अंतरिक्ष सूत्र में सदिशों के बीच का कोण. वैक्टर का डॉट उत्पाद

एक सदिश की लंबाई, सदिशों के बीच का कोण - एक सदिश को एक निश्चित दिशा के खंड के रूप में परिभाषित करते समय ये अवधारणाएँ स्वाभाविक रूप से लागू और सहज होती हैं। नीचे हम सीखेंगे कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सदिशों के बीच के कोण, उसकी कोज्या का निर्धारण कैसे करें, और उदाहरणों का उपयोग करके सिद्धांत पर विचार करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

सदिशों के बीच कोण की अवधारणा पर विचार करने के लिए, आइए एक ग्राफिकल चित्रण की ओर मुड़ें: आइए दो सदिशों a → और b → को एक समतल पर या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित करें, जो गैर-शून्य हैं। आइए हम एक मनमाना बिंदु O भी निर्धारित करें और इससे सदिश O A → = b → और O B → = b → आलेखित करें

परिभाषा 1

कोणसदिश a → और b → के बीच किरण O A और O B के बीच का कोण है।

हम परिणामी कोण को इस प्रकार निरूपित करेंगे: a → , b → ^

जाहिर है, कोण 0 से π या 0 से 180 डिग्री तक मान ले सकता है।

a → , b → ^ = 0 जब सदिश सह-दिशात्मक होते हैं और a → , b → ^ = π जब सदिश विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं।

परिभाषा 2

वैक्टर कहलाते हैं सीधा, यदि उनके बीच का कोण 90 डिग्री या π 2 रेडियन है।

यदि सदिशों में से कम से कम एक शून्य है, तो कोण a → , b → ^ परिभाषित नहीं है।

दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या, और इसलिए स्वयं कोण, आमतौर पर या तो सदिशों के अदिश गुणनफल का उपयोग करके, या दो दिए गए सदिशों से निर्मित त्रिभुज के लिए कोज्या प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

परिभाषा के अनुसार, अदिश गुणनफल a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ है।

यदि दिए गए सदिश a → और b → गैर-शून्य हैं, तो हम समानता के दाएं और बाएं पक्षों को इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल से विभाजित कर सकते हैं, इस प्रकार गैर-के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। शून्य वैक्टर:

क्योंकि a → , b → ^ = a → , b → a → b →

इस सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब स्रोत डेटा में वैक्टर की लंबाई और उनके अदिश उत्पाद शामिल होते हैं।

उदाहरण 1

प्रारंभिक डेटा: वैक्टर ए → और बी →। उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 6 है, और उनका अदिश गुणनफल - 9 है। सदिशों के बीच के कोण की कोज्या की गणना करना और स्वयं कोण ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक डेटा ऊपर प्राप्त सूत्र को लागू करने के लिए पर्याप्त है, फिर cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2,

आइए अब सदिशों के बीच का कोण निर्धारित करें: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

उत्तर: क्योंकि a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जहां आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर को निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। ऐसे मामलों के लिए, समान सूत्र प्राप्त करना आवश्यक है, लेकिन समन्वय रूप में।

एक वेक्टर की लंबाई को उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है, और वैक्टर का अदिश उत्पाद संबंधित निर्देशांकों के उत्पादों के योग के बराबर होता है। फिर समतल a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) पर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार दिखता है:

क्योंकि a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सदिशों के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करने का सूत्र a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) इस प्रकार दिखेगा: cos a → , b → ^ = ए एक्स · बी एक्स + ए वाई · बी वाई + ए जेड बी जेड ए एक्स 2 + ए वाई 2 + ए जेड 2 बी एक्स 2 + बी वाई 2 + बी जेड 2

उदाहरण 2

प्रारंभिक डेटा: एक आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर ए → = (2, 0, - 1), बी → = (1, 2, 3)। उनके बीच का कोण निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या को हल करने के लिए, हम तुरंत सूत्र लागू कर सकते हैं:

