पॉइसन वितरण के लिए मॉडलिंग सूत्र है। पॉइसन वितरण (दुर्लभ घटनाओं का नियम)

जहां λ समान स्वतंत्र परीक्षणों में घटनाओं की औसत संख्या के बराबर है, अर्थात। λ = n × p, जहां p एक परीक्षण में किसी घटना की संभावना है, e = 2.71828।

पॉइसन कानून वितरण श्रृंखला का रूप है:

सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग पॉइसन वितरण का निर्माण करने और श्रृंखला की सभी विशेषताओं की गणना करने के लिए किया जाता है: गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन। निर्णय के साथ रिपोर्ट वर्ड फॉर्मेट में तैयार की गई है।

परीक्षणों की संख्या:एन= , संभाव्यता पी =
इसकी संभाव्यता की गणना करें:एम =
आ जाएगा एक बार
कम एक बार
कम नहीं एक बार
अधिक एक बार
अब और नहीं एक बार
कम नहीं और नहीं एक बार
कम से कम एक बार तो होगा

ऐसे मामले में जब n बड़ा है और λ = p n > 10, पॉइसन सूत्र एक बहुत ही मोटा अनुमान देता है और P n (m) की गणना के लिए Moivre-Laplace के स्थानीय और अभिन्न प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताएँ

पॉइसन वितरण की अपेक्षा
एम[एक्स] = λ

पॉइसन वितरण का प्रसरण
डी[एक्स] = λ

उदाहरण क्रमांक 1. बीजों में 0.1% खरपतवार होते हैं। यदि आप यादृच्छिक रूप से 2000 बीज चुनते हैं तो 5 खरपतवार बीज मिलने की प्रायिकता क्या है?
समाधान।
प्रायिकता p छोटी है, लेकिन संख्या n बड़ी है। एनपी = 2 पी(5) = λ 5 ई -5 /5! = 0.03609
अपेक्षा: एम[एक्स] = λ = 2
फैलाव: डी[एक्स] = λ = 2

उदाहरण क्रमांक 2. राई के बीजों में 0.4% खरपतवार के बीज होते हैं। 5000 बीजों के यादृच्छिक चयन के साथ खरपतवारों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा: एम[एक्स] = λ = 0.004*5000 = 20। फैलाव: डी[एक्स] = λ = 20
वितरण कानून:

एक्स	0	1	2	…	एम	…
पी	ई -20	20e -20	200e -20	…	20 मीटर ई -20 /मीटर!	…

उदाहरण संख्या 3. एक टेलीफोन एक्सचेंज में, 1/200 की संभावना के साथ एक गलत कनेक्शन होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 200 कनेक्शनों के बीच निम्नलिखित घटित होगा:
ए) बिल्कुल एक गलत कनेक्शन;
बी) तीन से कम गलत कनेक्शन;
ग) दो से अधिक गलत कनेक्शन।
समाधान।समस्या की स्थितियों के अनुसार, घटना की संभावना कम है, इसलिए हम पॉइसन सूत्र (15) का उपयोग करते हैं।
ए) दिया गया है: एन = 200, पी = 1/200, के = 1। आइए पी 200 (1) खोजें।
हम पाते हैं: . फिर पी 200 (1) ≈ ई -1 ≈ 0.3679।
बी) दिया गया है: एन = 200, पी = 1/200, के< 3. Найдем P 200 (k < 3).
हमारे पास है: ए = 1.

सी) दिया गया है: एन = 200, पी = 1/200, के > 2। पी 200 (के > 2) खोजें।
इस समस्या को अधिक सरलता से हल किया जा सकता है: विपरीत घटना की संभावना ज्ञात करें, क्योंकि इस मामले में आपको कम शब्दों की गणना करने की आवश्यकता है। पिछले मामले को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

उस मामले पर विचार करें जहां n पर्याप्त रूप से बड़ा है और p पर्याप्त रूप से छोटा है; आइए np = a रखें, जहां a कुछ संख्या है। इस मामले में, वांछित संभावना पॉइसन सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

समय अवधि t के दौरान k घटनाओं के घटित होने की संभावना को पॉइसन सूत्र का उपयोग करके भी पाया जा सकता है:
जहां λ घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता है, यानी प्रति इकाई समय में प्रकट होने वाली घटनाओं की औसत संख्या।

उदाहरण संख्या 4. भाग के ख़राब होने की प्रायिकता 0.005 है। 400 भागों की जाँच की जाती है। 3 से अधिक भागों के ख़राब होने की संभावना की गणना के लिए एक सूत्र प्रदान करें।

उदाहरण क्रमांक 5. बड़े पैमाने पर उत्पादन के दौरान दोषपूर्ण भागों के प्रकट होने की संभावना p है। प्रायिकता निर्धारित करें कि N भागों के एक बैच में a) बिल्कुल तीन भाग हों; बी) तीन से अधिक दोषपूर्ण भाग नहीं।
पी=0.001; एन=4500
समाधान।
प्रायिकता p छोटी है, लेकिन संख्या n बड़ी है। एनपी = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
यादृच्छिक चर X में मानों की एक श्रृंखला होती है (0,1,2,...,m)। इन मानों की संभावनाओं को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आइए X की वितरण श्रृंखला ज्ञात करें।
यहां λ = एनपी = 4500*0.001 = 4.5
पी(0) = ई - λ = ई -4.5 = 0.01111
पी(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

तब N भागों के एक बैच में ठीक तीन भाग होने की प्रायिकता इसके बराबर है:

तब संभावना यह है कि N भागों के एक बैच में तीन से अधिक दोषपूर्ण भाग नहीं हैं:
पी(एक्स<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

उदाहरण संख्या 6. एक स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज औसतन प्रति घंटे एन कॉल प्राप्त करता है। संभावना निर्धारित करें कि किसी दिए गए मिनट में उसे प्राप्त होगा: ए) बिल्कुल दो कॉल; बी) दो से अधिक कॉल।
एन=18
समाधान।
एक मिनट में, स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज औसतन λ = 18/60 मिनट प्राप्त करता है। = 0.3
यह मानते हुए कि एक मिनट में पीबीएक्स पर प्राप्त कॉलों की एक यादृच्छिक संख्या X,
पॉइसन के नियम का पालन करता है, सूत्र का उपयोग करके हम वांछित संभावना ज्ञात करेंगे

आइए X की वितरण श्रृंखला ज्ञात करें।
यहाँ λ = 0.3
पी(0) = ई - λ = ई -0.3 = 0.7408
पी(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

संभावना है कि उसे एक दिए गए मिनट में ठीक दो कॉल प्राप्त होंगी:
पी(2) = 0.03334
संभावना है कि उसे एक मिनट में दो से अधिक कॉल प्राप्त होंगी:
पी(x>2) = 1 - 0.7408 - 0.2222 - 0.03334 = 0.00366

उदाहरण संख्या 7. एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करने वाले दो तत्वों पर विचार किया जाता है। विफलता-मुक्त संचालन की अवधि में पहले तत्व के लिए पैरामीटर λ1 = 0.02 और दूसरे तत्व के लिए λ2 = 0.05 के साथ एक घातीय वितरण होता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 10 घंटे में: a) दोनों तत्व बिना किसी विफलता के काम करेंगे; बी) केवल संभावना है कि तत्व संख्या 1 10 घंटे में विफल नहीं होगा:
फ़ैसला।
पी 1 (0) = ई -λ1*टी = ई -0.02*10 = 0.8187

