ज्यामितीय प्रकाशिकी और उसके नियम। फ़र्मेट का सिद्धांत

1660 में पी. फ़र्मेट ने सिद्धांत प्रतिपादित किया, जो एक सामान्यीकृत कानून और ज्यामितिज्ञ था ical प्रकाशिकी। अपने सरलतम सूत्रीकरण में यह सिद्धांत ध्वनित होता हैइसलिए।

निर्वात में प्रकाश की गति अधिकतम होती है। अपवर्तनांक n वाले एक ऑप्टिकल माध्यम में, समान दूरी तय करने में प्रकाश को लगने वाला समय n के कारक से बढ़ जाता है।एस, पो के बराबर निरपेक्ष अपवर्तनांक n को तय की गई दूरी से गुणा करनाएल (एस = एनएल), ऑप्टिकल पथ लंबाई कहलाती है। फ़र्मेट का सिद्धांत विशेष रूप से ऑप्टिकल पथ लंबाई पर लागू होता है

प्रकाश प्रसार की सीधीता.

सिद्धांत का उपयोग करनाफ़र्मेट, आप प्रकाश के सीधारेखीय प्रसार का नियम प्राप्त कर सकते हैं। प्रकाश एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक कई बार यात्रा करता है सबसे बड़ी दूरी. एक सजातीय माध्यम में, सबसे छोटा ऑप्टिकल औरपथ एक सीधी रेखा है.

हालाँकि, एक अमानवीय माध्यम में सबसे छोटा ऑप्टिकल पथकुछ घुमावदार (या टूटी हुई) रेखा हो सकती है जिसके साथ अपवर्तक सूचकांक ज्यामिति से कम है सेरिकल सीधी रेखा. यह प्रकाश अपवर्तन की घटना की व्याख्या करता है औरएक अमानवीय माध्यम में प्रकाश किरणों की वक्रता - पुनः की घटनागुट.

परावर्तन का नियम.

मान लीजिए प्रकाश बिंदु A से दर्पण की सतह पर गिरता है। बिंदु A पर, दर्पण से परावर्तित किरणें एकत्रित हो जाती हैं। आइए मान लें कि बिंदु A से बिंदु A तक प्रकाश दो तरह से यात्रा कर सकता है - बिंदु O और O से परावर्तित होकर। समय प्रकाश को पार करने में समय लगता है स्रोत ए से बिंदु ए" बिंदु ओ के माध्यम से, आपसे निर्धारित किया जा सकता हैचोट लगने की घटनाएं यहां यू प्रकाश प्रसार की गति है। आइए हम दिखाते हैं कि एओए" प्रक्षेपवक्र के साथ यात्रा करने में प्रकाश को लगने वाला समय किसी भी अन्य एओ"ए" प्रक्षेपवक्र की तुलना में कम है। आइए अभिव्यक्ति में अंतर करें और उत्पाद को समान करें फ़र्मेट के सिद्धांत के अनुसार जल शून्य।

आइए हम उस पाप को ध्यान में रखें ए= एक्स/एओ, पाप ए '= (एल - एक्स) /ओए"। हमें मिलता है:

यहीं से हमें पाप मिलता है ए= पाप ए"; और चूँकि दोनों कोण न्यून कोण हैं, इसका तात्पर्य यह है कि कोण बराबर हैं:

ए= ए"

हमने परावर्तन के नियम, परावर्तन के कोण को व्यक्त करने वाला एक संबंध प्राप्त किया हैए "आपतन कोण के बराबरए . फ़र्मेट के सिद्धांत से इस नियम का दूसरा भाग अनुसरण करता है: परावर्तित किरण

झूठ आपतित किरण से गुजरने वाले समतल में और प्रहारक सतह का अभिलम्ब। आख़िरकार, यदि ये किरणें अलग-अलग तलों में हों, तो AOA पथ न्यूनतम नहीं होगा।"

प्रकाश अपवर्तन का नियम

प्रकाश अपवर्तन का नियम.इसी प्रकार, उपयोग कर रहे हैंफ़र्मेट का सिद्धांत, इंटरफ़ेस पर होने वाली घटना पर विचार करें दो माध्यम खाये. पर्यावरण में चलोमैं प्रकाश की गति यू 1, पर्यावरण II - यू 2 में . बिंदु A 1 से बिंदु तक प्रकाश के पारित होने के लिएए 2 समय तो लगेगा

प्रकाश प्रसार के सभी संभावित प्रक्षेप पथों में से, हम वह चुनते हैं जो न्यूनतम प्रसार समय के अनुरूप हो। रोशनी। अवकलज को विभेदित करना और बराबर स्थापित करनागोली, हमें मिलता है:

यह मानते हुए कि पाप ए 1 = एक्स / ए 1 ओ, पाप ए 2 = (एल - एक्स) /OA2 हम पाते हैं: यह कहाँ अनुसरण करता है:

यह प्रकाश अपवर्तन का नियम है। आइए इसे अधिक सुविधाजनक रूप में लिखें।

निर्माणों और फ़र्मेट के सिद्धांत से यह भी पता चलता है कि अपवर्तित किरण आपतित किरण से गुजरने वाले विमान में और दो मीडिया के बीच इंटरफ़ेस के लंबवत होती है।

दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर प्रकाश किरण की घटना को ध्यान में रखते हुए, हमने प्रकाश के प्रतिबिंब और अपवर्तन के बारे में अलग से बात की। यह प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियमों को प्राप्त करने की आवश्यकता के कारण हुआ था। हालाँकि, लगभग हमेशा, दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर, प्रकाश किरण को दो में विभाजित किया जाता है - परावर्तित और अपवर्तित।

किकोइन ए.के. फ़र्मेट का सिद्धांत // क्वांटम। - 1984. - नंबर 1. - पी. 36-38.

"क्वांट" पत्रिका के संपादकीय बोर्ड और संपादकों के साथ विशेष समझौते से

ज्यामितीय प्रकाशिकी का आधार, जो "प्रकाश किरण" की अवधारणा से संचालित होता है, तीन कानूनों से बना है - प्रकाश के सीधा प्रसार, प्रतिबिंब और अपवर्तन के नियम। प्राचीन काल में, जब ये नियम बनाए गए थे, प्रकाश की प्रकृति का प्रश्न अभी तक नहीं उठा था, और "किरण" की अवधारणा के पीछे भौतिक रूप से कुछ भी वास्तविक नहीं छिपा था।

XIX सदी के 20 के दशक में। यह पाया गया कि प्रकाश एक तरंग है। प्रकाश किरण बस एक सीधी रेखा बन गई, जो तरंग की सतह के लंबवत थी और प्रकाश तरंग के प्रसार की दिशा का संकेत दे रही थी। तरंग अवधारणाओं के आधार पर, कोई भी प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियमों को आसानी से प्राप्त कर सकता है। पाठ्यपुस्तक "भौतिकी 10" (§§ 37 और 65) में ऐसा ही किया गया था। हालाँकि, 19वीं सदी के अंत में - 20वीं सदी की शुरुआत में। यह स्पष्ट हो गया कि प्रकाश में न केवल तरंग गुण हैं, बल्कि कणिका गुण भी हैं। कणिका (क्वांटम) प्रकृति के दृष्टिकोण से, प्रकाश प्राथमिक प्रकाश कणों - फोटॉन की एक धारा है। एक सजातीय माध्यम में, किरण को फोटॉनों का प्रक्षेपवक्र माना जा सकता है।

लेकिन दिलचस्प बात यह है कि इससे बहुत पहले एक अद्भुत सिद्धांत तैयार किया गया था, जिससे प्रकाश के प्रसार के सभी बुनियादी नियम सीधे तौर पर अनुसरण करते हैं। 1660 के आसपास फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट (1601-1665) द्वारा खोजा गया यह सिद्धांत बताता है: दो बिंदुओं के बीच सभी संभावित पथों में से, प्रकाश उस पथ पर यात्रा करता है जिसके साथ यात्रा का समय सबसे कम होता है.

फ़र्मेट के सिद्धांत (जैसा कि इसे आमतौर पर कहा जाता है) से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक सजातीय माध्यम में (ऐसे माध्यम में प्रकाश की गति हर जगह समान होती है) प्रकाश को एक सीधी रेखा में फैलना चाहिए: एक सीधी रेखा दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी होती है, इसलिए, प्रसार का समय सबसे कम है।

आइए अब हम दिखाते हैं कि प्रकाश परावर्तन का नियम भी फ़र्मेट के सिद्धांत का प्रत्यक्ष परिणाम है।

प्रकाश परावर्तन का नियम

होने देना मिमी- सपाट दर्पण. बिंदु पर एएक प्रकाश स्रोत है, और हम इस बात में रुचि रखते हैं कि दर्पण से परावर्तित प्रकाश किस बिंदु से आता है एबिल्कुल में(चित्र .1)।

चित्र 1 कुछ संभावित रास्ते दिखाता है - ए.ए.वी, डीआइए, एबी'बी. प्रकाश के ऐसे अनगिनत "मार्ग" हैं जिन्हें चित्रित किया जा सकता है। उनकी लंबाई अलग-अलग होती है, इसलिए उन्हें पूरा होने में अलग-अलग समय लगता है। यह इस पर निर्भर करता है कि किरण दर्पण के किस बिंदु पर पड़ेगी और परावर्तित होकर किस बिंदु पर जायेगी में.

सरल ज्यामितीय विचारों से यह पता लगाना आसान है कि किरण कहाँ गिरनी चाहिए ताकि "मार्ग" बिंदु पर यात्रा करने में कितना समय लगे ए- दर्पण - बिंदु मेंसबसे कम था. चित्र 2 संभावित तरीकों में से एक दिखाता है - डीआइए.

चलिए मुद्दे से हटते हैं मेंदर्पण के लंबवत मिमीऔर इसे दर्पण के दूसरी ओर बिंदु तक जारी रखें में', दर्पण से कुछ दूरी पर अलग हो गया | ओवी'| = |ओबी|. चलो एक रेखा खींचते हैं एसवी'. परिणामी त्रिभुज उल्लूऔर उल्लू'एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि वे आयताकार हैं, भुजाएँ ओएसउनके पास एक आम है और | ओबी| = |ओवी'|. इसलिए, | सीबी| = |सीबी'|, जिसका अर्थ है कि किरण पथ की लंबाई डीआइएसे लंबाई के योग के बराबर एमुद्दे पर साथदर्पण पर किरण की घटना और इस बिंदु से धारा तक में. स्पष्ट है कि यदि बात करें तो यह राशि न्यूनतम होगी साथझूठ बोलूंगा बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा पर एऔर में'(चित्र 3)।

फिर लंबाई का योग | एसी| और | पूर्वोत्तर|, अर्थात प्रकाश के पूरे पथ की लंबाई सबसे छोटी होगी, और इस पथ को तय करने में प्रकाश को लगने वाला समय भी सबसे छोटा होगा।

चित्र 3 से यह स्पष्ट है कि ∠ वीएसओ = ∠ वी'एसओ(त्रिकोण ईएनई'इसलिए, समद्विबाहु सीओ- शीर्ष पर कोण का समद्विभाजक), और ∠ वी'एसओ = ∠ एएफएम(ऊर्ध्वाधर वाले की तरह)। इसका मतलब यह है कि दर्पण पर आपतित और परावर्तित किरणों के झुकाव के कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। यह प्रकाश परावर्तन का नियम है। हालाँकि, कोणों को दर्पण के तल से नहीं, बल्कि आपतन बिंदु पर अभिलंब से गिनने की प्रथा है। परन्तु यह स्पष्ट है कि यदि कोण बराबर हों मैंऔर मैं', तो कोण बराबर हैं α और γ - परावर्तन का नियम आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है

\(~\अल्फा = \गामा\) .

यह नियम, जैसा कि हम देखते हैं, इस तथ्य का परिणाम है कि प्रकाश, जैसा कि वह था, उस पथ को "चुनता" है जिसे कम से कम समय में पार किया जा सकता है। यह देखना आसान है कि फ़र्मेट के सिद्धांत से यह पता चलता है कि आपतित किरण, परावर्तित किरण और आपतन बिंदु पर दर्पण का अभिलंब एक ही तल में होते हैं। यदि ऐसा नहीं होता, तो रास्ता लंबा होता और अधिक समय की आवश्यकता होती।

आइए दर्पण से प्रकाश के परावर्तन से संबंधित एक और महत्वपूर्ण विशेषता पर ध्यान दें। यदि बिंदु पर ए(चित्र 3 देखें) एक प्रकाश स्रोत है, और बिंदु पर में- आंख, तब आंख प्रकाश को ऐसे अनुभव करेगी जैसे कि प्रकाश स्रोत अंदर नहीं था ए, और में ए', लेकिन दर्पण तो है ही नहीं। यदि दर्पण हटा दिया जाए और स्रोत हटा दिया जाए एवी ए', तो आंख इस तरह के प्रतिस्थापन पर ध्यान नहीं देगी।

प्रकाश अपवर्तन का नियम

फ़र्मेट के सिद्धांत से कोई प्रकाश के अपवर्तन (अधिक सटीक रूप से, प्रकाश किरणें) का नियम भी प्राप्त कर सकता है। यहां हम एक माध्यम (माध्यम) से प्रकाश के संक्रमण के बारे में बात कर रहे हैं मैंचित्र 4 में) दूसरे (पर्यावरण) में द्वितीय) उनके बीच के इंटरफ़ेस पर। मीडिया में अंतर यह है कि उनमें प्रकाश प्रसार की गति अलग-अलग होती है।

हम इस मामले पर विचार करेंगे जब पर्यावरण मैंएक निर्वात है जिसमें प्रकाश की गति बराबर होती है साथ, तथा दूसरा माध्यम किसी प्रकार का पारदर्शी पदार्थ (जैसे कांच, पानी आदि) होता है, जिसमें प्रकाश की गति υ से कम साथ : साथ > υ .