क्योंकि a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = ए आर सी कॉस (- 1 70) = - ए आर सी कॉस 1 70

1. आप सूत्र का उपयोग करके भी कोण निर्धारित कर सकते हैं:

क्योंकि a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

लेकिन पहले निर्देशांक द्वारा सदिशों की लंबाई और अदिश गुणनफल की गणना करें: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 क्योंकि ए → , बी → ^ = ए → , बी → ^ ए → बी → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ ए → , बी → ^ = - ए आर सी कॉस 1 70

उत्तर: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

ऐसे कार्य भी आम हैं जब एक आयताकार समन्वय प्रणाली में तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं और कुछ कोण निर्धारित करना आवश्यक होता है। और फिर, बिंदुओं के दिए गए निर्देशांक के साथ वैक्टर के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए, वेक्टर के आरंभ और अंत के संबंधित बिंदुओं के बीच अंतर के रूप में वैक्टर के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

प्रारंभिक डेटा: बिंदु ए (2, - 1), बी (3, 2), सी (7, - 2) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में विमान पर दिए गए हैं। सदिश A C → और B C → के बीच के कोण की कोज्या निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक से सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4,-4)

अब हम निर्देशांक में एक समतल पर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

उत्तर: cos A C → , B C → ^ = 3 13

सदिशों के बीच का कोण कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। आइए हम बिंदु O से सदिश O A → = a → और O B → = b → को अलग रखें, फिर, त्रिभुज O A B में कोसाइन प्रमेय के अनुसार, समानता सत्य होगी:

ए बी 2 = ओ ए 2 + ओ बी 2 - 2 · ओ ए · ओ बी · कॉस (∠ ए ओ बी),

जो इसके बराबर है:

बी → - ए → 2 = ए → + बी → - 2 ए → बी → कॉस (ए → , बी →) ^

और यहां से हम कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त करते हैं:

क्योंकि (ए → , बी →) ^ = 1 2 ए → 2 + बी → 2 - बी → - ए → 2 ए → बी →

परिणामी सूत्र को लागू करने के लिए, हमें सदिशों की लंबाई की आवश्यकता होती है, जिसे उनके निर्देशांक से आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

हालाँकि यह विधि अपनाई जाती है, सूत्र अभी भी अधिक बार उपयोग किया जाता है:

क्योंकि (ए → , बी →) ^ = ए → , बी → ए → बी →

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सदिशों का अदिश गुणनफल (इसके बाद एसपी के रूप में संदर्भित)। प्रिय मित्रों! गणित की परीक्षा में सदिशों को हल करने की समस्याओं का एक समूह शामिल होता है। हम पहले ही कुछ समस्याओं पर विचार कर चुके हैं। आप उन्हें "वेक्टर" श्रेणी में देख सकते हैं। सामान्य तौर पर, वैक्टर का सिद्धांत जटिल नहीं है, मुख्य बात इसका लगातार अध्ययन करना है। स्कूली गणित पाठ्यक्रम में सदिशों के साथ गणनाएँ और संक्रियाएँ सरल हैं, सूत्र जटिल नहीं हैं। पर एक नज़र डालें। इस लेख में हम वैक्टर के एसपी (एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल) पर समस्याओं का विश्लेषण करेंगे। अब सिद्धांत में "विसर्जन":

एच किसी सदिश के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, आपको उसके सिरे के निर्देशांकों को घटाना होगाइसके मूल के संगत निर्देशांक

और आगे:

*वेक्टर की लंबाई (मापांक) निम्नानुसार निर्धारित की जाती है:

ये सूत्र अवश्य याद रखने चाहिए!!!

