समान यादृच्छिक वितरण। एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर को सामान्य रूप से वितरित एक में परिवर्तित करना
एक सतत यादृच्छिक चर के उदाहरण के रूप में, एक यादृच्छिक चर X को अंतराल पर समान रूप से वितरित (a; b) पर विचार करें। हम कहते हैं कि यादृच्छिक चर X बराबर बाटना अंतराल (ए; बी) पर, यदि इसका वितरण घनत्व इस अंतराल पर स्थिर नहीं है:
सामान्यीकरण की स्थिति से, हम स्थिरांक c का मान निर्धारित करते हैं। वितरण घनत्व वक्र के नीचे का क्षेत्र एक के बराबर होना चाहिए, लेकिन हमारे मामले में यह एक आधार (बी - α) और ऊंचाई सी (छवि 1) के साथ एक आयत का क्षेत्र है। 
चावल। 1 समान वितरण घनत्व
यहाँ से हम अचर c का मान ज्ञात करते हैं: 
तो, एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का घनत्व बराबर है 
आइए अब सूत्र द्वारा वितरण फलन ज्ञात करें:
1) के लिए 
2) के लिए
3) 0+1+0=1 के लिए।
इस तरह, 
वितरण फलन सतत है और घटता नहीं है (चित्र 2)। 
चावल। 2 समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य
हमे पता करने दें एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षासूत्र के अनुसार:
समान वितरण विचरणसूत्र द्वारा गणना की जाती है और बराबर है
उदाहरण 1। मापक यंत्र का स्केल डिवीजन मान 0.2 है। इंस्ट्रूमेंट रीडिंग को निकटतम पूरे डिवीजन में गोल किया जाता है। पढ़ने के दौरान त्रुटि होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) 0.04 से कम; बी) बड़ा 0.02
समाधान। गोलाई त्रुटि एक यादृच्छिक चर है जो समान रूप से आसन्न पूर्णांक विभाजनों के बीच अंतराल पर वितरित किया जाता है। इस तरह के एक विभाजन के रूप में अंतराल (0; 0.2) पर विचार करें (चित्र ए)। राउंडिंग को बाईं सीमा - 0, और दाईं ओर - 0.2 दोनों की ओर किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 0.04 से कम या उसके बराबर की त्रुटि दो बार की जा सकती है, जिसे संभाव्यता की गणना करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए: 
पी = 0.2 + 0.2 = 0.4
दूसरे मामले के लिए, दोनों डिवीजन सीमाओं पर त्रुटि मान 0.02 से अधिक हो सकता है, अर्थात यह 0.02 से अधिक या 0.18 से कम हो सकता है। 
फिर इस तरह की त्रुटि की संभावना:
उदाहरण # 2। यह मान लिया गया था कि पिछले 50 वर्षों में देश में आर्थिक स्थिति की स्थिरता (युद्धों, प्राकृतिक आपदाओं, आदि की अनुपस्थिति) को आयु के अनुसार जनसंख्या के वितरण की प्रकृति से आंका जा सकता है: एक शांत स्थिति में, यह होना चाहिए वर्दी. अध्ययन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित डेटा देशों में से एक के लिए प्राप्त किए गए थे।
क्या यह मानने का कोई कारण है कि देश में अस्थिर स्थिति थी?हम कैलकुलेटर परिकल्पना परीक्षण का उपयोग करके निर्णय लेते हैं. संकेतकों की गणना के लिए तालिका।
| समूहों | अंतराल मध्य, x i | मात्रा, फाई | एक्स आई * एफ आई | संचयी आवृत्ति, एस | |एक्स - एक्स सीएफ |*एफ | (एक्स - एक्स एसआर) 2 * एफ | आवृत्ति, च मैं /एन |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
भारित औसत
विविधता संकेतक.
पूर्ण भिन्नता दर.
भिन्नता की सीमा प्राथमिक श्रृंखला की विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है।
आर = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट
आर = 70 - 0 = 70
फैलाव- इसके माध्य मान के चारों ओर फैलाव के माप की विशेषता है (फैलाव का माप, यानी माध्य से विचलन)।
मानक विचलन.
श्रृंखला का प्रत्येक मान 43 के औसत मान से 23.92 . से अधिक नहीं भिन्न होता है
वितरण के प्रकार के बारे में परीक्षण परिकल्पना.