संभावना है कि तत्व संख्या 2 10 घंटे में विफल नहीं होगा:
पी 2 (0) = ई -λ2*टी = ई -0.05*10 = 0.6065

क) दोनों तत्व त्रुटिपूर्ण ढंग से काम करेंगे;
पी(2) = पी 1 (0)*पी 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
बी) केवल एक तत्व विफल हो जाएगा।
पी(1) = पी 1 (0)*(1-पी 2 (0)) + (1-पी 1 (0))*पी 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

उदाहरण संख्या 7. उत्पादन में 1% दोष उत्पन्न होता है। क्या संभावना है कि शोध के लिए लिए गए 1100 उत्पादों में से 17 से अधिक को अस्वीकार नहीं किया जाएगा?
टिप्पणी: चूँकि यहाँ n*p =1100*0.01=11 > 10, इसका उपयोग करना आवश्यक है

आइए पॉइसन वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण और मोड की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन POISSON.DIST() का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व के ग्राफ़ का निर्माण करेंगे। आइए हम वितरण पैरामीटर, इसकी गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन का अनुमान लगाएं।

सबसे पहले, हम वितरण की एक शुष्क औपचारिक परिभाषा देते हैं, फिर हम उन स्थितियों का उदाहरण देते हैं जब पॉइसन वितरण(अंग्रेज़ी) प्वासोंवितरण) एक यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए एक पर्याप्त मॉडल है।

यदि किसी निश्चित समयावधि में (या पदार्थ के एक निश्चित आयतन में) औसत आवृत्ति के साथ यादृच्छिक घटनाएँ घटित होती हैं λ( लैम्ब्डा), फिर घटनाओं की संख्या एक्स, इस अवधि के दौरान हुआ होगा पॉइसन वितरण.

पॉइसन वितरण का अनुप्रयोग

उदाहरण जब पॉइसन वितरणएक पर्याप्त मॉडल है:

• एक निश्चित अवधि में टेलीफोन एक्सचेंज पर प्राप्त कॉलों की संख्या;
• एक निश्चित अवधि में रेडियोधर्मी क्षय से गुजरने वाले कणों की संख्या;
• एक निश्चित लंबाई के कपड़े के टुकड़े में दोषों की संख्या।

पॉइसन वितरणयदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं तो यह एक पर्याप्त मॉडल है:

• घटनाएँ एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं, अर्थात् अगली घटना की संभावना पिछली घटना पर निर्भर नहीं करती;
• औसत घटना दर स्थिर है. परिणामस्वरूप, किसी घटना की संभावना अवलोकन अंतराल की लंबाई के समानुपाती होती है;
• दो घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं;
• घटनाओं की संख्या का मान 0 होना चाहिए; 1; 2…

टिप्पणी: एक अच्छा सुराग यह है कि प्रेक्षित यादृच्छिक चर है पॉइसन वितरण,तथ्य यह है कि यह लगभग बराबर है (नीचे देखें)।

नीचे उन स्थितियों के उदाहरण दिए गए हैं जहां पॉइसन वितरण नहीं कर सकतालागू हो जाए:

• एक घंटे के भीतर विश्वविद्यालय छोड़ने वाले छात्रों की संख्या (चूंकि छात्रों का औसत प्रवाह स्थिर नहीं है: कक्षाओं के दौरान कुछ छात्र होते हैं, और कक्षाओं के बीच ब्रेक के दौरान छात्रों की संख्या तेजी से बढ़ जाती है);
• कैलिफ़ोर्निया में प्रति वर्ष 5 अंक के आयाम वाले भूकंपों की संख्या (चूंकि एक भूकंप समान आयाम के झटके पैदा कर सकता है - घटनाएं स्वतंत्र नहीं हैं);
• गहन देखभाल इकाई में रोगियों द्वारा बिताए गए दिनों की संख्या (क्योंकि गहन देखभाल इकाई में रोगियों द्वारा बिताए गए दिनों की संख्या हमेशा 0 से अधिक होती है)।

टिप्पणी: पॉइसन वितरणअधिक सटीक असतत वितरण का एक अनुमान है: और।

टिप्पणी: रिश्ते के बारे में पॉइसन वितरणऔर द्विपद वितरणलेख में पढ़ा जा सकता है. रिश्ते के बारे में पॉइसन वितरणऔर घातांकी रूप से वितरणके बारे में लेख में पढ़ा जा सकता है।

एमएस एक्सेल में पॉइसन वितरण

MS EXCEL में, संस्करण 2010 से प्रारंभ करते हुए, के लिए वितरण प्वासोंएक फ़ंक्शन POISSON.DIST() है, अंग्रेजी नाम - POISSON.DIST(), जो आपको न केवल उस संभावना की गणना करने की अनुमति देता है जो एक निश्चित अवधि में घटित होगी एक्सघटनाएँ (फ़ंक्शन संभाव्यता घनत्वपी(एक्स), ऊपर सूत्र देखें), लेकिन यह भी (संभावना है कि किसी निश्चित अवधि के दौरान कम से कम एक्सघटनाएँ)।

MS EXCEL 2010 से पहले, EXCEL में POISSON() फ़ंक्शन था, जो आपको गणना करने की भी अनुमति देता है वितरण समारोहऔर संभाव्यता घनत्वपी(एक्स). अनुकूलता के लिए MS EXCEL 2010 में POISSON() को छोड़ दिया गया है।

उदाहरण फ़ाइल में ग्राफ़ हैं संभाव्यता घनत्व वितरणऔर संचयी वितरण कार्य.

पॉइसन वितरणइसका आकार तिरछा है (संभावना फ़ंक्शन के दाईं ओर एक लंबी पूंछ), लेकिन जैसे-जैसे पैरामीटर λ बढ़ता है, यह अधिक से अधिक सममित हो जाता है।

टिप्पणी: औसतऔर फैलाव(वर्ग) पैरामीटर के बराबर हैं पॉइसन वितरण- λ (देखें उदाहरण शीट फ़ाइल उदाहरण).

काम

विशिष्ट अनुप्रयोग पॉइसन वितरणगुणवत्ता नियंत्रण में किसी उपकरण या डिवाइस में दिखाई देने वाले दोषों की संख्या का एक मॉडल होता है।

उदाहरण के लिए, एक चिप λ (लैम्ब्डा) में दोषों की औसत संख्या 4 के बराबर होने पर, यादृच्छिक रूप से चयनित चिप में 2 या उससे कम दोष होने की संभावना है: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

फ़ंक्शन में तीसरा पैरामीटर = TRUE सेट है, इसलिए फ़ंक्शन वापस आ जाएगा संचयी वितरण कार्य, यानी, संभावना है कि यादृच्छिक घटनाओं की संख्या 0 से 4 तक की सीमा में होगी।

इस मामले में गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चयनित माइक्रोक्रिकिट में ठीक 2 दोष होंगे: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

फ़ंक्शन में तीसरा पैरामीटर = FALSE सेट है, इसलिए फ़ंक्शन संभाव्यता घनत्व लौटाएगा।

संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चयनित माइक्रोक्रिकिट में 2 से अधिक दोष होंगे: =1-पॉइसन.जिला(2,4,सत्य) =0.8535

टिप्पणी: अगर एक्सएक पूर्णांक नहीं है, तो सूत्र की गणना करते समय। सूत्रों =POISSON.DIST( 2 ; 4; झूठ)और =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; झूठ)वही परिणाम लौटाएगा.