आइए सदिशों के बीच का कोण दिखाएं:

स्पष्ट है कि यह 0 से 180 0 तक भिन्न हो सकता है(या 0 से पाई तक रेडियन में)।

हम अदिश गुणनफल के चिन्ह के बारे में कुछ निष्कर्ष निकाल सकते हैं। सदिशों की लंबाई का मान धनात्मक होता है, यह स्पष्ट है। इसका मतलब यह है कि अदिश उत्पाद का चिह्न सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के मान पर निर्भर करता है।

संभावित मामले:

1. यदि सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण (0 0 से 90 0 तक) है, तो कोण की कोज्या का मान धनात्मक होगा।

2. यदि सदिशों के बीच का कोण अधिक कोण (90 0 से 180 0 तक) है, तो कोण की कोज्या का मान ऋणात्मक होगा।

*शून्य डिग्री पर, अर्थात, जब सदिशों की दिशा समान होती है, तो कोज्या एक के बराबर होती है और, तदनुसार, परिणाम सकारात्मक होगा।

180 o पर, अर्थात्, जब सदिशों की दिशाएँ विपरीत हों, तो कोज्या शून्य से एक के बराबर होती है,और तदनुसार परिणाम नकारात्मक होगा.

अब महत्वपूर्ण बिंदु!

90 o पर, अर्थात, जब सदिश एक दूसरे के लंबवत होते हैं, तो कोज्या शून्य के बराबर होती है, और इसलिए SP शून्य के बराबर होती है। इस तथ्य (परिणाम, निष्कर्ष) का उपयोग कई समस्याओं को हल करने में किया जाता है जहां हम वैक्टर की सापेक्ष स्थिति के बारे में बात कर रहे हैं, जिसमें गणित कार्यों के खुले बैंक में शामिल समस्याएं भी शामिल हैं।

आइए हम कथन तैयार करें: अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि ये सदिश लंबवत रेखाओं पर स्थित हों।

तो, एसपी वैक्टर के सूत्र:

यदि सदिशों के निर्देशांक या उनके आरंभ और अंत के बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों, तो हम हमेशा सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कर सकते हैं:

आइए कार्यों पर विचार करें:

27724 सदिश a और b का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हम दो सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कर सकते हैं:

सदिशों के बीच का कोण अज्ञात है, लेकिन हम सदिशों के निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं और फिर पहले सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। चूँकि दोनों सदिशों की उत्पत्ति निर्देशांकों की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, इन सदिशों के निर्देशांक उनके सिरों के निर्देशांक के बराबर हैं, अर्थात

किसी सदिश के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें इसका वर्णन इसमें किया गया है।

हम गणना करते हैं:

उत्तर: 40

आइए सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें और सूत्र का उपयोग करें:

किसी सदिश के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए उसके आरंभ के संगत निर्देशांकों को सदिश के अंत के निर्देशांकों से घटाना आवश्यक है, जिसका अर्थ है

हम अदिश उत्पाद की गणना करते हैं:

उत्तर: 40

सदिश a और b के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

मान लीजिए सदिशों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम सदिशों के अदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हैं:

सदिशों के बीच के कोण की कोज्या:

इस तरह:

इन सदिशों के निर्देशांक बराबर हैं:

आइए उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

सदिशों के बीच का कोण 45 डिग्री है।

उत्तर: 45

दो सदिशों के बीच का कोण :

यदि दो सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण है, तो उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होता है; यदि सदिशों के बीच का कोण अधिक है, तो इन सदिशों का अदिश गुणनफल ऋणात्मक होता है। दो अशून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि ये सदिश ऑर्थोगोनल हों।

व्यायाम।सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधान।वांछित कोण की कोज्या

16. सीधी रेखाओं, सीधी रेखा और समतल के बीच के कोण की गणना

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण, इस रेखा को प्रतिच्छेद करता है और इसके लंबवत नहीं, रेखा और इस तल पर इसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है।

एक रेखा और एक समतल के बीच के कोण को निर्धारित करने से हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है कि एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण है: सीधी रेखा और समतल पर उसका प्रक्षेपण। इसलिए, एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण एक न्यून कोण होता है।

एक लंबवत सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण बराबर माना जाता है, और एक समानांतर सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण या तो बिल्कुल निर्धारित नहीं किया जाता है या बराबर माना जाता है।

§ 69. सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या को उसी तरह हल किया जाता है जैसे किसी समतल (§ 32) पर। आइए हम रेखाओं के बीच के कोण के परिमाण को φ से निरूपित करें एल 1 और एल 2, और ψ के माध्यम से - दिशा वैक्टर के बीच कोण का परिमाण ए और बी ये सीधी रेखाएँ.

