معادله یک خط مستقیم به چهار شکل. معادله کلی یک خط مستقیم

معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا، معادلاتی هستند که یک خط مستقیم را که از یک نقطه معین به صورت خطی به یک بردار جهت می گذرد، تعریف می کنند.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و خطی باشند، یعنی شرط را برآورده کنند:

.

معادلات فوق معادلات متعارف خط هستند.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند همزمان صفر باشد. اما یک یا دو تا از آنها ممکن است صفر باشد. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، نماد زیر مجاز است:

,

به این معنی که پیش بینی های بردار روی محورها اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هم بردار و هم خط مستقیم که توسط معادلات متعارف به دست می‌آید بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیماها yOz .

مثال 1معادلات یک خط مستقیم را در فضای عمود بر صفحه بسازید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. نقطه تقاطع صفحه داده شده با محور را پیدا کنید اوز. از آنجایی که هر نقطه از محور اوز، دارای مختصات است، پس با فرض در معادله داده شده از هواپیما x=y= 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین، نقطه تلاقی صفحه داده شده با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2) است. از آنجایی که خط مورد نظر بر صفحه عمود است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار معمولی می تواند به عنوان بردار هدایت کننده خط مستقیم عمل کند هواپیما داده شده

اکنون معادلات مورد نظر خط مستقیم عبور از نقطه را می نویسیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد تعریف کرد و در این حالت، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط شکل می گیرند

.

معادلات بالا یک خط مستقیم را تعریف می کنند که از دو نقطه داده شده می گذرد.

مثال 2معادله یک خط مستقیم در فضایی که از نقاط و .

راه حل. معادلات مورد نظر خط راست را به شکل بالا در مرجع نظری می نویسیم:

.

از آنجا که، پس خط مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع صفحات

یک خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم را معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا نیز می گویند.

مثال 3معادلات متعارف یک خط مستقیم را در فضایی که توسط معادلات کلی داده می شود بنویسید

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط مستقیم یا معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه را در خط مستقیم پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط با یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین با فرض در این سیستم معادلات ایکس= 0، یک سیستم با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را تعریف می کند آ(0; 2; 6) از خط مورد نظر. با فرض آن در سیستم معادلات داده شده y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را تعریف می کند ب(-2؛ 0؛ 0) تقاطع یک خط با یک صفحه xOz .

اکنون معادلات یک خط مستقیم که از نقاط عبور می کند را می نویسیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

یا پس از تقسیم مخرج بر -2:

,

خطی که از نقطه K(x 0; y 0) و موازی با خط y = kx + a می گذرد با فرمول پیدا می شود:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

جایی که k شیب خط مستقیم است.

فرمول جایگزین:
خطی که از نقطه M 1 (x 1 ; y 1) و موازی با خط Ax+By+C=0 می گذرد با معادله نشان داده می شود.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

معادله خط مستقیمی را بنویسید که از نقطه K( ;) موازی با خط y = x + .

مثال شماره 1. معادله خط مستقیمی را بسازید که از نقطه M 0 (2.1-) می گذرد و در همان زمان:
الف) موازی با خط مستقیم 2x+3y -7 = 0.
ب) عمود بر خط 2x+3y -7 = 0.
راه حل . بیایید معادله شیب را به صورت y = kx + a نمایش دهیم. برای انجام این کار، تمام مقادیر به جز y را به سمت راست منتقل می کنیم: 3y = -2x + 7. سپس سمت راست را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم. دریافت می کنیم: y = -2/3x + 7/3
معادله NK را بیابید که از نقطه K(-2;1) موازی با خط مستقیم y = -2 / 3 x + 7 / 3 عبور می کند.
با جایگزینی x 0 \u003d -2، k \u003d -2 / 3، y 0 \u003d 1 دریافت می کنیم:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
یا
y = -2 / 3 x - 1 / 3 یا 3y + 2x +1 = 0

مثال شماره 2. معادله یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم 2x + 5y = 0 را بنویسید و به همراه محورهای مختصات مثلثی را که مساحت آن 5 است تشکیل دهید.
راه حل . از آنجایی که خطوط موازی هستند، معادله خط مورد نظر 2x + 5y + C = 0 است. مساحت یک مثلث قائم الزاویه که a و b پاهای آن هستند. نقاط تلاقی خط مورد نظر با محورهای مختصات را پیدا کنید:
;
.
بنابراین، A(-C/2،0)، B(0،-C/5). جایگزین در فرمول برای مساحت: . ما دو راه حل دریافت می کنیم: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y - 10 = 0.

مثال شماره 3. معادله خطی که از نقطه (-2; 5) و خط موازی 5x-7y-4=0 می گذرد را بنویسید.
راه حل. این خط مستقیم را می توان با معادله y = 5/7 x – 4/7 (در اینجا a = 5/7) نشان داد. معادله خط مورد نظر y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) است، یعنی. 7(y-5)=5(x+2) یا 5x-7y+45=0.

مثال شماره 4. حل مثال 3 (A=5، B=-7) با استفاده از فرمول (2)، 5(x+2)-7(y-5)=0 را پیدا می کنیم.

مثال شماره 5. معادله یک خط مستقیم که از نقطه (-2;5) و یک خط مستقیم موازی 7x+10=0 می گذرد را بنویسید.
راه حل. در اینجا A=7، B=0. فرمول (2) 7(x+2)=0 را می دهد، یعنی. x+2=0. فرمول (1) قابل اجرا نیست، زیرا این معادله با توجه به y قابل حل نیست (این خط مستقیم با محور y موازی است).

بگذارید خط مستقیم از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y- y 1 \u003d است. ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 می گذرد (x 2 y 2)، پس مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 \u003d ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 \u003d x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1، y I) و M 2 (x2، y 2) می گذرد با محور y موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 \u003d y I ، می توان معادله خط مستقیم را به صورت y \u003d y 1 نوشت ، خط مستقیم M 1 M 2 با محور x موازی است.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

بگذارید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a؛ 0) و محور Oy - در نقطه M 2 (0؛ b) را قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط مستقیم کدام بخش ها را بر روی محورهای مختصات قطع می کند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

بیایید معادله یک خط مستقیم را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط مستقیم بگیرید و بردار M 0 M (x - x 0؛ y - y o) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (8/10) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n = (A; B) عمود بر خط عادی نامیده می شود بردار معمولی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار معمولی هستند، C \u003d -Ax o - Vu o - عضو آزاد. معادله (10.9) معادله کلی یک خط مستقیم است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط مستقیم

,

جایی که
مختصات نقطه ای هستند که خط از آن می گذرد و
- بردار جهت

منحنی های دایره مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط یک صفحه است که از یک نقطه معین فاصله مساوی دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز بر یک نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز سهام با مبدا منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شود، یک مقدار ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox و مبدأ آن در وسط بین کانون‌ها قرار دارد، شکل دارد.
جی deآ طول نیم محور اصلی؛ب طول نیم محور فرعی است (شکل 2).

معادله یک خط در یک هواپیما.

همانطور که مشخص است، هر نقطه در هواپیما توسط دو مختصات در یک سیستم مختصات تعیین می شود. سیستم های مختصات بسته به انتخاب مبنا و مبدا می توانند متفاوت باشند.

تعریف. معادله خطرابطه y = f(x) بین مختصات نقاط تشکیل دهنده این خط است.

توجه داشته باشید که معادله خط را می توان به صورت پارامتری بیان کرد، یعنی هر مختصات هر نقطه از طریق برخی پارامترهای مستقل بیان می شود. تی.

یک مثال معمولی، مسیر حرکت یک نقطه متحرک است. در این حالت زمان نقش یک پارامتر را بازی می کند.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

Ah + Wu + C = 0،

علاوه بر این، ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. A 2 + B 2  0. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی یک خط مستقیم

بسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر امکان پذیر است:

C \u003d 0، A  0، B  0 - خط از مبدأ عبور می کند

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - خط موازی با محور Ox است

B \u003d 0، A  0، C  0 (Ax + C \u003d 0) - خط موازی با محور Oy است

B \u003d C \u003d 0، A  0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است

A \u003d C \u003d 0، B 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است

معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار نرمال.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B) عمود بر خط داده شده توسط معادله Ax + By + C = 0 است.

مثال.معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (1، 2) عمود بر بردار عبور می کند، پیدا کنید. (3, -1).

اجازه دهید معادله خط مستقیم را در A \u003d 3 و B \u003d -1 بسازیم: 3x - y + C \u003d 0. برای یافتن ضریب C، مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم.

دریافت می کنیم: 3 - 2 + C \u003d 0، بنابراین C \u003d -1.

مجموع: معادله مورد نظر: 3x - y - 1 \u003d 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد.

در یک صفحه، معادله یک خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1  x 2 و x \u003d x 1، اگر x 1 \u003d x 2.

کسر
=k نامیده می شود فاکتور شیبسر راست.

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به شکل زیر منجر شود:

و تعیین کنید
، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم روی یک نقطه و یک بردار جهت دهنده.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید تخصیص یک خط مستقیم را از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف. هر بردار غیر صفر ( 1 ,  2) که اجزای آن شرط A 1 + B 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

Ah + Wu + C = 0.

مثال.معادله یک خط مستقیم با بردار جهت را پیدا کنید (1, -1) و عبور از نقطه A(1, 2).

معادله خط مستقیم مورد نظر را به شکل Ax + By + C = 0 جستجو می کنیم. مطابق با تعریف، ضرایب باید شرایط را برآورده کنند:

1A + (-1)B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله یک خط مستقیم به این شکل است: Ax + Ay + C = 0 یا x + y + C/A = 0.

در x = 1، y = 2، С/A = -3 را دریافت می کنیم، یعنی. معادله مورد نظر:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ah + Wu + C = 0 C 0 باشد، با تقسیم بر C به دست می‌آییم:
یا

، جایی که

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور x است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.با توجه به معادله کلی خط x - y + 1 = 0. معادله این خط را در پاره ها بیابید.

C \u003d 1،
، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله Ax + Wy + C = 0 تقسیم بر عدد
، که نامیده می شود عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcos + ysin - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم

علامت  عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که С< 0.

p طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم و  زاویه تشکیل شده توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox است.

مثال.با توجه به معادله کلی خط 12x - 5y - 65 = 0. نوشتن انواع معادلات برای این خط الزامی است.

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله عادی یک خط مستقیم:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.

مثال.خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلثی که این قطعات تشکیل می دهند 8 سانتی متر مربع باشد معادله یک خط مستقیم را بنویسید.

معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -چهار

a = -4 با شرایط مسئله مطابقت ندارد.

جمع:
یا x + y - 4 = 0.

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقطه A (2-، -3) و مبدا می گذرد را بنویسید.

معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است:
، جایی که x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

زاویه بین خطوط در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط به صورت تعریف می شود.

.

اگر k 1 = k 2 دو خط موازی باشند.

دو خط عمود هستند اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه. خطوط مستقیم Ax + Vy + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 وقتی ضرایب A متناسب باشند 0 = موازی هستند 1 =  الف، ب 1 =  ب. اگر همچنین ج 1 =  C، سپس خطوط بر هم منطبق می شوند.

مختصات نقطه تقاطع دو خط به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط پیدا می شود.

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد

عمود بر این خط

تعریف. خطی که از نقطه M 1 (x 1، y 1) می گذرد و عمود بر خط y \u003d kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر یک نقطه M(x 0 ، y 0 ، سپس فاصله تا خط Ax + Vy + C = 0 به صورت تعریف می شود

.

اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به خط داده شده رها شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

.

قضیه ثابت شده است.

مثال.زاویه بین خطوط را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

مثال.نشان دهید که خطوط 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 \u003d 3/5، k 2 \u003d -5/3، k 1 k 2 \u003d -1، بنابراین، خطوط عمود هستند.

مثال.رئوس مثلث A(0; 1)، B(6; 5)، C(12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نظر عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k = . سپس y =
. زیرا ارتفاع از نقطه C می گذرد، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند:
از آنجا b = 17. مجموع:
.

پاسخ: 3x + 2y - 34 = 0.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله خط در فضا

معادله یک خط مستقیم در فضا با یک نقطه و

بردار جهت

یک خط دلخواه و یک بردار بگیرید (m, n, p) موازی با خط داده شده. بردار تماس گرفت بردار راهنماسر راست.

بیایید دو نقطه دلخواه M 0 (x 0 , y 0 , z 0) و M(x, y, z) روی خط مستقیم را در نظر بگیریم.

z

M1

اجازه دهید بردار شعاع این نقاط را به صورت نشان دهیم و ، بدیهی است که - =
.

زیرا بردارها
و خطی هستند، پس رابطه درست است
= t، جایی که t برخی از پارامترها است.

در کل می توانیم بنویسیم: = + تی

زیرا این معادله با مختصات هر نقطه از خط برآورده می شود، سپس معادله حاصل می شود معادله پارامتریک خط مستقیم.

این معادله برداری را می توان به صورت مختصات نشان داد:

با تبدیل این سیستم و معادل سازی مقادیر پارامتر t، معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا را به دست می آوریم:

.

تعریف. کسینوس جهتمستقیم، کسینوس های جهت بردار هستند ، که با فرمول های زیر قابل محاسبه است:

;

.

از اینجا می گیریم: m: n: p = cos : cos : cos.

اعداد m، n، p نامیده می شوند عوامل شیبسر راست. زیرا یک بردار غیر صفر است، m، n و p نمی توانند همزمان صفر باشند، اما یک یا دو عدد از این اعداد می توانند صفر باشند. در این حالت در معادله یک خط مستقیم باید اعداد مربوطه را با صفر برابر کرد.

معادله یک خط مستقیم در گذر از فضا

از طریق دو نقطه

اگر دو نقطه دلخواه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) روی یک خط مستقیم در فضا مشخص شده باشند، مختصات این نقاط باید معادله را برآورده کند. خط مستقیم به دست آمده در بالا:

.

علاوه بر این، برای نقطه M 1 می توانیم بنویسیم:

.

با حل این معادلات با هم به دست می آید:

.

این معادله یک خط مستقیم است که از دو نقطه در فضا می گذرد.

معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا.

معادله خط مستقیم را می توان معادله خط تقاطع دو صفحه در نظر گرفت.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، یک صفحه به شکل برداری را می توان با معادله به دست آورد:

+ D = 0، جایی که

- هواپیما عادی؛ - شعاع بردار یک نقطه دلخواه از هواپیما.

این مقاله استخراج معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی واقع در یک صفحه می گذرد. ما معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج می کنیم. چندین مثال مرتبط با مطالب پوشش داده شده را به صورت بصری نشان داده و حل خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید به نکاتی توجه کرد. یک اصل بدیهی وجود دارد که می گوید از طریق دو نقطه غیرمتناسب در یک صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده از صفحه توسط یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد تعیین می شود.

اگر صفحه توسط سیستم مختصات مستطیلی Oxy داده شود، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله خط مستقیم روی صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت دهنده خط مستقیم وجود دارد که این داده ها برای ترسیم معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد کافی است.

مثالی از حل یک مشکل مشابه را در نظر بگیرید. لازم است معادله یک خط مستقیم a که از دو نقطه ناهمخوان M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) واقع در سیستم مختصات دکارتی عبور می کند، بسازیم.

در معادله متعارف یک خط مستقیم روی یک صفحه، به شکل x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y، یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با یک خط مستقیم مشخص می شود که در نقطه ای با مختصات M با آن قطع می شود. 1 (x 1, y 1) با بردار راهنما a → = (a x , a y) .

لازم است معادله متعارف خط مستقیم a را بسازیم که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند.

خط مستقیم a دارای بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را به منظور تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 که روی آنها قرار دارد به دست آورده ایم. (x 1, y 1) و M 2 (x 2 , y 2) . معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 به دست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

پس از محاسبات، معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را در صفحه ای که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند، می نویسیم. معادله ای به شکل x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ یا x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ بدست می آوریم y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

بیایید نگاهی دقیق تر به چند مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 عبور می کند بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خط مستقیمی که در دو نقطه با مختصات x 1 , y 1 و x 2 , y 2 قطع می شود به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 می باشد. با توجه به شرایط مشکل، ما داریم که x 1 \u003d - 5، y 1 \u003d 2 3، x 2 \u003d 1، y 2 \u003d - 1 6. لازم است مقادیر عددی را در معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 جایگزین کنید. از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 خواهد بود.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

اگر حل مشکلی با نوع دیگری از معادله ضروری است، برای شروع می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن به هر دیگری از آن آسان تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد بنویسید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف یک خط معین را که از دو نقطه داده شده می گذرد، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

معادله متعارف را به شکل مورد نظر می آوریم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0 .

نمونه هایی از این کارها در کتاب های درسی مدرسه در درس جبر در نظر گرفته شد. وظایف مدرسه از این نظر متفاوت بود که معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب شناخته شده بود، به شکل y \u003d k x + b. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید، که در آن معادله y \u003d k x + b خطی را در سیستم Oxy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1, y 1) و M می گذرد. 2 (x 2، y 2)، که در آن x 1 ≠ x 2 . وقتی x 1 = x 2 ، سپس شیب مقدار بی نهایت را به خود می گیرد و خط مستقیم M 1 M 2 با یک معادله کلی ناقص به شکل x - x 1 = 0 تعریف می شود. .

چون نقطه ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b نسبت به k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x پیدا می کنیم 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

با چنین مقادیر k و b، معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد به شکل زیر است: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

به خاطر سپردن چنین تعداد زیادی فرمول به طور همزمان کار نخواهد کرد. برای این کار باید تعداد تکرارها را در حل مسائل افزایش داد.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم با شیب عبور از نقاط با مختصات M 2 (2، 1) و y = k x + b را بنویسید.

راه حل

برای حل مشکل، از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y \u003d k x + b است. ضرایب k و b باید چنان مقداری داشته باشند که این معادله مطابق با خط مستقیمی باشد که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7 , - 5) و M 2 (2 , 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2بر روی یک خط مستقیم قرار دارند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b برابری صحیح را معکوس کنند. از اینجا دریافت می کنیم که - 5 = k · (- 7) + b و 1 = k · 2 + b. بیایید معادله را در سیستم ترکیب کنیم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b و حل کنیم.

پس از تعویض، آن را دریافت می کنیم

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نظر که از نقاط داده شده می گذرد معادله ای خواهد بود که به شکل y = 2 3 x - 1 3 است.

این روش حل، صرف زمان زیادی را از پیش تعیین می کند. راهی وجود دارد که در آن کار به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

ما معادله متعارف خط مستقیمی را که از M 2 (2، 1) و M 1 (- 7، - 5) می گذرد، می نویسیم که به شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) است. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

حالا بیایید به معادله شیب برویم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3 .

اگر در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با دو نقطه داده شده غیر منطبق با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد. خط مستقیم M که از آنها 1 M 2 عبور می کند، لازم است معادله این خط به دست آید.

معادلات متعارف شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z و معادلات پارامتری شکل x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + داریم. a z λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تنظیم کنند که از نقاط دارای مختصات (x 1, y 1, z 1) با بردار جهت دهنده a → = (a x, a y, a z) عبور می کند.

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ، جایی که خط از نقطه M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) می گذرد 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z باشد. 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود، پارامتری x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

شکلی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z فضای سه بعدی را بنویسید که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند. ) .

راه حل

ما باید معادله متعارف را پیدا کنیم. از آنجایی که ما در مورد فضای سه بعدی صحبت می کنیم، به این معنی است که وقتی یک خط مستقیم از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = خواهد بود. z - z 1 z 2 - z 1 .

با شرط، داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. از این رو می توان معادلات لازم را به صورت زیر نوشت:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید