فرمول های اساسی پلان سنجی نحوه پیدا کردن مساحت اشکال هندسی

مساحت اشکال هندسی مقادیر عددی است که اندازه آنها را در فضای دو بعدی مشخص می کند. این مقدار را می توان در واحدهای سیستمی و غیر سیستمی اندازه گیری کرد. بنابراین، برای مثال، یک واحد غیر سیستمی مساحت یک صدم، یک هکتار است. این در صورتی است که سطح مورد اندازه گیری یک قطعه زمین باشد. واحد سیستم مساحت مربع طول است. در سیستم SI واحد سطح مسطح متر مربع است. در GHS واحد مساحت به صورت سانتی متر مربع بیان می شود.

فرمول های هندسه و مساحت به طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. این ارتباط در این واقعیت نهفته است که محاسبه مساحت ارقام صفحه دقیقاً بر اساس کاربرد آنها است. برای بسیاری از ارقام، چندین گزینه به دست می آید که ابعاد مربع آنها محاسبه می شود. بر اساس داده های بیانیه مشکل، می توانیم ساده ترین راه حل ممکن را تعیین کنیم. این امر محاسبات را تسهیل می کند و احتمال خطاهای محاسباتی را به حداقل می رساند. برای انجام این کار، حوزه های اصلی اشکال در هندسه را در نظر بگیرید.

فرمول های پیدا کردن مساحت هر مثلث در چندین گزینه ارائه شده است:

1) مساحت مثلث از قاعده a و ارتفاع h محاسبه می شود. پایه به سمتی از شکل در نظر گرفته می شود که ارتفاع روی آن پایین آمده است. سپس مساحت مثلث برابر است با:

2) مساحت مثلث قائم الزاویه به همین ترتیب محاسبه می شود اگر هیپوتانوس قاعده در نظر گرفته شود. اگر ساق را به عنوان پایه در نظر بگیریم، مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با حاصل ضرب پاهای نصف شده خواهد بود.

فرمول های محاسبه مساحت هر مثلث به همین جا ختم نمی شود. عبارت دیگر شامل اضلاع a،b و تابع سینوسی زاویه γ بین a و b است. مقدار سینوس در جداول یافت می شود. شما همچنین می توانید آن را با استفاده از ماشین حساب پیدا کنید. سپس مساحت مثلث برابر است با:

با استفاده از این تساوی، می توانید مطمئن شوید که مساحت یک مثلث قائم الزاویه از طریق طول پاها تعیین می شود. زیرا زاویه γ یک زاویه قائمه است، بنابراین مساحت یک مثلث قائم الزاویه بدون ضرب در تابع سینوس محاسبه می شود.

3) یک مورد خاص را در نظر بگیرید - مثلثی منتظم که ضلع a با شرط مشخص است یا هنگام حل می توان طول آن را پیدا کرد. چیز بیشتری در مورد شکل در مسئله هندسه شناخته شده نیست. سپس چگونه می توان منطقه را تحت این شرایط پیدا کرد؟ در این مورد، فرمول مساحت یک مثلث منظم اعمال می شود:

مستطیل

چگونه مساحت یک مستطیل را پیدا کنیم و از ابعاد اضلاع که راس مشترک دارند استفاده کنیم؟ عبارت محاسبه به صورت زیر است:

اگر برای محاسبه مساحت یک مستطیل نیاز به استفاده از طول مورب ها دارید، به تابعی از سینوس زاویه ای که هنگام تقاطع آنها تشکیل می شود نیاز دارید. این فرمول برای مساحت مستطیل به صورت زیر است:

مربع

مساحت مربع به عنوان توان دوم طول ضلع تعیین می شود:

اثبات از تعریف مستطیل است. تمام ضلع هایی که مربع را تشکیل می دهند دارای ابعاد یکسانی هستند. بنابراین، محاسبه مساحت چنین مستطیلی به ضرب یکی در دیگری، یعنی به توان دوم ضلع می رسد. و فرمول محاسبه مساحت مربع به شکل دلخواه در می آید.

مساحت یک مربع را می توان به روش دیگری پیدا کرد، به عنوان مثال، اگر از قطر استفاده کنید:

چگونه می توان مساحت شکلی را که توسط قسمتی از صفحه که توسط یک دایره محدود شده است محاسبه کرد؟ برای محاسبه مساحت، فرمول ها عبارتند از:

متوازی الاضلاع

برای متوازی الاضلاع، فرمول شامل ابعاد خطی ضلع، ارتفاع و عملیات ریاضی - ضرب است. اگر ارتفاع ناشناخته است، پس چگونه می توان مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کرد؟ روش دیگری برای محاسبه وجود دارد. مقدار مشخصی مورد نیاز خواهد بود که با تابع مثلثاتی زاویه تشکیل شده توسط اضلاع مجاور و همچنین طول آنها گرفته می شود.

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع عبارتند از:

لوزی

چگونه مساحت یک چهارضلعی به نام لوزی را پیدا کنیم؟ مساحت یک لوزی با استفاده از ریاضیات ساده با قطر تعیین می شود. اثبات بر این واقعیت استوار است که بخش‌های مورب در d1 و d2 در زوایای قائمه همدیگر را قطع می‌کنند. جدول سینوس ها نشان می دهد که برای یک زاویه قائمه این تابع برابر با واحد است. بنابراین مساحت یک لوزی به صورت زیر محاسبه می شود:

مساحت یک لوزی را می توان به روش دیگری نیز یافت. با توجه به اینکه طول اضلاع آن یکسان است، اثبات این نیز دشوار نیست. سپس حاصل ضرب آنها را با یک عبارت مشابه برای متوازی الاضلاع جایگزین کنید. پس از همه، یک مورد خاص از این شکل خاص یک لوزی است. در اینجا γ زاویه داخلی لوزی است. مساحت یک لوزی به صورت زیر تعیین می شود:

ذوزنقه

چگونه می توان مساحت ذوزنقه را از طریق پایه های (a و b) پیدا کرد، اگر مشکل نشان دهنده طول آنها باشد؟ در اینجا، بدون مقدار مشخصی از طول ارتفاع h، محاسبه مساحت چنین ذوزنقه ای امکان پذیر نخواهد بود. زیرا این مقدار شامل عبارت برای محاسبه است:

اندازه مربع ذوزنقه مستطیلی را نیز می توان به همین ترتیب محاسبه کرد. در نظر گرفته شده است که در یک ذوزنقه مستطیلی، مفاهیم ارتفاع و ضلع با هم ترکیب شده اند. بنابراین، برای یک ذوزنقه مستطیلی، باید به جای ارتفاع، طول ضلع جانبی را مشخص کنید.

استوانه ای و موازی

بیایید در نظر بگیریم که برای محاسبه سطح کل سیلندر چه چیزی لازم است. مساحت این شکل یک جفت دایره به نام پایه و یک سطح جانبی است. دایره های تشکیل دهنده دایره ها دارای طول شعاع برابر با r هستند. برای مساحت یک استوانه محاسبه زیر انجام می شود:

چگونه مساحت یک متوازی الاضلاع را که از سه جفت وجه تشکیل شده است پیدا کنیم؟ اندازه گیری های آن با جفت خاص مطابقت دارد. چهره های مقابل هم پارامترهای یکسانی دارند. ابتدا S(1)، S(2)، S(3) - ابعاد مربع چهره های نابرابر را پیدا کنید. سپس مساحت سطح متوازی الاضلاع است:

حلقه

دو دایره با یک مرکز مشترک یک حلقه را تشکیل می دهند. آنها همچنین مساحت حلقه را محدود می کنند. در این حالت، هر دو فرمول محاسبه، ابعاد هر دایره را در نظر می گیرند. اولین آنها، محاسبه مساحت حلقه، شامل شعاع R بزرگتر و کوچکتر است. اغلب آنها خارجی و داخلی نامیده می شوند. در عبارت دوم، مساحت حلقه از طریق قطرهای بزرگتر D و d کوچکتر محاسبه می شود. بنابراین، مساحت حلقه بر اساس شعاع های شناخته شده به صورت زیر محاسبه می شود:

مساحت حلقه با استفاده از طول قطرها به صورت زیر تعیین می شود:

چند ضلعی

چگونه مساحت چند ضلعی را که شکل آن منظم نیست پیدا کنیم؟ هیچ فرمول کلی برای مساحت چنین ارقامی وجود ندارد. اما اگر روی یک صفحه مختصات به تصویر کشیده شود، مثلاً می تواند کاغذ شطرنجی باشد، در این صورت چگونه می توان مساحت سطح را پیدا کرد؟ در اینجا آنها از روشی استفاده می کنند که نیازی به اندازه گیری تقریباً ندارد. آنها این کار را انجام می دهند: اگر نقاطی را پیدا کنند که در گوشه سلول قرار می گیرند یا مختصات کامل دارند، فقط آنها را در نظر می گیرند. سپس برای اینکه بفهمید مساحت چیست، از فرمول اثبات شده توسط Peake استفاده کنید. لازم است تعداد نقاط واقع در داخل خط شکسته را با نصف نقاطی که روی آن قرار دارند جمع کرده و یک را کم کنید، یعنی به این ترتیب محاسبه می شود:

که در آن B، G - تعداد نقاط واقع در داخل و در کل خط شکسته، به ترتیب.

تمام فرمول های مساحت شکل های صفحه

مساحت ذوزنقه متساوی الساقین

1. فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین با استفاده از اضلاع و زوایا

الف - پایه پایین

ب - پایه بالایی

ج - اضلاع مساوی

α - زاویه در پایه پایین

فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین از طرفین، (S):

فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین با استفاده از اضلاع و زوایا، (S):

2. فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین بر حسب شعاع دایره محاط

R - شعاع دایره محاطی

د - قطر دایره محاطی

O - مرکز دایره محاطی

H - ارتفاع ذوزنقه

α، β - زوایای ذوزنقه ای

فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین بر حسب شعاع دایره محاطی، (S):

FAIR، برای دایره محاطی شده در ذوزنقه متساوی الساقین:

3. فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین از طریق قطرها و زاویه بین آنها

d قطر ذوزنقه است

زوایای α، β- بین قطرها

فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین از طریق قطرها و زاویه بین آنها، (S):

4. فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین از طریق خط وسط، ضلع جانبی و زاویه در قاعده

ج- سمت

m - خط وسط ذوزنقه

α، β - زوایای پایه

فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین با استفاده از خط وسط، ضلع جانبی و زاویه پایه،

(S):

5. فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین با استفاده از پایه و ارتفاع

الف - پایه پایین

ب - پایه بالایی

h - ارتفاع ذوزنقه

فرمول مساحت ذوزنقه متساوی الساقین با استفاده از پایه و ارتفاع، (S):

مساحت مثلث بر اساس ضلع و دو زاویه، فرمول.

a، b، c - اضلاع مثلث

α، β، γ - زوایای مخالف

مساحت یک مثلث از یک ضلع و دو زاویه (S):

فرمول مساحت یک چند ضلعی منظم

الف - ضلع چند ضلعی

n - تعداد اضلاع

مساحت یک چند ضلعی منظم، (S):

فرمول (هرون) برای مساحت یک مثلث از طریق نیم محیط (S):

مساحت مثلث متساوی الاضلاع برابر است با:

فرمول های محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع

الف - ضلع مثلث

h - ارتفاع

چگونه مساحت مثلث متساوی الساقین را محاسبه کنیم؟

ب - پایه مثلث

الف - اضلاع مساوی

h - ارتفاع

3. فرمول مساحت ذوزنقه با استفاده از چهار ضلع

الف - پایه پایین

ب - پایه بالایی

ج، د - طرفین

شعاع دایره محصور ذوزنقه در امتداد اضلاع و مورب ها

الف - طرف های جانبی ذوزنقه

ج - پایه پایین

ب - پایه بالایی

د - مورب

h - ارتفاع

فرمول شعاع ذوزنقه ای، (R)

شعاع محیطی مثلث متساوی الساقین را با استفاده از اضلاع پیدا کنید

با دانستن اضلاع یک مثلث متساوی الساقین، می توانید از فرمول برای یافتن شعاع دایره محصور در اطراف این مثلث استفاده کنید.

a، b - اضلاع مثلث

شعاع محیطی مثلث متساوی الساقین (R):

شعاع دایره محاطی شده در یک شش ضلعی

الف - ضلع شش ضلعی

شعاع دایره محاط شده در یک شش ضلعی، (r):

شعاع دایره محاط در یک لوزی

r - شعاع دایره محاطی

الف - طرف لوزی

D، d - مورب

h - ارتفاع لوزی

شعاع دایره محاط شده در ذوزنقه متساوی الاضلاع

ج - پایه پایین

ب - پایه بالایی

الف - طرفین

h - ارتفاع

شعاع دایره محاط شده در یک مثلث قائم الزاویه

a، b - پاهای مثلث

ج - هیپوتانوز

شعاع دایره محاطی شده در یک مثلث متساوی الساقین

a، b - اضلاع مثلث

ثابت کنید که مساحت یک چهارضلعی محاطی است

\/(р - а)(р - ب) (р - с) (р - د)،

که p نیمه محیط و a، b، c و d اضلاع چهارضلعی هستند.

ثابت کنید مساحت چهار ضلعی محاط شده در دایره برابر است

1/2 (ab + cb) · sin α، که در آن a، b، c و d اضلاع چهارضلعی و α زاویه بین ضلع a و b است.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - بیشتر در FB.ru بخوانید:

مساحت یک چهارضلعی دلخواه (شکل 1.13) را می توان از طریق اضلاع a، b، c و مجموع یک جفت زاویه مخالف بیان کرد:

جایی که p نیم محیط چهارضلعی است.

مساحت چهار ضلعی محاط شده در دایره () (شکل 1.14، a) با استفاده از فرمول براهماگوپتا محاسبه می شود.

و شرح داده شده (شکل 1.14، ب) () - با توجه به فرمول

اگر چهارضلعی در همان زمان حک شده و توصیف شود (شکل 1.14، ج)، آنگاه فرمول بسیار ساده می شود:

فرمول پیک

برای تخمین مساحت یک چند ضلعی روی کاغذ شطرنجی، کافی است شمارش کنیم که این چند ضلعی چند سلول را می پوشاند (مساحت یک سلول را یک می گیریم). به طور دقیق تر، اگر S مساحت چند ضلعی باشد، تعداد سلول هایی است که به طور کامل در داخل چند ضلعی قرار دارند و تعداد سلول هایی است که حداقل یک نقطه مشترک با داخل چند ضلعی دارند.

در زیر فقط چند ضلعی‌هایی را در نظر می‌گیریم که همه رئوس آنها در گره‌های کاغذ شطرنجی قرار دارند - آنهایی که خطوط شبکه را قطع می‌کنند. به نظر می رسد که برای چنین چند ضلعی می توان فرمول زیر را مشخص کرد:

مساحت کجاست، r تعداد گره هایی است که دقیقاً در داخل چند ضلعی قرار دارند.

این فرمول "فرمول انتخاب" نامیده می شود - به نام ریاضیدانی که آن را در سال 1899 کشف کرد.

منطقه چیست؟

مساحت مشخصه یک شکل هندسی بسته (دایره، مربع، مثلث و ...) است که اندازه آن را نشان می دهد. مساحت بر حسب سانتی متر مربع، متر و غیره اندازه گیری می شود. با حرف مشخص شده است اس(مربع).

چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کنیم؟

S= آ ساعت

جایی که آ- طول پایه، ساعت- ارتفاع مثلث کشیده شده به پایه.

علاوه بر این، پایه نباید در پایین باشد. این نیز انجام خواهد شد.

اگر مثلث دیر فهم، سپس ارتفاع تا ادامه پایه کاهش می یابد:

اگر مثلث مستطیل شکل، سپس پایه و ارتفاع پاهای آن است:

2. فرمول دیگری که کمتر مفید نیست، اما به دلایلی همیشه فراموش می شود:

S= a b sinα

جایی که آو ب- دو ضلع مثلث، sinaسینوس زاویه بین این اضلاع است.

شرط اصلی این است که زاویه بین دو ضلع شناخته شده گرفته شود.

3. فرمول مساحت در سه طرف (فرمول هرون):

S=

جایی که آ, بو بااضلاع مثلث هستند و R -نیم محیطی پ = (a+b+c)/2.

4. فرمول مساحت مثلث بر حسب شعاع دایره محدود شده:

S=

جایی که آ, بو بااضلاع مثلث هستند و R –شعاع دایره محدود شده

5. فرمول مساحت یک مثلث بر حسب شعاع دایره محاطی:

S= p · r

جایی که R -نیم محیط مثلث و r -شعاع دایره محاط

چگونه مساحت یک مستطیل را پیدا کنیم؟

1. مساحت یک مستطیل به سادگی پیدا می شود:

S=آ ب

بدون ترفند.

