शैक्षणिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

पत्राचार शिक्षा के लेखांकन संकाय (एनआईएसपीओ) के छात्रों द्वारा "दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" विषय का अध्ययन करने के लिए

गोर्की, 2013

रैखिक विभेदक समीकरण

स्थिरांक के साथ दूसरा क्रमगुणांकों

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है

वे। एक समीकरण जिसमें वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव केवल पहली डिग्री तक होते हैं और उनके उत्पाद शामिल नहीं होते हैं। इस समीकरण में और
- कुछ संख्याएँ, और एक फ़ंक्शन
एक निश्चित अंतराल पर दिया जाता है
.

अगर
अंतराल पर
, तो समीकरण (1) का रूप ले लेगा

, (2)

और कहा जाता है रैखिक सजातीय . अन्यथा, समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

जटिल फ़ंक्शन पर विचार करें

, (3)

कहाँ
और
- वास्तविक कार्य। यदि फ़ंक्शन (3) समीकरण (2) का एक जटिल समाधान है, तो वास्तविक भाग
, और काल्पनिक भाग
समाधान
एक ही सजातीय समीकरण के अलग-अलग समाधान हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) का कोई भी जटिल समाधान इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान उत्पन्न करता है।

एक सजातीय रैखिक समीकरण के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

अगर समीकरण (2) का हल है, तो फलन
, कहाँ साथ- एक मनमाना स्थिरांक भी समीकरण (2) का समाधान होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर फ़ंक्शन
समीकरण (2) का भी समाधान होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर उनका रैखिक संयोजन
समीकरण (2) का भी समाधान होगा, जहाँ और
- मनमाना स्थिरांक.

कार्य
और
कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भर अंतराल पर
, यदि ऐसी संख्याएँ मौजूद हैं और
, एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं, इस अंतराल पर समानता

यदि समानता (4) तभी घटित होती है
और
, फिर फ़ंक्शन
और
कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतराल पर
.

उदाहरण 1 . कार्य
और
चूँकि, रैखिक रूप से निर्भर हैं
संपूर्ण संख्या रेखा पर. इस उदाहरण में
.

उदाहरण 2 . कार्य
और
समानता के बाद से, किसी भी अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी संभव है जब
, और
.

एक रैखिक सजातीय के लिए एक सामान्य समाधान का निर्माण

समीकरण

समीकरण (2) का सामान्य समाधान खोजने के लिए, आपको इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने होंगे और . इन समाधानों का रैखिक संयोजन
, कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं, और एक रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान देंगे।

हम फॉर्म में समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान की तलाश करेंगे

, (5)

कहाँ - एक निश्चित संख्या. तब
,
. आइए इन अभिव्यक्तियों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

या
.

क्योंकि
, वह
. तो समारोह
समीकरण (2) का समाधान होगा यदि समीकरण को संतुष्ट करेगा

. (6)

समीकरण (6) कहा जाता है विशेषता समीकरण समीकरण (2) के लिए. यह समीकरण एक बीजगणितीय द्विघात समीकरण है.

होने देना और इस समीकरण की जड़ें हैं. वे या तो वास्तविक और भिन्न, या जटिल, या वास्तविक और समान हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर विचार करें.

जड़ें चलो और विशेषता समीकरण वास्तविक और विशिष्ट हैं। तब समीकरण (2) के समाधान फलन होंगे
और
. समानता के बाद से ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी किया जा सकता है जब
, और
. इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है

,

कहाँ और
- मनमाना स्थिरांक.

उदाहरण 3
.

समाधान . इस अंतर के लिए विशेषता समीकरण होगा
. इस द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
और
. कार्य
और
अवकल समीकरण के समाधान हैं। इस समीकरण का सामान्य हल है
.

जटिल संख्या रूप की अभिव्यक्ति कहलाती है
, कहाँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, और
काल्पनिक इकाई कहलाती है। अगर
, फिर संख्या
पूर्णतः काल्पनिक कहा जाता है. अगर
, फिर संख्या
वास्तविक संख्या से पहचाना जाता है .

