बी14. एक सतत यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के बीच, सबसे पहले, उन पर ध्यान देना आवश्यक है जो संख्यात्मक अक्ष पर यादृच्छिक चर की स्थिति को दर्शाते हैं, अर्थात। कुछ औसत, अनुमानित मान इंगित करें जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान समूहीकृत होते हैं।

एक यादृच्छिक चर का औसत मान एक निश्चित संख्या है जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे लगभग अनुमानित गणनाओं में प्रतिस्थापित करता है। जब हम कहते हैं: "औसत लैंप परिचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है," हम एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत दे रहे हैं जो इसके स्थान का वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर, अर्थात "स्थिति विशेषताएँ"।

संभाव्यता सिद्धांत में किसी स्थिति की विशेषताओं में से, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मूल्य भी कहा जाता है।

आइए संभावनाओं के साथ संभावित मान वाले एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें। हमें एक्स-अक्ष पर एक यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्या के साथ चिह्नित करने की आवश्यकता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मानों की अलग-अलग संभावनाएं हैं। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है, और औसत के दौरान प्रत्येक मूल्य को इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के औसत की गणना करेंगे, जिसे हम इस प्रकार निरूपित करेंगे:

या, यह देखते हुए,

. (5.6.1)

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा - पर विचार किया।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्रीकरण में गणितीय अपेक्षा की परिभाषा, कड़ाई से बोलते हुए, केवल असतत यादृच्छिक चर के लिए मान्य है; नीचे हम निरंतर मात्राओं के मामले में इस अवधारणा का सामान्यीकरण करेंगे।

गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए हम असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या की ओर मुड़ें। मान लीजिए कि भुज अक्ष पर भुजाओं वाले बिंदु हैं, जिनमें क्रमशः द्रव्यमान केंद्रित है, और। फिर, जाहिर है, सूत्र (5.6.1) द्वारा परिभाषित गणितीय अपेक्षा भौतिक बिंदुओं की दी गई प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के भुज से अधिक कुछ नहीं है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बड़ी संख्या में प्रयोगों में यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीब निर्भरता से जुड़ी होती है। यह निर्भरता आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता के समान प्रकार की है, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य इसकी गणितीय अपेक्षा के करीब (संभावना में परिवर्तित) होता है। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, कोई परिणाम के रूप में अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध की उपस्थिति का अनुमान लगा सकता है।

वास्तव में, एक वितरण श्रृंखला द्वारा विशेषता एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

कहाँ .

स्वतंत्र प्रयोग किए जाएं, जिनमें से प्रत्येक में मात्रा एक निश्चित मान लेती है। आइए मान लें कि मान एक बार प्रकट हुआ, मान एक बार प्रकट हुआ, और मान एक बार प्रकट हुआ। ज़ाहिर तौर से,

आइए हम मात्रा के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जिसे गणितीय अपेक्षा के विपरीत, हम निरूपित करते हैं:

लेकिन किसी घटना की आवृत्ति (या सांख्यिकीय संभावना) से अधिक कुछ नहीं है; इस आवृत्ति को निर्दिष्ट किया जा सकता है। तब

,

वे। यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों और इन मानों की आवृत्तियों के उत्पादों के योग के बराबर है।

जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, आवृत्तियाँ संगत संभावनाओं के करीब (संभावना में परिवर्तित) हो जाएंगी। नतीजतन, प्रयोगों की संख्या बढ़ने पर एक यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब (संभावना में परिवर्तित) हो जाएगा।

ऊपर दिए गए अंकगणित माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है। इस नियम का कठोर प्रमाण हम अध्याय 13 में देंगे।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के नियम के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मात्रा के अवलोकनों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। कम संख्या में प्रयोगों के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग गैर-यादृच्छिक" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों पर औसत की स्थिरता को प्रयोगात्मक रूप से आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब किसी पिंड को प्रयोगशाला में सटीक तराजू पर तौला जाता है, तो तौलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मूल्य प्राप्त होता है; अवलोकन त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम से कम प्रतिक्रिया करता है और, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, व्यावहारिक रूप से बदलना बंद हो जाता है।

गणितीय अपेक्षा के लिए सूत्र (5.6.1) एक असतत यादृच्छिक चर के मामले से मेल खाता है। किसी सतत मात्रा के लिए, गणितीय अपेक्षा स्वाभाविक रूप से योग के रूप में नहीं, बल्कि अभिन्न के रूप में व्यक्त की जाती है:

, (5.6.2)

मात्रा का वितरण घनत्व कहां है.

सूत्र (5.6.2) सूत्र (5.6.1) से प्राप्त होता है यदि इसमें व्यक्तिगत मानों को लगातार बदलते पैरामीटर x, संबंधित संभावनाओं - संभाव्यता तत्व द्वारा, और अंतिम योग - अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। भविष्य में, हम अक्सर असंतत मात्राओं के लिए प्राप्त सूत्रों को निरंतर मात्राओं के मामले में विस्तारित करने की इस पद्धति का उपयोग करेंगे।

यांत्रिक व्याख्या में, एक निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक ही अर्थ को बरकरार रखती है - उस स्थिति में गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का भुज जब द्रव्यमान को घनत्व के साथ लगातार भुज के साथ वितरित किया जाता है। यह व्याख्या अक्सर सरल यांत्रिक विचारों से, अभिन्न (5.6.2) की गणना किए बिना गणितीय अपेक्षा को खोजने की अनुमति देती है।

ऊपर हमने मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए एक संकेतन प्रस्तुत किया है। कई मामलों में, जब किसी मात्रा को सूत्रों में एक विशिष्ट संख्या के रूप में शामिल किया जाता है, तो इसे एक अक्षर से निरूपित करना अधिक सुविधाजनक होता है। इन मामलों में, हम किसी मान की गणितीय अपेक्षा को इस प्रकार निरूपित करेंगे:

सूत्रों की एक विशेष रिकॉर्डिंग की सुविधा के आधार पर, भविष्य में गणितीय अपेक्षा के लिए अंकन और समानांतर में उपयोग किया जाएगा। आइए, यदि आवश्यक हो, तो "गणितीय अपेक्षा" शब्दों को एम.ओ. अक्षरों से संक्षिप्त करने पर भी सहमत हों।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चर के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन होता है।

उदाहरण के लिए, वितरण श्रृंखला के साथ एक असंतत यादृच्छिक चर पर विचार करें:

इसे सत्यापित करना आसान है, अर्थात। वितरण श्रृंखला समझ में आती है; हालाँकि, इस मामले में योग भिन्न होता है और इसलिए, मूल्य की कोई गणितीय अपेक्षा नहीं है। हालाँकि, ऐसे मामले अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, जिन यादृच्छिक चरों से हम निपटते हैं उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, गणितीय अपेक्षा होती है।

ऊपर हमने एक असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए क्रमशः गणितीय अपेक्षा व्यक्त करते हुए सूत्र (5.6.1) और (5.6.2) दिए हैं।

यदि कोई मात्रा मिश्रित प्रकार की मात्राओं से संबंधित है, तो इसकी गणितीय अपेक्षा इस प्रकार के सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

, (5.6.3)

जहां योग उन सभी बिंदुओं तक विस्तारित होता है जहां वितरण फ़ंक्शन असंतत होता है, और अभिन्न उन सभी क्षेत्रों तक विस्तारित होता है जहां वितरण फ़ंक्शन निरंतर होता है।

किसी स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं - गणितीय अपेक्षा - के अलावा, व्यवहार में, स्थिति की अन्य विशेषताओं का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका।

किसी यादृच्छिक चर का बहुलक उसका सबसे संभावित मान होता है। शब्द "अतिसंभावित मूल्य" सख्ती से कहें तो केवल असंतुलित मात्राओं पर लागू होता है; किसी सतत मात्रा के लिए, मोड वह मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है। आइए हम बहुलक को अक्षर से निरूपित करने के लिए सहमत हों। चित्र में. 5.6.1 और 5.6.2 क्रमशः असंतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "मल्टीमॉडल" कहा जाता है (चित्र 5.6.3 और 5.6.4)।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें अधिकतम के बजाय बीच में न्यूनतम होता है (चित्र 5.6.5 और 5.6.6)। ऐसे वितरणों को "एंटी-मॉडल" कहा जाता है। एंटीमॉडल वितरण का एक उदाहरण उदाहरण 5, n° 5.1 में प्राप्त वितरण है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का मोड और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल है (यानी एक मोड है) और गणितीय अपेक्षा है, तो यह वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

एक अन्य स्थिति विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

किसी यादृच्छिक चर का माध्यिका उसका मान होता है

वे। यह भी समान रूप से संभव है कि यादृच्छिक चर इससे कम या अधिक होगा। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र द्वारा सीमित क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 5.6.7)।

पाठ का उद्देश्य: छात्रों में संख्याओं के समूह के माध्यिका का विचार और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता बनाना, संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य की अवधारणा को समेकित करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।

उपकरण: ब्लैकबोर्ड, पाठ्यपुस्तक संस्करण। यू.एन. ट्यूरिना "संभावना सिद्धांत और सांख्यिकी", प्रोजेक्टर के साथ कंप्यूटर।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.

पाठ का विषय बताएं और उसके लक्ष्य तैयार करें।

2. पिछले ज्ञान को अद्यतन करना।

छात्रों के लिए प्रश्न:

• संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य क्या है?
• संख्याओं के समूह के भीतर अंकगणितीय माध्य कहाँ स्थित होता है?
• संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य की विशेषता क्या है?
• संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य अक्सर कहाँ उपयोग किया जाता है?

मौखिक कार्य:

संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

प्रोजेक्टर का उपयोग करके होमवर्क की जाँच करना ( परिशिष्ट 1):

पाठ्यपुस्तक: संख्या 12 (बी, डी), संख्या 18 (सी, डी)

3. नई सामग्री का अध्ययन.

पिछले पाठ में, हम संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य जैसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए। आज हम एक अन्य सांख्यिकीय विशेषता - माध्यिका - पर एक पाठ समर्पित करेंगे।

न केवल अंकगणित माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी समुच्चय की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।

संख्याओं के समुच्चय का माध्यिका वह संख्या है जो समुच्चय को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। "मध्य" के बजाय आप "मध्य" कह सकते हैं।

सबसे पहले, आइए उदाहरण देखें कि माध्यिका कैसे ज्ञात करें, और फिर एक सख्त परिभाषा दें।

प्रोजेक्टर का उपयोग करके निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें ( परिशिष्ट 2)

स्कूल वर्ष के अंत में, 7वीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ मानक उत्तीर्ण किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:

लोगों के दूर तक दौड़ने के बाद, पेट्या शिक्षक के पास पहुंची और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।

"सर्वाधिक औसत परिणाम: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया।

"क्यों?" - पेट्या हैरान थी। - आख़िरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय औसत लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड से भी अधिक बेहतर तरीके से दौड़ा। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरे औसत के बहुत करीब है।

“आपका परिणाम औसत है, क्योंकि पाँच लोग आपसे बेहतर दौड़े, और पाँच लोग आपसे ख़राब दौड़े। यानी, आप ठीक बीच में हैं,'' शिक्षक ने कहा। [2]

संख्याओं के समूह की माध्यिका ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिदम लिखिए:

1. एक संख्या सेट व्यवस्थित करें (एक रैंक श्रृंखला बनाएं)।
2. साथ ही, दिए गए संख्याओं के समूह में से "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक काट दें जब तक कि एक या दो संख्याएं शेष न रह जाएं।
3. यदि एक संख्या बची है तो वह माध्यिका है।
4. यदि दो संख्याएँ बची हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।

छात्रों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक में माध्यिका की दो परिभाषाएँ पढ़ें (पृष्ठ 50), फिर पाठ्यपुस्तक के उदाहरण 4 और 5 देखें (पृष्ठ 50-52)

टिप्पणी:

छात्रों का ध्यान एक महत्वपूर्ण तथ्य की ओर आकर्षित करें: माध्यिका संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के प्रति व्यावहारिक रूप से असंवेदनशील है। सांख्यिकी में इस गुण को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है; यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के खिलाफ बीमा कराती है।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

पैराग्राफ 11 "माध्यिका" के लिए पाठ्यपुस्तक से संख्याओं को हल करना।

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

ए) संख्याओं का सेट: 3,4,11,17,21

बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28

ग) संख्याओं का सेट: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

निष्कर्ष: विषम संख्या में सदस्यों वाले संख्याओं के समूह का माध्य मध्य की संख्या के बराबर होता है।

ए) संख्याओं का सेट: 2, 4, 8 , 9.

मैं = (4+8):2=12:2=6

बी) संख्याओं का सेट: 1,3, 5,7 ,8,9.

मैं = (5+7):2=12:2=6

सम संख्या वाले पदों वाले संख्याओं के समूह का माध्य बीच की दो संख्याओं के योग के आधे के बराबर होता है।

तिमाही के दौरान छात्र को बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त हुए:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

इस समुच्चय का माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। [3]

आइए संख्याओं के सेट को क्रमित करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

केवल 10 संख्याएँ हैं, माध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।

मैं = (5+5):2 = 5

छात्रों के लिए प्रश्न: यदि आप शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को तिमाही के लिए कौन सा ग्रेड देते? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनिधियों को प्रत्येक को 150,000 रूबल मिलते हैं, चालीस कर्मचारियों को - 50,000 रूबल प्रत्येक को। और सफाई करने वाली महिला का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। इनमें से कौन सी विशेषता राष्ट्रपति के लिए विज्ञापन उद्देश्यों के लिए उपयोग करना अधिक लाभदायक है?

