आइए विचरण के ज्ञात मान के मामले में वितरण के माध्य मान का अनुमान लगाने के लिए MS EXCEL में एक विश्वास अंतराल बनाएँ।

बेशक चुनाव भरोसे का स्तरपूरी तरह से हाथ में काम पर निर्भर करता है। इस प्रकार, विमान की विश्वसनीयता में हवाई यात्री के विश्वास की डिग्री, निश्चित रूप से, प्रकाश बल्ब की विश्वसनीयता में खरीदार के विश्वास की डिग्री से अधिक होनी चाहिए।

कार्य निरूपण

आइए मान लें कि . से आबादीले लिया नमूनाआकार एन. यह मान लिया है कि मानक विचलनयह वितरण ज्ञात है। इसके आधार पर आवश्यक नमूनेअज्ञात का मूल्यांकन करें वितरण माध्य(μ, ) और संगत का निर्माण करें द्विपक्षीय विश्वास अंतराल.

बिंदु अनुमान

जैसा कि से जाना जाता है आंकड़े(चलो इसे कहते हैं एक्स सीएफ) है माध्य का निष्पक्ष अनुमानयह आबादीऔर वितरण N(μ;σ 2 /n) है।

टिप्पणी: क्या होगा अगर आपको निर्माण करने की आवश्यकता है विश्वास अंतरालवितरण के मामले में, जो नहीं है सामान्य?इस मामले में, बचाव के लिए आता है, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े आकार के साथ नमूने n वितरण से न सामान्य, आँकड़ों का नमूना वितरण avहोगा लगभगअनुरूप सामान्य वितरणपैरामीटर एन (μ; σ 2 / एन) के साथ।

इसलिए, बिंदु लागत मध्यम वितरण मूल्यहमारे पास है नमूना माध्य, अर्थात। एक्स सीएफ. चलो अब व्यस्त हो जाओ विश्वास अंतराल।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण

आमतौर पर, वितरण और उसके मापदंडों को जानकर, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक यादृच्छिक चर किसी दिए गए अंतराल से एक मान लेगा। अब इसके विपरीत करते हैं: वह अंतराल ज्ञात करें जिसमें यादृच्छिक चर किसी दी गई संभावना के साथ आता है। उदाहरण के लिए, गुणों से सामान्य वितरणयह ज्ञात है कि 95% की संभावना के साथ, एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, अंतराल के भीतर लगभग +/- 2 से . के भीतर आ जाएगा औसत मूल्य(के बारे में लेख देखें)। यह अंतराल हमारे प्रोटोटाइप के रूप में काम करेगा विश्वास अंतराल.

अब देखते हैं कि क्या हम वितरण जानते हैं , इस अंतराल की गणना करने के लिए? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें वितरण के रूप और उसके मापदंडों को निर्दिष्ट करना होगा।

हम जानते हैं कि वितरण का रूप है सामान्य वितरण(याद रखें कि हम बात कर रहे हैं नमूने का वितरण आंकड़े एक्स सीएफ).

पैरामीटर μ हमारे लिए अज्ञात है (इसे केवल उपयोग करके अनुमान लगाने की आवश्यकता है विश्वास अंतराल), लेकिन हमारे पास इसका अनुमान है एक्स सीएफ,गणना के आधार पर नमूना,जिसका उपयोग किया जा सकता है।

दूसरा पैरामीटर है नमूना माध्य मानक विचलन जाना जाएगा, यह /√n के बराबर है।

इसलिये हम μ नहीं जानते हैं, तो हम अंतराल +/- 2 . का निर्माण करेंगे मानक विचलनइससे नहीं औसत मूल्य, लेकिन इसके ज्ञात अनुमान से एक्स सीएफ. वे। गणना करते समय विश्वास अंतरालहम यह नहीं मानेंगे कि एक्स सीएफअंतराल +/- 2 . के भीतर गिर जाएगा मानक विचलनμ से 95% की संभावना के साथ, और हम मान लेंगे कि अंतराल +/- 2 . है मानक विचलनसे एक्स सीएफ 95% की संभावना के साथ μ . को कवर करेगा - सामान्य जनसंख्या का औसत,किस से नमूना. ये दो कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन हमें निर्माण करने की अनुमति देता है विश्वास अंतराल.