यादृच्छिक संख्या निर्माण और λ अनुमान

λ के मानों के लिए >15 , पॉइसन वितरणअच्छी तरह अनुमानित सामान्य वितरणनिम्नलिखित मापदंडों के साथ: μ =λ , σ 2 =λ .

इन वितरणों के बीच संबंध के बारे में अधिक विवरण लेख में पाया जा सकता है। सन्निकटन के उदाहरण भी हैं, और यह कब संभव है और कितनी सटीकता के साथ संभव है इसकी शर्तें बताई गई हैं।

सलाह: आप लेख में अन्य MS EXCEL वितरणों के बारे में पढ़ सकते हैं।

परिचय

क्या यादृच्छिक घटनाएं किसी कानून के अधीन हैं? हाँ, लेकिन ये नियम उन भौतिक नियमों से भिन्न हैं जिनसे हम परिचित हैं। ज्ञात प्रायोगिक स्थितियों के तहत भी एसवी के मूल्यों की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, हम केवल संभावनाओं को इंगित कर सकते हैं कि एसवी एक या दूसरा मान लेगा। लेकिन एसवी के संभाव्यता वितरण को जानकर, हम उन घटनाओं के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं जिनमें ये यादृच्छिक चर भाग लेते हैं। सच है, ये निष्कर्ष भी संभाव्य प्रकृति के होंगे।

कुछ एसवी को अलग होने दें, यानी केवल निश्चित मान Xi ले सकते हैं। इस मामले में, इस मात्रा के सभी (i=1…n) अनुमेय मूल्यों के लिए संभाव्यता मान P(Xi) की श्रृंखला को इसका वितरण कानून कहा जाता है।

एसवी के वितरण का नियम एक ऐसा संबंध है जो एसवी के संभावित मूल्यों और उन संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है जिनके साथ इन मूल्यों को स्वीकार किया जाता है। वितरण कानून पूरी तरह से एसवी की विशेषता बताता है।

सांख्यिकीय परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, एसवी के वितरण के नियम (मॉडल के निर्माण का पैरामीट्रिक तरीका) के बारे में गणितीय धारणा पेश करना आवश्यक है।

गणितीय मॉडल का वर्णन करने के लिए गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण (एसवी में पैरामीट्रिक वितरण कानून नहीं है) कम सटीक है, लेकिन इसका दायरा व्यापक है।

किसी यादृच्छिक घटना की संभावना की तरह, एसवी के वितरण कानून के लिए इसे खोजने के केवल दो तरीके हैं। या तो हम एक यादृच्छिक घटना का आरेख बनाएं और संभाव्यता की गणना के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति (सूत्र) ढूंढें (शायद किसी ने पहले ही हमारे लिए ऐसा किया है या करेगा!), या हमें एक प्रयोग का उपयोग करना होगा और, आवृत्तियों के आधार पर अवलोकनों के अनुसार, कानून वितरण के बारे में कुछ धारणाएँ बनाएं (परिकल्पनाएँ सामने रखें)।

बेशक, प्रत्येक "शास्त्रीय" वितरण के लिए यह काम लंबे समय से किया गया है - द्विपद और बहुपद वितरण, ज्यामितीय और हाइपरजियोमेट्रिक, पास्कल और पॉइसन वितरण और कई अन्य व्यापक रूप से ज्ञात हैं और लागू आंकड़ों में अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

लगभग सभी शास्त्रीय वितरणों के लिए, विशेष सांख्यिकीय तालिकाओं का तुरंत निर्माण और प्रकाशन किया गया, जैसे-जैसे गणना की सटीकता बढ़ी, उन्हें परिष्कृत किया गया। इन तालिकाओं के कई खंडों के उपयोग के बिना, उनके उपयोग के नियमों के प्रशिक्षण के बिना, सांख्यिकी का व्यावहारिक उपयोग पिछली दो शताब्दियों से असंभव रहा है।

आज स्थिति बदल गई है - सूत्रों का उपयोग करके गणना डेटा को संग्रहीत करने की कोई आवश्यकता नहीं है (चाहे बाद वाला कितना भी जटिल क्यों न हो!), अभ्यास के लिए वितरण कानून का उपयोग करने का समय मिनटों या सेकंड तक कम हो गया है। इन उद्देश्यों के लिए पहले से ही पर्याप्त संख्या में विभिन्न एप्लिकेशन सॉफ़्टवेयर पैकेज मौजूद हैं।

सभी संभाव्यता वितरणों में से कुछ ऐसे वितरण भी हैं जिनका व्यवहार में विशेष रूप से अक्सर उपयोग किया जाता है। इन वितरणों का विस्तार से अध्ययन किया गया है और उनके गुण सर्वविदित हैं। इनमें से कई वितरण ज्ञान के संपूर्ण क्षेत्रों का आधार हैं - जैसे कतार सिद्धांत, विश्वसनीयता सिद्धांत, गुणवत्ता नियंत्रण, गेम सिद्धांत, आदि।

उनमें से, कोई भी पॉइसन (1781-1840) के कार्यों पर ध्यान दिए बिना नहीं रह सकता, जिन्होंने जैकब बर्नौली की तुलना में बड़ी संख्या के कानून का अधिक सामान्य रूप साबित किया, और पहली बार शूटिंग समस्याओं के लिए संभाव्यता के सिद्धांत को भी लागू किया। . पॉइसन का नाम वितरण के एक नियम से जुड़ा है, जो संभाव्यता सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

यह वितरण नियम ही है जिसके प्रति यह पाठ्यक्रम कार्य समर्पित है। हम सीधे कानून के बारे में, इसकी गणितीय विशेषताओं, विशेष गुणों और द्विपद वितरण के साथ संबंध के बारे में बात करेंगे। व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में कुछ शब्द कहे जाएंगे और अभ्यास से कई उदाहरण दिए जाएंगे।

हमारे निबंध का उद्देश्य बर्नौली और पॉइसन वितरण प्रमेयों के सार को स्पष्ट करना है।

कार्य निबंध के विषय पर साहित्य का अध्ययन और विश्लेषण करना है।

1. द्विपद वितरण (बर्नौली वितरण)

द्विपद वितरण (बर्नौली वितरण) - बार-बार स्वतंत्र परीक्षणों के दौरान किसी घटना के घटित होने की संख्या का संभाव्यता वितरण, यदि प्रत्येक परीक्षण में इस घटना के घटित होने की संभावना p (0) के बराबर है

SV पी+क्यू=1; एक्स=0.1.

द्विपद वितरण उन मामलों में उत्पन्न होता है जहां प्रश्न पूछा जाता है: समान परिस्थितियों में किए गए एक निश्चित संख्या में स्वतंत्र अवलोकनों (प्रयोगों) की श्रृंखला में एक निश्चित घटना कितनी बार घटित होती है।

सुविधा और स्पष्टता के लिए, हम मान लेंगे कि हम मान पी जानते हैं - संभावना है कि स्टोर में प्रवेश करने वाला आगंतुक खरीदार बन जाएगा और (1- पी) = क्यू - संभावना है कि स्टोर में प्रवेश करने वाला आगंतुक खरीदार नहीं होगा एक खरीदार.

