सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें. गणना के तर्कसंगत तरीके

कंप्यूटर स्वचालन उपकरणों के विकास के वर्तमान स्तर ने कई लोगों के बीच यह भ्रम पैदा कर दिया है कि कंप्यूटिंग कौशल विकसित करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इससे स्कूली बच्चों की तैयारी प्रभावित हुई. कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, सरल कम्प्यूटेशनल कार्य भी कई लोगों के लिए एक समस्या बन जाते हैं।

साथ ही, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए परीक्षा कार्यों और सामग्रियों में कई कार्य शामिल होते हैं, जिनके समाधान के लिए परीक्षार्थियों की गणना को तर्कसंगत रूप से व्यवस्थित करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

इस लेख में, हम गणनाओं को अनुकूलित करने और प्रतिस्पर्धी समस्याओं में उनके अनुप्रयोग के लिए कुछ तरीकों पर गौर करेंगे।

अक्सर, गणनाओं को अनुकूलित करने के तरीके अंकगणितीय संचालन करने के बुनियादी कानूनों के अनुप्रयोग से जुड़े होते हैं।

उदाहरण के लिए:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; या

98 · 16(100 - 2) · 16 = 100 · 16 - 2 · 16 = 1600 - 32 = 1568, आदि।

दूसरी दिशा - संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग.

96 · 104 = (100 - 4) · (100 + 4) = 100 2 - 4 2 = 10000 - 16 = 9984; या

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525।

गणना के लिए निम्नलिखित उदाहरण दिलचस्प है.

गणना करें:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

गणनाओं को अनुकूलित करने के ये लगभग मानक तरीके हैं। कभी-कभी अधिक विदेशी भी पेश किए जाते हैं। उदाहरण के तौर पर, दो अंकों की संख्याओं को गुणा करने की विधि पर विचार करें जिनकी इकाइयों का योग 10 होता है।

54 26 = 50 30 + 4 (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 या

43 87 = 40 90 + 3 (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

गुणन योजना को चित्र से समझा जा सकता है।

यह गुणन योजना कहाँ से आती है?

शर्त के अनुसार हमारी संख्याएँ इस प्रकार हैं: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n)। आइए एक अंश लिखें:

एम के = (10मी + एन)(10के + (10 – एन)) =
= 100mk + 100m – 10mn + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10 मी) · (10 · (के + 1)) + एन · (के - 10 मी) और विधि उचित है।

काफी जटिल गणनाओं को मानसिक समस्याओं में बदलने के कई चतुर तरीके हैं। लेकिन आप यह नहीं सोच सकते कि हर किसी को गणनाओं को सरल बनाने के लिए इन्हें और कई अन्य चतुर तरीकों को याद रखने की आवश्यकता है। केवल कुछ बुनियादी चीजें सीखना महत्वपूर्ण है। दूसरों का विश्लेषण केवल बुनियादी तरीकों का उपयोग करने में कौशल विकसित करने के लिए ही समझ में आता है। यह उनका रचनात्मक उपयोग है जो कम्प्यूटेशनल समस्याओं को जल्दी और सही ढंग से हल करना संभव बनाता है।

कभी-कभी, गणना उदाहरणों को हल करते समय, संख्याओं के साथ व्यंजकों को रूपांतरित करने से बहुपदों को रूपांतरित करने पर स्विच करना सुविधाजनक होता है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें.

सबसे तर्कसंगत तरीके से गणना करें:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

समाधान।

मान लीजिए a = 1/117 और b = 1/119। फिर 3 1 / 117 = 3 + ए, 4 1 / 119 = 4 + बी, 1 116 / 117 = 2 - ए, 5 118 / 119 = 6 - बी।

इस प्रकार, दी गई अभिव्यक्ति को (3 + ए) · (4 + बी) - (2 - ए) · (6 - बी) - 5 बी के रूप में लिखा जा सकता है।

बहुपद का सरल परिवर्तन करने के बाद, हमें 10a या 10/117 प्राप्त होता है।

यहां हमने पाया है कि हमारी अभिव्यक्ति का मान b पर निर्भर नहीं करता है। इसका मतलब यह है कि हमने न केवल इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना की है, बल्कि मूल्यों को प्रतिस्थापित करके (3 + ए) · (4 + बी) - (2 - ए) · (6 - बी) - 5 बी से प्राप्त किसी अन्य अभिव्यक्ति की भी गणना की है। ए और बी का. यदि, उदाहरण के लिए, a = 5/329, तो उत्तर होगा 50 / 329 , जो भी हो बी.

आइए एक और उदाहरण देखें, जिसका समाधान कैलकुलेटर का उपयोग करके लगभग असंभव है, और यदि आप इस प्रकार के उदाहरणों को हल करने का तरीका जानते हैं तो उत्तर काफी सरल है।

गणना

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

समाधान।

चलो हालात बदल दें

1 / 6 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 - 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 - 1) = 1/6

आइए एक उदाहरण देखें जो पहले ही बन चुका है बेसिक स्कूल पाठ्यक्रम के लिए परीक्षा सामग्री में पाठ्यपुस्तक।

राशि की गणना करें:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) +… + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

अर्थात् प्रत्येक भिन्न को दो भिन्नों के अंतर से प्रतिस्थापित करके इस समस्या का समाधान किया गया। योग प्रथम और अंतिम को छोड़कर सभी के विपरीत संख्याओं के जोड़े के रूप में निकला।

लेकिन इस उदाहरण को सामान्यीकृत किया जा सकता है. आइए राशि पर विचार करें:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m) – 1)के) (एन + एमके))

पिछले उदाहरण जैसा ही तर्क इसके लिए मान्य है। वास्तव में:

1/एन – 1/(एन + के) = के/(एन · (एन + के));

1/((एन + के) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)), आदि।

फिर हम उसी योजना के अनुसार उत्तर तैयार करेंगे: 1/एन – 1/(एन + एमके) = एमके/(एन (एन + एमके))

और "लंबी" राशियों के बारे में और अधिक जानकारी।

मात्रा

एक्स = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

1/2 के हर और 1 के पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के 11 शब्दों के योग के रूप में गणना की जा सकती है। लेकिन उसी योग की गणना 5वीं कक्षा के एक छात्र द्वारा की जा सकती है जिसे प्रगति के बारे में कोई जानकारी नहीं है। ऐसा करने के लिए, यह सफलतापूर्वक एक संख्या का चयन करने के लिए पर्याप्त है जिसे हम योग X में जोड़ देंगे। यहां यह संख्या 1/1024 होगी।

चलिए हिसाब लगाते हैं

एक्स + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024)=
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

अब यह स्पष्ट है कि X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

दूसरी विधि भी कम आशाजनक नहीं है. इसका उपयोग करके आप राशि की गणना कर सकते हैं:

एस = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999।

यहां "भाग्यशाली" संख्या 11 है। इसे S में जोड़ें और सभी 11 पदों के बीच समान रूप से वितरित करें। फिर उनमें से प्रत्येक को 1 मिलेगा। फिर हमारे पास है:

एस + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

इसलिए S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

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सुदूर अतीत में, जब संख्या प्रणाली का आविष्कार नहीं हुआ था, लोग हर चीज़ को अपनी उंगलियों पर गिनते थे। अंकगणित और गणित की बुनियादी बातों के आगमन के साथ, वस्तुओं, उत्पादों और घरेलू वस्तुओं पर नज़र रखना बहुत आसान और अधिक व्यावहारिक हो गया है। हालाँकि, आधुनिक कैलकुलस प्रणाली कैसी दिखती है: मौजूदा संख्याओं को किस प्रकार में विभाजित किया गया है और "संख्याओं के तर्कसंगत रूप" का क्या अर्थ है? आइए इसका पता लगाएं।

गणित में संख्याएँ कितने प्रकार की होती हैं?

"संख्या" की अवधारणा किसी भी वस्तु की एक निश्चित इकाई को दर्शाती है जो उसके मात्रात्मक, तुलनात्मक या क्रमिक संकेतकों की विशेषता बताती है। कुछ चीजों की संख्या की सही गणना करने या संख्याओं के साथ कुछ गणितीय संक्रियाएं (जोड़ना, गुणा करना आदि) करने के लिए, आपको सबसे पहले इन्हीं संख्याओं की किस्मों से परिचित होना चाहिए।

इसलिए, मौजूदा संख्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

1. प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनसे हम वस्तुओं की संख्या गिनते हैं (सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है, यह तर्कसंगत है कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला अनंत है, अर्थात कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है)। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है।
2. पूर्ण संख्याएं। इस सेट में सब कुछ शामिल है, जबकि इसमें नकारात्मक मान भी जोड़े जाते हैं, जिसमें संख्या "शून्य" भी शामिल है। पूर्णांकों के समुच्चय का पदनाम लैटिन अक्षर Z के रूप में लिखा जाता है।
3. परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें हम मानसिक रूप से भिन्न में बदल सकते हैं, जिसका अंश पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित होगा, और हर प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित होगा। नीचे हम अधिक विस्तार से देखेंगे कि "तर्कसंगत संख्या" का क्या अर्थ है और कुछ उदाहरण देंगे।
4. - एक सेट जिसमें सभी तर्कसंगत शामिल हैं और यह सेट अक्षर आर द्वारा दर्शाया गया है।
5. सम्मिश्र संख्याओं में एक वास्तविक संख्या का कुछ भाग और एक चर संख्या का एक भाग होता है। इनका उपयोग विभिन्न घन समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिनकी, बदले में, सूत्रों में नकारात्मक अभिव्यक्ति हो सकती है (i 2 = -1)।

"तर्कसंगत" का क्या अर्थ है: आइए उदाहरण देखें

यदि वे संख्याएँ जिन्हें हम एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं, तर्कसंगत मानी जाती हैं, तो यह पता चलता है कि सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक भी परिमेय के सेट में शामिल हैं। आख़िरकार, किसी भी पूर्ण संख्या, उदाहरण के लिए 3 या 15, को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ हर एक है।

भिन्न: -9/3; 7/5, 6/55 परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

"तर्कसंगत अभिव्यक्ति" का क्या अर्थ है?

आगे बढ़ो। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि संख्याओं के तर्कसंगत रूप का क्या अर्थ है। आइए अब एक गणितीय अभिव्यक्ति की कल्पना करें जिसमें विभिन्न संख्याओं और चरों का योग, अंतर, उत्पाद या भागफल शामिल है। यहां एक उदाहरण दिया गया है: एक भिन्न जिसमें अंश दो या दो से अधिक पूर्णांकों का योग होता है, और हर में एक पूर्णांक और कुछ चर दोनों होते हैं। इस प्रकार की अभिव्यक्ति को तर्कसंगत कहा जाता है। "आप शून्य से भाग नहीं दे सकते" नियम के आधार पर आप अनुमान लगा सकते हैं कि इस चर का मान ऐसा नहीं हो सकता कि हर का मान शून्य हो जाए। इसलिए, एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को हल करते समय, आपको पहले चर की सीमा निर्धारित करनी होगी। उदाहरण के लिए, यदि हर में निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: x+5-2, तो यह पता चलता है कि "x" -3 के बराबर नहीं हो सकता। दरअसल, इस मामले में, संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है, इसलिए इसे हल करते समय इस चर के लिए पूर्णांक -3 को बाहर करना आवश्यक है।

तर्कसंगत समीकरणों को सही ढंग से कैसे हल करें?

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों में बड़ी संख्या में संख्याएँ और यहां तक ​​कि 2 चर भी हो सकते हैं, इसलिए कभी-कभी उन्हें हल करना मुश्किल हो जाता है। ऐसी अभिव्यक्ति के समाधान को सुविधाजनक बनाने के लिए, कुछ परिचालनों को तर्कसंगत तरीके से करने की अनुशंसा की जाती है। तो, "तर्कसंगत तरीके से" का क्या मतलब है और निर्णय लेते समय कौन से नियम लागू किए जाने चाहिए?

1. पहला प्रकार, जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए यह पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप अंश और हर को एक अघुलनशील मान तक कम करने के ऑपरेशन का सहारा ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि अंश में अभिव्यक्ति 18x और हर में 9x है, तो, दोनों घातांकों को 9x से कम करके, हमें बस 2 के बराबर पूर्णांक प्राप्त होता है।
2. दूसरी विधि तब व्यावहारिक होती है जब हमारे अंश में एकपदी और हर में एक बहुपद होता है। आइए एक उदाहरण देखें: अंश में हमारे पास 5x है, और हर में - 5x + 20x 2 है। इस मामले में, हर में चर को कोष्ठक से बाहर निकालना सबसे अच्छा है, हमें हर का निम्नलिखित रूप मिलता है: 5x(1+4x)। अब आप पहले नियम का उपयोग कर सकते हैं और अंश और हर में 5x को रद्द करके अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 1/1+4x के रूप का एक अंश प्राप्त होता है।

आप परिमेय संख्याओं के साथ कौन से ऑपरेशन कर सकते हैं?

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की अपनी कई विशेषताएँ होती हैं। उनमें से कई पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं में मौजूद विशेषताओं के समान हैं, इस तथ्य के कारण कि बाद वाले हमेशा परिमेय के सेट में शामिल होते हैं। यहां परिमेय संख्याओं के कुछ गुण दिए गए हैं, जिन्हें जानकर आप किसी भी परिमेय व्यंजक को आसानी से हल कर सकते हैं।

1. क्रमविनिमेय गुण आपको दो या दो से अधिक संख्याओं का योग करने की अनुमति देता है, चाहे उनका क्रम कुछ भी हो। सीधे शब्दों में कहें तो पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
2. वितरणात्मक संपत्ति आपको वितरण कानून का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।
3. और अंत में, जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ।

यहां तक ​​कि स्कूली बच्चे भी जानते हैं कि "संख्याओं के तर्कसंगत रूप" का क्या अर्थ है और ऐसी अभिव्यक्तियों के आधार पर समस्याओं को कैसे हल किया जाए, इसलिए एक शिक्षित वयस्क को कम से कम तर्कसंगत संख्याओं के सेट की मूल बातें याद रखने की आवश्यकता है।

इस लेख में हम अन्वेषण करना शुरू करेंगे भिन्नात्मक संख्याएं. यहां हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा देंगे, आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे और परिमेय संख्याओं के उदाहरण देंगे। इसके बाद, हम इस बात पर ध्यान देंगे कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि कोई दी गई संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

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परिमेय संख्याओं की परिभाषा एवं उदाहरण

इस अनुभाग में हम परिमेय संख्याओं की कई परिभाषाएँ देंगे। शब्दों में अंतर के बावजूद, इन सभी परिभाषाओं का एक ही अर्थ है: तर्कसंगत संख्याएं पूर्णांकों और भिन्नों को एकजुट करती हैं, जैसे पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं, उनके विपरीत और संख्या शून्य को एकजुट करते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याएँ पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण करती हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा, जो सबसे स्वाभाविक रूप से माना जाता है।

दी गई परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक परिमेय संख्या है:

• कोई प्राकृत संख्या n. दरअसल, आप किसी भी प्राकृत संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 3=3/1।
• कोई भी पूर्णांक, विशेषकर संख्या शून्य। वास्तव में, किसी भी पूर्णांक को धनात्मक भिन्न, ऋणात्मक भिन्न या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 26=26/1, .
• कोई भी सामान्य अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)। इसकी सीधी पुष्टि परिमेय संख्याओं की दी गई परिभाषा से होती है।
• कोई मिश्रित संख्या. दरअसल, आप किसी मिश्रित संख्या को हमेशा एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, और.
• कोई परिमित दशमलव भिन्न या अनंत आवर्त भिन्न। ऐसा इस तथ्य के कारण है कि संकेतित दशमलव भिन्न सामान्य भिन्न में परिवर्तित हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, , और 0,(3)=1/3.