इसके अलावा, हम अंतराल को परिष्कृत करते हैं: एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, 95% संभावना के साथ अंतराल +/- 1.960 . के भीतर आता है मानक विचलन,नहीं +/- 2 मानक विचलन. इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), सेमी। नमूना फ़ाइल शीट रिक्ति.

अब हम एक संभाव्य कथन बना सकते हैं जो हमें बनाने में मदद करेगा विश्वास अंतराल:
"संभावना है कि आबादी मतलबसे स्थित नमूना औसत 1.960 के भीतर" नमूना माध्य के मानक विचलन", 95% के बराबर है।

कथन में उल्लिखित प्रायिकता मान का एक विशेष नाम है , जो के साथ जुड़ा हुआ हैमहत्व स्तर α (अल्फा) एक साधारण अभिव्यक्ति द्वारा विश्वास स्तर =1 -α . हमारे मामले में सार्थक तल α =1-0,95=0,05 .

अब, इस संभाव्य कथन के आधार पर, हम गणना करने के लिए एक व्यंजक लिखते हैं विश्वास अंतराल:

जहां Zα/2 – मानक सामान्य वितरण(यादृच्छिक चर का ऐसा मान जेड, क्या पी(जेड>=Zα/2 )=α/2).

टिप्पणी: ऊपरी α/2-क्वांटाइलचौड़ाई को परिभाषित करता है विश्वास अंतरालमें मानक विचलन नमूना माध्य। ऊपरी α/2-क्वांटाइल मानक सामान्य वितरणहमेशा 0 से बड़ा होता है, जो बहुत सुविधाजनक है।

हमारे मामले में, α=0.05 पर, ऊपरी α/2-क्वांटाइल 1.960 के बराबर है। अन्य महत्व स्तरों के लिए α (10%; 1%) ऊपरी α/2-क्वांटाइल Zα/2 सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) या, यदि ज्ञात हो विश्वास स्तर, =NORM.ST.OBR((1+विश्वास स्तर)/2).

आमतौर पर निर्माण करते समय माध्य का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतरालकेवल उपयोग ऊपरी α/2-मात्राऔर उपयोग न करें निचला α/2-मात्रा. यह संभव है क्योंकि मानक सामान्य वितरणएक्स-अक्ष के बारे में सममित ( इसके वितरण का घनत्वसममित के बारे में औसत, यानी 0). इसलिए, गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है निचला α/2-क्वांटाइल(इसे बस α . कहा जाता है /2-क्वांटाइल), इसलिये यह बराबर है ऊपरी α/2-मात्रामाइनस साइन के साथ।

याद रखें कि, x के वितरण के आकार की परवाह किए बिना, संबंधित यादृच्छिक चर एक्स सीएफवितरित लगभग ठीकएन(μ;σ 2 /n) (के बारे में लेख देखें)। इसलिए, सामान्य तौर पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए विश्वास अंतरालकेवल अनुमानित है। यदि x को अधिक वितरित किया जाता है सामान्य कानून N(μ;σ 2 /n), फिर के लिए व्यंजक विश्वास अंतरालसही है।

MS EXCEL में कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना

आइए समस्या का समाधान करें।
एक इनपुट सिग्नल के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक घटक का प्रतिक्रिया समय एक उपकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। एक इंजीनियर औसत प्रतिक्रिया समय के लिए 95% के विश्वास स्तर पर एक विश्वास अंतराल की साजिश करना चाहता है। पिछले अनुभव से, इंजीनियर जानता है कि प्रतिक्रिया समय का मानक विचलन 8 एमएस है। यह ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाने के लिए 25 माप किए, औसत मूल्य 78 एमएस था।

समाधान: एक इंजीनियर इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रतिक्रिया समय जानना चाहता है, लेकिन वह समझता है कि प्रतिक्रिया समय निश्चित नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक चर है जिसका अपना वितरण है। इसलिए वह इस वितरण के मापदंडों और आकार को निर्धारित करने के लिए सबसे अच्छी उम्मीद कर सकता है।

दुर्भाग्य से, समस्या की स्थिति से, हम प्रतिक्रिया समय के वितरण के रूप को नहीं जानते हैं (यह होना आवश्यक नहीं है) सामान्य) , यह वितरण भी अज्ञात है। केवल वही जाना जाता है मानक विचलन= 8। इसलिए, जबकि हम संभावनाओं की गणना नहीं कर सकते हैं और निर्माण कर सकते हैं विश्वास अंतराल.

हालाँकि, हालांकि हम वितरण को नहीं जानते हैं समय अलग प्रतिक्रिया, हम जानते हैं कि के अनुसार सीपीटी, नमूने का वितरण औसत प्रतिक्रिया समयलगभग है सामान्य(हम मान लेंगे कि शर्तें सीपीटीकिया जाता है, क्योंकि आकार नमूनेकाफी बड़ा (एन = 25)) .

आगे, औसतयह वितरण बराबर है औसत मूल्यइकाई प्रतिक्रिया वितरण, अर्थात्। μ. लेकिन मानक विचलनइस वितरण का (σ/√n) सूत्र =8/ROOT(25) का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

यह भी ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्राप्त किया बिंदु लागतपैरामीटर μ 78 ms (X cf) के बराबर। इसलिए, अब हम प्रायिकताओं की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हम वितरण प्रपत्र जानते हैं ( सामान्य) और इसके पैरामीटर (Х ср और σ/√n)।

इंजीनियर जानना चाहता है अपेक्षित मूल्यप्रतिक्रिया समय वितरण का μ। जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह μ बराबर है औसत प्रतिक्रिया समय के नमूना वितरण की अपेक्षा. अगर हम उपयोग करते हैं सामान्य वितरण N(X cf; σ/√n), तो वांछित μ लगभग 95% की संभावना के साथ +/-2*σ/√n की सीमा में होगा।

सार्थक तल 1-0.95 = 0.05 के बराबर।

अंत में, बाएँ और दाएँ बॉर्डर खोजें विश्वास अंतराल.
बाईं सीमा: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) = 74,864
दाहिनी सीमा: \u003d 78 + नॉर्म। एसटी। ओबीआर (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) \u003d 81.136

बाईं सीमा: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
दाहिनी सीमा: =NORM.INV(1-0.05/2, 78, 8/SQRT(25))

उत्तर: विश्वास अंतरालपर 95% आत्मविश्वास का स्तर और=8एमएसईसीबराबरी 78+/-3.136ms

पर शीट सिग्मा पर उदाहरण फ़ाइलज्ञात गणना और निर्माण के लिए एक प्रपत्र बनाया द्विपक्षीय विश्वास अंतरालमनमानी के लिए नमूनेदिए गए और . के साथ सार्थक तल.

CONFIDENCE.NORM () फ़ंक्शन

यदि मान नमूनेदायरे में हैं बी20:बी79 , एक सार्थक तल 0.05 के बराबर; फिर एमएस एक्सेल फॉर्मूला:
=औसत(B20:B79)-कॉन्फिडेंस(0.05,σ, COUNT(B20:B79))
बाईं सीमा लौटाएगा विश्वास अंतराल.

सूत्र का उपयोग करके समान सीमा की गणना की जा सकती है:
=औसत(बी20:बी79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

टिप्पणी: TRUST.NORM () फ़ंक्शन MS EXCEL 2010 में दिखाई दिया। MS EXCEL के पुराने संस्करणों में TRUST () फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह एक ऐसा अंतराल है जिसकी गणना डेटा से की जाती है, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए प्राकृतिक अनुमान इसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, आगे पाठ के दौरान हम "औसत", "औसत मूल्य" शब्दों का प्रयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना की समस्याओं में, सबसे अधिक बार आवश्यक उत्तर है "औसत संख्या का विश्वास अंतराल [एक विशिष्ट समस्या में मूल्य] [निम्न मूल्य] से [उच्च मूल्य] तक है"। विश्वास अंतराल की सहायता से, न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन करना संभव है, बल्कि सामान्य जनसंख्या की एक या दूसरी विशेषता का हिस्सा भी है। माध्य मान, विचरण, मानक विचलन और त्रुटि, जिसके माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों पर आएंगे, का पाठ में विश्लेषण किया गया है नमूना और जनसंख्या लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि सामान्य जनसंख्या का माध्य मान किसी संख्या (बिंदु) द्वारा अनुमानित किया जाता है, तो अवलोकनों के नमूने से परिकलित विशिष्ट माध्य को सामान्य जनसंख्या के अज्ञात माध्य के अनुमान के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूने के औसत मूल्य को इंगित करते समय, उसी समय नमूना त्रुटि को इंगित करना भी आवश्यक है। मानक त्रुटि का उपयोग नमूना त्रुटि के माप के रूप में किया जाता है, जिसे समान इकाइयों में माध्य के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन अक्सर प्रयोग किया जाता है:।

यदि माध्य के अनुमान को एक निश्चित संभाव्यता के साथ जोड़ा जाना आवश्यक है, तो ब्याज की सामान्य जनसंख्या के पैरामीटर का अनुमान एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल से होना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक अंतराल है जिसमें एक निश्चित संभावना के साथ, पीसामान्य जनसंख्या के अनुमानित संकेतक का मूल्य पाया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें प्रायिकता के साथ पी = 1 - α एक यादृच्छिक चर है, इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो आँकड़ों पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और जनसंख्या माध्य नमूना माध्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, ज्यादातर मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यदि

• सामान्य जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात नहीं है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र में जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, नमूना आकार है एनके साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1एक निश्चित शहर में बेतरतीब ढंग से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की जाती है कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या का 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 और 11.4 के बीच था।

उदाहरण 2 64 अवलोकनों की सामान्य आबादी से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मूल्यों का योग,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

मानक विचलन की गणना करें:

,

औसत मूल्य की गणना करें:

.

विश्वास अंतराल के लिए व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3 100 प्रेक्षणों की सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, 15.2 के माध्य मान और 3.2 के मानक विचलन की गणना की गई। अपेक्षित मान के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की गणना करें। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता समान रहती है, लेकिन विश्वास कारक बढ़ता है, तो क्या विश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

फिर से, हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे आत्मविश्वास कारक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और इसलिए, अंतराल के प्रारंभ और अंत बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास अंतराल बढ़ती है।

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

नमूने की कुछ विशेषताओं के हिस्से की व्याख्या शेयर के बिंदु अनुमान के रूप में की जा सकती है पीसामान्य आबादी में एक ही विशेषता। यदि इस मान को प्रायिकता से संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभावना के साथ सामान्य आबादी में सुविधा पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4एक निश्चित शहर में दो उम्मीदवार हैं एतथा बीमहापौर के लिए चल रहा है। शहर के 200 निवासियों को बेतरतीब ढंग से मतदान किया गया, जिनमें से 46% ने उत्तर दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर के निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

सेवा असाइनमेंट. यह सेवा परिभाषित करती है:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास अंतराल, विचरण के लिए विश्वास अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल;

उदाहरण 1। एक सामूहिक फार्म पर, 1,000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण कतरनी के अधीन किया गया था। नतीजतन, प्रति भेड़ 4.2 किलोग्राम की औसत ऊन कतरनी स्थापित की गई थी। प्रति भेड़ औसत ऊन कतरनी निर्धारित करने में नमूने की मानक त्रुटि 0.99 की संभावना के साथ निर्धारित करें और सीमा जिसमें कतरनी मूल्य निहित है यदि भिन्नता 2.5 है। नमूना गैर-दोहराव है।
उदाहरण # 2। मास्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक पुन: नमूने के क्रम में लिए गए थे। जांच के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी की मात्रा स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी सामग्री की सीमा 0.683 की संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण #3। 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला कि प्रति शैक्षणिक वर्ष में उनके द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या 6 थी। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी गई पाठ्यपुस्तकों की संख्या में 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, खोजें : ए) इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.99 अंतराल अनुमान की विश्वसनीयता के साथ; बी) किस संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी गई पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या, इस नमूने के लिए गणना की गई, गणितीय अपेक्षा से निरपेक्ष मूल्य में 2 से अधिक नहीं है।

विश्वास अंतराल का वर्गीकरण

नमूना प्रकार से:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

यादृच्छिक चयन के लिए माध्य नमूना त्रुटि की गणना

नमूना माध्य त्रुटि सूत्र
पुनर्चयन		गैर-दोहराव चयन
बीच के लिए	शेयर के लिए	बीच के लिए	शेयर के लिए

एक उचित यादृच्छिक चयन पद्धति के साथ नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र