यदि X, n आगंतुकों की कुल संख्या में से खरीदारों की संख्या है, तो संभावना है कि n आगंतुकों के बीच k खरीदार थे, बराबर है

P(X= k) = , जहां k=0,1,…n 1)

सूत्र (1) को बर्नौली का सूत्र कहा जाता है। बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, द्विपद वितरण सामान्य हो जाता है।

बर्नौली परीक्षण दो परिणामों के साथ एक संभाव्यता प्रयोग है, जिसे आमतौर पर "सफलता" (आमतौर पर प्रतीक 1 द्वारा दर्शाया जाता है) और "असफलता" (क्रमशः प्रतीक 0 द्वारा दर्शाया जाता है) कहा जाता है। सफलता की संभावना को आमतौर पर अक्षर p, विफलता - अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है; बेशक q=1-p. मान p को बर्नौली परीक्षण पैरामीटर कहा जाता है।

द्विपद, ज्यामितीय, पास्कल और नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम से प्राप्त किए जाते हैं यदि अनुक्रम एक या दूसरे तरीके से समाप्त हो जाता है, उदाहरण के लिए nth परीक्षण या xth सफलता के बाद। निम्नलिखित शब्दावली आमतौर पर प्रयोग की जाती है:

- बर्नौली परीक्षण पैरामीटर (एकल परीक्षण में सफलता की संभावना);

- परीक्षणों की संख्या;

– सफलताओं की संख्या;

- विफलताओं की संख्या.

द्विपद यादृच्छिक चर (एम|एन,पी) - एन परीक्षणों में एम सफलताओं की संख्या।

ज्यामितीय यादृच्छिक चर G(m|p) - पहली सफलता तक परीक्षणों की संख्या m (पहली सफलता सहित)।

पास्कल यादृच्छिक चर C(m|x,p) - x-वें सफलता तक परीक्षणों की संख्या m (निश्चित रूप से, x-वें सफलता को शामिल नहीं)।

नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर Y(m|x,p) - x-वें सफलता से पहले विफलताओं की संख्या m (x-वें सफलता को शामिल नहीं)।

नोट: कभी-कभी ऋणात्मक द्विपद वितरण को पास्कल वितरण कहा जाता है और इसके विपरीत।

पॉइसन वितरण

2.1. पॉइसन के नियम की परिभाषा

कई व्यावहारिक समस्याओं में व्यक्ति को एक विशिष्ट नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर से निपटना पड़ता है, जिसे पॉइसन का नियम कहा जाता है।

आइए एक असंतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें, जो केवल पूर्णांक, गैर-नकारात्मक मान ले सकता है: 0, 1, 2, ..., m, ...; इसके अलावा, इन मूल्यों का क्रम सैद्धांतिक रूप से असीमित है। एक यादृच्छिक चर

जहां a कुछ सकारात्मक मात्रा है जिसे पॉइसन का नियम पैरामीटर कहा जाता है।

पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X की वितरण श्रृंखला इस तरह दिखती है:

एक्सएम				…	एम	…
बजे	ई-ए			…		…

2.2.पॉइसन वितरण की मुख्य विशेषताएँ

सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि संभावनाओं का क्रम एक वितरण श्रृंखला हो सकता है, यानी। कि सभी संभावनाओं का योग Рm एक के बराबर है।

हम मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन पूर्व के विस्तार का उपयोग करते हैं:

यह ज्ञात है कि यह श्रृंखला x के किसी भी मान के लिए अभिसरण करती है, इसलिए, x = a लेने पर, हमें मिलता है

इस तरह

आइए पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X की मुख्य विशेषताओं - गणितीय अपेक्षा और फैलाव - का निर्धारण करें। एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है। परिभाषा के अनुसार, जब एक असतत यादृच्छिक चर मानों का एक गणनीय सेट लेता है:

योग का पहला पद (m=0 के अनुरूप) शून्य के बराबर है, इसलिए, योग m=1 से शुरू हो सकता है:

इस प्रकार, पैरामीटर a यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा से अधिक कुछ नहीं है।

एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण उसकी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:

हालाँकि, सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना करना अधिक सुविधाजनक है:

इसलिए, आइए पहले मान X का दूसरा प्रारंभिक क्षण ज्ञात करें:

पूर्व सिद्ध के अनुसार

अलावा,

2.3.पॉइसन वितरण की अतिरिक्त विशेषताएँ

I. एक यादृच्छिक चर X के क्रम k का प्रारंभिक क्षण मान Xk की गणितीय अपेक्षा है:

विशेष रूप से, पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण गणितीय अपेक्षा के बराबर है:

द्वितीय. यादृच्छिक चर X के क्रम k का केंद्रीय क्षण मान k की गणितीय अपेक्षा है:

विशेष रूप से, प्रथम क्रम का केंद्रीय क्षण 0 है:

μ1=एम=0,

दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण फैलाव के बराबर है:

μ2=M2=a.

तृतीय. पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर X के लिए, हम संभावना पाते हैं कि यह दिए गए k से कम मान नहीं लेगा। हम इस संभावना को Rk द्वारा निरूपित करते हैं:

जाहिर है, संभावना Rk की गणना योग के रूप में की जा सकती है

हालाँकि, विपरीत घटना की संभावना से इसे निर्धारित करना बहुत आसान है:

विशेष रूप से, X का मान सकारात्मक मान लेने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, कई अभ्यास समस्याओं के परिणामस्वरूप पॉइसन वितरण होता है। आइए इस प्रकार की विशिष्ट समस्याओं में से एक पर विचार करें।

अंक 2

मान लीजिए बिंदुओं को x-अक्ष ऑक्स पर यादृच्छिक रूप से वितरित किया गया है (चित्र 2)। आइए मान लें कि अंकों का यादृच्छिक वितरण निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1) खंड l पर एक निश्चित संख्या में बिंदुओं के गिरने की संभावना केवल इस खंड की लंबाई पर निर्भर करती है, लेकिन भुज अक्ष पर इसकी स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। दूसरे शब्दों में, बिंदु समान औसत घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर वितरित किए जाते हैं। आइए हम इस घनत्व को निरूपित करें, अर्थात। प्रति इकाई लंबाई बिंदुओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा, λ के माध्यम से व्यक्त की गई।

2) बिंदु x-अक्ष पर एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से वितरित होते हैं, अर्थात। किसी दिए गए खंड पर एक विशेष संख्या में अंक गिरने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि उनमें से कितने किसी अन्य खंड पर आते हैं जो इसके साथ ओवरलैप नहीं होता है।

3) एक छोटे क्षेत्र Δx में दो या दो से अधिक बिंदुओं के गिरने की संभावना एक बिंदु के गिरने की संभावना की तुलना में नगण्य है (इस स्थिति का अर्थ है दो या दो से अधिक बिंदुओं के संयोग की व्यावहारिक असंभवता)।

आइए हम भुज अक्ष पर लंबाई l के एक निश्चित खंड का चयन करें और एक असतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें - इस खंड पर पड़ने वाले बिंदुओं की संख्या। मात्रा के संभावित मान 0,1,2,...,m,... होंगे क्योंकि बिंदु एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से खंड पर आते हैं, सैद्धांतिक रूप से यह संभव है कि वहां उतने ही होंगे वांछित, यानी यह सिलसिला अनवरत जारी है.