यह भी स्पष्ट है कि कोई भी अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि इसे एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

अब हम आसानी से दे सकते हैं परिमेय संख्याओं के उदाहरण. संख्याएँ 4, 903, 100,321 परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं। पूर्णांक 58, −72, 0, −833,333,333 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। सामान्य भिन्न 4/9, 99/3 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। परिमेय संख्याएँ भी संख्याएँ हैं।

उपरोक्त उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि परिमेय संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हैं, और परिमेय संख्या शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा अधिक संक्षिप्त रूप में तैयार की जा सकती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक संख्याएंवे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न z/n के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है।

आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं की यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समतुल्य है। हम जानते हैं कि भिन्न की रेखा को हम विभाजन का चिह्न मान सकते हैं, फिर पूर्णांकों को विभाजित करने के गुणों और पूर्णांकों को विभाजित करने के नियमों से निम्नलिखित समानताओं की वैधता का पालन होता है और। इस प्रकार, यह प्रमाण है।

आइए इस परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण दें। संख्याएँ −5, 0, 3, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि उन्हें क्रमशः और के रूप में एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

परिमेय संख्याओं की परिभाषा निम्नलिखित सूत्रीकरण में दी जा सकती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक संख्याएंवे संख्याएँ हैं जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा भी पहली परिभाषा के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक साधारण अंश एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से मेल खाता है और इसके विपरीत, और किसी भी पूर्णांक को दशमलव बिंदु के बाद शून्य के साथ दशमलव अंश से जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 0, −13, तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण हैं क्योंकि उन्हें निम्नलिखित दशमलव अंश 5.0, 0.0, −13.0, 0.8, और −7, (18) के रूप में लिखा जा सकता है।

आइए इस बिंदु के सिद्धांत को निम्नलिखित कथनों के साथ समाप्त करें:

• पूर्णांक और भिन्न (धनात्मक और ऋणात्मक) परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न एक निश्चित परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या यह संख्या तर्कसंगत है?

पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, कोई पूर्णांक, कोई साधारण अंश, कोई मिश्रित संख्या, कोई परिमित दशमलव अंश, साथ ही कोई भी आवधिक दशमलव अंश एक तर्कसंगत संख्या है। यह ज्ञान हमें लिखित संख्याओं के समूह से तर्कसंगत संख्याओं को "पहचानने" की अनुमति देता है।

लेकिन क्या होगा यदि संख्या कुछ, या जैसे आदि के रूप में दी गई है, तो इस प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए कि क्या यह संख्या तर्कसंगत है? कई मामलों में तो जवाब देना बहुत मुश्किल होता है. आइए हम विचार की कुछ दिशाओं की ओर संकेत करें।

यदि कोई संख्या एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में दी गई है जिसमें केवल तर्कसंगत संख्याएं और अंकगणितीय चिह्न (+, −, · और:) शामिल हैं, तो इस अभिव्यक्ति का मान एक तर्कसंगत संख्या है। इससे यह पता चलता है कि परिमेय संख्याओं के साथ संक्रियाओं को कैसे परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक में सभी संक्रियाएँ निष्पादित करने के बाद, हमें परिमेय संख्या 18 प्राप्त होती है।

कभी-कभी, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें अधिक जटिल बनाने के बाद, यह निर्धारित करना संभव हो जाता है कि कोई दी गई संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

चलिए आगे बढ़ते हैं. संख्या 2 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि कोई भी प्राकृत संख्या परिमेय होती है। संख्या के बारे में क्या? क्या यह तर्कसंगत है? यह पता चला कि नहीं, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक अपरिमेय संख्या है (विरोधाभास द्वारा इस तथ्य का प्रमाण ग्रेड 8 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक में दिया गया है, जो संदर्भों की सूची में नीचे सूचीबद्ध है)। यह भी सिद्ध हो चुका है कि किसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल केवल उन मामलों में एक परिमेय संख्या होता है जब मूल के नीचे कोई संख्या होती है जो किसी प्राकृतिक संख्या का पूर्ण वर्ग होती है। उदाहरण के लिए, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि 81 = 9 2 और 1 024 = 32 2, और संख्याएँ परिमेय नहीं हैं, क्योंकि संख्या 7 और 199 प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

संख्या तर्कसंगत है या नहीं? इस मामले में, यह नोटिस करना आसान है कि, इसलिए, यह संख्या तर्कसंगत है। क्या संख्या तर्कसंगत है? यह सिद्ध हो चुका है कि किसी पूर्णांक का kवां मूल एक परिमेय संख्या तभी होता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की kवां घात हो। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसकी पाँचवीं घात 121 हो।

विरोधाभास द्वारा विधि किसी को यह साबित करने की अनुमति देती है कि कुछ संख्याओं के लघुगणक किसी कारण से तर्कसंगत संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए हम सिद्ध करें कि - एक परिमेय संख्या नहीं है।

आइए इसके विपरीत मान लें, यानी मान लें कि यह एक परिमेय संख्या है और इसे साधारण भिन्न m/n के रूप में लिखा जा सकता है। फिर हम निम्नलिखित समानताएँ देते हैं: . अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि बायीं ओर है विषम संख्या 5 n, और दाहिनी ओर सम संख्या 2 m है। इसलिए, हमारी धारणा गलत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

निष्कर्ष में, यह विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता या अतार्किकता का निर्धारण करते समय अचानक निष्कर्ष निकालने से बचना चाहिए।

उदाहरण के लिए, आपको तुरंत यह दावा नहीं करना चाहिए कि अपरिमेय संख्याओं π और e का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या है; यह "स्पष्ट प्रतीत होता है", लेकिन सिद्ध नहीं है। इससे यह प्रश्न उठता है: "कोई उत्पाद एक परिमेय संख्या क्यों होगा?" और क्यों नहीं, क्योंकि आप अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं, जिनका गुणनफल एक परिमेय संख्या देता है:।

यह भी अज्ञात है कि संख्याएँ और कई अन्य संख्याएँ परिमेय हैं या नहीं। उदाहरण के लिए, ऐसी अपरिमेय संख्याएँ होती हैं जिनकी अपरिमेय घात एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, हम फॉर्म की एक डिग्री प्रस्तुत करते हैं, इस डिग्री का आधार और घातांक परिमेय संख्या नहीं हैं, लेकिन, और 3 एक परिमेय संख्या है।

ग्रंथ सूची.

• अंक शास्त्र।छठी कक्षा: शैक्षणिक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [एन. हां विलेनकिन और अन्य]। - 22वां संस्करण, रेव। - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-00897-2.
• बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।

कोझिनोवा अनास्तासिया

नगरपालिका गैर-विशिष्ट बजट

सामान्य शैक्षणिक संस्थान

"लिसेयुम नंबर 76"

तर्कसंगत लेखांकन का रहस्य क्या है?

प्रदर्शन किया:

5वीं "बी" कक्षा का छात्र

कोझिनोवा अनास्तासिया

पर्यवेक्षक:

गणित शिक्षक

शचीक्लिना तात्याना

निकोलेवन्ना

नोवोकुज़नेत्स्क 2013

परिचय……………………………………………… 3

मुख्य भाग....................................................................................... 5-13

निष्कर्ष और निष्कर्ष……………………………………………….. 13-14

सन्दर्भ………………………………………………………….. 15

अनुप्रयोग……………………………………………………। 16-31

मैं. परिचय

संकट: संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का मान ज्ञात करना

कार्य का लक्ष्य:तर्कसंगत लेखांकन की मौजूदा विधियों और तकनीकों की खोज, अध्ययन, उन्हें व्यवहार में लागू करना।

कार्य:

1. समानांतर वर्गों के बीच एक सर्वेक्षण के रूप में एक लघु अनुसंधान का संचालन करें।

2. शोध विषय का विश्लेषण करें: स्कूल पुस्तकालय में उपलब्ध साहित्य, ग्रेड 5 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक में जानकारी, इंटरनेट पर।

3. तर्कसंगत लेखांकन के सबसे प्रभावी तरीकों और साधनों का चयन करें।

4. त्वरित मौखिक और लिखित गिनती के लिए मौजूदा तकनीकों को वर्गीकृत करें।

5. ग्रेड 5 समानांतरों में उपयोग के लिए तर्कसंगत गिनती तकनीकों वाले अनुस्मारक बनाएं।

अध्ययन का उद्देश्य: तर्कसंगत खाता.

अध्ययन का विषय: तर्कसंगत गिनती के तरीके.

शोध कार्य की प्रभावशीलता सुनिश्चित करने के लिए, मैंने निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया: विभिन्न संसाधनों से प्राप्त जानकारी का विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण; प्रश्नावली के रूप में समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण। प्रश्नावली मेरे द्वारा अध्ययन के उद्देश्य और उद्देश्यों, उत्तरदाताओं की उम्र के अनुसार विकसित की गई थी, और काम के मुख्य भाग में प्रस्तुत की गई है।

शोध कार्य के दौरान, तर्कसंगत गणना के तरीकों और तकनीकों से संबंधित मुद्दों पर विचार किया गया, और कंप्यूटिंग कौशल के साथ समस्याओं को खत्म करने और कंप्यूटिंग संस्कृति बनाने के लिए सिफारिशें दी गईं।

द्वितीय. मुख्य हिस्सा

छात्रों की कंप्यूटिंग संस्कृति का गठन

5-6 ग्रेड.

यह स्पष्ट है कि तर्कसंगत गणना तकनीक प्रत्येक व्यक्ति के जीवन में कम्प्यूटेशनल संस्कृति का एक आवश्यक तत्व है, मुख्य रूप से उनके व्यावहारिक महत्व के कारण, और छात्रों को लगभग हर पाठ में इसकी आवश्यकता होती है।

कम्प्यूटेशनल संस्कृति गणित और अन्य शैक्षणिक विषयों के अध्ययन की नींव है, क्योंकि इस तथ्य के अलावा कि गणना स्मृति और ध्यान को सक्रिय करती है, गतिविधियों को तर्कसंगत रूप से व्यवस्थित करने में मदद करती है और मानव विकास को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, कक्षाओं में, जब हर मिनट मूल्यवान होता है, बिना गलती किए और किसी अतिरिक्त कंप्यूटिंग टूल का उपयोग किए बिना, मौखिक और लिखित गणनाओं को जल्दी और तर्कसंगत रूप से पूरा करना बहुत महत्वपूर्ण है।

हम, स्कूली बच्चे, हर जगह इस समस्या का सामना करते हैं: कक्षा में, घर पर, दुकान में, आदि। इसके अलावा, ग्रेड 9 और 11 के बाद हमें आईजीए और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के रूप में परीक्षा देनी होगी, जहां माइक्रोकैलकुलेटर के उपयोग की अनुमति नहीं है। इसलिए, प्रत्येक व्यक्ति में कंप्यूटिंग संस्कृति विकसित करने की समस्या, जिसका एक तत्व तर्कसंगत गणना की तकनीकों में महारत हासिल करना है, अत्यंत महत्वपूर्ण हो जाती है।

तर्कसंगत गणना की तकनीकों में महारत हासिल करना विशेष रूप से आवश्यक है

गणित, इतिहास, प्रौद्योगिकी, कंप्यूटर विज्ञान इत्यादि जैसे विषयों के अध्ययन में, तर्कसंगत गणना संबंधित विषयों में महारत हासिल करने, जीवन स्थितियों में अध्ययन की जा रही सामग्री को बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करती है। तो हम किस बात का इंतज़ार कर रहे हैं? आइए तर्कसंगत गिनती तकनीकों के रहस्यों की दुनिया में चलें!!!

गणना करते समय विद्यार्थियों को क्या समस्याएँ आती हैं?

मेरी उम्र के साथियों को अक्सर विभिन्न कार्यों को करने में समस्याएँ आती हैं जिनमें उन्हें जल्दी और आसानी से गणना करने की आवश्यकता होती है . क्यों???

यहाँ कुछ अनुमान हैं:

1. विद्यार्थी को पढ़ा गया विषय ठीक से समझ में नहीं आया

2. विद्यार्थी सामग्री को दोहराता नहीं है।

3. विद्यार्थी का अंकगणित कौशल ख़राब है।

4. विद्यार्थी इस विषय का अध्ययन नहीं करना चाहता

5. छात्र का मानना ​​है कि यह उसके लिए उपयोगी नहीं होगा।

मैंने ये सभी धारणाएँ अपने अनुभव और अपने सहपाठियों और साथियों के अनुभव से लीं। हालाँकि, कम्प्यूटेशनल अभ्यासों में, तर्कसंगत गिनती कौशल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, इसलिए मैंने अध्ययन किया है, लागू किया है, और आपको कुछ तर्कसंगत गिनती तकनीकों से परिचित कराना चाहता हूं।

मौखिक और लिखित गणना की तर्कसंगत विधियाँ।

काम और रोजमर्रा की जिंदगी में विभिन्न प्रकार की गणनाओं की आवश्यकता लगातार उत्पन्न होती रहती है। मानसिक गिनती की सबसे सरल विधियों का उपयोग करने से थकान कम होती है, ध्यान और स्मृति विकसित होती है। गणना की श्रमता, सटीकता एवं गति को बढ़ाने के लिए तर्कसंगत गणना विधियों का उपयोग आवश्यक है। गणना की गति और सटीकता केवल गणना के मशीनीकरण के तरीकों और साधनों के तर्कसंगत उपयोग के साथ-साथ मानसिक गणना विधियों के सही उपयोग से ही प्राप्त की जा सकती है।

मैं. संख्याओं को सरलीकृत रूप से जोड़ने की तकनीकें

जोड़ने की चार ज्ञात विधियाँ हैं जो गणनाओं को गति दे सकती हैं।

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि इसका उपयोग मानसिक गणनाओं में किया जाता है, क्योंकि यह शब्दों के योग को सरल और तेज़ बनाता है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, जोड़ उच्चतम अंकों से शुरू होता है: दूसरे जोड़ के संबंधित अंक पहले जोड़ में जोड़े जाते हैं।

उदाहरण। आइए अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि का उपयोग करके संख्याओं 5287 और 3564 का योग ज्ञात करें।

समाधान। हम निम्नलिखित क्रम में गणना करेंगे:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

उत्तर: 8 851. (संयोजन-अनुविनियादिक नियम)

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ का दूसरा तरीका इसमें यह तथ्य शामिल है कि दूसरे पद का उच्चतम अंक पहले पद के उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है, फिर दूसरे पद का अगला अंक पहले पद के अगले अंक में जोड़ा जाता है, आदि।

आइए दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इस समाधान पर विचार करें, हमें मिलता है:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

उत्तर: 8851.

गोल संख्या विधि . वह संख्या जिसमें एक महत्वपूर्ण अंक होता है और एक या अधिक शून्य के साथ समाप्त होता है, गोल संख्या कहलाती है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब, दो या दो से अधिक पदों में से, आप उन्हें चुन सकते हैं जिन्हें पूरा करके एक पूर्ण संख्या बनाई जा सकती है। पूर्णांक संख्या और गणना स्थिति में निर्दिष्ट संख्या के बीच के अंतर को पूरक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1,000 - 978 = 22. इस मामले में, संख्या 22, 978 से 1,000 का अंकगणितीय जोड़ है।

गोल संख्या विधि का उपयोग करके जोड़ करने के लिए, आपको गोल संख्याओं के करीब एक या अधिक पदों को गोल करना होगा, गोल संख्याओं का योग करना होगा और परिणामी योग से अंकगणितीय जोड़ घटाना होगा।

उदाहरण। आइए पूर्णांक संख्या विधि का उपयोग करके संख्याओं 1,238 और 193 का योग ज्ञात करें।

समाधान। आइए संख्या 193 को 200 तक पूर्णांकित करें और इस प्रकार जोड़ें: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431। (संयोजन कानून)

पदों को समूहीकृत करने की विधि . इस पद्धति का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब पद, जब एक साथ समूहीकृत किए जाते हैं, तो गोल संख्याएँ देते हैं, जिन्हें बाद में एक साथ जोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। आइए संख्याओं 74, 32, 67, 48, 33 और 26 का योग ज्ञात करें।

समाधान। आइए समूहीकृत संख्याओं का योग इस प्रकार करें: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280।

(संयोजनात्मक-विनिमेय कानून)

या, जब संख्याओं को समूहीकृत करने पर समान योग प्राप्त होता है:

उदाहरण:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(संयोजनात्मक-विनिमेय कानून)

द्वितीय. संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीकें

अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि. यह विधि न्यूनतम से घटाए गए प्रत्येक अंक को क्रमिक रूप से घटाती है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब संख्याओं को पूर्णांकित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण। आइए संख्या 721 और 398 के बीच अंतर खोजें।

समाधान। आइए निम्नलिखित अनुक्रम में दी गई संख्याओं का अंतर ज्ञात करने के चरण निष्पादित करें:

आइए संख्या 398 को योग के रूप में कल्पना करें: 300 + 90 + 8 = 398;

आइए बिटवाइज़ घटाव करें:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

गोल संख्या विधि . इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सबट्रेंड एक गोल संख्या के करीब होता है। गणना करने के लिए, लघुअंत से, एक गोल संख्या के रूप में लिए गए उपअंक को घटाना और परिणामी अंतर में अंकगणितीय जोड़ जोड़ना आवश्यक है।

उदाहरण. आइए राउंड नंबर विधि का उपयोग करके संख्या 235 और 197 के बीच अंतर की गणना करें।

समाधान। 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

तृतीय. संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीकें

एक से गुणा करें और उसके बाद शून्य डालें। जब किसी संख्या को किसी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें एक के बाद शून्य (10; 100; 1,000, आदि) शामिल होता है, तो दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़े जाते हैं जितने एक के बाद गुणनखंड में होते हैं।

उदाहरण। आइए संख्या 568 और 100 का गुणनफल ज्ञात करें।

समाधान। 568 x 100 = 56,800.

अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि . किसी संख्या को किसी एक अंक वाली संख्या से गुणा करते समय इस विधि का उपयोग किया जाता है। यदि आपको दो-अंकीय (तीन-, चार-अंकीय, आदि) संख्या को एक-अंकीय संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले एकल-अंकीय गुणनखंड को किसी अन्य गुणनखंड के दहाई से गुणा किया जाता है, फिर उसकी इकाइयों से और परिणामी उत्पादों का सारांश दिया गया है।

उदाहरण। आइए संख्या 39 और 7 का गुणनफल ज्ञात करें।

समाधान। 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम)

गोल संख्या विधि . इस पद्धति का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब कोई एक गुणनखंड किसी पूर्ण संख्या के करीब हो। गुणक को एक गोल संख्या से गुणा किया जाता है, और फिर अंकगणितीय जोड़ से, और अंत में दूसरे को पहले उत्पाद से घटा दिया जाता है।

उदाहरण। आइए संख्या 174 और 69 का गुणनफल ज्ञात करें।

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12,180 - 174 = 12,006। (घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम)

किसी एक कारक को विघटित करने की एक विधि। इस पद्धति में, कारकों में से एक को पहले भागों (जोड़ों) में विभाजित किया जाता है, फिर दूसरे कारक को पहले कारक के प्रत्येक भाग से गुणा किया जाता है, और परिणामी उत्पादों का योग किया जाता है।

उदाहरण. आइए संख्या 13 और 325 का गुणनफल ज्ञात करें।

आइए संख्या 13 को पदों में विघटित करें: 13 = 10 + 3। प्रत्येक परिणामी पद को 325 से गुणा करें: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975। हम परिणामी उत्पादों का योग निकालते हैं: 3,250 + 975 = 4,225

तर्कसंगत मानसिक गणना के कौशल में महारत हासिल करने से आपका काम अधिक प्रभावी हो जाएगा। यह केवल दिए गए सभी अंकगणितीय संक्रियाओं में अच्छी महारत के साथ ही संभव है। तर्कसंगत गणना तकनीकों के उपयोग से गणना में तेजी आती है और आवश्यक सटीकता सुनिश्चित होती है। लेकिन आपको न केवल गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, बल्कि आपको गुणन सारणी, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम, वर्ग और रैंक भी जानने की आवश्यकता है।

ऐसी मानसिक गिनती प्रणालियाँ हैं जो आपको मौखिक रूप से जल्दी और तर्कसंगत रूप से गिनती करने की अनुमति देती हैं। हम सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली कुछ तकनीकों पर नज़र डालेंगे।

1. दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना.

हमने इस विधि का अध्ययन तो किया है, परन्तु इसका पूर्ण अध्ययन नहीं किया है इस विधि का रहस्य यह है कि इसे अंकगणितीय संक्रियाओं का नियम माना जा सकता है।

उदाहरण:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (वितरण कानून और पूर्ण संख्या विधि)

हमने इस विधि का अध्ययन किया, लेकिन हम किसी अन्य विधि को नहीं जानते थे दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने का रहस्य।

दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने पर प्राप्त परिणामों का अवलोकन करते समय, मैंने देखा कि उत्तर प्राप्त करने का एक अधिक सुविधाजनक तरीका था : दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर इस संख्या के अंक अलग-अलग हो जाते हैं और इन अंकों का योग बीच में रख दिया जाता है।

ए) 23 11=253, क्योंकि 2+3=5;

बी) 45 11=495, क्योंकि 4+5=9;

ग) 57 11=627, क्योंकि 5+7=12, दोनों को बीच में रखा गया, और एक को सैकड़े के स्थान पर जोड़ा गया;

घ) 78 11=858, चूंकि 7+8=15, तो दहाई की संख्या 5 के बराबर होगी, और सैकड़ों की संख्या एक बढ़कर 8 के बराबर होगी।

मुझे इंटरनेट पर इस पद्धति की पुष्टि मिली।

2) दो अंकों वाली संख्याओं का गुणनफल जिनमें दहाई की संख्या समान हो और उनकी इकाइयों का योग 10 हो, यानी 23 27; 34 36; 52 58 आदि।

नियम: दहाई के अंक को प्राकृतिक श्रृंखला के अगले अंक से गुणा किया जाता है, परिणाम लिखा जाता है और इकाइयों का गुणनफल उसमें जोड़ा जाता है।

ए) 23 27=621. आपको 621 कैसे मिले? हम संख्या 2 को 3 से गुणा करते हैं ("दो" के बाद "तीन" आता है), यह 6 हो जाता है, और इसके आगे हम इकाइयों का गुणनफल जोड़ते हैं: 3 7 = 21, यह 621 निकलता है।

बी) 34 36 = 1224, चूँकि 3 4 = 12, हम संख्या 12 को 24 प्रदान करते हैं, यह इन संख्याओं की इकाइयों का गुणनफल है: 4 6।

ग) 52 58 = 3016, क्योंकि हम दहाई के अंक 5 को 6 से गुणा करते हैं, यह 30 होगा, हम 2 और 8 का गुणनफल निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात 16।

घ) 61 69=4209. यह स्पष्ट है कि 6 को 7 से गुणा किया गया और हमें 42 प्राप्त हुआ। शून्य कहाँ से आया? इकाइयों को गुणा किया गया और हमें मिला: 1 9 = 9, लेकिन परिणाम दो अंकों का होना चाहिए, इसलिए हम 09 लेते हैं।

3) समान अंकों वाली तीन अंकों वाली संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करने पर परिणाम तीन अंकों वाली संख्या के इन समान अंकों के योग के बराबर होता है (या तीन अंकों वाली संख्या के अंकों के तीन गुना के बराबर संख्या)।

उदाहरण: ए) 222:37=6। यह योग है 2+2+2=6; बी) 333:37=9, क्योंकि 3+3+3=9।

ग) 777:37=21, अर्थात 7+7+7=21।

घ) 888:37=24, क्योंकि 8+8+8=24।

हम यह भी ध्यान में रखते हैं कि 888:24=37।

तृतीय. निष्कर्ष

अपने काम के विषय में मुख्य रहस्य को जानने के लिए, मुझे कड़ी मेहनत करनी पड़ी - खोज करना, जानकारी का विश्लेषण करना, सहपाठियों का सर्वेक्षण करना, प्रारंभिक ज्ञात तरीकों को दोहराना और तर्कसंगत गणना के कई अपरिचित तरीकों को ढूंढना, और अंततः समझना उसका रहस्य क्या है? और मुझे एहसास हुआ कि मुख्य बात ज्ञात लोगों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना है, गिनती के नए तर्कसंगत तरीकों, गुणन तालिका, संख्याओं की संरचना (वर्ग और रैंक), अंकगणितीय संचालन के नियमों को ढूंढना है। अलावा,

नए तरीके खोजें:

- संख्याओं को सरलीकृत रूप से जोड़ने की तकनीकें: (अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि; गोल संख्या की विधि; किसी एक कारक को पदों में विघटित करने की विधि);

-संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीकें(अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि; गोल संख्या विधि);

-संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीकें(एक से गुणा और उसके बाद शून्य; अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि; गोल संख्या विधि; कारकों में से एक को विघटित करने की विधि ;

- तीव्र मानसिक गिनती का रहस्य(दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर, इस संख्या के अंक अलग हो जाते हैं और इन अंकों का योग बीच में रख दिया जाता है; दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल दहाई की संख्या समान, और इकाई का योग 10; समान अंक वाली तीन अंकीय संख्याओं का विभाजन, संख्या 37 तक। संभवतः ऐसे कई और तरीके हैं, इसलिए मैं इस विषय पर आगे काम करना जारी रखूंगा वर्ष।

चतुर्थ. ग्रन्थसूची

1. सविन ए. पी. गणितीय लघुचित्र / ए. पी. सविन। - एम.: बाल साहित्य, 1991

2. जुबरेवा आई.आई., गणित, ग्रेड 5: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच. - एम.: मेनेमोसिन, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. Biografia.ru

6. http://www. गणित-पुनरावृत्ति. आरयू

वी. अनुप्रयोग

लघु अध्ययन (प्रश्नावली के रूप में सर्वेक्षण)

तर्कसंगत गणना के बारे में छात्रों के ज्ञान की पहचान करने के लिए, मैंने निम्नलिखित प्रश्नों पर प्रश्नावली के रूप में एक सर्वेक्षण किया:

* क्या आप जानते हैं कि तर्कसंगत गणना तकनीकें क्या हैं?

*यदि हाँ, तो कहाँ से, और यदि नहीं, तो क्यों?

* आप तर्कसंगत गिनती के कितने तरीके जानते हैं?

* क्या आपको मानसिक गणना करने में कठिनाई होती है?

* आप गणित में कैसे पढ़ते हैं? ए) से "5"; बी) से "4"; ग) से "3"

*आपको गणित के बारे में सबसे अधिक क्या पसंद है?

ए) उदाहरण; बी) कार्य; ग) भिन्न

* आपके अनुसार गणित के अलावा मानसिक अंकगणित कहाँ उपयोगी हो सकता है? *क्या आपको अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम याद हैं, और यदि हां, तो कौन से?

एक सर्वेक्षण करने के बाद, मुझे एहसास हुआ कि मेरे सहपाठियों को अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों के बारे में पर्याप्त जानकारी नहीं है, उनमें से अधिकांश को तर्कसंगत गिनती में समस्या होती है, कई छात्र धीरे-धीरे और त्रुटियों के साथ गिनती करते हैं, और हर कोई जल्दी, सही तरीके से गिनती करना सीखना चाहता है। सुविधाजनक तरीके से. इसलिए, मेरे शोध कार्य का विषय न केवल सभी विद्यार्थियों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

1. गणना की दिलचस्प मौखिक और लिखित विधियाँ जो हमने पाठ्यपुस्तक "गणित, 5वीं कक्षा" के उदाहरणों का उपयोग करते हुए गणित के पाठों में पढ़ीं:

उनमें से कुछ यहां हैं:

किसी संख्या को शीघ्रता से 5 से गुणा करना, यह नोट करना पर्याप्त है कि 5=10:2।

उदाहरण के लिए, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

किसी संख्या को 50 से गुणा करना , आप इसे 100 से गुणा कर सकते हैं और 2 से विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

किसी संख्या को 25 से गुणा करना , आप इसे 100 से गुणा कर सकते हैं और 4 से विभाजित कर सकते हैं,

उदाहरण के लिए, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

किसी संख्या को 125 से गुणा करना , आप इसे 1000 से गुणा कर सकते हैं और 8 से विभाजित कर सकते हैं,

उदाहरण के लिए: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

एक पूर्णांक संख्या जिसके अंत में दो 0 हैं उसे 25 से विभाजित करना , आप इसे 100 से विभाजित कर सकते हैं और 4 से गुणा कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

किसी पूर्णांक संख्या को 50 से विभाजित करना , को 100 से विभाजित किया जा सकता है और 2 से गुणा किया जा सकता है

उदाहरण के लिए: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

लेकिन आपको न केवल गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, बल्कि आपको गुणन सारणी, अंकगणितीय संचालन के नियम, संख्याओं की संरचना (वर्ग और अंक) और उनका उपयोग करने का कौशल भी जानना होगा।

अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम.

ए + बी = बी + ए

जोड़ का क्रमविनिमेय नियम

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)

जोड़ का संयोजन नियम

ए · बी = बी · ए

गुणन का क्रमविनिमेय नियम

(ए · बी) · सी = ए · (बी · सी)

गुणन का संयुक्त नियम

(ए = बी) · सी = ए · सी = बी · सी

गुणन का वितरणात्मक नियम (जोड़ के सापेक्ष)

पहाड़ा।

गुणन क्या है?

यह एक स्मार्ट जोड़ है.

आख़िरकार, बार-बार गुणा करना अधिक बुद्धिमानी है,

फिर एक घंटे के लिए सब कुछ जोड़ लें।

पहाड़ा

हम सभी को अपने जीवन में इसकी आवश्यकता है।

और इसे यूं ही नहीं कहा जाता है

वह कई गुना बढ़ गई!

रैंक और वर्ग

बड़े मानों वाली संख्याओं को पढ़ना और याद रखना सुविधाजनक बनाने के लिए, उन्हें तथाकथित "वर्गों" में विभाजित किया जाना चाहिए: दाईं ओर से शुरू करके, संख्या को एक स्थान द्वारा तीन अंकों में विभाजित किया जाता है "प्रथम श्रेणी", फिर दूसरा तीन अंक चुने गए हैं, "द्वितीय श्रेणी" और आदि। संख्या के अर्थ के आधार पर, अंतिम वर्ग तीन, दो या एक अंक के साथ समाप्त हो सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35461298 इस प्रकार लिखी गई है:

यह संख्या वर्गों में विभाजित है:

482 - प्रथम श्रेणी (इकाइयों का वर्ग)

630 – द्वितीय श्रेणी (हजारों वर्ग)

35 - तृतीय श्रेणी (लाख वर्ग)

स्राव होना

वर्ग में शामिल प्रत्येक अंक को उसका अंक कहा जाता है, जिसे दाईं ओर से भी गिना जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35,630,482 को वर्गों और रैंकों में विभाजित किया जा सकता है:

482 - प्रथम श्रेणी

2 - पहला अंक (इकाई अंक)

8 - दूसरा अंक (दसवां स्थान)

4 - तीसरा अंक (सैकड़ा स्थान)

630 - द्वितीय श्रेणी

0 - पहला अंक (हजार अंक)

3 - दूसरा अंक (दसियों हजार अंक)

6 - तीसरा अंक (सैकड़ों हजार अंक)

35- तृतीय श्रेणी

5 - पहला अंक (लाख अंक)

3 - दूसरा अंक (दसियों लाख अंक)

संख्या 35,630,482 पढ़ी जाती है:

पैंतीस करोड़ छह सौ तीस हजार चार सौ बयासी।

तर्कसंगत गिनती में समस्याएँ और उन्हें कैसे ठीक करें

याद रखने की तर्कसंगत विधियाँ।

सर्वेक्षण और पाठों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, मैंने देखा कि कुछ छात्र विभिन्न समस्याओं और अभ्यासों को अच्छी तरह से हल नहीं कर पाते क्योंकि वे तर्कसंगत गणना विधियों से परिचित नहीं हैं।

1. तकनीकों में से एक है अध्ययन की जा रही सामग्री को एक ऐसी प्रणाली में लाना जो याद रखने और स्मृति में संग्रहीत करने के लिए सुविधाजनक हो।

2. याद की गई सामग्री को एक निश्चित प्रणाली में स्मृति द्वारा संग्रहीत करने के लिए, इसकी सामग्री पर कुछ काम करना आवश्यक है।

3. फिर आप पाठ के प्रत्येक अलग-अलग हिस्से को आत्मसात करना शुरू कर सकते हैं, इसे दोबारा पढ़ सकते हैं और जो कुछ आपने पढ़ा है उसे तुरंत दोहराने (खुद को या ज़ोर से दोहराने) की कोशिश कर सकते हैं।

4. याद रखने के लिए सामग्री की पुनरावृत्ति का बहुत महत्व है। लोकप्रिय कहावत इस बारे में कहती है: "दोहराव सीखने की जननी है।" लेकिन इसे समझदारी और सही ढंग से दोहराया जाना चाहिए।

दोहराव के कार्य को उन दृष्टांतों या उदाहरणों का उपयोग करके जीवंत किया जाना चाहिए जो पहले मौजूद नहीं थे या जिन्हें पहले ही भुला दिया गया है।

उपरोक्त के आधार पर, हम शैक्षिक सामग्री की सफल महारत के लिए निम्नलिखित सिफारिशें संक्षेप में तैयार कर सकते हैं:

1. एक कार्य निर्धारित करें, शैक्षिक सामग्री को जल्दी और दृढ़ता से लंबे समय तक याद रखें।

2. जो सीखने की जरूरत है उस पर ध्यान दें।

3. अध्ययन सामग्री को अच्छे से समझें.

4. याद किए गए पाठ के लिए एक योजना बनाएं, उसमें मुख्य विचारों पर प्रकाश डालें और पाठ को भागों में तोड़ दें।

5. यदि सामग्री बड़ी है, तो क्रमिक रूप से एक के बाद एक भाग पर महारत हासिल करें और फिर हर चीज को समग्र रूप में प्रस्तुत करें।

6. सामग्री को पढ़ने के बाद, आपको उसे पुन: प्रस्तुत करना होगा (बताएं कि आपने क्या पढ़ा है)।

7. सामग्री भूल जाने से पहले उसे दोहराएँ।

8. पुनरावृत्ति को लंबी अवधि में वितरित करें।

9. याद करते समय, विभिन्न प्रकार की मेमोरी (मुख्य रूप से शब्दार्थ) और अपनी मेमोरी की कुछ व्यक्तिगत विशेषताओं (दृश्य, श्रवण या मोटर) का उपयोग करें।

10. कठिन सामग्री को सोने से पहले और फिर सुबह दोहराना चाहिए, "ताजा याददाश्त के लिए।"

11. अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लाने का प्रयास करें। यह उन्हें स्मृति में सुरक्षित रखने का सबसे अच्छा तरीका है (यह अकारण नहीं है कि वे कहते हैं: "सीखने की असली जननी दोहराव नहीं है, बल्कि अनुप्रयोग है")।

12. हमें और अधिक ज्ञान प्राप्त करने, कुछ नया सीखने की आवश्यकता है।

अब आप सीख गए हैं कि पढ़ी गई सामग्री को जल्दी और सही ढंग से कैसे याद किया जाए।

2 से 10 तक लगातार प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के साथ कुछ संख्याओं को 9 से गुणा करने की एक दिलचस्प तकनीक

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=1111111111

123456789x9+10=1111111111

दिलचस्प खेल "संख्या का अनुमान लगाओ"

क्या आपने "संख्या का अनुमान लगाएं" खेल खेला है? यह बहुत ही सरल गेम है. मान लीजिए कि मैं 100 से कम एक प्राकृतिक संख्या के बारे में सोचता हूं, इसे कागज पर लिखता हूं (ताकि धोखाधड़ी की कोई संभावना न हो), और आप ऐसे प्रश्न पूछकर इसका अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं जिनका उत्तर केवल "हां" या "नहीं" हो सकता है। फिर आप एक संख्या का अनुमान लगाते हैं, और मैं उसका अनुमान लगाने का प्रयास करता हूँ। जो कम प्रश्नों में सही अनुमान लगाता है वह जीत जाता है।

मेरे नंबर का अनुमान लगाने में आपको कितने प्रश्न लगेंगे? नहीं जानतीं? मैं केवल सात प्रश्न पूछकर आपकी संख्या का अनुमान लगाने का कार्य करता हूँ। कैसे? उदाहरण के लिए, यहां बताया गया है कि कैसे। आपको एक संख्या का अनुमान लगाने दीजिए. मैं पूछता हूं: "क्या यह 64 से कम है?" - "हाँ"। - "32 से कम?" - "हाँ"। - "16 से कम?" - "हाँ"। - "8 से कम?" - "नहीं"। - "12 से कम?" - "नहीं"। - "14 से कम?" - "हाँ"। - "13 से कम?" - "नहीं"। - "नंबर 13 की योजना बनाई गई है।"

यह स्पष्ट है? मैं संभावित संख्याओं के सेट को आधे में विभाजित करता हूं, फिर शेष आधे को फिर से आधा में विभाजित करता हूं, और इसी तरह, जब तक कि शेष में एक संख्या न हो जाए।

यदि आपको खेल पसंद आया या, इसके विपरीत, आप और अधिक चाहते हैं, तो पुस्तकालय में जाएँ और पुस्तक "ए" उठाएँ। पी. सविन (गणितीय लघुचित्र)। इस किताब में आपको बहुत सी दिलचस्प और रोमांचक बातें मिलेंगी। पुस्तक छवि:

ध्यान देने के लिए सभी को धन्यवाद

और मैं आपकी सफलता की कामना करता हूँ!!!

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तर्कसंगत गिनती का रहस्य क्या है?

कार्य का उद्देश्य: जानकारी की खोज करना, तर्कसंगत लेखांकन की मौजूदा विधियों और तकनीकों का अध्ययन करना, उन्हें व्यवहार में लागू करना।

कार्य: 1. समानांतर वर्गों के बीच एक सर्वेक्षण के रूप में एक लघु-अनुसंधान का संचालन करें। 2. शोध विषय पर विश्लेषण करें: स्कूल पुस्तकालय में उपलब्ध साहित्य, ग्रेड 5 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक में जानकारी, साथ ही इंटरनेट पर भी। 3. तर्कसंगत गणना के सबसे प्रभावी तरीकों और साधनों का चयन करें। 4. तीव्र मौखिक और लिखित गिनती के लिए मौजूदा तकनीकों को वर्गीकृत करें। 5. 5वीं कक्षा के समानांतरों में उपयोग के लिए तर्कसंगत गिनती तकनीकों वाले मेमो बनाएं।

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, तर्कसंगत गणना का विषय न केवल छात्रों के लिए, बल्कि हर व्यक्ति के लिए प्रासंगिक है, यह सुनिश्चित करने के लिए, मैंने 5वीं कक्षा के छात्रों के बीच एक सर्वेक्षण किया। सर्वेक्षण के प्रश्न और उत्तर आपके लिए परिशिष्ट में प्रस्तुत किए गए हैं।

तर्कसंगत गिनती क्या है? तर्कसंगत खाता एक सुविधाजनक खाता है (तर्कसंगत शब्द का अर्थ सुविधाजनक, सही है)

विद्यार्थियों को कठिनाई क्यों होती है???

यहां कुछ धारणाएं दी गई हैं: छात्र: 1. अध्ययन किए गए विषय को ठीक से नहीं समझ पाया है; 2. सामग्री को दोहराता नहीं है; 3. अंकगणित कौशल ख़राब है; 4 . विश्वास है कि उसे इसकी आवश्यकता नहीं होगी।

मौखिक और लिखित गणना की तर्कसंगत विधियाँ। काम और रोजमर्रा की जिंदगी में विभिन्न प्रकार की गणनाओं की आवश्यकता लगातार उत्पन्न होती रहती है। मानसिक गिनती की सबसे सरल विधियों का उपयोग करने से थकान कम होती है, ध्यान और स्मृति विकसित होती है।

जोड़ने की चार ज्ञात विधियाँ हैं जो गणनाओं को गति दे सकती हैं। I. संख्याओं के सरलीकृत जोड़ की तकनीक

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि का उपयोग मानसिक गणना में किया जाता है, क्योंकि यह शब्दों के योग को सरल और तेज़ बनाता है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, जोड़ उच्चतम अंकों से शुरू होता है: दूसरे जोड़ के संबंधित अंक पहले जोड़ में जोड़े जाते हैं। उदाहरण। आइए इस विधि का उपयोग करके संख्याओं 5287 और 3564 का योग ज्ञात करें। समाधान। हम निम्नलिखित क्रम में गणना करेंगे: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8,287 + 500 = 8,787; 8,787 + 60 = 8,847; 8847 + 4 = 8851. उत्तर: 8,851.

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ का दूसरा तरीका यह है कि दूसरे जोड़ का उच्चतम अंक पहले जोड़ के उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है, फिर दूसरे जोड़ का अगला अंक पहले जोड़ के अगले अंक में जोड़ा जाता है, आदि। आइए दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इस समाधान पर विचार करें, हमें मिलता है: 5,000 + 3,000 = 8,000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 उत्तर: 8851.

गोल संख्या विधि. एक या अधिक शून्य पर समाप्त होने वाली संख्या को गोल संख्या कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब, दो या दो से अधिक पदों में से, आप उन्हें चुन सकते हैं जिन्हें पूरा करके एक पूर्ण संख्या बनाई जा सकती है। पूर्णांक संख्या और गणना स्थिति में निर्दिष्ट संख्या के बीच के अंतर को पूरक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1,000 - 978 = 22. इस मामले में, संख्या 22, संख्या 978 से 1,000 का अंकगणितीय जोड़ है। गोल संख्या विधि का उपयोग करके जोड़ करने के लिए, आपको गोल संख्याओं के करीब एक या अधिक पदों को गोल करना होगा, गोल संख्याओं का योग करना होगा और परिणामी योग से अंकगणितीय जोड़ घटाना होगा। उदाहरण। आइए पूर्णांक संख्या विधि का उपयोग करके संख्याओं 1,238 और 193 का योग ज्ञात करें। समाधान। आइए संख्या 193 को 200 तक पूर्णांकित करें और योग इस प्रकार करें: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431।

पदों को समूहीकृत करने की विधि. इस पद्धति का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब पद, जब एक साथ समूहीकृत किए जाते हैं, तो गोल संख्याएँ देते हैं, जिन्हें बाद में एक साथ जोड़ दिया जाता है। उदाहरण। संख्याओं 74, 32, 67, 48, 33 और 26 का योग ज्ञात कीजिए। हल। आइए समूहीकृत संख्याओं का योग इस प्रकार करें: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280।

शब्दों को समूहीकृत करने पर आधारित एक अतिरिक्त विधि। उदाहरण: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

द्वितीय. संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीकें

अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि. यह विधि न्यूनतम से घटाए गए प्रत्येक अंक को क्रमिक रूप से घटाती है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब संख्याओं को पूर्णांकित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण। आइए संख्या 721 और 398 के बीच अंतर खोजें। आइए निम्नलिखित अनुक्रम में दी गई संख्याओं के बीच अंतर खोजने के लिए कदम उठाएं: संख्या 398 को योग के रूप में कल्पना करें: 300 + 90 + 8 = 398; आइए बिटवाइज़ घटाव करें: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

गोल संख्या विधि. इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सबट्रेंड एक गोल संख्या के करीब होता है। गणना करने के लिए, लघुअंत से, एक गोल संख्या के रूप में लिए गए उपअंक को घटाना और परिणामी अंतर में अंकगणितीय जोड़ जोड़ना आवश्यक है। उदाहरण। आइए राउंड नंबर विधि का उपयोग करके संख्या 235 और 197 के बीच अंतर की गणना करें। समाधान। 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

तृतीय. संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीकें

एक से गुणा करें और उसके बाद शून्य डालें। जब किसी संख्या को किसी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें एक के बाद शून्य (10; 100; 1,000, आदि) शामिल होता है, तो दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़े जाते हैं जितने एक के बाद गुणनखंड में होते हैं। उदाहरण। आइए संख्या 568 और 100 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 568 x 100 = 56,800.

अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि. किसी संख्या को किसी एक अंक वाली संख्या से गुणा करते समय इस विधि का उपयोग किया जाता है। यदि आपको दो-अंकीय (तीन-, चार-अंकीय, आदि) संख्या को एकल-अंकीय संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले एक कारक को दूसरे कारक के दहाई से गुणा किया जाता है, फिर उसकी इकाइयों से गुणा किया जाता है। परिणामी उत्पादों का सारांश दिया गया है। उदाहरण। आइए संख्या 39 और 7 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

गोल संख्या विधि. इस पद्धति का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब कोई एक गुणनखंड किसी पूर्ण संख्या के करीब हो। गुणक को एक गोल संख्या से गुणा किया जाता है, और फिर अंकगणितीय जोड़ से, और अंत में दूसरे को पहले उत्पाद से घटा दिया जाता है। उदाहरण। आइए संख्या 174 और 69 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006।

किसी एक कारक को विघटित करने की एक विधि। इस विधि में, कारकों में से एक को पहले भागों (जोड़ों) में विभाजित किया जाता है, फिर दूसरे कारक को पहले कारक के प्रत्येक भाग से गुणा किया जाता है, और परिणामी उत्पादों का योग किया जाता है। उदाहरण। आइए संख्या 13 और 325 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। आइए संख्या को पदों में विघटित करें: 13 = 10 + 3। प्रत्येक परिणामी पद को 325 से गुणा करें: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975 हम परिणामी उत्पादों को जोड़ते हैं: 3,250 + 975 = 4,225।

तीव्र मानसिक गणना का रहस्य. ऐसी मानसिक गिनती प्रणालियाँ हैं जो आपको मौखिक रूप से जल्दी और तर्कसंगत रूप से गिनती करने की अनुमति देती हैं। हम सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली कुछ तकनीकों पर नज़र डालेंगे।

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना.

उदाहरण: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (वितरणात्मक नियम और पूर्ण संख्या विधि) हमने अध्ययन किया यह विधि, लेकिन हम दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने का कोई अन्य रहस्य नहीं जानते थे।

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर प्राप्त परिणामों का अवलोकन करते हुए, मैंने देखा कि आप उत्तर अधिक सुविधाजनक तरीके से प्राप्त कर सकते हैं: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करते समय, इस संख्या के अंक अलग हो जाते हैं और इनका योग होता है अंकों को बीच में रखा जाता है. उदाहरण। ए) 23 11=253, क्योंकि 2+3=5; बी) 45 11=495, क्योंकि 4+5=9; ग) 57 11=627, क्योंकि 5+7=12, दोनों को बीच में रखा गया, और एक को सैकड़े के स्थान पर जोड़ा गया; मुझे इंटरनेट पर इस पद्धति की पुष्टि मिली।

2) दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल जिसमें दहाई की संख्या समान हो और इकाइयों का योग 10 हो, यानी 23 27; 34 36; 52 58, आदि नियम: दहाई अंक को प्राकृतिक श्रृंखला में अगले अंक से गुणा किया जाता है, परिणाम लिखा जाता है और इकाइयों का उत्पाद इसमें जोड़ा जाता है। उदाहरण। ए) 23 27=621. आपको 621 कैसे मिले? हम संख्या 2 को 3 से गुणा करते हैं ("दो" के बाद "तीन" आता है), यह 6 हो जाता है, और इसके आगे हम इकाइयों का गुणनफल जोड़ते हैं: 3 7 = 21, यह 621 निकलता है। बी) 34 36 = 1224, चूँकि 3 4 = 12, हम संख्या 12 को 24 प्रदान करते हैं, यह इन संख्याओं की इकाइयों का गुणनफल है: 4 6।

3) समान अंकों वाली तीन अंकों वाली संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करें। परिणाम तीन अंकों की संख्या के इन समान अंकों के योग के बराबर है (या तीन अंकों की संख्या के अंक के तीन गुना के बराबर संख्या)। उदाहरण। ए) 222:37=6. यह योग 2+2+2=6 है. बी) 333:37=9, क्योंकि 3+3+3=9। ग) 777:37=21, अर्थात 7+7+7=21। घ) 888:37=24, क्योंकि 8+8+8=24। हम यह भी ध्यान में रखते हैं कि 888:24=37।

तर्कसंगत मानसिक गणना के कौशल में महारत हासिल करने से आपका काम अधिक प्रभावी हो जाएगा। यह केवल दिए गए सभी अंकगणितीय संक्रियाओं में अच्छी महारत के साथ ही संभव है। तर्कसंगत गणना तकनीकों के उपयोग से गणना में तेजी आती है और आवश्यक सटीकता सुनिश्चित होती है।

निष्कर्ष मेरे काम के विषय में मुख्य रहस्य को जानने के लिए, मुझे कड़ी मेहनत करनी पड़ी - खोज करना, जानकारी का विश्लेषण करना, सहपाठियों का सर्वेक्षण करना, प्रारंभिक ज्ञात तरीकों को दोहराना और तर्कसंगत गणना के कई अपरिचित तरीकों को ढूंढना, और अंत में समझना कि इसका रहस्य क्या है? और मुझे एहसास हुआ कि मुख्य बात यह है कि ज्ञात लोगों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना, गिनती के नए तर्कसंगत तरीकों को ढूंढना, गुणन तालिका, संख्याओं की संरचना (वर्ग और रैंक), अंकगणितीय संचालन के नियमों को जानना। इसके अलावा, नए तरीके खोजें:

संख्याओं के सरलीकृत जोड़ की तकनीकें: (अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि; गोल संख्या विधि; किसी एक कारक को पदों में विघटित करने की विधि); - संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीक (अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि; गोल संख्या विधि); - संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीक (एक के बाद शून्य से गुणा करना; अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की एक विधि; एक गोल संख्या विधि; कारकों में से एक को विघटित करने की एक विधि; - तेज मानसिक गणना के रहस्य (दो अंकों की संख्या को गुणा करना) 11: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करते समय, इस संख्या के अंक अलग हो जाते हैं और बीच में इन अंकों का योग डालते हैं; दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल जिसमें दहाई की संख्या समान होती है, और योग इकाइयों की संख्या 10 है; समान अंकों वाली तीन अंकों वाली संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करना। संभवतः ऐसी कई और विधियाँ हैं, इसलिए मैं अगले वर्ष इस विषय पर काम करना जारी रखूँगा।

अंत में, मैं अपना भाषण इन शब्दों के साथ समाप्त करना चाहूंगा:

ध्यान देने के लिए आप सभी का धन्यवाद, मैं आपकी सफलता की कामना करता हूँ!!!