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (रगड़)

कार्य 3. (छात्रों को इसे स्वयं हल करने के लिए आमंत्रित करें, प्रोजेक्टर का उपयोग करके समस्या को प्रोजेक्ट करें)

तालिका रूस में सबसे बड़ी झीलों और जलाशयों के घन मीटर में पानी की अनुमानित मात्रा दर्शाती है। किमी. (परिशिष्ट 3) [ 4 ]

ए) इन जलाशयों में पानी की औसत मात्रा (अंकगणितीय माध्य) ज्ञात करें;

बी) जलाशय के औसत आकार (डेटा का माध्य) में पानी की मात्रा ज्ञात करें;

प्र) आपकी राय में, इनमें से कौन सी विशेषता - अंकगणितीय माध्य या माध्यिका - रूस में एक विशिष्ट बड़े जलाशय की मात्रा का बेहतर वर्णन करती है? अपना जवाब समझाएं।

ए) 2459 घन मीटर किमी

बी) 60 घन. किमी

ग) माध्यिका, क्योंकि डेटा में वे मान हैं जो अन्य सभी से बहुत भिन्न हैं।

कार्य 4. मौखिक रूप से।

ए) किसी समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि उसका नौवाँ पद उसकी माध्यिका है?

बी) किसी समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसका माध्यिका 7वें और 8वें पदों का अंकगणितीय माध्य है?

सी) सात संख्याओं के एक सेट में, सबसे बड़ी संख्या में 14 की वृद्धि होती है। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका बदल जाएगी?

डी) सेट में प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि की जाती है। अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का क्या होता है?

दुकान में मिठाइयाँ वजन के हिसाब से बेची जाती हैं। यह जानने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी कैंडी होती हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन जानने का फैसला किया। उसने कई मिठाइयाँ तोलीं और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किये:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक-दूसरे से बहुत भिन्न नहीं हैं।

इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, किसी एक विशेषता का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, सड़क दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय औसत के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।

1. गृहकार्य: अनुच्छेद 11, संख्या 3,4,9,11।
2. पाठ सारांश. प्रतिबिंब।

साहित्य:

1. यु.एन. ट्यूरिन एट अल। "संभावना सिद्धांत और सांख्यिकी", पब्लिशिंग हाउस एमटीएसएनएमओ, ओजेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तकें", मॉस्को 2008।
2. ई.ए. बनीमोविच, वी.ए. ब्यूलचेव "सांख्यिकी और संभाव्यता के बुनियादी सिद्धांत", ड्रोफा, मॉस्को 2004।
3. समाचार पत्र "गणित" संख्या 23, 2007।
4. ग्रेड 7, 2007/2008 स्कूल वर्ष के लिए संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी पर परीक्षण का डेमो संस्करण। वर्ष।

पहनावा()एक सतत यादृच्छिक चर का वह मान है जो इसकी संभाव्यता घनत्व के अधिकतम मान से मेल खाता है।

माध्यिका()एक सतत यादृच्छिक चर उसका मान है जो समानता द्वारा निर्धारित होता है:

बी15. द्विपद वितरण कानून और इसकी संख्यात्मक विशेषताएं. द्विपद वितरणबार-बार किए गए स्वतंत्र प्रयोगों का वर्णन करता है। यह कानून स्वतंत्र परीक्षणों में एक बार किसी घटना के घटित होने को निर्धारित करता है यदि इनमें से प्रत्येक प्रयोग में घटना के घटित होने की संभावना परीक्षण से परीक्षण तक नहीं बदलती है। संभावना:

,

कहां: एक प्रयोग में किसी घटना के घटित होने की ज्ञात संभावना है, जो एक प्रयोग से दूसरे प्रयोग में नहीं बदलती है;

- प्रयोग में किसी घटना के घटित न होने की संभावना;

- प्रयोगों में घटना के घटित होने की निर्दिष्ट संख्या;

– द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या।

बी15. समान वितरण कानून, वितरण समारोह और घनत्व के ग्राफ, संख्यात्मक विशेषताएं. एक सतत यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है समान रूप से वितरित, यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

अपेक्षित मूल्यएक समान वितरण वाला यादृच्छिक चर:

फैलावइसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

मानक विचलनऐसा दिखाई देगा:

.

बी17. घातीय वितरण कानून, वितरण समारोह और घनत्व के ग्राफ, संख्यात्मक विशेषताएं. घातांकी रूप से वितरणएक सतत यादृच्छिक चर एक वितरण है जिसे संभाव्यता घनत्व के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है:

,

एक स्थिर सकारात्मक मान कहां है.