संख्या किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है, और - काल्पनिक भाग. यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह द्वारा एक दूसरे से भिन्न हों, तो वे संयुग्म कहलाती हैं:
,
.

उदाहरण 4 . द्विघात समीकरण हल करें
.

समाधान . विभेदक समीकरण
. तब। वैसे ही,
. इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण में संयुग्मित जटिल जड़ें हैं।

मान लीजिए कि विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल हैं, यानी।
,
, कहाँ
. समीकरण (2) के हल इस रूप में लिखे जा सकते हैं
,
या
,
. यूलर के सूत्रों के अनुसार

,
.

तब ,। जैसा कि ज्ञात है, यदि एक जटिल फ़ंक्शन एक रैखिक सजातीय समीकरण का समाधान है, तो इस समीकरण के समाधान इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) का समाधान फलन होगा
और
. समानता के बाद से

केवल तभी निष्पादित किया जा सकता है यदि
और
, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है

कहाँ और
- मनमाना स्थिरांक.

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान . समीकरण
किसी दिए गए अंतर की विशेषता है। आइए इसे हल करें और जटिल जड़ें प्राप्त करें
,
. कार्य
और
अवकल समीकरण के रैखिकतः स्वतंत्र समाधान हैं। इस समीकरण का सामान्य समाधान है:

मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं, अर्थात्।
. तब समीकरण (2) के समाधान फलन हैं
और
. ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि अभिव्यक्ति केवल तभी शून्य के बराबर हो सकती है
और
. इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
.

उदाहरण 6 . अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान . विशेषता समीकरण
समान जड़ें हैं
. इस मामले में, अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान कार्य हैं
और
. सामान्य समाधान का स्वरूप होता है
.

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण

और विशेष दाहिनी ओर

रैखिक अमानवीय समीकरण (1) का सामान्य समाधान सामान्य समाधान के योग के बराबर है
संगत सजातीय समीकरण और कोई विशेष समाधान
अमानवीय समीकरण:
.

कुछ मामलों में, एक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान दाहिने हाथ के रूप में काफी सरलता से पाया जा सकता है
समीकरण (1). आइए उन मामलों को देखें जहां यह संभव है।

वे। अमानवीय समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का एक बहुपद है एम. अगर
विशेषता समीकरण का मूल नहीं है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान डिग्री के बहुपद के रूप में खोजा जाना चाहिए एम, अर्थात।

कठिनाइयाँ
किसी विशेष समाधान को खोजने की प्रक्रिया में निर्धारित किया जाता है।

अगर
विशेषता समीकरण का मूल है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान रूप में खोजा जाना चाहिए

उदाहरण 7 . अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान . इस समीकरण के लिए संगत सजातीय समीकरण है
. इसका अभिलक्षणिक समीकरण
जड़ें हैं
और
. सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप होता है
.

क्योंकि
विशेषता समीकरण की जड़ नहीं है, तो हम एक फ़ंक्शन के रूप में अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे
. आइए इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें
,
और उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या । आइए हम इसके लिए गुणांकों की बराबरी करें और मुफ़्त सदस्य:
इस प्रणाली को हल करने के बाद, हम पाते हैं
,
. तब अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होता है
, और किसी दिए गए अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और अमानवीय के विशेष समाधान का योग होगा:
.

मान लीजिए कि अमानवीय समीकरण का रूप है

अगर
विशेषता समीकरण की जड़ नहीं है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान फॉर्म में खोजा जाना चाहिए। अगर
विशेषता बहुलता समीकरण का मूल है क (क=1 या क=2), तो इस स्थिति में अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होगा।

उदाहरण 8 . अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान . संगत सजातीय समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का रूप होता है
. इसकी जड़ें
,
. इस स्थिति में, संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान प्रपत्र में लिखा जाता है
.