आइए हम सिद्ध करें कि यादृच्छिक चर X को पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको संभावना Pm की गणना करने की आवश्यकता है कि खंड पर बिल्कुल m अंक गिरेंगे।

आइए पहले एक सरल समस्या हल करें। आइए ऑक्स अक्ष पर एक छोटे से क्षेत्र Δx पर विचार करें और इस संभावना की गणना करें कि कम से कम एक बिंदु इस क्षेत्र पर पड़ेगा। हम इस प्रकार तर्क करेंगे। इस खंड पर आने वाले अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा स्पष्ट रूप से λ·Δx के बराबर है (क्योंकि औसतन λ अंक प्रति इकाई लंबाई में आते हैं)। शर्त 3 ​​के अनुसार, एक छोटे खंड Δx के लिए हम उस पर पड़ने वाले दो या दो से अधिक बिंदुओं की संभावना को नजरअंदाज कर सकते हैं। इसलिए, क्षेत्र Δх पर पड़ने वाले बिंदुओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा λ·Δх लगभग उस पर पड़ने वाले एक बिंदु की संभावना के बराबर होगी (या, जो इन स्थितियों में, कम से कम एक के बराबर है)।

इस प्रकार, Δx→0 के लिए उच्च क्रम के अनन्तिमों तक, हम इस संभावना पर विचार कर सकते हैं कि खंड Δx पर एक (कम से कम एक) बिंदु गिरेगा, λ·Δx के बराबर है, और कोई भी नहीं गिरेगा इसकी संभावना 1 के बराबर है। -c·Δx.

आइए इसका उपयोग खंड एल पर पड़ने वाले बिल्कुल एम बिंदुओं की संभावना पीएम की गणना करने के लिए करें। आइए हम खंड l को n लंबाई के बराबर भागों में विभाजित करें। हम प्राथमिक खंड Δx को "खाली" कहने के लिए सहमत हैं यदि इसमें एक भी बिंदु नहीं है, और यदि कम से कम एक होता है तो इसे "कब्जा कर लिया गया" कहते हैं। उपरोक्त के अनुसार, खंड Δх पर "कब्जा" होने की संभावना लगभग λ·Δх= के बराबर है; इसके "खाली" होने की प्रायिकता 1- है। चूँकि, शर्त 2 के अनुसार, गैर-अतिव्यापी खंडों में आने वाले बिंदु स्वतंत्र हैं, तो हमारे n खंडों को n स्वतंत्र "प्रयोगों" के रूप में माना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक खंड को प्रायिकता p= के साथ "कब्जा" किया जा सकता है। आइए इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि n खंडों के बीच बिल्कुल m का "कब्जा" होगा। बार-बार स्वतंत्र परीक्षणों के प्रमेय के अनुसार, यह संभावना बराबर है

,

या आइए हम λl=a को निरूपित करें:

.

पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, यह संभावना लगभग खंड l पर पड़ने वाले बिल्कुल m बिंदुओं की संभावना के बराबर है खंड Δx पर दो या दो से अधिक बिंदुओं के गिरने की संभावना नगण्य है। Рm का सटीक मान ज्ञात करने के लिए, आपको n→∞ के रूप में सीमा तक जाना होगा:

ध्यान में रख कर

,

हम पाते हैं कि वांछित संभाव्यता सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

जहां a=λl, यानी X का मान पॉइसन कानून के अनुसार पैरामीटर a=λl के साथ वितरित किया जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अर्थ में मान a प्रति खंड l अंकों की औसत संख्या को दर्शाता है। इस मामले में मान R1 (संभावना है कि मान X एक सकारात्मक मान लेगा) इस संभावना को व्यक्त करता है कि खंड l पर कम से कम एक बिंदु गिरेगा: R1=1-e-a।

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि पॉइसन वितरण तब होता है जहां कुछ बिंदु (या अन्य तत्व) एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, और किसी क्षेत्र में आने वाले इन बिंदुओं की संख्या की गणना की जाती है। हमारे मामले में, ऐसा क्षेत्र भुज अक्ष पर खंड एल था। हालाँकि, इस निष्कर्ष को समतल (बिंदुओं के यादृच्छिक समतल क्षेत्र) और अंतरिक्ष में (बिंदुओं के यादृच्छिक स्थानिक क्षेत्र) पर बिंदुओं के वितरण के मामले में आसानी से बढ़ाया जा सकता है। यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि यदि शर्तें पूरी होती हैं:

1) अंक औसत घनत्व λ के साथ क्षेत्र में सांख्यिकीय रूप से समान रूप से वितरित किए जाते हैं;

2) अंक स्वतंत्र रूप से गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों में आते हैं;

3) बिंदु अकेले दिखाई देते हैं, जोड़े, त्रिक आदि में नहीं।

फिर किसी भी क्षेत्र D (सपाट या स्थानिक) में आने वाले बिंदुओं X की संख्या पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित की जाती है:

,

जहां a क्षेत्र D में आने वाले बिंदुओं की औसत संख्या है।

एक समतल मामले के लिए a=SD λ, जहां SD क्षेत्र D का क्षेत्रफल है,

स्थानिक a= VD λ के लिए, जहां VD क्षेत्र D का आयतन है।

किसी खंड या क्षेत्र में आने वाले बिंदुओं की संख्या के पॉइसन वितरण के लिए, निरंतर घनत्व (λ=const) की स्थिति महत्वहीन है। यदि अन्य दो शर्तें पूरी हो जाती हैं, तो पॉइसन का नियम अभी भी कायम है, इसमें केवल पैरामीटर a एक अलग अभिव्यक्ति लेता है: यह केवल घनत्व λ को लंबाई, क्षेत्र या आयतन से गुणा करके नहीं, बल्कि चर घनत्व को एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है। खंड, क्षेत्र या आयतन पर।

पॉइसन वितरण भौतिकी, संचार सिद्धांत, विश्वसनीयता सिद्धांत, कतार सिद्धांत आदि में कई मुद्दों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। कहीं भी, जहां एक निश्चित अवधि में यादृच्छिक संख्या में घटनाएं (रेडियोधर्मी क्षय, टेलीफोन कॉल, उपकरण विफलता, दुर्घटनाएं, आदि) घटित हो सकती हैं।

आइए सबसे विशिष्ट स्थिति पर विचार करें जिसमें पॉइसन वितरण उत्पन्न होता है। मान लीजिए कि कुछ घटनाएँ (दुकान की खरीदारी) यादृच्छिक समय पर घटित होती हैं। आइए 0 से T तक के समय अंतराल में ऐसी घटनाओं की घटित होने वाली संख्या निर्धारित करें।

0 से T तक के समय के दौरान घटित घटनाओं की यादृच्छिक संख्या को पॉइसन के नियम के अनुसार पैरामीटर l=aT के साथ वितरित किया जाता है, जहां a>0 घटनाओं की औसत आवृत्ति को दर्शाने वाला एक समस्या पैरामीटर है। बड़े समय अंतराल (उदाहरण के लिए, एक दिन) में खरीदारी की संभावना k होगी

निष्कर्ष

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि पॉइसन वितरण एक काफी सामान्य और महत्वपूर्ण वितरण है जिसका संभाव्यता सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों और गणितीय आंकड़ों दोनों में अनुप्रयोग है।

