चूंकि नया चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, चर φ के लिए 95% विश्वास अंतराल की निचली और ऊपरी सीमा φ-1.96 और φ+1.96बाएं"> होगी

छोटे नमूनों के लिए 1.96 के बजाय, एन -1 डिग्री स्वतंत्रता के लिए टी के मूल्य को प्रतिस्थापित करने की सिफारिश की जाती है। यह विधि नकारात्मक मान नहीं देती है और आपको वाल्ड विधि की तुलना में आवृत्तियों के लिए आत्मविश्वास अंतराल का अधिक सटीक अनुमान लगाने की अनुमति देती है। इसके अलावा, यह चिकित्सा आंकड़ों पर कई घरेलू संदर्भ पुस्तकों में वर्णित है, हालांकि, चिकित्सा अनुसंधान में इसका व्यापक उपयोग नहीं हुआ। 0 या 1 के करीब आने वाली आवृत्तियों के लिए कोण परिवर्तन का उपयोग करके आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने की अनुशंसा नहीं की जाती है।

यह वह जगह है जहां चिकित्सा शोधकर्ताओं के लिए आंकड़ों की मूल बातें पर अधिकांश पुस्तकों में आत्मविश्वास अंतराल का अनुमान लगाने के तरीकों का वर्णन आमतौर पर समाप्त होता है, और यह समस्या न केवल घरेलू, बल्कि विदेशी साहित्य के लिए भी विशिष्ट है। दोनों विधियां केंद्रीय सीमा प्रमेय पर आधारित हैं, जिसका अर्थ है एक बड़ा नमूना।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके आत्मविश्वास अंतराल का अनुमान लगाने की कमियों को देखते हुए, क्लॉपर (क्लॉपर) और पियर्सन (पियर्सन) ने 1934 में अध्ययन किए गए गुण के द्विपद वितरण को ध्यान में रखते हुए तथाकथित सटीक आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि प्रस्तावित की। यह विधि कई ऑनलाइन कैलकुलेटर में उपलब्ध है, हालांकि, इस तरह से प्राप्त विश्वास अंतराल ज्यादातर मामलों में बहुत व्यापक हैं। साथ ही, उन मामलों में उपयोग के लिए इस पद्धति की सिफारिश की जाती है जहां एक रूढ़िवादी अनुमान की आवश्यकता होती है। विधि की रूढ़िवादिता की डिग्री बढ़ जाती है क्योंकि नमूना आकार घट जाता है, विशेष रूप से N . के लिए< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

कई सांख्यिकीविदों के अनुसार, आवृत्तियों के लिए आत्मविश्वास अंतराल का सबसे इष्टतम अनुमान विल्सन विधि द्वारा किया जाता है, जिसे 1927 में वापस प्रस्तावित किया गया था, लेकिन व्यावहारिक रूप से घरेलू जैव चिकित्सा अनुसंधान में इसका उपयोग नहीं किया गया था। यह विधि न केवल बहुत छोटी और बहुत उच्च आवृत्तियों दोनों के लिए आत्मविश्वास अंतराल का अनुमान लगाना संभव बनाती है, बल्कि कम संख्या में टिप्पणियों पर भी लागू होती है। सामान्य तौर पर, विल्सन फॉर्मूला के अनुसार आत्मविश्वास अंतराल का रूप होता है