इस मामले में संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा सामान्य सूत्र के आधार पर प्राप्त की जाती है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि कब:

.

इस अभिव्यक्ति को भागों द्वारा एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं:।

घातीय वितरण के लिए विचरण अभिव्यक्ति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

.

संभाव्यता घनत्व के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं:

भागों द्वारा अभिन्न की गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: .

बी16. सामान्य वितरण नियम, वितरण फलन और घनत्व के ग्राफ़। मानक सामान्य वितरण. सामान्य वितरण फलन परिलक्षित होता है। सामान्ययादृच्छिक चर के ऐसे वितरण को कहा जाता है, जिसकी संभाव्यता घनत्व गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

मानक विचलन कहाँ है;

- एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

सामान्य वितरण के घनत्व ग्राफ को सामान्य गाऊसी वक्र कहा जाता है।

बी18. मार्कोव की असमानता. सामान्यीकृत चेबीशेव असमानता. यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो यह किसी के लिए भी सच है मार्कोव असमानता .

यह इस प्रकार है सामान्यीकृत चेबीशेव असमानता: मान लीजिए कि फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है और गैर-नकारात्मक है। यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो असमानता किसी के लिए भी मान्य है .

बी19. चेबीशेव रूप में बड़ी संख्या का नियम। इसका अर्थ। चेबीशेव रूप में बड़ी संख्या के नियम का परिणाम। बर्नौली रूप में बड़ी संख्या का नियम. अंतर्गत बड़ी संख्या का नियमसंभाव्यता सिद्धांत में, कई प्रमेयों को समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए बड़ी संख्या में प्रयोगात्मक डेटा के औसत मूल्य के स्पर्शोन्मुख सन्निकटन के तथ्य को स्थापित करता है। इन प्रमेयों के प्रमाण चेबीशेव की असमानता पर आधारित हैं। यह असमानता संभावित मूल्यों वाले असतत यादृच्छिक चर पर विचार करके प्राप्त की जा सकती है।

प्रमेय. एक सीमित क्रम होने दीजिए समान गणितीय अपेक्षा और भिन्नता वाले स्वतंत्र यादृच्छिक चर, समान स्थिरांक द्वारा सीमित:

फिर, संख्या जो भी हो, घटना की प्रायिकता

पर एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

चेबीशेव का प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के पूरे सेट की औसत विशेषताओं और गणितीय आंकड़ों पर विचार करता है, जो इस चर के मूल्यों के सीमित सेट पर काम करता है। यह दर्शाता है कि एक निश्चित यादृच्छिक चर के पर्याप्त बड़ी संख्या में माप के साथ, इन मापों के मूल्यों का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।

में 20. गणितीय आँकड़ों का विषय और कार्य। सामान्य और नमूना आबादी. चयन विधि. गणित के आँकड़े- संभाव्यता के सिद्धांत के आधार पर वैज्ञानिक और व्यावहारिक निष्कर्षों के लिए सांख्यिकीय डेटा को व्यवस्थित करने और उपयोग करने के लिए गणितीय तरीकों का विज्ञान।

गणितीय आँकड़ों के अध्ययन की वस्तुएँ यादृच्छिक घटनाएँ, मात्राएँ और कार्य हैं जो विचाराधीन यादृच्छिक घटना की विशेषता बताते हैं। निम्नलिखित घटनाएँ यादृच्छिक हैं: एक मनी लॉटरी टिकट जीतना, स्थापित आवश्यकताओं के साथ नियंत्रित उत्पाद का अनुपालन, संचालन के पहले महीने के दौरान वाहन का परेशानी मुक्त संचालन, ठेकेदार द्वारा दैनिक कार्य अनुसूची की पूर्ति।

नमूना जनसंख्यायादृच्छिक रूप से चयनित वस्तुओं का संग्रह कहा जाता है।

सामान्य जनसंख्याउन वस्तुओं के समूह का नाम बताइए जिनसे नमूना बनाया गया है।

21 बजे. चयन के तरीके.

चयन विधियाँ: 1 चयन जिसमें सामान्य जनसंख्या को भागों में विभाजित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इनमें ए) दोहराव के बिना सरल यादृच्छिक नमूनाकरण और बी) सरल यादृच्छिक दोहराया गया नमूना शामिल है। 2) चयन, जिसमें जनसंख्या को भागों में विभाजित किया जाता है। इनमें ए) विशिष्ट चयन, बी) यांत्रिक चयन और सी) क्रमिक चयन शामिल हैं।

सरल यादृच्छिकचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं को जनसंख्या से एक-एक करके निकाला जाता है।

ठेठचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं का चयन संपूर्ण जनसंख्या से नहीं, बल्कि उसके प्रत्येक "विशिष्ट" भाग से किया जाता है।

यांत्रिकचयन कहा जाता है, जिसमें जनसंख्या को यांत्रिक रूप से उतने समूहों में विभाजित किया जाता है जितनी नमूने में शामिल की जाने वाली वस्तुएँ होती हैं, और प्रत्येक समूह से एक वस्तु का चयन किया जाता है।

धारावाहिकचयन कहा जाता है जिसमें वस्तुओं को सामान्य जनसंख्या से एक बार में नहीं बल्कि "श्रृंखला" में चुना जाता है जो निरंतर सर्वेक्षण के अधीन होते हैं।

बी22. सांख्यिकीय और विविधता श्रृंखला. अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन और उसके गुण. असतत और सतत यादृच्छिक चर के लिए भिन्नता श्रृंखला। मान लीजिए कि सामान्य आबादी से एक नमूना निकाला गया है, और अध्ययन किए जा रहे पैरामीटर का मान एक बार देखा गया है, - एक बार, आदि। इसके अलावा, नमूना आकार. देखे गए मान कहलाते हैं विकल्प, और आरोही क्रम में लिखे गए विकल्पों का क्रम है विविधता श्रृंखला. प्रेक्षणों की संख्या कहलाती है आवृत्तियों, और नमूना आकार से उनका संबंध - सापेक्ष आवृत्तियाँ.विविधता शृंखलाइसे एक तालिका द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे:

एक्स			…..
एन			….

सांख्यिकीय नमूना वितरणविकल्पों और उनकी संगत सापेक्ष आवृत्तियों की एक सूची को नाम दें। सांख्यिकीय वितरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

एक्स			…..
डब्ल्यू			….

सापेक्ष आवृत्तियाँ कहाँ हैं.

अनुभवजन्य वितरण समारोहएक फ़ंक्शन को कॉल करें जो प्रत्येक मान x के लिए घटना X की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, संभाव्यता सिद्धांत कई संख्यात्मक विशेषताओं का भी उपयोग करता है जो वितरण की कुछ विशेषताओं को दर्शाते हैं।

परिभाषा। यादृच्छिक चर X का मोड Mo(X) इसका सबसे संभावित मान है(जिसके लिए संभावना आर जीया संभाव्यता घनत्व

यदि संभाव्यता या संभाव्यता घनत्व एक नहीं, बल्कि कई बिंदुओं पर अधिकतम तक पहुँच जाता है, तो वितरण कहा जाता है बहुविध(चित्र 3.13)।

पहनावा मॉस),किस संभावना पर आर (या संभाव्यता घनत्व (पी(एक्स) वैश्विक अधिकतम तक पहुंचता है) कहा जाता है सबसे अधिक संभावना अर्थयादृच्छिक चर (चित्र 3.13 में यह है मो(एक्स) 2).

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X का माध्य Ме(Х) इसका मान है, जिसके लिए

वे। संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्समाध्यिका से कम मान लेगा छाल)या उससे अधिक, वही है और 1/2 के बराबर है। ज्यामितीय रूप से लंबवत सीधी रेखा एक्स = छाल), भुज के बराबर एक बिंदु से गुजरना छाल), वितरण वक्र के आकृति आयोडीन के क्षेत्र को दो बराबर भागों में विभाजित करता है (चित्र 3.14)। जाहिर है, बिंदु पर एक्स = छाल)वितरण फलन 1/2 के बराबर है, अर्थात। पी(मी(एक्स))= 1/2 (चित्र 3.15)।

आइए हम एक यादृच्छिक चर के माध्यिका के एक महत्वपूर्ण गुण पर ध्यान दें: स्थिर मान C से यादृच्छिक चर X के विचलन के निरपेक्ष मान की गणितीय अपेक्षा न्यूनतम है, जब यह स्थिरांक C माध्यिका Me(X) = m के बराबर हो, अर्थात।

(संपत्ति किसी यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से विचलन के न्यूनतम वर्ग की संपत्ति (3.10") के समान है)।

हे उदाहरण 3.15. किसी यादृच्छिक चर का बहुलक, माध्यिका और गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स एस xx के लिए संभाव्यता घनत्व f(x) = 3x 2।

समाधान।वितरण वक्र चित्र में दिखाया गया है। 3.16. जाहिर है, संभाव्यता घनत्व φ(x) अधिकतम है एक्स= मो(एक्स) = 1.

मंझला छाल) = बी हम स्थिति (3.28) से पाते हैं:

कहाँ

आइए सूत्र (3.25) का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

अंकों की पारस्परिक व्यवस्था एम(एक्स)>मी(एक्स) और काई) भुज को आरोही क्रम में चित्र में दिखाया गया है। 3.16. ?

ऊपर उल्लिखित संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, मात्राओं और प्रतिशत बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा। मात्रात्मक स्तर y-मात्रा )

यादृच्छिक चर का यह मान x q कहलाता है , जिस पर इसका वितरण फलन बराबर मान लेता है मरना।

कुछ मात्राओं को एक विशेष नाम प्राप्त हुआ है। जाहिर है, ऊपर पेश किया गया MEDIAN यादृच्छिक चर 0.5 स्तर का एक क्वांटाइल है, अर्थात। मी(एक्स) = एक्स 05. मात्राओं dg 0 2 5 और x 075 को क्रमशः नामित किया गया था निचला और ऊपरी चतुर्थकK

क्वांटाइल की अवधारणा से निकटता से संबंधित अवधारणा है फ़ीसदी।अंतर्गत युओउहो-नोय बिंदु मात्रा निहित है एक्स एक्स (( , वे। एक यादृच्छिक चर का ऐसा मान एक्स, जिस पर

0 उदाहरण 3.16. उदाहरण 3.15 में डेटा के आधार पर, मात्रा ज्ञात कीजिए x 03 और यादृच्छिक चर का 30% बिंदु एक्स।

समाधान। सूत्र (3.23) के अनुसार, वितरण फलन

हम समीकरण (3.29) से परिमाण 0 s ज्ञात करते हैं, अर्थात्। एक्स$ 3 =0.3, जहां से L "oz -0.67। आइए यादृच्छिक चर का 30% बिंदु ज्ञात करें एक्स, या क्वांटाइल x 0 7, समीकरण से। x$ 7 = 0.7, जहाँ से x 0 7 «0.89. ?

यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में, क्षण - प्रारंभिक और केंद्रीय - विशेष महत्व के हैं।

परिभाषा। आरंभिक क्षणएक यादृच्छिक चर X का kth क्रम इस मात्रा की kth शक्ति की गणितीय अपेक्षा है :

परिभाषा। केंद्रीय क्षणएक यादृच्छिक चर X का kth क्रम एक यादृच्छिक चर:

असतत यादृच्छिक चर (मान लेते हुए) के लिए क्षणों की गणना के लिए सूत्र एक्स 1 संभावनाओं के साथ पी,) और निरंतर (संभावना घनत्व सीपी (एक्स) के साथ) तालिका में दिए गए हैं। 3.1.

तालिका 3.1

यह नोटिस करना आसान है कि कब क = 1 यादृच्छिक चर का पहला प्रारंभिक क्षण एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा है, अर्थात एच एक्स = एम[एक्स) = ए,पर को= 2 सेकंड केंद्रीय क्षण - फैलाव, यानी पी 2= टी)(एक्स).

केंद्रीय क्षण p A को प्रारंभिक क्षणों के माध्यम से लेकिन सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

वगैरह।

उदाहरण के लिए, सी 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (व्युत्पत्ति के दौरान हमने इस बात को ध्यान में रखा ए = एम(एक्स)= V, एक गैर-यादृच्छिक मान है)। ?

यह ऊपर उल्लेख किया गया था कि गणितीय अपेक्षा एम(एक्स),या पहला प्रारंभिक क्षण, औसत मूल्य या स्थिति को दर्शाता है, एक यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र एक्ससंख्या अक्ष पर; फैलाव ओह),या दूसरा केंद्रीय क्षण पी 2, - एस टी एस - वितरण फैलाव स्टंप एक्सअपेक्षाकृत एम(एक्स).वितरण के अधिक विस्तृत विवरण के लिए, उच्च ऑर्डर के क्षणों का उपयोग किया जाता है।

तीसरा केंद्रीय बिंदुपी 3 वितरण की विषमता (तिरछापन) को चिह्नित करने का कार्य करता है। इसमें एक यादृच्छिक घन का आयाम है। एक आयामहीन मात्रा प्राप्त करने के लिए, इसे o 3 से विभाजित किया जाता है, जहां a यादृच्छिक चर का मानक विचलन है एक्स।परिणामी मूल्य एबुलाया एक यादृच्छिक चर का विषमता गुणांक।

यदि वितरण गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष सममित है, तो विषमता गुणांक A = 0.

