नमूना डेटा का माध्यिका। सांख्यिकीय विश्लेषण करने के लिए एक्सेल में मेडियन फ़ंक्शन
औसत मूल्यों के साथ, संरचनात्मक औसत की गणना परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला की सांख्यिकीय विशेषताओं के रूप में की जाती है - फ़ैशनतथा मंझला.
फ़ैशन(मो) अध्ययन की गई विशेषता के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे उच्चतम आवृत्ति के साथ दोहराया जाता है, अर्थात। मोड उस विशेषता का मान है जो सबसे अधिक बार होता है।
मंझला(मी) उस विशेषता का मान है जो क्रमबद्ध (क्रमबद्ध) जनसंख्या के मध्य में आता है, अर्थात। माध्यिका - भिन्नता श्रृंखला का केंद्रीय मूल्य।
माध्यिका का मुख्य गुण यह है कि माध्यिका से गुण मानों के निरपेक्ष विचलन का योग किसी अन्य मान ∑|x i - Me|=min से कम होता है।
अवर्गीकृत डेटा से मोड और माध्यिका निर्धारित करना
विचार करना अवर्गीकृत आँकड़ों से बहुलक और माध्यिका का निर्धारण. आइए मान लें कि 9 लोगों से मिलकर काम करने वाले कर्मचारियों के पास निम्नलिखित वेतन श्रेणियां हैं: 4 3 4 5 3 3 6 2 6। चूंकि इस टीम में तीसरी श्रेणी के सबसे अधिक कर्मचारी हैं, इसलिए यह टैरिफ श्रेणी मोडल होगी। मो = 3.माध्यिका निर्धारित करने के लिए, रैंक करना आवश्यक है: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . इस श्रंखला में मध्य चतुर्थ श्रेणी का कार्यकर्ता है, इसलिए यह श्रेणी माध्यिका होगी। यदि रैंक की गई श्रृंखला में इकाइयों की एक सम संख्या शामिल है, तो माध्यिका को दो केंद्रीय मूल्यों के औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि बहुलक विशेषता मान के सबसे सामान्य रूप को दर्शाता है, तो माध्य व्यावहारिक रूप से एक विषम जनसंख्या के लिए औसत का कार्य करता है जो वितरण के सामान्य नियम का पालन नहीं करता है। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ इसके संज्ञानात्मक महत्व को स्पष्ट करें।
मान लीजिए कि हमें 100 लोगों की संख्या वाले लोगों के समूह की औसत आय को चिह्नित करने की आवश्यकता है, जिनमें से 99 की आय $ 100 से $ 200 प्रति माह की सीमा में है, और बाद की मासिक आय $ 50,000 (तालिका 1) है।
तालिका 1 - अध्ययन किए गए लोगों के समूह की मासिक आय। यदि हम अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं, तो हमें लगभग 600-700 डॉलर की औसत आय प्राप्त होती है, जिसका समूह के मुख्य भाग की आय के साथ बहुत कम समानता है। माध्यिका, इस मामले में मेरे बराबर = 163 डॉलर, हमें इस समूह के लोगों के 99% के आय स्तर का एक वस्तुनिष्ठ विवरण देने की अनुमति देगा।
समूहीकृत आँकड़ों (वितरण श्रृंखला) द्वारा बहुलक और माध्यिका की परिभाषा पर विचार कीजिए।
मान लीजिए कि टैरिफ श्रेणी के अनुसार संपूर्ण उद्यम के श्रमिकों के वितरण का निम्न रूप है (तालिका 2)।
तालिका 2 - टैरिफ श्रेणी के अनुसार उद्यम के श्रमिकों का वितरण
असतत श्रृंखला के लिए बहुलक और माध्यिका की गणना
अंतराल श्रृंखला के लिए बहुलक और माध्यिका की गणना
एक भिन्नता श्रृंखला के लिए बहुलक और माध्यिका की गणना
असतत भिन्नता श्रृंखला से बहुलक का निर्धारण
मूल्य के आधार पर पहले निर्मित फीचर वैल्यू की श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। यदि नमूना आकार विषम है, तो मध्य मान लें; यदि नमूना आकार सम है, तो हम दो केंद्रीय मानों का अंकगणितीय माध्य लेते हैं।असतत भिन्नता श्रृंखला से बहुलक का निर्धारण: 5 वीं टैरिफ श्रेणी में उच्चतम आवृत्ति (60 लोग) हैं, इसलिए, यह मोडल है। मो = 5.
विशेषता का माध्यक मान ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग करते हुए श्रेणी की माध्यिका इकाई (N Me) की संख्या ज्ञात की जाती है: जहाँ n जनसंख्या का आयतन है।
हमारे मामले में:
.
परिणामी भिन्नात्मक मान, जो हमेशा सम संख्या में जनसंख्या इकाइयों के साथ होता है, इंगित करता है कि सटीक मध्य 95 और 96 श्रमिकों के बीच है। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इन सीरियल नंबर वाले कार्यकर्ता किस समूह से संबंधित हैं। यह संचित आवृत्तियों की गणना करके किया जा सकता है। पहले समूह में इन नंबरों वाले कोई कार्यकर्ता नहीं हैं, जहां केवल 12 लोग हैं, और वे दूसरे समूह (12+48=60) में नहीं हैं। 95वें और 96वें कर्मचारी तीसरे समूह (12+48+56=116) में हैं, इसलिए चौथी वेतन श्रेणी माध्यिका है।
अंतराल श्रृंखला में बहुलक और माध्यिका की गणना
असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के विपरीत, अंतराल श्रृंखला से बहुलक और माध्यिका के निर्धारण के लिए निम्नलिखित सूत्रों के आधार पर कुछ गणनाओं की आवश्यकता होती है:
, (5.6)
कहाँ पे X 0- मोडल अंतराल की निचली सीमा (उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल को मोडल कहा जाता है);
मैंमोडल अंतराल का मान है;
एफएमओमोडल अंतराल की आवृत्ति है;
FMO -1मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति है;
च मो +1मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति है।
(5.7)
कहाँ पे X 0- माध्यिका अंतराल की निचली सीमा (माध्यिका पहला अंतराल है, जिसकी संचित आवृत्ति कुल आवृत्तियों के आधे से अधिक होती है);
मैंमाध्यिका अंतराल का मान है;
एस मी-1- माध्यिका से पहले संचित अंतराल;
एफ मीमाध्यिका अंतराल की आवृत्ति है।
हम तालिका में डेटा का उपयोग करके इन सूत्रों के अनुप्रयोग का वर्णन करते हैं। 3.
इस बंटन में सीमा 60 - 80 वाला अंतराल बहुलक होगा, क्योंकि इसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है। सूत्र (5.6) का उपयोग करते हुए, हम बहुलक ज्ञात करते हैं:
माध्यिका अंतराल को स्थापित करने के लिए, प्रत्येक बाद के अंतराल की संचित आवृत्ति को तब तक निर्धारित करना आवश्यक है जब तक कि यह संचित आवृत्तियों के आधे योग (हमारे मामले में, 50%) (तालिका 5.11) से अधिक न हो जाए।
यह पाया गया कि माध्य 100 - 120 हजार रूबल की सीमाओं के साथ अंतराल है। अब हम माध्यिका को परिभाषित करते हैं:
तालिका 3 - मार्च 1994 में औसत प्रति व्यक्ति नाममात्र नकद आय के स्तर से रूसी संघ की जनसंख्या का वितरण
| औसत प्रति व्यक्ति मासिक आय के स्तर के आधार पर समूह, हजार रूबल | जनसंख्या का हिस्सा,% |
| 20 तक | 1,4 |
| 20 – 40 | 7,5 |
| 40 – 60 | 11,9 |
| 60 – 80 | 12,7 |
| 80 – 100 | 11,7 |
| 100 – 120 | 10,0 |
| 120 – 140 | 8,3 |
| 140 –160 | 6,8 |
| 160 – 180 | 5,5 |
| 180 – 200 | 4,4 |
| 200 – 220 | 3,5 |
| 220 – 240 | 2,9 |
| 240 – 260 | 2,3 |
| 260 – 280 | 1,9 |
| 280 – 300 | 1,5 |
| 300 . से अधिक | 7,7 |
| कुल | 100,0 |
तालिका 4 - माध्यिका अंतराल की परिभाषा
इस प्रकार, अंकगणित माध्य, विधा और माध्यिका का उपयोग किसी रैंक की गई जनसंख्या की इकाइयों के लिए एक निश्चित विशेषता के मूल्यों की सामान्यीकृत विशेषता के रूप में किया जा सकता है।
वितरण केंद्र की मुख्य विशेषता अंकगणितीय माध्य है, जो इस तथ्य की विशेषता है कि इससे सभी विचलन (सकारात्मक और नकारात्मक) शून्य तक जुड़ जाते हैं। यह माध्यिका के लिए विशिष्ट है कि मापांक में इससे विचलन का योग न्यूनतम है, और बहुलक उस विशेषता का मान है जो सबसे अधिक बार होता है।
बहुलक, माध्यिका और अंकगणितीय माध्य का अनुपात समुच्चय में गुण के वितरण की प्रकृति को इंगित करता है, हमें इसकी विषमता का आकलन करने की अनुमति देता है। सममित वितरण में, तीनों विशेषताएँ समान होती हैं। बहुलक और अंकगणित माध्य के बीच जितनी अधिक विसंगति होगी, श्रृंखला उतनी ही अधिक असममित होगी। मध्यम रूप से तिरछी श्रृंखला के लिए, बहुलक और अंकगणितीय माध्य के बीच का अंतर माध्यिका और माध्य के बीच के अंतर का लगभग तीन गुना है, अर्थात:
|मो–`x| = 3 |मैं -`x|.