چگونه مساحت مربع را پیدا کنیم؟

1. از آنجایی که مربع مستطیلی است که همه اضلاع آن برابر است، همین فرمول برای آن صدق می کند:

S=آ · a = a 2

2. همچنین مساحت مربع را می توان از طریق قطر آن پیدا کرد:

S= د 2

چگونه مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم؟

1. مساحت متوازی الاضلاع با فرمول بدست می آید:

S=آ ساعت

این به این دلیل است که اگر یک مثلث قائم الزاویه را در سمت راست از آن جدا کنید و آن را در سمت چپ قرار دهید، یک مستطیل خواهید داشت:

2. همچنین مساحت متوازی الاضلاع را می توان از طریق زاویه بین دو ضلع پیدا کرد:

S=آ · b · sinα

چگونه مساحت لوزی را پیدا کنیم؟

لوزی در اصل متوازی الاضلاع است که همه اضلاع آن برابر است. بنابراین، همان فرمول های مساحت برای آن اعمال می شود.

1. مساحت یک لوزی از طریق ارتفاع:

S=آ ساعت

برای حل مسائل هندسی، باید فرمول هایی - مانند مساحت مثلث یا مساحت متوازی الاضلاع - و همچنین تکنیک های ساده ای را بدانید که به آنها خواهیم پرداخت.

ابتدا بیایید فرمول های مساحت شکل ها را یاد بگیریم. ما آنها را به طور ویژه در یک جدول مناسب جمع آوری کرده ایم. چاپ کنید، یاد بگیرید و اعمال کنید!

البته همه فرمول های هندسی در جدول ما نیستند. به عنوان مثال، برای حل مسائل هندسه و استریومتری در قسمت دوم پروفایل یکپارچه آزمون در ریاضیات، از فرمول های دیگری برای مساحت مثلث استفاده می شود. ما حتما در مورد آنها به شما خواهیم گفت.

اما اگر لازم باشد نه مساحت ذوزنقه یا مثلث، بلکه مساحت یک شکل پیچیده را پیدا کنید، چه؟ راه های جهانی وجود دارد! ما با استفاده از نمونه هایی از بانک وظیفه FIPI به آنها نشان خواهیم داد.

1. چگونه می توان مساحت یک شکل غیر استاندارد را پیدا کرد؟ مثلاً یک چهارضلعی دلخواه؟ یک تکنیک ساده - بیایید این شکل را به آنهایی که همه چیز درباره آنها می دانیم تقسیم کنیم و مساحت آن را پیدا کنیم - به عنوان مجموع مساحت های این شکل ها.

این چهار ضلعی را با خط افقی به دو مثلث با قاعده مشترک برابر تقسیم کنید. ارتفاع این مثلث ها برابر است و . سپس مساحت چهارضلعی برابر است با مجموع مساحت های دو مثلث: .

پاسخ: .

2. در برخی موارد، مساحت یک شکل را می توان به عنوان تفاوت برخی از مناطق نشان داد.

محاسبه این که قاعده و ارتفاع این مثلث با چه چیزی برابری می کند چندان آسان نیست! اما می توان گفت مساحت آن برابر است با اختلاف مساحت مربع با ضلع و سه مثلث قائم الزاویه. آیا آنها را در تصویر می بینید؟ ما گرفتیم: .

پاسخ: .

3. گاهی اوقات در یک کار باید مساحت کل شکل، بلکه بخشی از آن را پیدا کنید. معمولاً در مورد مساحت یک بخش صحبت می کنیم - قسمتی از یک دایره را پیدا کنید که طول قوس آن برابر است.

در این تصویر بخشی از یک دایره را می بینیم. مساحت کل دایره برابر است با . باقی مانده است که بفهمیم کدام قسمت از دایره به تصویر کشیده شده است. از آنجایی که طول کل دایره برابر است (از آنجا که) و طول قوس یک بخش معین برابر است، بنابراین، طول کمان ضریبی کمتر از طول کل دایره است. زاویه ای که این قوس در آن قرار می گیرد نیز ضریب کمتر از یک دایره کامل (یعنی درجه) است. این بدان معنی است که مساحت بخش چندین برابر کوچکتر از مساحت کل دایره خواهد بود.