चित्र में. चित्र 3.17 दो वितरण वक्र दिखाता है: I और II। वक्र I में सकारात्मक (दाहिनी ओर) विषमता (L > 0) है, और वक्र II में ऋणात्मक (बाएं ओर) विषमता (L) है

चौथा केंद्रीय बिंदु पी 4 वितरण की स्थिरता (तीक्ष्णता या सपाटता) को चिह्नित करने का कार्य करता है।

अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, मानों की एक सीमित संख्या लेते हुए एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैं, राशि कहलाती है:

गणितीय अपेक्षानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):

(6बी)

अनुचित अभिन्न (6 बी) को बिल्कुल अभिसरण माना जाता है (अन्यथा वे कहते हैं कि गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) मौजूद नहीं होना)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है औसत मूल्यअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. इसका आयाम यादृच्छिक चर के आयाम से मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

फैलाव. झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सनंबर कहा जाता है:

भिन्नता है बिखरने की विशेषतायादृच्छिक चर मान एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स). विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) और एक सतत यादृच्छिक चर के लिए (6) की परिभाषाओं के आधार पर, हम विचरण के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

(9)

यहाँ एम = एम(एक्स).

फैलाव गुण:

मानक विचलन:

(11)

चूँकि मानक विचलन का आयाम यादृच्छिक चर के समान होता है, इसलिए इसे अक्सर विचरण की तुलना में फैलाव के माप के रूप में उपयोग किया जाता है।

वितरण के क्षण. गणितीय अपेक्षा और फैलाव की अवधारणाएँ यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं - वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण के क्षणों को एक यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के बारे में क्षण एक्स= 0 कहलाते हैं प्रारंभिक क्षणऔर नामित हैं:

(12)

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र है:

(13)

वितरण के केंद्र के बारे में क्षण एक्स= एमकहा जाता है केंद्रीय बिंदुऔर नामित हैं:

(14)

(7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रथम क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:

केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, जब से एक स्थिर मूल्य द्वारा स्थानांतरित किया जाता है साथइसका वितरण केंद्र उसी मान से बदलता है साथ, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – साथ) – (एम – साथ).
अब यह स्पष्ट है कि फैलाव- यह दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:

विषमता। तीसरा क्रम केंद्रीय क्षण:

(17)

मूल्यांकन के लिए कार्य करता है वितरण विषमताएँ. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (विषम क्रम के सभी केंद्रीय क्षणों की तरह)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता है। विषमता के परिमाण का आकलन आयामहीन का उपयोग करके किया जाता है विषमता गुणांक:

(18)

असममिति गुणांक का चिह्न (18) दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता को दर्शाता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वितरण विषमता के प्रकार.

अधिकता। चौथा क्रम केंद्रीय क्षण:

(19)

तथाकथित का मूल्यांकन करने का कार्य करता है अधिकता, जो सामान्य वितरण वक्र के संबंध में वितरण के केंद्र के निकट वितरण वक्र की स्थिरता (शिखरता) की डिग्री निर्धारित करता है। चूँकि सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में लिया गया मान है:

(20)

चित्र में. चित्र 3 विभिन्न कर्टोसिस मानों के साथ वितरण वक्रों के उदाहरण दिखाता है। सामान्य वितरण के लिए इ= 0. जो वक्र सामान्य से अधिक नुकीले होते हैं उनमें सकारात्मक कर्टोसिस होता है, जो अधिक सपाट-शीर्ष वाले होते हैं उनमें नकारात्मक कर्टोसिस होता है।

चावल। 3. अलग-अलग डिग्री की स्थिरता (कर्टोसिस) के साथ वितरण वक्र।

उच्च क्रम के क्षणों का उपयोग आमतौर पर गणितीय सांख्यिकी के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में नहीं किया जाता है।

पहनावा अलगएक यादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मान है। पहनावा निरंतरएक यादृच्छिक चर उसका मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2)। यदि वितरण वक्र में एक अधिकतम है, तो वितरण कहा जाता है unimodal. यदि किसी वितरण वक्र में एक से अधिक अधिकतम हों तो वितरण कहलाता है बहुविध. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्रों में अधिकतम के बजाय न्यूनतम होता है। ऐसे वितरण कहलाते हैं मॉडल विरोधी. सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का मोड और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, सममित वितरण होना और बशर्ते कि गणितीय अपेक्षा हो, बाद वाला वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

मंझला अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स- यही इसका अर्थ है हुंह, जिसके लिए समानता रखती है: यानी यह समान रूप से संभावित है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा हुंह. ज्यामितीय MEDIANउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, मोड और गणितीय अपेक्षा समान हैं।