तो अगर

ψ 90° (चित्र 206.6), तो φ = 180° - ψ। जाहिर है, दोनों ही मामलों में समानता cos φ = |cos ψ| सत्य है। सूत्र (1) §20 के अनुसार हमारे पास है

इस तरह,

मान लीजिए कि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

फिर रेखाओं के बीच का कोण φ सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

यदि रेखाओं में से एक (या दोनों) गैर-विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए आपको इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक खोजने होंगे, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करना होगा।

17. समानांतर रेखाएँ, समानांतर रेखाओं पर प्रमेय

परिभाषा।एक समतल में दो रेखाएं कहलाती हैं समानांतर, यदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं को कहा जाता है समानांतर, यदि वे एक ही तल में हों और उनमें उभयनिष्ठ बिंदु न हों।

दो सदिशों के बीच का कोण.

डॉट उत्पाद की परिभाषा से:

.

दो सदिशों की रूढ़िवादिता के लिए शर्त:

दो सदिशों की संरेखता के लिए शर्त:

.

परिभाषा 5 से अनुसरण करता है - . दरअसल, एक वेक्टर और एक संख्या के उत्पाद की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है। अतः सदिशों की समानता के नियम के आधार पर हम लिखते हैं , , , जिसका तात्पर्य है . लेकिन वेक्टर को संख्या से गुणा करने पर प्राप्त वेक्टर वेक्टर के संरेख होता है।

वेक्टर का वेक्टर पर प्रक्षेपण:

.

उदाहरण 4. दिए गए अंक , , , .

डॉट उत्पाद ढूंढें.

समाधान. हम उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट सदिशों के अदिश गुणनफल के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं। क्योंकि

, ,

उदाहरण 5.दिए गए अंक , , , .

प्रक्षेपण खोजें.

समाधान. क्योंकि

, ,

प्रक्षेपण सूत्र के आधार पर, हमारे पास है

.

उदाहरण 6.दिए गए अंक , , , .

सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान. ध्यान दें कि वेक्टर

, ,

संरेख नहीं हैं क्योंकि उनके निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं:

.

ये सदिश भी लंबवत नहीं हैं, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।

पता लगाते हैं

कोना हम सूत्र से पाते हैं:

.

उदाहरण 7.निर्धारित करें कि कौन से वैक्टर और संरेख.

समाधान. संरेखता के मामले में, सदिशों के संगत निर्देशांक और आनुपातिक होना चाहिए, अर्थात:

.

इसलिए और.

उदाहरण 8. वेक्टर के किस मान पर निर्धारित करें और लंबवत.

समाधान. वेक्टर और लंबवत हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य है। इस स्थिति से हमें प्राप्त होता है: . वह है, ।

उदाहरण 9. खोजो , अगर , , ।

समाधान. अदिश उत्पाद के गुणों के कारण, हमारे पास है:

उदाहरण 10. सदिशों और, कहां और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए - इकाई सदिश और सदिशों के बीच का कोण 120° के बराबर है।

समाधान. हमारे पास है: , ,

अंततः हमारे पास है: .

5 बी. वेक्टर कलाकृति.

परिभाषा 21.वेक्टर कलाकृतिवेक्टर द्वारा वेक्टर को वेक्टर कहा जाता है, या, निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा परिभाषित किया गया है:

1) सदिश का मापांक बराबर होता है, सदिशों और के बीच का कोण कहां होता है, यानी। .