कॉन्फिडेंस इंटरवल की प्रायिकता क्या है? विश्वास अंतराल मन न केवल ज्ञान में है, बल्कि ज्ञान को व्यवहार में लागू करने की क्षमता में भी है। (अरस्तू) विश्वास अंतराल सामान्य समीक्षा जनसंख्या से एक नमूना लेते हुए, हम अपने लिए ब्याज के पैरामीटर का एक बिंदु अनुमान प्राप्त करेंगे और अनुमान की सटीकता को इंगित करने के लिए मानक त्रुटि की गणना करेंगे। हालांकि, ज्यादातर मामलों के लिए, इस तरह की मानक त्रुटि स्वीकार्य नहीं है। जनसंख्या पैरामीटर के लिए अंतराल अनुमान के साथ परिशुद्धता के इस माप को जोड़ना अधिक उपयोगी है। यह पैरामीटर के लिए एक कॉन्फिडेंस इंटरवल (CI - कॉन्फिडेंस इंटरवल, CI - कॉन्फिडेंस इंटरवल) की गणना करने के लिए सैंपल स्टैटिस्टिक (पैरामीटर) के सैद्धांतिक संभाव्यता वितरण के ज्ञान का उपयोग करके किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, कॉन्फिडेंस इंटरवल दोनों दिशाओं में अनुमानों को मानक त्रुटि (किसी दिए गए पैरामीटर के) के कुछ गुणकों द्वारा बढ़ाता है; अंतराल को परिभाषित करने वाले दो मान (विश्वास सीमा) आमतौर पर अल्पविराम से अलग होते हैं और कोष्ठक में संलग्न होते हैं। माध्य के लिए विश्वास अंतराल सामान्य वितरण का उपयोग करना यदि नमूना आकार बड़ा है, तो नमूना माध्य का सामान्य वितरण होता है, इसलिए नमूना माध्य पर विचार करते समय सामान्य वितरण का ज्ञान लागू किया जा सकता है। विशेष रूप से, नमूना साधनों के वितरण का 95% जनसंख्या माध्य के 1.96 मानक विचलन (एसडी) के भीतर है। जब हमारे पास केवल एक नमूना होता है, तो हम इसे माध्य (SEM) की मानक त्रुटि कहते हैं और माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार करते हैं: यदि यह प्रयोग कई बार दोहराया जाता है, तो अंतराल में वास्तविक जनसंख्या माध्य 95% समय होगा। यह आमतौर पर एक आत्मविश्वास अंतराल होता है, जैसे मूल्यों की वह सीमा जिसके भीतर वास्तविक जनसंख्या माध्य (सामान्य माध्य) 95% आत्मविश्वास स्तर के साथ होता है। हालांकि यह काफी सख्त नहीं है (जनसंख्या माध्य एक निश्चित मूल्य है और इसलिए इससे संबंधित कोई संभावना नहीं हो सकती है) इस तरह से विश्वास अंतराल की व्याख्या करना, इसे समझना अवधारणात्मक रूप से आसान है। प्रयोग टी-वितरण यदि आप जनसंख्या में विचरण का मान जानते हैं तो आप सामान्य वितरण का उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, जब नमूना आकार छोटा होता है, तो नमूना माध्य सामान्य वितरण का अनुसरण करता है यदि जनसंख्या के अंतर्गत डेटा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। यदि जनसंख्या अंतर्निहित डेटा सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है और/या सामान्य भिन्नता (जनसंख्या भिन्नता) अज्ञात है, तो नमूना माध्य का पालन करता है छात्र का टी-वितरण. जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार करें: कहां - प्रतिशत अंक (प्रतिशत) टी-स्वतंत्रता की (n-1) डिग्री के साथ छात्र वितरण, जो 0.05 की दो-पूंछ संभावना देता है। सामान्य तौर पर, यह सामान्य वितरण का उपयोग करते समय एक व्यापक अंतराल प्रदान करता है, क्योंकि यह अतिरिक्त अनिश्चितता को ध्यान में रखता है जो जनसंख्या मानक विचलन का अनुमान लगाकर और/या छोटे नमूना आकार के कारण पेश किया जाता है। जब नमूना आकार बड़ा होता है (100 या अधिक के क्रम का), तो दो वितरणों के बीच का अंतर ( टी छात्रऔर सामान्य) नगण्य है। हालांकि, हमेशा उपयोग करें टी-विश्वास अंतराल की गणना करते समय वितरण, भले ही नमूना आकार बड़ा हो। आमतौर पर 95% सीआई का संकेत दिया जाता है। अन्य विश्वास अंतरालों की गणना की जा सकती है, जैसे कि माध्य के लिए 99% सीआई। मानक त्रुटि और तालिका मान के उत्पाद के बजाय टी-वितरण जो 0.05 की दो-पुच्छीय संभावना से मेल खाता है, इसे (मानक त्रुटि) 0.01 की दो-पूंछ संभावना से मेल खाने वाले मान से गुणा करें। यह 95% मामले की तुलना में एक व्यापक विश्वास अंतराल है क्योंकि यह बढ़े हुए विश्वास को दर्शाता है कि अंतराल में वास्तव में जनसंख्या माध्य शामिल है। अनुपात के लिए विश्वास अंतराल अनुपातों के न्यादर्श वितरण में द्विपद बंटन होता है। हालांकि, यदि नमूना आकार एनयथोचित रूप से बड़ा है, तो अनुपात नमूना वितरण माध्य के साथ लगभग सामान्य है। नमूना अनुपात द्वारा अनुमान पी = आर / एन(कहाँ पे आर- नमूने में हमारे लिए रुचि की विशेषताओं वाले व्यक्तियों की संख्या), और मानक त्रुटि का अनुमान है: अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल अनुमानित है: यदि नमूना आकार छोटा है (आमतौर पर जब एनपीया एन(1-पी)कम 5 ), तो सटीक विश्वास अंतराल की गणना के लिए द्विपद वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए। ध्यान दें कि अगर पीप्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो (1-पी)द्वारा प्रतिस्थापित (100पी). विश्वास अंतराल की व्याख्या विश्वास अंतराल की व्याख्या करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों में रुचि रखते हैं: कॉन्फिडेंस इंटरवल कितना चौड़ा है? एक विस्तृत विश्वास अंतराल इंगित करता है कि अनुमान सटीक नहीं है; संकीर्ण एक अच्छा अनुमान इंगित करता है। विश्वास अंतराल की चौड़ाई मानक त्रुटि के आकार पर निर्भर करती है, जो बदले में, नमूना आकार पर निर्भर करती है और, जब डेटा की परिवर्तनशीलता से एक संख्यात्मक चर पर विचार करते हैं, तो बड़े डेटा सेट के अध्ययन की तुलना में व्यापक आत्मविश्वास अंतराल देते हैं। कुछ चर के। क्या सीआई में विशेष रुचि के कोई मूल्य शामिल हैं? आप जांच सकते हैं कि जनसंख्या पैरामीटर के लिए संभावित मान विश्वास अंतराल के भीतर आता है या नहीं। यदि हाँ, तो परिणाम इस संभावित मान के अनुरूप हैं। यदि नहीं, तो यह संभावना नहीं है (95% विश्वास अंतराल के लिए, संभावना लगभग 5% है) कि पैरामीटर का यह मान है। "कैटरेन-स्टाइल" चिकित्सा आंकड़ों पर कॉन्स्टेंटिन क्रावचिक के एक चक्र को प्रकाशित करना जारी रखता है। पिछले दो लेखों में, लेखक ने और जैसी अवधारणाओं की व्याख्या को छुआ था। कॉन्स्टेंटिन क्रावचिको गणितज्ञ-विश्लेषक। चिकित्सा और मानविकी में सांख्यिकीय अनुसंधान के क्षेत्र में विशेषज्ञ मास्को शहर बहुत बार नैदानिक ​​​​परीक्षणों पर लेखों में आप एक रहस्यमय वाक्यांश पा सकते हैं: "आत्मविश्वास अंतराल" (95% सीआई या 95% सीआई - आत्मविश्वास अंतराल)। उदाहरण के लिए, एक लेख कह सकता है: "विद्यार्थियों के टी-टेस्ट का उपयोग मतभेदों के महत्व का आकलन करने के लिए किया गया था, जिसमें 95% विश्वास अंतराल की गणना की गई थी।" "95% विश्वास अंतराल" का मान क्या है और इसकी गणना क्यों करें? कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है? - यह वह सीमा है जिसमें जनसंख्या में वास्तविक माध्य मान गिरते हैं। और क्या, "असत्य" औसत हैं? एक मायने में, हाँ, वे करते हैं। में हमने समझाया कि पूरी आबादी में रुचि के पैरामीटर को मापना असंभव है, इसलिए शोधकर्ता सीमित नमूने से संतुष्ट हैं। इस नमूने में (उदाहरण के लिए, शरीर के वजन से) एक औसत मूल्य (एक निश्चित वजन) होता है, जिसके द्वारा हम पूरी सामान्य आबादी में औसत मूल्य का न्याय करते हैं। हालांकि, यह संभावना नहीं है कि नमूने में औसत वजन (विशेषकर एक छोटा) सामान्य आबादी में औसत वजन के साथ मेल खाएगा। इसलिए, सामान्य जनसंख्या के औसत मूल्यों की सीमा की गणना और उपयोग करना अधिक सही है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हीमोग्लोबिन के लिए 95% विश्वास अंतराल (95% CI) 110 और 122 g/L के बीच है। इसका मतलब है कि 95 % संभावना के साथ, सामान्य आबादी में हीमोग्लोबिन के लिए सही औसत मूल्य 110 से 122 ग्राम / लीटर की सीमा में होगा। दूसरे शब्दों में, हम सामान्य आबादी में औसत हीमोग्लोबिन नहीं जानते हैं, लेकिन हम इस विशेषता के लिए मूल्यों की सीमा को 95% संभावना के साथ इंगित कर सकते हैं। विश्वास अंतराल विशेष रूप से समूहों के बीच के साधनों में अंतर के लिए प्रासंगिक हैं, या जिसे प्रभाव आकार कहा जाता है। मान लीजिए हमने दो लोहे की तैयारियों की प्रभावशीलता की तुलना की: एक जो लंबे समय से बाजार में है और एक जो अभी पंजीकृत है। चिकित्सा के दौरान, रोगियों के अध्ययन किए गए समूहों में हीमोग्लोबिन की एकाग्रता का आकलन किया गया था, और सांख्यिकीय कार्यक्रम ने हमारे लिए गणना की कि 95% की संभावना वाले दो समूहों के औसत मूल्यों के बीच का अंतर सीमा में है 1.72 से 14.36 ग्राम/ली (तालिका 1)। टैब। 1. स्वतंत्र नमूनों के लिए मानदंड (समूहों की तुलना हीमोग्लोबिन स्तर से की जाती है) इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए: सामान्य आबादी में एक नई दवा लेने वाले रोगियों के एक हिस्से में, पहले से ज्ञात दवा लेने वालों की तुलना में हीमोग्लोबिन औसतन 1.72–14.36 ग्राम / लीटर अधिक होगा। दूसरे शब्दों में, सामान्य आबादी में, 95% संभावना वाले समूहों में हीमोग्लोबिन के औसत मूल्यों में अंतर इन सीमाओं के भीतर है। यह शोधकर्ता पर निर्भर करेगा कि वह यह तय करे कि यह बहुत है या थोड़ा। इस सबका सार यह है कि हम एक औसत मूल्य के साथ काम नहीं कर रहे हैं, बल्कि कई मूल्यों के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए, हम समूहों के बीच एक पैरामीटर में अंतर का अधिक मज़बूती से अनुमान लगाते हैं। सांख्यिकीय पैकेज में, शोधकर्ता के विवेक पर, कोई भी स्वतंत्र रूप से विश्वास अंतराल की सीमाओं को संकीर्ण या विस्तारित कर सकता है। विश्वास अंतराल की संभावनाओं को कम करके, हम साधनों की सीमा को कम करते हैं। उदाहरण के लिए, 90% CI पर, साधनों की सीमा (या माध्य अंतर) 95% CI से कम होगी। इसके विपरीत, प्रायिकता को 99% तक बढ़ाने से मानों की सीमा बढ़ जाती है। समूहों की तुलना करते समय, सीआई की निचली सीमा शून्य के निशान को पार कर सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हमने कॉन्फिडेंस इंटरवल की सीमाओं को 99 % तक बढ़ा दिया है, तो इंटरवल की सीमाएं -1 से 16 g/L तक होती हैं। इसका मतलब यह है कि सामान्य आबादी में ऐसे समूह होते हैं, जिनके बीच औसत के बीच का अंतर अध्ययन की गई विशेषता के लिए 0 (एम = 0) है। सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए विश्वास अंतराल का उपयोग किया जा सकता है। यदि विश्वास अंतराल शून्य मान को पार कर जाता है, तो शून्य परिकल्पना, जो मानती है कि समूह अध्ययन किए गए पैरामीटर में भिन्न नहीं हैं, सत्य है। एक उदाहरण ऊपर वर्णित किया गया है, जब हमने सीमाओं को 99% तक विस्तारित किया। सामान्य आबादी में कहीं न कहीं हमें ऐसे समूह मिले जो किसी भी तरह से भिन्न नहीं थे। हीमोग्लोबिन में अंतर का 95% विश्वास अंतराल, (g/l) यह आंकड़ा एक रेखा के रूप में दो समूहों के बीच माध्य हीमोग्लोबिन अंतर के 95% विश्वास अंतराल को दर्शाता है। रेखा शून्य के निशान से गुजरती है, इसलिए, शून्य के बराबर साधन के बीच एक अंतर है, जो शून्य परिकल्पना की पुष्टि करता है कि समूह भिन्न नहीं हैं। समूहों के बीच का अंतर -2 से 5 ग्राम / लीटर तक होता है, जिसका अर्थ है कि हीमोग्लोबिन या तो 2 ग्राम / लीटर कम हो सकता है या 5 ग्राम / लीटर बढ़ सकता है। आत्मविश्वास अंतराल एक बहुत ही महत्वपूर्ण संकेतक है। इसके लिए धन्यवाद, आप देख सकते हैं कि क्या समूहों में अंतर वास्तव में साधनों में अंतर के कारण था या एक बड़े नमूने के कारण, क्योंकि एक बड़े नमूने के साथ, अंतर खोजने की संभावना एक छोटे से अधिक होती है। व्यवहार में, यह ऐसा दिख सकता है। हमने 1000 लोगों का नमूना लिया, हीमोग्लोबिन के स्तर को मापा और पाया कि अंतर के लिए आत्मविश्वास अंतराल 1.2 से 1.5 ग्राम/ली तक है। इस मामले में सांख्यिकीय महत्व का स्तर p हम देखते हैं कि हीमोग्लोबिन की सांद्रता में वृद्धि हुई है, लेकिन लगभग अगोचर रूप से, इसलिए, नमूना आकार के कारण सांख्यिकीय महत्व ठीक दिखाई दिया। विश्वास अंतराल की गणना न केवल औसत के लिए की जा सकती है, बल्कि अनुपात (और जोखिम अनुपात) के लिए भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, हम उन रोगियों के अनुपात के विश्वास अंतराल में रुचि रखते हैं जिन्होंने विकसित दवा लेते समय छूट प्राप्त की थी। मान लें कि अनुपात के लिए 95% सीआई, यानी ऐसे रोगियों के अनुपात के लिए, 0.60–0.80 की सीमा में है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 60 से 80% मामलों में हमारी दवा का चिकित्सीय प्रभाव होता है। कोई भी नमूना सामान्य जनसंख्या का केवल एक अनुमानित विचार देता है, और सभी नमूना सांख्यिकीय विशेषताओं (माध्य, मोड, विचरण ...) सामान्य जनसंख्या की दुर्गमता (चित्र 20)। चित्र 20. नमूनाकरण त्रुटि लेकिन आप उस अंतराल को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसमें, एक निश्चित डिग्री की संभावना के साथ, सांख्यिकीय विशेषता का सही (सामान्य) मान निहित है। इस अंतराल को कहा जाता है डी आत्मविश्वास अंतराल (सीआई)। तो 95% की संभावना के साथ सामान्य औसत के भीतर है से, (20) कहाँ पे टी - के लिए छात्र की कसौटी का सारणीबद्ध मान α = 0.05 और एफ= एन-1 पाया जा सकता है और 99% सीआई, इस मामले में टी के लिए चुना गया α =0,01. विश्वास अंतराल का व्यावहारिक महत्व क्या है? एक विस्तृत विश्वास अंतराल इंगित करता है कि नमूना माध्य जनसंख्या माध्य को सटीक रूप से नहीं दर्शाता है। यह आमतौर पर अपर्याप्त नमूना आकार, या इसकी विविधता के कारण होता है, अर्थात। बड़ा फैलाव। दोनों माध्य में एक बड़ी त्रुटि देते हैं और, तदनुसार, एक व्यापक CI। और यही कारण है कि अनुसंधान योजना चरण में लौटने का। ऊपरी और निचली सीआई सीमाएं यह आकलन करती हैं कि क्या परिणाम चिकित्सकीय रूप से महत्वपूर्ण होंगे आइए हम समूह गुणों के अध्ययन के परिणामों के सांख्यिकीय और नैदानिक ​​​​महत्व के प्रश्न पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। याद रखें कि आँकड़ों का कार्य नमूना डेटा के आधार पर सामान्य आबादी में कम से कम कुछ अंतरों का पता लगाना है। ऐसे (कोई नहीं) अंतर को खोजना चिकित्सक का कार्य है जो निदान या उपचार में मदद करेगा। और हमेशा सांख्यिकीय निष्कर्ष नैदानिक ​​​​निष्कर्षों का आधार नहीं होते हैं। इस प्रकार, हीमोग्लोबिन में 3 ग्राम/ली की सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण कमी चिंता का कारण नहीं है। और, इसके विपरीत, यदि मानव शरीर में किसी समस्या का संपूर्ण जनसंख्या के स्तर पर जन चरित्र नहीं है, तो यह इस समस्या से निपटने का कोई कारण नहीं है। हम इस स्थिति पर विचार करेंगे उदाहरण. शोधकर्ताओं ने सोचा कि क्या जिन लड़कों को किसी प्रकार की संक्रामक बीमारी थी, वे विकास में अपने साथियों से पिछड़ रहे थे। इस उद्देश्य के लिए एक चयनात्मक अध्ययन किया गया, जिसमें इस रोग से ग्रस्त 10 लड़कों ने भाग लिया। परिणाम तालिका 23 में प्रस्तुत किए गए हैं। तालिका 23. सांख्यिकीय परिणाम निचली सीमा ऊपरी सीमा निर्दिष्टीकरण (सेमी) मध्यम इन गणनाओं से, यह इस प्रकार है कि 10 वर्षीय लड़कों की चुनिंदा औसत ऊंचाई, जिन्हें किसी प्रकार की संक्रामक बीमारी है, सामान्य (132.5 सेमी) के करीब है। हालांकि, आत्मविश्वास अंतराल (126.6 सेमी) की निचली सीमा इंगित करती है कि 95% संभावना है कि इन बच्चों की वास्तविक औसत ऊंचाई "छोटे कद" की अवधारणा से मेल खाती है, अर्थात। ये बच्चे बौने हैं। इस उदाहरण में, विश्वास अंतराल गणना के परिणाम चिकित्सकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं। आवृत्तियों और भागों के लिए विश्वास अंतराल © 2008 सार्वजनिक स्वास्थ्य के राष्ट्रीय संस्थान, ओस्लो, नॉर्वे लेख वाल्ड, विल्सन, क्लॉपर-पियर्सन विधियों का उपयोग करके आवृत्तियों और अनुपातों के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना का वर्णन और चर्चा करता है, एग्रेसी-काउल सुधार के साथ कोणीय परिवर्तन और वाल्ड विधि का उपयोग करता है। प्रस्तुत सामग्री आवृत्तियों और अनुपातों के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना के तरीकों के बारे में सामान्य जानकारी प्रदान करती है और इसका उद्देश्य पत्रिका के पाठकों की रुचि को न केवल अपने स्वयं के शोध के परिणामों को प्रस्तुत करते समय आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करना है, बल्कि शुरू करने से पहले विशेष साहित्य पढ़ने में भी है। भविष्य के प्रकाशनों पर काम करें। कीवर्ड: आत्मविश्वास अंतराल, आवृत्ति, अनुपात पिछले प्रकाशनों में से एक में, गुणात्मक डेटा के विवरण का संक्षेप में उल्लेख किया गया था और यह बताया गया था कि सामान्य आबादी में अध्ययन की गई विशेषता की आवृत्ति का वर्णन करने के लिए उनके अंतराल अनुमान एक बिंदु अनुमान के लिए बेहतर है। वास्तव में, चूंकि अध्ययन नमूना डेटा का उपयोग करके किए जाते हैं, सामान्य आबादी पर परिणामों के प्रक्षेपण में नमूना अनुमान में अशुद्धि का एक तत्व होना चाहिए। विश्वास अंतराल अनुमानित पैरामीटर की सटीकता का एक उपाय है। यह दिलचस्प है कि चिकित्सकों के लिए आंकड़ों की मूल बातें पर कुछ पुस्तकों में, आवृत्तियों के लिए आत्मविश्वास अंतराल के विषय को पूरी तरह से अनदेखा किया जाता है। इस लेख में, हम आवृत्ति के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने के कई तरीकों पर विचार करेंगे, नमूना विशेषताओं जैसे कि गैर-पुनरावृत्ति और प्रतिनिधित्व, साथ ही एक दूसरे से टिप्पणियों की स्वतंत्रता को मानते हुए। इस लेख में आवृत्ति को एक निरपेक्ष संख्या के रूप में नहीं समझा जाता है, यह दर्शाता है कि यह या वह मान कितनी बार कुल में होता है, लेकिन एक सापेक्ष मूल्य जो अध्ययन के तहत विशेषता वाले अध्ययन प्रतिभागियों के अनुपात को निर्धारित करता है। बायोमेडिकल रिसर्च में, 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह विश्वास अंतराल वह क्षेत्र है जिसके भीतर वास्तविक अनुपात 95% बार गिरता है। दूसरे शब्दों में, यह 95% निश्चितता के साथ कहा जा सकता है कि सामान्य जनसंख्या में किसी विशेषता के घटित होने की आवृत्ति का सही मूल्य 95% विश्वास अंतराल के भीतर होगा। चिकित्सा शोधकर्ताओं के लिए अधिकांश सांख्यिकीय पाठ्यपुस्तकें रिपोर्ट करती हैं कि आवृत्ति त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है जहाँ p नमूने में विशेषता के घटित होने की आवृत्ति है (मान 0 से 1 तक)। अधिकांश घरेलू वैज्ञानिक लेखों में, नमूना (पी) में एक विशेषता की घटना की आवृत्ति के मूल्य के साथ-साथ पी ± एस के रूप में इसकी त्रुटि (ओं) को इंगित किया जाता है। हालांकि, सामान्य आबादी में एक विशेषता की घटना की आवृत्ति के लिए 95% विश्वास अंतराल प्रस्तुत करना अधिक समीचीन है, जिसमें मूल्य शामिल होंगे इससे पहले। कुछ पाठ्यपुस्तकों में, छोटे नमूनों के लिए, 1.96 के मान को t के मान से बदलने की अनुशंसा की जाती है, जहां N - 1 डिग्री की स्वतंत्रता है, जहां N नमूने में टिप्पणियों की संख्या है। t का मान t-वितरण के लिए तालिकाओं में पाया जाता है, जो सांख्यिकी पर लगभग सभी पाठ्यपुस्तकों में उपलब्ध हैं। वाल्ड विधि के लिए टी के वितरण का उपयोग नीचे चर्चा की गई अन्य विधियों पर दृश्य लाभ प्रदान नहीं करता है, और इसलिए कुछ लेखकों द्वारा इसका स्वागत नहीं किया जाता है। आवृत्तियों या अंशों के लिए विश्वास अंतराल की गणना के लिए उपरोक्त विधि का नाम अब्राहम वाल्ड (अब्राहम वाल्ड, 1902-1950) के नाम पर रखा गया है, क्योंकि 1939 में वाल्ड और वोल्फोविट्ज के प्रकाशन के बाद इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। हालाँकि, यह विधि स्वयं पियरे साइमन लाप्लास (1749-1827) द्वारा 1812 की शुरुआत में प्रस्तावित की गई थी। वाल्ड विधि बहुत लोकप्रिय है, लेकिन इसका अनुप्रयोग महत्वपूर्ण समस्याओं से जुड़ा है। छोटे नमूना आकारों के लिए विधि की अनुशंसा नहीं की जाती है, साथ ही ऐसे मामलों में जहां किसी विशेषता की आवृत्ति की आवृत्ति 0 या 1 (0% या 100%) हो जाती है और 0 और 1 की आवृत्तियों के लिए संभव नहीं है। इसके अलावा, सामान्य वितरण सन्निकटन, जिसका उपयोग त्रुटि की गणना करते समय किया जाता है, उन मामलों में "काम नहीं करता" जहां n p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