4. के बारे में परिकल्पना का परीक्षण वर्दी वितरणसामान्य जनसंख्या।
X के समान वितरण के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, अर्थात। कानून के अनुसार: f(x) = 1/(b-a) अंतराल में (a,b)
ज़रूरी:
1. पैरामीटर ए और बी का अनुमान लगाएं - अंतराल के अंत जिसमें एक्स के संभावित मान देखे गए थे, सूत्रों के अनुसार (* चिह्न पैरामीटर के अनुमानों को दर्शाता है):
2. अनुमानित वितरण का प्रायिकता घनत्व ज्ञात कीजिए f(x) = 1/(b * - a *)
3. सैद्धांतिक आवृत्तियों का पता लगाएं:
एन 1 \u003d एनपी 1 \u003d एन \u003d एन * 1 / (बी * - ए *) * (एक्स 1 - ए *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या मानते हुए, पियर्सन परीक्षण का उपयोग करके अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों की तुलना करें k = s-3, जहां s प्रारंभिक नमूना अंतराल की संख्या है; यदि, हालांकि, छोटी आवृत्तियों का संयोजन, और इसलिए स्वयं अंतराल बनाया गया था, तो संयोजन के बाद शेष अंतरालों की संख्या s है।
समाधान:
1. सूत्रों का उपयोग करके समान वितरण के पैरामीटर a * और b * के अनुमानों का पता लगाएं:
2. कल्पित समान वितरण का घनत्व ज्ञात कीजिए:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. सैद्धांतिक आवृत्तियों का पता लगाएं:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
शेष n s बराबर होंगे:
एन एस = एन * एफ (एक्स) (एक्स आई - एक्स आई -1)
| मैं | मैं | एन*आई | एन मैं - एन * मैं | (एन मैं - एन * मैं) 2 | (एन मैं - एन * मैं) 2 /एन * मैं |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6ई-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5ई-5 | 0.000199 |
| कुल | 1 | 0.0532 |
इसलिए, इस आंकड़े के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्र हमेशा दाएं हाथ का होता है: यदि इसकी संभाव्यता घनत्व इस खंड पर स्थिर है, और इसके बाहर 0 है (यानी, एक यादृच्छिक चर एक्सखंड पर केंद्रित [ एक, बी], जिस पर इसका निरंतर घनत्व होता है)। इस परिभाषा के अनुसार, खंड पर समान रूप से वितरित घनत्व का [ एक, बी] अनियमित चर एक्सकी तरह लगता है:
कहाँ पे साथकुछ संख्या है। हालांकि, अंतराल पर केंद्रित आरवी के लिए संभाव्यता घनत्व संपत्ति का उपयोग करके इसे खोजना आसान है [ एक,
बी]:
. इसलिए यह इस प्रकार है कि 
, कहाँ पे 
. इसलिए, खंड पर समान रूप से वितरित घनत्व [ एक,
बी] अनियमित चर एक्सकी तरह लगता है:
.
एनएसवी के वितरण की एकरूपता का न्याय करने के लिए। एक्सनिम्नलिखित विचार से संभव है। एक सतत यादृच्छिक चर का अंतराल पर एक समान वितरण होता है [ एक, बी] अगर यह केवल इस खंड से मान लेता है, और इस खंड से किसी भी संख्या का इस खंड के अन्य नंबरों पर इस यादृच्छिक चर के मूल्य होने में सक्षम होने के अर्थ में कोई फायदा नहीं है।
एक समान वितरण के साथ यादृच्छिक चर में ऐसे चर शामिल होते हैं जैसे एक स्टॉप पर परिवहन का प्रतीक्षा समय (आंदोलन के निरंतर अंतराल पर, प्रतीक्षा समय समान रूप से इस अंतराल पर वितरित किया जाता है), संख्या की पूर्णांक त्रुटि (समान रूप से वितरित) पर [-0.5 , 0.5 ]) और दूसरे।
वितरण समारोह का प्रकार एफ(एक्स)
एक,
बी] अनियमित चर एक्सज्ञात संभाव्यता घनत्व द्वारा खोजा जाता है एफ(एक्स)
उनके कनेक्शन के सूत्र का उपयोग करना 
. संबंधित गणनाओं के परिणामस्वरूप, हम वितरण फ़ंक्शन के लिए निम्न सूत्र प्राप्त करते हैं: एफ(एक्स)
समान रूप से वितरित खंड [ एक,
बी] अनियमित चर एक्स
:
.
आंकड़े संभाव्यता घनत्व के ग्राफ दिखाते हैं एफ(एक्स) और वितरण कार्य एफ(एक्स) समान रूप से वितरित खंड [ एक, बी] अनियमित चर एक्स :
एक समान रूप से वितरित खंड की गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन, विधा और माध्यिका [ एक, बी] अनियमित चर एक्ससंभाव्यता घनत्व से परिकलित एफ(एक्स) सामान्य तरीके से (और साधारण उपस्थिति के कारण काफी सरल) एफ(एक्स) ) परिणाम निम्नलिखित सूत्र है:
लेकिन फैशन डी(एक्स) अंतराल की कोई संख्या है [ एक, बी].
आइए समान रूप से वितरित खंड से टकराने की प्रायिकता ज्ञात करें [ एक,
बी] अनियमित चर एक्सअंतराल में 
, पूरी तरह से अंदर लेटा हुआ [ एक,
बी]. वितरण फलन के ज्ञात रूप को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, समान रूप से वितरित खंड से टकराने की प्रायिकता [ एक,
बी] अनियमित चर एक्सअंतराल में 
, पूरी तरह से अंदर लेटा हुआ [ एक,
बी], इस अंतराल की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल इसकी लंबाई पर निर्भर करता है और इस लंबाई के सीधे आनुपातिक है।
उदाहरण. बस का अंतराल 10 मिनट है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बस स्टॉप पर पहुंचने वाला यात्री बस के लिए 3 मिनट से कम प्रतीक्षा करेगा? बस के लिए औसत प्रतीक्षा समय क्या है?
सामान्य वितरण
यह वितरण अक्सर व्यवहार में सामने आता है और संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों और उनके अनुप्रयोगों में एक असाधारण भूमिका निभाता है, क्योंकि प्राकृतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान, समाजशास्त्र, सैन्य विज्ञान और इतने पर इतने सारे यादृच्छिक चर इस तरह के वितरण हैं। यह वितरण सीमित कानून है, जिसे वितरण के कई अन्य कानूनों द्वारा (कुछ प्राकृतिक परिस्थितियों में) संपर्क किया जाता है। सामान्य वितरण कानून की मदद से, उन घटनाओं का भी वर्णन किया जाता है जो किसी भी प्रकृति के कई स्वतंत्र यादृच्छिक कारकों और उनके वितरण के किसी भी कानून की कार्रवाई के अधीन हैं। आइए परिभाषाओं पर चलते हैं।
एक सतत यादृच्छिक चर को वितरित कहा जाता है सामान्य कानून (या गाऊसी कानून), यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:
,
नंबर कहां हैं एकतथा σ (σ>0 ) इस वितरण के पैरामीटर हैं।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यादृच्छिक चर के वितरण के गॉस नियम के कई अनुप्रयोग हैं। इस कानून के अनुसार, उपकरणों द्वारा माप त्रुटियां, शूटिंग के दौरान लक्ष्य के केंद्र से विचलन, निर्मित भागों के आयाम, लोगों का वजन और ऊंचाई, वार्षिक वर्षा, नवजात शिशुओं की संख्या और बहुत कुछ वितरित किया जाता है।
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व के लिए उपरोक्त सूत्र में दो पैरामीटर शामिल हैं, जैसा कि कहा गया था एकतथा σ , और इसलिए कार्यों के एक परिवार को परिभाषित करता है जो इन मापदंडों के मूल्यों के आधार पर भिन्न होता है। यदि हम कार्यों के अध्ययन के गणितीय विश्लेषण के सामान्य तरीकों को लागू करते हैं और एक सामान्य वितरण की संभावना घनत्व की साजिश रचते हैं, तो हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
इसके विवर्तन बिंदु हैं।
प्राप्त जानकारी के आधार पर, हम संभाव्यता घनत्व का एक ग्राफ बनाते हैं एफ(एक्स) सामान्य वितरण (इसे गाऊसी वक्र - आकृति कहा जाता है)।
आइए जानें कि मापदंडों को बदलने से कैसे प्रभावित होता है एकतथा σ गाऊसी वक्र के आकार पर। यह स्पष्ट है (यह सामान्य वितरण के घनत्व के सूत्र से देखा जा सकता है) कि पैरामीटर में परिवर्तन एकवक्र के आकार को नहीं बदलता है, लेकिन केवल धुरी के साथ दाएं या बाएं स्थानांतरित होता है एक्स. निर्भरता σ अधिक मुश्किल। ऊपर किए गए अध्ययन से, यह देखा जा सकता है कि अधिकतम का मान और विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक पैरामीटर पर कैसे निर्भर करते हैं σ . इसके अलावा, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि किसी भी पैरामीटर के लिए एकतथा σ गाऊसी वक्र के नीचे का क्षेत्र 1 के बराबर रहता है (यह संभाव्यता घनत्व का एक सामान्य गुण है)। जो कहा गया है, वह इस प्रकार है कि पैरामीटर में वृद्धि के साथ σ वक्र चपटा हो जाता है और अक्ष के साथ फैल जाता है एक्स. आंकड़ा पैरामीटर के विभिन्न मूल्यों के लिए गाऊसी घटता दिखाता है σ (σ 1 < σ< σ 2 ) और समान पैरामीटर मान एक.
मापदंडों के संभाव्य अर्थ का पता लगाएं एकतथा σ
सामान्य वितरण। पहले से ही संख्या से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में गाऊसी वक्र की समरूपता से एकधुरी पर एक्सयह स्पष्ट है कि औसत मूल्य (अर्थात गणितीय अपेक्षा) एम (एक्स)) सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के बराबर है एक. उन्हीं कारणों से, बहुलक और माध्यिका भी संख्या a के बराबर होनी चाहिए। संबंधित सूत्रों के अनुसार सटीक गणना इसकी पुष्टि करती है। यदि हम उपरोक्त व्यंजक को के लिए लिखते हैं एफ(एक्स)
प्रसरण के सूत्र में स्थानापन्न करें 
, फिर अभिन्न की (बल्कि कठिन) गणना के बाद, हम उत्तर में संख्या प्राप्त करते हैं σ
2
. इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के लिए एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित, निम्नलिखित मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं प्राप्त की गईं:
इसलिए, सामान्य वितरण के मापदंडों का संभाव्य अर्थ एकतथा σ अगला। अगर आर.वी. एक्सएकतथा σ एक σ.
आइए अब वितरण फलन ज्ञात करें एफ(एक्स)
एक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, सामान्य कानून के अनुसार वितरित, संभाव्यता घनत्व के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए एफ(एक्स)
और सूत्र 
. प्रतिस्थापित करते समय एफ(एक्स)
हम एक "अवांछित" अभिन्न प्राप्त करते हैं। सब कुछ जो अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है एफ(एक्स),
यह फ़ॉर्म में इस फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व है:
,
कहाँ पे एफ (एक्स)- तथाकथित लाप्लास समारोह, जो दिखता है
.
जिस समाकलन के संदर्भ में लाप्लास फलन व्यक्त किया जाता है, वह भी नहीं लिया जाता है (लेकिन प्रत्येक के लिए एक्सइस अभिन्न की गणना लगभग किसी भी पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ की जा सकती है)। हालांकि, इसकी गणना करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत पर किसी भी पाठ्यपुस्तक के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक तालिका है। एफ (एक्स)किसी दिए गए मूल्य पर एक्स. निम्नलिखित में, हमें लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता संपत्ति की आवश्यकता होगी: एफ(−x)=−एफ (एक्स)सभी नंबरों के लिए एक्स.
आइए अब हम प्रायिकता ज्ञात करें कि सामान्य रूप से वितरित r.v. एक्सदिए गए संख्यात्मक अंतराल से एक मान लेगा (α, β) . वितरण फलन के सामान्य गुणों से (α< एक्स< β)= एफ(β) − एफ(α) . स्थानापन्न α तथा β के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति में एफ(एक्स) , हम पाते हैं
.
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यदि आर.वी. एक्समापदंडों के साथ सामान्य रूप से वितरित एकतथा σ , तो इसका माध्य मान के बराबर होता है एक, और मानक विचलन के बराबर है σ. इसीलिए औसतइस आर.वी. के मूल्यों का विचलन। जब संख्या से परीक्षण किया गया एकबराबरी σ. लेकिन यह औसत विचलन है। इसलिए, बड़े विचलन भी संभव हैं। हम यह पता लगाते हैं कि ये या वे विचलन औसत मूल्य से कितने संभव हैं। आइए हम प्रायिकता ज्ञात करें कि एक यादृच्छिक चर का मान सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है एक्सइसके माध्य से विचलन एम (एक्स) = एकुछ संख्या δ से कम, अर्थात। आर(| एक्स− एक|<δ ) : . इस तरह,
.
इस समानता में प्रतिस्थापित करना =3σ, हम प्रायिकता प्राप्त करते हैं कि r.v का मान। एक्स(एक परीक्षण में) माध्य से तीन गुना से कम विचलन करेगा σ (औसत विचलन के साथ, जैसा कि हमें याद है, के बराबर σ ): (अर्थ एफ(3)लाप्लास फ़ंक्शन के मूल्यों की तालिका से लिया गया)। तक़रीबन वही 1 ! तब विपरीत घटना की प्रायिकता (कि मान कम से कम 3σ) के बराबर है 1 −0.997=0.003 , जो के बहुत करीब है 0 . इसलिए, यह घटना "लगभग असंभव" है − बहुत कम ही होता है (औसतन 3 समय पूरा हुआ 1000 ) यह तर्क प्रसिद्ध "थ्री सिग्मा रूल" का औचित्य है।
थ्री सिग्मा रूल. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक ही परीक्षण मेंव्यावहारिक रूप से इसके औसत से अधिक विचलन नहीं करता है 3σ.
एक बार फिर, हम इस बात पर जोर देते हैं कि हम एक परीक्षण के बारे में बात कर रहे हैं। यदि एक यादृच्छिक चर के कई परीक्षण हैं, तो यह बहुत संभव है कि इसके कुछ मान औसत से आगे बढ़ेंगे। 3σ. यह निम्नलिखित की पुष्टि करता है
उदाहरण. क्या संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के 100 परीक्षणों के बाद एक्सइसका कम से कम एक मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक माध्य से विचलित होगा? 1000 परीक्षणों के बारे में क्या?
समाधान। घटना होने दें लेकिनइसका मतलब है कि एक यादृच्छिक चर का परीक्षण करते समय एक्सइसका मान माध्य से अधिक से अधिक विचलन करता है 3σ.जैसा कि अभी पता चला है, इस घटना की संभावना पी = पी (ए) = 0.003।ऐसे 100 परीक्षण किए गए हैं। हमें घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है लेकिनहो गई कम से कमटाइम्स, यानी से आया 1 इससे पहले 100 एक बार। यह मापदंडों के साथ एक विशिष्ट बर्नौली योजना समस्या है एन=100 (स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या), पी=0.003(घटना की प्रायिकता लेकिनएक परीक्षण में) क्यू=1− पी=0.997 . ढूँढना चाहता था आर 100 (1≤ क≤100) . इस मामले में, निश्चित रूप से, पहले विपरीत घटना की संभावना का पता लगाना आसान है आर 100 (0) - संभावना है कि घटना लेकिनकभी नहीं हुआ (यानी 0 बार हुआ)। घटना की संभावनाओं और इसके विपरीत के बीच संबंध को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
इतना कम नहीं। यह अच्छी तरह से हो सकता है (परीक्षणों की ऐसी हर चौथी श्रृंखला में औसतन होता है)। पर 1000 एक ही योजना के अनुसार परीक्षण, यह प्राप्त किया जा सकता है कि कम से कम एक विचलन की संभावना से अधिक है 3σ, बराबर: . इसलिए कम से कम एक ऐसे विचलन की प्रतीक्षा करना सुरक्षित है।
उदाहरण. एक निश्चित आयु वर्ग के पुरुषों की ऊंचाई सामान्य रूप से गणितीय अपेक्षा के साथ वितरित की जाती है एक, और मानक विचलन σ . वेशभूषा का क्या अनुपात क- किसी दिए गए आयु वर्ग के लिए कुल उत्पादन में वृद्धि को शामिल किया जाना चाहिए यदि क-वें विकास निम्नलिखित सीमाओं से निर्धारित होता है:
1 वृद्धि : 158 − 164 सेमी 2वृद्धि : 164 - 170 सेमी 3वृद्धि : 170 - 176 सेमी 4वृद्धि : 176 - 182 सेमी
समाधान। आइए निम्नलिखित पैरामीटर मानों के साथ समस्या को हल करें: ए = 178,=6,क=3
. चलो आर.वी. एक्स
−
बेतरतीब ढंग से चुने गए व्यक्ति की ऊंचाई (इसे सामान्य रूप से दिए गए मापदंडों के साथ स्थिति के अनुसार वितरित किया जाता है)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति की आवश्यकता होगी 3
वें विकास। लाप्लास फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करना एफ (एक्स)और इसके मूल्यों की एक तालिका: पी(170
एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण एक्स, जो खंड से सभी मान लेता है , कहा जाता है वर्दी, यदि इस खंड पर इसकी संभाव्यता घनत्व स्थिर है, और इसके बाहर शून्य के बराबर है। इस प्रकार, एक सतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व एक्स, खंड पर समान रूप से वितरित , की तरह लगता है:
आइए परिभाषित करें अपेक्षित मूल्य, फैलावऔर एक समान वितरण वाले यादृच्छिक चर के लिए।
, 
, 
.
उदाहरण।एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के सभी मान खंड पर स्थित हैं . एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (3;5) .
ए = 2, बी = 8, 
.
द्विपद वितरण
इसे उत्पादित होने दें एनपरीक्षण, और किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता एप्रत्येक परीक्षण में है पीऔर अन्य परीक्षणों (स्वतंत्र परीक्षणों) के परिणाम पर निर्भर नहीं करता है। चूँकि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता एएक परीक्षण में है पी, तो इसके न होने की प्रायिकता बराबर होती है क्यू = 1-पी.
घटना होने दें एमें आया एनपरीक्षणों एमएक बार। इस जटिल घटना को एक उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:
.
तो संभावना है कि एनपरीक्षण घटना एआएगा एमटाइम्स , सूत्र द्वारा गणना की जाती है:
या 
(1)
सूत्र (1) कहा जाता है बर्नौली सूत्र.
होने देना एक्सघटना की घटनाओं की संख्या के बराबर एक यादृच्छिक चर है एमें एनपरीक्षण, जो संभावनाओं के साथ मान लेता है:
एक यादृच्छिक चर के वितरण के परिणामी नियम को कहा जाता है द्विपद वितरण कानून.
| एक्स | एम | एन | ||||
| पी |
अपेक्षित मूल्य, फैलावतथा मानक विचलनद्विपद नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
, , .
उदाहरण।लक्ष्य पर तीन गोलियां दागी जाती हैं, और प्रत्येक गोली मारने की प्रायिकता 0.8 है। हम एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या। इसका वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
पी = 0.8, क्यू = 0.2, एन = 3, 
, , 
.
- 0 हिट की संभावना;
एक हिट की संभावना;
दो हिट की संभावना;
तीन हिट की संभावना है।
हमें वितरण कानून मिलता है:
| एक्स | ||||
| पी | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
कार्य
1. एक सिक्के को 7 बार उछाला जाता है। इसके 4 बार उल्टा गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
2. एक सिक्के को 8 बार उछाला जाता है। संभावना है कि हथियारों का कोट तीन बार से अधिक नहीं दिखाई देगा।
3. बंदूक से फायरिंग करते समय लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता p=0.6. यदि 10 शॉट दागे जाते हैं तो हिट की कुल संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
4. 20 टिकट खरीदे जाने पर जीतने वाले लॉटरी टिकटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा खोजें, और एक टिकट के जीतने की संभावना 0.3 है।
इस मामले में वितरण कार्य, (5.7) के अनुसार, रूप लेगा:
जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।
जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर का पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण होता है: एम, निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम;
अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को द्वारा निरूपित किया जाता है एक . यदि एक यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:
|
|
.सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।
चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व
एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं को उसके घनत्व द्वारा निर्धारित करने पर एक उदाहरण पर विचार किया जाता है।
उदाहरण 6.
वितरण घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है: 
.
वितरण के प्रकार का निर्धारण करें, गणितीय अपेक्षा M(X) और प्रसरण D(X) ज्ञात करें।
दिए गए वितरण घनत्व की (5.16) से तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि m = 4 के साथ सामान्य वितरण नियम दिया गया है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा M(X)=4, प्रसरण D(X)=9.
मानक विचलन एस = 3।
लैपलेस फ़ंक्शन, जिसका रूप है:
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,सामान्य वितरण फलन (5.17) से संबंधित है, संबंध द्वारा:
एफ 0 (एक्स) \u003d एफ (एक्स) + 0.5।
लाप्लास फ़ंक्शन विषम है।
(-x)=-Ф(x)।
लाप्लास फ़ंक्शन (х) के मानों को सारणीबद्ध किया जाता है और x के मान के अनुसार तालिका से लिया जाता है (देखें परिशिष्ट 1)।
एक सतत यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण संभाव्यता के सिद्धांत और वास्तविकता के वर्णन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; यह यादृच्छिक प्राकृतिक घटनाओं में बहुत व्यापक है। व्यवहार में, बहुत बार यादृच्छिक चर होते हैं जो कई यादृच्छिक शब्दों के योग के परिणामस्वरूप सटीक रूप से बनते हैं। विशेष रूप से, माप त्रुटियों के विश्लेषण से पता चलता है कि वे विभिन्न प्रकार की त्रुटियों का योग हैं। अभ्यास से पता चलता है कि माप त्रुटियों का संभाव्यता वितरण सामान्य कानून के करीब है।
लैपलेस फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना और एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन की गणना करने की समस्याओं को हल कर सकता है।
इस मुद्दे का लंबे समय से विस्तार से अध्ययन किया गया है, और 1958 में जॉर्ज बॉक्स, मर्विन मुलर और जॉर्ज मार्सग्लिया द्वारा प्रस्तावित ध्रुवीय निर्देशांक की विधि का सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। यह विधि आपको माध्य 0 और विचरण 1 के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की एक जोड़ी प्राप्त करने की अनुमति देती है:
जहां Z 0 और Z 1 वांछित मान हैं, s \u003d u 2 + v 2, और u और v यादृच्छिक चर हैं जो समान रूप से खंड (-1, 1) पर वितरित किए जाते हैं, इस तरह से चुना जाता है कि स्थिति 0 संतुष्ट हो< s < 1.
