به منطقی ترین روش محاسبه کنید. روش های منطقی محاسبه

سطح فعلی توسعه ابزارهای اتوماسیون محاسباتی این توهم را برای بسیاری ایجاد کرده است که توسعه مهارت های محاسباتی اصلاً ضروری نیست. این امر بر آمادگی دانش آموزان تأثیر گذاشت. در غیاب ماشین حساب، حتی کارهای محاسباتی ساده برای بسیاری مشکل ساز می شود.

در عین حال، وظایف امتحانی و مواد امتحانی شامل وظایف بسیاری است که حل آنها مستلزم توانایی آزمودنی ها در سازماندهی منطقی محاسبات است.

در این مقاله چند روش برای بهینه سازی محاسبات و کاربرد آنها برای کارهای رقابتی را در نظر خواهیم گرفت.

اغلب، روش های بهینه سازی محاسبات با استفاده از قوانین اساسی برای انجام عملیات حسابی همراه است.

مثلا:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; یا

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 و غیره.

جهت دیگر - استفاده از فرمول ضرب مختصر

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; یا

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

مثال زیر برای محاسبات جالب است.

محاسبه:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

اینها روش های تقریبا استانداردی برای بهینه سازی محاسبات هستند. گاهی اوقات موارد عجیب و غریب بیشتری ارائه می شود. به عنوان مثال روش ضرب اعداد دو رقمی را در نظر بگیرید که مجموع واحدهای آنها 10 است.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 یا

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

طرح ضرب را می توان از شکل فهمید.

چنین طرح ضربی از کجا می آید؟

اعداد ما بر اساس شرایط دارای شکل هستند: M = 10m + n، K = 10k + (10 – n). بیایید یک اثر بسازیم:

M K = (10m + n) (10k + (10 - n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 - n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) و روش توجیه شده است.

راه های مبتکرانه زیادی برای تبدیل محاسبات نسبتاً پیچیده به مشکلات ذهنی وجود دارد. اما نمی توانید فکر کنید که همه باید اینها و یک سری روش های مبتکرانه دیگر را برای ساده کردن محاسبات به خاطر بسپارند. فقط یادگیری برخی از موارد اساسی مهم است. تجزیه و تحلیل دیگران فقط برای ایجاد مهارت در به کارگیری روش های اساسی معنا دارد. این کاربرد خلاقانه آنهاست که حل سریع و صحیح مسائل محاسباتی را ممکن می سازد.

گاهی اوقات، هنگام حل مثال هایی برای محاسبه، راحت است که از تبدیل یک عبارت با اعداد به تبدیل چند جمله ای ها تغییر دهید. مثال زیر را در نظر بگیرید.

به منطقی ترین روش محاسبه کنید:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

راه حل.

بگذارید a = 1/117 و b = 1/119. سپس 3 1 / 117 = 3 + a، 4 1 / 119 = 4 + b، 1 116 / 117 = 2 - a، 5 118 / 119 = 6 - b.

بنابراین، عبارت داده شده را می توان به صورت (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b نوشت.

پس از انجام تبدیل های ساده چند جمله ای، 10a یا 10/117 به دست می آید.

در اینجا به این نتیجه رسیدیم که ارزش عبارت ما به b بستگی ندارد. و این بدان معنی است که ما نه تنها مقدار این عبارت، بلکه هر عبارت دیگری را که از (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b به دست آمده را با جایگزین کردن مقادیر محاسبه کرده ایم. از a و b اگر مثلاً a = 5/329 باشد، در جواب می‌گیریم 50 / 329 ، هر چه ب.

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم که حل آن با ماشین حساب تقریبا غیرممکن است و اگر روش حل نمونه هایی از این نوع را بدانید، پاسخ کاملاً ساده است.

محاسبه

1 / 6 7 1024 - (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

راه حل.

بیایید شرایط را تغییر دهیم

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1 ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 16 – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

یکی از نمونه ها را که قبلاً تبدیل شده است در نظر بگیرید کتاب درسی مواد امتحانی دوره ابتدایی.

محاسبه مجموع:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

یعنی روش جایگزینی هر کسر با اختلاف دو کسر به ما اجازه داد تا این مشکل را حل کنیم. مجموع معلوم شد که جفت اعداد متضاد با همه اعداد به جز اول و آخر هستند.

اما این مثال قابل تعمیم است. جمع را در نظر بگیرید:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/((n + ( متر – 1)k) (n + mk))

برای آن، همه همان استدلال هایی که در مثال قبلی انجام شد معتبر هستند. در واقع:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) و غیره.

سپس پاسخ را مطابق همان طرح می سازیم: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

و بیشتر در مورد مقادیر "طولانی".

میزان

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

می تواند به عنوان مجموع 11 عضو یک تصاعد هندسی با مخرج 1/2 و عضو اول 1 محاسبه شود. اما همین مجموع را می توان توسط دانش آموز کلاس پنجم که هیچ نظری در مورد پیشرفت ندارد محاسبه کرد. برای این کار کافی است عددی را با موفقیت انتخاب کنیم که به جمع X اضافه کنیم. این عدد در اینجا 1/1024 خواهد بود.

محاسبه کنید

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

اکنون مشخص است که X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

روش دوم کمتر امیدوار کننده نیست. با آن می توانید مجموع را محاسبه کنید:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

در اینجا عدد "خوش شانس" 11 است. آن را به S اضافه کنید و به طور مساوی بین تمام 11 عبارت توزیع کنید. سپس به هر یک از آنها 1 می رسد.

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

بنابراین، S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

در گذشته های دور، زمانی که هنوز سیستم حساب دیفرانسیل و انتگرال اختراع نشده بود، مردم همه چیز را روی انگشتان خود می شمردند. با ظهور علم حساب و مبانی ریاضیات، نگهداری سوابق کالاها، محصولات و اقلام خانگی بسیار ساده تر و کاربردی تر شده است. با این حال، سیستم جدید حساب دیفرانسیل و انتگرال چگونه به نظر می رسد: به چه انواع اعداد موجود تقسیم می شود و "شکل منطقی اعداد" به چه معناست؟ بیایید آن را بفهمیم.

در ریاضیات چند نوع اعداد وجود دارد؟

خود مفهوم "تعداد" واحد خاصی از هر شی را نشان می دهد که شاخص های کمی، مقایسه ای یا ترتیبی آن را مشخص می کند. برای محاسبه صحیح تعداد چیزهای خاص یا انجام عملیات ریاضی خاص با اعداد (جمع، ضرب و غیره)، ابتدا باید با انواع همین اعداد آشنا شوید.

بنابراین، اعداد موجود را می توان به دسته های زیر تقسیم کرد:

1. اعداد طبیعی اعدادی هستند که با آنها تعداد اجسام را می شماریم (کوچکترین عدد طبیعی 1 است، منطقی است که سری اعداد طبیعی بی نهایت باشد، یعنی بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد). مجموعه اعداد طبیعی معمولا با حرف N نشان داده می شود.
2. تمام اعداد. این مجموعه شامل همه چیز است، در حالی که مقادیر منفی از جمله عدد "صفر" به آن اضافه می شود. تعیین مجموعه اعداد صحیح به صورت حرف لاتین Z نوشته می شود.
3. اعداد گویا اعدادی هستند که می توانیم ذهنی آنها را به کسری تبدیل کنیم که صورت آن متعلق به مجموعه اعداد صحیح و مخرج آن متعلق به اعداد طبیعی خواهد بود. در زیر با جزئیات بیشتری به معنای "عدد گویا" و چند مثال خواهیم پرداخت.
4. - مجموعه ای که شامل همه عقلانی است و این مجموعه با حرف R نشان داده می شود.
5. اعداد مختلط شامل بخشی از واقعی و بخشی از متغیر هستند. آنها در حل معادلات مکعبی مختلف استفاده می شوند که به نوبه خود می توانند بیان منفی در فرمول ها داشته باشند (i 2 = -1).

