कैसे सिद्ध करें कि सीधी रेखाएँ अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करती हैं। पार लाइनों
इस लेख में, हम सबसे पहले क्रॉसिंग लाइनों के बीच के कोण को परिभाषित करेंगे और एक ग्राफिक चित्रण प्रदान करेंगे। आगे, हम इस प्रश्न का उत्तर देंगे: "यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात हों तो क्रॉसिंग रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें"? अंत में, हम उदाहरणों और समस्याओं को हल करते समय प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण खोजने का अभ्यास करेंगे।
पेज नेविगेशन.
प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच का कोण - परिभाषा।
हम धीरे-धीरे प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण को निर्धारित करने पर विचार करेंगे।
सबसे पहले, आइए हम तिरछी रेखाओं की परिभाषा को याद करें: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं को कहा जाता है अंतर प्रजनन, यदि वे एक ही तल में न हों। इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रतिच्छेदी रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करतीं, समानांतर नहीं होतीं, और इसके अलावा, संपाती नहीं होतीं, अन्यथा वे दोनों एक निश्चित तल में होतीं।
आइए आगे सहायक तर्क दें।
मान लीजिए कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ a और b दी गई हैं। आइए रेखाओं a 1 और b 1 का निर्माण करें ताकि वे क्रमशः तिरछी रेखाओं a और b के समानांतर हों, और अंतरिक्ष M 1 में किसी बिंदु से होकर गुजरें। इस प्रकार, हमें दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a 1 और b 1 प्राप्त होती हैं। माना कि प्रतिच्छेदी रेखाओं a 1 और b 1 के बीच का कोण कोण के बराबर है। आइए अब क्रमशः तिरछी रेखाओं ए और बी के समानांतर रेखाएं ए 2 और बी 2 बनाएं, जो बिंदु एम 1 से भिन्न बिंदु एम 2 से होकर गुजरती हैं। प्रतिच्छेदी रेखाओं a 2 और b 2 के बीच का कोण भी कोण के बराबर होगा। यह कथन सत्य है, क्योंकि सीधी रेखाएँ a 1 और b 1 क्रमशः सीधी रेखाओं a 2 और b 2 के साथ मेल खाएँगी, यदि एक समानांतर स्थानांतरण किया जाता है, जिसमें बिंदु M 1 बिंदु M 2 की ओर बढ़ता है। इस प्रकार, दी गई प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर क्रमशः एक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण का माप, बिंदु M की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
अब हम प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।
परिभाषा।
प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोणदो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण है जो क्रमशः दी गई प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हैं।
परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच का कोण भी बिंदु M की पसंद पर निर्भर नहीं करेगा। इसलिए, एक बिंदु M के रूप में हम प्रतिच्छेदी रेखाओं में से किसी एक से संबंधित किसी भी बिंदु को ले सकते हैं।
आइए प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण को निर्धारित करने का एक उदाहरण दें।
प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना।
चूँकि प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण के माध्यम से निर्धारित किया जाता है, इसलिए प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में संगत प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण को खोजने तक कम हो जाता है।
निस्संदेह, हाई स्कूल में ज्यामिति पाठों में पढ़ी गई विधियाँ प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं। अर्थात्, आवश्यक निर्माण पूरा करने के बाद, आप वांछित कोण को स्थिति से ज्ञात किसी भी कोण से जोड़ सकते हैं, आंकड़ों की समानता या समानता के आधार पर, कुछ मामलों में इससे मदद मिलेगी कोसाइन प्रमेय, और कभी-कभी परिणाम की ओर ले जाता है किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषासही त्रिकोण।
हालाँकि, समन्वय विधि का उपयोग करके क्रॉसिंग लाइनों के बीच कोण खोजने की समस्या को हल करना बहुत सुविधाजनक है। हम इसी पर विचार करेंगे.
बता दें कि ऑक्सीज़ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में पेश किया गया है (हालाँकि, कई समस्याओं में आपको इसे स्वयं दर्ज करना होगा)।
आइए हम अपने लिए एक कार्य निर्धारित करें: क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच का कोण ढूंढें, जो आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ में अंतरिक्ष में एक रेखा के कुछ समीकरणों के अनुरूप है।
आइए इसे सुलझाएं.
आइए त्रि-आयामी अंतरिक्ष एम में एक मनमाना बिंदु लें और मान लें कि सीधी रेखाएं ए 1 और बी 1 क्रमशः इससे होकर गुजरती हैं, जो क्रमशः सीधी रेखाओं ए और बी को काटती हैं। तब प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच का आवश्यक कोण परिभाषा के अनुसार प्रतिच्छेदी रेखाओं a 1 और b 1 के बीच के कोण के बराबर होता है।
इस प्रकार, हमें बस प्रतिच्छेदी रेखाओं a 1 और b 1 के बीच का कोण ज्ञात करना है। अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के सूत्र को लागू करने के लिए, हमें रेखाओं a 1 और b 1 के दिशा सदिशों के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है।
हम उन्हें कैसे प्राप्त कर सकते हैं? और यह बहुत सरल है. एक सीधी रेखा के दिशा सदिश की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि समानांतर रेखाओं के दिशा सदिशों का सेट मेल खाता है। इसलिए, सीधी रेखाओं a 1 और b 1 के दिशा सदिशों को दिशा सदिशों के रूप में लिया जा सकता है 
और 
सीधी रेखाएँ a और b क्रमशः।
इसलिए, दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं a और b के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है 
, कहाँ और क्रमशः सीधी रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं।
प्रतिच्छेद रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने का सूत्रए और बी का फॉर्म है 
.
यदि कोसाइन ज्ञात है तो आपको क्रॉसिंग लाइनों के बीच के कोण की साइन खोजने की अनुमति मिलती है: 
.
यह उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करने के लिए बना हुआ है।
उदाहरण।
क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच का कोण खोजें, जो समीकरणों द्वारा ऑक्सीज़ आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित हैं 
और 
.
समाधान।
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण आपको इस सीधी रेखा के दिशात्मक वेक्टर के निर्देशांक को तुरंत निर्धारित करने की अनुमति देते हैं - वे भिन्नों के हर में संख्याओं द्वारा दिए जाते हैं, अर्थात, 
. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण भी दिशा वेक्टर के निर्देशांक को तुरंत लिखना संभव बनाते हैं - वे पैरामीटर के सामने गुणांक के बराबर होते हैं, अर्थात, 
- प्रत्यक्ष वेक्टर . इस प्रकार, हमारे पास उस सूत्र को लागू करने के लिए सभी आवश्यक डेटा हैं जिसके द्वारा प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की गणना की जाती है: 
उत्तर:
दी गई प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण बराबर होता है।
उदाहरण।
यदि इसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों, तो उन क्रॉसिंग रेखाओं के बीच के कोण की ज्या और कोज्या ज्ञात कीजिए, जिन पर पिरामिड एबीसीडी के किनारे AD और BC स्थित हैं:।
समाधान।
क्रॉसिंग लाइनों AD और BC के दिशा सदिश सदिश और हैं। आइए उनके निर्देशांक की गणना वेक्टर के अंत और आरंभ बिंदुओं के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के रूप में करें: 
सूत्र के अनुसार 
हम निर्दिष्ट क्रॉसिंग लाइनों के बीच के कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं:
आइए अब क्रॉसिंग रेखाओं के बीच के कोण की ज्या की गणना करें: 
उत्तर:
अंत में, हम उस समस्या के समाधान पर विचार करेंगे जिसमें क्रॉसिंग लाइनों के बीच के कोण को ढूंढना आवश्यक है, और आयताकार समन्वय प्रणाली को स्वतंत्र रूप से दर्ज किया जाना चाहिए।
उदाहरण।
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है, जिसमें AB = 3, AD = 2 और AA 1 = 7 इकाइयाँ हैं। बिंदु E किनारे AA 1 पर स्थित है और इसे बिंदु A से गिनती करते हुए 5 से 2 के अनुपात में विभाजित करता है। प्रतिच्छेद रेखाओं BE और A 1 C के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान।
चूंकि एक शीर्ष पर एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के किनारे परस्पर लंबवत होते हैं, इसलिए एक आयताकार समन्वय प्रणाली शुरू करना और इन रेखाओं के दिशा वैक्टरों के बीच के कोण के माध्यम से समन्वय विधि का उपयोग करके संकेतित क्रॉसिंग लाइनों के बीच कोण निर्धारित करना सुविधाजनक होता है।
आइए हम आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ का परिचय इस प्रकार दें: मान लें कि मूल शीर्ष A के साथ मेल खाता है, Ox अक्ष सीधी रेखा AD के साथ, Oy अक्ष सीधी रेखा AB के साथ, और Oz अक्ष सीधी रेखा AA 1 के साथ मेल खाता है।
फिर बिंदु B में निर्देशांक हैं, बिंदु E - (यदि आवश्यक हो, लेख देखें), बिंदु A 1 -, और बिंदु C -। इन बिंदुओं के निर्देशांक से हम सदिशों के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं। हमारे पास है 
, 
.
दिशा सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र को लागू करना बाकी है: 
उत्तर:
ग्रंथ सूची.
- अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., किसेलेवा एल.एस., पॉज़्न्याक ई.जी. ज्यामिति। माध्यमिक विद्यालय की 10-11 कक्षाओं के लिए पाठ्यपुस्तक।
- पोगोरेलोव ए.वी., ज्यामिति। सामान्य शिक्षा संस्थानों में ग्रेड 7-11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
- बुग्रोव हां.एस., निकोल्स्की एस.एम. उच्च गणित. खंड एक: रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्व।
- इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति।
रेखाएँ l1 और l2 तिरछी कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में न हों। मान लीजिए a और b इन रेखाओं के दिशा सदिश हैं, और मान लीजिए कि बिंदु M1 और M2 क्रमशः रेखाओं l1 और l2 से संबंधित हैं
तब सदिश a, b, M1M2> समतलीय नहीं हैं, और इसलिए उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात (a, b, M1M2>) =/= 0. विपरीत कथन भी सत्य है: यदि (a, b) , M1M2> ) =/= 0, तो सदिश a, b, M1M2> समतलीय नहीं हैं, और, इसलिए, रेखाएँ l1 और l2 एक ही तल में नहीं हैं, अर्थात वे प्रतिच्छेद करती हैं। इस प्रकार, दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि शर्त (ए, बी, एम1एम2>) =/= 0, जहां ए और बी रेखाओं के दिशा सदिश हैं, और एम1 और एम2 क्रमशः इन रेखाओं से संबंधित बिंदु हैं। शर्त (a, b, M1M2>) = 0 इस तथ्य के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं। यदि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं
तब a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) और स्थिति (2) इस प्रकार लिखी जाती है:
क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी
यह प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक और दूसरी रेखा से गुजरने वाले उसके समानांतर एक तल के बीच की दूरी है। प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक के किसी बिंदु से पहली रेखा के समानांतर दूसरी रेखा से गुजरने वाले तल की दूरी है। रेखा।
26.दीर्घवृत्त की परिभाषा, विहित समीकरण। विहित समीकरण की व्युत्पत्ति. गुण।
दीर्घवृत्त एक तल पर बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है जिसके लिए इस तल के दो केंद्रित बिंदुओं F1 और F2 की दूरियों का योग, जिसे नाभियाँ कहा जाता है, एक स्थिर मान होता है। इस मामले में, दीर्घवृत्त की नाभियों का संयोग होता है बहिष्कृत नहीं। यदि स्वाद मेल खाते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है। किसी भी दीर्घवृत्त के लिए आप एक कार्तीय समन्वय प्रणाली पा सकते हैं, जिसमें दीर्घवृत्त का वर्णन समीकरण (दीर्घवृत्त का विहित समीकरण) द्वारा किया जाएगा। 
यह मूल बिंदु पर केन्द्रित एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है, जिसकी अक्ष निर्देशांक अक्षों के साथ मेल खाती है।
यदि दाहिनी ओर ऋण चिह्न वाली एक इकाई है, तो परिणामी समीकरण है: 
एक काल्पनिक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है। ऐसे दीर्घवृत्त को वास्तविक तल में चित्रित करना असंभव है। आइए हम नाभियों को F1 और F2 से और उनके बीच की दूरी को 2c से और दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु से नाभि तक की दूरी के योग को 2a से निरूपित करें।
दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम समन्वय प्रणाली ऑक्सी को चुनते हैं ताकि फोकस F1 और F2 ऑक्सी अक्ष पर स्थित हों, और मूल खंड F1F2 के मध्य के साथ मेल खाता हो। तब नाभियों में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: और मान लीजिए M(x;y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात्।
यह, संक्षेप में, एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
27. अतिपरवलय की परिभाषा, विहित समीकरण। विहित समीकरण की व्युत्पत्ति. गुण
हाइपरबोला एक विमान पर बिंदुओं का एक ज्यामितीय स्थान है जिसके लिए इस विमान के दो निश्चित बिंदुओं F1 और F2 की दूरी में अंतर का पूर्ण मान, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है M(x;y) एक मनमाना मान है अतिपरवलय का बिंदु. फिर, हाइपरबोला की परिभाषा के अनुसार |MF 1 – MF 2 |=2a या MF 1 – MF 2 =±2a,
28. परवलय की परिभाषा, विहित समीकरण। विहित समीकरण की व्युत्पत्ति. गुण. परवलय एक विमान का एचएमटी है जिसके लिए इस विमान के कुछ निश्चित बिंदु एफ की दूरी कुछ निश्चित सीधी रेखा की दूरी के बराबर है, जो विचाराधीन विमान में भी स्थित है। एफ - परवलय का फोकस; स्थिर रेखा परवलय की नियता है। आर=डी, 
आर=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; य 2 =2पीएक्स;
गुण: 1. एक परवलय में समरूपता का एक अक्ष (परवलय अक्ष) होता है; 2. सभी
परवलय ऑक्सी तल के दाहिने आधे तल में p>0 पर और बाईं ओर स्थित है
यदि प<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.
| " |
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति.
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को निम्नलिखित तीन संभावनाओं द्वारा दर्शाया जाता है।
रेखाएँ एक ही तल में होती हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता - समानांतर रेखाएँ।
रेखाएँ एक ही तल पर स्थित होती हैं और उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है - रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ इस प्रकार भी स्थित हो सकती हैं कि वे किसी तल में न हों। ऐसी रेखाओं को प्रतिच्छेदी कहा जाता है (वे प्रतिच्छेद नहीं करतीं या समानांतर होती हैं)।
उदाहरण:
समस्या 434 त्रिभुज ABC एक समतल, a में स्थित है
त्रिभुज ABC समतल में स्थित है, लेकिन बिंदु D इस समतल में नहीं है। बिंदु एम, एन और के क्रमशः खंड डीए, डीबी और डीसी के मध्य बिंदु हैंप्रमेय.यदि दो रेखाओं में से एक एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
चित्र में. 26 सीधी रेखा a समतल में स्थित है, और सीधी रेखा c बिंदु N पर प्रतिच्छेद करती है। रेखाएँ a और c प्रतिच्छेद कर रही हैं।
प्रमेय.दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक से दूसरी रेखा के समानांतर केवल एक तल गुजरता है।
चित्र में. 26 रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद करती हैं। एक सीधी रेखा खींची जाती है और एक समतल खींचा जाता है (अल्फा) || b (तल B (बीटा) में सीधी रेखा a1 || b इंगित की गई है)।
प्रमेय 3.2.
एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
इस संपत्ति को कहा जाता है संक्रामितारेखाओं की समानता.