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से सदिशों और दोनों पक्षों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

2) वेक्टर प्रत्येक वेक्टर के लंबवत है और ( ; ), यानी। सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत तथा।

3) वेक्टर को इस तरह से निर्देशित किया जाता है कि यदि इसके अंत से देखा जाए, तो वेक्टर से वेक्टर की ओर सबसे छोटा मोड़ वामावर्त होगा (वेक्टर, दाएं हाथ के ट्रिपल का निर्माण करते हैं)।

सदिशों के बीच के कोणों की गणना कैसे करें?

ज्यामिति का अध्ययन करते समय सदिशों के विषय पर कई प्रश्न उठते हैं। जब सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक होता है तो विद्यार्थी को विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है।

मूल शर्तें

सदिशों के बीच के कोणों को देखने से पहले, सदिश की परिभाषा और सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा से परिचित होना आवश्यक है।

वेक्टर एक खंड है जिसकी एक दिशा होती है, अर्थात, एक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत परिभाषित होते हैं।

एक समतल पर दो सदिशों के बीच का कोण, जिनकी उत्पत्ति समान होती है, उन कोणों में से उस मात्रा से छोटा होता है, जब तक कि उनकी दिशाएँ मेल न खाएँ, उनमें से एक सदिश को उभयनिष्ठ बिंदु के चारों ओर ले जाने की आवश्यकता होती है।

समाधान का सूत्र

एक बार जब आप समझ जाते हैं कि वेक्टर क्या है और इसका कोण कैसे निर्धारित होता है, तो आप वेक्टरों के बीच के कोण की गणना कर सकते हैं। इसके लिए समाधान सूत्र काफी सरल है, और इसके अनुप्रयोग का परिणाम कोण की कोज्या का मान होगा। परिभाषा के अनुसार, यह सदिशों के अदिश गुणनफल के भागफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के बराबर है।

सदिशों के अदिश उत्पाद की गणना कारक सदिशों के संगत निर्देशांकों को एक दूसरे से गुणा करने के योग के रूप में की जाती है। एक वेक्टर की लंबाई, या उसके मापांक की गणना उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में की जाती है।

कोण की कोज्या का मान प्राप्त करने के बाद, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके कोण के मान की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण

एक बार जब आप यह समझ लें कि सदिशों के बीच के कोण की गणना कैसे करें, तो संबंधित समस्या को हल करना सरल और स्पष्ट हो जाएगा। उदाहरण के तौर पर, किसी कोण का मान ज्ञात करने की सरल समस्या पर विचार करना उचित है।

सबसे पहले, समाधान के लिए आवश्यक वेक्टर लंबाई और उनके अदिश उत्पाद के मूल्यों की गणना करना अधिक सुविधाजनक होगा। ऊपर प्रस्तुत विवरण का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

प्राप्त मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित कोण की कोज्या के मान की गणना करते हैं:

यह संख्या पांच सामान्य कोसाइन मानों में से एक नहीं है, इसलिए कोण प्राप्त करने के लिए, आपको कैलकुलेटर या ब्रैडिस त्रिकोणमिति तालिका का उपयोग करना होगा। लेकिन सदिशों के बीच का कोण प्राप्त करने से पहले, अतिरिक्त नकारात्मक चिह्न से छुटकारा पाने के लिए सूत्र को सरल बनाया जा सकता है:

सटीकता बनाए रखने के लिए, अंतिम उत्तर को वैसे ही छोड़ा जा सकता है, या आप कोण के मान की गणना डिग्री में कर सकते हैं। ब्रैडिस तालिका के अनुसार, इसका मान लगभग 116 डिग्री और 70 मिनट होगा, और कैलकुलेटर 116.57 डिग्री का मान दिखाएगा।

एन-आयामी अंतरिक्ष में एक कोण की गणना

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो वैक्टरों पर विचार करते समय, यह समझना बहुत मुश्किल है कि हम किस कोण के बारे में बात कर रहे हैं यदि वे एक ही विमान में नहीं हैं। धारणा को सरल बनाने के लिए, आप दो प्रतिच्छेदी खंड बना सकते हैं जो उनके बीच सबसे छोटा कोण बनाते हैं, यह वांछित होगा। भले ही वेक्टर में तीसरा निर्देशांक है, फिर भी वेक्टर के बीच के कोणों की गणना करने की प्रक्रिया नहीं बदलेगी। सदिशों के अदिश गुणनफल और मापांक की गणना करें; उनके भागफल की चाप कोज्या इस समस्या का उत्तर होगी।

ज्यामिति में, अक्सर उन स्थानों के साथ समस्याएँ होती हैं जिनमें तीन से अधिक आयाम होते हैं। लेकिन उनके लिए, उत्तर खोजने का एल्गोरिदम समान दिखता है।

0 और 180 डिग्री के बीच अंतर

सदिशों के बीच के कोण की गणना करने के लिए डिज़ाइन की गई समस्या का उत्तर लिखते समय सामान्य गलतियों में से एक यह लिखने का निर्णय है कि सदिश समानांतर हैं, अर्थात वांछित कोण 0 या 180 डिग्री के बराबर है। यह उत्तर ग़लत है.

समाधान के परिणामस्वरूप 0 डिग्री का कोण मान प्राप्त करने के बाद, सही उत्तर वैक्टर को सह-दिशात्मक के रूप में नामित करना होगा, अर्थात, वैक्टर की दिशा समान होगी। यदि 180 डिग्री प्राप्त की जाती है, तो सदिश विपरीत दिशा में निर्देशित होंगे।

विशिष्ट सदिश

सदिशों के बीच के कोणों को खोजने के बाद, आप ऊपर वर्णित सह-दिशात्मक और विपरीत-दिशात्मक कोणों के अलावा, विशेष प्रकारों में से एक पा सकते हैं।

• एक तल के समानांतर कई सदिश समतलीय कहलाते हैं।
• वे सदिश जो लंबाई और दिशा में समान होते हैं, समान कहलाते हैं।
• वे सदिश जो दिशा की परवाह किए बिना एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं।
• यदि किसी सदिश की लंबाई शून्य है, अर्थात उसका आरंभ और अंत संपाती है, तो उसे शून्य कहते हैं, और यदि एक है, तो इकाई।

सदिशों के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?

कृपया मेरी मदद करो! मैं सूत्र जानता हूं, लेकिन मैं इसकी गणना नहीं कर सकता ((
वेक्टर ए (8; 10; 4) वेक्टर बी (5; -20; -10)

अलेक्जेंडर टिटोव

उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट वैक्टरों के बीच का कोण एक मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके पाया जाता है। सबसे पहले आपको सदिश a और b का अदिश गुणनफल ज्ञात करना होगा: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2। हम यहां इन वैक्टरों के निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:
(ए,बी) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200।
इसके बाद, हम प्रत्येक वेक्टर की लंबाई निर्धारित करते हैं। किसी सदिश की लंबाई या मापांक उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है:
|ए| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) का मूल = (8^2 + 10^2 + 4^2) का मूल = (64 + 100 + 16) का मूल = 180 का मूल = 6 मूल 5
|बी| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) का मूल = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) का मूल = (25 + 400 + 100) का मूल = मूल 525 का = 21 की 5 जड़ें।
हम इन लंबाईयों को गुणा करते हैं। हमें 105 में से 30 जड़ें मिलती हैं।
और अंत में, हम सदिशों के अदिश गुणनफल को इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल से विभाजित करते हैं। हमें -200/(105 के 30 मूल) या मिलते हैं
- (105 के 4 मूल) / 63। यह सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है। और कोण स्वयं इस संख्या की चाप कोज्या के बराबर है
एफ = आर्ककोस (-105 की 4 जड़ें) / 63।
अगर मैंने सब कुछ सही ढंग से गिना।

सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके सदिशों के बीच के कोण की ज्या की गणना कैसे करें

मिखाइल तकाचेव

आइए इन सदिशों को गुणा करें। उनका अदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।
कोण हमारे लिए अज्ञात है, लेकिन निर्देशांक ज्ञात हैं।
आइए इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखें।
मान लीजिए सदिश a(x1;y1) और b(x2;y2) दिए गए हैं
तब

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

चलो बात करते हैं।
सदिशों का a*b-अदिश गुणनफल इन सदिशों के निर्देशांकों के संगत निर्देशांकों के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात x1*x2+y1*y2 के बराबर

|a|*|b|-वेक्टर लंबाई का उत्पाद √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) के बराबर है।

इसका अर्थ है कि सदिशों के बीच के कोण की कोज्या इसके बराबर है:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

किसी कोण की कोज्या जानकर हम उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। आइए चर्चा करें कि यह कैसे करें:

यदि किसी कोण की कोज्या धनात्मक है, तो यह कोण 1 या 4 चतुर्थांशों में स्थित होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी ज्या या तो धनात्मक या ऋणात्मक है। लेकिन चूंकि सदिशों के बीच का कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, तो इसकी ज्या धनात्मक है। यदि कोज्या ऋणात्मक है तो हम इसी तरह तर्क करते हैं।

SynA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

बस इतना ही)))) इसका पता लगाने के लिए शुभकामनाएँ)))

दिमित्री लेविश्चेव

यह तथ्य कि सीधे साइन करना असंभव है, सत्य नहीं है।
सूत्र के अतिरिक्त:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
वहाँ यह भी है:
||=|ए|*|बी|*पाप ए
अर्थात् अदिश गुणनफल के स्थान पर आप सदिश गुणनफल का मापांक ले सकते हैं।

अनुभाग: अंक शास्त्र

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखना।

शैक्षिक कार्य:

– दो सदिशों के बीच के कोण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें;

- समस्याओं को हल करने के लिए वैक्टर लागू करने में कौशल विकसित करना जारी रखें;

- समस्या समाधान के माध्यम से गणित में रुचि विकसित करना जारी रखें;

- सीखने की प्रक्रिया के प्रति सचेत रवैया विकसित करें, ज्ञान की गुणवत्ता के लिए जिम्मेदारी की भावना पैदा करें, अभ्यासों को हल करने और डिजाइन करने की प्रक्रिया पर आत्म-नियंत्रण रखें।

कक्षाएं प्रदान करना:

- तालिका "विमान और अंतरिक्ष में वेक्टर";

- व्यक्तिगत पूछताछ के लिए कार्य कार्ड;

- परीक्षण कार्य के लिए कार्य कार्ड;

- माइक्रोकैलकुलेटर।

छात्र को पता होना चाहिए:

- सदिशों के बीच के कोण की गणना के लिए सूत्र।

छात्र को सक्षम होना चाहिए:

- विश्लेषणात्मक, ज्यामितीय और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान को लागू करें।

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि की प्रेरणा।

शिक्षक रिपोर्ट करते हैं कि आज कक्षा में छात्र वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना सीखेंगे और तकनीकी यांत्रिकी और भौतिकी की समस्याओं को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान को लागू करेंगे। "तकनीकी यांत्रिकी" अनुशासन की अधिकांश समस्याएं वेक्टर विधि द्वारा हल की जाती हैं। इस प्रकार, "अभिसरण बलों की समतल प्रणाली", "दो बलों के परिणाम का पता लगाना" विषय का अध्ययन करते समय, दो वैक्टरों के बीच के कोण की गणना के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

पाठ की प्रगति.

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना.

क) कार्ड का उपयोग करके व्यक्तिगत सर्वेक्षण।

कार्ड 1.