कई व्यावहारिक समस्याएँ अंततः पॉइसन वितरण में आ जाती हैं। इसकी विशेष संपत्ति, जिसमें गणितीय अपेक्षा और विचरण की समानता शामिल है, अक्सर अभ्यास में इस सवाल को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या एक यादृच्छिक चर पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है या नहीं।

यह तथ्य भी महत्वपूर्ण है कि पॉइसन का नियम प्रयोग की बड़ी संख्या में दोहराव और एक छोटी एकल संभावना के साथ बार-बार स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है।

हालाँकि, बर्नौली वितरण का उपयोग आर्थिक गणना के अभ्यास में और विशेष रूप से स्थिरता विश्लेषण में बहुत कम ही किया जाता है। यह कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों और इस तथ्य के कारण है कि बर्नौली वितरण अलग-अलग मात्राओं के लिए है, और इस तथ्य के कारण कि शास्त्रीय योजना की शर्तें (स्वतंत्रता, परीक्षणों की गणनीय संख्या, किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित करने वाली स्थितियों की अपरिवर्तनीयता) व्यावहारिक स्थितियों में हमेशा नहीं मिलते। बर्नौली योजना के विश्लेषण के क्षेत्र में आगे का शोध 18वीं-19वीं शताब्दी में किया गया। लाप्लास, मोइवर, पॉइसन और अन्य का उद्देश्य अनंत तक बड़ी संख्या में परीक्षणों के मामले में बर्नौली योजना का उपयोग करने की संभावना पैदा करना था।

साहित्य

1. वेंटज़ेल ई.एस. संभाव्यता सिद्धांत. - एम, "हायर स्कूल" 1998

2. गमुरमन वी.ई. संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में समस्याओं को हल करने के लिए एक मार्गदर्शिका। - एम, "हायर स्कूल" 1998

3. महाविद्यालयों के लिए गणित की समस्याओं का संग्रह। एड. एफिमोवा ए.वी. - एम, विज्ञान 1990

कई व्यावहारिक समस्याओं में व्यक्ति को एक विशेष नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर से निपटना पड़ता है जिसे पॉइसन का नियम कहा जाता है।

एक असंतत यादृच्छिक चर पर विचार करें जो केवल पूर्णांक, गैर-नकारात्मक मान ले सकता है:

इसके अलावा, इन मूल्यों का क्रम सैद्धांतिक रूप से असीमित है।

एक यादृच्छिक चर को पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित कहा जाता है यदि इसकी एक निश्चित मान लेने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

जहां a कुछ सकारात्मक मात्रा है जिसे पॉइसन का नियम पैरामीटर कहा जाता है।

पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का रूप है:

आइए, सबसे पहले, यह सुनिश्चित करें कि सूत्र (5.9.1) द्वारा दी गई संभावनाओं का क्रम एक वितरण श्रृंखला हो सकता है, अर्थात। कि सभी संभावनाओं का योग एक के बराबर है। हमारे पास है:

.

चित्र में. 5.9.1 पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के वितरण बहुभुज को दर्शाता है। परिशिष्ट तालिका 8 विभिन्न के लिए मान दिखाती है।

आइए पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताओं - गणितीय अपेक्षा और विचरण - का निर्धारण करें। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार

.

योग का पहला पद (इसके अनुरूप) शून्य के बराबर है, इसलिए, योग इससे शुरू हो सकता है:

आइए निरूपित करें ; तब

. (5.9.2)

इस प्रकार, पैरामीटर एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा से अधिक कुछ नहीं है।

फैलाव निर्धारित करने के लिए, हम पहले मात्रा का दूसरा प्रारंभिक क्षण ज्ञात करते हैं:

पूर्व सिद्ध के अनुसार

अलावा,

इस प्रकार, पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर का विचरण इसकी गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

पॉइसन वितरण की इस संपत्ति का उपयोग अक्सर यह तय करने के लिए अभ्यास में किया जाता है कि क्या यह परिकल्पना कि पॉइसन के नियम के अनुसार एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है, प्रशंसनीय है। ऐसा करने के लिए, एक यादृच्छिक चर की सांख्यिकीय विशेषताएं-गणितीय अपेक्षा और फैलाव-अनुभव से निर्धारित की जाती हैं। यदि उनके मूल्य करीब हैं, तो यह पॉइसन वितरण परिकल्पना के पक्ष में एक तर्क के रूप में काम कर सकता है; इसके विपरीत, इन विशेषताओं में तीव्र अंतर, परिकल्पना के विरुद्ध तर्क देता है।

आइए पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के लिए यह संभावना निर्धारित करें कि यह दिए गए मान से कम नहीं होगा। आइए इस संभावना को निरूपित करें:

जाहिर है, संभाव्यता की गणना योग के रूप में की जा सकती है

हालाँकि, विपरीत घटना की संभावना से इसे निर्धारित करना बहुत आसान है:

(5.9.4)

विशेष रूप से, किसी मात्रा के सकारात्मक मान लेने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

(5.9.5)

हम पहले ही उल्लेख कर चुके हैं कि कई अभ्यास समस्याओं के परिणामस्वरूप पॉइसन वितरण होता है। आइए इस प्रकार की विशिष्ट समस्याओं में से एक पर विचार करें।

मान लीजिए बिंदुओं को x-अक्ष ऑक्स पर यादृच्छिक रूप से वितरित किया गया है (चित्र 5.9.2)। आइए मान लें कि अंकों का यादृच्छिक वितरण निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

1. किसी खंड पर पड़ने वाले अंकों की एक विशेष संख्या की संभावना केवल इस खंड की लंबाई पर निर्भर करती है, लेकिन भुज अक्ष पर इसकी स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। दूसरे शब्दों में, बिंदु समान औसत घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर वितरित किए जाते हैं। आइए हम इस घनत्व को (अर्थात्, प्रति इकाई लंबाई बिंदुओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा) द्वारा निरूपित करें।

2. बिंदु x-अक्ष पर एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से वितरित होते हैं, अर्थात। किसी दिए गए खंड पर एक या दूसरी संख्या में अंक गिरने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि उनमें से कितने किसी अन्य खंड पर आते हैं जो इसके साथ ओवरलैप नहीं होता है।

3. एक छोटे क्षेत्र में दो या दो से अधिक बिंदुओं के गिरने की संभावना एक बिंदु के गिरने की संभावना की तुलना में नगण्य है (इस स्थिति का अर्थ है दो या दो से अधिक बिंदुओं के संयोग की व्यावहारिक असंभवता)।

आइए भुज अक्ष पर एक निश्चित लंबाई खंड का चयन करें और एक अलग यादृच्छिक चर पर विचार करें - इस खंड पर पड़ने वाले बिंदुओं की संख्या। संभावित मान होंगे

चूंकि बिंदु एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से खंड पर आते हैं, इसलिए यह सैद्धांतिक रूप से संभव है कि उनमें से जितने चाहें उतने होंगे, यानी। शृंखला (5.9.6) अनिश्चित काल तक जारी रहती है।

आइए हम साबित करें कि यादृच्छिक चर में पॉइसन वितरण कानून है। ऐसा करने के लिए, हम इस संभावना की गणना करते हैं कि खंड में बिल्कुल बिंदु होंगे।