चूँकि संख्या 3 विशेषता समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान इस रूप में खोजा जाना चाहिए
. आइए पहले और दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें:

आइए अंतर समीकरण में स्थानापन्न करें:
+ +,
+,.

आइए हम इसके लिए गुणांकों की बराबरी करें और मुफ़्त सदस्य:

यहाँ से
,
. तब इस समीकरण का एक विशेष हल रूप लेता है
, और सामान्य समाधान

.

मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की लैग्रेंज विधि

मनमाना स्थिरांक को अलग-अलग करने की विधि को स्थिर गुणांक वाले किसी भी अमानवीय रैखिक समीकरण पर लागू किया जा सकता है, भले ही दाईं ओर का प्रकार कुछ भी हो। यदि संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात हो तो यह विधि आपको हमेशा एक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजने की अनुमति देती है।

होने देना
और
समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। तब इस समीकरण का सामान्य हल है
, कहाँ और
- मनमाना स्थिरांक. मनमाना स्थिरांकों को अलग-अलग करने की विधि का सार यह है कि समीकरण (1) का सामान्य समाधान इस रूप में खोजा जाता है

कहाँ
और
- नए अज्ञात फ़ंक्शन जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। चूँकि दो अज्ञात फलन हैं, उन्हें खोजने के लिए, इन फलनों वाले दो समीकरणों की आवश्यकता होती है। ये दो समीकरण प्रणाली बनाते हैं

जो कि समीकरणों की एक रैखिक बीजगणितीय प्रणाली है
और
. इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
और
. प्राप्त समानताओं के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

और
.

इन व्यंजकों को (9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अमानवीय रैखिक समीकरण (1) का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 9 . अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
.

समाधान। किसी दिए गए अंतर समीकरण के अनुरूप सजातीय समीकरण के लिए विशेषता समीकरण है
. इसकी जड़ें जटिल हैं
,
. क्योंकि
और
, वह
,
, और सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है। फिर हम इस अमानवीय समीकरण का एक सामान्य समाधान इस रूप में खोजेंगे
और
- अज्ञात कार्य.

इन अज्ञात कार्यों को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली का रूप है

इस प्रणाली को हल करने के बाद, हम पाते हैं
,
. तब

,
. आइए हम परिणामी अभिव्यक्तियों को सामान्य समाधान के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

यह लैग्रेंज विधि का उपयोग करके प्राप्त इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

किस अवकल समीकरण को अचर गुणांकों वाला द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

किस रैखिक अवकल समीकरण को सजातीय तथा किसको अमानवीय कहा जाता है?

एक रैखिक सजातीय समीकरण में क्या गुण होते हैं?

रैखिक अवकल समीकरण के लिए किस समीकरण को विशेषता कहा जाता है और इसे कैसे प्राप्त किया जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के विभिन्न मूलों की स्थिति में अचर गुणांक वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के समान मूलों की स्थिति में अचर गुणांक वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

विशेषता समीकरण की जटिल जड़ों के मामले में निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान किस रूप में लिखा जाता है?

रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य हल कैसे लिखा जाता है?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में खोजा जाता है यदि विशेषता समीकरण की जड़ें अलग-अलग हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं, और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है एम?

यदि विशेषता समीकरण की जड़ों के बीच एक शून्य है और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है तो रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में खोजा जाता है एम?

लैग्रेंज विधि का सार क्या है?

दूसरे क्रम के विभेदक समीकरण

§1. समीकरण के क्रम को कम करने की विधियाँ।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width=”19” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”119” ऊंचाई=”25 src=”> ( या डिफरेंशियल" href='/text/category/differentcial/' rel='bookmark'>2रे ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन)। दूसरे ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए कॉची समस्या (1..gif' width='85' ऊंचाई= '25 src = ">.gif" चौड़ाई = "85" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" ऊंचाई = "25 src = ">।

मान लें कि दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का रूप इस प्रकार है: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" ऊँचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "39" ऊँचाई = " 25 src='>.gif' चौड़ाई='265' ऊंचाई='28 src='>.

इस प्रकार, दूसरे क्रम का समीकरण https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width=”34″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”118” ऊंचाई= 25 src='>.gif' चौड़ाई='117' ऊंचाई='25 src='>.gif' चौड़ाई='34' ऊंचाई='25 src='>. इसे हल करने पर, हम दो मनमाने स्थिरांकों के आधार पर, मूल अंतर समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त करते हैं: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width=”95” ऊंचाई=”25 src = ">. gif" चौड़ाई = "76" ऊंचाई = "25 src = ">।

समाधान।

चूँकि मूल समीकरण में स्पष्ट रूप से कोई तर्क नहीं है https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" ऊँचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "35" ऊँचाई = "25 src='>..gif' width='35' ऊँचाई='25 src='>.gif' width='82' ऊँचाई='38 src='> ..gif' width='99' ऊँचाई='38 src='>.

चूंकि https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width='85' ऊंचाई='25 src='>.gif' width='42' ऊंचाई='38 src= " >.gif' width='34' ऊंचाई='25 src='>.gif' चौड़ाई='68' ऊंचाई='35 src='>..gif' ऊंचाई='25 src='>.

मान लें कि दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का रूप इस प्रकार है: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" ऊँचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "161" ऊँचाई = " 25 src='>.gif' width='34' ऊँचाई='25 src='>.gif' width='33' ऊँचाई='25 src='>..gif' width='225' ऊँचाई='25 src='>..gif' width='150' ऊंचाई='25 src='>.

उदाहरण 2.समीकरण का सामान्य समाधान खोजें: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width=”34″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”107” ऊंचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "100" ऊंचाई = "27 src = ">.gif" चौड़ाई = "130" ऊंचाई = "37 src = ">.gif" चौड़ाई = "34" ऊंचाई = "25 स्रोत = ">.gif" चौड़ाई = "183" ऊंचाई = "36 स्रोत = ">।

3. घात का क्रम कम हो जाता है यदि इसे ऐसे रूप में बदलना संभव हो कि समीकरण के दोनों पक्ष https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif के अनुसार पूर्ण व्युत्पन्न बन जाएं। " width = "92" ऊँचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "98" ऊँचाई = "48 src = ">.gif" चौड़ाई = "138" ऊँचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई='282' ऊंचाई='25 स्रोत=>, (2.1)

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width=”42” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”42” ऊंचाई=”25 src=”> - दिए गए फ़ंक्शन, उस अंतराल पर निरंतर होते हैं जिस पर समाधान मांगा जाता है। यह मानते हुए कि a0(x) ≠ 0, हम विभाजित करते हैं (2..gif" width='215' ऊंचाई='25 src='> (2.2)

आइए हम बिना प्रमाण के मान लें कि (2..gif" width=”82″ ऊँचाई=”25 src=”>.gif” width=”38” ऊँचाई=”25 src=”>.gif” width=”65” ऊँचाई = "25 src='>, तो समीकरण (2.2) को सजातीय कहा जाता है, और समीकरण (2.2) को अन्यथा अमानवीय कहा जाता है।

आइए दूसरे क्रम के समाधान के गुणों पर विचार करें।

परिभाषा।कार्यों का रैखिक संयोजन https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width=”93″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”42” ऊंचाई=”25 src = ">.gif" चौड़ाई = "195" ऊँचाई = "25 src = ">, (2.3)

फिर उनका रैखिक संयोजन https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width='182' ऊंचाई='25 src='> (2.3) में और दिखाएं कि परिणाम पहचान है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif' width='368' ऊंचाई='25 src='>.

चूंकि फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width='42' ऊंचाई='25 src='> समीकरण (2.3) के समाधान हैं, तो प्रत्येक कोष्ठक में अंतिम समीकरण समरूप शून्य के बराबर है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

परिणाम 1.सिद्ध प्रमेय से यह पता चलता है कि https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width=”77” ऊंचाई=”25 src=”> पर - समीकरण का समाधान (2. .gif" width=" 97" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" width = "165" ऊंचाई = "25 src = "> को कुछ अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि इनमें से कोई भी फ़ंक्शन रैखिक के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है अन्य सभी का संयोजन.

दो फ़ंक्शन के मामले में https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width='119' ऊंचाई='25 src='>, यानी..gif' width='77' ऊंचाई = "47 src = ">.gif" चौड़ाई = "187" ऊंचाई = "43 src = ">.gif" चौड़ाई = "42" ऊंचाई = "25 src = ">। इस प्रकार, दो रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों के लिए व्रोनस्की निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है।

आइए https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width=”46″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”42” ऊंचाई=”25 src=”> .gif" width=”605” ऊंचाई=”50”>..gif” width=”18” ऊंचाई=”25 src=”> समीकरण को संतुष्ट करें (2..gif” width=”42” ऊंचाई=”25 src = "> - समीकरण का समाधान (3.1)..gif" width=”87″ ऊंचाई=”28 src=”>..gif” width=”182” ऊंचाई=”34 src=”>..gif” चौड़ाई= "162 " ऊँचाई = "42 src = ">.gif" width = "51" ऊँचाई = "25 src = "> पहचान प्राप्त की जाती है। इस प्रकार,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width=”18” ऊंचाई=”25 src=”>, जिसमें समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान के लिए निर्धारक (2..gif) " width= "42" ऊंचाई='25 src='>.gif' ऊंचाई='25 src='> सूत्र (3.2) के दाईं ओर दोनों कारक गैर-शून्य हैं।

§4. दूसरे क्रम के लोड के सामान्य समाधान की संरचना।

प्रमेय.यदि https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif' width='42' ऊंचाई='25 src='> समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं (2..gif' width=' 19" ऊँचाई = "25 src = ">.gif" width = "129" ऊँचाई = "25 src = "> समीकरण (2.3) का एक समाधान है, जो दूसरे क्रम के समाधान के गुणों पर प्रमेय से अनुसरण करता है। gif" चौड़ाई = "85" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "19" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "220" ऊंचाई = "47">

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की इस प्रणाली से स्थिरांक https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width='19' ऊँचाई='25 src='> विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं, क्योंकि के निर्धारक यह सिस्टम है https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width=”51” ऊंचाई=”25 src=”>:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width=”138″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”19” ऊंचाई=”25 src=”>. gif" width = "69" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "235" ऊंचाई = "48 src = ">..gif" चौड़ाई = "143" ऊंचाई = "25 src = "> (5 ..gif' width='77' ऊंचाई='25 src='>. पिछले पैराग्राफ के अनुसार, यदि इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान ज्ञात हैं, तो दूसरे क्रम के Lod का सामान्य समाधान आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। एक सरल विधि एल. यूलर द्वारा प्रस्तावित स्थिर गुणांक वाले समीकरण का आंशिक समाधान खोजने के लिए..gif" width='25' ऊंचाई='26 src='>, हमें एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होता है, जिसे विशेषता कहा जाता है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width=”59″ ऊंचाई=”26 src=”> केवल k के उन मानों के लिए समीकरण (5.1) का समाधान होगा यह विशेषता समीकरण (5.2) के मूल हैं..gif" width=”49″ ऊँचाई=”25 src=”>..gif” width=”76” ऊँचाई=”28 src=”>.gif” width= "205" ऊँचाई = "47 src = "> और सामान्य समाधान (5..gif" width = "45" ऊँचाई = "25 src = ">..gif" width = "74" ऊँचाई = "26 src = " >..gif' width='83 ' ऊंचाई='26 src='>. आइए जांचें कि यह फ़ंक्शन समीकरण (5.1)..gif' चौड़ाई='190' ऊंचाई='26 src='> को संतुष्ट करता है। इन अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करते हुए समीकरण (5.1) में, हम पाते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width=”328″ ऊंचाई=”26 src=”>, क्योंकि..gif” width=”137” ऊंचाई=”26 src= ">.

विशेष समाधान https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif' width='86' ऊंचाई='28 src='> रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि..gif' width='166' ऊंचाई = "26 src = ">.gif" चौड़ाई = "45" ऊँचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "65" ऊँचाई = "33 src = ">.gif" चौड़ाई = "134" ऊँचाई = "25 src='>.gif' width='267' ऊंचाई='25 src='>.gif' चौड़ाई='474' ऊंचाई=25 src='>.

इस समानता के बायीं ओर दोनों कोष्ठक समान रूप से शून्य के बराबर हैं..gif" width=”174″ ऊँचाई=”25 src=”>..gif” width=”132” ऊँचाई=”25 src=”> है समीकरण (5.1) का हल ..gif' width='129' ऊँचाई='25 src='> इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width=”179” ऊंचाई=”25 src=”> f(x) (6.1)

सामान्य समाधान के योग के रूप में प्रस्तुत किया गया है https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width=”195” ऊंचाई=”25 src=”> (6.2)

और कोई विशेष समाधान https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width='87' ऊंचाई='25 src='> समीकरण (6.1)..gif' का समाधान होगा चौड़ाई='272' ऊंचाई='25 src='> f(x). यह समानता एक पहचान है, क्योंकि..gif' width='128' ऊंचाई='25 src='> f(x. अतः.gif' width='85' ऊंचाई='25 src='>.gif' चौड़ाई =='138' ऊंचाई='25 src='>.gif' चौड़ाई='18' ऊंचाई='25 src='> इस समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। इस प्रकार:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width=”289″ ऊंचाई=”48 src=”>

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width=”19” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”11” ऊंचाई=”25 src=”>. gif" width='51' ऊंचाई='25 src='>, और ऐसा निर्धारक, जैसा कि हमने ऊपर देखा, सिस्टम से गैर-शून्य है..gif' width='19' ऊंचाई='25 src='> समीकरणों का (6 ..gif" width=”76″ ऊँचाई=”25 src=”>.gif” width=”76″ ऊँचाई=”25 src=”>.gif” width=”140” ऊँचाई=”25 src ==> समीकरण हल करेगा

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width='91' ऊंचाई='25 src='> समीकरण (6.5) में, हम पाते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width=”140” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”128” ऊंचाई=”25 src=”> f (एक्स) (7.1)

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width=”34” ऊंचाई=”25 src=”> समीकरण (7.1) उस स्थिति में जब दाईं ओर f(x) ) का एक विशेष रूप है। इस विधि को अनिश्चित गुणांकों की विधि कहा जाता है और इसमें दाहिनी ओर f(x) के प्रकार के आधार पर एक विशेष समाधान का चयन करना शामिल है। निम्नलिखित रूप के दाहिनी ओर पर विचार करें:

1..gif' width='282' ऊँचाई='25 src='>.gif' width='53' ऊँचाई='25 src='>, शून्य हो सकता है। आइए हम उस रूप को इंगित करें जिसमें इस मामले में एक विशेष समाधान लिया जाना चाहिए।

a) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width=”393″ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”157” ऊंचाई=”25 स्रोत=>.

समाधान।

समीकरण के लिए https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width=”86” ऊंचाई=”25 src=”>..gif” width=”62” ऊंचाई=”25 src = ">..gif" चौड़ाई = "101" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "153" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "383" ऊंचाई = "25 src = " >.

हम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर दोनों भागों को https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" ऊँचाई = "25 src = "> तक कम करते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width=”111” ऊंचाई=”40 src=”>

समीकरणों की परिणामी प्रणाली से हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width='189' ऊंचाई='25 src='>, और दिए गए का सामान्य समाधान समीकरण है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width=”11” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”423” ऊंचाई=”25 src=”>,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif' width='158' ऊंचाई='25 src='>.

समाधान।

संबंधित विशेषता समीकरण का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width=”53″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”85” ऊंचाई=”25 src=”>. gif" width = "45" ऊंचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "219" ऊंचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "184" ऊंचाई = "35 src = ">। अंतिम सामान्य समाधान के लिए हमारे पास निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width=”170” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”13” ऊंचाई=”25 src=”> उत्कृष्ट शून्य से. आइए हम इस मामले में विशेष समाधान के प्रकार को इंगित करें।

ए) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width='204' ऊंचाई='25 src='>,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width=”16” ऊंचाई=”25 src=”> समीकरण के लिए विशेषता समीकरण का मूल है (5..gif” चौड़ाई='229' ऊंचाई='25 स्रोत=>,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif' width='147' ऊंचाई='25 src='>.

समाधान।

समीकरण के लिए विशेषता समीकरण की जड़ें https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width=”58″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”203” ऊंचाई = "25 स्रोत = ">.

उदाहरण 3 में दिए गए समीकरण के दाएँ पक्ष का एक विशेष रूप है: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" ऊँचाई="25 src= ">.gif " width='55' ऊंचाई='25 src='>.gif' चौड़ाई='229' ऊंचाई='25 src='>.

निर्धारित करने के लिए https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width=”11” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”43” ऊंचाई=”25 src=” > और इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

समान पदों का हवाला देते हुए, गुणांकों को https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width='46' ऊंचाई='25 src='>.gif' width='100' ऊंचाई पर बराबर करते हुए = "25 स्रोत = ">.

दिए गए समीकरण का अंतिम सामान्य समाधान है: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width=”281″ ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”47 " ऊँचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "10" ऊँचाई = "25 src = "> क्रमशः, और इनमें से एक बहुपद शून्य के बराबर हो सकता है। आइए हम इस सामान्य मामले में विशेष समाधान के प्रकार को इंगित करें .

a) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" ऊंचाई="51">, (7.2)

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif' width='121' ऊंचाई='25 src='>.

बी) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif' width='80' ऊंचाई='25 src='> है, तो lndu का विशेष समाधान इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width=”17” ऊंचाई=”25 src=”>. अभिव्यक्ति में (7..gif” width=”121” ऊंचाई= "25 स्रोत='>.

उदाहरण 4.समीकरण के विशेष समाधान के प्रकार को इंगित करें

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width=”129” ऊंचाई=”25 src=”>..gif” width=”95” ऊंचाई=”25 src=”> . Lodu का सामान्य समाधान इस प्रकार है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width=”183″ ऊंचाई=”25 src=”>..gif” width=”42” ऊंचाई=”25 src=”> ..gif" चौड़ाई = "36" ऊँचाई = "25 src = ">.gif" चौड़ाई = "351" ऊँचाई = "25 src = ">।

आगे के गुणांक https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width=”34” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”42” ऊंचाई=”28 src=” > दाईं ओर f1(x) वाले समीकरण के लिए एक विशेष समाधान है, और भिन्नता" href='/text/category/variatciya/' rel='bookmark'> मनमाने स्थिरांक की भिन्नता (लैग्रेंज विधि)।

स्थिर गुणांकों और विशेष मुक्त पदों वाले समीकरण के मामले को छोड़कर, किसी समीकरण का सीधे तौर पर कोई विशेष समाधान ढूंढना बहुत मुश्किल है। इसलिए, समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, जो हमेशा चतुर्भुज में समीकरण का सामान्य समाधान ढूंढना संभव बनाता है यदि संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली ज्ञात हो . यह विधि इस प्रकार है.

उपरोक्त के अनुसार, एक रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width=”46” ऊंचाई=”25 src=”>.gif” width=”51” ऊंचाई=”25 src=”> – स्थिरांक नहीं, लेकिन f(x) के कुछ, अभी तक अज्ञात फलन। . अंतराल से लिया जाना चाहिए। वास्तव में, इस मामले में व्रोनस्की निर्धारक अंतराल के सभी बिंदुओं पर गैर-शून्य है, यानी पूरे स्थान में - विशेषता समीकरण की जटिल जड़..gif" width='20' ऊंचाई='25 src='> प्रपत्र के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान :

सामान्य समाधान सूत्र में, यह मूल रूप की अभिव्यक्ति से मेल खाता है।

भौतिकी की कुछ समस्याओं में प्रक्रिया का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच सीधा संबंध स्थापित करना संभव नहीं है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के व्युत्पन्न युक्त समानता प्राप्त करना संभव है। इस प्रकार विभेदक समीकरण उत्पन्न होते हैं और किसी अज्ञात फ़ंक्शन को खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता होती है।

यह आलेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात फ़ंक्शन एक चर का एक फ़ंक्शन है। सिद्धांत को इस तरह से संरचित किया गया है कि अंतर समीकरणों के शून्य ज्ञान के साथ, आप अपना कार्य पूरा कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के विभेदक समीकरण विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत स्पष्टीकरण और समाधान के साथ एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं। आपको बस अपनी समस्या के विभेदक समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूंढना है और समान कार्य करना है।

अवकल समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विभिन्न कार्यों के प्रतिअवकलन (अनिश्चित अभिन्न) के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, हम पहले क्रम के सामान्य अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ओडीई पर आगे बढ़ेंगे, फिर हम उच्च-क्रम समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे और सिस्टम के साथ समाप्त करेंगे विभेदक समीकरण।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फ़ंक्शन है।

प्रथम कोटि अवकल समीकरण.

प्रपत्र का सबसे सरल प्रथम कोटि अवकल समीकरण।

आइए ऐसे रिमोट कंट्रोल के कुछ उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम एक समीकरण पर पहुंचते हैं जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के बराबर होगा। ऐसे ODE के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के ऐसे मान हैं जिन पर फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिए गए x इन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई फ़ंक्शन हैं। ऐसे विभेदक समीकरणों के उदाहरणों में शामिल हैं:

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांक वाला एलडीई एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अंतर समीकरण है। इनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। सबसे पहले, विशेषता समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं . विभिन्न पी और क्यू के लिए, तीन मामले संभव हैं: विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संयोगी हो सकती हैं या जटिल संयुग्म। अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों के मान के आधार पर अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें। इसके अभिलक्षणिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले LODE के सामान्य समाधान का रूप होता है


स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LDDE का सामान्य समाधान संबंधित LDDE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है। और मूल अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान, अर्थात। पिछला पैराग्राफ स्थिर गुणांक वाले सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो मूल समीकरण के दाईं ओर फ़ंक्शन f(x) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा, या अलग-अलग मनमाने स्थिरांक की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के एलडीडीई के उदाहरण के रूप में, हम देते हैं


सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधानों से परिचित होने के लिए, हम आपको पृष्ठ पर निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण प्रदान करते हैं।

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) और दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण (LNDE)।

इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का एक विशेष मामला स्थिर गुणांक वाले LODE और LDDE हैं।

एक निश्चित खंड पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान y 1 और y 2 के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

मुख्य कठिनाई इस प्रकार के विभेदक समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में निहित है। आमतौर पर, विशेष समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों की निम्नलिखित प्रणालियों से चुने जाते हैं:


हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LOD का एक उदाहरण है .

एलडीडीई का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा गया है, जहां संबंधित एलडीडीई का सामान्य समाधान है, और मूल अंतर समीकरण का विशेष समाधान है। हमने अभी इसे खोजने के बारे में बात की है, लेकिन इसे अलग-अलग मनमाने स्थिरांक की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

एलएनडीयू का उदाहरण दिया जा सकता है .

उच्च कोटि के विभेदक समीकरण।

विभेदक समीकरण जो क्रम में कमी की अनुमति देते हैं।

विभेदक समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 क्रम तक वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक कम किया जा सकता है।

इस मामले में, मूल अंतर समीकरण कम हो जाएगा। इसका समाधान p(x) खोजने के बाद, प्रतिस्थापन पर वापस लौटना और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करना बाकी है।

उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरण प्रतिस्थापन के बाद, यह वियोज्य चर वाला एक समीकरण बन जाएगा, और इसका क्रम तीसरे से घटकर पहले हो जाएगा।