1. दो सदिशों के योग के गुण लिखिए।

2. किस मूल्य पर एमवेक्टर और क्या वे संरेख होंगे?

कार्ड 2.

1. एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल क्या कहलाता है?

2. सदिश हैं और ?

कार्ड 3.

1. दो सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा तैयार करें।

2. सदिशों की लंबाई के किस मान पर तथा क्या वे बराबर होंगे?

कार्ड 4.

1. एक सदिश के निर्देशांक और एक सदिश की लंबाई की गणना के लिए सूत्र लिखें?

2. सदिश हैं और ?

बी) फ्रंटल सर्वेक्षण के लिए प्रश्न:

1. उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट वैक्टर पर क्या क्रियाएं की जा सकती हैं?
2. किन सदिशों को संरेख कहा जाता है?
3. दो गैर-शून्य सदिशों की संरेखता के लिए शर्त?
4. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना?
5. दो गैर-शून्य सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा?
6. दो सदिशों के लंबवत होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त?
7. दो सदिशों के अदिश गुणनफल का भौतिक अर्थ क्या है?
8. समतल और अंतरिक्ष में उनके निर्देशांकों के माध्यम से दो सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना के लिए सूत्र लिखिए।
9. समतल और अंतरिक्ष में एक वेक्टर की लंबाई की गणना के लिए सूत्र लिखें।

तृतीय. नई सामग्री सीखना.

ए) आइए हम समतल और अंतरिक्ष में सदिशों के बीच के कोण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें। दो गैर-शून्य सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार:

ओल

इसलिए, यदि और , तो

गैर-शून्य सदिशों के बीच के कोण की कोज्या इन सदिशों के अदिश गुणनफल को उनकी लंबाई के गुणनफल से विभाजित करने के बराबर होती है। यदि वेक्टर एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट हैं, तो उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

= (x 1 ; y 1); = (एक्स 2 ; वाई 2)

क्योंकि =

अंतरिक्ष में: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ​​​; z 2)

क्योंकि =

समस्याओं का समाधान:

कार्य 1:सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए = (1; -2), = (-3; 1)।

आर्ककोस = 135°

कार्य 2:त्रिभुज ABC में, कोण B का आकार ज्ञात कीजिए यदि

ए (0; 5; 0), बी (4; 3; -8), सी (-1; -3; -6)।

क्योंकि = =

कार्य 3:सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए और यदि A (1; 6),

बी (1; 0), सी (-2; 3)।

क्योंकि = = = –

चतुर्थ. विशिष्ट समस्याओं को हल करने में ज्ञान का अनुप्रयोग।

एक विश्लेषणात्मक चरित्र के कार्य।

सदिशों के बीच का कोण निर्धारित करें और यदि A (1; -3; -4),

बी (-1; 0; 2), सी (2; -4; -6), डी (1; 1; 1)।

यदि , = 30° है तो सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

वेक्टर लंबाई के किस मान पर और क्या वे बराबर होंगे?

सदिशों और के बीच के कोण की गणना करें

सदिशों का उपयोग करके निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें

और .

लागू कार्य

दो बलों 1 और 2 का परिणाम ज्ञात कीजिए, यदि = 5H; = 7H, उनके बीच का कोण = 60°.

° + .

बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करें = (6; 2), यदि इसका अनुप्रयोग बिंदु, सीधी रेखा में चलते हुए, स्थिति ए (-1; 3) से स्थिति बी (3; 4) तक चला जाता है।

मान लीजिए भौतिक बिंदु की गति है और मान लीजिए उस पर लगने वाला बल है। बल द्वारा विकसित शक्ति क्या है यदि = 5H, = 3.5 m/s;

VI. पाठ का सारांश.

सातवीं. गृहकार्य:

जी.एन. याकोवलेव, ज्यामिति, §22, पैराग्राफ 3, पृष्ठ 191

क्रमांक 5.22, क्रमांक 5.27, पृ. 192.