जहां 95% विश्वास अंतराल की गणना करते समय यह मान 1.96 लेता है, N अवलोकनों की संख्या है, और p नमूने में विशेषता की आवृत्ति है। यह विधि ऑनलाइन कैलकुलेटर में उपलब्ध है, इसलिए इसका आवेदन समस्याग्रस्त नहीं है। और n p . के लिए इस पद्धति का उपयोग करने की अनुशंसा न करें< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

विल्सन विधि के अलावा, एग्रेस्टी-कौल-करेक्टेड वाल्ड पद्धति को भी आवृत्तियों के लिए विश्वास अंतराल का एक इष्टतम अनुमान प्रदान करने के लिए माना जाता है। Agresti-Coulle सुधार नमूना (p) में p` द्वारा विशेषता की घटना की आवृत्ति के लिए Wald सूत्र में एक प्रतिस्थापन है, जब गणना की जाती है कि कौन सा 2 अंश में जोड़ा जाता है, और 4 को हर में जोड़ा जाता है, अर्थात , p` = (X + 2) / (N + 4), जहां X उन अध्ययन प्रतिभागियों की संख्या है जिनके पास अध्ययन के तहत विशेषता है, और N नमूना आकार है। यह संशोधन विल्सन फॉर्मूला के समान परिणाम देता है, सिवाय इसके कि जब घटना दर 0% या 100% तक पहुंच जाए और नमूना छोटा हो। आवृत्तियों के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए उपरोक्त विधियों के अलावा, वाल्ड विधि और विल्सन विधि दोनों के लिए छोटे नमूनों के लिए निरंतरता सुधार का प्रस्ताव दिया गया है, लेकिन अध्ययनों से पता चला है कि उनका उपयोग अनुचित है।

दो उदाहरणों का उपयोग करते हुए विश्वास अंतराल की गणना के लिए उपरोक्त विधियों के अनुप्रयोग पर विचार करें। पहले मामले में, हम यादृच्छिक रूप से चुने गए 1,000 अध्ययन प्रतिभागियों के एक बड़े नमूने का अध्ययन करते हैं, जिनमें से 450 में अध्ययन के तहत विशेषता है (चाहे वह जोखिम कारक हो, परिणाम हो, या कोई अन्य विशेषता हो), जो 0.45 की आवृत्ति है, या 45%। दूसरे मामले में, अध्ययन एक छोटे नमूने का उपयोग करके किया जाता है, कहते हैं, केवल 20 लोग, और अध्ययन में केवल 1 प्रतिभागी (5%) के पास अध्ययन के तहत विशेषता है। वॉल्ड विधि के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल, एग्रेसी-कोल सुधार के साथ वाल्ड विधि के लिए, विल्सन विधि के लिए जेफ सॉरो (//www./wald.htm) द्वारा विकसित एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई थी। निरंतरता-सुधारित विल्सन आत्मविश्वास अंतराल की गणना वासर स्टैट्स द्वारा प्रदान किए गए कैलकुलेटर का उपयोग करके की गई थी: सांख्यिकीय संगणना के लिए वेब साइट (//faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html)। फिशर कोणीय परिवर्तन का उपयोग करते हुए गणना क्रमशः 19 और 999 डिग्री स्वतंत्रता के लिए टी के महत्वपूर्ण मूल्य का उपयोग करके "मैन्युअल रूप से" की गई थी। गणना के परिणाम दोनों उदाहरणों के लिए तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

पाठ में वर्णित दो उदाहरणों के लिए छह अलग-अलग तरीकों से गणना किए गए विश्वास अंतराल

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, पहले उदाहरण के लिए, "आम तौर पर स्वीकृत" वाल्ड विधि द्वारा गणना की गई आत्मविश्वास अंतराल नकारात्मक क्षेत्र में जाती है, जो आवृत्तियों के मामले में नहीं हो सकती है। दुर्भाग्य से, रूसी साहित्य में ऐसी घटनाएं असामान्य नहीं हैं। डेटा को आवृत्ति के रूप में प्रस्तुत करने का पारंपरिक तरीका और इसकी त्रुटि आंशिक रूप से इस समस्या को छुपाती है। उदाहरण के लिए, यदि किसी विशेषता की घटना की आवृत्ति (प्रतिशत में) 2.1 ± 1.4 के रूप में प्रस्तुत की जाती है, तो यह 2.1% (95% सीआई: -0.7; 4.9) के रूप में "परेशान" नहीं है, हालांकि और इसका मतलब वही है। Agresti-Coulle सुधार के साथ वाल्ड विधि और कोणीय परिवर्तन का उपयोग करके गणना शून्य को कम बाध्य प्रवृत्ति देती है। निरंतरता सुधार के साथ विल्सन विधि और "सटीक विधि" विल्सन विधि की तुलना में व्यापक आत्मविश्वास अंतराल देती है। दूसरे उदाहरण के लिए, सभी विधियाँ लगभग समान आत्मविश्वास अंतराल देती हैं (अंतर केवल हज़ारवें हिस्से में दिखाई देते हैं), जो आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि इस उदाहरण में घटना की आवृत्ति 50% से बहुत भिन्न नहीं है, और नमूना आकार काफी बड़ा है .

इस समस्या में रुचि रखने वाले पाठकों के लिए, हम आर जी न्यूकॉम्ब और ब्राउन, कै और दासगुप्ता के कार्यों की सिफारिश कर सकते हैं, जो क्रमशः 7 और 10 विभिन्न तरीकों का उपयोग करने के पक्ष और विपक्ष को आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए देते हैं। घरेलू मैनुअल से, पुस्तक की सिफारिश की जाती है, जिसमें सिद्धांत के विस्तृत विवरण के अलावा, वाल्ड और विल्सन विधियों को प्रस्तुत किया जाता है, साथ ही द्विपद आवृत्ति वितरण को ध्यान में रखते हुए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने की एक विधि भी प्रस्तुत की जाती है। मुफ्त ऑनलाइन कैलकुलेटर (http://www./wald.htm और http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html) के अलावा, आवृत्तियों के लिए आत्मविश्वास अंतराल (और न केवल!) का उपयोग करके गणना की जा सकती है सीआईए प्रोग्राम (कॉन्फिडेंस इंटरवल एनालिसिस), जिसे http://www से डाउनलोड किया जा सकता है। माध्यमिक विद्यालय। सोटन एसी। यूके/सिया/.

अगला लेख गुणात्मक डेटा की तुलना करने के अविभाज्य तरीकों पर विचार करेगा।

ग्रन्थसूची

अनुपात के लिए विश्वास अंतराल

ए। एम. ग्रजिबोव्स्की

सार्वजनिक स्वास्थ्य के राष्ट्रीय संस्थान, ओस्लो, नॉर्वे

लेख द्विपद अनुपातों के लिए विश्वास अंतराल की गणना के लिए कई तरीके प्रस्तुत करता है, अर्थात्, वाल्ड, विल्सन, आर्क्सिन, एग्रेस्टी-कूल और सटीक क्लॉपर-पियर्सन विधियां। पेपर एक द्विपद अनुपात के विश्वास अंतराल अनुमान की समस्या का केवल सामान्य परिचय देता है और इसका उद्देश्य न केवल पाठकों को अपने अनुभवजन्य शोध अंतराल के परिणाम प्रस्तुत करते समय आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित करना है, बल्कि उन्हें पहले सांख्यिकी पुस्तकों से परामर्श करने के लिए प्रोत्साहित करना है। स्वयं के डेटा का विश्लेषण करने और पांडुलिपियां तैयार करने के लिए।

मुख्य शब्द: विश्वास अंतराल, अनुपात

संपर्क जानकारी:

– वरिष्ठ सलाहकार, राष्ट्रीय जन स्वास्थ्य संस्थान, ओस्लो, नॉर्वे

पिछले उपखंडों में, हमने अज्ञात पैरामीटर के आकलन के प्रश्न पर विचार किया एकएक संख्या। इस तरह के आकलन को "बिंदु" कहा जाता है। कई कार्यों में, न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता होती है एकउपयुक्त संख्यात्मक मान, लेकिन इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का मूल्यांकन भी करते हैं। यह जानना आवश्यक है कि पैरामीटर प्रतिस्थापन किन त्रुटियों को जन्म दे सकता है एकइसका बिंदु अनुमान एकऔर हम किस हद तक विश्वास के साथ उम्मीद कर सकते हैं कि ये त्रुटियां ज्ञात सीमाओं से आगे नहीं बढ़ेंगी?

इस तरह की समस्याएं विशेष रूप से कम संख्या में टिप्पणियों के लिए प्रासंगिक होती हैं, जब बिंदु का अनुमान लगाया जाता है और मेंकाफी हद तक यादृच्छिक है और a का अनुमानित प्रतिस्थापन गंभीर त्रुटियों को जन्म दे सकता है।

अनुमान की सटीकता और विश्वसनीयता का अंदाजा लगाने के लिए एक,

गणितीय आँकड़ों में, तथाकथित विश्वास अंतराल और आत्मविश्वास की संभावनाओं का उपयोग किया जाता है।

चलो पैरामीटर के लिए एकअनुभव से प्राप्त निष्पक्ष अनुमान एक।हम इस मामले में संभावित त्रुटि का अनुमान लगाना चाहते हैं। आइए हम कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी प्रायिकता p (उदाहरण के लिए, p = 0.9, 0.95, या 0.99) इस प्रकार निर्दिष्ट करें कि प्रायिकता p वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सके, और s का मान ज्ञात करें जिसके लिए

फिर त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा जो प्रतिस्थापित करते समय होती है एकपर एक, ± एस होगा; बड़ी निरपेक्ष त्रुटियाँ केवल एक छोटी प्रायिकता a = 1 - p के साथ दिखाई देंगी। आइए फिर से लिखें (14.3.1) इस प्रकार:

समानता (14.3.2) का अर्थ है कि प्रायिकता p के साथ पैरामीटर का अज्ञात मान एकअंतराल के भीतर आता है

इस मामले में, एक परिस्थिति पर ध्यान दिया जाना चाहिए। पहले, हमने बार-बार किसी दिए गए गैर-यादृच्छिक अंतराल में एक यादृच्छिक चर के गिरने की संभावना पर विचार किया। यहां स्थिति अलग है: एकयादृच्छिक नहीं, बल्कि यादृच्छिक अंतराल / आर। एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक रूप से इसकी स्थिति, इसके केंद्र द्वारा निर्धारित एक; सामान्य तौर पर, अंतराल 2s की लंबाई भी यादृच्छिक होती है, क्योंकि s के मान की गणना, एक नियम के रूप में, प्रयोगात्मक डेटा से की जाती है। इसलिए, इस मामले में, पी के मूल्य की व्याख्या करना बेहतर होगा, न कि बिंदु को "मारने" की संभावना के रूप में एकअंतराल / पी में, लेकिन संभावना के रूप में कि एक यादृच्छिक अंतराल / पी बिंदु को कवर करेगा एक(चित्र 14.3.1)।

चावल। 14.3.1

प्रायिकता p कहलाती है आत्मविश्वास का स्तर, और अंतराल / पी - विश्वास अंतराल।अंतराल सीमाएं यदि। ए एक्स \u003d ए-रेत ए 2 = ए +और कहा जाता है विश्वास की सीमाएँ।

आइए एक विश्वास अंतराल की अवधारणा के लिए एक और व्याख्या दें: इसे पैरामीटर मानों के अंतराल के रूप में माना जा सकता है एक,प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत और उनका खंडन नहीं करना। दरअसल, अगर हम एक संभावना के साथ एक घटना पर विचार करने के लिए सहमत हैं a = 1-p व्यावहारिक रूप से असंभव है, तो पैरामीटर के वे मान जिनके लिए a ए - ए> s को प्रयोगात्मक डेटा के विरोधाभासी के रूप में पहचाना जाना चाहिए, और जिनके लिए |a - एकएक टी ना 2।

चलो पैरामीटर के लिए एकएक निष्पक्ष अनुमान है एक।अगर हम मात्रा के वितरण के नियम को जानते हैं एक, विश्वास अंतराल खोजने की समस्या काफी सरल होगी: यह s का मान ज्ञात करने के लिए पर्याप्त होगा जिसके लिए

कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि अनुमान का वितरण कानून एकमात्रा के वितरण के नियम पर निर्भर करता है एक्सऔर, फलस्वरूप, इसके अज्ञात मापदंडों पर (विशेष रूप से, पैरामीटर पर ही एक)।

इस कठिनाई को दूर करने के लिए, कोई निम्नलिखित मोटे तौर पर अनुमानित चाल को लागू कर सकता है: अज्ञात पैरामीटर को s के लिए उनके बिंदु अनुमानों के साथ बदलें। अपेक्षाकृत बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ पी(लगभग 20 ... 30) यह तकनीक आमतौर पर सटीकता के मामले में संतोषजनक परिणाम देती है।

एक उदाहरण के रूप में, गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल की समस्या पर विचार करें।

चलो उत्पादित पी एक्स,जिनकी विशेषताएँ गणितीय अपेक्षाएँ हैं टीऔर भिन्नता डी- अनजान। इन मापदंडों के लिए, निम्नलिखित अनुमान प्राप्त किए गए थे:

गणितीय अपेक्षा के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल / р, कॉन्फिडेंस प्रायिकता р के अनुरूप बनाना आवश्यक है टीमात्रा एक्स।

इस समस्या को हल करने में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि मात्रा टीयोग है पीस्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक्स एचऔर पर्याप्त रूप से बड़े के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार पीइसका वितरण कानून सामान्य के करीब है। व्यवहार में, अपेक्षाकृत कम संख्या में (10 ... 20 के क्रम के) के साथ, योग के वितरण कानून को लगभग सामान्य माना जा सकता है। हम मान लेंगे कि मूल्य टीसामान्य कानून के अनुसार वितरित। इस कानून की विशेषताएं - गणितीय अपेक्षा और विचरण - क्रमशः समान हैं टीतथा

(अध्याय 13 उपधारा 13.3 देखें)। मान लेते हैं कि मान डीहमें ज्ञात है और हमें ऐसा मूल्य ईपी मिलेगा जिसके लिए

अध्याय 6 के सूत्र (6.3.5) को लागू करते हुए, हम सामान्य वितरण फलन के संदर्भ में (14.3.5) के बाईं ओर प्रायिकता व्यक्त करते हैं

अनुमान का मानक विचलन कहाँ है टी।

समीकरण से

एसपी मान पाएं:

जहाँ arg * (x) * का प्रतिलोम फलन है (एक्स),वे। तर्क का ऐसा मान जिसके लिए सामान्य वितरण फलन के बराबर है एक्स।

फैलाव डी,जिसके माध्यम से मूल्य व्यक्त किया जाता है एक 1P, हम ठीक से नहीं जानते; इसके अनुमानित मूल्य के रूप में, आप अनुमान का उपयोग कर सकते हैं डी(14.3.4) और लगभग रखें:

इस प्रकार, विश्वास अंतराल के निर्माण की समस्या लगभग हल हो गई है, जो इसके बराबर है:

जहां जीपी सूत्र (14.3.7) द्वारा परिभाषित किया गया है।

फ़ंक्शन की तालिकाओं में रिवर्स इंटरपोलेशन से बचने के लिए * (एल) एसपी की गणना करते समय, एक विशेष तालिका (तालिका 14.3.1) संकलित करना सुविधाजनक होता है, जो मात्रा के मूल्यों को सूचीबद्ध करता है

आर पर निर्भर करता है मान (पी सामान्य कानून के लिए मानक विचलन की संख्या निर्धारित करता है जिसे फैलाव केंद्र के दाएं और बाएं तरफ सेट किया जाना चाहिए ताकि परिणामी क्षेत्र में गिरने की संभावना पी के बराबर हो।

7 पी के मान के माध्यम से, विश्वास अंतराल को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

तालिका 14.3.1

उदाहरण 1. मान पर 20 प्रयोग किए गए एक्स;परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं। 14.3.2.

तालिका 14.3.2

मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए अनुमान लगाना आवश्यक है एक्सऔर एक कॉन्फिडेंस लेवल p = 0.8 के अनुरूप कॉन्फिडेंस इंटरवल तैयार करें।

समाधान।हमारे पास है:

मूल n: = 10 के लिए चयन, तीसरे सूत्र (14.2.14) के अनुसार हम निष्पक्ष अनुमान पाते हैं डी :

तालिका के अनुसार 14.3.1 हम पाते हैं

आत्मविश्वास की सीमा:

विश्वास अंतराल:

पैरामीटर मान टी,इस अंतराल में पड़े हुए तालिका में दिए गए प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत हैं। 14.3.2.

इसी तरह, विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण किया जा सकता है।

चलो उत्पादित पीयादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्सअज्ञात मापदंडों के साथ और ए से, और विचरण के लिए डीनिष्पक्ष अनुमान प्राप्त किया जाता है:

विचरण के लिए लगभग एक विश्वास अंतराल बनाना आवश्यक है।

सूत्र (14.3.11) से यह देखा जा सकता है कि मान डीप्रतिनिधित्व करता है

रकम पीफॉर्म के यादृच्छिक चर। ये मान नहीं हैं

स्वतंत्र, क्योंकि उनमें से किसी में भी मात्रा शामिल है टी,अन्य सभी पर निर्भर। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि जैसे पीउनके योग का वितरण नियम भी सामान्य के करीब है। लगभग पी= 20...30 इसे पहले से ही सामान्य माना जा सकता है।

आइए मान लें कि यह ऐसा है, और इस कानून की विशेषताओं को खोजें: गणितीय अपेक्षा और भिन्नता। स्कोर के बाद से डी- निष्पक्ष, फिर एम [डी] = डी।

प्रसरण गणना डी डीअपेक्षाकृत जटिल गणनाओं से जुड़ा है, इसलिए हम व्युत्पत्ति के बिना इसकी अभिव्यक्ति देते हैं:

जहाँ c 4 - मात्रा का चौथा केंद्रीय क्षण एक्स।

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करने के लिए, आपको इसमें 4 और . के मानों को प्रतिस्थापित करना होगा डी(कम से कम अनुमानित)। के बजाय डीआप मूल्यांकन का उपयोग कर सकते हैं डी।सिद्धांत रूप में, चौथे केंद्रीय क्षण को इसके अनुमान से भी बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, फॉर्म के मूल्य से:

लेकिन ऐसा प्रतिस्थापन बेहद कम सटीकता देगा, क्योंकि सामान्य तौर पर, सीमित संख्या में प्रयोगों के साथ, उच्च-क्रम के क्षण बड़ी त्रुटियों के साथ निर्धारित किए जाते हैं। हालांकि, व्यवहार में अक्सर ऐसा होता है कि मात्रा के वितरण कानून का रूप एक्सपहले से ज्ञात: केवल इसके पैरामीटर अज्ञात हैं। तब हम u4 को के रूप में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं डी।

आइए हम सबसे आम मामला लें, जब मूल्य एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित। फिर इसका चौथा केंद्रीय क्षण विचरण के रूप में व्यक्त किया जाता है (अध्याय 6 उपखंड 6.2 देखें);

और सूत्र (14.3.12) देता है या

(14.3.14) अज्ञात में बदलना डीउसका आकलन डी, हमें मिलता है: कहाँ से

जिस क्षण u 4 को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है डीकुछ अन्य मामलों में भी, जब मात्रा का वितरण एक्ससामान्य नहीं है, लेकिन इसकी उपस्थिति ज्ञात है। उदाहरण के लिए, एकसमान घनत्व के नियम के लिए (अध्याय 5 देखें) हमारे पास है:

जहां (ए, पी) वह अंतराल है जिस पर कानून दिया गया है।

फलस्वरूप,

सूत्र (14.3.12) के अनुसार हम प्राप्त करते हैं: जहां से हम लगभग पाते हैं

ऐसे मामलों में जहां 26 के मूल्य के वितरण के कानून का रूप अज्ञात है, जब एक / के मूल्य का अनुमान लगाया जाता है, तब भी सूत्र (14.3.16) का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, अगर यह मानने के लिए कोई विशेष आधार नहीं है। कानून सामान्य से बहुत अलग है (एक ध्यान देने योग्य सकारात्मक या नकारात्मक कुर्टोसिस है)।

यदि a /) का अनुमानित मान किसी न किसी रूप में प्राप्त किया जाता है, तो विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण उसी तरह संभव है जैसे हमने इसे गणितीय अपेक्षा के लिए बनाया था:

जहां दी गई प्रायिकता के आधार पर मान तालिका में पाया जाता है। 14.3.1.

उदाहरण 2. एक यादृच्छिक चर के भिन्नता के लिए लगभग 80% विश्वास अंतराल खोजें एक्सउदाहरण 1 की शर्तों के तहत, यदि यह ज्ञात है कि मान एक्ससामान्य के करीब एक कानून के अनुसार वितरित।

समाधान।मान तालिका के समान ही रहता है। 14.3.1:

सूत्र के अनुसार (14.3.16)

सूत्र (14.3.18) के अनुसार हम विश्वास अंतराल पाते हैं:

मानक विचलन के मूल्यों की संगत श्रेणी: (0.21; 0.29)।

14.4. सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीके

पिछले उपखंड में, हमने माध्य और विचरण के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए लगभग अनुमानित तरीकों पर विचार किया था। यहां हम उसी समस्या को हल करने के सटीक तरीकों का एक विचार देते हैं। हम इस बात पर जोर देते हैं कि विश्वास अंतराल को सटीक रूप से खोजने के लिए, मात्रा के वितरण के नियम के रूप को पहले से जानना नितांत आवश्यक है एक्स,जबकि यह अनुमानित विधियों के अनुप्रयोग के लिए आवश्यक नहीं है।

विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीकों का विचार इस प्रकार है। कुछ असमानताओं की पूर्ति की संभावना को व्यक्त करने वाली स्थिति से कोई विश्वास अंतराल पाया जाता है, जिसमें हमारे लिए ब्याज का अनुमान शामिल है एक।ग्रेड वितरण कानून एकसामान्य मामले में मात्रा के अज्ञात मापदंडों पर निर्भर करता है एक्स।हालांकि, कभी-कभी एक यादृच्छिक चर से असमानताओं को पारित करना संभव है एकदेखे गए मूल्यों के किसी अन्य कार्य के लिए एक्स पी एक्स 2, ..., एक्स पी.जिसका वितरण नियम अज्ञात मापदंडों पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल प्रयोगों की संख्या और मात्रा के वितरण कानून के रूप पर निर्भर करता है। एक्स।इस प्रकार के यादृच्छिक चर गणितीय आँकड़ों में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं; मात्रा के सामान्य वितरण के मामले में उनका सबसे अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है एक्स।

उदाहरण के लिए, यह साबित हो गया है कि मात्रा के सामान्य वितरण के तहत एक्सयादृच्छिक मूल्य

तथाकथित के अधीन छात्र वितरण कानूनसाथ पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री; इस कानून के घनत्व का रूप है

जहाँ G(x) ज्ञात गामा फलन है:

यह भी सिद्ध होता है कि यादृच्छिक चर

के साथ "वितरण% 2" है पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री (अध्याय 7 देखें), जिसका घनत्व सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

वितरणों की व्युत्पत्तियों (14.4.2) और (14.4.4) पर ध्यान दिए बिना, हम दिखाएंगे कि मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करते समय उन्हें कैसे लागू किया जा सकता है टाइ डी।

चलो उत्पादित पीयादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्स,अज्ञात मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित टीआईओ।इन मापदंडों के लिए, अनुमान

कॉन्फिडेंस प्रायिकता p के अनुरूप दोनों मापदंडों के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का निर्माण करना आवश्यक है।

आइए पहले गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें। इस अंतराल को के संबंध में सममित लेना स्वाभाविक है टी; अंतराल की आधी लंबाई को s p से निरूपित करें। एसपी का मान चुना जाना चाहिए ताकि शर्त

आइए एक यादृच्छिक चर से समानता (14.4.5) के बाईं ओर पारित करने का प्रयास करें टीएक यादृच्छिक चर के लिए टी,छात्र कानून के अनुसार वितरित। ऐसा करने के लिए, हम असमानता के दोनों भागों को गुणा करते हैं |m-w?|

सकारात्मक मूल्य के लिए: या, संकेतन (14.4.1) का उपयोग करते हुए,

आइए हम एक संख्या / पी इस तरह खोजें कि मूल्य / पी को शर्त से पाया जा सके

यह सूत्र (14.4.2) से देखा जा सकता है कि (1) एक सम फलन है, इसलिए (14.4.8) देता है

समानता (14.4.9) पी के आधार पर मूल्य / पी निर्धारित करती है। यदि आपके पास अपने निपटान में अभिन्न मूल्यों की एक तालिका है

तब मान / p तालिका में रिवर्स इंटरपोलेशन द्वारा पाया जा सकता है। हालांकि, अग्रिम में मूल्यों / पी की एक तालिका संकलित करना अधिक सुविधाजनक है। ऐसी तालिका परिशिष्ट (सारणी 5) में दी गई है। यह तालिका आत्मविश्वास की संभावना पी और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के आधार पर मान दिखाती है पी- 1. तालिका के अनुसार निर्धारित / पी। 5 और मान लेना

हम कॉन्फिडेंस इंटरवल / p की आधी चौड़ाई और खुद इंटरवल पाते हैं

उदाहरण 1. यादृच्छिक चर पर 5 स्वतंत्र प्रयोग किए गए एक्स,सामान्य रूप से अज्ञात मापदंडों के साथ वितरित टीऔर उस बारे में। प्रयोगों के परिणाम तालिका में दिए गए हैं। 14.4.1.

तालिका 14.4.1

एक अनुमान खोजें टीगणितीय अपेक्षा के लिए और इसके लिए 90% विश्वास अंतराल / p का निर्माण करें (अर्थात, विश्वास संभावना p \u003d 0.9 के अनुरूप अंतराल)।

समाधान।हमारे पास है:

के लिए आवेदन की तालिका 5 के अनुसार पी - 1 = 4 और p = 0.9 हम पाते हैं कहाँ पे

कॉन्फिडेंस इंटरवल होगा

उदाहरण 2। उपखंड 14.3 के उदाहरण 1 की शर्तों के लिए, मान मानकर एक्ससामान्य रूप से वितरित, सटीक विश्वास अंतराल खोजें।

समाधान।आवेदन की तालिका 5 के अनुसार, हम पाते हैं पी - 1 = 19ir =

0.8 / पी = 1.328; यहाँ से

उपखंड 14.3 (ई पी = 0.072) के उदाहरण 1 के समाधान की तुलना में, हम देखते हैं कि विसंगति बहुत छोटी है। यदि हम सटीकता को दूसरे दशमलव स्थान पर रखते हैं, तो सटीक और अनुमानित विधियों द्वारा पाया जाने वाला विश्वास अंतराल समान होता है:

आइए विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल बनाने के लिए आगे बढ़ते हैं। निष्पक्ष विचरण अनुमान पर विचार करें

और यादृच्छिक चर व्यक्त करें डीमूल्य के माध्यम से वी(14.4.3) वितरण x 2 (14.4.4) वाले:

मात्रा के वितरण नियम को जानना वी,उस अंतराल को ज्ञात करना संभव है / (1 ) जिसमें यह दी गई प्रायिकता p के साथ आता है।

वितरण कानून के एन _ एक्स (वी) I 7 का मान अंजीर में दिखाया गया रूप है। 14.4.1.

चावल। 14.4.1

सवाल उठता है: अंतराल / पी कैसे चुनें? यदि मात्रा का वितरण नियम वीसममित था (एक सामान्य कानून या छात्र के वितरण की तरह), गणितीय अपेक्षा के संबंध में अंतराल / पी सममित लेना स्वाभाविक होगा। इस मामले में कानून के एन _ एक्स (वी)विषम। आइए हम अंतराल / पी को चुनने के लिए सहमत हों ताकि मात्रा के उत्पादन की संभावनाएं वीअंतराल के बाहर दाएं और बाएं (चित्र 14.4.1 में छायांकित क्षेत्र) समान और बराबर थे

इस गुण के साथ एक अंतराल / p बनाने के लिए, हम तालिका का उपयोग करते हैं। 4 अनुप्रयोग: इसमें संख्याएँ होती हैं वाई)ऐसा है कि

मात्रा के लिए वी,स्वतंत्रता की r डिग्री के साथ x 2-वितरण होना। हमारे मामले में आर = एन- 1. फिक्स आर = एन- 1 और तालिका की संगत पंक्ति में खोजें। 4 दो मान एक्स 2 -एक प्रायिकता के संगत दूसरा - प्रायिकताएँ आइए हम इन्हें निर्दिष्ट करें

मूल्यों दो परतथा एक्सएल?अंतराल है वाई 2,उसके बाएं के साथ, और वाई ~दाहिना छोर।

अब हम आवश्यक विश्वास अंतराल पाते हैं /| सीमाओं के साथ विचरण के लिए डी, और डी 2,जो बिंदु को कवर करता है डीसंभावना पी के साथ:

आइए हम एक ऐसा अंतराल / (, = (?> b A) बनाते हैं, जो बिंदु को कवर करता है डीअगर और केवल अगर मूल्य वीअंतराल / आर में पड़ता है। आइए हम दिखाते हैं कि अंतराल

इस शर्त को पूरा करता है। दरअसल, असमानताएं असमानताओं के बराबर हैं

और ये असमानताएँ प्रायिकता p के साथ होती हैं। इस प्रकार, फैलाव के लिए विश्वास अंतराल पाया जाता है और सूत्र (14.4.13) द्वारा व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 3. उपधारा 14.3 के उदाहरण 2 की शर्तों के तहत प्रसरण के लिए विश्वास अंतराल ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि मान एक्ससामान्य रूप से वितरित।

समाधान।हमारे पास है . आवेदन की तालिका 4 के अनुसार

हम पाते हैं आर = एन - 1 = 19

सूत्र (14.4.13) के अनुसार हम फैलाव के लिए विश्वास अंतराल पाते हैं

मानक विचलन के लिए संगत अंतराल: (0.21; 0.32)। यह अंतराल अनुमानित विधि द्वारा उपखंड 14.3 के उदाहरण 2 में प्राप्त अंतराल (0.21; 0.29) से केवल थोड़ा अधिक है।

• चित्र 14.3.1 एक विश्वास अंतराल पर विचार करता है जो सममित है a. सामान्य तौर पर, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह आवश्यक नहीं है।