सबूत
मान लीजिए रेखाएँ a और b एक साथ रेखा c के समानांतर हैं। मान लीजिए कि a, b के समानांतर नहीं है, तो रेखा a, रेखा b को किसी बिंदु A पर काटती है, जो शर्त के अनुसार रेखा c पर स्थित नहीं है। नतीजतन, हमारे पास दो रेखाएं ए और बी हैं, जो एक बिंदु ए से होकर गुजरती हैं, जो किसी दी गई रेखा सी पर नहीं होती हैं, और एक ही समय में इसके समानांतर होती हैं। यह अभिगृहीत 3.1 का खंडन करता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 3.3.
किसी दिए गए रेखा पर स्थित नहीं होने वाले बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर एक और केवल एक रेखा खींची जा सकती है।
सबूत
मान लीजिए (AB) एक दी गई रेखा है, C एक बिंदु है जो उस पर नहीं है। रेखा AC समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है। बिंदु B उनमें से एक में स्थित है। अभिगृहीत 3.2 के अनुसार, किरण C A से कोण (CAB) के बराबर कोण (ACD) को दूसरे आधे तल में जमा करना संभव है। ACD और CAB, रेखाओं AB और CD और छेदक (AC) के साथ समान आंतरिक क्रॉसवाइज हैं, फिर, प्रमेय 3.1 (AB) द्वारा || (सीडी). अभिगृहीत 3.1 को ध्यान में रखते हुए। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
समानांतर रेखाओं का गुण प्रमेय 3.1 के विपरीत निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।
प्रमेय 3.4.
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तीसरी रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो प्रतिच्छेद करने वाले आंतरिक कोण बराबर होते हैं।
सबूत
चलो (एबी) || (सीडी). आइए मान लें कि ACD ≠ BAC. बिंदु A से होकर हम एक सीधी रेखा AE खींचते हैं ताकि EAC = ACD हो। लेकिन फिर, प्रमेय 3.1 (एई) || द्वारा (सीडी), और शर्त के अनुसार - (एबी) || (सीडी). प्रमेय 3.2 (एई) के अनुसार || (एबी). यह प्रमेय 3.3 का खंडन करता है, जिसके अनुसार एक बिंदु A के माध्यम से जो रेखा CD पर नहीं है, कोई उसके समानांतर एक अद्वितीय रेखा खींच सकता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
चित्र 3.3.1.इस प्रमेय के आधार पर निम्नलिखित गुणों को आसानी से उचित ठहराया जा सकता है।
यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तीसरी रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो संगत कोण बराबर होते हैं।
यदि दो समानांतर रेखाओं को एक तीसरी रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।
परिणाम 3.2.
यदि कोई रेखा किसी एक समानांतर रेखा पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है।
समानता की अवधारणा हमें निम्नलिखित नई अवधारणा पेश करने की अनुमति देती है, जिसकी बाद में अध्याय 11 में आवश्यकता होगी।
दो किरणें कहलाती हैं समान रूप से निर्देशित, यदि कोई रेखा ऐसी है कि, सबसे पहले, वे इस रेखा के लंबवत हैं, और दूसरी बात, किरणें इस रेखा के सापेक्ष एक ही आधे तल में स्थित हैं।
दो किरणें कहलाती हैं विपरीत दिशा में निर्देशित, यदि उनमें से प्रत्येक को दूसरे के पूरक किरण के साथ समान रूप से निर्देशित किया जाता है।
हम समान रूप से निर्देशित किरणों AB और CD को निरूपित करेंगे: और विपरीत दिशा वाली किरणों AB और CD को -
चित्र 3.3.2.
रेखाओं को पार करने का संकेत.
