विषम है, m > 0, तो प्रतिस्थापन sin x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n विषम है, n > 0, तो प्रतिस्थापन cos x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n और m सम हैं, तो प्रतिस्थापन tg x = t करना अधिक सुविधाजनक है।

भागों द्वारा एकीकरण

भागों द्वारा एकीकरण - एकीकरण के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करना:
\(\textstyle \int u \cdot DV = u \cdot v - \int v \cdot du \)
या:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

कुछ कार्यों के अनिश्चित समाकलन (एंटीडेरिवेटिव) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (एन \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +सी $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )एक्स+सी $$

भागों द्वारा एकीकरण। समाधान उदाहरण

फिर से हैलो। आज के पाठ में हम सीखेंगे कि भागों द्वारा कैसे एकीकृत किया जाए। भागों द्वारा एकीकरण की विधि अभिन्न कलन की आधारशिलाओं में से एक है। परीक्षा में, परीक्षा में, छात्र को लगभग हमेशा निम्नलिखित प्रकार के इंटीग्रल को हल करने की पेशकश की जाती है: सबसे सरल इंटीग्रल (लेख देखें)या चर बदलने के लिए एक अभिन्न (लेख देखें)या अभिन्न बस पर भागों द्वारा एकीकरण की विधि.

हमेशा की तरह, हाथ में होना चाहिए: इंटीग्रल की तालिकातथा व्युत्पन्न तालिका. यदि आपके पास अभी भी नहीं है, तो कृपया मेरी साइट के स्टोररूम पर जाएँ: गणितीय सूत्र और टेबल. मैं दोहराते नहीं थकूंगा - सब कुछ प्रिंट करना बेहतर है। मैं सभी सामग्री को एक सुसंगत, सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा, भागों द्वारा एकीकृत करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है।

भागों द्वारा एकीकरण किस समस्या का समाधान करता है? भागों द्वारा एकीकरण की विधि एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या को हल करती है, यह आपको कुछ कार्यों को एकीकृत करने की अनुमति देती है जो तालिका में नहीं हैं, कामकार्य, और कुछ मामलों में - और निजी। जैसा कि हमें याद है, कोई सुविधाजनक सूत्र नहीं है: . लेकिन यह एक है: व्यक्तिगत रूप से भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र है। मुझे पता है, मुझे पता है, आप केवल एक ही हैं - उसके साथ हम पूरा पाठ करेंगे (यह पहले से ही आसान है)।

और तुरंत स्टूडियो में सूची। निम्नलिखित प्रकार के इंटीग्रल भागों द्वारा लिए जाते हैं:

1) , , - लघुगणक, लघुगणक को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

2) ,कुछ बहुपद से गुणा किया जाने वाला एक घातांकीय फलन है। इसमें इंटीग्रल भी शामिल हैं जैसे - एक बहुपद द्वारा एक एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन गुणा किया जाता है, लेकिन व्यवहार में यह 97 प्रतिशत है, इंटीग्रल के तहत एक सुंदर अक्षर "ई" फ्लॉन्ट करता है। ... लेख कुछ गेय निकला, अरे हाँ ... वसंत आ गया है।

3) , त्रिकोणमितीय फलन को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

4) , - उलटा त्रिकोणमितीय कार्य ("मेहराब"), "मेहराब", कुछ बहुपद से गुणा।

साथ ही कुछ भिन्नों को भागों में लिया जाता है, हम संबंधित उदाहरणों पर भी विस्तार से विचार करेंगे।

लघुगणक के समाकलन

उदाहरण 1

क्लासिक। समय-समय पर, यह अभिन्न तालिकाओं में पाया जा सकता है, लेकिन तैयार उत्तर का उपयोग करना अवांछनीय है, क्योंकि शिक्षक के पास वसंत ऋतु में बेरीबेरी है और वह बहुत डांटेगा। क्योंकि विचाराधीन अभिन्न किसी भी तरह से सारणीबद्ध नहीं है - इसे भागों में लिया जाता है। हमने निर्णय किया:

हम मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करते हैं।

हम भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं:

सूत्र बाएं से दाएं लागू किया जाता है

हम बाईं ओर देखते हैं:। जाहिर है, हमारे उदाहरण में (और अन्य सभी में जिन पर हम विचार करेंगे), कुछ को , और कुछ को द्वारा निरूपित करने की आवश्यकता है।

विचाराधीन प्रकार के समाकलों में, हम हमेशा लघुगणक को निरूपित करते हैं।

तकनीकी रूप से, समाधान का डिज़ाइन निम्नानुसार कार्यान्वित किया जाता है, हम कॉलम में लिखते हैं:

अर्थात्, क्योंकि हमने लघुगणक को निरूपित किया है, और के लिए - शेष भागएकीकृत

अगला चरण: अंतर खोजें:

अंतर लगभग व्युत्पन्न के समान ही है, हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि इसे पिछले पाठों में कैसे खोजा जाए।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं। फ़ंक्शन को खोजने के लिए इसे एकीकृत करना आवश्यक है दाईं ओरकम समानता:

अब हम अपना हल खोलते हैं और सूत्र के दाहिने हिस्से की रचना करते हैं: .
वैसे, यहाँ छोटे नोटों के साथ अंतिम समाधान का एक उदाहरण दिया गया है:

उत्पाद में एकमात्र क्षण, मैंने तुरंत पुनर्व्यवस्थित किया और, चूंकि यह लघुगणक से पहले गुणक लिखने के लिए प्रथागत है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इंटीग्रेशन-बाय-पार्ट्स फॉर्मूला लागू करने से हमारा समाधान अनिवार्य रूप से दो सरल इंटीग्रल तक कम हो गया।

कृपया ध्यान दें कि कुछ मामलों में एकदम बादसूत्र के आवेदन, शेष अभिन्न के तहत एक सरलीकरण आवश्यक रूप से किया जाता है - विचाराधीन उदाहरण में, हमने "x" द्वारा एकीकृत और घटाया।

चलो एक चेक करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उत्तर का व्युत्पन्न लेना होगा:

मूल समाकलन प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि समाकलन सही ढंग से हल किया गया है।

सत्यापन के दौरान, हमने उत्पाद विभेदन नियम का उपयोग किया: . और यह कोई संयोग नहीं है।

भागों सूत्र द्वारा एकीकरण और सूत्र ये दो परस्पर प्रतिलोम नियम हैं।

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

समाकलन लघुगणक और बहुपद का गुणनफल है।
हमने निर्णय किया।

मैं एक बार फिर नियम को लागू करने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा, भविष्य में उदाहरणों को और अधिक संक्षेप में तैयार किया जाएगा, और यदि आपको इसे स्वयं हल करने में कोई कठिनाई है, तो आपको पाठ के पहले दो उदाहरणों पर वापस जाना होगा। .

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लॉगरिदम को नामित करना आवश्यक है (तथ्य यह है कि यह एक डिग्री में है कोई फर्क नहीं पड़ता)। हम निरूपित करते हैं शेष भागएकीकृत

हम एक कॉलम में लिखते हैं:

पहले हम अंतर पाते हैं:

यहाँ हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम का उपयोग करते हैं . यह कोई संयोग नहीं है कि विषय के पहले पाठ में अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान उदाहरणमैंने इस तथ्य पर ध्यान केंद्रित किया कि इंटीग्रल में महारत हासिल करने के लिए, आपको डेरिवेटिव पर "अपना हाथ" प्राप्त करने की आवश्यकता है। व्युत्पन्नों को एक से अधिक बार सामना करना पड़ेगा।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं, इसके लिए हम एकीकृत करते हैं दाईं ओरकम समानता:

एकीकरण के लिए, हमने सबसे सरल सारणीबद्ध सूत्र लागू किया

अब आप फॉर्मूला लागू करने के लिए तैयार हैं . हम इसे "तारांकन" और "डिज़ाइन" के साथ दाईं ओर के अनुसार समाधान खोलते हैं:

इंटीग्रल के तहत, हमारे पास फिर से लॉगरिदम पर एक बहुपद है! इसलिए, समाधान फिर से बाधित होता है और भागों द्वारा एकीकरण का नियम दूसरी बार लागू होता है। यह मत भूलो कि समान स्थितियों में लॉगरिदम को हमेशा निरूपित किया जाता है।

यह अच्छा होगा यदि इस बिंदु पर आप मौखिक रूप से सबसे सरल समाकलन और अवकलज खोजने में सक्षम हों।

(1) संकेतों में भ्रमित न हों! बहुत बार यहां एक माइनस खो जाता है, यह भी ध्यान दें कि माइनस लागू होता है सेवा में, सभी ग्ब्रैकेट , और इन कोष्ठकों को सही ढंग से खोलने की आवश्यकता है।

(2) कोष्ठक का विस्तार करें। हम अंतिम अभिन्न को सरल बनाते हैं।

(3) हम अंतिम अभिन्न लेते हैं।

(4) उत्तर "कंघी करना"।

दो बार (या तीन बार भी) भागों द्वारा एकीकरण के नियम को लागू करने की आवश्यकता असामान्य नहीं है।

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण:

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

इस उदाहरण को परिवर्तनीय विधि के परिवर्तन (या अंतर चिह्न के तहत शामिल) द्वारा हल किया जाता है! और क्यों नहीं - आप इसे भागों में लेने की कोशिश कर सकते हैं, आपको एक मज़ेदार चीज़ मिलती है।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

लेकिन यह अभिन्न भागों (वादा किया गया अंश) द्वारा एकीकृत है।

पाठ के अंत में आत्म-समाधान, समाधान और उत्तरों के लिए ये उदाहरण हैं।

ऐसा लगता है कि उदाहरणों में 3,4 इंटीग्रेंड समान हैं, लेकिन समाधान के तरीके अलग हैं! इंटीग्रल में महारत हासिल करने में यह मुख्य कठिनाई है - यदि आप इंटीग्रल को हल करने के लिए गलत तरीका चुनते हैं, तो आप इसके साथ घंटों तक फील कर सकते हैं, जैसे कि एक वास्तविक पहेली के साथ। इसलिए, जितना अधिक आप विभिन्न इंटीग्रल को हल करेंगे, उतना ही बेहतर होगा, परीक्षा और परीक्षा उतनी ही आसान होगी। इसके अलावा, दूसरे वर्ष में अंतर समीकरण होंगे, और इंटीग्रल और डेरिवेटिव्स को हल करने के अनुभव के बिना वहाँ कुछ भी नहीं करना है।

लघुगणक द्वारा, शायद पर्याप्त से अधिक। नाश्ते के लिए, मुझे यह भी याद है कि तकनीकी छात्र महिला स्तनों को लघुगणक कहते हैं =)। वैसे, मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन को दिल से जानना उपयोगी है: साइन, कोसाइन, चाप स्पर्शरेखा, घातांक, तीसरे, चौथे डिग्री के बहुपद, आदि। नहीं, बिल्कुल, ग्लोब पर एक कंडोम
मैं नहीं खींचूंगा, लेकिन अब आपको अनुभाग से बहुत कुछ याद होगा रेखांकन और कार्य =).

बहुपद से गुणा किए गए घातांक के समाकलन

सामान्य नियम:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

एक परिचित एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं:

यदि आपको इंटीग्रल से कोई कठिनाई है, तो आपको लेख पर लौटना चाहिए अनिश्चित अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि.

करने के लिए केवल दूसरी चीज उत्तर को "कंघी" करना है:

लेकिन अगर आपकी गणना तकनीक बहुत अच्छी नहीं है, तो सबसे लाभदायक विकल्प को उत्तर के रूप में छोड़ दें। या और भी

यही है, उदाहरण को हल माना जाता है जब अंतिम अभिन्न लिया जाता है। यह कोई गलती नहीं होगी, यह दूसरी बात है कि शिक्षक उत्तर को सरल बनाने के लिए कह सकता है।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

यह स्वयं का उदाहरण है। यह अभिन्न दो बार भागों से एकीकृत होता है। संकेतों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए - उनमें भ्रमित होना आसान है, हमें यह भी याद है - एक जटिल कार्य।

प्रदर्शक के बारे में कहने के लिए और कुछ नहीं है। मैं केवल इतना जोड़ सकता हूं कि घातांक और प्राकृतिक लघुगणक परस्पर उलटा कार्य हैं, यह मैं उच्च गणित के मनोरंजक रेखांकन के विषय पर हूं =) रुकें, चिंता न करें, व्याख्याता शांत है।

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल को बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: हमेशा बहुपद के लिए खड़ा है

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

भागों द्वारा एकीकृत करना:

हम्म ... और टिप्पणी करने के लिए कुछ भी नहीं।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

अंश के साथ एक और उदाहरण। जैसा कि पिछले दो उदाहरणों में है, एक बहुपद को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है।

भागों द्वारा एकीकृत करना:

यदि आपको अभिन्न खोजने में कोई कठिनाई या गलतफहमी है, तो मैं पाठ में भाग लेने की सलाह देता हूं त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकलन.

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं का उदाहरण है।

संकेत: भागों विधि द्वारा एकीकरण का उपयोग करने से पहले, आपको कुछ त्रिकोणमितीय सूत्र लागू करना चाहिए जो दो त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को एक फ़ंक्शन में बदल देता है। सूत्र का उपयोग उन भागों द्वारा एकीकरण की विधि को लागू करने के दौरान भी किया जा सकता है, जिनके लिए यह अधिक सुविधाजनक है।

शायद यही सब इस पैराग्राफ में है। किसी कारण से, मुझे भौतिकी और गणित विभाग के गान की एक पंक्ति याद आ गई "और साइन ग्राफ तरंग के बाद तरंग एब्सिस्सा अक्ष के साथ चलती है" ....

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकलन।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: हमेशा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के लिए खड़ा होता है.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों में आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट शामिल हैं। संक्षिप्तता के लिए, मैं उन्हें "मेहराब" कहूंगा