«عقلانی» به چه معناست: با مثال آن را تحلیل می کنیم

اگر آن اعدادی که می توانیم به عنوان کسری مشترک نشان دهیم، گویا در نظر گرفته شوند، معلوم می شود که تمام اعداد صحیح مثبت و منفی نیز در مجموعه اعداد گویا قرار می گیرند. از این گذشته، هر عدد صحیح، به عنوان مثال 3 یا 15، می تواند به عنوان یک کسری نمایش داده شود، که در آن مخرج یک خواهد بود.

کسر: -9/3; 7/5، 6/55 نمونه هایی از اعداد گویا هستند.

«بیان عقلانی» به چه معناست؟

حرکت کن. ما قبلاً در مورد معنای شکل منطقی اعداد بحث کرده ایم. حال بیایید یک عبارت ریاضی را تصور کنیم که از مجموع، تفاوت، حاصلضرب یا ضریب اعداد و متغیرهای مختلف تشکیل شده است. در اینجا یک مثال وجود دارد: کسری که در صورت آن مجموع دو یا چند اعداد صحیح است و مخرج آن شامل یک عدد صحیح و هم مقداری متغیر است. این عبارت است که عقلی نامیده می شود. بر اساس قانون "شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید" می توانید حدس بزنید که مقدار این متغیر نمی تواند به گونه ای باشد که مقدار مخرج صفر شود. بنابراین، هنگام حل یک عبارت منطقی، ابتدا باید محدوده متغیر را تعیین کنید. به عنوان مثال، اگر مخرج شامل عبارت زیر باشد: x+5-2، آنگاه معلوم می شود که "x" نمی تواند برابر با -3 باشد. در واقع، در این مورد، کل عبارت به صفر تبدیل می شود، بنابراین، هنگام حل، لازم است عدد صحیح -3 برای این متغیر حذف شود.

چگونه معادلات گویا را به درستی حل کنیم؟

عبارات گویا می توانند شامل تعداد بسیار زیادی اعداد و حتی 2 متغیر باشند، بنابراین گاهی اوقات حل آنها دشوار می شود. برای تسهیل حل چنین عبارتی، توصیه می شود عملیات خاصی را به روش منطقی انجام دهید. بنابراین، "به طریق عقلانی" به چه معناست و چه قوانینی باید هنگام تصمیم گیری اعمال شود؟

1. نوع اول، زمانی که فقط برای ساده کردن بیان کافی است. برای انجام این کار، می توانید به عملیات کاهش صورت و مخرج به یک مقدار غیر قابل کاهش متوسل شوید. به عنوان مثال، اگر صورت شامل عبارت 18x و مخرج 9x باشد، با کاهش هر دو نشانگر 9x، فقط یک عدد صحیح برابر با 2 بدست می آوریم.
2. روش دوم زمانی کاربردی است که در صورت یک تک جمله ای و در مخرج چند جمله ای داشته باشیم. بیایید به یک مثال نگاه کنیم: در صورت حساب 5x و در مخرج - 5x + 20x 2 داریم. در این حالت، بهتر است متغیر موجود در مخرج را از پرانتز خارج کنیم، شکل مخرج زیر را می گیریم: 5x(1+4x). و اکنون می توانید از قانون اول استفاده کنید و عبارت را با کاهش 5 برابر در صورت و مخرج ساده کنید. در نتیجه کسری از فرم 1/1+4x به دست می آید.

چه عملیاتی را می توان با اعداد گویا انجام داد؟

مجموعه اعداد گویا تعدادی ویژگی خاص خود را دارد. بسیاری از آنها بسیار شبیه به مشخصه ای هستند که در اعداد صحیح و اعداد طبیعی وجود دارد، با توجه به این که اعداد اخیر همیشه در مجموعه گویا قرار می گیرند. در اینجا چند ویژگی از اعداد گویا آورده شده است که با دانستن آنها می توانید به راحتی هر عبارت گویا را حل کنید.

1. ویژگی commutativity به شما امکان می دهد دو یا چند عدد را بدون توجه به ترتیب آنها جمع کنید. به عبارت ساده تر، مجموع با تغییر مکان شرایط تغییر نمی کند.
2. ویژگی توزیع به حل مسائل با استفاده از قانون توزیع اجازه می دهد.
3. و در نهایت عملیات جمع و تفریق.

حتی دانش آموزان مدرسه می دانند که "نوع منطقی اعداد" به چه معناست و چگونه می توان مسائل را بر اساس چنین عباراتی حل کرد، بنابراین یک بزرگسال تحصیل کرده به سادگی باید حداقل اصول اولیه مجموعه اعداد گویا را به خاطر بسپارد.

در این مقاله شروع به مطالعه می کنیم اعداد گویا. در اینجا تعاریفی از اعداد گویا ارائه می کنیم، توضیحات لازم را می دهیم و مثال هایی از اعداد گویا را بیان می کنیم. پس از آن، ما بر روی چگونگی تعیین اینکه آیا یک عدد معین گویا است یا خیر تمرکز خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعریف و مثال هایی از اعداد گویا

در این بخش تعاریف متعددی از اعداد گویا ارائه می کنیم. با وجود تفاوت در کلمات، همه این تعاریف معنی یکسانی دارند: اعداد گویا اعداد صحیح و اعداد کسری را با هم متحد می کنند، همانطور که اعداد صحیح اعداد طبیعی، اعداد متضاد آنها و عدد صفر را با هم متحد می کنند. به عبارت دیگر اعداد گویا اعداد کامل و کسری را تعمیم می دهند.

بیا شروع کنیم با تعاریف اعداد گویاکه به عنوان طبیعی ترین تلقی می شود.

از تعریف به دست آمده چنین استنباط می شود که یک عدد گویا عبارت است از:

• هر عدد طبیعی n در واقع، هر عدد طبیعی را می توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد، برای مثال، 3=3/1.
• هر عدد صحیح، به ویژه عدد صفر. در واقع، هر عدد صحیح را می توان به عنوان یک کسر مشترک مثبت یا به عنوان یک کسری مشترک منفی یا به عنوان صفر نوشت. به عنوان مثال، 26=26/1، .
• هر کسر معمولی (مثبت یا منفی). این به طور مستقیم با تعریف داده شده از اعداد گویا بیان می شود.
• هر عدد مختلط در واقع، همیشه می توان یک عدد مختلط را به عنوان یک کسر مشترک نامناسب نشان داد. به عنوان مثال، و .
• هر کسری متناهی اعشاری یا نامتناهی. این به این دلیل است که کسرهای اعشاری مشخص شده به کسرهای معمولی تبدیل می شوند. برای مثال، و 0،(3)=1/3.

همچنین واضح است که هر اعشاری نامتناهی غیر تکراری یک عدد گویا نیست، زیرا نمی توان آن را به عنوان یک کسر مشترک نشان داد.

حالا به راحتی می توانیم بیاوریم نمونه هایی از اعداد گویا. اعداد 4، 903، 100،321 اعداد گویا هستند، زیرا اعداد طبیعی هستند. اعداد صحیح 58 , −72 , 0 , −833 333 333 نیز نمونه هایی از اعداد گویا هستند. کسرهای معمولی 4/9 و 99/3 نیز نمونه هایی از اعداد گویا هستند. اعداد گویا نیز اعداد هستند.

مثال های بالا نشان می دهد که هم اعداد گویا مثبت و هم منفی وجود دارد و عدد گویا صفر نه مثبت است و نه منفی.

تعریف فوق از اعداد گویا را می توان به شکل کوتاه تری فرموله کرد.

تعریف.

اعداد گویااعدادی را که می توان به صورت کسری z/n نوشت که z یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است.

اجازه دهید ثابت کنیم که این تعریف از اعداد گویا معادل تعریف قبلی است. می دانیم که می توان میله کسری را نشانه تقسیم در نظر گرفت، سپس از خواص تقسیم اعداد صحیح و قوانین تقسیم اعداد صحیح، برابری های زیر را دنبال می کنیم و . بنابراین، که دلیل است.

ما بر اساس این تعریف مثال هایی از اعداد گویا می آوریم. اعداد -5، 0، 3 و اعداد گویا هستند، زیرا می توان آنها را به صورت کسری با یک عدد صحیح و یک مخرج طبیعی شکل و به ترتیب نوشت.

تعریف اعداد گویا را نیز می توان در فرمول زیر ارائه کرد.

تعریف.

اعداد گویااعدادی هستند که می توان آنها را به صورت یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نوشت.

این تعریف نیز معادل تعریف اول است، زیرا هر کسری معمولی با کسری اعشاری متناهی یا تناوبی مطابقت دارد و بالعکس، و هر عدد صحیحی را می توان با کسری اعشاری با صفرهای بعد از اعشار مرتبط کرد.

به عنوان مثال، اعداد 5، 0، −13، نمونه هایی از اعداد گویا هستند زیرا می توان آنها را به صورت اعشار زیر نوشت: 5.0، 0.0، −13.0، 0.8 و −7، (18).

تئوری این بخش را با عبارات زیر به پایان می بریم:

• اعداد صحیح و کسری (مثبت و منفی) مجموعه اعداد گویا را تشکیل می دهند.
• هر عدد گویا را می توان به صورت کسری با یک عدد صحیح و یک مخرج طبیعی نشان داد و هر کسری از این قبیل یک عدد گویا است.
• هر عدد گویا را می توان به صورت یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نشان داد و هر کسری از این قبیل تعدادی اعداد گویا را نشان می دهد.

آیا این عدد منطقی است؟

در پاراگراف قبل متوجه شدیم که هر عدد طبیعی، هر عدد صحیح، هر کسری معمولی، هر عدد مختلط، هر کسری اعشاری نهایی و همچنین هر کسری اعشاری تناوبی یک عدد گویا است. این دانش به ما اجازه می دهد تا اعداد گویا را از مجموعه اعداد نوشته شده «تشخیص» کنیم.

اما اگر عدد به صورت مقداری یا به عنوان و غیره داده شود چگونه می توان به این سوال پاسخ داد که آیا عدد داده شده گویا است؟ در بسیاری از موارد، پاسخ به آن بسیار دشوار است. اجازه دهید به چند جهت برای سیر اندیشه اشاره کنیم.

اگر عددی به عنوان یک عبارت عددی مشخص شود که فقط شامل اعداد گویا و علامت های حسابی (+، −، · و:) باشد، مقدار این عبارت یک عدد گویا است. این از چگونگی تعریف عملیات روی اعداد گویا به دست می آید. به عنوان مثال، پس از انجام تمام عملیات در عبارت، ما یک عدد گویا 18 به دست می آوریم.

گاهی اوقات، پس از ساده سازی عبارات و شکل پیچیده تر، می توان تعیین کرد که آیا یک عدد معین گویا است یا خیر.

بیایید جلوتر برویم. عدد 2 یک عدد گویا است، زیرا هر عدد طبیعی گویا است. در مورد شماره چطور؟ آیا عقلانی است؟ معلوم می شود که نه - این یک عدد گویا نیست، یک عدد غیر منطقی است (اثبات این واقعیت با تناقض در کتاب درسی جبر برای کلاس 8 آورده شده است که در زیر در فهرست منابع نشان داده شده است). همچنین ثابت شده است که جذر یک عدد طبیعی تنها در مواردی که ریشه عددی است که مجذور کامل یک عدد طبیعی باشد، عدد گویا است. به عنوان مثال، و اعداد گویا هستند، زیرا 81=9 2 و 1024=32 2، و اعداد و گویا نیستند، زیرا اعداد 7 و 199 مربع کامل اعداد طبیعی نیستند.

آیا عدد منطقی است یا خیر؟ در این مورد، به راحتی می توان فهمید که، بنابراین، این عدد منطقی است. آیا عدد منطقی است؟ ثابت شده است که ریشه k ام یک عدد صحیح تنها در صورتی یک عدد گویا است که عدد زیر علامت ریشه، k ام توان یک عدد صحیح باشد. بنابراین، این یک عدد گویا نیست، زیرا هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که توان پنجم آن 121 باشد.

روش تضاد به ما امکان می دهد ثابت کنیم که لگاریتم برخی اعداد به دلایلی اعداد گویا نیستند. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که - یک عدد گویا نیست.

برعکس را فرض کنید، یعنی فرض کنید که یک عدد گویا است و می توان آن را به صورت کسری معمولی m/n نوشت. سپس برابری های زیر را بدهید: . آخرین برابری غیرممکن است، زیرا در سمت چپ آن وجود دارد عدد فرد 5 n و در سمت راست عدد زوج 2 متر وجود دارد. بنابراین، فرض ما اشتباه است، بنابراین یک عدد گویا نیست.

در خاتمه، شایان ذکر است که هنگام روشن شدن عقلانیت یا غیرمنطقی بودن اعداد، باید از نتیجه گیری های ناگهانی خودداری شود.

به عنوان مثال، نباید فوراً ادعا کرد که حاصل ضرب اعداد غیرمنطقی π و e یک عدد غیر منطقی است، این "گویی واضح است"، اما ثابت نشده است. این سؤال را ایجاد می کند: "چرا محصول یک عدد گویا است"؟ و چرا نه، زیرا می توانید مثالی از اعداد غیر منطقی بزنید که حاصل ضرب آنها یک عدد گویا می دهد:.

همچنین معلوم نیست اعداد و بسیاری اعداد دیگر گویا هستند یا خیر. مثلاً اعداد غیر منطقی هستند که توان غیر منطقی آنها یک عدد گویا است. برای نشان دادن، اجازه دهید درجه ای از شکل را بدهیم، پایه این درجه و توان اعداد گویا نیستند، بلکه 3 یک عدد گویا است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضی.کلاس ششم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، کشیش. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان دانشکده های فنی): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

کوژینووا آناستازیا

بودجه غیر معمول شهرداری

مؤسسه آموزش عمومی

"لیسه №76"

راز شمارش منطقی چیست؟

انجام:

دانش آموز 5 کلاس "B".

کوژینووا آناستازیا

سرپرست:

معلم ریاضی

شیکلینا تاتیانا

نیکولایونا

نووکوزنتسک 2013

مقدمه………………………………………………………… 3

قسمت اصلی……………………………………….. 5-13

نتیجه‌گیری و نتیجه‌گیری……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

منابع………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….

برنامه های کاربردی……………………………………………………. 16-31

من. مقدمه

مسئله: یافتن مقادیر عبارات عددی

هدف، واقعگرایانه:جستجو، مطالعه روش ها و تکنیک های موجود شمارش منطقی، کاربرد آنها در عمل.

وظایف:

1. یک نظرسنجی کوچک در قالب یک پرسشنامه در بین کلاس های موازی انجام دهید.

2. در مورد موضوع تحقیق تجزیه و تحلیل کنید: ادبیات موجود در کتابخانه مدرسه، اطلاعات کتاب درسی ریاضیات برای کلاس 5، در اینترنت.

3. مؤثرترین روش ها و ابزارهای شمارش منطقی را انتخاب کنید.

4. یک طبقه بندی از روش های موجود شمارش شفاهی و کتبی سریع انجام دهید.

5. یادداشت هایی حاوی تکنیک های شمارش منطقی برای استفاده در 5 کلاس موازی ایجاد کنید.

موضوع مطالعه: حساب منطقی.