आइए पहले एक सरल समस्या हल करें। आइए ऑक्स अक्ष पर एक छोटे से क्षेत्र पर विचार करें और इस संभावना की गणना करें कि कम से कम एक बिंदु इस क्षेत्र पर पड़ेगा। हम इस प्रकार तर्क करेंगे। इस खंड पर आने वाले अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा स्पष्ट रूप से बराबर है (चूंकि अंकों का औसत प्रति इकाई लंबाई में पड़ता है)। शर्त 3 ​​के अनुसार, एक छोटे खंड के लिए हम उस पर पड़ने वाले दो या दो से अधिक बिंदुओं की संभावना को नजरअंदाज कर सकते हैं। इसलिए, क्षेत्र पर पड़ने वाले बिंदुओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा उस पर पड़ने वाले एक बिंदु की संभावना के लगभग बराबर होगी (या, जो हमारी स्थितियों में समतुल्य है, कम से कम एक)।

इस प्रकार, उच्च कोटि के अतिसूक्ष्म तक की सटीकता के साथ, हम यह मान सकते हैं कि साइट पर एक (कम से कम एक) बिंदु गिरने की संभावना बराबर है, और कोई भी नहीं गिरने की संभावना बराबर है।

आइए इसका उपयोग किसी खंड पर पड़ने वाले सटीक बिंदुओं की संभावना की गणना करने के लिए करें। खंड को लंबाई के बराबर भागों में विभाजित करें। आइए हम किसी प्राथमिक खंड को "रिक्त" कहने के लिए सहमत हों यदि इसमें एक भी बिंदु नहीं है, और यदि कम से कम एक होता है तो "कब्जा कर लिया गया" है। उपरोक्त के अनुसार, खंड के "व्यस्त" होने की संभावना लगभग बराबर है; इसके "खाली" होने की संभावना बराबर है। चूंकि, शर्त 2 के अनुसार, गैर-अतिव्यापी खंडों में आने वाले बिंदु स्वतंत्र हैं, तो हमारे एन खंडों को स्वतंत्र "प्रयोग" के रूप में माना जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक खंड को संभाव्यता के साथ "कब्जा" किया जा सकता है। आइए इस संभावना का पता लगाएं कि खंडों के बीच बिल्कुल "कब्जा" होगा। प्रयोगों की पुनरावृत्ति पर प्रमेय के अनुसार, यह संभावना बराबर है

या, निरूपित करते हुए,

(5.9.7)

पर्याप्त रूप से बड़े होने पर, यह संभावना लगभग एक खंड पर पड़ने वाले बिल्कुल बिंदुओं की संभावना के बराबर होती है, क्योंकि एक खंड पर दो या दो से अधिक बिंदुओं के गिरने की संभावना नगण्य होती है। सटीक मान ज्ञात करने के लिए, आपको अभिव्यक्ति की सीमा (5.9.7) पर जाना होगा:

(5.9.8)

आइए अभिव्यक्ति को सीमा चिह्न के अंतर्गत रूपांतरित करें:

(5.9.9)

अभिव्यक्ति (5.9.9) में पहला भिन्न और अंतिम भिन्न का हर, स्पष्ट रूप से एकता की ओर प्रवृत्त होते हैं। अभिव्यक्ति निर्भर नहीं करती. अंतिम भिन्न के अंश को इस प्रकार रूपांतरित किया जा सकता है:

(5.9.10)

जब और अभिव्यक्ति (5.9.10) की ओर प्रवृत्त होती है। इस प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि किसी खंड में बिल्कुल बिंदुओं के गिरने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

कहाँ, यानी X का मान पैरामीटर के साथ पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

ध्यान दें कि मान प्रति खंड अंकों की औसत संख्या है।

इस मामले में मान (संभावना है कि X का मान सकारात्मक मान लेगा) इस संभावना को व्यक्त करता है कि खंड पर कम से कम एक बिंदु गिरेगा:

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि पॉइसन वितरण तब होता है जहां कुछ बिंदु (या अन्य तत्व) एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, और किसी क्षेत्र में आने वाले इन बिंदुओं की संख्या की गणना की जाती है। हमारे मामले में, ऐसा "क्षेत्र" भुज अक्ष पर एक खंड था। हालाँकि, हमारे निष्कर्ष को समतल (बिंदुओं के यादृच्छिक समतल क्षेत्र) और अंतरिक्ष में (बिंदुओं के यादृच्छिक स्थानिक क्षेत्र) पर बिंदुओं के वितरण के मामले में आसानी से बढ़ाया जा सकता है। यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि यदि शर्तें पूरी होती हैं:

1) औसत घनत्व वाले क्षेत्र में अंक सांख्यिकीय रूप से समान रूप से वितरित किए जाते हैं;

2) अंक स्वतंत्र रूप से गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों में आते हैं;

3) बिंदु अकेले दिखाई देते हैं, जोड़े, त्रिक आदि में नहीं, फिर किसी भी क्षेत्र (समतल या स्थानिक) में आने वाले बिंदुओं की संख्या पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित की जाती है:

क्षेत्र में आने वाले बिंदुओं की औसत संख्या कहां है.

फ्लैट केस के लिए

क्षेत्र का क्षेत्रफल कहां है; स्थानिक के लिए

क्षेत्र का आयतन कहाँ है.

ध्यान दें कि किसी खंड या क्षेत्र में आने वाले बिंदुओं की संख्या के पॉइसन वितरण के लिए, निरंतर घनत्व () की स्थिति महत्वहीन है। यदि अन्य दो शर्तें पूरी हो जाती हैं, तो पॉइसन का नियम अभी भी कायम है, इसमें केवल पैरामीटर a एक अलग अभिव्यक्ति लेता है: यह केवल क्षेत्र की लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन से घनत्व को गुणा करके नहीं, बल्कि इसे एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है। खंड, क्षेत्र या आयतन पर परिवर्तनशील घनत्व। (इस पर अधिक जानकारी के लिए, n° 19.4 देखें)

किसी रेखा, तल या आयतन पर बिखरे हुए यादृच्छिक बिंदुओं की उपस्थिति एकमात्र शर्त नहीं है जिसके तहत पॉइसन वितरण होता है। उदाहरण के लिए, कोई यह साबित कर सकता है कि पॉइसन का नियम द्विपद वितरण के लिए सीमित है:

, (5.9.12)

यदि एक ही समय में प्रयोगों की संख्या अनंत हो जाती है, और संभावना शून्य हो जाती है, और उनका उत्पाद स्थिर रहता है:

दरअसल, द्विपद वितरण की इस सीमित संपत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

. (5.9.14)

परन्तु शर्त (5.9.13) से यह निष्कर्ष निकलता है

(5.9.15) को (5.9.14) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है

, (5.9.16)

जिसे हमने अभी एक अन्य अवसर पर सिद्ध किया है।

द्विपद नियम की यह सीमित संपत्ति अक्सर व्यवहार में उपयोग की जाती है। आइए मान लें कि बड़ी संख्या में स्वतंत्र प्रयोग किए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में घटना की संभावना बहुत कम है। फिर इस संभावना की गणना करने के लिए कि कोई घटना ठीक एक बार दिखाई देगी, आप अनुमानित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

, (5.9.17)

पॉइसन कानून का पैरामीटर कहां है जो लगभग द्विपद वितरण को प्रतिस्थापित करता है।

पॉइसन के नियम की इस संपत्ति से - बड़ी संख्या में प्रयोगों और किसी घटना की कम संभावना के साथ द्विपद वितरण को व्यक्त करने के लिए - इसका नाम आता है, जिसे अक्सर सांख्यिकी पाठ्यपुस्तकों में उपयोग किया जाता है: दुर्लभ घटना का कानून।

आइए अभ्यास के विभिन्न क्षेत्रों से पॉइसन वितरण से संबंधित कई उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. एक स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंज प्रति घंटे कॉल के औसत घनत्व के साथ कॉल प्राप्त करता है। यह मानते हुए कि किसी भी समयावधि में कॉलों की संख्या पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित की जाती है, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दो मिनट में स्टेशन पर ठीक तीन कॉलें आएंगी।

समाधान। प्रति दो मिनट में कॉल की औसत संख्या है:

वर्ग मीटर किसी लक्ष्य पर प्रहार करने के लिए कम से कम एक टुकड़ा ही काफी है। ब्रेक पॉइंट की दी गई स्थिति पर लक्ष्य को हिट करने की संभावना ज्ञात करें।

समाधान। . सूत्र (5.9.4) का उपयोग करके हम कम से कम एक टुकड़े से टकराने की संभावना पाते हैं:

(घातांकीय फलन के मान की गणना करने के लिए, हम परिशिष्ट की तालिका 2 का उपयोग करते हैं)।

उदाहरण 7. एक घन मीटर हवा में रोगजनक रोगाणुओं का औसत घनत्व 100 है। 2 घन मीटर का एक नमूना लिया जाता है। वायु का डीएम. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इसमें कम से कम एक सूक्ष्म जीव पाया जाएगा।

समाधान। किसी आयतन में सूक्ष्मजीवों की संख्या के पॉइसन वितरण की परिकल्पना को स्वीकार करते हुए, हम पाते हैं:

उदाहरण 8. एक निश्चित लक्ष्य पर 50 स्वतंत्र गोलियाँ चलाई जाती हैं। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.04 है। द्विपद वितरण (सूत्र (5.9.17)) की सीमित संपत्ति का उपयोग करके, लगभग संभावना का पता लगाएं कि लक्ष्य मारा जाएगा: एक भी प्रक्षेप्य नहीं, एक प्रक्षेप्य, दो प्रक्षेप्य।

समाधान। हमारे पास है। परिशिष्ट में तालिका 8 का उपयोग करके हम संभावनाएँ ज्ञात करते हैं।

इस पृष्ठ पर हमने पॉइसन वितरण का उपयोग करने वाली शैक्षिक समस्याओं को हल करने के उदाहरण एकत्र किए हैं।

संक्षिप्त सिद्धांत

आइए घटनाओं की एक निश्चित धारा पर विचार करें जिसमें घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से और कुछ निश्चित औसत तीव्रता $\lambda$ (प्रति इकाई समय में घटनाएँ) के साथ घटित होती हैं। फिर यादृच्छिक चर $X$, एक निश्चित समय में घटित घटनाओं $k$ की संख्या के बराबर होता है पॉइसन वितरण. संभावनाओं की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$ P(X=k)=\frac(\lambda^k)(k\cdot e^{-\lambda}, k=0,1,2,... $$ !}

पॉइसन यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा और भिन्नता घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता के साथ मेल खाती है:

$$M(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda.$$

कतार सिद्धांत में पॉइसन वितरण एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। जैसे-जैसे $\lambda$ बढ़ता है, यह वितरण सामान्य वितरण $N(\lambda, \sqrt(\lambda))$ की ओर प्रवृत्त होता है। बदले में, यह स्वयं बड़े $n$ और अत्यंत छोटे $p$ के लिए द्विपद वितरण का एक "अनुमानित" मॉडल है (पॉइसन सूत्र के बारे में सिद्धांत देखें)।

हल की गई समस्याओं के उदाहरण

कार्य 1.एक मैदानी हवाई क्षेत्र से एक दिन में उड़ान भरने वाले विमानों की औसत संख्या 10 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वे 6 घंटे में उड़ान भरेंगे:
ए) तीन विमान,
बी) कम से कम दो विमान।

कार्य 2.बस स्टेशन पर विभिन्न मार्गों पर बसों के आगमन के समय की घोषणा अटेंडेंट द्वारा की जाती है। विभिन्न उड़ानों के बारे में जानकारी की उपस्थिति यादृच्छिक रूप से और एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से होती है। औसतन हर आधे घंटे में 5 उड़ानें बस स्टेशन पर आती हैं।
ए) आधे घंटे के भीतर बसों के आगमन के बारे में संदेशों की संख्या के लिए एक वितरण श्रृंखला बनाएं।
बी) इस वितरण की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।
सी) संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन लिखें और इसे प्लॉट करें।
डी) इसकी क्या संभावना है कि आधे घंटे के भीतर कम से कम तीन बसें आ जाएंगी?
डी) इसकी क्या संभावना है कि सवा घंटे के भीतर कोई बस नहीं आएगी?

कार्य 3.पीबीएक्स को प्रति घंटे औसतन 480 कॉल प्राप्त होती हैं। संभावना निर्धारित करें कि किसी दिए गए मिनट में उसे प्राप्त होगा: बिल्कुल 3 कॉल; 2 से 5 कॉल तक.

कार्य 4.यादृच्छिक चर $X$ को पैरामीटर $\lambda=0.8$ के साथ पॉइसन कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। ज़रूरी:
ए) संभाव्यता $P(X=m)$ की गणना के लिए एक सूत्र लिखें;
बी) प्रायिकता ज्ञात करें $P(1 \le X \lt 3)$;
सी) गणितीय अपेक्षा $M(2X+5)$ और भिन्नता $D(5-2X)$ ज्ञात करें।

कार्य 5.प्रति टेलीफोन ग्राहक प्रति यूनिट समय में गलत कनेक्शन की औसत संख्या 8 है। क्या संभावना है कि किसी दिए गए ग्राहक के लिए गलत कनेक्शन की संख्या 4 से अधिक होगी?

कार्य 6.औसतन, प्रति मिनट 3 लोग स्टोर में प्रवेश करते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 2 मिनट में 1 से अधिक व्यक्ति स्टोर में प्रवेश नहीं करेगा।

कार्य 7.कार का तकनीकी निरीक्षण और रखरखाव किया जाता है। तकनीकी निरीक्षण के दौरान पाए गए दोषों की संख्या 0.63 के पैरामीटर के साथ पॉइसन के नियम के अनुसार वितरित की जाती है। यदि कोई खराबी नहीं पाई जाती है, तो वाहन के रखरखाव में औसतन 2 घंटे का समय लगता है। यदि एक या दो खराबी पाई जाती है, तो उनमें से प्रत्येक को खत्म करने में औसतन आधे घंटे का समय लगता है। यदि दो से अधिक दोष पाए जाते हैं, तो कार को निवारक मरम्मत के लिए भेजा जाता है, जहां यह औसतन 4 घंटे तक रहती है।
एक कार की सर्विसिंग और मरम्मत के लिए औसत समय $T$ और इसकी गणितीय अपेक्षा $M(T)$ के वितरण का नियम निर्धारित करें।