चित्रमय विधि द्वारा बहुलक और माध्यिका का निर्धारण
अंतराल श्रृंखला में बहुलक और माध्यिका को आलेखीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है. बहुलक वितरण के हिस्टोग्राम से निर्धारित होता है। ऐसा करने के लिए, सबसे लंबा आयत चुना जाता है, जो इस मामले में मोडल है। फिर हम मोडल आयत के दाहिने शीर्ष को पिछले आयत के ऊपरी दाएँ कोने से जोड़ते हैं। और मोडल आयत का बायाँ शीर्ष बाद के आयत के ऊपरी बाएँ कोने के साथ है। उनके चौराहे के बिंदु से, हम लंबवत को भुज अक्ष पर कम करते हैं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु का भुज वितरण विधा होगा (चित्र 5.3)।
चावल। 5.3. हिस्टोग्राम द्वारा फैशन की ग्राफिकल परिभाषा।
चावल। 5.4. संचयी द्वारा माध्यिका का आलेखीय निर्धारण
50% के अनुरूप संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) के पैमाने पर एक बिंदु से माध्यिका निर्धारित करने के लिए, एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को क्यूम्युलेट के साथ चौराहे पर खींचा जाता है। फिर, चौराहे के बिंदु से, एक लंबवत को भुज अक्ष पर उतारा जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज माध्यिका है।
चतुर्थक, दशमांश, शतमक
इसी तरह, वितरण की परिवर्तनशील श्रृंखला में माध्यिका ज्ञात करके, आप क्रमबद्ध श्रृंखला की किसी भी इकाई के लिए एक विशेषता का मान ज्ञात कर सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, आप एक विशेषता का मान उन इकाइयों में पा सकते हैं जो श्रृंखला को चार बराबर भागों में, 10 या 100 भागों में विभाजित करती हैं। इन मानों को "चतुर्थक", "दशमलव", "प्रतिशतक" कहा जाता है।चतुर्थक एक विशेषता का मान है जो श्रेणीबद्ध जनसंख्या को 4 बराबर भागों में विभाजित करता है।
निम्न चतुर्थक (क्यू 1) के बीच अंतर करें, जो विशेषता के निम्नतम मूल्यों के साथ जनसंख्या के को अलग करता है, और ऊपरी चतुर्थक (क्यू 3), जो विशेषता के उच्चतम मूल्यों के साथ ¼ भाग को काट देता है . इसका मतलब है कि जनसंख्या इकाइयों का 25% क्यू 1 से कम होगा; क्यू 1 और क्यू 2 के बीच 25% इकाइयां संलग्न की जाएंगी; 25% - क्यू 2 और क्यू 3 के बीच, और शेष 25% क्यू 3 से बेहतर हैं। Q 2 का मध्य चतुर्थक माध्यिका है।
अंतराल भिन्नता श्रृंखला द्वारा चतुर्थक की गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:
, 
,
कहाँ पे एक्स क्यू 1- निचले चतुर्थक वाले अंतराल की निचली सीमा (अंतराल संचित आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, पहले 25% से अधिक);
एक्स क्यू 3- ऊपरी चतुर्थक वाले अंतराल की निचली सीमा (अंतराल संचित आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, पहले 75% से अधिक);
मैं- अंतराल मूल्य;
एस क्यू 1-1निम्न चतुर्थक वाले अंतराल से पहले के अंतराल की संचयी आवृत्ति है;
एस क्यू 3-1ऊपरी चतुर्थक वाले अंतराल से पहले के अंतराल की संचयी आवृत्ति है;
च क्यू 1निम्न चतुर्थक वाले अंतराल की आवृत्ति है;
च क्यू 3ऊपरी चतुर्थक वाले अंतराल की आवृत्ति है।
तालिका के अनुसार निचले और ऊपरी चतुर्थक की गणना पर विचार करें। 5.10. निचला चतुर्थक 60 - 80 की सीमा में है, जिसकी संचयी आवृत्ति 33.5% है। ऊपरी चतुर्थक 75.8% की संचित आवृत्ति के साथ 160 - 180 की सीमा में है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
,
.
चतुर्थक के अलावा, दशमलव को भिन्न वितरण रैंकों में निर्धारित किया जा सकता है - विकल्प जो रैंक की विविधता श्रृंखला को दस बराबर भागों में विभाजित करते हैं। पहला दशमक (d 1) जनसंख्या को 1/10 से 9/10 में विभाजित करता है, दूसरा दशमक (d 1) 2/10 से 8/10, इत्यादि।
उनकी गणना सूत्रों के अनुसार की जाती है:
, 
.
शृंखला को सौ भागों में बाँटने वाले विशेषता मान शतमक कहलाते हैं। माध्यिका, चतुर्थक, दशमांश और पर्सेंटाइल के अनुपात चित्र में दिखाए गए हैं। 5.5.
अर्थव्यवस्था के विभिन्न क्षेत्रों में मजदूरी, एक ही क्षेत्र में तुलनीय समय अवधि के लिए तापमान और वर्षा, विभिन्न भौगोलिक क्षेत्रों में फसल की पैदावार, आदि। हालांकि, औसत किसी भी तरह से एकमात्र सामान्यीकरण संकेतक नहीं है - कुछ मामलों में अधिक सटीक के लिए माध्यिका जैसे मान का आकलन करना उचित है। आंकड़ों में, यह व्यापक रूप से एक ही आबादी में एक विशेषता के वितरण की सहायक वर्णनात्मक विशेषता के रूप में उपयोग किया जाता है। आइए देखें कि यह औसत से कैसे भिन्न है, और यह भी कि इसका उपयोग करने की क्या आवश्यकता है।
आंकड़ों में माध्यिका: परिभाषा और गुण
निम्नलिखित स्थिति की कल्पना कीजिए: एक कंपनी में 10 लोग निदेशक के साथ मिलकर काम करते हैं। साधारण कर्मचारियों को प्रत्येक में 1,000 रिव्निया मिलते हैं, और उनके प्रबंधक, जो इसके अलावा, मालिक हैं, 10,000 रिव्निया प्राप्त करते हैं। यदि हम अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं, तो यह पता चलता है कि इस उद्यम में औसत वेतन 1900 UAH है। क्या यह कथन सत्य होगा? या इस उदाहरण को लेने के लिए, एक ही अस्पताल के कमरे में नौ लोग हैं जिनका तापमान 36.6 डिग्री सेल्सियस है और एक व्यक्ति का तापमान 41 डिग्री सेल्सियस है। इस मामले में अंकगणितीय माध्य है: (36.6 * 9 + 41) / 10 \u003d 37.04 डिग्री सेल्सियस। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि मौजूद सभी लोग बीमार हैं। यह सब बताता है कि अकेले औसत अक्सर पर्याप्त नहीं होता है, और इसीलिए इसके अलावा माध्यिका का उपयोग किया जाता है। आंकड़ों में, इस सूचक को एक प्रकार कहा जाता है जो एक क्रमबद्ध विविधता श्रृंखला के ठीक बीच में स्थित होता है। यदि आप हमारे उदाहरणों के लिए इसकी गणना करते हैं, तो आपको क्रमशः 1000 UAH मिलते हैं। और 36.6 डिग्री सेल्सियस। दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका वह मान है जो श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि इसके दोनों किनारों पर (ऊपर या नीचे) दी गई जनसंख्या की इकाइयों की संख्या समान हो। इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50 वाँ प्रतिशतक या 0.5 मात्रा।
आंकड़ों में माध्यिका कैसे खोजें
इस मान की गणना करने की विधि काफी हद तक इस बात पर निर्भर करती है कि हमारे पास किस प्रकार की परिवर्तनशील श्रृंखला है: असतत या अंतराल। पहले मामले में, आंकड़ों में माध्यिका काफी सरल है। आपको केवल आवृत्तियों का योग ज्ञात करना है, 2 से विभाजित करना है, और फिर परिणाम में ½ जोड़ना है। निम्नलिखित उदाहरण के साथ गणना सिद्धांत की व्याख्या करना सबसे अच्छा होगा। मान लीजिए कि हमने प्रजनन डेटा को समूहीकृत किया है और यह पता लगाना चाहते हैं कि माध्यिका क्या है।
बच्चों की संख्या से परिवार समूह संख्या | परिवारों की संख्या |
कुछ सरल गणना करने के बाद, हम पाते हैं कि वांछित संकेतक के बराबर है: 195/2 + ½ = विकल्प। यह पता लगाने के लिए कि इसका क्या अर्थ है, आपको क्रमिक रूप से आवृत्तियों को जमा करना चाहिए, सबसे छोटे विकल्पों से शुरू करना। तो, पहली दो पंक्तियों का योग हमें 30 देता है। स्पष्ट रूप से, यहां 98 विकल्प नहीं हैं। लेकिन अगर हम परिणाम में तीसरे विकल्प (70) की बारंबारता जोड़ते हैं, तो हमें 100 के बराबर योग मिलता है। इसमें सिर्फ 98 वां विकल्प होता है, जिसका अर्थ है कि माध्य एक परिवार होगा जिसमें दो बच्चे होंगे।
अंतराल श्रृंखला के लिए, निम्न सूत्र आमतौर पर यहां उपयोग किया जाता है:
एम ई \u003d एक्स मी + आई मी * (∑f / 2 - एस मी -1) / एफ मी, जिसमें:
- X Me - माध्यिका अंतराल का पहला मान;
- f श्रृंखला की संख्या है (इसकी आवृत्तियों का योग);
- i Me - माध्यिका श्रेणी का मान;
- च मी - माध्यिका सीमा की आवृत्ति;
- S Me-1 - माध्यिका से पहले की श्रेणियों में संचयी आवृत्तियों का योग।
फिर, उदाहरण के बिना इसे समझना मुश्किल है। मान लीजिए मान पर डेटा है
वेतन, हजार रूबल | संचित आवृत्तियाँ |
|
उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें पहले माध्यिका अंतराल निर्धारित करना होगा। इस तरह की एक सीमा के रूप में, एक को चुना जाता है, जिसकी संचित आवृत्ति कुल आवृत्तियों के आधे से अधिक या उसके बराबर होती है। तो, 510 को 2 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि यह मानदंड 250,000 रूबल के वेतन मूल्य के साथ अंतराल से मेल खाता है। 300,000 रूबल तक अब आप सूत्र में सभी डेटा को स्थानापन्न कर सकते हैं:
एम ई \u003d एक्स मी + आई मी * (∑f / 2 - एस मी -1) / एफ मी \u003d 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 \u003d 286.96 हजार रूबल।
हमें उम्मीद है कि हमारा लेख उपयोगी था, और अब आपको स्पष्ट रूप से पता चल गया है कि आँकड़ों में माध्यिका क्या है और इसकी गणना कैसे की जानी चाहिए।
MS EXCEL में माध्यिका की गणना करने के लिए एक विशेष कार्य MEDIAN() है। इस लेख में, हम माध्यिका को परिभाषित करेंगे और सीखेंगे कि एक नमूने के लिए और एक यादृच्छिक चर के दिए गए वितरण कानून के लिए इसकी गणना कैसे करें।
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं माध्यिकाओंके लिये नमूने(यानी मूल्यों के एक निश्चित सेट के लिए)।
नमूना माध्यिका
मंझला(माध्यिका) वह संख्या है जो संख्याओं के समुच्चय के बीच में होती है: समुच्चय की आधी संख्याएँ . से बड़ी होती हैं मंझला, और आधी संख्याएँ . से कम हैं मंझला.
हिसाब करना माध्यिकाओंपहले की जरूरत है (मानों में नमूना) उदाहरण के लिए, मंझलानमूने के लिए (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) 4 होगा। चूंकि। में केवल नमूना 7 मान, उनमें से तीन 4 से कम (अर्थात 2; 3; 3) और तीन मान (अर्थात 5; 7; 10) से अधिक हैं।
यदि समुच्चय में सम संख्याएँ हैं, तो इसकी गणना समुच्चय के बीच में दो संख्याओं के लिए की जाती है। उदाहरण के लिए, मंझलानमूने के लिए (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) 4.5 होगा, क्योंकि (3+6)/2=4.5.
निर्धारण के लिए माध्यिकाओं MS EXCEL में एक ही नाम MEDIAN() का एक फ़ंक्शन है, जो MEDIAN() का अंग्रेजी संस्करण है।
मंझलाआवश्यक रूप से मेल नहीं खाता। एक मिलान तभी होता है जब नमूने में मान सममित रूप से वितरित किए जाते हैं मध्यम. उदाहरण के लिए, के लिए नमूने (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) मंझलातथा औसत 3.5 के बराबर हैं।
यदि परिचित हो वितरण समारोहएफ (एक्स) या संभाव्यता घनत्व कार्य पी(एक्स), फिर मंझलासमीकरण से पाया जा सकता है:
उदाहरण के लिए, इस समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से लॉगनॉर्मल बंटन lnN(μ; 2) के लिए हल करके, हम प्राप्त करते हैं कि मंझलासूत्र द्वारा गणना की जाती है =EXP(μ)। μ=0 के लिए, माध्यिका 1 है।
डॉट पर ध्यान दें वितरण कार्य, जिसके लिए एफ(एक्स) = 0.5(ऊपर चित्र देखें) . इस बिंदु का भुज 1 है। यह माध्यिका का मान है, जो स्वाभाविक रूप से em सूत्र का उपयोग करके पहले परिकलित मान के साथ मेल खाता है।
एमएस एक्सेल में मंझलाके लिये असामान्य वितरण LnN(0;1) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है =LOGNORM.INV(0,5,0,1).
टिप्पणी: याद रखें कि का अभिन्न अंग एक यादृच्छिक चर सेट करने के पूरे क्षेत्र में एक के बराबर है।
इसलिए, माध्यिका रेखा (x=माध्यिका) ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र को विभाजित करती है संभाव्यता घनत्व कार्यदो बराबर भागों में।
इस तथ्य के कारण कि शोधकर्ता के पास प्रत्येक विनिमय कार्यालय में बिक्री की मात्रा पर डेटा नहीं है, प्रति डॉलर औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए अंकगणितीय औसत की गणना अनुचित है।
संख्याओं की एक श्रृंखला का माध्यिका
हालाँकि, विशेषता का मान निर्धारित करना संभव है, जिसे माध्यिका (Me) कहा जाता है। मंझला
हमारे उदाहरण में 
माध्यिका संख्या: NoMe =;
फ़ैशन
तालिका 3.6।
एफश्रृंखला की आवृत्तियों का योग है;
एस संचयी आवृत्तियों
12_
_
S संचित आवृत्तियाँ हैं।
अंजीर पर। 3.2. लाभ के आधार पर बैंकों के वितरण की श्रृंखला का एक हिस्टोग्राम दिखाया गया है (तालिका 3.6 के अनुसार)।
x लाभ की राशि है, मिलियन रूबल,
f बैंकों की संख्या है।
"आदेशित श्रृंखला का माध्यिका"
प्रकाशन का टेक्स्ट HTML संस्करण
ग्रेड 7 . में बीजगणित के पाठ का सारांश
पाठ का विषय: "आदेशित श्रृंखला का माध्य"।
एमकेओयू बुर्कोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय एरेमेन्को तात्याना अलेक्सेवन की लेक स्कूल शाखा के शिक्षक
लक्ष्य:
एक क्रमबद्ध श्रृंखला की सांख्यिकीय विशेषता के रूप में माध्यिका की अवधारणा; सदस्यों की सम और विषम संख्या के साथ क्रमबद्ध श्रृंखला के लिए माध्यिका खोजने की क्षमता बनाने के लिए; व्यावहारिक स्थिति के आधार पर माध्यिका के मूल्यों की व्याख्या करने की क्षमता बनाने के लिए, संख्याओं के अंकगणितीय माध्य सेट की अवधारणा को समेकित करने के लिए। स्वतंत्र कार्य कौशल विकसित करें। गणित में रुचि पैदा करें।
कक्षाओं के दौरान
मौखिक कार्य।
पंक्तियाँ दी गई हैं: 1) 4; एक; आठ; 5; एक; 2) ; 9; 3; 0.5; ; 3) 6; 0.2; ; चार; 6; 7.3; 6. खोजें: क) प्रत्येक पंक्ति का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान; बी) प्रत्येक पंक्ति की सीमा; ग) प्रत्येक पंक्ति का फैशन।
द्वितीय. नई सामग्री की व्याख्या।
पाठ्यपुस्तक का काम। 1. पाठ्यपुस्तक के पैराग्राफ 10 से समस्या पर विचार करें। आदेशित पंक्ति का क्या अर्थ है? मैं इस बात पर जोर देता हूं कि माध्यिका खोजने से पहले, आपको हमेशा डेटा श्रृंखला को क्रमबद्ध करना चाहिए। 2. बोर्ड पर, हम सम और विषम संख्या वाले सदस्यों की श्रृंखला के लिए माध्यिका ज्ञात करने के नियमों से परिचित होते हैं:
मंझला
व्यवस्थित
पंक्ति
नंबर
साथ
अजीब
संख्या
सदस्यों
बीच में लिखे नंबर को कहते हैं, और
मंझला
आदेशित पंक्ति
नंबर
सदस्यों की एक समान संख्या के साथ
बीच में लिखी दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य कहलाता है।
मंझला
मनमाना
पंक्ति
इसी क्रमित श्रेणी की माध्यिका 1 3 1 7 5 4 कहलाती है।
मैं ध्यान देता हूं कि संकेतक इसके लिए अंकगणितीय माध्य, बहुलक और माध्यिका हैं
अलग ढंग से
विशेषताएँ
जानकारी,
प्राप्त किया
नतीजा
अवलोकन।
III. कौशल और क्षमताओं का गठन।
पहला समूह। एक क्रमबद्ध और अव्यवस्थित श्रृंखला की माध्यिका ज्ञात करने के लिए सूत्रों के अनुप्रयोग पर अभ्यास। एक।
№ 186.
समाधान:क) श्रृंखला के सदस्यों की संख्या पी= 9; मंझला मैं= 41; बी) पी= 7, पंक्ति का आदेश दिया गया है, मैं= 207; में) पी= 6, पंक्ति का आदेश दिया गया है, मैं== 21; जी) पी= 8, पंक्ति का आदेश दिया गया है, मैं== 2.9। उत्तर: क) 41; बी) 207; 21 पर; घ) 2.9। छात्र टिप्पणी करते हैं कि माध्यिका कैसे पाई जाती है। 2. संख्याओं की एक श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; में) ; 1. बी) 56, 58, 64, 66, 62, 74। समाधान:माध्यिका ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पंक्ति को क्रमबद्ध करना आवश्यक है: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34। पी = 6; एक्स = = 27,5; मैं== 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + ख) 56, 58, 62, 64, 66, 74।
आंकड़ों में माध्यिका कैसे खोजें
पी = 6; एक्स = 63,3; मैं== 63; में) ; एक। पी = 5; एक्स = : 5 = 3: 5 = 0,6; मैं = . 3.
№ 188
(मौखिक रूप से)। उत्तर: हाँ; बी) नहीं; ग) नहीं; घ) हाँ। 4. यह जानते हुए कि क्रमबद्ध श्रृंखला में शामिल हैं टीसंख्याएं, जहां टीएक विषम संख्या है, तो उस पद की संख्या बताइए जो माध्यिका है यदि टीके बराबर है: क) 5; बी) 17; ग) 47; डी) 201. उत्तर: ए) 3; बी) 9; ग) 24; घ) 101. दूसरा समूह। संबंधित श्रृंखला के माध्यिका को खोजने और परिणाम की व्याख्या करने के लिए व्यावहारिक कार्य। एक।
№ 189.
समाधान:पंक्ति सदस्यों की संख्या पी= 12. माध्यिका ज्ञात करने के लिए, श्रृंखला को क्रमित किया जाना चाहिए: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194। श्रृंखला की माध्यिका मैं= = 176. आर्टेल के निम्नलिखित सदस्यों के लिए मासिक उत्पादन माध्यिका से अधिक था: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ++++ = = 2 3 67 174 178 22 xx+ + = 1) क्वित्को; 4) बोबकोव; 2) बारानोव; 5) रयलोव; 3) एंटोनोव; 6) एस्टाफ़िएव। उत्तर: 176. 2.
№ 192.
समाधान:आइए डेटा श्रृंखला की व्यवस्था करें: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; पंक्ति सदस्यों की संख्या पी= 20. स्वाइप ए = एक्सअधिकतम- एक्सन्यूनतम = 42 - 30 = 12. मोड एमओ= 32 (यह मान 6 गुना होता है - दूसरों की तुलना में अधिक बार)। मंझला मैं= = 35. इस मामले में, सीमा भाग को संसाधित करने के लिए समय का सबसे बड़ा प्रसार दिखाती है; मोड प्रसंस्करण समय का सबसे विशिष्ट मूल्य दिखाता है; माध्य प्रसंस्करण समय है कि टर्नर्स के आधे से अधिक नहीं हुआ। उत्तर: 12; 32; 35.
चतुर्थ। पाठ का सारांश।
संख्याओं की एक श्रृंखला का माध्यिका क्या है? - क्या संख्याओं की एक श्रंखला की माध्यिका श्रंखला की किसी भी संख्या से मेल नहीं खा सकती है? - 2 . वाली क्रमित श्रंखला की माध्यिका कौन सी संख्या है? पीनंबर? 2 पी- 1 नंबर? एक अनियंत्रित श्रृंखला का माध्यिका कैसे ज्ञात करें?
गृहकार्य:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =
खंड में बुनियादी सामान्य शिक्षा
मोड और माध्यिका
माध्य मानों में बहुलक और माध्यिका भी शामिल होती है।
माध्यिका और विधा का उपयोग अक्सर उन आबादी में औसत विशेषता के रूप में किया जाता है जहां औसत (अंकगणित, हार्मोनिक, आदि) की गणना असंभव या अव्यवहारिक होती है।
उदाहरण के लिए, 12 वाणिज्यिक मुद्रा विनिमय कार्यालयों के ओम्स्क शहर में एक नमूना सर्वेक्षण ने डॉलर के लिए विभिन्न कीमतों को तय करना संभव बना दिया जब इसे बेचा गया था (डॉलर -4493 रूबल की विनिमय दर पर 10 अक्टूबर, 1995 तक डेटा) .
इस तथ्य के कारण कि शोधकर्ता के पास प्रत्येक विनिमय कार्यालय में बिक्री की मात्रा पर डेटा नहीं है, प्रति डॉलर औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए अंकगणितीय औसत की गणना अनुचित है। हालाँकि, विशेषता का मान निर्धारित करना संभव है, जिसे माध्यिका (Me) कहा जाता है। मंझलारैंक की गई पंक्ति के मध्य में स्थित है और इसे समद्विभाजित करता है।
अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका की गणना निम्नानुसार की जाती है:
ए) आरोही क्रम में सुविधा के व्यक्तिगत मूल्यों को व्यवस्थित करें:
4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570
बी) सूत्र द्वारा माध्यिका की क्रम संख्या निर्धारित करें:
हमारे उदाहरण में इसका मतलब यह है कि इस मामले में माध्यिका क्रमबद्ध श्रृंखला में छठे और सातवें फीचर मूल्यों के बीच स्थित है, क्योंकि श्रृंखला में व्यक्तिगत मूल्यों की एक समान संख्या है। इस प्रकार, मी पड़ोसी मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है: 4550, 4560।
ग) व्यक्तिगत मानों की विषम संख्या के मामले में माध्यिका की गणना करने की प्रक्रिया पर विचार करें।
मान लीजिए कि हम 12 नहीं, बल्कि 11 मुद्रा विनिमय बिंदुओं का निरीक्षण करते हैं, तो रैंक की गई श्रृंखला इस तरह दिखेगी (हम 12वें बिंदु को छोड़ देते हैं):
4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570
माध्यिका संख्या: NoMe =;
छठे स्थान पर = 4560 है, जो माध्यिका है: Me = 4560। इसके दोनों ओर समान अंक हैं।
फ़ैशन- यह इस जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता का सबसे सामान्य मूल्य है। यह एक निश्चित विशेषता मूल्य से मेल खाती है।
हमारे मामले में, प्रति डॉलर मोडल मूल्य को 4560 रूबल कहा जा सकता है: यह मान 4 बार दोहराया जाता है, अन्य सभी की तुलना में अधिक बार।
व्यवहार में, बहुलक और माध्यिका सामान्यतः समूहीकृत आँकड़ों से पाए जाते हैं। समूहीकरण के परिणामस्वरूप, वर्ष के लिए प्राप्त लाभ की राशि के अनुसार बैंकों के वितरण की एक श्रृंखला प्राप्त हुई (तालिका 3.6।)।
तालिका 3.6।
वर्ष के लिए प्राप्त लाभ की राशि के आधार पर बैंकों का समूहन
माध्यिका ज्ञात करने के लिए संचयी आवृत्तियों के योग की गणना करना आवश्यक है। कुल में वृद्धि तब तक जारी रहती है जब तक कि आवृत्तियों का संचयी योग आवृत्तियों के योग के आधे से अधिक न हो जाए। हमारे उदाहरण में, संचित आवृत्तियों का योग (12) सभी मानों के आधे (20:2) से अधिक है। यह मान माध्यिका अंतराल से मेल खाता है, जिसमें माध्यिका (5.5 - 6.4) होती है। आइए सूत्र द्वारा इसका मान निर्धारित करें:
माध्यिका वाले अंतराल का प्रारंभिक मान कहाँ है;
- माध्यिका अंतराल का मान;
एफश्रृंखला की आवृत्तियों का योग है;
माध्यिका अंतराल से पहले की संचयी आवृत्तियों का योग है;
माध्यिका अंतराल की आवृत्ति है।
इस प्रकार, 50% बैंकों को 6.1 मिलियन रूबल का लाभ होता है, और 50% बैंकों को - 6.1 मिलियन रूबल से अधिक।
उच्चतम आवृत्ति भी अंतराल 5.5 - 6.4 से मेल खाती है, अर्थात। मोड इस अंतराल में होना चाहिए। इसका मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
बहुलक वाले अंतराल का प्रारंभिक मान कहाँ है;
- मोडल अंतराल का मान;
मोडल अंतराल की आवृत्ति है;
- मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति;
- मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति।
दिए गए फ़ैशन फॉर्मूले का उपयोग समान अंतराल के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला में किया जा सकता है।
इस प्रकार, इस कुल में, सबसे आम लाभ 6.10 मिलियन रूबल है।
माध्यिका और बहुलक को आलेखीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है। माध्यिका संचयी द्वारा निर्धारित की जाती है (चित्र 3.1.)। इसे बनाने के लिए, संचयी आवृत्तियों और आवृत्तियों की गणना करना आवश्यक है। संचयी आवृत्तियों से पता चलता है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों में विशेषता मान माना गया मान से अधिक नहीं है, और अंतराल आवृत्तियों के क्रमिक योग द्वारा निर्धारित किया जाता है। संचयी अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, पहले अंतराल की निचली सीमा शून्य के बराबर आवृत्ति से मेल खाती है, और ऊपरी सीमा दिए गए अंतराल की संपूर्ण आवृत्ति से मेल खाती है। दूसरे अंतराल की ऊपरी सीमा पहले दो अंतरालों की आवृत्तियों के योग के बराबर संचयी आवृत्ति से मेल खाती है, और इसी तरह।
आइए तालिका के अनुसार संचयी वक्र बनाएं। 6 लाभ द्वारा बैंकों के वितरण पर।
एस संचयी आवृत्तियों
12_
_
3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 लाभ
चावल। 3.1. लाभ द्वारा बैंकों का संचयी वितरण:
x लाभ की राशि है, मिलियन रूबल,
S संचित आवृत्तियाँ हैं।
माध्यिका ज्ञात करने के लिए, सबसे बड़े कोटि की ऊँचाई, जो कुल जनसंख्या से मेल खाती है, को आधे में विभाजित किया जाता है। एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर प्राप्त बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है, जब तक कि यह संचयी के साथ प्रतिच्छेद न करे। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज माध्यिका है।
बहुलक वितरण के हिस्टोग्राम से निर्धारित होता है। हिस्टोग्राम इस तरह बनाया गया है:
एब्सिस्सा अक्ष पर समान खंड प्लॉट किए जाते हैं, जो स्वीकृत पैमाने पर भिन्नता श्रृंखला के अंतराल के आकार के अनुरूप होते हैं। आयत उन खंडों पर बने होते हैं, जिनके क्षेत्र अंतराल की आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के समानुपाती होते हैं।
आंकड़ों में माध्यिका
3.2. लाभ के आधार पर बैंकों के वितरण की श्रृंखला का एक हिस्टोग्राम दिखाया गया है (तालिका 3.6 के अनुसार)।
3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 X
चावल। 3.2. लाभ के आधार पर वाणिज्यिक बैंकों का वितरण:
x लाभ की राशि है, मिलियन रूबल,
f बैंकों की संख्या है।
फैशन का निर्धारण करने के लिए, हम मोडल आयत के दाहिने शीर्ष को पिछले आयत के ऊपरी दाएँ कोने से जोड़ते हैं, और मोडल आयत के बाएँ शीर्ष को अगले आयत के ऊपरी बाएँ कोने से जोड़ते हैं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज वितरण विधा होगा।
माध्यिका (सांख्यिकीय)
माध्यिका (सांख्यिकीय), गणितीय आँकड़ों में, एक संख्या जो एक नमूने की विशेषता है (उदाहरण के लिए, संख्याओं का एक समूह)। यदि नमूने के सभी तत्व भिन्न हैं, तो माध्यिका नमूने की संख्या इस प्रकार है कि नमूने के ठीक आधे तत्व इससे बड़े हैं और अन्य आधे इससे कम हैं। अधिक सामान्य स्थिति में, नमूने के तत्वों को आरोही या अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करके और मध्य तत्व को लेकर माध्यिका को पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नमूना (11, 9, 3, 5, 5) आदेश देने के बाद (3, 5, 5, 9, 11) में बदल जाता है और इसकी माध्यिका संख्या 5 होती है। यदि नमूने में तत्वों की संख्या सम है, तो माध्यिका को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है: संख्यात्मक डेटा के लिए, दो आसन्न मानों का आधा-योग सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है (अर्थात, सेट की माध्यिका (1, 3, 5, 7) को 4 के बराबर लिया जाता है)।
दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका वह मान है जो श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि इसके दोनों किनारों पर (ऊपर या नीचे) दी गई जनसंख्या की इकाइयों की संख्या समान हो।
टास्क नंबर 1. अंकगणित माध्य, मोडल और माध्यिका मान की गणना
इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50 वाँ प्रतिशतक या 0.5 मात्रा।
- अर्थ
- मंझला
- फ़ैशन
माध्यिका (सांख्यिकीय)
माध्यिका (सांख्यिकीय), गणितीय आँकड़ों में, एक संख्या जो एक नमूने की विशेषता है (उदाहरण के लिए, संख्याओं का एक समूह)। यदि नमूने के सभी तत्व भिन्न हैं, तो माध्यिका नमूने की संख्या इस प्रकार है कि नमूने के ठीक आधे तत्व इससे बड़े हैं और अन्य आधे इससे कम हैं। अधिक सामान्य स्थिति में, नमूने के तत्वों को आरोही या अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करके और मध्य तत्व को लेकर माध्यिका को पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नमूना (11, 9, 3, 5, 5) आदेश देने के बाद (3, 5, 5, 9, 11) में बदल जाता है और इसकी माध्यिका संख्या 5 होती है।
5.5 मोड और माध्यिका। असतत और अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला में उनकी गणना
यदि नमूने में तत्वों की संख्या समान है, तो माध्यिका को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है: संख्यात्मक डेटा के लिए, दो आसन्न मानों के आधे-योग का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है (अर्थात, सेट का माध्यिका (1, 3, 5, 7) 4 के बराबर लिया जाता है)।
दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका वह मान है जो श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि इसके दोनों किनारों पर (ऊपर या नीचे) दी गई जनसंख्या की इकाइयों की संख्या समान हो। इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50 वाँ प्रतिशतक या 0.5 मात्रा।
माध्यिका का उपयोग अंकगणित माध्य के बजाय तब किया जाता है जब बाकी की तुलना में रैंक की गई श्रृंखला (सबसे छोटी और सबसे बड़ी) के चरम रूप अत्यधिक बड़े या अत्यधिक छोटे हो जाते हैं।
मेडियन फ़ंक्शन केंद्रीय प्रवृत्ति को मापता है, जो एक सांख्यिकीय वितरण में संख्याओं के समूह का केंद्र है। केंद्रीय प्रवृत्ति को निर्धारित करने के तीन सबसे सामान्य तरीके हैं:
- अर्थ- अंकगणितीय माध्य, जिसकी गणना संख्याओं के एक समूह को जोड़कर की जाती है, जिसके बाद परिणामी योग को उनकी संख्या से विभाजित किया जाता है।
उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 और 10 का औसत 5 है, जो कि उनके योग, जो कि 30 है, को उनकी संख्या से विभाजित करने का परिणाम है, जो कि 6 है। - मंझला- एक संख्या जो संख्याओं के समूह के बीच में होती है: आधी संख्याओं का मान माध्यिका से अधिक होता है, और आधी संख्याएँ छोटी होती हैं।
उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 और 10 की माध्यिका 4 है। - फ़ैशनवह संख्या है जो दी गई संख्याओं के समूह में सबसे अधिक बार आती है।
उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7, और 10 का बहुलक 3 होगा।
7 वीं कक्षा में बीजगणित पाठ।
विषय "सांख्यिकीय विशेषता के रूप में माध्यिका"।
शिक्षक ईगोरोवा एन.आई.
पाठ का उद्देश्य: संख्याओं के एक सेट के माध्यिका के बारे में छात्रों की समझ और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता, संख्याओं के अंकगणितीय माध्य सेट की अवधारणा को ठीक करना।
पाठ का प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण।
पाठ के विषय को सूचित करें और उसके उद्देश्यों को तैयार करें।
2. पिछले ज्ञान की प्राप्ति।
छात्रों के लिए प्रश्न:
संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य क्या है?
अंकगणितीय माध्य संख्याओं के समूह में कहाँ स्थित होता है?
संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य की क्या विशेषता है?
संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य प्रायः कहाँ प्रयोग किया जाता है?
मौखिक कार्य:
संख्याओं के समुच्चय का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:
गृहकार्य की जाँच करना।
पाठ्यपुस्तक: नंबर 169, नंबर 172।
3. नई सामग्री सीखना।
पिछले पाठ में, हम संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य जैसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए। आज हम एक और सांख्यिकीय विशेषता के लिए एक पाठ समर्पित करेंगे - माध्यिका।
न केवल अंकगणितीय माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी समुच्चय की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।
संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका वह संख्या होती है जो समुच्चय को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। "मध्य" के बजाय कोई "मध्य" कह सकता है।
सबसे पहले, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विश्लेषण करेंगे कि माध्यिका कैसे ज्ञात की जाए, और फिर हम एक सख्त परिभाषा देंगे।
प्रोजेक्टर का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें
स्कूल वर्ष के अंत में, 7 वीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ने के लिए मानक पारित किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:
लोगों द्वारा दूरी तय करने के बाद, पेट्या ने शिक्षक से संपर्क किया और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।
"अधिकतम औसत: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया
"क्यों?" पेट्या हैरान थी। - आखिरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय माध्य लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड या अधिक बेहतर तरीके से चला। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरी तुलना में औसत के बहुत करीब है।"
"आपका परिणाम औसत है क्योंकि पांच लोग आपसे बेहतर और पांच खराब भागे। तो तुम ठीक बीच में हो," शिक्षक ने कहा।
संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम लिखिए:
संख्यात्मक सेट का आदेश दें (एक रैंक की गई श्रृंखला लिखें)।
उसी समय, हम संख्याओं के इस सेट की "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक पार करते हैं जब तक कि एक या दो संख्याएँ न रह जाएँ।
यदि केवल एक संख्या है, तो वह माध्यिका है।
यदि दो संख्याएँ शेष हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।
छात्रों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के एक समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक में माध्यिका की परिभाषा पढ़ें (पृष्ठ 40), फिर संख्या 186 (ए, बी), संख्या 187 (ए) को हल करें। पाठ्यपुस्तक (पृष्ठ 41)।
टिप्पणी:
एक महत्वपूर्ण परिस्थिति पर छात्रों का ध्यान आकर्षित करें: माध्यिका व्यावहारिक रूप से संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के प्रति असंवेदनशील है। आंकड़ों में, इस संपत्ति को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है, यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के खिलाफ बीमा करती है।
4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।
समस्या को सुलझाना।
x-अंकगणित माध्य, मी-माध्यिका को निरूपित करें।
संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,9।
x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,
संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14।
x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.
क) संख्याओं का समूह: 3,4,11,17,21
बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28
ग) संख्याओं का समूह: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
निष्कर्ष: विषम संख्या वाले सदस्यों वाली संख्याओं के समूह की माध्यिका बीच की संख्या के बराबर होती है।
ए) संख्याओं का एक सेट: 2, 4, 8, 9।
मैं = (4+8):2=12:2=6
बी) संख्याओं का एक सेट: 1,3,5,7,8,9।
मैं = (5+7):2=12:2=6
संख्याओं के एक समूह का माध्यिका जिसमें सदस्यों की एक सम संख्या होती है, मध्य में दो संख्याओं के योग का आधा होता है।
छात्र ने तिमाही के दौरान बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
इस सेट का माध्य स्कोर और माध्यिका ज्ञात कीजिए।
आइए औसत अंक ज्ञात करें, अर्थात् अंकगणितीय माध्य:
x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4.4
संख्याओं के इस समूह का माध्यिका ज्ञात कीजिए:
आइए संख्याओं का एक सेट ऑर्डर करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
केवल 10 संख्याएँ, माध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।
मैं = (5+5):2 = 5
छात्रों से प्रश्न: यदि आप एक शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को एक चौथाई के लिए क्या ग्रेड देते? उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनियुक्तियों को प्रत्येक को 150,000 रूबल, चालीस कर्मचारी - प्रत्येक को 50,000 रूबल मिलते हैं। और एक क्लीनर का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। राष्ट्रपति के लिए विज्ञापन उद्देश्यों के लिए उपयोग करने के लिए इनमें से कौन सी विशेषता अधिक लाभदायक है?
x \u003d (300000 + 3 150000 + 40 50000 + 10000): (1 + 3 + 40 + 1) \u003d 2760000: 45 \u003d 61333.33 (रूबल)
संख्या 6. मौखिक रूप से।
ए) सेट में कितनी संख्याएं हैं यदि इसकी माध्यिका इसका नौवां पद है?
B) समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसकी माध्यिका 7वें और 8वें पदों का अंकगणितीय माध्य है?
C) सात संख्याओं के एक समूह में, सबसे बड़ी संख्या में 14 की वृद्धि की गई। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका दोनों बदल जाएंगे?
D) समुच्चय की प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि की गई है। समांतर माध्य और माध्यिका का क्या होगा?
दुकान में मिठाइयां वजन के हिसाब से बिकती हैं। यह पता लगाने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी मिठाइयाँ हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन खोजने का फैसला किया। उसने कई मिठाइयों का वजन किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक दूसरे से बहुत अलग नहीं हैं।
इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, कुछ विशेषताओं का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, सड़क दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय माध्य के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।
गृहकार्य: पैराग्राफ 10, नंबर 186 (सी, डी), नंबर 190।
5. पाठ के परिणाम। प्रतिबिंब।
"सांख्यिकीय अनुसंधान: सांख्यिकीय डेटा का संग्रह और समूहन"
पाठ
… विषयसातवें के लिए प्रस्तावित कक्षा. विषयगत योजना। § एक। सांख्यिकीयविशेषताएँ. P 1. अंकगणित माध्य, परिसर और बहुलक 1h। पी 2. मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषता …
7 वीं कक्षा (मूल स्तर) व्याख्यात्मक नोट में प्रशिक्षण पाठ्यक्रम "बीजगणित" का कार्य कार्यक्रम
कार्य कार्यक्रम
... आइटम 10 मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषता 23 पी.9 अंकगणित माध्य, श्रेणी और मोड 24 परीक्षा संख्या 2 पर विषय …
कार्य कार्यक्रम। गणित। 5वीं कक्षा पी. कनाशी। 2011
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... समीकरण। अंकगणित माध्य, श्रेणी और बहुलक। मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषता. लक्ष्य के बारे में जानकारी को व्यवस्थित और सारांशित करना है ... और यहां हासिल किए गए कौशल पाठके अनुसार विषय(कुंआ बीजगणित 10 कक्षा). 11 कक्षा(सप्ताह में 4 घंटे...
30 अगस्त 2012 के आदेश संख्या 51 बीजगणित कार्य कार्यक्रम ग्रेड 7
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…सीखने की सामग्री मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषतासमांतर माध्य, परास, बहुलक और की परिभाषा जानें माध्यिकाओंकैसेसांख्यिकीयविशेषताएँफ्रंटल और व्यक्तिगत ...
गणित ग्रेड 7 द्वितीय स्तर के बुनियादी स्तर में कार्य कार्यक्रम (1)
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किसी श्रंखला की माध्यिका कैसे ज्ञात करें
वही, कैसे 6 पर कक्षा. द स्टडी विषयछात्रों को सरलतम से परिचित कराने के साथ समाप्त होता है सांख्यिकीयविशेषताएँ: मध्यम ... एम।: पब्लिशिंग हाउस "जेनज़र", 2009। 3. झोखोव, वी.आई. पाठबीजगणित 7 बजे कक्षा: किताब। शिक्षक / वी। आई। झोखोव के लिए ...
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1906 में, महान वैज्ञानिक और प्रसिद्ध यूजीनिस्ट फ्रांसिस गैल्टन ने पश्चिमी इंग्लैंड में वार्षिक पशु और कुक्कुट प्रदर्शनी का दौरा किया, जहां संयोग से, उन्होंने एक दिलचस्प प्रयोग किया।
द विजडम ऑफ द क्राउड के लेखक जेम्स सुरोवेट्स्की के अनुसार, गैल्टन फेयर में एक प्रतियोगिता थी जिसमें लोगों को एक मारे गए बैल के वजन का अनुमान लगाना था। जिसने सही नंबर के सबसे करीब का नाम दिया उसे विजेता घोषित किया गया।
गैल्टन को आम लोगों की बौद्धिक क्षमताओं के लिए उनकी अवमानना के लिए जाना जाता था। उनका मानना था कि केवल वास्तविक विशेषज्ञ ही बैल के वजन के बारे में सटीक बयान दे पाएंगे। और प्रतियोगिता के 787 प्रतिभागी विशेषज्ञ नहीं थे।
वैज्ञानिक प्रतिभागियों के उत्तरों से औसत संख्या की गणना करके भीड़ की अक्षमता साबित करने जा रहे थे। उसका आश्चर्य क्या था जब यह पता चला कि उसे जो परिणाम मिला वह लगभग बैल के वास्तविक वजन के अनुरूप था!
औसत मूल्य - देर से आविष्कार
बेशक, उत्तर की सटीकता ने शोधकर्ता को चकित कर दिया। लेकिन इससे भी अधिक उल्लेखनीय तथ्य यह है कि गैल्टन ने औसत का उपयोग करने के बारे में सोचा।
आज की दुनिया में, औसत और तथाकथित माध्यिकाएं, हर जगह हैं: अप्रैल में न्यूयॉर्क में औसत तापमान 52 डिग्री फ़ारेनहाइट है; स्टीफन करी का प्रति गेम औसतन 30 अंक; अमेरिका में औसत घरेलू आय $51,939/वर्ष है।
हालाँकि, यह विचार कि एक ही संख्या द्वारा कई अलग-अलग परिणामों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, बिल्कुल नया है। 17वीं शताब्दी तक, आम तौर पर औसत का उपयोग नहीं किया जाता था।
औसत और माध्यिका की अवधारणा कैसे आई और विकसित हुई? और यह हमारे समय में मापने की मुख्य तकनीक कैसे बन गई?
मध्यस्थों पर साधनों की प्रधानता के सूचना की हमारी समझ के लिए दूरगामी परिणाम थे। और अक्सर इसने लोगों को भटका दिया।
माध्य और माध्य मान
कल्पना कीजिए कि आप चार लोगों के बारे में एक कहानी बता रहे हैं, जिन्होंने कल रात एक रेस्तरां में आपके साथ भोजन किया था। आप उनमें से एक को 20 साल, दूसरे को 30 साल, तीसरे को 40 और चौथे को 50 साल देंगे। आप अपनी कहानी में उनकी उम्र के बारे में क्या कहेंगे?
सबसे अधिक संभावना है, आप उन्हें औसत आयु कहेंगे।
माध्य का उपयोग अक्सर किसी चीज़ के बारे में जानकारी देने के साथ-साथ माप के एक सेट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। तकनीकी रूप से, औसत वह है जिसे गणितज्ञ "अंकगणितीय माध्य" कहते हैं - माप की संख्या से विभाजित सभी मापों का योग।
यद्यपि "औसत" शब्द का प्रयोग अक्सर "माध्यिका" (माध्यिका) शब्द के पर्याय के रूप में किया जाता है, बाद वाले को अक्सर किसी चीज़ के मध्य के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह शब्द लैटिन "मीडियानस" से आया है, जिसका अर्थ है "मध्य"।
प्राचीन ग्रीस में औसत मूल्य
मध्यमान मूल्य का इतिहास प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस की शिक्षाओं से उत्पन्न हुआ है। पाइथागोरस और उनके स्कूल के लिए, माध्यिका की एक स्पष्ट परिभाषा थी और आज हम जिस तरह से औसत को समझते हैं, उससे बहुत अलग था। इसका उपयोग केवल गणित में किया जाता था, डेटा विश्लेषण में नहीं।
पायथागॉरियन स्कूल में, औसत मूल्य संख्याओं के तीन-अवधि अनुक्रम में औसत संख्या था, पड़ोसी शब्दों के संबंध में "बराबर"। "समान" अनुपात का अर्थ समान दूरी हो सकता है। उदाहरण के लिए, 2,4,6 पंक्ति में संख्या 4। हालाँकि, यह एक ज्यामितीय प्रगति को भी व्यक्त कर सकता है, जैसे कि अनुक्रम 1,10,100 में 10।
सांख्यिकीविद् चर्चिल आइजनहार्ट बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस में, माध्यिका का उपयोग किसी भी संख्या के सेट के प्रतिनिधि या विकल्प के रूप में नहीं किया जाता था। यह केवल मध्य को निरूपित करता था, और अक्सर गणितीय प्रमाणों में उपयोग किया जाता था।
आइजनहार्ट ने माध्य और माध्यिका का अध्ययन करने में दस वर्ष बिताए। प्रारंभ में, उन्होंने प्रारंभिक वैज्ञानिक निर्माणों में माध्यिका के प्रतिनिधि कार्य को खोजने का प्रयास किया। इसके बजाय, हालांकि, उन्होंने पाया कि अधिकांश प्रारंभिक भौतिकविदों और खगोलविदों ने एकल, कुशलता से किए गए मापों पर भरोसा किया, और उनके पास कई अवलोकनों के बीच सर्वोत्तम परिणाम चुनने की कोई पद्धति नहीं थी।
आधुनिक शोधकर्ता अपने निष्कर्षों को बड़ी मात्रा में डेटा के संग्रह पर आधारित करते हैं, उदाहरण के लिए, मानव जीनोम का अध्ययन करने वाले जीवविज्ञानी। दूसरी ओर, प्राचीन वैज्ञानिक कई माप ले सकते थे, लेकिन उन्होंने अपने सिद्धांतों के निर्माण के लिए केवल सर्वश्रेष्ठ को चुना।
जैसा कि खगोल विज्ञान के इतिहासकार ओटो न्यूगेबॉयर ने लिखा है, "यह विज्ञान में अनुभवजन्य डेटा की मात्रा को कम करने के लिए प्राचीन लोगों की सचेत इच्छा के अनुरूप है, क्योंकि वे प्रत्यक्ष टिप्पणियों की सटीकता में विश्वास नहीं करते थे।"
उदाहरण के लिए, ग्रीक गणितज्ञ और खगोलशास्त्री टॉलेमी ने अवलोकन की विधि और पृथ्वी की गति के सिद्धांत का उपयोग करके चंद्रमा के कोणीय व्यास की गणना की। उनका स्कोर 31'20 था। आज हम जानते हैं कि चंद्रमा का व्यास पृथ्वी से दूरी के आधार पर 29'20 से 34'6 के बीच है। टॉलेमी ने अपनी गणना में बहुत कम डेटा का इस्तेमाल किया, लेकिन उनके पास यह मानने का हर कारण था कि वे सटीक थे।
आइजनहार्ट लिखते हैं: "यह ध्यान में रखना चाहिए कि पुरातनता में अवलोकन और सिद्धांत के बीच का संबंध आज की तुलना में अलग था। अवलोकनों के परिणामों को उन तथ्यों के रूप में नहीं समझा गया जिनके लिए सिद्धांत को समायोजित किया जाना चाहिए, लेकिन ठोस मामलों के रूप में जो केवल सिद्धांत की सच्चाई के उदाहरण के उदाहरण के रूप में उपयोगी हो सकते हैं।
आखिरकार, वैज्ञानिक डेटा के प्रतिनिधि माप की ओर रुख करेंगे, लेकिन शुरू में इस भूमिका में न तो साधन और न ही माध्यिका का उपयोग किया गया था। पुरातनता से लेकर आज तक, एक और गणितीय अवधारणा का उपयोग इस तरह के प्रतिनिधि के रूप में किया गया है - चरम मूल्यों का आधा योग।
चरम मूल्यों का आधा योग
नए वैज्ञानिक उपकरण लगभग हमेशा किसी न किसी विषय में एक निश्चित समस्या को हल करने की आवश्यकता से उत्पन्न होते हैं। भौगोलिक स्थिति को सटीक रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता से कई मापों के बीच सर्वोत्तम मूल्य खोजने की आवश्यकता उत्पन्न हुई।
11वीं शताब्दी के बौद्धिक विशाल अल-बिरूनी को प्रतिनिधि अर्थों की पद्धति का उपयोग करने वाले पहले लोगों में से एक के रूप में जाना जाता है। अल-बिरूनी ने लिखा है कि जब उनके पास अपने निपटान में कई माप थे और उनमें से सबसे अच्छा खोजना चाहते थे, तो उन्होंने निम्नलिखित "नियम" का उपयोग किया: आपको दो चरम मूल्यों के बीच के बीच की संख्या को खोजने की आवश्यकता है। चरम मूल्यों के आधे योग की गणना करते समय, अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच की सभी संख्याओं को ध्यान में नहीं रखा जाता है, लेकिन केवल इन दो संख्याओं का औसत पाया जाता है।
अल-बिरूनी ने इस पद्धति को विभिन्न क्षेत्रों में लागू किया, जिसमें गजनी शहर के देशांतर की गणना करना शामिल है, जो आधुनिक अफगानिस्तान के क्षेत्र में स्थित है, साथ ही साथ धातुओं के गुणों के अपने अध्ययन में भी।
हालांकि, पिछली कुछ शताब्दियों में, चरम सीमाओं का आधा-योग कम और कम इस्तेमाल किया गया है। वास्तव में, आधुनिक विज्ञान में, यह बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है। माध्यिका मान ने अर्ध-योग को बदल दिया।
औसत में संक्रमण
19वीं शताब्दी के प्रारंभ तक, डेटा के समूह से सबसे सटीक प्रतिनिधि मान खोजने के लिए माध्यिका/माध्य का उपयोग एक सामान्य तरीका बन गया था। अपने समय के एक उत्कृष्ट गणितज्ञ फ्रेडरिक वॉन गॉस ने 1809 में लिखा था: "यह माना जाता था कि यदि एक निश्चित संख्या समान परिस्थितियों में किए गए कई प्रत्यक्ष अवलोकनों द्वारा निर्धारित की जाती है, तो अंकगणितीय माध्य सबसे सही मूल्य है। यदि यह काफी सख्त नहीं है, तो कम से कम यह वास्तविकता के करीब है, और इसलिए इस पर हमेशा भरोसा किया जा सकता है।
कार्यप्रणाली में इतना बदलाव क्यों आया है?
इस प्रश्न का उत्तर देना अपेक्षाकृत कठिन है। अपने शोध में, चर्चिल आइजनहार्ट ने सुझाव दिया कि अंकगणितीय माध्य को खोजने की विधि चुंबकीय विचलन को मापने के क्षेत्र में उत्पन्न हो सकती है, अर्थात उत्तर और वास्तविक उत्तर की ओर इशारा करते हुए कम्पास सुई की दिशा के बीच अंतर खोजने में। यह माप डिस्कवरी के युग के दौरान अत्यंत महत्वपूर्ण था।
आइजनहार्ट ने पाया कि 16वीं शताब्दी के अंत तक, चुंबकीय विचलन को मापने वाले अधिकांश वैज्ञानिकों ने सबसे सटीक माप चुनने में तदर्थ पद्धति (लैटिन से "इस अवसर के लिए, इस अवसर के लिए") का उपयोग किया।
लेकिन 1580 में, वैज्ञानिक विलियम बरो ने इस समस्या को अलग तरह से देखा। उन्होंने विक्षेपण के आठ अलग-अलग माप लिए और उनकी तुलना की, और निष्कर्ष निकाला कि सबसे सटीक रीडिंग 11 और 11 ¼ डिग्री के बीच थी। उन्होंने शायद अंकगणितीय माध्य की गणना की, जो इस सीमा में था। हालाँकि, स्वयं बरो ने खुले तौर पर अपने दृष्टिकोण को नई विधि नहीं कहा।
1635 से पहले, औसत मूल्य को प्रतिनिधि संख्या के रूप में उपयोग करने के कोई स्पष्ट मामले नहीं थे। हालाँकि, यह तब था जब अंग्रेजी खगोलशास्त्री हेनरी गेलिब्रांड ने चुंबकीय विक्षेपण के दो अलग-अलग माप लिए। एक सुबह (11 डिग्री) और दूसरा दोपहर (11 डिग्री 32 मिनट) में किया गया। सबसे सच्चे मूल्य की गणना करते हुए उन्होंने लिखा:
"यदि हम अंकगणितीय माध्य पाते हैं, तो हम उच्च संभावना के साथ कह सकते हैं कि एक सटीक माप का परिणाम लगभग 11 डिग्री 16 मिनट होना चाहिए।"
यह संभावना है कि यह पहली बार था कि औसत का उपयोग सत्य के सबसे करीब के रूप में किया गया था!
16वीं शताब्दी की शुरुआत में अंग्रेजी में "औसत" शब्द का इस्तेमाल उस नुकसान से होने वाले वित्तीय नुकसान को संदर्भित करने के लिए किया गया था जो एक जहाज या कार्गो को यात्रा के दौरान हुआ था। अगले सौ वर्षों के लिए, इसने इन नुकसानों को ठीक-ठीक दर्शाया, जिनकी गणना अंकगणितीय माध्य के रूप में की गई थी। उदाहरण के लिए, यदि एक यात्रा के दौरान एक जहाज क्षतिग्रस्त हो गया था और चालक दल को जहाज के वजन को बचाने के लिए कुछ सामान पानी में फेंकना पड़ा, तो निवेशकों को उनके निवेश की राशि के बराबर वित्तीय नुकसान हुआ - इन नुकसानों की गणना उसी तरह की गई जैसे अंकगणित औसत। तो धीरे-धीरे औसत (औसत) और अंकगणितीय माध्य के मान परिवर्तित हो गए।
माध्य मान
आज, औसत या अंकगणितीय माध्य का उपयोग माप के एक सेट के प्रतिनिधि मूल्य का चयन करने के मुख्य तरीके के रूप में किया जाता है। यह कैसे हुआ? यह भूमिका माध्यिका मान को क्यों नहीं सौंपी गई?
फ्रांसिस गैल्टन मध्य चैंपियन थे
शब्द "माध्यिका मान" (माध्यिका) - संख्याओं की एक श्रृंखला में मध्य पद, इस श्रृंखला को आधे से विभाजित करना - लगभग उसी समय दिखाई देता है जब अंकगणितीय माध्य दिखाई देता है। 1599 में, गणितज्ञ एडवर्ड राइट, जो एक कम्पास में सामान्य विचलन की समस्या पर काम कर रहे थे, ने पहली बार माध्यिका मान का उपयोग करने का सुझाव दिया।
"... मान लीजिए कि बहुत सारे तीरंदाज किसी लक्ष्य पर निशाना साधते हैं। लक्ष्य बाद में हटा दिया जाता है। आप कैसे पता लगा सकते हैं कि लक्ष्य कहाँ था? आपको सभी तीरों के बीच मध्य स्थान खोजने की आवश्यकता है। इसी तरह, टिप्पणियों के परिणामों के सेट में, सच्चाई के सबसे करीब बीच में एक होगा।
उन्नीसवीं शताब्दी में माध्यिका का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था, जो उस समय किसी भी डेटा विश्लेषण का एक अनिवार्य हिस्सा बन गया था। इसका इस्तेमाल उन्नीसवीं सदी के प्रसिद्ध विश्लेषक फ्रांसिस गैल्टन ने भी किया था। इस लेख की शुरुआत में बैल वजन कहानी में, गैल्टन ने मूल रूप से भीड़ की राय का प्रतिनिधित्व करने के रूप में माध्यिका का उपयोग किया था।
गैल्टन सहित कई विश्लेषकों ने माध्यिका को प्राथमिकता दी क्योंकि छोटे डेटासेट के लिए गणना करना आसान है।
हालाँकि, माध्यिका कभी भी माध्य से अधिक लोकप्रिय नहीं रही है। सबसे अधिक संभावना है, यह औसत मूल्य में निहित विशेष सांख्यिकीय गुणों के साथ-साथ सामान्य वितरण के साथ इसके संबंध के कारण हुआ।
माध्य और सामान्य वितरण के बीच संबंध
जब हम कई माप लेते हैं, तो परिणाम होते हैं, जैसा कि सांख्यिकीविद कहते हैं, "सामान्य रूप से वितरित।" इसका मतलब यह है कि यदि यह डेटा एक ग्राफ़ पर प्लॉट किया गया है, तो इस पर मौजूद बिंदु घंटी के समान कुछ दर्शाएंगे। यदि आप उन्हें जोड़ते हैं, तो आपको "घंटी के आकार का" वक्र मिलता है। कई आंकड़े सामान्य वितरण में फिट होते हैं, जैसे लोगों की ऊंचाई, आईक्यू, और उच्चतम वार्षिक तापमान।
जब डेटा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो माध्य घंटी वक्र पर उच्चतम बिंदु के बहुत करीब होगा, और बहुत बड़ी संख्या में माप माध्य के करीब होंगे। यहां तक कि एक सूत्र भी है जो भविष्यवाणी करता है कि कितने माप औसत से कुछ दूरी पर होंगे।
इस प्रकार, माध्य की गणना करने से शोधकर्ताओं को बहुत सी अतिरिक्त जानकारी मिलती है।
माध्य का मानक विचलन से संबंध इसे एक बड़ा लाभ देता है, क्योंकि माध्यिका का ऐसा कोई संबंध नहीं है। यह कनेक्शन प्रायोगिक डेटा के विश्लेषण और सूचना के सांख्यिकीय प्रसंस्करण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। यही कारण है कि औसत आँकड़ों और सभी विज्ञानों का मूल बन गया है जो अपने निष्कर्षों के लिए कई डेटा पर भरोसा करते हैं।
माध्य का लाभ इस तथ्य के कारण भी है कि इसकी गणना कंप्यूटर द्वारा आसानी से की जाती है। यद्यपि डेटा के एक छोटे समूह के लिए औसत मूल्य की गणना स्वयं करना काफी आसान है, एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिखना बहुत आसान है जो औसत मूल्य का पता लगाएगा। यदि आप Microsoft Excel का उपयोग करते हैं, तो आप शायद जानते हैं कि माध्य फ़ंक्शन की गणना करना उतना आसान नहीं है जितना कि माध्य मान फ़ंक्शन।
नतीजतन, इसके महान वैज्ञानिक मूल्य और उपयोग में आसानी के कारण, औसत मूल्य मुख्य प्रतिनिधि मूल्य बन गया है। हालांकि, यह विकल्प हमेशा सबसे अच्छा नहीं होता है।
माध्यिका मान के लाभ
कई मामलों में जहां हम वितरण के केंद्र की गणना करना चाहते हैं, माध्यिका सबसे अच्छा उपाय है। ऐसा इसलिए है क्योंकि औसत मूल्य काफी हद तक चरम माप से निर्धारित होता है।
कई विश्लेषकों का मानना है कि औसत का विचारहीन उपयोग मात्रात्मक जानकारी की हमारी समझ को नकारात्मक रूप से प्रभावित करता है। लोग औसत को देखते हैं और सोचते हैं कि यह "सामान्य" है। लेकिन वास्तव में इसे किसी एक शब्द द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो सजातीय श्रृंखला से दृढ़ता से अलग है।
एक विश्लेषक की कल्पना करें जो पांच घरों के मूल्य के लिए एक प्रतिनिधि मूल्य जानना चाहता है। चार घरों की कीमत $100,000 है और पाँचवाँ घर $900,000 का है। तब माध्य $200,000 होगा और माध्यिका $100,000 होगी। इसमें, जैसा कि कई अन्य मामलों में होता है, माध्यिका मान एक बेहतर समझ देता है जिसे "मानक" कहा जा सकता है।
यह समझना कि चरम मूल्य औसत को कैसे प्रभावित कर सकते हैं, औसत मूल्य का उपयोग अमेरिकी घरेलू आय में परिवर्तन को दर्शाने के लिए किया जाता है।
मंझला उस "गंदे" डेटा के प्रति भी कम संवेदनशील है जो विश्लेषक आज व्यवहार करते हैं। कई सांख्यिकीविद और विश्लेषक इंटरनेट पर लोगों का साक्षात्कार करके जानकारी एकत्र करते हैं। यदि उपयोगकर्ता गलती से उत्तर में एक अतिरिक्त शून्य जोड़ देता है, जो 100 को 1000 में बदल देता है, तो यह त्रुटि माध्यिका की तुलना में माध्य को बहुत अधिक प्रभावित करेगी।
माध्य या माध्यिका?
माध्यिका और माध्य के बीच चयन के दूरगामी निहितार्थ हैं, स्वास्थ्य पर दवाओं के प्रभावों की हमारी समझ से लेकर परिवार के मानक बजट के बारे में हमारी जानकारी तक।
जैसे-जैसे डेटा का संग्रह और विश्लेषण तेजी से निर्धारित करता है कि हम दुनिया को कैसे समझते हैं, वैसे ही हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली मात्राओं का मूल्य भी। एक आदर्श दुनिया में, विश्लेषक डेटा को प्लॉट करने के लिए माध्य और माध्यिका दोनों का उपयोग करेंगे।
लेकिन हम सीमित समय और ध्यान की स्थिति में रहते हैं। इन सीमाओं के कारण, हमें अक्सर केवल एक को चुनने की आवश्यकता होती है। और कई मामलों में, माध्यिका मान बेहतर होता है।