موضوع مطالعه: راه های شمارش عقلانی

برای اثربخشی کار پژوهشی از روش های زیر استفاده کردم: تجزیه و تحلیل اطلاعات به دست آمده از منابع مختلف، ترکیب، تعمیم. نظرسنجی در قالب پرسشنامه این پرسشنامه با توجه به هدف و اهداف تحقیق، سن پاسخ دهندگان توسط اینجانب تهیه شده و در قسمت اصلی کار ارائه شده است.

در جریان کار پژوهشی، مسائل مربوط به روش‌ها و تکنیک‌های شمارش منطقی مورد توجه قرار گرفت و توصیه‌هایی برای رفع مشکلات مهارت‌های محاسباتی، شکل‌گیری فرهنگ محاسباتی ارائه شد.

II. بخش اصلی

شکل گیری فرهنگ محاسباتی دانش آموزان

کلاس 5-6.

بدیهی است که روش های شمارش منطقی، در درجه اول به دلیل اهمیت عملی، عنصر ضروری فرهنگ محاسباتی در زندگی هر فرد است و دانش آموزان تقریباً در هر درس به آن نیاز دارند.

فرهنگ محاسباتی پایه ای برای مطالعه ریاضیات و سایر رشته های دانشگاهی است، زیرا، علاوه بر این واقعیت که محاسبات حافظه، توجه را فعال می کند، به سازماندهی منطقی فعالیت ها کمک می کند و به طور قابل توجهی بر رشد انسان تأثیر می گذارد.

در زندگی روزمره، در جلسات آموزشی، زمانی که به هر دقیقه ارزش داده می شود، انجام سریع و منطقی محاسبات شفاهی و کتبی بدون اشتباه و بدون استفاده از هیچ ابزار محاسباتی اضافی بسیار مهم است.

ما دانش‌آموزان در همه جا با این مشکل روبرو هستیم: در کلاس درس، در خانه، در فروشگاه و غیره. علاوه بر این، پس از کلاس‌های 9 و 11، باید در آزمون‌های IGA و آزمون یکپارچه دولتی شرکت کنیم که در آن استفاده از ریز حساب مجاز نیست. بنابراین، مشکل شکل گیری فرهنگ محاسباتی در هر فرد که یکی از عناصر آن تسلط بر روش های شمارش منطقی است، اهمیت فوق العاده ای پیدا می کند.

به ویژه تسلط بر روش های شمارش منطقی ضروری است.

در مطالعه موضوعاتی مانند ریاضیات، تاریخ، فناوری، علوم کامپیوتر و غیره، یعنی شمارش منطقی به تسلط بر موضوعات مرتبط، هدایت بهتر مطالب مورد مطالعه، در موقعیت های زندگی کمک می کند. پس منتظر چه هستیم؟ بریم سراغ دنیای اسرار روش های عقلایی شمارش!!!

دانش آموزان هنگام انجام محاسبات چه مشکلاتی دارند؟

اغلب، همسالان من در هنگام انجام کارهای مختلف با مشکلاتی روبرو می شوند که در آنها باید محاسبات را به روشی سریع و راحت انجام داد. . چرا؟؟؟

در اینجا چند حدس وجود دارد:

1. دانش آموز به مبحث مورد مطالعه به خوبی تسلط نداشت

2. دانش آموز مطالب را تکرار نمی کند

3. دانش آموز مهارت های محاسباتی ضعیفی دارد

4. دانشجو تمایلی به مطالعه این مبحث ندارد

5. دانش آموز معتقد است که برای او مفید نخواهد بود.

همه این فرضیات را از تجربیات خودم و همکلاسی ها و همسالانم گرفتم. با این حال، مهارت های شمارش منطقی نقش مهمی در تمرین های محاسباتی ایفا می کند، بنابراین من مطالعه، اعمال کرده ام و می خواهم چند تکنیک شمارش منطقی را به شما ارائه دهم.

روش های منطقی محاسبات شفاهی و کتبی.

در کار و زندگی، نیاز به انواع محاسبات دائماً احساس می شود. استفاده از ساده ترین روش های شمارش ذهنی باعث کاهش خستگی، رشد توجه و حافظه می شود. استفاده از روش های محاسبه منطقی برای افزایش کار، دقت و سرعت محاسبات ضروری است. سرعت و دقت محاسبات تنها با استفاده منطقی از روش ها و ابزارهای مکانیزه کردن محاسبات و همچنین با استفاده صحیح از روش های شمارش ذهنی قابل دستیابی است.

من. تکنیک های ساده شده جمع اعداد

چهار روش اضافه وجود دارد که به شما امکان می دهد محاسبات را سرعت بخشید.

روش جمع بیتی متوالی در محاسبات ذهنی استفاده می شود، زیرا جمع بندی عبارت ها را ساده و سرعت می بخشد. هنگام استفاده از این روش، جمع با بالاترین ارقام شروع می شود: ارقام مربوطه ترم دوم به جمله اول اضافه می شوند.

مثال. مجموع اعداد 5287 و 3564 را با استفاده از روش جمع بیتی ترتیبی پیدا می کنیم.

راه حل. به ترتیب زیر محاسبه می کنیم:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

جواب: 8851

روش دیگری برای جمع متوالی بیتی عبارت است از این که بالاترین رتبه ترم دوم به بالاترین رقم ترم اول اضافه می شود، سپس رقم بعدی ترم دوم به رقم بعدی ترم اول اضافه می شود و به همین ترتیب.

بیایید این راه حل را در مثال داده شده در نظر بگیریم، دریافت می کنیم:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

جواب: 8851.

روش عدد گرد . عددی که دارای یک رقم معنی دار باشد و با یک یا چند صفر ختم شود، عدد گرد نامیده می شود. این روش زمانی استفاده می شود که دو یا چند عبارت انتخاب شوند که بتوان آنها را به یک عدد گرد تکمیل کرد. تفاوت بین عدد گرد و عدد مشخص شده در شرط محاسبه را متمم می گویند. مثلاً 1000 - 978 = 22. در این صورت عدد 22 جمع حسابی عدد 978 به 1000 است.

برای جمع کردن به روش اعداد گرد، یک یا چند عبارت نزدیک به اعداد گرد باید گرد شوند، اعداد گرد جمع شوند و جمع های حسابی از جمع حاصل کم شود.

مثال. مجموع اعداد 1238 و 193 را به روش عدد گرد بیابید.

راه حل. عدد 193 را به 200 گرد کنید و به صورت زیر اضافه کنید: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (قانون انجمنی)

روش گروه بندی اصطلاحات . از این روش زمانی استفاده می شود که عبارات، وقتی با هم گروه بندی شوند، اعداد گردی را ارائه می دهند که سپس با هم جمع می شوند.

مثال. مجموع اعداد 74، 32، 67، 48، 33 و 26 را بیابید.

راه حل. بیایید اعداد گروه بندی شده را به صورت زیر جمع کنیم: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(قانون تداعی-جابجایی)

یا وقتی گروه بندی اعداد به مجموع مساوی منجر می شود:

مثال: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(قانون تداعی-جابجایی)

II. تکنیک های تفریق ساده اعداد

روش تفریق بیتی متوالی. این روش به طور متوالی هر رقمی را که از عدد کاهش یافته کم می کند کم می کند. زمانی استفاده می شود که اعداد را نمی توان گرد کرد.

مثال. تفاوت بین اعداد 721 و 398 را پیدا کنید.

راه حل. بیایید اقداماتی را برای یافتن تفاوت اعداد داده شده در دنباله زیر انجام دهیم:

عدد 398 را به صورت مجموع نشان دهید: 300 + 90 + 8 = 398.

تفریق بیتی انجام دهید:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

روش عدد گرد . از این روش زمانی استفاده می شود که سابترهند به عدد گرد نزدیک باشد. برای محاسبه، باید عدد فرعی را که به صورت یک عدد گرد در نظر گرفته شده است، از کاهش یافته کم کرد و جمع حسابی را به اختلاف حاصل اضافه کرد.

مثال. تفاوت اعداد 235 و 197 را به روش عدد گرد محاسبه می کنیم.

راه حل. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. تکنیک های ضرب ساده اعداد

ضرب در یک به دنبال صفر. هنگام ضرب کردن یک عدد در عددی که شامل یک واحد به دنبال آن صفر است (10؛ 100؛ 1000 و غیره)، به همان تعداد صفر در سمت راست به آن نسبت داده می شود که در ضریب بعد از واحد وجود دارد.

مثال. حاصل ضرب اعداد 568 و 100 را پیدا کنید.

راه حل. 568 x 100 = 56800.

روش ضرب بیتی . از این روش برای ضرب یک عدد در هر عدد یک رقمی استفاده می شود. اگر باید یک عدد دو رقمی (سه، چهار رقمی و غیره) را در یک عدد تک رقمی ضرب کنید، ابتدا ضریب تک رقمی در ده ها عامل دیگر ضرب می شود، سپس در واحدهای آن و حاصل ضرب می شود. محصولات خلاصه می شوند.

مثال. حاصل ضرب اعداد 39 و 7 را پیدا کنید.

راه حل. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (قانون توزیعی ضرب با توجه به جمع)

روش عدد گرد . این روش تنها زمانی استفاده می شود که یکی از فاکتورها به عدد گرد نزدیک باشد. ضریب در یک عدد گرد و سپس با جمع حسابی ضرب می شود و در انتها عدد دوم از حاصل ضرب اول کم می شود.

مثال. حاصل ضرب اعداد 174 و 69 را پیدا کنید.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (قانون توزیع ضرب با توجه به تفریق)

راهی برای گسترش یکی از عوامل. در این روش ابتدا یکی از عوامل به قطعات (اصطلاحات) تجزیه می شود، سپس عامل دوم به نوبت در هر قسمت از عامل اول ضرب می شود و محصولات حاصل جمع می شود.

مثال. حاصل ضرب اعداد 13 و 325 را پیدا کنید.

بیایید عدد 13 را به صورت تجزیه کنیم: 13 \u003d 10 + 3. بیایید هر یک از عبارت های به دست آمده را در 325 ضرب کنیم: 10 x 325 \u003d 3 250. 3 × 325 = 975. خلاصه کردن محصولات به دست آمده: 3250 + 975 = 4225

تسلط بر مهارت های شمارش ذهنی منطقی کار شما را کارآمدتر می کند. این امر تنها با تسلط کافی بر تمامی عملیات حسابی فوق امکان پذیر است. استفاده از روش های منطقی شمارش باعث افزایش سرعت محاسبات و ارائه دقت لازم می شود. اما نه تنها باید بتوانید محاسبه کنید، بلکه باید جدول ضرب، قوانین عملیات حسابی، کلاس ها و ارقام را نیز بدانید.

سیستم های شمارش ذهنی وجود دارد که به شما امکان می دهد سریع و منطقی شفاهی بشمارید. ما به برخی از متداول ترین تکنیک ها نگاه خواهیم کرد.

1. ضرب یک عدد دو رقمی در 11.

ما این روش را مطالعه کرده ایم، اما آن را تا انتها مطالعه نکرده ایم. راز این روش این است که می توان آن را قوانین عملیات حسابی در نظر گرفت.

مثال ها:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (قانون توزیعی ضرب با توجه به جمع)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (قانون توزیعی و روش عدد گرد)

ما این روش را مطالعه کردیم، اما روش دیگری را بلد نبودیم. راز ضرب اعداد دو رقمی در 11

با مشاهده نتایج حاصل از ضرب اعداد دو رقمی در 11 متوجه شدم که می توانید به روش راحت تری پاسخ را دریافت کنید. : هنگام ضرب یک عدد دو رقمی در 11، ارقام این عدد از هم جدا شده و مجموع این ارقام در وسط قرار می گیرد.

الف) 23 ​​11=253، چون 2+3=5;

ب) 45 11=495، زیرا 4+5=9;

ج) 57 11=627، زیرا 5+7=12، دو در وسط قرار گرفت و یکی به جای صدها اضافه شد.

د) 78 11=858، چون 7+8=15، پس تعداد ده ها برابر با 5 می شود و تعداد صدها یک عدد افزایش می یابد و برابر 8 می شود.

تأیید این روش را در اینترنت پیدا کردم.

2) حاصل ضرب اعداد دو رقمی که دارای ده ها یکسان هستند و مجموع واحدها 10 است، یعنی 23 27. 34 36; 52 58 و غیره

قانون: رقم ده ها در رقم بعدی سری طبیعی ضرب می شود، نتیجه ثبت می شود و حاصل ضرب واحدها به آن نسبت داده می شود.

الف) 23 ​​27 = 621. چطوری 621 گرفتی؟ عدد 2 را در 3 ضرب می کنیم ("دو" به دنبال "سه" می آید) ، 6 می شود و در مرحله بعد حاصلضرب واحدها را اختصاص می دهیم: 3 7 \u003d 21 ، معلوم می شود 621.

ب) 34 36 = 1224، چون 3 4 = 12، 24 را به عدد 12 نسبت می دهیم، این حاصل ضرب واحدهای این اعداد است: 4 6.

ج) 52 58 \u003d 3016، از آنجایی که ده ها عدد 5 را در 6 ضرب می کنیم، 30 می شود، حاصل ضرب 2 و 8 یعنی 16 را نسبت می دهیم.

د) 61 69=4209. معلوم است که 6 در 7 ضرب شد و 42 شد. و صفر از کجا می آید؟ ما واحدها را ضرب کردیم و گرفتیم: 1 9 \u003d 9 ، اما نتیجه باید دو رقمی باشد ، بنابراین 09 را می گیریم.

3) اعداد سه رقمی را که دارای ارقام مشابه هستند بر 37 تقسیم کنید.

مثالها: الف) 222:37=6. این مجموع 2+2+2=6 است. ب) 333:37=9، زیرا 3+3+3=9.

ج) 777:37=21، یعنی به 7+7+7=21.

د) 888:37=24، زیرا 8+8+8=24.

ما همچنین این واقعیت را در نظر می گیریم که 888:24=37.

III. نتیجه

برای کشف راز اصلی در موضوع کارم، باید سخت کار می کردم - جستجو، تجزیه و تحلیل اطلاعات، سوال از همکلاسی ها، تکرار روش های شناخته شده اولیه و یافتن بسیاری از روش های ناآشنا برای شمارش منطقی، و در نهایت، درک راز او چیست؟ و متوجه شدم که نکته اصلی این است که شناخته شده ها را بشناسیم و بتوانیم آنها را به کار ببریم، روش های منطقی جدید شمارش، جدول ضرب، ترکیب اعداد (کلاس ها و ارقام)، قوانین عملیات حسابی را بیابیم. بعلاوه،

به دنبال راه های جدید برای انجام این کار باشید:

- تکنیک های ساده شده جمع اعداد: (روش جمع بیتی متوالی؛ روش عدد گرد؛ روش تجزیه یکی از عوامل به اصطلاح)؛

-تکنیک های تفریق ساده اعداد(روش تفریق بیتی متوالی؛ روش عدد گرد).

-تکنیک های ضرب ساده اعداد(ضرب در یک به دنبال صفر، روش ضرب بیتی، روش عدد گرد، روش بسط یکی از عوامل ;

- اسرار شمارش سریع ذهنی(ضرب یک عدد دو رقمی در 11: هنگام ضرب یک عدد دو رقمی در 11، ارقام این عدد از هم جدا شده و مجموع این ارقام در وسط قرار می گیرد؛ حاصل ضرب اعداد دو رقمی که دارای همان تعداد ده ها، و مجموع واحدها 10 است؛ تقسیم اعداد سه رقمی متشکل از ارقام یکسان، بر روی عدد 37. احتمالاً راه های زیادی از این دست وجود دارد، بنابراین سال آینده به کار روی این موضوع ادامه خواهم داد.

IV. کتابشناسی - فهرست کتب

1. Savin A. P. مینیاتورهای ریاضی / A. P. Savin. - م .: ادبیات کودکان، 1991

2. Zubareva I.I.، ریاضیات، کلاس 5: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / I.I. Zubareva، A.G. موردکوویچ. - M.: Mnemosyne، 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. ریاضی-تکرار. en

V. برنامه های کاربردی

مینی مطالعه (نظرسنجی در قالب پرسشنامه)

برای شناسایی دانش دانش آموزان از شمارش منطقی، نظرسنجی را در قالب یک پرسشنامه در مورد سؤالات زیر انجام دادم:

* آیا می دانید روش های عقلایی شمارش چیست؟

* اگر بله کجا و اگر نه چرا که نه؟

* چند راه برای شمارش منطقی می شناسید؟

* آیا در شمارش ذهنی مشکل دارید؟

* چگونه ریاضی می خوانی؟ الف) در "5"؛ ب) در "4"؛ ج) در "3"

* چه چیزی را در ریاضی بیشتر دوست دارید؟

الف) مثالها؛ ب) وظایف؛ ج) کسری

* نظر شما چیست، شمارش ذهنی به جز ریاضی کجا می تواند مفید باشد؟ * آیا قوانین عملیات حسابی را به خاطر دارید، اگر بله، کدام آنها؟

پس از انجام یک نظرسنجی متوجه شدم که همکلاسی هایم به اندازه کافی قوانین عملیات حسابی را نمی دانند، اکثر آنها با شمارش منطقی مشکل دارند، بسیاری از دانش آموزان به آرامی و با خطا می شمارند و همه می خواهند یاد بگیرند که چگونه سریع، صحیح و با سرعت شمارش کنند. یک راه راحت بنابراین موضوع کار پژوهشی من برای همه دانشجویان و نه تنها اهمیت فوق العاده ای دارد.

1. روش های جالب شفاهی و کتبی محاسباتی که در درس ریاضی مطالعه کردیم با استفاده از مثال های کتاب درسی ریاضی پایه 5:

در اینجا برخی از آنها آورده شده است:

برای ضرب سریع یک عدد در 5کافی است توجه داشته باشید که 5=10:2.

برای مثال 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

برای ضرب یک عدد در 50 ، می توانید آن را در 100 ضرب کنید و بر 2 تقسیم کنید.

به عنوان مثال: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

برای ضرب یک عدد در 25 ، می توانید آن را در 100 ضرب کنید و بر 4 تقسیم کنید،

به عنوان مثال، 32x25=(32x100):4=3200:4=800

برای ضرب یک عدد در 125 ، می توانید آن را در 1000 ضرب کنید و بر 8 تقسیم کنید.

به عنوان مثال: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

برای ساختن یک عدد گرد که به دو 0 تقسیم بر 25 ختم می شود ، می توانید آن را بر 100 تقسیم کنید و در 4 ضرب کنید.

به عنوان مثال: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

برای تقسیم یک عدد گرد بر 50 را می توان بر 100 تقسیم و در 2 ضرب کرد

به عنوان مثال: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

اما نه تنها باید بتوانید محاسبه کنید، بلکه باید جدول ضرب، قوانین عملیات حسابی، ترکیب اعداد (کلاس ها و ارقام) را نیز بدانید و مهارت استفاده از آنها را داشته باشید.

قوانین عملیات حسابی

آ + ب = ب + آ

قانون جابجایی جمع

(آ + ب) + ج = آ + (ب + ج)

قانون جمع

آ · ب = ب · آ

قانون جابجایی ضرب

(آ · ب) · ج = آ · (ب · ج)

قانون تداعی ضرب

(آ = ب) · ج = آ · ج = ب · ج

قانون توزیعی ضرب (با توجه به جمع)

جدول ضرب.

ضرب چیست؟

این اضافه هوشمند است.

از این گذشته، ضرب کردن هوشمندانه تر است،

از جمع کردن همه چیز برای یک ساعت.

جدول ضرب

همه ما در زندگی به آن نیاز داریم.

و نه بدون دلیل به نام

آن را ضرب کن!

رتبه ها و طبقات

برای راحت کردن خواندن و همچنین به خاطر سپردن اعداد با مقادیر بزرگ، آنها باید به اصطلاح "کلاس" تقسیم شوند: با شروع از سمت راست، عدد با یک فاصله به سه رقم "کلاس اول" و سپس سه تقسیم می شود. ارقام بیشتری انتخاب شده است، "رده دوم" و غیره. بسته به معنای عدد، آخرین کلاس می تواند با سه، دو یا یک رقم به پایان برسد.

برای مثال عدد 35461298 به صورت زیر نوشته شده است:

این تعداد به کلاس های زیر تقسیم می شود:

482 - درجه یک (کلاس واحدها)

630 - درجه دوم (کلاس هزاران)

35 - طبقه سوم (کلاس میلیونی)

تخلیه

هر یک از ارقام تشکیل دهنده کلاس را دسته خود می نامند که شمارش معکوس آن نیز به سمت راست می رود.

به عنوان مثال، عدد 35 630 482 را می توان به کلاس ها و ارقام تجزیه کرد:

482 - درجه یک

2 - رقم اول (رقم واحد)

8 - رقم دوم (ده رقمی)

4 - رقم سوم (صد رقمی)

630 - درجه دوم

0 - رقم اول (هزار رقمی)

3 - رقم دوم (رقم ده ها هزار)

6 - رقم سوم (صد هزار رقمی)

35 - کلاس سوم

5 - رقم اول (رقم واحدهای میلیونی)

3 - رقم دوم (رقم ده ها میلیون)

عدد 35 630 482 می گوید:

سی و پنج میلیون و ششصد و سی هزار و چهارصد و هشتاد و دو.

مشکلات شمارش منطقی و نحوه رفع آنها

روش های منطقی حفظ کردن

در نتیجه نظرسنجی و مشاهدات دروس متوجه شدم که برخی از دانش آموزان به دلیل عدم آشنایی با روش های منطقی محاسبات، مسائل و تمرین های مختلف را ضعیف حل می کنند.

1. یکی از روش ها آوردن مطالب مورد مطالعه به سیستمی است که برای به خاطر سپردن و ذخیره سازی در حافظه راحت باشد.

2. برای اینکه مطالب حفظ شده توسط حافظه در سیستم خاصی ذخیره شود، باید روی محتوای آن کار کرد.

3. سپس می توانید شروع به تسلط بر هر بخش جداگانه از متن کنید، آن را دوباره بخوانید و سعی کنید فوراً آنچه را که خوانده اید (با خود یا با صدای بلند تکرار کنید).

4. اهمیت زیادی برای حفظ، تکرار مطالب است. این ضرب المثل مشهور نیز گواه است: «تکرار مادر علم است». اما باید به طور منطقی و صحیح نیز تکرار شود.

کار تکرار باید با ترسیم تصاویر یا نمونه هایی که قبلاً وجود نداشته یا فراموش شده اند دوباره احیا شود.

با توجه به موارد فوق، می توان به طور خلاصه توصیه های زیر را برای جذب موفق مطالب آموزشی تدوین کرد:

1. یک کار تعیین کنید، مطالب آموزشی را به سرعت و محکم به مدت طولانی به خاطر بسپارید.

2. بر آنچه باید آموخته شود تمرکز کنید.

3. مطالب مطالعه را به خوبی درک کنید.

4. برنامه ای از متن حفظ شده تهیه کنید، افکار اصلی را در آن برجسته کنید، متن را به قطعات تقسیم کنید.

5. اگر مواد بزرگ است، به ترتیب یکی پس از دیگری جذب کنید، و سپس همه چیز را به عنوان یک کل بیان کنید.

6. پس از خواندن مطالب، لازم است آن را تکثیر کنید (آنچه خوانده شده را بگویید).

7. مطالب را تکرار کنید تا فراموش شود.

8. تکرار را در مدت زمان طولانی تری توزیع کنید.

9. هنگام به خاطر سپردن، از انواع مختلف حافظه (عمدتاً معنایی) و برخی ویژگی های فردی حافظه خود (بصری، شنیداری یا حرکتی) استفاده کنید.

10. مطالب سخت را باید قبل از خواب و سپس صبح، «برای خاطره تازه» تکرار کرد.

11. سعی کنید دانش کسب شده را در عمل به کار ببرید. این بهترین راه برای حفظ خاطرات آنهاست (نه بی دلیل می گویند: "مادر واقعی دکترین تکرار نیست، بلکه کاربرد است").

12. کسب دانش بیشتر، یادگیری چیزهای جدید ضروری است.

اکنون یاد گرفته اید که چگونه مطالب مورد مطالعه را به سرعت و به درستی حفظ کنید.

تکنیک جالب ضرب برخی اعداد در 9 در ترکیب با جمع اعداد طبیعی متوالی از 2 تا 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

بازی جالب "عدد را حدس بزنید"

آیا بازی Guess the Number را انجام داده اید؟ این یک بازی بسیار ساده است. فرض کنید من به یک عدد طبیعی کمتر از 100 فکر می کنم، آن را روی کاغذ یادداشت می کنم (به طوری که راهی برای تقلب وجود ندارد) و شما سعی می کنید با پرسیدن سوالاتی که فقط با "بله" یا "نه" به آنها پاسخ دهید، آن را حدس بزنید. . سپس شما عدد را حدس می زنید و من سعی می کنم آن را حدس بزنم. هر کس در کمترین تعداد سوال حدس بزند برنده است.

برای حدس زدن شماره من به چند سوال نیاز دارید؟ نمیدانم؟ من متعهد می شوم که فقط با پرسیدن هفت سوال شماره شما را حدس بزنم. چگونه؟ اما مثلا چگونه. بگذارید عدد را حدس بزنید. می پرسم کمتر از 64؟ - "آره". - "کمتر از 32؟" - "آره". - "کمتر از 16؟" - "آره". - "کمتر از 8؟" - "نه". - "کمتر از 12؟" - "نه". - "کمتر از 14؟" - "آره". - "کمتر از 13؟" - "نه". - "عدد 13 تصور می شود."

روشن؟ مجموعه اعداد ممکن را به نصف تقسیم می کنم، سپس نیمه باقی مانده را دوباره به نصف تقسیم می کنم و به همین ترتیب، تا زمانی که باقیمانده یک عدد شود.

اگر بازی را دوست داشتید یا برعکس، بیشتر می خواهید، به کتابخانه بروید و کتاب "A. P. Savin (مینیاتورهای ریاضی). در این کتاب چیزهای جالب و هیجان انگیز زیادی خواهید یافت. عکس کتاب:

از توجه همه شما متشکرم

و برایت آرزوی موفقیت دارم!!!

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

راز شمارش عقلانی چیست؟

هدف کار: جستجوی اطلاعات، مطالعه روش ها و تکنیک های موجود شمارش منطقی، کاربرد آنها در عمل.

وظایف: 1. یک نظرسنجی کوچک در قالب یک پرسشنامه در بین کلاس های موازی انجام دهید. 2. در مورد موضوع تحقیق تجزیه و تحلیل کنید: ادبیات موجود در کتابخانه مدرسه، اطلاعات کتاب درسی ریاضیات برای کلاس 5 و همچنین در اینترنت. 3. مؤثرترین روش ها و ابزارهای شمارش منطقی را انتخاب کنید. 4. یک طبقه بندی از روش های موجود شمارش شفاهی و کتبی سریع انجام دهید. 5. یادداشت هایی حاوی تکنیک های شمارش منطقی برای استفاده در 5 کلاس موازی ایجاد کنید.

همانطور که قبلاً گفتم، مبحث شمارش منطقی نه تنها برای دانش آموزان، بلکه برای هر فرد مرتبط است، برای اطمینان از این موضوع، نظرسنجی را در بین دانش آموزان کلاس پنجم انجام دادم. سوالات و پاسخ های نظرسنجی در اپلیکیشن به شما ارائه می شود.

حساب منطقی چیست؟ حساب عقلانی یک حساب راحت است (کلمه rational به معنای راحت، صحیح است)

چرا دانش آموزان مشکل دارند؟

در اینجا چند فرض وجود دارد: دانشجو: 1. بر مبحث مورد مطالعه به خوبی تسلط نداشته است. 2. مطالب را تکرار نمی کند; 3. مهارت های شمارش ضعیفی دارد. چهار . فکر می کند به آن نیاز نخواهد داشت

روش های منطقی محاسبات شفاهی و کتبی. در کار و زندگی، نیاز به انواع محاسبات دائماً احساس می شود. استفاده از ساده ترین روش های شمارش ذهنی باعث کاهش خستگی، رشد توجه و حافظه می شود.

چهار روش اضافه وجود دارد که به شما امکان می دهد محاسبات را سرعت بخشید. I. تکنیک های جمع ساده اعداد

روش جمع بیتی متوالی در محاسبات ذهنی استفاده می شود، زیرا جمع ترم ها را ساده و سرعت می بخشد. هنگام استفاده از این روش، جمع با بالاترین ارقام شروع می شود: ارقام مربوطه ترم دوم به جمله اول اضافه می شوند. مثال. با این روش مجموع اعداد 5287 و 3564 را بیابید. راه حل. ما به ترتیب زیر محاسبه خواهیم کرد: 5287 + 3000 = 8287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851. پاسخ: 8 851.

روش دیگر جمع بیتی متوالی این است که بالاترین رقم جمله دوم به بالاترین رقم جمله اول اضافه می شود، سپس رقم بعدی جمله دوم به رقم بعدی جمله اول اضافه می شود و به همین ترتیب. بیایید این راه حل را در مثال داده شده در نظر بگیریم، دریافت می کنیم: 5000 + 3000 = 8000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 پاسخ: 8851.

روش عدد گرد به عددی که به یک یا چند صفر ختم می شود عدد گرد می گویند. این روش زمانی استفاده می شود که دو یا چند عبارت انتخاب شوند که بتوان آنها را به یک عدد گرد تکمیل کرد. تفاوت بین عدد گرد و عدد مشخص شده در شرط محاسبه را متمم می گویند. مثلاً 1000 - 978 = 22. در این صورت عدد 22 متمم حسابی عدد 978 تا 1000 است. برای جمع کردن به روش اعداد گرد، یک یا چند عبارت نزدیک به اعداد گرد باید گرد شوند، اعداد گرد جمع شوند و جمع های حسابی از جمع حاصل کم شود. مثال. مجموع اعداد 1238 و 193 را به روش عدد گرد بیابید. راه حل. عدد 193 را به 200 گرد کنید و به صورت زیر اضافه کنید: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

روش گروه بندی اصطلاحات از این روش زمانی استفاده می شود که عبارات، وقتی با هم گروه بندی شوند، اعداد گردی را ارائه می دهند که سپس با هم جمع می شوند. مثال. مجموع اعداد 74، 32، 67، 48، 33 و 26 را بیابید. بیایید اعداد گروه بندی شده را به صورت زیر جمع کنیم: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

روش جمع بر اساس گروه بندی اصطلاحات. مثال: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. تکنیک های تفریق ساده اعداد

روش تفریق بیتی متوالی. این روش به طور متوالی هر رقمی را که از عدد کاهش یافته کم می کند کم می کند. زمانی استفاده می شود که اعداد را نمی توان گرد کرد. مثال. تفاوت بین اعداد 721 و 398 را پیدا کنید. بیایید اقداماتی را برای یافتن تفاوت اعداد داده شده در دنباله زیر انجام دهیم: عدد 398 را به صورت مجموع نمایش دهید: 300 + 90 + 8 = 398; یک تفریق بیتی انجام دهید: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

روش عدد گرد از این روش زمانی استفاده می شود که سابترهند به عدد گرد نزدیک باشد. برای محاسبه، باید عدد فرعی را که به صورت یک عدد گرد در نظر گرفته شده است، از کاهش یافته کم کرد و جمع حسابی را به اختلاف حاصل اضافه کرد. مثال. تفاوت اعداد 235 و 197 را به روش عدد گرد محاسبه می کنیم. راه حل. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. تکنیک های ضرب ساده اعداد

ضرب در یک به دنبال صفر. هنگام ضرب کردن یک عدد در عددی که شامل یک واحد به دنبال آن صفر است (10؛ 100؛ 1000 و غیره)، به همان تعداد صفر در سمت راست به آن نسبت داده می شود که در ضریب بعد از واحد وجود دارد. مثال. حاصل ضرب اعداد 568 و 100 را بیابید. 568 x 100 = 56800.

روش ضرب بیتی ترتیبی. از این روش برای ضرب یک عدد در هر عدد یک رقمی استفاده می شود. اگر باید یک عدد دو رقمی (سه، چهار رقمی و غیره) را در یک ضرب کنید، ابتدا یکی از ضرایب در ده ها عامل دیگر ضرب می شود، سپس در واحدهای آن ضرب می شود و حاصل ضرب می شود. خلاصه کرد. مثال. بیایید حاصل ضرب اعداد 39 و 7 را پیدا کنیم. راه حل. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

روش عدد گرد این روش تنها زمانی استفاده می شود که یکی از فاکتورها به عدد گرد نزدیک باشد. ضریب در یک عدد گرد و سپس با جمع حسابی ضرب می شود و در انتها عدد دوم از حاصل ضرب اول کم می شود. مثال. بیایید حاصل ضرب اعداد 174 و 69 را پیدا کنیم. راه حل. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006.

راهی برای گسترش یکی از عوامل. در این روش ابتدا یکی از عوامل به قطعات (اصطلاحات) تجزیه می شود، سپس عامل دوم به نوبت در هر قسمت از عامل اول ضرب می شود و محصولات حاصل جمع می شود. مثال. بیایید حاصل ضرب اعداد 13 و 325 را پیدا کنیم. راه حل. بیایید عدد را به عبارات تجزیه کنیم: 13 \u003d 10 + 3. بیایید هر یک از عبارات به دست آمده را در 325 ضرب کنیم: 10 x 325 \u003d 3 250. 3 × 325 = 975 ما محصولات به دست آمده را جمع می کنیم: 3250 + 975 = 4225.

اسرار شمارش سریع ذهنی سیستم های شمارش ذهنی وجود دارد که به شما امکان می دهد سریع و منطقی شفاهی بشمارید. ما به برخی از متداول ترین تکنیک ها نگاه خواهیم کرد.

ضرب یک عدد دو رقمی در 11.

مثالها: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(قانون توزیعی ضرب نسبت به جمع) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (قانون توزیعی و روش عدد گرد) ما این روش را مطالعه کردیم، اما یک راز دیگر از ضرب اعداد دو رقمی در 11 را نمی دانستیم.

با مشاهده نتایج حاصل از ضرب اعداد دو رقمی در 11، متوجه شدم که می توانید به روش راحت تری پاسخ را دریافت کنید: هنگام ضرب یک عدد دو رقمی در 11، ارقام این عدد از هم جدا می شوند و مجموع آنها ارقام در وسط قرار می گیرد. مثال ها. الف) 23 ​​11=253، چون 2+3=5; ب) 45 11=495، زیرا 4+5=9; ج) 57 11=627، زیرا 5+7=12، دو در وسط قرار گرفت و یکی به جای صدها اضافه شد. تأیید این روش را در اینترنت پیدا کردم.

2) حاصل ضرب اعداد دو رقمی که دارای دهها یکسان هستند و مجموع واحدها 10 یعنی 23 27 است. 34 36; 52 58 و غیره قانون: رقم ده ها در رقم بعدی در سری طبیعی ضرب می شود، نتیجه یادداشت می شود و حاصل ضرب واحدها به آن نسبت داده می شود. مثال ها. الف) 23 ​​27 = 621. چطوری 621 گرفتی؟ عدد 2 را در 3 ضرب می کنیم ("دو" به دنبال "سه" می آید) ، 6 می شود و در مرحله بعد حاصلضرب واحدها را اختصاص می دهیم: 3 7 \u003d 21 ، معلوم می شود 621. ب) 34 36 = 1224، چون 3 4 = 12، 24 را به عدد 12 نسبت می دهیم، این حاصل ضرب واحدهای این اعداد است: 4 6.

3) تقسیم اعداد سه رقمی متشکل از ارقام مشابه بر عدد 37. نتیجه برابر است با مجموع این ارقام یکسان عدد سه رقمی (یا عددی معادل سه برابر رقم سه رقمی). ). مثال ها. الف) 222:37=6. این مجموع 2+2+2=6 است. ب) 333:37=9، زیرا 3+3+3=9. ج) 777:37=21، زیرا 7+7+7=21. د) 888:37=24، چون 8+8+8=24. ما همچنین این واقعیت را در نظر می گیریم که 888:24=37.

تسلط بر مهارت های شمارش ذهنی منطقی کار شما را کارآمدتر می کند. این امر تنها با تسلط کافی بر تمامی عملیات حسابی فوق امکان پذیر است. استفاده از روش های منطقی شمارش باعث افزایش سرعت محاسبات و ارائه دقت لازم می شود.

نتیجه گیری برای کشف راز اصلی در موضوع کارم، مجبور شدم سخت کار کنم - جستجو، تجزیه و تحلیل اطلاعات، سوال از همکلاسی ها، تکرار روش های شناخته شده اولیه و یافتن بسیاری از روش های ناآشنا برای شمارش منطقی، و در نهایت، فهمیدن چیستی آن راز؟ و متوجه شدم که مهمترین چیز این است که بدانیم و بتوانم آنهایی که شناخته شده است را به کار ببریم، روش های عقلانی جدید را برای شمارش بیابیم، جدول ضرب، ترکیب اعداد (کلاس ها و ارقام)، قوانین عملیات حسابی را بدانیم. به غیر از آن، به دنبال راه های جدیدی برای انجام این کار باشید:

تکنیک‌های جمع ساده اعداد: (روش جمع بیتی متوالی؛ روش عدد گرد؛ روش تجزیه یکی از عوامل به اصطلاح). - تکنیک های تفریق ساده اعداد (روش تفریق بیتی متوالی؛ روش عدد گرد). - تکنیک های ضرب ساده اعداد (ضرب در یک و به دنبال آن صفرها؛ روش ضرب بیتی متوالی؛ روش عدد گرد؛ روش بسط یکی از عوامل؛ - اسرار شمارش سریع ذهنی (ضرب یک عدد دو رقمی در 11: هنگام ضرب یک عدد دو رقمی در 11، ارقام این عدد از هم جدا می شوند و در وسط مجموع این ارقام قرار می گیرند؛ حاصل ضرب اعداد دو رقمی که دارای تعداد ده ها یکسان هستند و مجموع آن ها. از واحدها 10 است؛ تقسیم اعداد سه رقمی متشکل از ارقام مشابه بر عدد 37. احتمالاً هنوز راه های زیادی از این دست وجود دارد، بنابراین سال آینده به کار روی این موضوع ادامه خواهم داد.

در خاتمه سخنان خود را با این عبارات به پایان می‌برم:

با تشکر از توجه شما، برای شما آرزوی موفقیت دارم!!!