बिंदुओं के बीच एपर्यावरण में मैंऔर मेंपर्यावरण में द्वितीयअनगिनत रास्ते भी कल्पनीय हैं, लेकिन, फ़र्मेट के सिद्धांत के अनुसार, प्रकाश उसे "चुनता" है जिसे यात्रा करने में सबसे कम समय लगता है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि पथ ए.ए.वीऐसा कोई रास्ता नहीं है, क्योंकि यहां प्रकाश उच्च गति वाले माध्यम में कम (सबसे कम) दूरी तय करता है और कम गति वाले माध्यम में लंबी दूरी तय करता है। शायद इससे भी अधिक लाभदायक तरीका है एबी'बी? यहां, प्रकाश पथ का न्यूनतम भाग कम गति वाले माध्यम में चलता है, और सबसे बड़ा भाग उच्च गति वाले माध्यम में चलता है। लेकिन क्या समय बचाने की दृष्टि से यह विशेष मार्ग सर्वाधिक लाभदायक है? पर्यावरण में पथ को थोड़ा लंबा करना अधिक लाभदायक हो सकता है द्वितीयपर्यावरण में पथ को छोटा करने के लिए मैं? संक्षेप में, आपको यह पता लगाना होगा कि किस बिंदु पर प्रकाश (किरण) को दो मीडिया के बीच इंटरफेस को पार करने की आवश्यकता है ताकि यात्रा का समय एको मेंसबसे कम था. यह स्पष्ट है कि यह बिंदु कहीं बीच में है ए'और में'(सहित, शायद, यही बिंदु भी शामिल है में').

आइए बीच की दूरी को निरूपित करें ए'और में'के माध्यम से डी. यदि हमें जिस बिंदु की आवश्यकता है साथइंटरफ़ेस को पार करना कुछ दूरी पर है एक्ससे ए', फिर से में'वह कुछ दूरी पर है डी - एक्स(चित्र 4 देखें)। पथ एसी, माध्यम में प्रकाश द्वारा प्रसारित मैं, \(~\sqrt(y^2_1 + x^2)\) के बराबर है, और इस पथ पर यात्रा करने का समय

\(~t_1 = \frac(\sqrt(y^2_1 + x^2))(c)\) .

पथ पूर्वोत्तर, माध्यम में प्रकाश द्वारा प्रसारित द्वितीय, \(~\sqrt(y^2_2 + (x - d)^2)\) के बराबर है, और इस पथ पर यात्रा करने के लिए आवश्यक समय है

\(~t_2 = \frac(\sqrt(y^2_2 + (x - d)^2))(\upsilon)\) .

कुल समय टीसमानता से निर्धारित होता है

\(~t = t_1 + t_2 = \frac(\sqrt(y^2_1 + x^2))(c) + \frac(\sqrt(y^2_2 + (x - d)^2))(\upsilon )\) . (1)

समय टीपर ही निर्भर करता है एक्स- मात्रा के बाद से, किरण की घटना के बिंदु के निर्देशांक य 1 , य 2 , साथ, υ और डी- स्थिरांक, अर्थात सभी मूल्यों के लिए समान एक्स. इसलिए हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि किस मूल्य पर एक्ससमय टीसबसे छोटा होगा. इस समस्या को साधारण बीजगणित से हल नहीं किया जा सकता। इसे हल करने के लिए, आपको उस मान के लिए उस तथ्य का उपयोग करने की आवश्यकता है एक्स, जिस पर टीन्यूनतम रूप से, समीकरण (1) के दाईं ओर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है।

यह हमें इस स्थिति में लाता है एक्स:

\(~\frac(x)(c\sqrt(y^2_1 + x^2)) = \frac(d - x)(\upsilon \sqrt(y^2_2 + (x - d)^2))\ ) . (2)

चित्र 4 से यह स्पष्ट है कि

\(~\frac(x)(\sqrt(y^2_1 + x^2)) = \sin \कोण A"AC = \sin \alpha ; \frac(d - x)(\sqrt(y^2_2 + (x - d)^2)) = \sin \कोण सीबीबी' = \sin \beta\) .

कहाँ α आपतित किरण और आपतन बिंदु (आपतन कोण) पर इंटरफ़ेस के अभिलंब के बीच का कोण है β - इस सामान्य और अपवर्तित किरण (अपवर्तन कोण) के बीच का कोण। शर्त (2) इसलिए रूप लेती है:

\(~\frac(\sin \alpha)(c) = \frac(\sin \beta)(\upsilon)\) या \(~\frac(\sin \alpha)(\sin \beta) = \frac (सी)(\अपसिलॉन)\)।

यह हमारे मामले के लिए अपवर्तन का नियम है: आपतन कोण की ज्या और अपवर्तन कोण की ज्या का अनुपात निर्वात में और उसकी सीमा वाले माध्यम में प्रकाश प्रसार की गति के अनुपात के बराबर होता है। अनुपात \(~\frac(c)(\upsilon)\) किसी दिए गए वातावरण की एक स्थिर मूल्य विशेषता है। इसे किसी पदार्थ का अपवर्तनांक कहते हैं तथा इसे अक्षर से दर्शाया जाता है एन, इसलिए

\(~\frac(\sin \alpha)(\sin \beta) = n\) .

सामान्य स्थिति में, जब प्रकाश एक मनमाने माध्यम से यात्रा करता है जिसमें प्रकाश की गति बराबर होती है υ 1, एक माध्यम में प्रकाश की गति से υ 2, अपवर्तन के नियम का रूप है

\(~\frac(\sin \alpha)(\sin \beta) = \frac(\upsilon_1)(\upsilon_2) = n_(21)\) ,

कहाँ एन 21 - मीडिया का सापेक्ष अपवर्तनांक 2 और 1 .

निःसंदेह, फ़र्मेट का सिद्धांत न केवल प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के उन सरलतम उदाहरणों के लिए मान्य है, जिन पर हमने यहां विचार किया है। इस सिद्धांत का उपयोग करके, आप प्रिज्म, लेंस और प्रिज्म, लेंस और दर्पण की किसी भी जटिल प्रणाली में किरणों के पथ को समझ और सटीक गणना कर सकते हैं।

दो बिंदुओं के बीच प्रकाश की किरण उस पथ पर चलती है जिसमें सबसे कम समय लगता है।

फ़र्मेट का सिद्धांत, इसका नाम फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे तैयार किया था ( सेमी।फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय) तथाकथित का एक उदाहरण है चरम सिद्धांत. चरम सिद्धांत बताता है कि कोई भी प्रणाली ऐसी स्थिति की ओर प्रवृत्त होती है जिसमें अध्ययन के तहत मात्रा का मूल्य अधिकतम या न्यूनतम संभव (तथाकथित चरम) मूल्य पर ले जाता है। सामान्य तौर पर, चरम सिद्धांत ज्यामितीय प्रकाशिकी और प्रकाश के प्रसार के कई नियमों का आधार है। जहाँ तक फ़र्मेट के सिद्धांत की बात है, यह इस प्रकार के पहले किए गए अवलोकनों का एक सरल गणितीय सामान्यीकरण है, और प्रकाश के प्रतिबिंब का पहले खोजा गया नियम और स्नेल का नियम सीधे तौर पर इसका पालन करते हैं। अर्थात्, फ़र्मेट के सिद्धांत को इसके निर्माण के समय प्राप्त प्रकाश के व्यवहार पर सभी प्रयोगात्मक डेटा का सैद्धांतिक सामान्यीकरण माना जा सकता है।

उदाहरण के लिए, जब एक प्रकाश किरण कांच के समान्तर चतुर्भुज में प्रवेश करती है, तो फ़र्मेट का सिद्धांत हमें बताएगा कि किरण किस कोण पर अपवर्तित होगी। पूरा प्रश्न इस बात पर आकर अटक जाएगा कि किरण को कांच के अंदर किस पथ से यात्रा करनी चाहिए ताकि कम से कम समय लगे, यह देखते हुए कि प्रकाश हवा की तुलना में कांच में धीमी गति से यात्रा करता है। चूँकि कांच में किरण धीमी हो गई है, यह अनिवार्य रूप से उस दिशा से विचलित हो जाएगी जिसमें उसने कांच में प्रवेश किया है, अन्यथा किरण का यात्रा समय बढ़ जाएगा। दूसरी ओर, यदि कांच के अंदर की किरण कांच की सतह पर सख्ती से लंबवत जाती है, तो इससे किरण द्वारा तय किए गए कुल पथ में वृद्धि होगी, जिसमें कांच के बाहर के खंड भी शामिल होंगे, और परिणामस्वरूप, बीता हुआ समय भी बढ़ जाएगा। इसलिए, दो बिंदुओं के बीच सबसे कम समय बचाने वाला किरण पथ खोजने के लिए, कुल किरण पथ को बढ़ाने और मंद होते माध्यम में किरण पथ को छोटा करने के बीच एक समझौता खोजना आवश्यक है।

इस समस्या के सख्त ज्यामितीय समाधान के साथ (यह उतना जटिल नहीं है जितना बोझिल है, इसलिए मैं इसे यहां प्रस्तुत नहीं करूंगा), हम स्नेल का नियम प्राप्त करते हैं, जो प्रकाश के अपवर्तन का वर्णन करता है। इसे सतह से परावर्तित किरण पर लागू करके, हम आसानी से, विशुद्ध रूप से ज्यामितीय रूप से, प्रकाश प्रतिबिंब का नियम प्राप्त कर सकते हैं, जिसके अनुसार आपतन कोण प्रतिबिंब के कोण के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, ज्यामितीय प्रकाशिकी के नियमों का पूरा सेट चरम सिद्धांत से लिया गया है, जिसके अनुसार दो बिंदुओं के बीच प्रकाश उस पथ के साथ फैलता है जिसे यात्रा करने में कम से कम समय लगता है। हालाँकि, यह याद रखना और समझना महत्वपूर्ण है कि, प्रकृति के अन्य सभी अनुभवजन्य रूप से व्युत्पन्न कानूनों की तरह, फ़र्मेट के सिद्धांत की वैधता पूरी तरह से इसके प्रयोगात्मक सत्यापन पर निर्भर करती है, लेकिन वर्तमान में ऐसा कोई डेटा नहीं है जो इस पर संदेह पैदा करेगा।

सजातीय माध्यम में प्रकाश एक सीधी रेखा में चलता है। एक अमानवीय माध्यम में, प्रकाश किरणें मुड़ी हुई होती हैं। 1679 में फ्रांसीसी गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा स्थापित सिद्धांत का उपयोग करके एक अमानवीय माध्यम में प्रकाश की यात्रा का मार्ग पाया जा सकता है। फ़र्मेट का सिद्धांत बताता है कि प्रकाश ऐसे पथ पर चलता है जिसे तय करने में न्यूनतम समय लगता है।

पथ के एक भाग को पार करने के लिए डी एस(चित्र 1.3) प्रकाश को समय की आवश्यकता होती है डीटी = डीएस/वीकहाँ वीमाध्यम में किसी दिए गए बिंदु पर प्रकाश की गति।

डीएस चित्र. 1.3. फ़र्मेट के सिद्धांत की व्युत्पत्ति के लिए.

की जगह वीके माध्यम से साथऔर पीसूत्र (1.3) के अनुसार, हम उसे प्राप्त करते हैं . इसलिए, समय टीबिंदु 1 से बिंदु 2 तक यात्रा करने के लिए प्रकाश द्वारा खर्च की गई राशि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

फ़र्मेट के सिद्धांत के अनुसार टीन्यूनतम होना चाहिए. क्योंकि साथ -स्थिर, न्यूनतम मान होना चाहिए

जिसे कहा जाता है ऑप्टिकल पथ की लंबाई . एक सजातीय माध्यम में, ऑप्टिकल पथ की लंबाई ज्यामितीय पथ लंबाई एस और माध्यम के अपवर्तनांक के उत्पाद के बराबर होती है पी:

एल = एन.एस. (1.5)

फ़र्मेट का सिद्धांत इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: प्रकाश ऐसे पथ पर प्रसारित होता है जिसकी ऑप्टिकल लंबाई न्यूनतम होती है।

प्रकाशिकी के बुनियादी नियम. संपूर्ण प्रतिबिंब

प्रकाश की प्रकृति स्थापित होने से पहले ही, प्रकाशिकी के निम्नलिखित बुनियादी नियम ज्ञात थे: एक वैकल्पिक रूप से सजातीय माध्यम में प्रकाश के सीधा प्रसार का नियम; प्रकाश पुंजों की स्वतंत्रता का नियम (केवल रैखिक प्रकाशिकी में मान्य); प्रकाश परावर्तन का नियम; प्रकाश अपवर्तन का नियम.

प्रकाश के सीधारेखीय प्रसार का नियम:प्रकाश एक वैकल्पिक रूप से सजातीय माध्यम में सीधा फैलता है।

इस कानून का प्रमाण बिंदु प्रकाश स्रोतों (ऐसे स्रोत जिनके आयाम प्रबुद्ध वस्तु और उससे दूरी से काफी छोटे हैं) द्वारा प्रकाशित होने पर अपारदर्शी वस्तुओं से तेज सीमाओं वाली छाया की उपस्थिति है। हालाँकि, सावधानीपूर्वक प्रयोगों से पता चला है कि यदि प्रकाश बहुत छोटे छिद्रों से होकर गुजरता है तो इस नियम का उल्लंघन होता है, और प्रसार की सीधीता से विचलन जितना अधिक होता है, छिद्र उतने ही छोटे होते हैं।

प्रकाश पुंजों की स्वतंत्रता का नियम: एकल किरण द्वारा उत्पन्न प्रभाव इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अन्य किरणें एक साथ कार्य करती हैं या समाप्त हो जाती हैं। प्रकाश प्रवाह को अलग-अलग प्रकाश पुंजों में विभाजित करके (उदाहरण के लिए, डायाफ्राम का उपयोग करके), यह दिखाया जा सकता है कि चयनित प्रकाश पुंजों की क्रिया स्वतंत्र है।

यदि प्रकाश दो माध्यमों (दो पारदर्शी पदार्थों) के बीच इंटरफेस पर पड़ता है, तो आपतित किरण I (चित्र 1.4) दो में विभाजित हो जाती है - परावर्तित II और अपवर्तित III, जिनकी दिशाएँ परावर्तन और अपवर्तन के नियमों द्वारा निर्दिष्ट होती हैं।

चावल। 1.4. प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियम।

परावर्तन का नियम:परावर्तित किरण आपतित किरण और आपतन बिंदु पर दो माध्यमों के बीच इंटरफेस पर खींचे गए लंबवत के साथ एक ही तल में स्थित होती है; परावर्तन का कोण i`1 आपतन के कोण i`1 के बराबर है:

अपवर्तन का नियम: आपतित किरण, अपवर्तित किरण और आपतन बिंदु पर इंटरफ़ेस पर खींचा गया लंब एक ही तल में स्थित होते हैं; आपतन कोण की ज्या और अपवर्तन कोण की ज्या का अनुपात इन मीडिया के लिए एक स्थिर मान है:

जहाँ n 12 पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का सापेक्ष अपवर्तनांक है। कोणों के पदनामों में सूचकांक i 1, i` 1, i 2 इंगित करते हैं कि किरण किस माध्यम (पहले या दूसरे) में यात्रा करती है।

दो मीडिया का सापेक्ष अपवर्तक सूचकांक उनके पूर्ण अपवर्तक सूचकांक के अनुपात के बराबर है:

किसी माध्यम का पूर्ण अपवर्तनांक मान "n" है, जो निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों की गति "c" और माध्यम में उनकी चरण गति "v" के अनुपात के बराबर है:

आइए एक बार फिर याद करें कि क्या, कहां इऔर एम- क्रमशः माध्यम की विद्युत और चुंबकीय पारगम्यता।

(1.6) को ध्यान में रखते हुए अपवर्तन के नियम (1.2) को इस रूप में लिखा जा सकता है

जिससे कोई एक समीकरण प्राप्त कर सकता है जो न केवल स्तरित मीडिया के बीच इंटरफेस पर प्रकाश किरण के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि इसे कहा भी जा सकता है किरण उत्क्रमणीयता नियम:

एन 1 ×सिनी 1 = एन 2 ×सिनी 2 = एन 3 ×सिनी 3 =… (1.7)

प्रकाश किरणों की उत्क्रमणीयता अभिव्यक्ति की समरूपता (1.7) से होती है। यदि आप किरण III (चित्र 1.4) को उलट देते हैं, जिससे वह इंटरफ़ेस पर i 2 कोण पर गिरती है, तो पहले माध्यम में अपवर्तित किरण i 1 कोण पर प्रसारित होगी, अर्थात, यह विपरीत दिशा में जाएगी किरण मैं

प्रकाश के अपवर्तन के नियम का मूल परिणाम है पूर्ण आंतरिक परावर्तन का नियम.

यदि प्रकाश उच्च अपवर्तनांक n 1 (वैकल्पिक रूप से अधिक सघन) वाले माध्यम से कम अपवर्तक सूचकांक n 2 (वैकल्पिक रूप से कम सघन) (n 1 >n 2) वाले माध्यम में फैलता है, उदाहरण के लिए, कांच से पानी में, तो (31.7) के अनुसार,

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अपवर्तित किरण अभिलंब से दूर चली जाती है और अपवर्तन कोण i 2 आपतन कोण i 1 से अधिक होता है (चित्र 31.5, a)। जैसे-जैसे आपतन कोण बढ़ता है, अपवर्तन कोण बढ़ता है (चित्र 31.5, बी, सी) जब तक कि एक निश्चित आपतन कोण (i = i in) पर अपवर्तन कोण बराबर न हो जाए पी/2. कोण i को सीमा कोण कहा जाता है। आपतन कोण i > i pr पर, सभी आपतित प्रकाश पूर्णतः परावर्तित हो जाता है (चित्र 31.5, d)।

चावल। 1.5. पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना का अवलोकन।

जैसे-जैसे आपतन कोण सीमा के करीब पहुंचता है, अपवर्तित किरण की तीव्रता कम हो जाती है, और परावर्तित किरण बढ़ जाती है (चित्र 1.5, ए-सी)। यदि i = i pr, तो अपवर्तित किरण की तीव्रता शून्य हो जाती है, और परावर्तित किरण की तीव्रता आपतित किरण की तीव्रता के बराबर होती है (चित्र 1.5, d)। इस प्रकार, i pr से लेकर आपतन कोणों पर पी/2 किरण अपवर्तित नहीं होती है, बल्कि पहले माध्यम में पूरी तरह से परावर्तित हो जाती है, और परावर्तित और आपतित किरणों की तीव्रता समान होती है। इस घटना को कहा जाता है पूर्ण प्रतिबिंब.

सीमित कोण आईपीआर को इसमें i2 = प्रतिस्थापित करके सूत्र (1.7) से निर्धारित किया जाता है पी/2.

तब

(1.8)

समीकरण (1.8) n 2 £n 1 के लिए कोण i pr के मान को संतुष्ट करता है। फलस्वरूप पूर्ण परावर्तन की घटना ही घटित होती है जब प्रकाश प्रकाशिक रूप से सघन माध्यम से प्रकाशतः कम सघन माध्यम में गिरता है।

पूर्ण परावर्तन की घटना का उपयोग प्रकाश गाइड (प्रकाश गाइड) में किया जाता है, जो ऑप्टिकली पारदर्शी सामग्री से बने पतले, बेतरतीब ढंग से घुमावदार धागे (फाइबर) होते हैं। फाइबर भागों में, ग्लास फाइबर का उपयोग किया जाता है, जिसका प्रकाश-मार्गदर्शक कोर (कोर) ग्लास से घिरा होता है - कम अपवर्तक सूचकांक के साथ दूसरे ग्लास का एक खोल। सीमित कोण से अधिक कोण पर प्रकाश गाइड के अंत पर प्रकाश की घटना कोर और क्लैडिंग के बीच इंटरफेस पर पूर्ण प्रतिबिंब से गुजरती है और केवल प्रकाश गाइड कोर के साथ फैलती है।

इस प्रकार, प्रकाश गाइडों की सहायता से आप प्रकाश किरण के पथ को अपनी इच्छानुसार मोड़ सकते हैं। प्रकाश-मार्गदर्शक कोर का व्यास कई माइक्रोमीटर से लेकर कई मिलीमीटर तक होता है। मल्टीकोर लाइट गाइड का उपयोग आमतौर पर छवियों को प्रसारित करने के लिए किया जाता है। प्रकाश तरंगों और छवियों के संचरण के मुद्दों का अध्ययन प्रकाशिकी के एक विशेष खंड - फाइबर ऑप्टिक्स में किया जाता है, जो 20 वीं शताब्दी के 50 के दशक में उत्पन्न हुआ था। प्रकाश गाइड का उपयोग कैथोड रे ट्यूबों में, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों में, जानकारी एन्कोडिंग के लिए, चिकित्सा में (उदाहरण के लिए, आंतरिक अंगों का निदान), संचार को परमाणु और थर्मोन्यूक्लियर विस्फोट के दौरान होने वाले सुपर-शक्तिशाली विद्युत चुम्बकीय दालों के प्रभाव से बचाने के लिए किया जाता है। हथियार, आदि

फ़र्मेट का सिद्धांत

फ़र्मेट का सिद्धांत (फ़र्मेट का न्यूनतम समय का सिद्धांत) ज्यामितीय प्रकाशिकी में - एक अभिधारणा जो प्रकाश की किरण को प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक एक पथ के साथ जाने का निर्देश देती है जो यात्रा के समय को कम करती है (अधिक दुर्लभ रूप से, अधिकतम करती है) (या, जो एक ही बात है, ऑप्टिकल लंबाई को कम करती है) पथ का) अधिक सटीक सूत्रीकरण में: प्रकाश आस-पास के कई रास्तों में से एक रास्ता चुनता है, जिससे यात्रा करने में लगभग समान समय लगता है; दूसरे शब्दों में, इस पथ में किसी भी छोटे परिवर्तन से यात्रा समय में पहले क्रम का परिवर्तन नहीं होता है।

यह सिद्धांत, पहली शताब्दी में तैयार किया गया था। प्रकाश के परावर्तन के लिए अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन को सामान्य शब्दों में पियरे फ़र्मेट द्वारा 1662 में ज्यामितीय प्रकाशिकी के सबसे सामान्य नियम के रूप में तैयार किया गया था। विभिन्न विशिष्ट मामलों में, पहले से ही ज्ञात कानूनों का पालन किया गया: एक सजातीय माध्यम में प्रकाश की किरण की सीधीता, दो पारदर्शी मीडिया की सीमा पर प्रकाश के प्रतिबिंब और अपवर्तन के नियम।

फ़र्मेट का सिद्धांत प्रकाश की लुप्त हो रही छोटी तरंग दैर्ध्य के मामले के लिए तरंग प्रकाशिकी में ह्यूजेन्स-फ़्रेज़नेल सिद्धांत का एक सीमित मामला है।

फ़र्मेट का सिद्धांत भौतिकी के चरम सिद्धांतों में से एक है।

टिप्पणियाँ

साहित्य

• भौतिक शब्दों का संक्षिप्त शब्दकोश / COMP। ए. आई. बोलसुन, रेक्टर। एम. ए. एल्याशेविच। - एम.एन. : हायर स्कूल, 1979. - पीपी 364-365। - 416 एस. - 30,000 प्रतियां.

लिंक

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

• अतिशय सिद्धांत
• इथकुइल

देखें अन्य शब्दकोशों में "फर्मेट सिद्धांत" क्या है:

फ़र्मेट का सिद्धांत- - विषय तेल और गैस उद्योग EN फर्मेट का कानून फर्मेट का सिद्धांत… तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

फ़र्मेट का सिद्धांत- फ़र्मा प्रिंसिपल स्टेटसस टी स्रिटिस फ़िज़िका एटिटिकमेनिस: अंग्रेजी। फ़र्मेट का नियम; फ़र्मेट का सिद्धांत वोक। फ़र्मात्सचेस प्रिंज़िप, एन रूस। फ़र्मेट का सिद्धांत, एम प्रैंक। फ़र्मेट के सिद्धांत, एम… फ़िज़िकोस टर्मिनस लॉडिनास

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फार्म (फर्मेट) पियरे- (1601 65) फ्रांसीसी गणितज्ञ, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और संख्या सिद्धांत (फर्मेट प्रमेय) के रचनाकारों में से एक। संभाव्यता सिद्धांत, इनफ़ाइन्टिसिमल कैलकुलस और ऑप्टिक्स (फ़र्मेट सिद्धांत) पर काम करता है ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश