फलन की वृद्धि की अधिकतम दर ज्ञात कीजिए। किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट कैसे खोजें

ढाल कार्योंएक वेक्टर मात्रा है, जिसकी खोज फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव की परिभाषा से जुड़ी है। ग्रेडिएंट की दिशा स्केलर फ़ील्ड के एक बिंदु से दूसरे तक फ़ंक्शन के सबसे तेज़ विकास के पथ को इंगित करती है।

अनुदेश

1. किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट पर समस्या को हल करने के लिए, डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग किया जाता है, अर्थात्, तीन चरों में पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न का पता लगाना। यह माना जाता है कि फ़ंक्शन स्वयं और उसके सभी आंशिक डेरिवेटिव में फ़ंक्शन के डोमेन में निरंतरता की संपत्ति होती है।

2. ग्रेडिएंट एक वेक्टर है, जिसकी दिशा फ़ंक्शन F में सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को इंगित करती है। ऐसा करने के लिए, ग्राफ़ पर दो बिंदुओं M0 और M1 का चयन किया जाता है, जो वेक्टर के सिरे होते हैं। ग्रेडिएंट का मान फ़ंक्शन के बिंदु M0 से बिंदु M1 तक बढ़ने की दर के बराबर है।

3. इस सदिश के सभी बिंदुओं पर फलन अवकलनीय है, इसलिए निर्देशांक अक्षों पर सदिश के प्रक्षेपण इसके सभी आंशिक अवकलज हैं। फिर ग्रेडिएंट फॉर्मूला इस तरह दिखता है: ग्रेड = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, जहां i, j, k यूनिट वेक्टर निर्देशांक हैं। दूसरे शब्दों में, किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट एक वेक्टर होता है जिसके निर्देशांक इसके आंशिक व्युत्पन्न ग्रेड F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z) होते हैं।

4. उदाहरण 1. मान लीजिए फलन F = sin (x z?) / y दिया गया है। बिंदु (?/6, 1/4, 1) पर इसकी प्रवणता ज्ञात करना आवश्यक है।

5. समाधान। किसी भी चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न निर्धारित करें: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. प्रसिद्ध बिंदु निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. फंक्शन ग्रेडिएंट फॉर्मूला लागू करें: grad F = 2 ?3 i - 8 j + 2 ?/?3 k।

8. उदाहरण 2. बिंदु (1, 2, 1) पर फलन F = y arсtg (z / x) की प्रवणता के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

9. समाधान। F'_x \u003d 0 आर्कटिक (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x) ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.ग्रेड = (- 1, ?/4, 1)।

अदिश क्षेत्र प्रवणता एक सदिश राशि है। इस प्रकार, इसे खोजने के लिए, स्केलर क्षेत्र के विभाजन के बारे में ज्ञान के आधार पर संबंधित वेक्टर के सभी घटकों को निर्धारित करना आवश्यक है।

अनुदेश

1. उच्च गणित पर एक पाठ्यपुस्तक में पढ़ें कि अदिश क्षेत्र का ग्रेडिएंट क्या है। जैसा कि आप जानते हैं, इस सदिश राशि की एक दिशा होती है जो अदिश फलन की अधिकतम क्षय दर द्वारा अभिलक्षित होती है। किसी दी गई सदिश मात्रा का ऐसा भाव उसके घटकों के निर्धारण के लिए व्यंजक द्वारा न्यायोचित है।

2. याद रखें कि प्रत्येक वेक्टर को उसके घटकों के मूल्यों से परिभाषित किया जाता है। वेक्टर घटक वास्तव में इस वेक्टर के एक या दूसरे समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपण होते हैं। इस प्रकार, यदि त्रि-आयामी स्थान पर विचार किया जाता है, तो वेक्टर में तीन घटक होने चाहिए।

3. यह लिखिए कि किसी सदिश के घटक जो किसी क्षेत्र की प्रवणता है, कैसे निर्धारित किए जाते हैं। ऐसे वेक्टर के सभी निर्देशांक उस चर के संबंध में अदिश क्षमता के व्युत्पन्न के बराबर होते हैं जिसके निर्देशांक की गणना की जा रही है। यही है, यदि आपको फ़ील्ड ग्रेडिएंट वेक्टर के "x" घटक की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको "x" चर के संबंध में स्केलर फ़ंक्शन को अलग करने की आवश्यकता है। ध्यान दें कि व्युत्पन्न भागफल होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि अंतर करते समय, शेष चर जो इसमें भाग नहीं लेते हैं, उन्हें स्थिर माना जाना चाहिए।

4. अदिश क्षेत्र के लिए व्यंजक लिखिए। जैसा कि आप जानते हैं, इस शब्द का अर्थ है प्रत्येक कई चरों का केवल एक अदिश फलन, जो अदिश राशियाँ भी हैं। एक अदिश फलन के चरों की संख्या अंतरिक्ष के आयाम द्वारा सीमित होती है।

5. प्रत्येक चर के संबंध में अदिश फलन को अलग-अलग विभेदित करें। नतीजतन, आपके पास तीन नए कार्य होंगे। अदिश क्षेत्र के ग्रैडिएंट वेक्टर के व्यंजक में कोई भी फलन लिखिए। प्राप्त कार्यों में से कोई भी वास्तव में दिए गए निर्देशांक के एक इकाई वेक्टर के लिए एक संकेतक है। इस प्रकार, अंतिम ग्रेडिएंट वेक्टर एक बहुपद की तरह दिखना चाहिए जिसमें घातांक एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में हों।

ढाल के प्रतिनिधित्व से जुड़े मुद्दों पर विचार करते समय, प्रत्येक को एक अदिश क्षेत्र के रूप में सोचना अधिक सामान्य है। इसलिए, हमें उपयुक्त संकेतन पेश करने की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

• - बूम;
• - एक कलम।

अनुदेश

1. मान लें कि फलन तीन तर्कों द्वारा दिया जाता है u=f(x, y, z). किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न, उदाहरण के लिए x के संबंध में, इस तर्क के संबंध में व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो शेष तर्कों को ठीक करके प्राप्त किया जाता है। बाकी तर्क समान हैं। आंशिक व्युत्पन्न संकेतन इस प्रकार लिखा गया है: df / dx \u003d u'x ...

2. कुल अंतर du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz के बराबर होगा। आंशिक डेरिवेटिव को निर्देशांक अक्षों की दिशाओं में डेरिवेटिव के रूप में समझा जा सकता है। नतीजतन, बिंदु M(x, y, z) पर दिए गए वेक्टर s की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न खोजने का सवाल उठता है (यह मत भूलो कि दिशा s एक इकाई वेक्टर-ort s^o निर्दिष्ट करती है)। इस मामले में, तर्कों का अंतर वेक्टर है (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma))।

3. कुल अंतर ड्यू के रूप को ध्यान में रखते हुए, यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि बिंदु M पर दिशा s के संबंध में व्युत्पन्न है: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma)। यदि s= s(sx,sy,sz), तो दिशा कोसाइन (cos(alpha), cos(beta), cos( gamma)) की गणना की जाती है (चित्र 1a देखें)।

4. दिशा में व्युत्पन्न की परिभाषा, बिंदु M को एक चर के रूप में मानते हुए, एक डॉट उत्पाद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , कॉस (बीटा), कॉस (गामा)))=(ग्रेड यू, एस^ओ)। यह व्यंजक एक अदिश क्षेत्र के लिए वस्तुनिष्ठ होगा। यदि हम एक आसान कार्य पर विचार करते हैं, तो gradf एक सदिश है जिसका निर्देशांक आंशिक व्युत्पन्न f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz) के साथ मेल खाता है। )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. यहाँ (i, j, k) एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश हैं।

5. यदि हम हैमिल्टन नाबला डिफरेंशियल वेक्टर ऑपरेटर का उपयोग करते हैं, तो gradf को स्केलर f द्वारा इस ऑपरेटर वेक्टर के गुणन के रूप में लिखा जा सकता है (चित्र 1b देखें)। दिशात्मक व्युत्पन्न के साथ gradf के कनेक्शन के दृष्टिकोण से, समानता (gradf, s^o)=0 स्वीकार्य है यदि ये वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं। नतीजतन, gradf को अक्सर एक अदिश क्षेत्र के सबसे तेज़ कायांतरण की दिशा के रूप में परिभाषित किया जाता है। और अंतर संचालन के दृष्टिकोण से (ग्रेडफ उनमें से एक है), ग्रेडफ के गुण कार्यों के भेदभाव के गुणों को बिल्कुल दोहराते हैं। विशेष रूप से, यदि f=uv, तो gradf=(vgradu+ugradv).

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ढालयह एक ऐसा उपकरण है जो ग्राफिक संपादकों में एक रंग के दूसरे रंग के सहज संक्रमण के साथ सिल्हूट को भर देता है। ढालएक सिल्हूट को मात्रा का परिणाम दे सकता है, प्रकाश का अनुकरण कर सकता है, किसी वस्तु की सतह पर प्रकाश का प्रतिबिंब, या एक तस्वीर की पृष्ठभूमि में सूर्यास्त का परिणाम दे सकता है। इस उपकरण का व्यापक उपयोग है, इसलिए, तस्वीरों को संसाधित करने या चित्र बनाने के लिए, इसका उपयोग करना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है।

आपको चाहिये होगा

• कंप्यूटर, ग्राफिक्स एडिटर एडोब फोटोशॉप, कोरल ड्रा, पेंट.नेट या अन्य।

अनुदेश

1. प्रोग्राम में छवि खोलें या एक नया बनाएं। एक सिल्हूट बनाएं या छवि पर वांछित क्षेत्र का चयन करें।

2. ग्राफिक्स एडिटर के टूलबार पर ग्रेडिएंट टूल को ऑन करें। माउस कर्सर को चयनित क्षेत्र या सिल्हूट के अंदर एक बिंदु पर रखें, जहां से ग्रेडिएंट का पहला रंग शुरू होगा। बाईं माउस बटन को क्लिक करके रखें। कर्सर को उस बिंदु पर ले जाएँ जहाँ ग्रेडिएंट को अंतिम रंग में बदलना चाहिए। बायाँ माउस बटन छोड़ें। चयनित सिल्हूट एक ग्रेडिएंट फिल से भरा जाएगा।

3. ढाल y एक निश्चित भरण बिंदु पर पारदर्शिता, रंग और उनके अनुपात को सेट करना संभव है। ऐसा करने के लिए, ग्रेडिएंट एडिट विंडो खोलें। फोटोशॉप में एडिटिंग विंडो खोलने के लिए, विकल्प पैनल में ग्रेडिएंट उदाहरण पर क्लिक करें।

4. खुलने वाली विंडो में, उपलब्ध ग्रेडिएंट भरण विकल्प उदाहरण के रूप में प्रदर्शित होते हैं। किसी एक विकल्प को संपादित करने के लिए, उसे माउस क्लिक से चुनें।

5. एक ढाल का एक उदाहरण खिड़की के नीचे स्लाइडर्स के साथ एक विस्तृत पैमाने के रूप में प्रदर्शित होता है। स्लाइडर्स उन बिंदुओं को इंगित करते हैं जिन पर ग्रेडिएंट में निर्दिष्ट कॉलेशन होना चाहिए, और स्लाइडर के बीच के अंतराल में, रंग समान रूप से पहले बिंदु पर निर्दिष्ट एक से दूसरे बिंदु के रंग में समान रूप से संक्रमण करता है।

6. स्केल के शीर्ष पर स्थित स्लाइडर ग्रेडिएंट की पारदर्शिता निर्धारित करते हैं। पारदर्शिता बदलने के लिए, इच्छित स्लाइडर पर क्लिक करें। पैमाने के नीचे एक फ़ील्ड दिखाई देगी, जिसमें प्रतिशत में पारदर्शिता की आवश्यक डिग्री दर्ज करें।

7. स्केल के निचले भाग में स्थित स्लाइडर ग्रेडिएंट के रंग सेट करते हैं। उनमें से किसी एक पर क्लिक करके आप मनचाहा रंग पसंद कर पाएंगे।

8. ढालकई संक्रमण रंग हो सकते हैं। दूसरा रंग सेट करने के लिए, स्केल के नीचे खाली जगह पर क्लिक करें। उस पर एक और स्लाइडर दिखाई देगा। इसके लिए मनचाहा रंग सेट करें। पैमाना एक और बिंदु के साथ ढाल का एक उदाहरण प्रदर्शित करेगा। वांछित संयोजन प्राप्त करने के लिए आप बाएं माउस बटन के समर्थन से स्लाइडर्स को पकड़कर स्थानांतरित कर सकते हैं।

9. ढालऐसे कई प्रकार हैं जो फ्लैट सिल्हूट को आकार दे सकते हैं। मान लीजिए, एक वृत्त को गेंद का आकार देने के लिए, एक रेडियल ग्रेडिएंट लगाया जाता है, और एक शंकु का आकार देने के लिए, एक शंक्वाकार ढाल लगाया जाता है। सतह को उभार का भ्रम देने के लिए एक स्पेक्युलर ग्रेडिएंट का उपयोग किया जा सकता है, और हाइलाइट बनाने के लिए डायमंड ग्रेडिएंट का उपयोग किया जा सकता है।

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यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु या स्थान के हिस्से पर एक निश्चित मात्रा का मान परिभाषित किया जाता है, तो कहा जाता है कि इस मात्रा का क्षेत्र दिया गया है। फ़ील्ड को अदिश कहा जाता है यदि माना गया मान अदिश है, अर्थात। इसके संख्यात्मक मूल्य द्वारा अच्छी तरह से विशेषता। उदाहरण के लिए, तापमान क्षेत्र। अदिश क्षेत्र बिंदु u = /(M) के अदिश फलन द्वारा दिया जाता है। यदि अंतरिक्ष में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पेश की जाती है, तो तीन चर x, yt z - बिंदु M: परिभाषा के निर्देशांक का एक कार्य होता है। एक अदिश क्षेत्र की समतल सतह उन बिंदुओं का समुच्चय है जिस पर फलन f(M) समान मान लेता है। लेवल सरफेस इक्वेशन उदाहरण 1. स्केलर फील्ड के लेवल सरफेस खोजें वेक्टर विश्लेषण स्केलर फील्ड लेवल सरफेस और लेवल लाइन्स स्केलर फील्ड का डायरेक्शनल व्युत्पन्न व्युत्पन्न ग्रेडिएंट बेसिक ग्रेडिएंट प्रॉपर्टीज ग्रेडिएंट की गणना के लिए ग्रेडिएंट नियमों की अपरिवर्तनीय परिभाषा -4 परिभाषा के अनुसार, एक स्तर सतह समीकरण होगा। यह मूल बिंदु पर केन्द्रित एक गोले (Ф 0) के साथ का समीकरण है। एक अदिश क्षेत्र को समतल कहा जाता है यदि क्षेत्र किसी समतल के समांतर सभी तलों में समान हो। यदि निर्दिष्ट तल को xOy तल के रूप में लिया जाता है, तो क्षेत्र फलन z निर्देशांक पर निर्भर नहीं होगा, अर्थात, यह केवल तर्कों x और y का फलन होगा और अर्थ भी। स्तर रेखा समीकरण - उदाहरण 2. एक अदिश क्षेत्र की समतल रेखाएँ ज्ञात कीजिए स्तर रेखाएँ समीकरणों द्वारा दी जाती हैं c = 0 पर हमें रेखाओं का एक युग्म प्राप्त होता है, हमें अतिपरवलय का एक परिवार प्राप्त होता है (चित्र 1)। 1.1. दिशात्मक व्युत्पन्न मान लीजिए कि एक अदिश फलन u = /(Af) द्वारा परिभाषित एक अदिश क्षेत्र है। आइए बिंदु Afo लें और वेक्टर I द्वारा निर्धारित दिशा चुनें। आइए एक और बिंदु M लें ताकि वेक्टर M0M वेक्टर 1 (चित्र 2) के समानांतर हो। आइए हम MoM वेक्टर की लंबाई को A/ से और फंक्शन /(Af) - /(Afo) की वृद्धि, विस्थापन D1 के अनुरूप, Di द्वारा निरूपित करें। अनुपात दिए गए दिशा में प्रति इकाई लंबाई अदिश क्षेत्र के परिवर्तन की औसत दर निर्धारित करता है। अब शून्य की ओर रुख करें ताकि वेक्टर М0М हर समय वेक्टर I के समानांतर बना रहे। परिभाषा। यदि डी/ओ के लिए संबंध (5) की एक सीमित सीमा मौजूद है, तो इसे दिए गए बिंदु पर दिए गए दिशा I पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है और इसे प्रतीक zr!^ द्वारा दर्शाया जाता है। तो, परिभाषा के अनुसार, यह परिभाषा समन्वय प्रणाली की पसंद से संबंधित नहीं है, अर्थात इसमें एक ** प्रकार का चरित्र है। आइए हम कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में दिशा के संबंध में व्युत्पन्न के लिए एक व्यंजक खोजें। मान लें कि फलन एक बिंदु पर अवकलनीय है। एक बिंदु पर मान /(Af) पर विचार करें। फिर फ़ंक्शन की कुल वृद्धि को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: जहां और प्रतीकों का मतलब है कि आंशिक डेरिवेटिव की गणना बिंदु Afo पर की जाती है। अतः यहाँ राशियाँ jfi, ^ सदिश की दिक्-कोज्याएँ हैं। चूंकि वैक्टर MoM और I सह-निर्देशित हैं, उनकी दिशा कोसाइन समान हैं: व्युत्पन्न, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं और बाहरी nno के साथ समन्वय अक्षों की दिशाओं के साथ- उदाहरण 3. बिंदु की ओर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें। वेक्टर की लंबाई होती है। इसकी दिशा कोसाइन: सूत्र (9) से हमारे पास यह तथ्य होगा कि, इसका मतलब है कि उम्र की दी गई दिशा में एक बिंदु पर अदिश क्षेत्र- एक समतल क्षेत्र के लिए, एक बिंदु पर दिशा I में व्युत्पन्न सूत्र द्वारा गणना की जाती है जहां सदिश I द्वारा अक्ष ओह के साथ बनाया गया कोण है। Zmmchmm 2. किसी दिए गए बिंदु पर दिशा I के साथ व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र (9) तब भी लागू रहता है जब बिंदु M एक वक्र के साथ बिंदु Mo की ओर जाता है जिसके लिए वेक्टर I बिंदु PrISchr 4 पर स्पर्शरेखा है। गणना करें बिंदु Afo(l, 1) पर अदिश क्षेत्र का अवकलज। इस वक्र की दिशा में एक परवलय से संबंधित (बढ़ती भुज की दिशा में)। किसी बिंदु पर परवलय की दिशा ] इस बिंदु पर परवलय की स्पर्शरेखा की दिशा होती है (चित्र 3)। मान लीजिए कि Afo बिंदु पर परवलय की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के साथ एक कोण o बनाती है। फिर जहां से एक स्पर्शरेखा के कोसाइन को निर्देशित करते हैं आइए मूल्यों की गणना करें और एक बिंदु में। अब हमें सूत्र (10) से प्राप्त होता है। वृत्त की दिशा में किसी बिंदु पर अदिश क्षेत्र का अवकलज ज्ञात कीजिए वृत्त के सदिश समीकरण का रूप है। हम वृत्त की स्पर्शरेखा का इकाई सदिश m पाते हैं। बिंदु पैरामीटर के मान से मेल खाता है। स्केलर फील्ड ग्रैडिएंट एक स्केलर फील्ड को एक स्केलर फंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसे अलग-अलग माना जाता है। परिभाषा। एक अदिश क्षेत्र का ढाल » किसी दिए गए बिंदु पर M एक वेक्टर है जिसे प्रतीक ग्रेड द्वारा दर्शाया जाता है और समानता द्वारा परिभाषित किया जाता है यह स्पष्ट है कि यह वेक्टर फ़ंक्शन / और उस बिंदु M दोनों पर निर्भर करता है जिस पर इसके व्युत्पन्न की गणना की जाती है। मान लीजिए 1 दिशा में एक इकाई सदिश है तो दिशात्मक अवकलज का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: इस प्रकार, दिशा 1 के अनुदिश फलन u का अवकलज फलन u(M) की प्रवणता के अदिश गुणनफल और दिशा I के इकाई सदिश 1° के बराबर होता है। 2.1। ग्रेडिएंट प्रमेय के मूल गुण 1. स्केलर फील्ड ग्रेडिएंट स्तर की सतह के लंबवत है (या यदि फ़ील्ड समतल है तो लेवल लाइन के लिए)। (2) आइए हम एक मनमाना बिंदु M से होकर एक समतल पृष्ठ u = const खींचते हैं और बिंदु M से होकर जाने वाले इस पृष्ठ पर एक चिकने वक्र L का चयन करते हैं (चित्र 4)। मान लीजिए कि मैं बिंदु M पर वक्र L की एक सदिश स्पर्श रेखा हूँ। चूँकि समतल सतह पर u(M) = u(M|) किसी बिंदु Mj L के लिए, तो दूसरी ओर, = (ग्रेडू, 1°) . इसीलिए। इसका मतलब है कि वेक्टर ग्रेड और 1 डिग्री ऑर्थोगोनल हैं। इस प्रकार, वेक्टर ग्रेड और बिंदु एम पर स्तर की सतह के किसी भी स्पर्शरेखा के लिए ऑर्थोगोनल है। इस प्रकार, यह बिंदु एम पर स्तर की सतह के लिए ऑर्थोगोनल है। प्रमेय 2 ग्रेडिएंट को फील्ड फंक्शन को बढ़ाने की दिशा में निर्देशित किया जाता है। इससे पहले हमने यह सिद्ध किया था कि अदिश क्षेत्र की प्रवणता अभिलम्ब से समतल सतह की ओर निर्देशित होती है, जिसे या तो फलन u(M) की वृद्धि या इसके घटने की ओर उन्मुख किया जा सकता है। फ़ंक्शन ti (M) को बढ़ाने की दिशा में उन्मुख स्तर की सतह के सामान्य से n द्वारा निरूपित करें, और इस सामान्य की दिशा में फ़ंक्शन u का व्युत्पन्न खोजें (चित्र 5)। हमारे पास चित्र 5 की स्थिति के अनुसार है और इसलिए वेक्टर विश्लेषण स्केलर क्षेत्र सतह और स्तर रेखाएं दिशात्मक व्युत्पन्न व्युत्पन्न स्केलर क्षेत्र ढाल ढाल के मूल गुण ढाल की अपरिवर्तनीय परिभाषा ढाल की गणना के लिए नियम यह उस ग्रेड का अनुसरण करता है और इसमें निर्देशित होता है उसी दिशा के रूप में जिसे हमने सामान्य n चुना है, अर्थात, बढ़ते फलन u(M) की दिशा में। प्रमेय 3. क्षेत्र के किसी दिए गए बिंदु पर दिशा के संबंध में ढाल की लंबाई सबसे बड़े व्युत्पन्न के बराबर है, (यहां, दिए गए बिंदु M से बिंदु तक सभी संभव दिशाओं में अधिकतम $ लिया जाता है)। हमारे पास सदिश 1 और ग्रेड n के बीच का कोण कहां है। चूंकि सबसे बड़ा मान उदाहरण 1 है। बिंदु पर अदिश क्षेत्र के सबसे बड़े इमोनियन की दिशा और निर्दिष्ट बिंदु पर इस सबसे बड़े परिवर्तन का परिमाण भी ज्ञात कीजिए। अदिश क्षेत्र में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा एक सदिश द्वारा इंगित की जाती है। हमारे पास ऐसा है यह वेक्टर क्षेत्र में एक बिंदु तक सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा निर्धारित करता है। इस बिंदु पर क्षेत्र में सबसे बड़े परिवर्तन का मान 2.2 है। ढाल की अपरिवर्तनीय परिभाषा वे मात्राएँ जो अध्ययन के तहत वस्तु के गुणों की विशेषता हैं और जो समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर नहीं करती हैं, दी गई वस्तु के अपरिवर्तनीय कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, वक्र की लंबाई इस वक्र का एक अपरिवर्तनीय है, लेकिन x-अक्ष के साथ वक्र के स्पर्शरेखा का कोण एक अपरिवर्तनीय नहीं है। स्केलर फील्ड ग्रेडिएंट के उपरोक्त तीन गुणों के आधार पर, हम ग्रेडिएंट की निम्नलिखित अपरिवर्तनीय परिभाषा दे सकते हैं। परिभाषा। स्केलर फील्ड ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जो सामान्य से स्तर की सतह के साथ बढ़ते क्षेत्र के कार्य की दिशा में निर्देशित होता है और इसकी लंबाई सबसे बड़े दिशात्मक व्युत्पन्न (किसी दिए गए बिंदु पर) के बराबर होती है। बढ़ते क्षेत्र की दिशा में निर्देशित एक इकाई सामान्य वेक्टर होने दें। फिर उदाहरण 2. दूरी ढाल - कुछ निश्चित बिंदु, और एम (एक्स, वाई, जेड) - वर्तमान एक खोजें। 4 हमारे पास इकाई दिशा सदिश कहां है। ग्रेडिएंट की गणना के नियम जहां c एक स्थिर संख्या है। उपरोक्त सूत्र सीधे ग्रेडिएंट की परिभाषा और डेरिवेटिव के गुणों से प्राप्त होते हैं। गुणनफल के विभेदीकरण के नियम से प्रमाण गुण के प्रमाण के समान है मान लीजिए F(u) एक अवकलनीय अदिश फलन है। फिर 4 ग्रेडिएंट की परिभाषा के अनुसार, हमने एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम को दाईं ओर सभी शर्तों पर लागू किया है। विशेष रूप से, सूत्र (6) सूत्र तल से इस तल के दो निश्चित बिंदुओं तक चलता है। foci Fj और F] के साथ एक मनमाना दीर्घवृत्त पर विचार करें और साबित करें कि कोई भी प्रकाश किरण जो दीर्घवृत्त के एक फोकस से निकलती है, दीर्घवृत्त से परावर्तन के बाद, उसके दूसरे फोकस में प्रवेश करती है। फ़ंक्शन की स्तर रेखाएं (7) वेक्टर विश्लेषण स्केलर क्षेत्र सतहें और स्तर रेखाएं हैं दिशात्मक व्युत्पन्न व्युत्पन्न स्केलर क्षेत्र ढाल ढाल के मूल गुण ढाल की अपरिवर्तनीय परिभाषा ढाल गणना नियम समीकरण (8) बिंदुओं पर foci के साथ दीर्घवृत्त के एक परिवार का वर्णन करते हैं एफ) और एफजे। उदाहरण 2 के परिणाम के अनुसार, हमारे पास है और त्रिज्या वैक्टर। केंद्र बिंदु F| . से बिंदु P(x, y) की ओर खींचा गया और Fj, और इसलिए इन त्रिज्या सदिशों के बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 6)। टूरोमो 1 के अनुसार, ढाल PQ बिंदु पर दीर्घवृत्त (8) के लंबवत है। इसलिए, चित्र 6। दीर्घवृत्त का अभिलंब (8) किसी भी वें बिंदु पर इस बिंदु पर खींचे गए त्रिज्या सदिशों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। यहाँ से और इस तथ्य से कि आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं: दीर्घवृत्त के एक फोकस से निकलने वाली प्रकाश की किरण, इससे परावर्तित, निश्चित रूप से इस दीर्घवृत्त के दूसरे फोकस में गिरेगी।