कई लोग बिना सोचे-समझे भी इन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं, और कई को उनके अस्तित्व पर संदेह भी नहीं होता है, क्योंकि वे तैयार किए गए कार्यान्वयन का उपयोग करते हैं। लेकिन ऐसे लोग हैं जिनके पास सवाल हैं: “यह सूत्र कहाँ से आया? और आपको एक ही बार में मूल्यों की एक जोड़ी क्यों मिलती है? आगे मैं इन सवालों का स्पष्ट जवाब देने की कोशिश करूंगा।
सबसे पहले, मैं आपको याद दिला दूं कि प्रायिकता घनत्व, यादृच्छिक चर का वितरण फलन और प्रतिलोम फलन क्या है। मान लीजिए कि कोई यादृच्छिक चर है, जिसका वितरण घनत्व फलन f(x) द्वारा दिया जाता है, जिसका निम्न रूप है:
इसका मतलब है कि इस यादृच्छिक चर का मान अंतराल (ए, बी) में होने की संभावना छायांकित क्षेत्र के क्षेत्र के बराबर है। और परिणामस्वरूप, पूरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल एकता के बराबर होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्थिति में यादृच्छिक चर का मान फ़ंक्शन f के डोमेन में आ जाएगा।
यादृच्छिक चर का वितरण फलन घनत्व फलन का अभिन्न अंग है। और इस मामले में, इसका अनुमानित रूप इस प्रकार होगा:
यहाँ अर्थ यह है कि यादृच्छिक चर का मान प्रायिकता B के साथ A से कम होगा। और परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन कभी कम नहीं होता है, और इसके मान अंतराल में होते हैं।
एक उलटा फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो मूल फ़ंक्शन का तर्क देता है यदि आप इसमें मूल फ़ंक्शन का मान पास करते हैं। उदाहरण के लिए, फलन x 2 के लिए व्युत्क्रम मूल निष्कर्षण फलन होगा, sin (x) के लिए यह arcsin (x), आदि है।
चूंकि अधिकांश छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर आउटपुट पर केवल एक समान वितरण देते हैं, इसलिए अक्सर इसे किसी अन्य में परिवर्तित करना आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, एक सामान्य गाऊसी के लिए:
एक समान वितरण को किसी अन्य वितरण में बदलने के लिए सभी विधियों का आधार उलटा परिवर्तन विधि है। यह निम्नानुसार काम करता है। एक फ़ंक्शन पाया जाता है जो आवश्यक वितरण के कार्य के विपरीत होता है, और एक यादृच्छिक चर समान रूप से खंड (0, 1) पर वितरित किया जाता है, इसे एक तर्क के रूप में पारित किया जाता है। आउटपुट पर, हम आवश्यक वितरण के साथ एक मान प्राप्त करते हैं। स्पष्टता के लिए, यहाँ निम्न चित्र है।
इस प्रकार, एक समान खंड, जैसा कि यह था, नए वितरण के अनुसार स्मियर किया गया, एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन के माध्यम से दूसरे अक्ष पर प्रक्षेपित किया जा रहा है। लेकिन समस्या यह है कि गाऊसी वितरण के घनत्व का अभिन्न गणना करना आसान नहीं है, इसलिए उपरोक्त वैज्ञानिकों को धोखा देना पड़ा।
एक ची-वर्ग वितरण (पियर्सन वितरण) है, जो k स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण है। और मामले में जब k = 2, यह वितरण घातीय है।
इसका अर्थ यह है कि यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु में यादृच्छिक एक्स और वाई निर्देशांक सामान्य रूप से वितरित होते हैं, तो इन निर्देशांक को ध्रुवीय प्रणाली (आर, θ) में परिवर्तित करने के बाद, त्रिज्या का वर्ग (मूल से बिंदु तक की दूरी) तेजी से वितरित किया जाएगा, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग निर्देशांक के वर्गों का योग है (पायथागॉरियन कानून के अनुसार)। विमान पर ऐसे बिंदुओं का वितरण घनत्व इस तरह दिखेगा:
चूँकि यह सभी दिशाओं में समान है, कोण का 0 से 2π के परास में एकसमान वितरण होगा। इसका विलोम भी सत्य है: यदि आप दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर (कोण समान रूप से वितरित और त्रिज्या घातांकी रूप से वितरित) का उपयोग करके ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु निर्दिष्ट करते हैं, तो इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर होंगे। और समान वितरण से घातीय वितरण पहले से ही समान उलटा परिवर्तन विधि का उपयोग करके प्राप्त करना बहुत आसान है। यह बॉक्स-मुलर ध्रुवीय पद्धति का सार है।
अब आइए सूत्र प्राप्त करें।
(1)
आर और θ प्राप्त करने के लिए, खंड (0, 1) पर समान रूप से वितरित दो यादृच्छिक चर उत्पन्न करना आवश्यक है (चलिए उन्हें यू और वी कहते हैं), जिनमें से एक का वितरण (मान लें वी) को घातीय में परिवर्तित किया जाना चाहिए त्रिज्या प्राप्त करें। घातीय वितरण फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:
इसका उलटा कार्य:
चूंकि समान वितरण सममित है, परिवर्तन फ़ंक्शन के साथ समान रूप से कार्य करेगा
यह ची-स्क्वायर वितरण सूत्र से निम्नानुसार है कि = 0.5। हम इस फ़ंक्शन में λ, v को प्रतिस्थापित करते हैं और त्रिज्या का वर्ग प्राप्त करते हैं, और फिर स्वयं त्रिज्या:
हम इकाई खंड को 2π तक खींचकर कोण प्राप्त करते हैं:
अब हम r और को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
(2)
ये सूत्र उपयोग के लिए तैयार हैं। एक्स और वाई स्वतंत्र होंगे और सामान्य रूप से 1 के विचरण और 0 के माध्य के साथ वितरित किए जाएंगे। अन्य विशेषताओं के साथ वितरण प्राप्त करने के लिए, मानक विचलन द्वारा फ़ंक्शन के परिणाम को गुणा करने और माध्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है।
लेकिन कोण को सीधे नहीं, बल्कि अप्रत्यक्ष रूप से एक सर्कल में एक यादृच्छिक बिंदु के आयताकार निर्देशांक के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों से छुटकारा पाना संभव है। फिर, इन निर्देशांकों के माध्यम से, त्रिज्या वेक्टर की लंबाई की गणना करना संभव होगा, और फिर क्रमशः x और y को विभाजित करके कोसाइन और साइन का पता लगाएं। यह कैसे और क्यों काम करता है?
हम इकाई त्रिज्या के वृत्त में समान रूप से वितरित से एक यादृच्छिक बिंदु चुनते हैं और इस बिंदु के त्रिज्या वेक्टर की लंबाई के वर्ग को अक्षर s द्वारा निरूपित करते हैं:
पसंद यादृच्छिक x और y आयताकार निर्देशांक को अंतराल (-1, 1) में समान रूप से वितरित करके बनाया जाता है, और उन बिंदुओं को त्यागना जो सर्कल से संबंधित नहीं हैं, साथ ही केंद्रीय बिंदु जिस पर त्रिज्या वेक्टर का कोण है परिभाषित नहीं। यानी शर्त 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
हमें सूत्र मिलते हैं, जैसा कि लेख की शुरुआत में है। इस पद्धति का नुकसान उन बिंदुओं की अस्वीकृति है जो सर्कल में शामिल नहीं हैं। यानी उत्पन्न यादृच्छिक चर के केवल 78.5% का उपयोग करना। पुराने कंप्यूटरों पर, त्रिकोणमितीय कार्यों की कमी अभी भी एक बड़ा फायदा था। अब, जब एक प्रोसेसर निर्देश एक साथ एक पल में साइन और कोसाइन की गणना करता है, तो मुझे लगता है कि ये विधियां अभी भी प्रतिस्पर्धा कर सकती हैं।
व्यक्तिगत रूप से, मेरे दो और प्रश्न हैं:
- s का मान समान रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
- दो सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों का योग घातीय रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
यदि सामान्य यादृच्छिक चर के लिए एक समान परिवर्तन किया जाता है, तो इसके वर्ग का घनत्व कार्य हाइपरबोला के समान हो जाएगा। और सामान्य यादृच्छिक चर के दो वर्गों का जोड़ पहले से ही दोहरे एकीकरण से जुड़ी एक अधिक जटिल प्रक्रिया है। और तथ्य यह है कि परिणाम एक घातीय वितरण होगा, व्यक्तिगत रूप से, यह मेरे लिए एक व्यावहारिक विधि से जांचना या इसे एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार करना बाकी है। और रुचि रखने वालों के लिए, मेरा सुझाव है कि आप इन पुस्तकों से ज्ञान प्राप्त करते हुए अपने आप को इस विषय से परिचित कराएँ:
- वेंटजेल ई.एस. सिद्धांत संभावना
- नट डी.ई. प्रोग्रामिंग वॉल्यूम 2 की कला
अंत में, मैं जावास्क्रिप्ट में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या जनरेटर के कार्यान्वयन का एक उदाहरण दूंगा:
फ़ंक्शन गॉस () ( वर तैयार = झूठा; वर दूसरा = 0.0; यह। अगला = फ़ंक्शन (माध्य, देव) (माध्य = माध्य == अपरिभाषित? 0.0: माध्य; देव = देव == अपरिभाषित? 1.0: देव; अगर ( this.ready) (this.ready = false; return this.second * dev + माध्य;) और (var u, v, s; do (u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) जबकि (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; वापसी r * v * dev + माध्य;)); ) g = नया गॉस (); // एक ऑब्जेक्ट बनाएं a = g.next (); // मूल्यों की एक जोड़ी उत्पन्न करें और पहला प्राप्त करें b = g.next (); // दूसरा c = g.next () प्राप्त करें; // फिर से मूल्यों की एक जोड़ी उत्पन्न करें और पहला प्राप्त करें
माध्य (गणितीय अपेक्षा) और देव (मानक विचलन) पैरामीटर वैकल्पिक हैं। मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि लघुगणक स्वाभाविक है।