यदि दो रेखाओं में से एक एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था के मामले।
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की व्यवस्था के चार अलग-अलग मामले हैं:
- सीधे क्रॉसिंग वाले, यानी एक ही तल में न लेटें;
- सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात्। एक ही तल में लेटें और एक उभयनिष्ठ बिंदु रखें;
- समानांतर रेखाएं, यानी एक ही तल में लेटें और प्रतिच्छेद न करें;
- रेखाएँ मेल खाती हैं।
आइए हम विहित समीकरणों द्वारा दी गई रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के इन मामलों की विशेषताएँ प्राप्त करें
कहाँ — रेखाओं से संबंधित बिंदुऔर तदनुसार, ए— दिशा सदिश (चित्र 4.34)। आइए हम इसे निरूपित करेंदिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला एक वेक्टर।निम्नलिखित विशेषताएं ऊपर सूचीबद्ध रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के अनुरूप हैं:
- सीधे और क्रॉसिंग वेक्टर समतलीय नहीं हैं;
- सीधी रेखाएँ और प्रतिच्छेदी सदिश समतलीय होते हैं, लेकिन सदिश संरेख नहीं होते;
- प्रत्यक्ष और समानांतर सदिश संरेख होते हैं, लेकिन सदिश संरेख नहीं होते हैं;
- सीधी रेखाएँ और संपाती सदिश संरेख होते हैं।
इन शर्तों को मिश्रित और वेक्टर उत्पादों के गुणों का उपयोग करके लिखा जा सकता है। याद रखें कि सही आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर का मिश्रित उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:
और निर्धारक प्रतिच्छेद शून्य है, और इसकी दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात।- सारणिक की सीधी और समानांतर दूसरी और तीसरी रेखाएँ आनुपातिक होती हैं, अर्थात। और पहली दो पंक्तियाँ आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात
- सीधी रेखाएँ और सारणिक की सभी रेखाएँ संपाती होती हैं और आनुपातिक होती हैं, अर्थात।
यदि दो रेखाओं में से एक एक तल में स्थित है, और दूसरी इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ये दोनों रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं।
सबूत
मान लीजिए a, α से संबंधित है, b, α = A को प्रतिच्छेद करता है, A, a से संबंधित नहीं है (चित्र 2.1.2)। आइए मान लें कि रेखाएं ए और बी नॉन-क्रॉसिंग हैं, यानी वे प्रतिच्छेद करती हैं। फिर वहाँ एक समतल β मौजूद है जिससे रेखाएँ a और b संबंधित हैं। इस तल में β एक रेखा a और एक बिंदु A स्थित है। चूँकि रेखा a और उसके बाहर का बिंदु A एक ही तल को परिभाषित करते हैं, तो β = α। लेकिन b, β को चलाता है और b, α से संबंधित नहीं है, इसलिए समानता β = α असंभव है।
प्रमेय. यदि एक रेखा किसी दिए गए तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ये दोनों रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। क्रॉसिंग लाइनों का संकेत प्रमाण। मान लीजिए रेखा a समतल में स्थित है, और रेखा b समतल को बिंदु B पर काटती है, जो रेखा a से संबंधित नहीं है। यदि रेखाएँ a और b एक ही तल में हों, तो बिंदु B भी इसी तल में स्थित होगा क्योंकि रेखा से होकर केवल एक तल गुजरता है और इस रेखा के बाहर एक बिंदु है, तो यह तल अवश्य ही एक तल होगा। लेकिन तब सीधी रेखा बी समतल में स्थित होगी, जो स्थिति का खंडन करती है। नतीजतन, सीधी रेखाएं ए और बी एक ही विमान में नहीं हैं, यानी। अंतरजातीय.
तिरछी रेखाओं के कितने जोड़े हैं जिनमें एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के किनारे होते हैं? समाधान: आधारों के प्रत्येक किनारे के लिए तीन किनारे हैं जो उससे प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक पार्श्व किनारे के लिए दो पसलियाँ होती हैं जो इसके साथ प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, तिरछी रेखाओं के जोड़े की आवश्यक संख्या अभ्यास 5 है
तिरछी रेखाओं के कितने जोड़े हैं जिनमें एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के किनारे होते हैं? समाधान: आधारों का प्रत्येक किनारा 8 जोड़ी क्रॉसिंग लाइनों में भाग लेता है। प्रत्येक पार्श्व किनारा 8 जोड़ी क्रॉसिंग लाइनों में भाग लेता है। इसलिए, तिरछी रेखाओं के जोड़े की आवश्यक संख्या अभ्यास 6 है
