مدل های ریاضی سیستم های صف برای حل مسائل اقتصادی. · قبل از شروع کار مطمئن شوید که آسیب قابل مشاهده ای به تجهیزات و سیم ها وارد نشود

طراحی 0 - 2 جریان رویدادها (الف) و ساده ترین جریان (ب)

10.5.2.1. ثابت بودن

جریان ثابت نامیده می شود , اگر احتمال وقوع تعداد معینی از رویدادها در یک بخش زمانی ابتدایی باشد طول τ (

شکل 0-2 , آ)فقط به طول مقطع بستگی دارد و به محل دقیق محور بستگی نداردتی این منطقه واقع شده است.

جریان ثابت به معنای یکنواختی آن در طول زمان است. ویژگی های احتمالی چنین جریانی بسته به زمان تغییر نمی کند. به طور خاص، به اصطلاح شدت (یا "چگالی") جریان رویدادها - تعداد متوسط ​​رویدادها در واحد زمان برای یک جریان ثابت - باید ثابت بماند. البته این بدان معنا نیست که تعداد واقعی رویدادهایی که در واحد زمان ظاهر می‌شوند ثابت است؛ جریان ممکن است تراکم‌ها و نادری‌های محلی داشته باشد. مهم است که برای یک جریان ثابت، این تراکم ها و نادری ها ماهیت منظمی نداشته باشند، و میانگین تعداد رویدادهایی که در یک دوره زمانی واحد قرار می گیرند برای کل دوره مورد بررسی ثابت می ماند.

در عمل، اغلب جریان‌هایی از رویدادها وجود دارد که (حداقل برای یک دوره زمانی محدود) می‌تواند ثابت در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، جریانی از تماس‌هایی که به یک مرکز تلفن می‌رسند، مثلاً بین ۱۲ تا ۱۳ ساعت، ممکن است تلفن ثابت در نظر گرفته شود. جریان مشابه دیگر برای یک روز کامل ثابت نخواهد بود (در شب شدت جریان تماس بسیار کمتر از روز است). توجه داشته باشید که در مورد اکثر فرآیندهای فیزیکی که ما آنها را «ایستا» می‌نامیم، همین‌طور است؛ در واقع، آنها فقط در مدت زمان محدودی ساکن هستند و گسترش این ناحیه تا بی‌نهایت تنها یک تکنیک مناسب برای این منظور است. از ساده سازی

10.5.2.2. بدون عواقب

جریانی از رویدادها را جریانی بدون افترافکت می نامند , اگر برای دوره‌های زمانی غیرهمپوشانی، تعداد رویدادهایی که روی یکی از آنها اتفاق می‌افتد به تعداد رویدادهایی که روی دیگری می‌افتند (یا سایر رویدادها، اگر بیش از دو بخش در نظر گرفته شود) بستگی ندارد.

در این گونه جریان ها، رویدادهایی که جریان را تشکیل می دهند، در لحظات متوالی و مستقل از یکدیگر ظاهر می شوند. به عنوان مثال، جریان مسافرانی که وارد ایستگاه مترو می شوند را می توان جریانی بدون عواقب در نظر گرفت، زیرا دلایلی که ورود یک مسافر را در یک لحظه معین و نه در لحظه دیگر تعیین می کند، معمولاً به دلایل مشابه مربوط نمی شود. سایر مسافران اگر چنین وابستگی ظاهر شود، شرط عدم وجود عواقب نقض می شود.

برای مثال، جریان قطارهای باری در امتداد یک خط راه آهن را در نظر بگیرید. اگر به دلیل شرایط ایمنی، آنها نتوانند بیشتر از فواصل زمانی یکدیگر را دنبال کنند t 0 ، سپس بین اتفاقات در جریان وابستگی ایجاد می شود و شرط عدم تبعیت نقض می شود. با این حال، اگر فاصله t 0 در مقایسه با میانگین فاصله بین قطارها کوچک است، پس چنین تخلفی ناچیز است.

طراحی 0 - 3 توزیع پواسون

محور را در نظر بگیریدتی ساده ترین جریان رویدادها با شدت λ. (شکل 0-2 ب) . ما به فاصله زمانی تصادفی T بین رویدادهای همسایه در این جریان علاقه مند خواهیم بود. بیایید قانون توزیع آن را پیدا کنیم. ابتدا تابع توزیع را پیدا می کنیم:

F(t) = P(T ( 0-2)

یعنی احتمال اینکه مقدار T مقدار کمتر ازتی. اجازه دهید از ابتدای بازه T (نقاط t 0) قطعه t و احتمال اینکه بازه T را پیدا کنید کمتر وجود خواهد داشتتی . برای انجام این کار، لازم است که برای یک مقطع طولتی، در مجاورت یک نقطه t 0 , حداقل یک رویداد جریان ضربه خورد. بیایید احتمال این را محاسبه کنیم F(t) از طریق احتمال رویداد مخالف (در هر بخشتی به هیچ رویداد جریانی برخورد نخواهد کرد):

F (t) = 1 - P 0

احتمال P 0با فرض فرمول (1) در می یابیممتر = 0:

از آنجایی که تابع توزیع مقدار T خواهد بود:

(0-3)

برای یافتن چگالی توزیع f(t) متغیر تصادفی تی،لازم است عبارت (0-1) را با آن متمایز کنیمتی:

0-4)

قانون توزیع با چگالی (0-4) نمایی نامیده می شود (یا نمایی ). کمیت λ را پارامتر می نامند قانون اثباتی

شکل 0 - 4 توزیع نمایی

بیایید ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی را پیدا کنیم تی- انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) M [ t ] = m t , و واریانس Dt. ما داریم

( 0-5)

(ادغام با قطعات).

پراکندگی مقدار T برابر است با:

(0-6)

با گرفتن جذر واریانس، انحراف معیار متغیر تصادفی را پیدا می کنیم تی.

بنابراین، برای یک توزیع نمایی، انتظار ریاضی و انحراف معیار برابر با یکدیگر و معکوس با پارامتر λ هستند، جایی که λ. شدت جریان

بنابراین، ظاهر متر رویدادهای یک دوره زمانی معین با توزیع پواسون مطابقت دارد و احتمال اینکه فواصل زمانی بین رویدادها کمتر از یک عدد از پیش تعیین شده معین باشد با توزیع نمایی مطابقت دارد. همه اینها فقط توصیف های متفاوتی از یک فرآیند تصادفی هستند.

مثال SMO-1 .

به عنوان مثال، یک سیستم بانکی را در نظر بگیرید که در زمان واقعی کار می کند و به تعداد زیادی از مشتریان خدمات ارائه می دهد. در ساعات اوج مصرف، درخواست‌های باجه‌های بانکی که با مشتریان کار می‌کنند، یک جریان پواسون را تشکیل می‌دهند و به طور متوسط ​​دو در هر ثانیه (λ = 2) می‌رسند. این جریان شامل درخواست‌هایی است که با شدت 2 درخواست در ثانیه می‌رسند.

بیایید احتمال P (م ) ظاهر م پیام ها در 1 ثانیه از آنجایی که λ = 2، پس از فرمول قبلی داریم

جایگزینی m = 0، 1، 2، 3، مقادیر زیر را دریافت می کنیم (با دقت چهارارقام اعشاری):

شکل 0 - 5 نمونه ای از یک جریان ساده

امکان دریافت بیش از 9 پیام در 1 ثانیه وجود دارد، اما احتمال این امر بسیار کم است (حدود 0.000046).

توزیع حاصل را می توان در قالب یک هیستوگرام (نشان داده شده در شکل) ارائه کرد.

مثال SMO-2.

دستگاهی (سرور) که در هر 1 ثانیه سه پیام را پردازش می کند.

اجازه دهید تجهیزاتی وجود داشته باشد که بتواند سه پیام را در 1 ثانیه پردازش کند (µ=3). به طور متوسط ​​در هر 1 ثانیه دو پیام دریافت می شود و مطابق باج توزیع پواسون چه نسبتی از این پیام ها بلافاصله پس از دریافت پردازش می شود؟

احتمال اینکه نرخ ورود کمتر یا مساوی 3 ثانیه باشد توسط داده می شود

اگر سیستمی بتواند حداکثر 3 پیام را در 1 ثانیه پردازش کند، احتمال اینکه بیش از حد بارگذاری نشود، وجود دارد.

به عبارت دیگر 85.71 درصد پیام ها بلافاصله و 14.29 درصد با کمی تاخیر ارائه می شود. همانطور که می بینید، تاخیر در پردازش یک پیام برای مدت زمانی بیشتر از زمان پردازش 3 پیام به ندرت رخ می دهد. زمان پردازش برای 1 پیام به طور متوسط ​​1/3 ثانیه است. بنابراین تاخیر بیش از 1 ثانیه یک اتفاق نادر خواهد بود که برای اکثر سیستم ها کاملا قابل قبول است.

مثال SMO- 3

· اگر عابر بانک 80 درصد از زمان کاری خود را مشغول کرده و بقیه زمان خود را در انتظار مشتریان بگذراند، می توان او را دستگاهی با ضریب بهره برداری 0.8 در نظر گرفت.

· اگر از یک کانال ارتباطی برای انتقال نمادهای 8 بیتی با سرعت 2400 bps استفاده شود، یعنی حداکثر 2400/8 نماد در 1 ثانیه ارسال می شود و ما در حال ساختن سیستمی هستیم که در آن کل داده ها 12000 نماد است. ارسال شده از دستگاه های مختلف از طریق کانال ارتباطی در دقیقه از سنگین ترین بار (شامل همگام سازی، نمادهای انتهای پیام، کنترل و غیره)، سپس میزان استفاده از تجهیزات کانال ارتباطی در این دقیقه برابر است با

· اگر یک موتور دسترسی به فایل 9000 دسترسی به فایل را در طول یک ساعت شلوغ انجام دهد و میانگین زمان هر دسترسی 300 میلی‌ثانیه باشد، آنگاه نرخ استفاده از سخت‌افزار ساعت پیک موتور دسترسی برابر است.

مفهوم استفاده از تجهیزات اغلب مورد استفاده قرار می گیرد. هر چه میزان استفاده از تجهیزات به 100% نزدیک‌تر باشد، تاخیر بیشتر و صف‌ها طولانی‌تر می‌شود.

با استفاده از فرمول قبلی، می توانید جدول هایی از مقادیر تابع پواسون ایجاد کنید که از روی آنها می توانید احتمال رسیدن را تعیین کنید.متر یا پیام های بیشتری در یک دوره زمانی معین. به عنوان مثال، اگر به طور متوسط ​​3.1 پیام در ثانیه وجود داشته باشد [i.e. e. λ = 3.1]، پس احتمال دریافت 5 پیام یا بیشتر در یک ثانیه معین 0.2018 است (برایمتر = 5 در جدول). یا به صورت تحلیلی

با استفاده از این عبارت، یک تحلیلگر سیستم می‌تواند احتمال عدم برآورده کردن یک معیار بار معین را محاسبه کند.

اغلب می توان محاسبات اولیه را برای مقادیر بار تجهیزات انجام داد

ρ ≤ 0.9

این مقادیر را می توان با استفاده از جداول پواسون بدست آورد.

دوباره میانگین نرخ رسیدن پیام λ = 3.1 پیام/ثانیه را بگذارید. از جداول چنین بر می آید که احتمال دریافت 6 پیام یا بیشتر در 1 ثانیه 0.0943 است. بنابراین می توان این عدد را به عنوان معیار بار برای محاسبات اولیه در نظر گرفت.

10.6.2. وظایف طراحی

اگر پیام ها به طور تصادفی به دستگاه برسد، دستگاه بخشی از زمان خود را صرف پردازش یا سرویس هر پیام می کند و در نتیجه صف هایی تشکیل می شود. یک صف در بانک در انتظار آزادی صندوقدار و رایانه او (ترمینال) است. یک صف پیام در بافر ورودی کامپیوتر در انتظار پردازش توسط پردازنده است. صفی از درخواست‌ها برای آرایه‌های داده منتظر می‌ماند تا کانال‌ها آزاد شوند و غیره. صف‌ها می‌توانند در تمام گلوگاه‌های سیستم تشکیل شوند.

هر چه میزان استفاده از تجهیزات بیشتر باشد، صف های حاصل طولانی تر می شود. همانطور که در زیر نشان داده خواهد شد، می توان یک سیستم عامل رضایت بخش با ضریب استفاده 0.7 = ρ طراحی کرد، اما ضریب بیش از ρ > 0.9 ممکن است منجر به بدتر شدن کیفیت خدمات شود. به عبارت دیگر، اگر یک لینک داده انبوه دارای 20 درصد بار باشد، بعید است که یک صف روی آن وجود داشته باشد. در صورت بارگیری؛ 0.9 است، سپس، به عنوان یک قاعده، صف هایی تشکیل می شود، گاهی اوقات بسیار بزرگ.

ضریب استفاده از تجهیزات برابر است با نسبت بار روی تجهیزات به حداکثر باری که این تجهیزات می تواند تحمل کند یا برابر با نسبت زمان اشغال تجهیزات به کل زمان کارکرد آن است.

هنگام طراحی یک سیستم، تخمین ضریب استفاده برای انواع مختلف تجهیزات معمول است. نمونه های مربوطه در فصل های بعدی آورده خواهد شد. دانستن این ضرایب به شما امکان می دهد تا صف های مربوط به تجهیزات مربوطه را محاسبه کنید.

· طول صف چقدر است؟

· چقدر زمان میبرد؟

این نوع سوالات را می توان با استفاده از تئوری صف پاسخ داد.

10.6.3. سیستم های صف، کلاس ها و ویژگی های اصلی آنها

برای یک QS، جریان‌های رویداد، جریان‌هایی از برنامه‌ها، جریان‌های برنامه‌های کاربردی «سرویس‌سازی» و غیره هستند. اگر این جریان‌ها پواسون نباشند (فرایند مارکوف)، توصیف ریاضی فرآیندهایی که در QS رخ می‌دهند به‌طور غیرقابل مقایسه پیچیده‌تر می‌شود و نیاز به سخت‌تر شدن دارد. دستگاه، آوردن آن به فرمول های تحلیلی تنها در ساده ترین موارد امکان پذیر است.

با این حال، دستگاه تئوری صف "مارکوین" نیز می تواند در مواردی مفید باشد که فرآیندی که در QS اتفاق می افتد با مدل مارکویی متفاوت است؛ با کمک آن می توان ویژگی های عملکرد QS را تقریباً ارزیابی کرد. لازم به ذکر است که هر چه QS پیچیده تر باشد، کانال های سرویس بیشتری داشته باشد، فرمول های تقریبی به دست آمده با استفاده از نظریه مارکوف دقیق تر است. علاوه بر این، در تعدادی از موارد، به منظور تصمیم گیری آگاهانه در مورد مدیریت عملیات QS، دانش دقیق از تمام ویژگی های آن مورد نیاز نیست، اغلب فقط دانش تقریبی و تقریبی کافی است.

QS به سیستم هایی با موارد زیر طبقه بندی می شوند:

· امتناع ها (با ضرر و زیان). در چنین سیستم‌هایی، درخواستی که در زمانی که همه کانال‌ها مشغول هستند دریافت می‌شود، "رد کردن" دریافت می‌کند، QS را ترک می‌کند و در فرآیند خدمات بعدی شرکت نمی‌کند.

· در انتظار (با یک صف). در چنین سیستم‌هایی، درخواستی که در زمانی که همه کانال‌ها مشغول هستند می‌رسد در صف قرار می‌گیرد و منتظر می‌ماند تا یکی از کانال‌ها آزاد شود. هنگامی که کانال آزاد می شود، یکی از درخواست های در صف برای سرویس پذیرفته می شود.

خدمات (انضباط صف) در یک سیستم انتظار می تواند باشد

· سفارش داده شده (برنامه ها به ترتیب دریافت پردازش می شوند)

· بی نظم(برنامه ها به ترتیب تصادفی ارائه می شوند) یا

· انباشته (آخرین درخواست ابتدا از صف انتخاب می شود).

· اولویت

o با اولویت ایستا

o با اولویت پویا

(در مورد دوم، قبل tet ممکن است، برای مثال، با مدت زمان انتظار برای یک برنامه افزایش یابد).

سیستم های صف به سیستم ها تقسیم می شوند

· با انتظار نامحدود و

· با محدود در انتظار.

در سیستم‌هایی با انتظار نامحدود، هر درخواستی که در زمانی که کانال رایگان وجود ندارد وارد یک صف می‌شود و «صبورانه» منتظر می‌ماند تا کانال در دسترس قرار گیرد و آن را برای سرویس بپذیرد. هر درخواستی که توسط CMO دریافت شود دیر یا زود سرویس خواهد شد.

در سیستم هایی با انتظار محدود، محدودیت های خاصی برای ماندن یک برنامه در صف اعمال می شود. این محدودیت ها ممکن است اعمال شوند

· طول صف (تعداد برنامه های کاربردی به طور همزمان در صف در یک سیستم با طول صف محدود)،

· مدت زمانی که برنامه در صف سپری شده است (پس از یک دوره معینی از ماندن در صف، برنامه از صف خارج می شود و سیستم با زمان انتظار محدود خارج می شود)

· کل زمان اقامت برنامه در CMO

و غیره.

بسته به نوع QS، هنگام ارزیابی اثربخشی آن، ممکن است از مقادیر خاصی (شاخص های عملکرد) استفاده شود. به عنوان مثال، برای یک QS با خرابی، یکی از مهمترین ویژگی های بهره وری آن به اصطلاح است توان عملیاتی مطلقمیانگین تعداد درخواست هایی که سیستم می تواند در واحد زمان ارائه دهد.

همراه با مطلق، اغلب در نظر گرفته می شود توان نسبی QS میانگین سهم برنامه های دریافت شده توسط سیستم است (نسبت میانگین تعداد برنامه های سرویس شده توسط سیستم در واحد زمان به میانگین تعداد برنامه های دریافت شده در این مدت).

علاوه بر توان عملیاتی مطلق و نسبی، هنگام تجزیه و تحلیل یک QS با شکست، بسته به وظیفه تحقیق، ممکن است به ویژگی های دیگری نیز علاقه مند باشیم، به عنوان مثال:

· میانگین تعداد کانال های شلوغ؛

· متوسط ​​زمان خاموشی نسبی سیستم به عنوان یک کل و یک کانال مجزا

و غیره.

سوالات با انتظار دارای ویژگی های کمی متفاوت است. بدیهی است که برای یک QS با انتظار نامحدود، هر دو توان عملیاتی مطلق و نسبی معنای خود را از دست می دهند، زیرا هر درخواست دریافتی زودهنگام است.یا بعدا سرو میشه برای چنین QS، ویژگی های مهم عبارتند از:

· میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف.

· میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم (در صف و تحت سرویس)؛

· میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف.

· میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم (در صف و تحت سرویس)؛

و همچنین سایر ویژگی های انتظار.

برای یک QS با انتظار محدود، هر دو گروه از ویژگی ها مورد توجه هستند: هم توان عملیاتی مطلق و هم نسبی، و ویژگی های انتظار.

برای تجزیه و تحلیل فرآیندی که در QS رخ می دهد، دانستن پارامترهای اصلی سیستم ضروری است: تعداد کانال ها. پ،شدت جریان برنامه هاλ , عملکرد هر کانال (متوسط ​​تعداد درخواست های ارائه شده توسط کانال در واحد زمان)، شرایط تشکیل یک صف (محدودیت، در صورت وجود).

بسته به مقادیر این پارامترها، ویژگی های عملکرد QS بیان می شود.

10.6.4. فرمول های محاسبه ویژگی های QS برای مورد سرویس دهی با یک دستگاه

شکل 0 - 6 مدل سیستم صف با صف

چنین صف هایی را می توان با پیام هایی در ورودی پردازنده در انتظار پردازش ایجاد کرد. آنها می توانند در حین عملکرد نقاط مشترک متصل به یک کانال ارتباطی چند نقطه ای رخ دهند. به همین ترتیب، صف خودروها در پمپ بنزین ها تشکیل می شود. با این حال، اگر بیش از یک ورودی سرویس وجود داشته باشد، ما یک صف با دستگاه های زیادی داریم و تجزیه و تحلیل پیچیده تر می شود.

اجازه دهید مورد ساده ترین جریان درخواست خدمات را در نظر بگیریم.

هدف از تئوری صف ارائه شده، تقریب اندازه متوسط ​​صف، و همچنین میانگین زمان صرف شده توسط پیام های منتظر در صف است. همچنین توصیه می شود تخمین بزنید که هر چند وقت یکبار صف از یک طول معین بیشتر می شود. این اطلاعات به ما این امکان را می دهد که مثلاً مقدار حافظه بافر مورد نیاز برای ذخیره صف های پیام و برنامه های مربوطه، تعداد خطوط ارتباطی مورد نیاز، اندازه بافر مورد نیاز برای هاب ها و غیره را محاسبه کنیم. تخمین زمان پاسخ ممکن خواهد بود.

هر یک از ویژگی ها بسته به وسیله مورد استفاده متفاوت است.

یک صف با یک سرور در نظر بگیرید. هنگام طراحی یک سیستم محاسباتی، اکثر صف های این نوع با استفاده از فرمول های داده شده محاسبه می شوند.ضریب تغییرات زمان سرویس

فرمول Khinchin-Polacek برای محاسبه طول صف هنگام طراحی سیستم های اطلاعاتی استفاده می شود. در مورد توزیع نمایی زمان رسیدن برای هر توزیع زمان سرویس و هر رشته کنترلی استفاده می شود، تا زمانی که انتخاب پیام بعدی برای سرویس به زمان سرویس بستگی نداشته باشد.

هنگام طراحی سیستم ها، موقعیت هایی وجود دارد که در آن صف ها بوجود می آیند که نظم مدیریت بدون شک به زمان خدمات بستگی دارد. به عنوان مثال، در برخی موارد ممکن است پیام های کوتاه تری را برای خدمات اولویت دار انتخاب کنیم تا به میانگین زمان سرویس کمتری دست یابیم. هنگام کنترل یک خط ارتباطی، می‌توانید اولویت بیشتری را به پیام‌های ورودی نسبت به پیام‌های خروجی اختصاص دهید، زیرا پیام‌های اولی کوتاه‌تر هستند. در چنین مواقعی دیگر نیازی به استفاده از معادله خینچین نیست

بیشتر زمان های سرویس در سیستم های اطلاعاتی جایی بین این دو حالت قرار دارد. زمان نگهداری برابر با مقدار ثابت نادر است. حتی زمان دسترسی به هارد دیسک به دلیل موقعیت های مختلف آرایه های داده روی سطح ثابت نیست. یکی از مثال‌هایی که زمان سرویس ثابت را نشان می‌دهد، اشغال یک خط ارتباطی برای ارسال پیام‌هایی با طول ثابت است.

از سوی دیگر، گسترش زمان سرویس به اندازه توزیع دلخواه یا نمایی آن نیست، یعنی.σs به ندرت به مقادیر می رسدts. این مورد گاهی اوقات به عنوان "بدترین حالت" در نظر گرفته می شود و بنابراین آنها از فرمول های مربوط به توزیع نمایی زمان های خدمات استفاده می کنند. چنین محاسبه ای ممکن است اندازه های کمی متورم صف ها و زمان انتظار در آنها را نشان دهد، اما این خطا حداقل خطرناک نیست.

البته، توزیع تصاعدی زمان‌های خدمات، بدترین حالتی نیست که می‌توان با آن مواجه شد. با این حال، اگر زمان‌های سرویس به‌دست‌آمده از محاسبات صف بدتر از زمان‌های توزیع شده به صورت نمایی توزیع شوند، این اغلب یک علامت هشدار برای طراح است. اگر انحراف معیار بیشتر از میانگین باشد، معمولاً نیاز به تنظیم محاسبات وجود دارد.

مثال زیر را در نظر بگیرید. شش نوع پیام با زمان سرویس 15، 20، 25، 30، 35 و 300 وجود دارد که تعداد پیام ها در هر نوع یکسان است. انحراف معیار زمان های نشان داده شده کمی بیشتر از میانگین آنهاست. آخرین ارزش زمان سرویس بسیار بالاتر از سایرین است. این باعث می شود که پیام ها به طور قابل توجهی بیشتر از زمانی که زمان های سرویس یکسان باشد در صف باقی بمانند. در این مورد، هنگام طراحی، توصیه می شود اقداماتی برای کاهش طول صف انجام شود. به عنوان مثال، اگر این اعداد مربوط به طول پیام باشد، ممکن است ارزش آن را داشته باشد که پیام های بسیار طولانی را به بخش هایی تقسیم کنیم.

10.6.6. مثال محاسبه

هنگام طراحی سیستم بانکی، دانستن تعداد مشتریانی که در ساعات اوج مصرف باید در صف یک عابر بانک بمانند، مطلوب است.

زمان پاسخگویی سیستم و انحراف استاندارد آن با در نظر گرفتن زمان ورود داده ها از ایستگاه کاری، چاپ و اجرای سند محاسبه می شود.

اقدامات صندوقدار به موقع بود. زمان سرویس ts برابر است با کل زمان صرف شده توسط صندوقدار برای مشتری. نرخ استفاده صندوقدار ρ متناسب با زمانی است که او مشغول است. اگر λ تعداد مشتریان در ساعات اوج مصرف باشد، ρ برای صندوقدار برابر است با

فرض کنید در ساعات اوج مصرف 30 مشتری در ساعت وجود دارد. به طور متوسط، یک صندوقدار برای هر مشتری 1.5 دقیقه هزینه می کند. سپس

ρ = (1.5 * 30) / 60 = 0.75

یعنی صندوقدار 75 درصد استفاده می شود.

تعداد افراد در صف را می توان به سرعت با استفاده از نمودارها تخمین زد. از آنها چنین استنباط می شود که اگر ρ = 0.75 باشد، میانگین تعداد nq افراد استدر خط پرداخت بسته به انحراف استاندارد بین 1.88 و 3.0 قرار دارد ts .

فرض کنید اندازه گیری انحراف استاندارد برای tس مقدار 0.5 دقیقه را ارائه کرد. سپس

σ s = 0.33 تن بر ثانیه

از نمودار شکل اول در می یابیم که nq = 2.0، یعنی به طور متوسط ​​دو مشتری در صندوق در انتظار خواهند بود.

کل زمانی که یک مشتری در صندوق پول صرف می کند را می توان به صورت پیدا کرد

t ∑ = t q + t s = 2.5 دقیقه + 1.5 دقیقه = 4 دقیقه

جایی که t s با استفاده از فرمول Khinchin-Polacek محاسبه می شود.

10.6.7. عامل سود

با تجزیه و تحلیل منحنی‌های نشان‌داده‌شده در شکل‌ها، می‌بینیم که وقتی تجهیزاتی که در صف خدمت می‌کنند بیش از 80 درصد استفاده می‌شود، منحنی‌ها با سرعت هشدار دهنده‌ای شروع به رشد می‌کنند. این واقعیت هنگام طراحی سیستم های انتقال داده بسیار مهم است. اگر در حال طراحی سیستمی با استفاده از سخت افزار بیش از 80 درصد هستیم، افزایش جزئی در ترافیک می تواند باعث افت عملکرد سیستم یا حتی از کار افتادن آن شود.

افزایش ترافیک ورودی به مقدار کمی x%. منجر به افزایش تقریباً اندازه صف می شود

اگر میزان استفاده از تجهیزات 50٪ باشد، این افزایش برابر با 4ts٪ برای توزیع نمایی زمان سرویس است. اما اگر میزان استفاده از سخت افزار 90٪ باشد، افزایش اندازه صف 100ts٪ است که 25 برابر بزرگتر است. افزایش جزئی بار در 90% استفاده از سخت افزار منجر به افزایش 25 برابری اندازه صف در مقایسه با 50% استفاده از سخت افزار می شود.

به طور مشابه، زمان صرف شده در صف افزایش می یابد

با زمان سرویس توزیع شده نمایی، این مقدار دارای مقدار 4 تن است s 2 برای ضریب استفاده از تجهیزات معادل 50 درصد و 100 تن s 2 برای ضریب 90٪، یعنی دوباره 25 برابر بدتر.

علاوه بر این، برای نرخ های کم استفاده از تجهیزات، تأثیر تغییرات σs بر اندازه صف ناچیز است. با این حال، برای ضرایب بزرگ تغییر در σس تا حد زیادی بر اندازه صف تأثیر می گذارد. بنابراین هنگام طراحی سیستم هایی با استفاده از تجهیزات بالا، کسب اطلاعات دقیق در مورد پارامتر مطلوب استσ س. عدم دقت فرض در مورد نمایی توزیع tسدر مقادیر بزرگ ρ بیشتر قابل توجه است. علاوه بر این، اگر زمان سرویس به طور ناگهانی افزایش یابد، که در کانال های ارتباطی هنگام ارسال پیام های طولانی امکان پذیر است، در مورد ρ بزرگ یک صف قابل توجه تشکیل می شود.

فرآیند تصادفی مارکوف با حالت‌های گسسته و زمان پیوسته، که در سخنرانی قبلی مورد بحث قرار گرفت، در سیستم‌های صف (QS) انجام می‌شود.

سیستم های نوبت دهی – اینها سیستم‌هایی هستند که درخواست‌های سرویس را در زمان‌های تصادفی دریافت می‌کنند و درخواست‌های دریافتی با استفاده از کانال‌های سرویس موجود در سیستم سرویس می‌شوند.

نمونه هایی از سیستم های صف بندی عبارتند از:

• واحدهای تسویه نقدی در بانک ها و شرکت ها؛
• رایانه‌های شخصی که به برنامه‌های ورودی یا الزامات برای حل مشکلات خاص خدمت می‌کنند.
• ایستگاه های خدمات خودرو؛ پمپ بنزین؛
• موسسات حسابرسی؛
• دپارتمان های بازرسی مالیاتی مسئول پذیرش و تأیید گزارش های جاری شرکت ها؛
• مبادلات تلفنی و غیره

	گره ها	الزامات
بیمارستان	سفارشات	بیماران
تولید
فرودگاه	خروجی به باند فرودگاه امتیاز ثبت نام	مسافران

بیایید نمودار عملکرد QS را در نظر بگیریم (شکل 1). این سیستم از یک مولد درخواست، یک توزیع کننده و یک واحد خدمات، یک واحد حسابداری خرابی (ترمیناتور، نابودگر سفارش) تشکیل شده است. به طور کلی، یک گره سرویس ممکن است چندین کانال خدماتی داشته باشد.

برنج. 1

1. مولد برنامه – درخواست های تولید شی: خیابان، کارگاه با واحدهای نصب شده. ورودی است جریان برنامه های کاربردی(جریان مشتریان به فروشگاه، جریان واحدهای خراب (ماشین آلات، ماشین آلات) برای تعمیرات، جریان بازدیدکنندگان به کمد لباس، جریان خودروها به پمپ بنزین و غیره).
2. دیسپچر - شخص یا دستگاهی که می داند با برنامه چه کاری انجام دهد. گره ای که درخواست ها را به کانال های سرویس تنظیم و هدایت می کند. دیسپچر:

• درخواست ها را می پذیرد.
• اگر همه کانال ها مشغول باشند یک صف تشکیل می دهد.
• در صورت وجود کانال های رایگان، آنها را به کانال های خدمات هدایت می کند.
• درخواست ها را رد می کند (به دلایل مختلف)؛
• اطلاعاتی را از گره سرویس در مورد کانال های رایگان دریافت می کند.
• زمان عملکرد سیستم را کنترل می کند.

1. صف - انباشته برنامه ممکن است هیچ صفی وجود نداشته باشد.
2. مرکز خدمات شامل تعداد محدودی کانال خدماتی است. هر کانال 3 حالت دارد: آزاد، شلوغ، کار نمی کند. اگر همه کانال ها مشغول هستند، می توانید یک استراتژی برای انتقال درخواست به چه کسی ارائه دهید.
3. امتناع از سرویس در صورتی رخ می دهد که همه کانال ها مشغول باشند (برخی از آنها ممکن است کار نکنند).

علاوه بر این عناصر اساسی در QS، برخی از منابع مؤلفه های زیر را نیز برجسته می کنند:

فسخ کننده - نابود کننده معاملات؛

انبار - ذخیره سازی منابع و محصولات نهایی؛

حساب حسابداری - برای انجام معاملات از نوع "پست"؛

مدیر - مدیر منابع؛

طبقه بندی SMO

تقسیم اول (بر اساس وجود صف):

• QS با خرابی؛
• SMO با یک صف.

که در QS با شکستدرخواستی دریافت شده در زمانی که همه کانال ها مشغول هستند رد می شود، QS را ترک می کند و در آینده سرویس نمی شود.

که در صف با صفبرنامه ای که در زمانی وارد می شود که همه کانال ها مشغول هستند، آن را ترک نمی کند، بلکه در یک صف قرار می گیرد و منتظر فرصتی برای ارائه خدمات است.

QS با صفبسته به نحوه سازماندهی صف به انواع مختلفی تقسیم می شوند - محدود یا نامحدود. محدودیت ها ممکن است مربوط به طول صف و زمان انتظار، "انضباط خدمات" باشد.

بنابراین، به عنوان مثال، QS های زیر در نظر گرفته می شوند:

• CMO با درخواست های بی حوصله (طول صف و زمان خدمات محدود است)؛
• QS با خدمات اولویت دار، یعنی برخی از درخواست ها خارج از نوبت سرویس می شوند و غیره.

انواع محدودیت های صف را می توان ترکیب کرد.

طبقه بندی دیگری CMO را بر اساس منبع برنامه ها تقسیم می کند. برنامه ها (نیازمندی ها) می توانند توسط خود سیستم یا توسط برخی از محیط های خارجی که مستقل از سیستم وجود دارد تولید شوند.

به طور طبیعی، جریان درخواست های تولید شده توسط خود سیستم به سیستم و وضعیت آن بستگی دارد.

علاوه بر این، SMO ها به تقسیم می شوند باز کن CMO و بسته SMO.

در یک QS باز، ویژگی های جریان برنامه ها به وضعیت خود QS (چند کانال اشغال شده) بستگی ندارد. در یک QS بسته - آنها وابسته هستند. به عنوان مثال، اگر یک کارگر به گروهی از ماشین‌ها سرویس دهد که هر از گاهی نیاز به تنظیم دارند، شدت جریان «تقاضا» از ماشین‌ها به این بستگی دارد که چه تعداد از آن‌ها در حال حاضر کار کرده و منتظر تنظیم هستند.

نمونه ای از یک سیستم بسته: یک صندوقدار که دستمزد را در یک شرکت صادر می کند.

بر اساس تعداد کانال ها، QS ها به موارد زیر تقسیم می شوند:

• تک کانال؛
• چند کاناله

ویژگی های سیستم نوبت دهی

ویژگی های اصلی هر نوع سیستم نوبت دهی عبارتند از:

• جریان ورودی نیازمندی ها یا درخواست های دریافتی برای خدمات؛
• نظم صف؛
• مکانیزم خدمات

جریان مورد نیاز ورودی

برای توصیف جریان ورودی، باید مشخص کنید یک قانون احتمالاتی که دنباله لحظات دریافت درخواست های خدمات را تعیین می کند.و تعداد چنین الزاماتی را در هر رسید بعدی مشخص کنید. در این مورد، به عنوان یک قاعده، آنها با مفهوم "توزیع احتمالی لحظه های دریافت نیازها" عمل می کنند. در اینجا آنها می توانند کارهای زیر را انجام دهند: نیازهای فردی و گروهی (تعداد چنین الزاماتی در هر رسید معمولی). در مورد دوم، ما معمولاً در مورد یک سیستم صف با سرویس دهی گروه موازی صحبت می کنیم.

یک آی- زمان رسیدن بین نیازمندی ها - متغیرهای تصادفی مستقل و یکسان توزیع شده؛

E(A)- میانگین (MO) زمان رسیدن؛

λ=1/E(A)- شدت دریافت مطالبات؛

ویژگی های جریان ورودی:

1. یک قانون احتمالاتی که توالی لحظات دریافت درخواست های خدمات را تعیین می کند.
2. تعداد درخواست‌ها در هر ورود بعدی برای جریان‌های گروهی.

نظم و انضباط صف

صف - مجموعه ای از الزامات در انتظار خدمات.

صف یک نام دارد.

نظم و انضباط صف این اصل را تعریف می کند که بر اساس آن نیازمندی های وارد شده به ورودی سیستم سرویس دهی از صف به رویه سرویس متصل می شوند. پرکاربردترین رشته های صف با قوانین زیر تعریف می شوند:

• first come, first served;

اولین در اولین خروج (FIFO)

رایج ترین نوع صف

چه ساختار داده ای برای توصیف چنین صفی مناسب است؟ آرایه بد (محدود) است. می توانید از ساختار LIST استفاده کنید.

لیست یک شروع و یک پایان دارد. فهرست شامل ورودی‌ها است. رکورد یک سلول فهرست است. برنامه در انتهای لیست می آید و از ابتدای لیست برای سرویس انتخاب می شود. رکورد شامل ویژگی های برنامه و یک پیوند (شاخص افرادی است که پشت آن هستند). علاوه بر این، اگر صف دارای محدودیت زمان انتظار باشد، حداکثر زمان انتظار نیز باید مشخص شود.

به عنوان برنامه نویس، باید بتوانید لیست های دو طرفه و یک طرفه تهیه کنید.

فهرست اقدامات:

• وارد دم کنید؛
• گرفتن از ابتدا؛
• پس از انقضای مهلت از لیست حذف شود.
• آخرین ورود - اولین خدمت LIFO (کلیپ کارتریج، بن بست در ایستگاه قطار، وارد یک ماشین شلوغ شد).

ساختاری که به STACK معروف است. می توان با یک آرایه یا ساختار فهرست توصیف کرد.

• انتخاب تصادفی برنامه ها؛
• انتخاب برنامه ها بر اساس معیارهای اولویت.

هر برنامه، از جمله، با سطح اولویت خود مشخص می شود و پس از دریافت، نه در انتهای صف، بلکه در انتهای گروه اولویت خود قرار می گیرد. توزیع کننده بر اساس اولویت مرتب می کند.

ویژگی های صف

• محدودیتزمان انتظارلحظه خدمات (یک صف با زمان انتظار محدود برای سرویس وجود دارد که با مفهوم "طول صف مجاز" همراه است).
• طول صف

مکانیسم خدمات

مکانیسم خدمات توسط ویژگی های خود رویه خدمات و ساختار سیستم خدمات تعیین می شود. ویژگی های روش تعمیر و نگهداری عبارتند از:

• تعداد کانال های خدمات ( ن);
• مدت زمان روال خدمات (توزیع احتمالی زمان برای نیازهای سرویس)؛
• تعداد الزامات برآورده شده در نتیجه هر روش (برای برنامه های گروهی)؛
• احتمال شکست کانال سرویس؛
• ساختار سیستم خدمات

برای توصیف تحلیلی ویژگی‌های یک روش خدمات، از مفهوم "توزیع احتمالی زمان برای نیازهای سرویس" استفاده می‌شود.

اس آی- زمان سرویس من-ام نیاز؛

E(S)- میانگین زمان خدمات؛

μ=1/E(S)– سرعت درخواست های سرویس دهی

لازم به ذکر است که زمان مورد نیاز برای سرویس دهی به یک برنامه کاربردی به ماهیت خود برنامه یا نیازهای مشتری و به شرایط و قابلیت های سیستم سرویس دهی بستگی دارد. در برخی موارد نیز باید در نظر گرفته شود احتمال خرابی کانال سرویسپس از یک دوره زمانی محدود این مشخصه را می توان به عنوان جریانی از خرابی هایی که به QS وارد می شوند و بر سایر درخواست ها اولویت دارند، مدل سازی کرد.

نرخ استفاده از QS

ن·μ – سرعت سرویس در سیستم زمانی که تمام دستگاه های سرویس مشغول هستند.

ρ=λ/( نμ) - نامیده می شود ضریب استفاده از QS ، نشان می دهد که چه مقدار از منابع سیستم استفاده شده است.

ساختار سیستم خدمات

ساختار سیستم خدمات با تعداد و موقعیت نسبی کانال های خدمات (مکانیسم ها، دستگاه ها و غیره) تعیین می شود. اول از همه، باید تاکید کرد که یک سیستم خدمات ممکن است بیش از یک کانال خدماتی داشته باشد، اما چندین کانال; این نوع سیستم قادر است چندین نیاز را به طور همزمان برآورده کند. در این حالت، همه کانال های سرویس خدمات یکسانی را ارائه می دهند و بنابراین می توان استدلال کرد که سرویس موازی .

مثال. صندوق های پول در فروشگاه.

سیستم خدمات ممکن است از چندین نوع مختلف کانال خدماتی تشکیل شده باشد که هر یک از نیازهای سرویس شده باید از طریق آنها عبور کند، یعنی در سیستم خدمات. رویه های خدمات رسانی نیازمندی ها به طور مداوم اجرا می شوند . مکانیسم سرویس ویژگی‌های جریان خروجی (خدمت‌شده) درخواست‌ها را تعیین می‌کند.

مثال. کمیسیون پزشکی

سرویس ترکیبی - خدمات سپرده در بانک پس انداز: ابتدا کنترل کننده، سپس صندوقدار. به عنوان یک قاعده، 2 کنترلر در هر صندوقدار.

بنابراین، عملکرد هر سیستم صف با عوامل اصلی زیر تعیین می شود :

• توزیع احتمالی لحظه های دریافت درخواست های خدمات (تک یا گروهی)؛
• قدرت منبع نیازها؛
• توزیع احتمالی مدت زمان خدمات؛
• پیکربندی سیستم سرویس دهی (سرویس موازی، متوالی یا موازی ترتیبی)؛
• تعداد و بهره وری کانال های خدمات؛
• نظم صف

معیارهای اصلی برای اثربخشی عملکرد QS

مانند معیارهای اصلی برای اثربخشی سیستم های صف بسته به ماهیت مشکل حل شده، ممکن است موارد زیر ظاهر شوند:

• احتمال سرویس دهی فوری یک برنامه ورودی (P obsl = K obs / K post)؛
• احتمال امتناع از سرویس یک برنامه ورودی (P open = K open / K post)؛

بدیهی است که P obsl + P open =1.

جریان، تاخیر، تعمیر و نگهداری. فرمول پولاچک – خینچین

تاخیر انداختن – یکی از معیارهای سرویس QS زمان صرف شده توسط اپلیکیشن در انتظار سرویس است.

D i- تاخیر در صف درخواست من;

W i =D i +S i- زمان مورد نیاز در سیستم من.

(با احتمال 1) - میانگین تأخیر تعیین شده یک درخواست در صف.

(با احتمال 1) - میانگین زمان تعیین شده مورد نیاز در QS (انتظار).

Q(ت) –تعداد درخواست ها در صف در یک زمان t;

L(ت)– تعداد الزامات در سیستم در یک زمان تی(Q(ت)به علاوه تعداد الزاماتی که در یک زمان در حال انجام سرویس هستند تی

سپس شاخص ها (در صورت وجود)

(با احتمال 1) - میانگین حالت ثابت تعداد درخواست ها در صف در طول زمان.

(با احتمال 1) - میانگین حالت پایدار تعداد تقاضاها در سیستم در طول زمان.

توجه داشته باشید که ρ<1 – обязательное условие существования d، w، Qو Lدر سیستم نوبت دهی

اگر یادمان باشد ρ= λ/( نμ)، مشخص می شود که اگر شدت دریافت درخواست ها بیشتر از نμ، سپس ρ>1 و طبیعی است که سیستم قادر به مقابله با چنین جریانی از برنامه های کاربردی نخواهد بود و بنابراین، ما نمی توانیم در مورد کمیت ها صحبت کنیم. d، w، Qو L.

کلی ترین و ضروری ترین نتایج برای سیستم های صف شامل معادلات حفاظتی است

لازم به ذکر است که معیارهای فوق برای ارزیابی عملکرد سیستم را می توان به صورت تحلیلی برای سیستم های صف محاسبه کرد. M/M/N(ن>1)، یعنی سیستم هایی با جریان درخواست ها و خدمات مارکوف. برای M/G/ l برای هر توزیع جیو برای برخی سیستم های دیگر به طور کلی، توزیع زمان بین ورود، توزیع زمان سرویس یا هر دو باید نمایی (یا نوعی توزیع ارلنگ نمایی مرتبه kth) باشد تا یک راه حل تحلیلی امکان پذیر باشد.

علاوه بر این، می توان در مورد ویژگی هایی مانند:

• ظرفیت مطلق سیستم – А=Р obsl *λ;
• ظرفیت نسبی سیستم -

مثال جالب (و گویا) دیگری از یک راه حل تحلیلی – محاسبه میانگین تاخیر حالت پایدار در یک صف برای یک سیستم صف M/G/ 1 طبق فرمول:

.

در روسیه این فرمول به فرمول پولاکک معروف است – خینچین، در خارج از کشور این فرمول با نام راس همراه است.

بنابراین، اگر E(S)بیشتر است، سپس اضافه بار (در این مورد اندازه گیری می شود د) بزرگتر خواهد بود. که قابل انتظار است. این فرمول همچنین یک واقعیت کمتر آشکار را نشان می‌دهد: ازدحام نیز زمانی افزایش می‌یابد که تغییرپذیری توزیع زمان خدمات افزایش می‌یابد، حتی اگر میانگین زمان سرویس ثابت بماند. به طور شهودی، این می تواند به صورت زیر توضیح داده شود: واریانس متغیر تصادفی زمان سرویس می تواند مقدار زیادی به خود بگیرد (زیرا باید مثبت باشد)، یعنی تنها دستگاه سرویس برای مدت طولانی مشغول خواهد بود، که منجر به افزایش صف

موضوع تئوری صفایجاد رابطه بین عواملی است که عملکرد سیستم صف و کارایی عملکرد آن را تعیین می کند. در بیشتر موارد، تمام پارامترهای توصیف کننده سیستم های صف، متغیرها یا توابع تصادفی هستند، بنابراین این سیستم ها به سیستم های تصادفی تعلق دارند.

ماهیت تصادفی جریان برنامه ها (نیازمندی ها)، و همچنین، در حالت کلی، مدت زمان خدمات منجر به این واقعیت می شود که یک فرآیند تصادفی در سیستم صف رخ می دهد. بر اساس ماهیت فرآیند تصادفی ، که در سیستم صف (QS) رخ می دهد، متمایز می شوند سیستم های مارکوفی و ​​غیر مارکویی . در سیستم های مارکوف، جریان ورودی نیازمندی ها و جریان خروجی نیازمندی های سرویس شده (برنامه ها) پواسون هستند. جریان پواسون توصیف و ساخت یک مدل ریاضی از یک سیستم صف را آسان می کند. این مدل‌ها راه‌حل‌های نسبتاً ساده‌ای دارند، بنابراین بیشتر کاربردهای معروف تئوری صف از طرح مارکوف استفاده می‌کنند. در مورد فرآیندهای غیر مارکوف، مشکلات مطالعه سیستم های صف به طور قابل توجهی پیچیده تر می شود و نیاز به استفاده از مدل سازی آماری و روش های عددی با استفاده از کامپیوتر دارد.

دسته بزرگی از سیستم‌ها که مطالعه آنها با روش‌های تحلیلی دشوار است، اما با روش‌های مدل‌سازی آماری به خوبی مطالعه می‌شوند، به سیستم‌های صف (QS) منتهی می‌شوند.

QS نشان می دهد که وجود دارد مسیرهای معمولی(کانال های خدماتی) که در طی فرآیند پردازش از آن عبور می کنند برنامه های کاربردی. معمولاً گفته می شود که برنامه های کاربردی خدمت کرده استکانال ها کانال ها می توانند از نظر هدف، ویژگی ها متفاوت باشند، آنها را می توان در ترکیب های مختلف ترکیب کرد. برنامه ها ممکن است در صف انتظار خدمات باشند. برخی از برنامه ها ممکن است توسط کانال ها سرویس شوند، در حالی که برخی دیگر ممکن است این کار را رد کنند. مهم این است که درخواست‌ها از دیدگاه سیستم، انتزاعی باشند: آنها چیزی هستند که می‌خواهند به آنها خدمت داده شود، یعنی مسیر خاصی را در سیستم طی کنند. کانال ها نیز یک انتزاع هستند: آنها چیزی هستند که به درخواست ها خدمت می کنند.

درخواست‌ها ممکن است به‌طور ناهموار وارد شوند، کانال‌ها ممکن است درخواست‌های مختلفی را در زمان‌های مختلف ارائه دهند، و غیره، تعداد درخواست‌ها همیشه بسیار زیاد است. همه اینها مطالعه و مدیریت چنین سیستم هایی را دشوار می کند و نمی توان همه روابط علت و معلولی را در آنها ردیابی کرد. بنابراین، به طور کلی پذیرفته شده است که تعمیر و نگهداری در سیستم های پیچیده تصادفی است.

نمونه هایی از CMOها (به جدول 30.1 مراجعه کنید) عبارتند از: مسیر اتوبوس و حمل و نقل مسافر. نوار نقاله تولید برای پردازش قطعات؛ اسکادران هواپیما در حال پرواز به خاک خارجی که توسط اسلحه های ضد هوایی دفاع هوایی "خدمت" می شود. لوله و بوق مسلسل که به کارتریج ها "خدمت" می کند. بارهای الکتریکی در حال حرکت در برخی از دستگاه ها و غیره

جدول 30.1. نمونه هایی از سیستم های نوبت دهی

برنامه های کاربردی کانال ها مسیر اتوبوس و حمل و نقل مسافر مسافران اتوبوس ها نوار نقاله تولیدی برای پردازش قطعات قطعات، اجزاء ماشین آلات، انبارها اسکادران هواپیما در حال پرواز به خاک خارجی، که توسط توپ های ضد هوایی پدافند هوایی "خدمت" می شود. هواپیما ضدهوایی، رادار، پیکان، گلوله لوله و بوق مسلسل که به کارتریج ها "خدمت" می کند بشکه، شاخ بارهای الکتریکی در برخی از دستگاه ها حرکت می کنند آبشار دستگاه های فنی

اما همه این سیستم ها در یک کلاس QS ترکیب می شوند، زیرا رویکرد مطالعه آنها یکسان است. این شامل این واقعیت است که ابتدا با کمک یک مولد اعداد تصادفی، اعداد تصادفی ترسیم می شوند که لحظات تصادفی ظاهر سفارشات و زمان سرویس دهی آنها را در کانال ها شبیه سازی می کنند. اما با هم، این اعداد تصادفی، البته، فرعی هستند آماریالگوها

مثلاً بگوییم: «به‌طور متوسط ​​درخواست‌ها در ساعت 5 عدد می‌رسد». این بدان معنی است که زمان بین رسیدن دو درخواست همسایه تصادفی است، به عنوان مثال: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 30.1 ، اما در مجموع آنها میانگین 1 را می دهند (توجه داشته باشید که در مثال این دقیقاً 1 نیست، بلکه 1.1 است - اما در یک ساعت دیگر این مجموع مثلاً می تواند برابر با 0.9 باشد). اما تنها برای مدت طولانیمیانگین این اعداد نزدیک به یک ساعت خواهد شد.

نتیجه (به عنوان مثال، توان عملیاتی سیستم)، البته، همچنین یک متغیر تصادفی در فواصل زمانی فردی خواهد بود. اما با اندازه گیری در یک دوره زمانی طولانی، این مقدار به طور متوسط ​​با راه حل دقیق مطابقت دارد. به این معنا که برای توصیف QS، آنها به پاسخ هایی در مفهوم آماری علاقه مند هستند.

بنابراین، سیستم با سیگنال‌های ورودی تصادفی، مشروط به قانون آماری معین، آزمایش می‌شود و نتیجه، میانگین شاخص‌های آماری در طول زمان بررسی یا بیش از تعداد آزمایش است. قبلا، در سخنرانی 21(سانتی متر. برنج. 21.1ما قبلاً طرحی برای چنین آزمایش آماری ایجاد کرده ایم (شکل 30.2 را ببینید).

ثانیاً، تمام مدل های QS به روش استاندارد از مجموعه کوچکی از عناصر (کانال، منبع درخواست ها، صف، درخواست، نظم خدمات، پشته، حلقه و غیره) مونتاژ می شوند که به شما امکان می دهد این وظایف را شبیه سازی کنید. معمولمسیر. برای انجام این کار، یک مدل سیستم از سازنده چنین عناصری مونتاژ می شود. مهم نیست که چه سیستم خاصی در حال مطالعه است، مهم این است که نمودار سیستم از همان عناصر مونتاژ شود. البته ساختار مدار همیشه متفاوت خواهد بود.

اجازه دهید برخی از مفاهیم اساسی QS را فهرست کنیم.

کانال ها چیزی هستند که در خدمت هستند. گرم (آنها از لحظه ورود درخواست به کانال شروع به سرویس دهی می کنند) و سرد (کانال قبل از شروع سرویس به زمان نیاز دارد تا آماده شود). منابع سفارش - طبق قانون آماری مشخص شده توسط کاربر، سفارش ها را در زمان های تصادفی ایجاد کنید. برنامه‌ها که به عنوان کلاینت‌ها نیز شناخته می‌شوند، وارد سیستم می‌شوند (تولید شده توسط منابع برنامه)، از عناصر آن عبور می‌کنند (خدمات می‌شوند)، و آن را بدون سرویس یا ناراضی رها می‌کنند. برنامه های بی حوصله ای وجود دارد - کسانی که از انتظار یا حضور در سیستم خسته شده اند و به میل خود CMO را ترک می کنند. برنامه‌ها جریان‌ها را تشکیل می‌دهند - جریانی از برنامه‌ها در ورودی سیستم، جریانی از برنامه‌های کاربردی سرویس‌دهی شده، جریانی از برنامه‌های رد شده. یک جریان با تعداد کاربردهای یک نوع خاص مشاهده شده در یک مکان خاص از QS در واحد زمان (ساعت، روز، ماه) مشخص می شود، یعنی جریان یک کمیت آماری است.

صف ها با قوانین صف بندی (انضباط خدمات)، تعداد مکان های موجود در صف (حداکثر تعداد مشتریانی که می توانند در صف باشند) و ساختار صف (رابطه بین مکان ها در صف) مشخص می شوند. صف های محدود و نامحدود وجود دارد. اجازه دهید مهم ترین رشته های تعمیر و نگهداری را فهرست کنیم. FIFO (First In, First Out - first in, first out): اگر درخواست اولین نفری باشد که به صف می رسد، اولین نفری است که برای سرویس می رود. LIFO (آخرین ورود، اولین خروج - آخرین ورود، اولین خروج): اگر درخواست آخرین موردی بود که به صف رسید، اولین کسی است که برای سرویس می رود (مثال - کارتریج در بوق مسلسل). SF (کوتاه به جلو): آن دسته از درخواست‌های صف که زمان سرویس کوتاه‌تری دارند ابتدا سرویس می‌شوند.

اجازه دهید مثال قابل توجهی ارائه دهیم که نشان می دهد چگونه انتخاب صحیح یک یا آن رشته خدماتی به شما امکان می دهد تا در زمان صرفه جویی قابل توجهی کنید.

بگذارید دو فروشگاه وجود داشته باشد. در فروشگاه شماره 1، خدمات بر اساس اولویت انجام می شود، یعنی نظم و انضباط خدمات FIFO در اینجا اجرا می شود (شکل 30.3 را ببینید).

زمان سرویس تیسرویس در شکل 30.3 نشان می دهد که فروشنده چقدر زمان صرف خدمات رسانی به یک خریدار می کند. واضح است که هنگام خرید یک محصول قطعه، فروشنده زمان کمتری را برای خدمات صرف می کند تا زمانی که مثلاً محصولات فله ای را خریداری می کند که نیاز به دستکاری های اضافی (انتخاب، توزین، محاسبه قیمت و غیره) دارد. زمان انتظار تیانتظار می رود نشان می دهد که چه مدت طول می کشد تا خریدار بعدی توسط فروشنده ارائه شود.

در فروشگاه شماره 2، نظم SF اجرا می شود (شکل 30.4 را ببینید)، به این معنی که کالاهای قطعه را می توان خارج از نوبت، از زمان سرویس، خریداری کرد. تیسرویس چنین خریدی کوچک است.

همانطور که از هر دو شکل مشاهده می شود، آخرین خریدار (پنجمین) قصد خرید یک محصول را دارد، بنابراین زمان سرویس او کوتاه است - 0.5 دقیقه. اگر این مشتری به فروشگاه شماره 1 بیاید، مجبور می شود 8 دقیقه کامل در صف بایستد، در حالی که در فروشگاه شماره 2 بلافاصله و خارج از صف به او سرویس داده می شود. بنابراین، میانگین زمان خدمات برای هر مشتری در فروشگاهی با رشته خدمات FIFO 4 دقیقه و در فروشگاهی با رشته خدمات HF - فقط 2.8 دقیقه خواهد بود. و سود اجتماعی، صرفه جویی در زمان خواهد بود: (1 – 2.8/4) · 100% = 30 درصد! بنابراین، 30٪ از زمان برای جامعه صرفه جویی می شود - و این تنها به دلیل انتخاب صحیح نظم و انضباط خدمات است.

متخصص سیستم ها باید درک کاملی از عملکرد و منابع بهره وری سیستم هایی که طراحی می کند و در بهینه سازی پارامترها، ساختارها و رشته های تعمیر و نگهداری پنهان هستند، داشته باشد. مدل سازی به شناسایی این ذخایر پنهان کمک می کند.

هنگام تجزیه و تحلیل نتایج مدلسازی، نشان دادن علایق و میزان تحقق آنها نیز مهم است. بین منافع مشتری و منافع مالک سیستم تمایز قائل می شود. توجه داشته باشید که این علایق همیشه با هم منطبق نیستند.

عملکرد QS را می توان با شاخص ها قضاوت کرد. محبوب ترین آنها:

احتمال خدمات مشتری توسط سیستم؛

توان عملیاتی سیستم؛

احتمال محرومیت مشتری از خدمات؛

احتمال استخدام هر کانال و همه آنها با هم.

میانگین زمان شلوغی هر کانال؛

احتمال اشغال تمام کانال ها؛

میانگین تعداد کانال های شلوغ؛

احتمال خرابی برای هر کانال؛

احتمال خرابی کل سیستم؛

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف؛

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف.

میانگین زمان برای سرویس دهی به یک برنامه؛

میانگین زمان باقی ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم

کیفیت سیستم حاصل را باید با مجموع مقادیر شاخص قضاوت کرد. هنگام تجزیه و تحلیل نتایج مدلسازی (شاخص ها)، توجه به منافع مشتری و منافع مالک سیستم نیز مهم است، یعنی یک یا شاخص دیگر باید به حداقل یا حداکثر شود و همچنین میزان اجرای آنها. . توجه داشته باشید که اغلب منافع مشتری و مالک با یکدیگر منطبق نیستند یا همیشه منطبق نیستند. در زیر به نشانگرها اشاره می کنیم اچ = { ساعت 1 , ساعت 2 , …} .

پارامترهای QS می توانند عبارتند از: شدت جریان درخواست ها، شدت جریان خدمات، میانگین زمانی که یک درخواست آماده است تا در صف منتظر سرویس بماند، تعداد کانال های سرویس، نظم و انضباط خدمات و غیره. . پارامترها بر عملکرد سیستم تاثیر می گذارند. پارامترهای زیر را به صورت علامت گذاری می کنیم آر = { r 1 , r 2 , …} .

مثال. پمپ بنزین (پمپ بنزین).

1. بیان مسئله. در شکل شکل 30.5 طرح پمپ بنزین را نشان می دهد. اجازه دهید روش مدل سازی یک QS را با استفاده از مثال آن و طرح تحقیق آن در نظر بگیریم. رانندگانی که از پمپ بنزین در جاده عبور می کنند ممکن است بخواهند وسیله نقلیه خود را پر کنند. همه رانندگان نمی خواهند خدمات دریافت کنند (ماشین خود را با بنزین پر کنید). فرض کنید از کل جریان خودروها، به طور متوسط ​​5 خودرو در ساعت به پمپ بنزین می آیند.

در یک پمپ بنزین دو ستون یکسان وجود دارد که عملکرد آماری هر کدام مشخص است. ستون اول به طور متوسط ​​به 1 ماشین در ساعت خدمات می دهد، ستون دوم به طور متوسط ​​- 3 ماشین در ساعت. صاحب پمپ بنزین مکانی را برای خودروها آسفالت کرده است که در آنجا منتظر سرویس باشند. اگر پمپ ها اشغال شده باشند، ماشین های دیگر می توانند در این مکان منتظر سرویس باشند، اما نه بیشتر از دو در یک زمان. صف را عمومی در نظر خواهیم گرفت. به محض آزاد شدن یکی از ستون ها، اولین ماشین در صف می تواند جای خود را روی ستون بگیرد (در حالی که ماشین دوم به مکان اول صف حرکت می کند). اگر ماشین سومی ظاهر شود و تمام مکان‌ها (دو تا از آنها وجود دارد) در صف اشغال شده باشد، از سرویس دهی منع می‌شود، زیرا ایستادن در جاده ممنوع است (به علائم جاده نزدیک پمپ بنزین مراجعه کنید). چنین خودرویی برای همیشه از سیستم خارج می شود و به عنوان مشتری بالقوه برای صاحب پمپ بنزین گم می شود. شما می توانید با در نظر گرفتن صندوق نقدی (یک کانال خدماتی دیگر، جایی که باید پس از سرویس در یکی از ستون ها دریافت کنید) و صف به آن و غیره کار را پیچیده کنید. اما در ساده ترین نسخه، بدیهی است که مسیرهای جریان برنامه ها از طریق QS را می توان در قالب یک نمودار معادل ترسیم کرد و با افزودن مقادیر و تعیین ویژگی های هر یک از عناصر QS، در نهایت نمودار نشان داده شده در شکل را بدست آورید. 30.6.

2. روش تحقیق SMO. در مثال ما، اصل ارسال متوالی سفارشات را اعمال خواهیم کرد (برای جزئیات بیشتر در مورد اصول مدل سازی، نگاه کنید به سخنرانی 32). ایده آن این است که یک برنامه از ورود تا خروج از کل سیستم عبور می کند و تنها پس از آن برنامه بعدی مدل می شود.

برای وضوح، بیایید یک نمودار زمانی از عملیات QS بسازیم که بر روی هر خط (محور زمانی) منعکس شود. تی) وضعیت یک عنصر منفرد از سیستم. به تعداد مکان های مختلف در QS و جریان ها، خطوط زمانی وجود دارد. در مثال ما، 7 مورد از آنها وجود دارد (یک جریان درخواست، یک رشته انتظار در وهله اول در صف، یک رشته انتظار در مکان دوم در صف، یک جریان خدمات در کانال 1، یک جریان خدمات در کانال 2 ، یک جریان از درخواست های ارائه شده توسط سیستم، یک جریان از درخواست های رد شده).

برای تولید زمان رسیدن درخواست‌ها، از فرمول محاسبه فاصله بین زمان‌های رسیدن دو رویداد تصادفی استفاده می‌کنیم (نگاه کنید به. سخنرانی 28):

در این فرمول مقدار جریان λ باید مشخص شود (قبل از این باید به صورت آزمایشی در تاسیسات به عنوان میانگین آماری تعیین شود) r- عدد توزیع شده تصادفی یکنواخت از 0 تا 1 از RNG یا جداول، که در آن اعداد تصادفی باید در یک ردیف (بدون انتخاب خاص) گرفته شوند.

وظیفه. جریانی از 10 رویداد تصادفی با نرخ رویداد 5 عدد در ساعت ایجاد کنید.

راه حل مشکل. بیایید اعداد تصادفی را به طور یکنواخت در محدوده 0 تا 1 توزیع کنیم (نگاه کنید به. جدول، و لگاریتم طبیعی آنها را محاسبه کنید (جدول 30.2 را ببینید).

جدول 30.2. قطعه ای از جدول اعداد تصادفی و لگاریتم آنها

r pp ln(r pp )

فرمول جریان پواسون فاصله بین دو رویداد تصادفی را به صورت زیر تعیین می کند: تی= –Ln(r рр)/ λ . سپس، با توجه به آن λ = 5، ما بین دو رویداد همسایه تصادفی فاصله داریم: 0.68، 0.21، 0.31، 0.12 ساعت. یعنی حوادث رخ می دهد: اول - در لحظه زمان تی= 0، دوم - در لحظه زمان تی= 0.68، سوم - در لحظه زمان تی= 0.89، چهارم - در لحظه زمان تی= 1.20، پنجم - در لحظه زمان تی= 1.32 و غیره. رویدادها - ورود سفارشات در خط اول منعکس خواهد شد (شکل 30.7 را ببینید).

برنج. 30.7. نمودار زمانی عملیات QS

اولین درخواست گرفته می شود و از آنجایی که در این لحظه کانال ها رایگان هستند، برای سرویس دهی به کانال اول تنظیم می شود. برنامه 1 به خط "1 کانال" منتقل می شود.

زمان سرویس در کانال نیز تصادفی است و با استفاده از فرمول مشابه محاسبه می شود:

که در آن نقش شدت با اندازه جریان سرویس ایفا می شود μ 1 یا μ 2، بسته به اینکه کدام کانال درخواست را ارائه می دهد. ما در نمودار لحظه پایان سرویس را پیدا می کنیم، زمان سرویس ایجاد شده را از لحظه شروع سرویس به تعویق می اندازیم و درخواست را به خط "Served" کاهش می دهیم.

برنامه تمام راه را به CMO رفت. حال با توجه به اصل ارسال ترتیبی سفارش ها، می توان مسیر مرتبه دوم را نیز شبیه سازی کرد.

اگر در نقطه ای مشخص شد که هر دو کانال مشغول هستند، درخواست باید در یک صف قرار گیرد. در شکل 30.7 یک درخواست با شماره 3 است. توجه داشته باشید که با توجه به شرایط مشکل، بر خلاف کانال ها، درخواست ها برای یک زمان تصادفی در صف قرار نمی گیرند، بلکه منتظر رایگان شدن یکی از کانال ها هستند. پس از انتشار کانال، درخواست به خط کانال مربوطه افزایش یافته و سرویس دهی آن در آنجا سازماندهی می شود.

اگر تمام مکان های صف در زمان ورود برنامه بعدی اشغال شده باشد، برنامه باید به خط "رد شده" ارسال شود. در شکل 30.7 برنامه شماره 6 است.

روند شبیه سازی سرویس برنامه کاربردی برای مدتی مشاهده ادامه می یابد. تی n هر چه این زمان طولانی تر باشد، نتایج شبیه سازی در آینده دقیق تر خواهد بود. در واقع، آنها برای سیستم های ساده انتخاب می کنند تی n، برابر با 50-100 ساعت یا بیشتر است، اگرچه گاهی اوقات بهتر است این مقدار با تعداد برنامه های بررسی شده اندازه گیری شود.

تحقیق تحلیلی سیستم‌های صف (QS) رویکردی جایگزین برای مدل‌سازی شبیه‌سازی است و شامل به دست آوردن فرمول‌هایی برای محاسبه پارامترهای خروجی QS و سپس جایگزینی مقادیر آرگومان‌ها به این فرمول‌ها در هر آزمایش جداگانه است.

مدل های QS اشیاء زیر را در نظر می گیرند:

1) درخواست خدمات (معاملات)؛

2) دستگاه های خدماتی (OA) یا دستگاه ها.

وظیفه عملی تئوری صف با مطالعه عملیات توسط این اشیا همراه است و از عناصر فردی تشکیل شده است که تحت تأثیر عوامل تصادفی قرار می گیرند.

نمونه هایی از مشکلات در نظر گرفته شده در تئوری صف عبارتند از: تطبیق ظرفیت منبع پیام با کانال انتقال داده، تجزیه و تحلیل جریان بهینه حمل و نقل شهری، محاسبه ظرفیت اتاق انتظار برای مسافران در فرودگاه و غیره.

یک درخواست می تواند در حالت سرویس یا در حالت انتظار سرویس باشد.

دستگاه سرویس می تواند مشغول سرویس دهی یا رایگان باشد.

وضعیت QS با مجموعه ای از وضعیت های سرویس دهی و درخواست ها مشخص می شود. تغییر حالت در QS یک رویداد نامیده می شود.

مدل های QS برای مطالعه فرآیندهای رخ داده در سیستم زمانی که جریان درخواست ها به ورودی ها ارسال می شود استفاده می شود. این فرآیندها دنباله ای از رویدادها هستند.

مهمترین پارامترهای خروجی QS

کارایی

پهنای باند

احتمال انکار خدمات

میانگین زمان خدمات؛

ضریب بار تجهیزات (OA).

از کاربردها می توان به سفارشات تولید محصولات، مشکلات حل شده در سیستم کامپیوتری، مشتریان در بانک ها، کالاهای دریافتی برای حمل و نقل و ... اشاره کرد. .

در این راستا، تجزیه و تحلیل عملکرد در سطح سیستم، به عنوان یک قاعده، ماهیت آماری دارد. اتخاذ تئوری صف به عنوان یک دستگاه مدل‌سازی ریاضی و استفاده از سیستم‌های صف به‌عنوان مدل‌هایی از سیستم‌ها در این سطح راحت است.

ساده ترین مدل های QS

در ساده‌ترین حالت، QS دستگاهی است به نام دستگاه سرویس (SA)، با صف‌هایی از درخواست‌ها در ورودی‌ها.

مدل خدمات مشتری (شکل 5.1)

برنج. 5.1. مدل QS با خرابی:

0 – منبع درخواست ها

1 - دستگاه خدمات؛

آ- جریان ورودی درخواست‌های خدمات؛

V- جریان خروجی درخواست های ارائه شده؛

با- جریان خروجی درخواست های پردازش نشده

در این مدل، هیچ انباشت کننده تقاضا در ورودی OA وجود ندارد. اگر در زمانی که OA مشغول سرویس دهی به درخواست قبلی است، درخواستی از منبع 0 وارد شود، آنگاه درخواست تازه وارد شده سیستم را ترک می کند (از آنجایی که سرویس رد شده است) و از بین می رود (جریان). با).

منتخب به نظر می رسد (شکل 5.2)

برنج. 5.2. مدل QS با انتظار

(N- 1) - تعداد برنامه هایی که می توانند در فضای ذخیره سازی قرار بگیرند

در این مدل یک انباشته تقاضا در ورودی OA وجود دارد. اگر در زمانی که OA مشغول سرویس دهی به درخواست قبلی است، درخواستی از منبع 0 برسد، آنگاه درخواست تازه وارد شده به واحد ذخیره سازی ختم می شود، جایی که برای مدت نامحدودی منتظر می ماند تا OA رایگان شود.

مدل سرویس با زمان محدود

o w i d a n i a (شکل 5.3)

برنج. 5.4. مدل QS چند کاناله با خرابی:

n- تعداد دستگاه های خدماتی یکسان (دستگاه ها)

در این مدل یک OA وجود ندارد، بلکه چندین OA وجود دارد. برنامه‌ها، مگر اینکه به طور مشخص ذکر شده باشد، ممکن است به هر OA بدون خدمات ارسال شوند. هیچ دستگاه ذخیره سازی وجود ندارد، بنابراین این مدل شامل ویژگی های مدل نشان داده شده در شکل 1 است. 5.1: امتناع از ارائه خدمات به برنامه به معنای از دست دادن غیرقابل جبران آن است (این فقط در صورتی رخ می دهد که در زمان ورود این برنامه، همه OA مشغول هستند).

زمان انتظار (شکل 5.5)

برنج. 5.6. مدل چند کاناله SMO با انتظار و بازیابی OA:

ه- دستگاه های خدماتی که از کار افتاده اند.

f- تجهیزات سرویس تعمیر شده

این مدل ویژگی های مدل های ارائه شده در شکل 1 را دارد. 5.2 و 5.4، و علاوه بر این ویژگی هایی که امکان در نظر گرفتن خرابی های تصادفی احتمالی OA را فراهم می کند، که در این مورد به واحد تعمیر 2 می رسد، جایی که آنها برای دوره های زمانی تصادفی صرف شده برای ترمیم خود باقی می مانند و سپس برمی گردند. دوباره به واحد خدمات 1.

مدل چند کانالی SMO با محدود

زمان انتظار و بهبود OA (شکل 5.7)

برنج. 5.7. مدل QS چند کاناله با تأخیر محدود و بازیابی OA

این مدل بسیار پیچیده است، زیرا به طور همزمان ویژگی های دو مدل نه چندان ساده را در نظر می گیرد (شکل 5.5 و 5.6).

ارسال کار خوب خود در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

نوشته شده در http://allbest.ru

معرفی

فصل 1. بخش نظری

1.1 سیستم های صف با خرابی

1.2 مدل سازی سیستم های صف

1.3 ساده ترین QS با خرابی

1.4 QS تک کاناله با خرابی

1.5 QS چند کاناله با خرابی

1.6 QS تک کاناله با طول صف محدود

1.7 QS تک کاناله با صف نامحدود

1.8 QS چند کاناله با طول صف محدود

1.9 QS چند کاناله با صف نامحدود

1.10 الگوریتم مدل سازی QS

فصل 2. بخش عملی

فصل 3. قوانین ایمنی

نتیجه

فهرست منابع استفاده شده

معرفی

اخیراً در زمینه های مختلف عملی، نیاز به حل مسائل احتمالی مختلف مربوط به عملکرد سیستم های به اصطلاح صف (QS) بوجود آمده است.

نمونه هایی از این سیستم ها عبارتند از: سانترال تلفن، تعمیرگاه، فروش بلیط، ایستگاه تاکسی، آرایشگاه و غیره.

موضوع این پروژه درسی دقیقاً راه حل چنین مشکلی است.

با این حال، در مسئله پیشنهادی، یک QS مورد مطالعه قرار خواهد گرفت که در آن 2 جریان درخواست در نظر گرفته شده است که یکی از آنها دارای اولویت است.

همچنین، فرآیندهای مورد بررسی غیرمارکوویی هستند، زیرا عامل زمان مهم است.

بنابراین، راه حل این مشکل بر اساس توصیف تحلیلی سیستم نیست، بلکه بر اساس مدل سازی آماری است.

هدف از کار دوره مدل سازی فرآیند تولید بر اساس نمایش تجهیزات اصلی به عنوان یک سیستم صف است.

برای دستیابی به هدف، وظایف زیر تعیین شد: - تجزیه و تحلیل ویژگی های مدیریت فرآیند تولید. - سازماندهی فرآیند تولید را در طول زمان در نظر بگیرید. - ارائه گزینه های اصلی برای کاهش مدت چرخه تولید.

تجزیه و تحلیل روش های مدیریت فرآیند تولید در شرکت را انجام دهید.

ویژگی های مدل سازی فرآیند تولید با استفاده از تئوری QMS را در نظر بگیرید.

ایجاد مدلی از فرآیند تولید و ارزیابی ویژگی های اصلی QS و ارائه چشم اندازهایی برای اجرای نرم افزار بعدی آن.

تحکیم دانش نظری و کسب مهارت در کاربرد عملی آن؛

این گزارش شامل یک مقدمه، سه فصل، یک نتیجه‌گیری، فهرست منابع و ضمائم است.

فصل دوم در مورد مواد نظری سیستم صف بحث می کند. و در سومی مشکل سیستم های صف را محاسبه می کنیم.

فصل 1. بخش نظری

1.1 سیستم های نوبت دهیجشکست ها

سیستم نوبت دهی (QS) هر سیستمی است که برای سرویس دهی به برنامه های کاربردی (نیازمندی) که در زمان های تصادفی به آن می رسند طراحی شده است. هر دستگاهی که مستقیماً در درخواست های سرویس دهی دخالت داشته باشد، کانال سرویس (یا «دستگاه») نامیده می شود. SMO ها می توانند تک کاناله یا چند کاناله باشند.

QS با خرابی و QS با صف وجود دارد. در یک QS با امتناع، برنامه‌ای که در زمانی وارد می‌شود که همه کانال‌ها مشغول هستند، یک رد دریافت می‌کند، QS را ترک می‌کند و متعاقباً در کار آن شرکت نمی‌کند. در یک QS با صف، درخواستی که وقتی همه کانال‌ها مشغول هستند می‌رسد، QS را ترک نمی‌کند، بلکه وارد صف می‌شود و منتظر می‌ماند تا کانالی آزاد شود. تعداد مکان های صف m می تواند محدود یا نامحدود باشد. در m=0، QS با یک صف به یک QS با خرابی تبدیل می شود. صف ممکن است نه تنها در تعداد برنامه های موجود در آن (طول صف)، بلکه در زمان انتظار نیز محدودیت هایی داشته باشد (این QS ها "سیستم هایی با مشتریان بی حوصله" نامیده می شوند).

مطالعه تحلیلی یک QS ساده ترین است اگر تمام جریان رویدادهایی که آن را از حالتی به حالت دیگر منتقل می کنند ساده ترین باشند (پواسون ساکن). این بدان معناست که فواصل زمانی بین رویدادها در جریان ها دارای توزیع نمایی با پارامتری برابر با شدت جریان مربوطه است. برای یک QS، این فرض به این معنی است که هم جریان درخواست و هم جریان سرویس ساده ترین هستند. جریان سرویس به عنوان جریانی از درخواست ها درک می شود که یکی پس از دیگری توسط یک کانال به طور مداوم مشغول ارائه می شود. این جریان تنها در صورتی ساده‌ترین جریان است که زمان سرویس درخواست tobsl یک متغیر تصادفی با توزیع نمایی باشد. پارامتر این توزیع m متقابل میانگین زمان سرویس است:

به جای عبارت "جریان خدمات ساده ترین است"، آنها اغلب می گویند "زمان خدمات نشان دهنده است." هر QS که در آن همه جریان ها ساده ترین باشند، ساده ترین QS نامیده می شود.

اگر همه جریان‌های رویدادها ساده‌ترین باشند، پس فرآیندی که در QS رخ می‌دهد یک فرآیند تصادفی مارکوف با حالت‌های گسسته و زمان پیوسته است. اگر شرایط خاصی برای این فرآیند برآورده شود، یک رژیم ثابت نهایی وجود دارد که در آن هم احتمال حالت ها و هم سایر ویژگی های فرآیند به زمان بستگی ندارد.

مدل‌های QS برای توصیف زیرسیستم‌های جداگانه سیستم‌های محاسباتی مدرن، مانند زیرسیستم پردازنده - حافظه اصلی، کانال ورودی-خروجی و غیره مناسب هستند.

یک سیستم محاسباتی به عنوان یک کل مجموعه ای از زیرسیستم های به هم پیوسته است که برهم کنش آنها ماهیت احتمالی دارد. یک برنامه کاربردی برای حل یک مشکل خاص با ورود به یک سیستم محاسباتی، مراحلی از شمارش، دسترسی به دستگاه های ذخیره سازی خارجی و دستگاه های ورودی-خروجی را طی می کند.

پس از انجام یک توالی مشخص از چنین مراحلی که تعداد و مدت آن بستگی به پیچیدگی برنامه دارد، درخواست سرویس شده در نظر گرفته شده و از سیستم کامپیوتری خارج می شود.

بنابراین، سیستم محاسباتی به عنوان یک کل را می توان با مجموعه ای از QS نشان داد، که هر یک منعکس کننده روند عملکرد یک دستگاه جداگانه یا گروهی از دستگاه های مشابه است که بخشی از سیستم هستند.

وظایف تئوری صف یافتن احتمالات حالت های مختلف QS و همچنین ایجاد رابطه بین پارامترهای داده شده (تعداد کانال n، شدت جریان درخواست ها n، توزیع زمان سرویس و غیره است. .) و ویژگی های عملکرد QS. چنین ویژگی هایی را می توان به عنوان مثال موارد زیر در نظر گرفت:

میانگین تعداد درخواست های A ارائه شده توسط QS در واحد زمان، یا ظرفیت مطلق QS.

احتمال سرویس یک درخواست ورودی Q یا ظرفیت نسبی QS. Q = A/l;

احتمال شکست روتک، یعنی. احتمال عدم رسیدگی به درخواست دریافتی و رد شدن آن؛ Rotk= 1 - Q;

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در QS (خدمات شده یا در صف انتظار)؛

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف.

میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در QS می ماند (در صف یا تحت سرویس)؛

میانگین زمانی که یک برنامه در صف صرف می کند.

میانگین تعداد کانال های شلوغ

به طور کلی همه این ویژگی ها به زمان بستگی دارد. اما بسیاری از سیستم های سلف سرویس برای مدت طولانی تحت شرایط ثابت کار می کنند و بنابراین رژیمی نزدیک به ثابت برای آنها ایجاد می شود.

ما در اینجا هستیم، بدون اینکه هر بار به طور خاص این مورد را ذکر کنیم، احتمالات نهایی حالت ها و ویژگی های نهایی کارایی QS مربوط به حالت ثابت محدود کننده عملکرد آن را محاسبه خواهیم کرد.

یک QS در صورتی باز نامیده می شود که شدت جریان برنامه هایی که به آن می رسند به وضعیت خود QS بستگی نداشته باشد.

برای هر QS باز در حالت ثابت محدود، میانگین زمان ماندن ادعا در سیستم از طریق میانگین تعداد ادعاها در سیستم با استفاده از فرمول لیتل بیان می‌شود:

که در آن l شدت جریان برنامه ها است.

یک فرمول مشابه (که فرمول لیتل نیز نامیده می شود) میانگین زمانی را که یک برنامه در صف می گذراند و میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف را مرتبط می کند:

فرمول های لیتل بسیار مفید هستند زیرا به شما امکان می دهند نه هر دو ویژگی کارایی (متوسط ​​زمان اقامت و تعداد متوسط ​​برنامه ها)، بلکه فقط یکی از آنها را محاسبه کنید.

ما به ویژه تأکید می کنیم که فرمول های (1) و (2) برای هر QS باز (تک کانال، چند کانال، برای هر نوع جریان درخواست و جریان خدمات) معتبر هستند. تنها شرط لازم برای جریان‌ها و خدمات کاربردی این است که ثابت باشند.

به طور مشابه، فرمول بیان‌کننده میانگین تعداد کانال‌های اشغال شده از طریق ظرفیت مطلق A، معنایی جهانی برای QS باز دارد:

شدت جریان خدمات کجاست.

بسیاری از مسائل تئوری صف در مورد ساده ترین QS با استفاده از طرح مرگ و تولید مثل حل می شوند.

احتمالات نهایی حالت ها با فرمول های زیر بیان می شود:

طومار ویژگی های سیستم های صف را می توان به صورت زیر نشان داد:

· میانگین زمان خدمات؛

· میانگین زمان انتظار در صف.

· میانگین زمان اقامت در سرویس بهداشتی.

متوسط ​​طول صف؛

· میانگین تعداد برنامه های کاربردی به CMO.

· تعداد کانال های خدمات.

· شدت جریان ورودی برنامه ها.

· شدت خدمات؛

· شدت بار؛

· ضریب بار؛

· توان نسبی.

· توان عملیاتی مطلق.

· سهم خرابی QS.

· سهم برنامه های کاربردی ارائه شده.

· سهم برنامه های از دست رفته.

· میانگین تعداد کانال های شلوغ.

· میانگین تعداد کانال های رایگان.

· فاکتور بار کانال.

· متوسط ​​زمان از کار افتادن کانال ها.

1 . 2 مدل سازی سیستم های نوبت دهی

انتقال یک QS از یک حالت به حالت دیگر تحت تأثیر رویدادهای بسیار خاص - دریافت برنامه ها و سرویس دهی به آنها اتفاق می افتد. توالی رویدادهایی که یکی پس از دیگری در زمان های تصادفی رخ می دهند، به اصطلاح جریان رویدادها را تشکیل می دهد. نمونه‌هایی از این جریان‌ها در فعالیت‌های تجاری، جریان‌هایی با ماهیت‌های مختلف هستند - کالا، پول، اسناد، حمل‌ونقل، مشتریان، خریداران، تماس‌های تلفنی، مذاکرات. رفتار یک سیستم معمولا نه توسط یک، بلکه توسط چندین جریان از رویدادها تعیین می شود. به عنوان مثال، خدمات مشتری در یک فروشگاه توسط جریان مشتریان و جریان خدمات تعیین می شود. در این جریان‌ها، لحظه‌هایی که مشتریان ظاهر می‌شوند، زمان انتظار در صف و زمان صرف شده برای خدمت به هر مشتری تصادفی است.

در این مورد، ویژگی اصلی جریان ها، توزیع احتمالی زمان بین رویدادهای همسایه است. جریان های مختلفی وجود دارد که در ویژگی های آنها متفاوت است.

در صورتی که رویدادها در فواصل زمانی از پیش تعیین شده و کاملاً تعریف شده از یکدیگر پیروی کنند، به جریانی از رویدادها منظم می گویند. این جریان ایده آل است و در عمل بسیار به ندرت با آن مواجه می شود. بیشتر اوقات جریان های نامنظم وجود دارد که خاصیت منظم بودن را ندارند.

جریانی از رویدادها ثابت نامیده می شود که احتمال سقوط هر تعداد رویداد در یک بازه زمانی فقط به طول این بازه بستگی داشته باشد و به فاصله زمانی این بازه از ابتدای زمان بستگی ندارد. ایستایی یک جریان به این معنی است که ویژگی های احتمالی آن مستقل از زمان است؛ به ویژه، شدت چنین جریانی میانگین تعداد رویدادها در واحد زمان است و مقدار ثابتی باقی می ماند. در عمل، جریان ها را معمولاً می توان تنها در یک دوره زمانی محدود ثابت در نظر گرفت. به طور معمول، جریان مشتریان، به عنوان مثال، در یک فروشگاه، به طور قابل توجهی در طول روز کاری تغییر می کند. با این حال، می توان فواصل زمانی خاصی را شناسایی کرد که در آن جریان می تواند ثابت و دارای شدت ثابت در نظر گرفته شود.

جریانی از رویدادها جریانی بدون پیامد نامیده می شود که تعداد رویدادهایی که در یکی از بازه های زمانی انتخاب شده خودسرانه قرار می گیرند به تعداد رویدادهایی که در بازه دیگری که به طور دلخواه انتخاب شده است بستگی نداشته باشد، مشروط بر اینکه این بازه ها یکدیگر را قطع نکنند، جریانی نامیده می شود. . در یک جریان بدون پیامد، رویدادها در زمان های متوالی مستقل از یکدیگر رخ می دهند. به عنوان مثال، جریان ورود مشتریان به فروشگاه را می توان جریانی بدون عواقب در نظر گرفت زیرا دلایلی که ورود هر یک از آنها را تعیین کرده است، به دلایل مشابه سایر مشتریان مربوط نمی شود.

در صورتی که احتمال وقوع دو یا چند رویداد در یک دوره زمانی بسیار کوتاه در مقایسه با احتمال وقوع تنها یک رویداد ناچیز باشد، جریانی از رویدادها عادی نامیده می شود. در یک جریان معمولی، رویدادها یک بار اتفاق می‌افتند، نه دو یا چند بار. اگر یک جریان به طور همزمان دارای ویژگی های ایستایی، عادی بودن و فقدان پیامد باشد، چنین جریانی را ساده ترین (یا پواسون) جریان رویدادها می نامند. توصیف ریاضی تأثیر چنین جریانی بر سیستم ها ساده ترین است. بنابراین، به طور خاص، ساده ترین جریان نقش ویژه ای در میان سایر جریان های موجود دارد.

اجازه دهید یک بازه زمانی معین t را روی محور زمانی در نظر بگیریم. فرض کنید احتمال سقوط یک رویداد تصادفی در این بازه p است و تعداد کل رویدادهای ممکن n است. در صورت وجود خاصیت جریان عادی رویدادها، احتمال p باید مقدار کافی کوچک باشد. و من باید یک عدد به اندازه کافی بزرگ باشم، زیرا پدیده های توده ای در نظر گرفته می شوند.

تحت این شرایط، برای محاسبه احتمال وقوع تعداد معینی از رویدادهای m در بازه زمانی t، می‌توانید از فرمول پواسون استفاده کنید:

pm، n= am_e-a; (m=0,n)،

که در آن مقدار a = pr میانگین تعداد رویدادهایی است که در یک دوره زمانی t قرار می گیرند که می تواند از طریق شدت جریان رویدادهای X به صورت زیر تعیین شود: a = l f

بعد شدت جریان X میانگین تعداد رویدادها در واحد زمان است. ارتباط زیر بین p و l، p و f وجود دارد:

n= l t; p= f/t

که در آن t کل دوره زمانی است که در طی آن عمل جریان رویدادها در نظر گرفته می شود.

تعیین توزیع فاصله زمانی T بین رویدادها در چنین جریانی ضروری است. از آنجایی که این یک متغیر تصادفی است، بیایید تابع توزیع آن را پیدا کنیم. همانطور که از نظریه احتمال مشخص است، تابع توزیع تجمعی F(t) احتمال این است که مقدار T کمتر از زمان t باشد.

F(t)=P(T

با توجه به شرط، هیچ رویدادی نباید در طول زمان T رخ دهد و حداقل یک رویداد باید در بازه زمانی t ظاهر شود. این احتمال با استفاده از احتمال رویداد مخالف در بازه زمانی (0; t) محاسبه می‌شود، جایی که هیچ رویدادی رخ نداده است. m = 0، سپس

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

برای کوچک؟t، می توان یک فرمول تقریبی را به دست آورد که با جایگزین کردن تابع e-Xt با تنها دو ترم بسط در توان های?t به دست می آید، سپس احتمال وقوع حداقل یک رویداد در یک بازه زمانی کوتاه زمانی است؟

P(T

ما چگالی توزیع فاصله زمانی بین دو رویداد متوالی را با افتراق F(t) نسبت به زمان بدست می آوریم.

f(t)= l e- l t ,t?0

با استفاده از تابع چگالی توزیع به دست آمده، می توانید ویژگی های عددی متغیر تصادفی T را بدست آورید: انتظار ریاضی M (T)، واریانس D (T) و انحراف استاندارد y (T).

M(T)= l??0 t*e-лt*dt=1/ l; D(T)=1/l2; y(T)=1/l.

از اینجا می توانیم نتیجه زیر را بگیریم: میانگین فاصله زمانی T بین هر دو رویداد همسایه در ساده ترین جریان به طور متوسط ​​برابر با 1/l است و انحراف معیار آن نیز برابر با 1/l است، l که در آن، شدت است. از جریان، یعنی میانگین تعداد رویدادهایی که در واحد زمان رخ می دهند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی با چنین ویژگی هایی M(T) = T را نمایی (یا نمایی) می نامند و مقدار l پارامتری از این قانون نمایی است. بنابراین، برای ساده ترین جریان، انتظار ریاضی فاصله زمانی بین رویدادهای همسایه برابر با انحراف معیار آن است. در این مورد، احتمال اینکه تعداد درخواست های دریافت شده برای خدمات در یک دوره زمانی t برابر با k باشد، توسط قانون پواسون تعیین می شود:

Pk(t)=(лt)k/k! *e-l t،

جایی که l شدت جریان درخواست‌ها، میانگین تعداد رویدادها در QS در واحد زمان است، برای مثال [نفر/دقیقه؛ مالش./ساعت؛ چک ها/ساعت؛ سند/روز؛ کیلوگرم در ساعت؛ t./سال].

برای چنین جریانی از درخواست ها، زمان بین دو درخواست همسایه T به صورت نمایی با چگالی احتمال توزیع می شود:

ѓ(t)= l e-l t.

زمان انتظار تصادفی t در صف شروع سرویس نیز می تواند به صورت نمایی توزیع شده در نظر گرفته شود:

? (toch)=V*e-v toch,

که در آن v شدت جریان عبور صف است که توسط میانگین تعداد برنامه‌های ارسال شده برای سرویس در واحد زمان تعیین می‌شود:

v=1/نقطه،

جایی که Toch میانگین زمان انتظار برای سرویس در صف است.

جریان خروجی درخواست‌ها با جریان سرویس در کانال مرتبط است، جایی که نوارهای مدت زمان سرویس نیز یک متغیر تصادفی است و در بسیاری موارد از قانون توزیع نمایی با چگالی احتمال تبعیت می‌کند:

?(t obs)=µ*e µ t obs,

که در آن µ شدت جریان سرویس است، یعنی. میانگین تعداد درخواست های ارائه شده در واحد زمان:

μ=1/ t obs[person/min; مالش./ساعت؛ چک ها/ساعت؛ سند/روز؛ کیلوگرم در ساعت؛ t./year]،

جایی که t obs میانگین زمان برای درخواست های سرویس است.

یکی از ویژگی های مهم QS، ترکیب شاخص های l و μ، شدت بار است: c = l / μ، که درجه هماهنگی جریان های ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند. .

علاوه بر مفهوم ساده ترین جریان رویدادها، اغلب لازم است از مفاهیم جریان های دیگر نیز استفاده شود. به جریانی از رویدادها، جریان پالما گفته می شود که در این جریان، فواصل زمانی بین رویدادهای متوالی T1، T2، ...، Tk ...، Tn متغیرهای تصادفی مستقل، توزیع شده یکسان و تصادفی باشند، اما بر خلاف ساده ترین جریان، آنها هستند. لزوماً بر اساس قانون نمایی توزیع نمی شود. ساده ترین جریان یک مورد خاص از جریان پالم است.

یک مورد خاص مهم از جریان نخل، جریان ارلنگ است.

این جریان با "رقیق کردن" ساده ترین جریان به دست می آید. این "نازک شدن" با انتخاب رویدادها از ساده ترین جریان طبق یک قانون خاص انجام می شود.

به عنوان مثال، با توجه به اینکه فقط هر رویداد دومی را که ساده ترین جریان را تشکیل می دهد در نظر بگیریم، یک جریان Erlang مرتبه دوم به دست می آوریم. اگر فقط هر رویداد سوم را در نظر بگیریم، یک جریان Erlang مرتبه سوم و غیره تشکیل می شود.

امکان به دست آوردن جریان های ارلنگ با هر مرتبه ای وجود دارد. بدیهی است که ساده ترین جریان یک جریان Erlang مرتبه اول است.

هر مطالعه در مورد یک سیستم صف با مطالعه آنچه باید ارائه شود، بنابراین، با مطالعه جریان ورودی برنامه ها و ویژگی های آن آغاز می شود.

از آنجایی که لحظه های زمانی t و فواصل زمانی دریافت درخواست ها f، سپس مدت زمان عملیات سرویس t obs و زمان انتظار در تاچ صف و همچنین طول خط صف متغیرهای تصادفی هستند، بنابراین، ویژگی های وضعیت QS ماهیت احتمالی دارد و برای توصیف آنها باید از روش ها و مدل های تئوری صف استفاده کرد.

مشخصه های ذکر شده در بالا k، f، l، Loch، Toch، v، tobs، μ، p، Pk رایج ترین برای QS هستند، که معمولاً تنها بخشی از تابع هدف هستند، زیرا همچنین باید در نظر گرفته شود. شاخص های فعالیت تجاری

1 . 3 ساده ترین QS با خرابی

یک QS کانال n با خرابی ساده ترین جریان درخواست ها را با شدت n دریافت می کند. زمان سرویس نشان دهنده پارامتر است. وضعیت های QS با توجه به تعداد درخواست های موجود در QS شماره گذاری می شوند (به دلیل عدم وجود صف، همزمان با تعداد کانال های اشغال شده است):

S0 - QS رایگان است.

S1 - یک کانال اشغال شده است، بقیه رایگان هستند.

...;

اس ک- مشغول ککانال ها، بقیه رایگان هستند (1 کn);

…;

اس n- همه مشغول هستند nکانال ها

احتمالات نهایی حالت ها با فرمول ارلنگ بیان می شود:

جایی که s=l/m.

ویژگی های کارایی:

A=(1-p n) Q = 1-p n; Ptk= ص n; =(1-p n).

برای مقادیر بزرگ پاحتمالات حالت (1*) به راحتی از طریق توابع جدول بندی شده محاسبه می شوند:

(توزیع پواسون) و

,

که اولی را می توان از طریق دومی بیان کرد:

با استفاده از این توابع، فرمول های Erlang (1*) را می توان در فرم بازنویسی کرد

.

1.4 QS تک کاناله با خرابی

اجازه دهید یک QS تک کاناله ساده با خرابی سرویس را تجزیه و تحلیل کنیم که یک جریان پواسون از درخواست‌ها را با شدت l دریافت می‌کند و سرویس‌دهی تحت تأثیر جریان پواسون با شدت m رخ می‌دهد.

عملکرد یک QS تک کاناله n=1 را می توان در قالب یک نمودار وضعیت برچسب دار (3.1) نشان داد.

انتقال QS از یک حالت S0 به حالت دیگر S1 تحت تأثیر جریان ورودی درخواست‌ها با شدت l رخ می‌دهد و انتقال معکوس تحت تأثیر جریان سرویس با شدت m رخ می‌دهد.

اجازه دهید سیستم معادلات دیفرانسیل کولموگروف را برای احتمالات حالت طبق قوانین ذکر شده در بالا بنویسیم:

معادله دیفرانسیل را برای تعیین احتمال p0(t) حالت S0 از کجا می گیریم:

این معادله را می توان در شرایط اولیه با این فرض حل کرد که سیستم در لحظه t=0 در حالت S0 بود، سپس p0(0)=1، p1(0)=0.

در این مورد، حل معادله دیفرانسیل به ما امکان می دهد تا احتمال آزاد بودن کانال و مشغول نبودن سرویس را تعیین کنیم:

سپس به راحتی می توان یک عبارت برای احتمال تعیین احتمال اشغال کانال به دست آورد:

احتمال p0(t) در طول زمان و در حد t> کاهش می یابد؟ به ارزش تمایل دارد

و احتمال p1(t) در همان زمان از 0 افزایش می یابد، به سمت حد در t>؟ به اندازه

این محدودیت‌های احتمال را می‌توان مستقیماً از معادلات کولموگروف به دست آورد

توابع р0(t) و р1(t) فرآیند گذرا را در یک QS تک کانالی تعریف می کنند و فرآیند رویکرد نمایی QS به حالت حدی آن را با مشخصه ثابت زمانی سیستم مورد بررسی توصیف می کنند.

با دقت کافی برای تمرین، می توانیم فرض کنیم که فرآیند انتقال در QS در مدت زمانی برابر با 3f به پایان می رسد.

احتمال p0(t) ظرفیت نسبی QS را تعیین می کند، که نسبت برنامه های کاربردی سرویس شده را نسبت به تعداد کل برنامه های ورودی در واحد زمان تعیین می کند.

در واقع، p0(t) احتمالی است که درخواستی که در زمان t می رسد برای سرویس پذیرفته می شود. در مجموع، به طور متوسط ​​l برنامه در واحد زمان وارد می شود و برنامه های lr0 سرویس می شوند.

سپس سهم برنامه های سرویس دهی شده در رابطه با کل جریان برنامه ها با مقدار مشخص می شود

در حد در t>؟ عملاً در حال حاضر در t> 3ph مقدار توان نسبی برابر خواهد بود

توان عملیاتی مطلق، که تعداد درخواست های ارائه شده در واحد زمان را در حد t>? تعیین می کند، برابر است با:

بر این اساس، نسبت درخواست هایی که رد شده اند، تحت شرایط محدود یکسانی است:

و تعداد کل برنامه های ارائه نشده برابر است با

نمونه هایی از QS تک کاناله با رد خدمات عبارتند از: میز سفارش در فروشگاه، اتاق کنترل یک شرکت حمل و نقل موتوری، یک دفتر انبار، یک دفتر مدیریت یک شرکت تجاری که ارتباط با آنها از طریق تلفن برقرار می شود.

1.5 QS چند کاناله با خرابی

در فعالیت های تجاری، نمونه هایی از QS چند کاناله دفاتر شرکت های تجاری با چندین کانال تلفن هستند؛ خدمات کمک رایگان برای در دسترس بودن ارزان ترین خودروها در فروشگاه های خودرو در مسکو دارای 7 شماره تلفن است و همانطور که مشخص است، این است. تماس گرفتن و کمک گرفتن بسیار سخت است.

در نتیجه، فروشگاه های خودرو مشتریان، فرصت افزایش تعداد خودروهای فروخته شده و درآمد فروش، گردش مالی و سود را از دست می دهند.

شرکت های مسافرتی فروش پکیج تور دارای دو، سه، چهار یا چند کانال مانند Express-Line هستند.

اجازه دهید یک QS چند کاناله با خرابی سرویس را در نظر بگیریم که ورودی آن یک جریان پواسون از درخواست‌ها با شدت l دریافت می‌کند.

جریان سرویس در هر کانال دارای شدت m است. بر اساس تعداد درخواست‌های QS، وضعیت‌های Sk آن تعیین می‌شود که در قالب یک نمودار نشان‌دار ارائه می‌شود:

S0 - همه کانال ها رایگان هستند k=0،

S1 - فقط یک کانال اشغال شده است، k=1،

S2 - فقط دو کانال اشغال شده است، k=2،

کانال های Sk - k اشغال شده اند،

Sn - همه n کانال اشغال شده اند، k= n.

حالت های یک QS چند کاناله به طور ناگهانی در زمان های تصادفی تغییر می کند. انتقال از یک حالت، به عنوان مثال S0 به S1، تحت تأثیر جریان ورودی درخواست‌ها با شدت l و بالعکس - تحت تأثیر جریان درخواست‌های سرویس با شدت m رخ می‌دهد.

برای انتقال سیستم از حالت Sk به Sk-1، مهم نیست که کدام کانال آزاد شود، بنابراین جریان رویدادهایی که QS را منتقل می کند دارای شدت کیلومتر است، بنابراین، جریان رویدادهایی که سیستم را از Sn منتقل می کند. به Sn-1 دارای شدت نانومتر است.

اینگونه است که مسئله کلاسیک ارلنگ به نام مهندس و ریاضیدان دانمارکی که نظریه صف بندی را پایه گذاری کرد، فرموله می شود.

فرآیند تصادفی که در QS رخ می دهد یک مورد خاص از فرآیند "تولد-مرگ" است و توسط یک سیستم معادلات دیفرانسیل ارلنگ توصیف می شود که امکان به دست آوردن عباراتی را برای احتمالات محدود کننده وضعیت سیستم مورد نظر فراهم می کند. فرمول های ارلنگ نامیده می شود:

.

با محاسبه تمام احتمالات حالت های یک QS کانال n با خرابی p0, p1, p2, ..., pk,..., pn می توان مشخصات سیستم سرویس را پیدا کرد.

احتمال انکار سرویس با احتمال این که یک درخواست سرویس ورودی تمام n کانال اشغال شده را پیدا کند تعیین می شود، سیستم در حالت Sn خواهد بود:

k=n.

در سیستم های دارای خرابی، خرابی و رویدادهای تعمیر و نگهداری یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، بنابراین:

Rotk+Robs=1

بر این اساس، توان نسبی با فرمول تعیین می شود

Q = Pobs = 1-Rotk = 1-Pn

ظرفیت مطلق QS را می توان با فرمول تعیین کرد

A=l*Robs

احتمال سرویس یا نسبت درخواست های ارائه شده، ظرفیت نسبی QS را تعیین می کند که می تواند با استفاده از فرمول دیگری تعیین شود:

از این عبارت می‌توانید میانگین تعداد درخواست‌های تحت سرویس یا همان چیزی که است، میانگین تعداد کانال‌های اشغال شده توسط سرویس را تعیین کنید.

ضریب اشغال کانال ها بر اساس سرویس با نسبت میانگین تعداد کانال های اشغال شده به تعداد کل آنها تعیین می شود.

احتمال اشغال شدن کانال‌ها توسط سرویس، که میانگین زمان اشغال tbusy و زمان بیکاری کانال‌های tpr را در نظر می‌گیرد، به صورت زیر تعیین می‌شود:

از این عبارت می توانید میانگین زمان توقف کانال ها را تعیین کنید

میانگین زمان ماندن یک درخواست در سیستم در حالت ثابت با فرمول لیتل تعیین می شود

Tsmo= nz/l.

1.6 QS تک کاناله با طول صف محدود

در فعالیت های تجاری، QS با انتظار (صف) بیشتر رایج است.

بیایید یک QS تک کاناله ساده با یک صف محدود را در نظر بگیریم که در آن تعداد مکان‌های صف m یک مقدار ثابت است. در نتیجه، درخواستی دریافت شده در زمانی که تمام مکان‌های صف اشغال شده است، برای سرویس پذیرفته نمی‌شود، به صف نمی‌پیوندد و از سیستم خارج می‌شود.

نمودار این QS در شکل نشان داده شده است. 3.4 و منطبق با نمودار در شکل. 2.1 توصیف فرآیند "تولد-مرگ"، با این تفاوت که در حضور تنها یک کانال.

نمودار برچسب‌گذاری شده از فرآیند "تولد - مرگ" خدمات؛ همه شدت‌های جریان خدمات برابر است.

حالت های QS را می توان به صورت زیر نشان داد:

S0 - کانال سرویس رایگان است،

S، - کانال سرویس مشغول است، اما هیچ صفی وجود ندارد،

S2 - کانال سرویس مشغول است، یک درخواست در صف وجود دارد،

S3 - کانال سرویس مشغول است، دو درخواست در صف وجود دارد،

Sm+1 - کانال سرویس مشغول است، تمام m مکان های صف اشغال شده است، هر درخواست بعدی رد می شود.

برای توصیف فرآیند QS تصادفی، می توانید از قوانین و فرمول های ذکر شده قبلی استفاده کنید. اجازه دهید عباراتی بنویسیم که احتمالات محدود کننده حالت ها را تعیین می کند:

عبارت p0 را می توان در این مورد به روشی ساده تر نوشت، با استفاده از این واقعیت که مخرج دارای یک پیشرفت هندسی نسبت به p است، سپس پس از تبدیل های مناسب به دست می آوریم:

c= (1- با)

این فرمول برای همه p به غیر از 1 معتبر است، اما اگر p = 1، آنگاه p0 = 1/(m + 2)، و همه احتمالات دیگر نیز برابر با 1/(m + 2) هستند.

اگر m = 0 را فرض کنیم، آنگاه از در نظر گرفتن QS تک کاناله با انتظار به QS تک کاناله در نظر گرفته شده با انکار سرویس حرکت می کنیم.

در واقع، عبارت احتمال حاشیه ای p0 در حالت m = 0 به شکل زیر است:

po = m / (l+m)

و در حالت l = m مقدار p0 = 1/2 را دارد.

اجازه دهید ویژگی های اصلی یک QS تک کاناله با انتظار را تعیین کنیم: توان عملیاتی نسبی و مطلق، احتمال خرابی، و همچنین میانگین طول صف و میانگین زمان انتظار برای یک برنامه کاربردی در صف.

درخواستی رد می شود اگر زمانی وارد شود که QS قبلاً در وضعیت Sm+1 باشد و بنابراین، تمام مکان های صف اشغال شده و یک کانال در حال ارائه است.

بنابراین، احتمال شکست با احتمال وقوع تعیین می شود

Sm+1 بیان می کند:

Ptk = pm+1 = сm+1 * p0

توان عملیاتی نسبی یا سهم درخواست‌های ارائه‌شده در واحد زمان، توسط عبارت تعیین می‌شود

Q = 1- rotk = 1- cm+1 * p0

توان عملیاتی مطلق است:

میانگین تعداد برنامه های L در صف خدمات با انتظارات ریاضی متغیر تصادفی k - تعداد برنامه های موجود در صف تعیین می شود.

متغیر تصادفی k فقط مقادیر صحیح زیر را می گیرد:

1 - یک برنامه در صف وجود دارد،

2 - دو برنامه در صف وجود دارد

t-تمام مکان های صف اشغال شده است

احتمالات این مقادیر با احتمالات مربوط به حالت ها تعیین می شود که با حالت S2 شروع می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته k به صورت زیر نشان داده شده است:

جدول 1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته

انتظارات ریاضی از این متغیر تصادفی به صورت زیر است:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

در حالت کلی، برای p 1، این مجموع را می توان با استفاده از مدل های پیشرفت هندسی، به شکل راحت تری تبدیل کرد:

دریاچه = p2 * 1- بعد از ظهر * (m-m*p+1)* p0

در حالت خاصی که p = 1، زمانی که همه احتمالات pk برابر هستند، می توانید از عبارت برای مجموع عبارت های سری عددی استفاده کنید.

1+2+3+ m = متر(متر+1)

سپس فرمول را بدست می آوریم

L"och = m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

با استفاده از استدلال و تبدیل های مشابه، می توان نشان داد که میانگین زمان انتظار برای سرویس دهی به یک درخواست در صف با فرمول های لیتل تعیین می شود.

نقطه = Loch/A (در p? 1) و T1och = L"och/A (در p = 1).

این نتیجه، هنگامی که معلوم می شود که Toc ~ 1/l ممکن است عجیب به نظر برسد: با افزایش شدت جریان برنامه ها، به نظر می رسد طول صف افزایش می یابد و میانگین زمان انتظار کاهش می یابد. با این حال، باید در نظر داشت که اولاً، مقدار Loch تابعی از l و m است و ثانیاً، QS مورد بررسی دارای طول صف محدودی است که بیش از m برنامه نیست.

درخواستی که توسط QS در زمانی که همه کانال ها مشغول هستند دریافت می شود، رد می شود و بنابراین، زمان "انتظار" آن در QS صفر است. این در حالت کلی (برای p? 1) منجر به کاهش Tochromost l می شود، زیرا سهم چنین درخواست هایی با افزایش l افزایش می یابد.

اگر محدودیت در طول صف را رها کنیم، یعنی. مستقیم m--> >?، سپس موارد p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

وقتی k به اندازه کافی بزرگ باشد، احتمال pk به صفر میل می کند. بنابراین، توان نسبی Q = 1 خواهد بود و توان عملیاتی مطلق برابر با A --l Q -- l خواهد بود، بنابراین، تمام درخواست های دریافتی سرویس می شوند و میانگین طول صف برابر با:

دریاچه = پ2 1-p

و میانگین زمان انتظار طبق فرمول لیتل

نقطه = دریاچه / A

در حد p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >؟). بنابراین، احتمالات محدود کننده حالت ها را نمی توان تعیین کرد: برای Q = 1 آنها برابر با صفر هستند. در واقع، QS وظایف خود را انجام نمی دهد، زیرا قادر به سرویس دهی به همه برنامه های ورودی نیست.

تعیین اینکه سهم برنامه های سرویس شده و توان عملیاتی مطلق به ترتیب به طور میانگین c و m هستند دشوار نیست، با این حال، افزایش نامحدود در صف و در نتیجه زمان انتظار در آن، منجر به این واقعیت می شود که پس از مدتی برنامه های زمانی شروع به جمع شدن در صف برای مدت نامحدودی می کنند.

به عنوان یکی از ویژگی های QS، میانگین زمان Tsmo اقامت یک برنامه کاربردی در QS استفاده می شود، از جمله میانگین زمان صرف شده در صف و میانگین زمان سرویس. این مقدار با استفاده از فرمول های لیتل محاسبه می شود: اگر طول صف محدود باشد، میانگین تعداد برنامه های موجود در صف برابر است با:

Lsmo= متر+1 ;2

Tsmo= Lsmo;در p?1

و سپس میانگین زمان ماندن یک درخواست در سیستم نوبت دهی (هم در صف و هم در سرویس) برابر است با:

Tsmo= متر+1 در p ?1 2m

1.7 QS تک کاناله با صف نامحدود

به عنوان مثال، در فعالیت های تجاری، یک مدیر تجاری به عنوان یک CMO تک کانالی با انتظار نامحدود عمل می کند، زیرا او، به عنوان یک قاعده، مجبور است به درخواست های ماهیت های مختلف خدمات ارائه کند: اسناد، مکالمات تلفنی، جلسات و مکالمات با زیردستان، نمایندگان بازرسی مالیاتی، پلیس، کارشناسان کالا، بازاریابان، تامین کنندگان محصولات و حل مشکلات در حوزه کالایی-مالی با مسئولیت مالی بالا که با انجام اجباری درخواست هایی همراه است که گاه بی صبرانه در انتظار تحقق خواسته های خود هستند و خطاهای سرویس نادرست، به عنوان یک قاعده، از نظر اقتصادی بسیار مهم هستند. مدل تعمیر و نگهداری خرابی مارکوف

در عین حال کالاهایی که برای فروش (خدمات) وارد می شوند، در حالی که در انبار هستند، صف خدمات (فروش) را تشکیل می دهند.

طول صف تعداد کالاهایی است که برای فروش در نظر گرفته شده است. در این شرایط، فروشندگان به عنوان کانال خدمات رسانی به کالاها عمل می کنند.

اگر تعداد کالاهای در نظر گرفته شده برای فروش زیاد باشد، در این صورت با یک مورد معمولی QS همراه با انتظار روبرو هستیم.

بیایید ساده ترین QS تک کاناله با انتظار برای سرویس را در نظر بگیریم که یک جریان پواسون از درخواست ها را با شدت l و شدت سرویس دریافت می کند.

علاوه بر این، درخواست دریافت شده در زمانی که کانال مشغول سرویس است در صف قرار می گیرد و در انتظار سرویس است.

نمودار وضعیت برچسب دار چنین سیستمی در شکل نشان داده شده است. 3.5

تعداد حالت های ممکن بی نهایت است:

کانال رایگان است، بدون صف، ;

کانال مشغول سرویس است، صف ندارد، ;

کانال مشغول است، یک درخواست در صف، ;

کانال مشغول است، برنامه در نوبت است.

مدل هایی برای تخمین احتمال حالت های QS با یک صف نامحدود را می توان از فرمول های اختصاص داده شده برای QS با یک صف نامحدود با عبور به حد m>? بدست آورد:

لازم به ذکر است که برای یک QS با طول صف محدود در فرمول

یک پیشرفت هندسی با جمله اول 1 و مخرج وجود دارد.

چنین دنباله ای مجموع بی نهایت عبارت در است.

این مجموع در صورتی همگرا می شود که پیشروی، که بی نهایت در کاهش می یابد، که حالت عملکرد حالت پایدار QS را تعیین می کند، با صف در می تواند در طول زمان تا بی نهایت افزایش یابد.

از آنجایی که در QS در نظر گرفته شده محدودیتی در طول صف وجود ندارد، هر درخواستی را می توان ارائه کرد، بنابراین به ترتیب توان نسبی و توان عملیاتی مطلق

احتمال قرار گرفتن k برنامه در صف به صورت زیر است:

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف -

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم -

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم -

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم -

اگر در QS تک کاناله با انتظار، شدت درخواست های دریافتی بیشتر از شدت سرویس باشد، صف به طور مداوم افزایش می یابد. در این راستا، تجزیه و تحلیل سیستم های QS پایدار که در حالت ثابت در.

1.8 QS چند کاناله با طول صف محدود

بیایید یک QS چند کاناله را در نظر بگیریم که ورودی آن یک جریان پواسون از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند و شدت سرویس هر کانال این است که حداکثر تعداد مکان‌های ممکن در صف با m محدود می‌شود. حالت های گسسته QS با تعداد برنامه های دریافت شده توسط سیستم قابل ثبت تعیین می شود.

همه کانال ها رایگان هستند.

فقط یک کانال (هر کدام) اشغال شده است.

فقط دو کانال (هر کدام) اشغال شده است.

همه کانال ها مشغول هستند

در حالی که QS در هر یک از این حالت ها است، هیچ صفی وجود ندارد. پس از اشغال تمام کانال‌های سرویس، درخواست‌های بعدی یک صف تشکیل می‌دهند و بدین ترتیب وضعیت بعدی سیستم را تعیین می‌کنند:

همه کانال ها مشغول هستند و یک برنامه در صف است،

همه کانال ها مشغول هستند و دو درخواست در صف هستند،

همه کانال ها و همه مکان های صف اشغال شده است،

انتقال QS به حالتی با اعداد زیاد توسط جریان درخواست‌های دریافتی با شدت تعیین می‌شود، در حالی که طبق شرایط، کانال‌های یکسان با شدت جریان سرویس برابر برای هر کانال در سرویس دهی به این درخواست‌ها شرکت می‌کنند. در این حالت، شدت کل جریان سرویس با اتصال کانال های جدید تا حالتی که تمام n کانال مشغول هستند افزایش می یابد. با ظاهر شدن صف، شدت سرویس بیشتر می‌شود، زیرا قبلاً به حداکثر مقدار برابر با آن رسیده است.

اجازه دهید عباراتی را برای احتمالات محدود کننده حالت ها بنویسیم:

عبارت for را می توان با استفاده از فرمول پیشرفت هندسی برای مجموع عبارت ها با مخرج تبدیل کرد:

تشکیل یک صف زمانی امکان پذیر است که یک برنامه جدید دریافت شده حداقل شرایط مورد نیاز را در سیستم پیدا کند، یعنی. زمانی که الزامات در سیستم وجود دارد.

این رویدادها مستقل هستند، بنابراین احتمال اشغال تمام کانال ها برابر است با مجموع احتمالات مربوطه

بنابراین، احتمال تشکیل صف به صورت زیر است:

احتمال انکار سرویس زمانی اتفاق می‌افتد که همه کانال‌ها و همه مکان‌های صف اشغال شده باشند:

توان نسبی برابر خواهد بود با:

توان عملیاتی مطلق -

میانگین تعداد کانال های شلوغ -

میانگین تعداد کانال های بیکار -

ضریب اشغال کانال (استفاده) -

نسبت قطعی کانال -

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف -

اگر این فرمول شکل دیگری به خود بگیرد -

میانگین زمان انتظار در یک صف با فرمول های لیتل تعیین می شود -

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در QS، مانند QS تک کاناله، از میانگین زمان انتظار در صف با میانگین زمان سرویس بیشتر است، که برابر است، زیرا برنامه همیشه تنها توسط یک کانال ارائه می شود:

1.9 QS چند کاناله با صف نامحدود

بیایید یک QS چند کاناله با انتظار و طول صف نامحدود را در نظر بگیریم که جریانی از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند و شدت سرویس هر کانال را دارد.

نمودار وضعیت برچسب گذاری شده در شکل 3.7 نشان داده شده است که دارای تعداد بی نهایت حالت است:

S - همه کانال ها رایگان هستند، k=0;

S - یک کانال اشغال شده است، بقیه آزاد هستند، k=1.

S - دو کانال اشغال شده است، بقیه آزاد هستند، k=2.

S - همه n کانال مشغول هستند، k=n، بدون صف.

S - تمام n کانال اشغال شده است، یک درخواست در صف است، k=n+1،

S - همه n کانال اشغال شده اند، برنامه های r در صف هستند، k=n+r،

ما احتمالات حالت را از فرمول های یک QS چند کاناله با یک صف محدود هنگام عبور به حد m در m بدست می آوریم.

لازم به ذکر است که مجموع پیشرفت هندسی در عبارت p در سطح بار p/n>1 واگرا می شود، صف به طور نامحدود افزایش می یابد و در p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

بدون صف

از آنجایی که در چنین سیستم هایی امکان انکار سرویس وجود ندارد، ویژگی های توان عملیاتی برابر است با:

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف -

میانگین زمان انتظار در صف -

میانگین تعداد درخواست ها برای CMO -

احتمال اینکه QS در حالتی است که هیچ درخواستی وجود ندارد و هیچ کانالی اشغال نشده است با عبارت تعیین می شود.

این احتمال میانگین درصد از کار افتادن کانال سرویس را تعیین می کند. احتمال مشغول بودن به سرویس دهی k درخواست -

بر این اساس، می توان احتمال یا نسبت زمانی را که تمام کانال ها توسط سرویس اشغال شده اند تعیین کرد.

اگر همه کانال‌ها قبلاً با سرویس‌دهی اشغال شده باشند، احتمال وضعیت با عبارت تعیین می‌شود

احتمال قرار گرفتن در صف برابر است با احتمال یافتن تمام کانال هایی که قبلاً با سرویس اشغال شده اند.

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف و خدمات انتظار عبارتند از:

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف طبق فرمول لیتل:

و در سیستم

میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس:

میانگین تعداد کانال های رایگان:

نسبت اشغال کانال سرویس:

توجه به این نکته مهم است که این پارامتر میزان هماهنگی جریان ورودی را مشخص می کند، به عنوان مثال، مشتریان در یک فروشگاه با شدت جریان خدمات. با این حال، اگر میانگین طول صف و میانگین زمان انتظار مشتریان برای شروع خدمات در سیستم افزایش یابد و در نتیجه، سیستم خدمات به طور ناپایدار کار کند، روند خدمات پایدار خواهد بود.

1.10 الگوریتم مدل سازی QS

QS در نظر گرفته شده در مشکل یک QS است با:

سرویس دو کاناله؛

یک جریان ورودی دو کاناله (دارای 2 ورودی که یکی از آنها جریان تصادفی Orders I را دریافت می کند، ورودی دیگر جریانی از Orders II را دریافت می کند).

تعیین زمان دریافت و سرویس درخواست ها:

· زمان دریافت و سرویس درخواست ها به طور تصادفی با قانون توزیع نمایی داده شده ایجاد می شود.

· نرخ دریافت و سرویس دهی به درخواست ها مشخص شده است.

عملکرد QS در نظر گرفته شده:

هر کانال یک درخواست را در یک زمان ارائه می دهد.

اگر در زمان دریافت درخواست جدید حداقل یک کانال رایگان باشد، درخواست دریافتی برای سرویس دریافت می شود.

اگر هیچ برنامه ای وجود نداشته باشد، سیستم بیکار است.

نظم و انضباط خدمات:

اولویت سفارشات I: اگر سیستم مشغول باشد (هر دو کانال سفارشات را ارائه می دهند)، و یکی از کانال ها توسط Order II اشغال شده باشد، Order I از Order II جلوگیری می کند. درخواست II سیستم را بدون سرویس رها می کند.

اگر در زمان رسیدن درخواست II هر دو کانال مشغول باشند، درخواست II سرویس نمی شود.

اگر در زمان رسیدن سفارش من هر دو کانال در حال سرویس دهی به سفارشات I باشند، سفارش دریافتی I سیستم را بدون سرویس رها می کند.

وظیفه مدل سازی: دانستن پارامترهای جریان ورودی درخواست ها، شبیه سازی رفتار سیستم و محاسبه ویژگی های اصلی اثربخشی آن. با تغییر مقدار T از مقادیر کوچکتر به مقادیر بزرگتر (فاصله زمانی که طی آن فرآیند دریافت تصادفی برنامه های 1 و 2 در QS برای سرویس رخ می دهد)، می توانید تغییراتی را در معیار کارایی عملیاتی پیدا کنید. و بهینه را انتخاب کنید.

معیارهای اثربخشی عملکرد QS:

· احتمال شکست؛

· توان عملیاتی نسبی.

· توان عملیاتی مطلق.

اصل مدلسازی:

ما شرایط اولیه را معرفی می کنیم: کل زمان عملکرد سیستم، مقادیر شدت جریان برنامه. تعداد پیاده سازی سیستم؛

ما زمان‌هایی را که درخواست‌ها می‌رسند، ترتیب رسیدن درخواست‌های I، درخواست‌های II، زمان سرویس‌دهی هر درخواست دریافتی را تولید می‌کنیم.

ما شمارش می کنیم که چه تعداد از درخواست ها سرویس شده و چه تعداد رد شده اند.

ما معیار اثربخشی QS را محاسبه می کنیم.

فصل2 . بخش عملی

شکل 1. وابستگی OPSS به زمان

PROGRAM CAN_SMO;

CHANNAL = (رایگان، CLAIM1، CLAIM2)؛

شدت = کلمه;

آمار = کلمه;

CHANNAL1، CHANNAL2: CHANNAL؛ (کانال)

T_, t, tc1, tc2: TIME; (زمان)

l1، l2، n1، n2: INTENSITY؛ (شدت)

served1, not_served1,

خدمت2، not_served2،

S: آمار; (آمار)

M,N:INTEGER;(تعداد پیاده سازی)

تابع W(t: TIME؛ l: INTENSITY): بولی؛ (تعیین می کند که آیا ترتیب ظاهر شده است)

شروع (با شدت جریان l)

اگر تصادفی< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

FUNCTION F(t: TIME؛ n: INTENSITY): TIME؛ (تعیین می کند که برنامه چه مدت پردازش می شود)

شروع (با توجه به شدت درخواست های سرویس n)

F:= t +round(60/(n));

شکل 2. وابستگی OPPS به زمان

WRITELN ("تعداد پیاده سازی های SMO را وارد کنید");

writeln(M، "امین اجرا");

CHANNAL1:= رایگان. CHANNAL2:= رایگان.

l1: = 3; l2:= 1; n1: = 2; n2: = 1;

خدمت شده1:= 0; not_served1:= 0;

خدمت2:= 0; not_served2:= 0;

write("زمان مطالعه SMO را وارد کنید - T: "); readln(_T_);

اگر CHANNAL1 = CLAIM1 سپس inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL1:= رایگان.

writeln("Channel1 درخواست را تکمیل کرد");

اگر CHANNAL2 = CLAIM1 سپس inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL2:= رایگان.

writeln("Channel2 درخواست را تکمیل کرد");

شکل 3. نمودار احتمال خرابی در سیستم نسبت به زمان

writeln("درخواست1 دریافت شد");

اگر CHANNAL1 = رایگان است

شروع CHANNAL1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); writeln("Channel1 درخواست پذیرفته شد1"); پایان

در غیر این صورت اگر CHANNAL2 = رایگان است

شروع CHANNAL2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); writeln ("Channel2 درخواست پذیرفته شد1"); پایان

در غیر این صورت اگر CHANNAL1 = CLAIM2 پس

شروع CHANNAL1:= CLAIM1; tc1:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Channel1 درخواست 1 را به جای request2 پذیرفت"); پایان

در غیر این صورت اگر CHANNAL2 = CLAIM2 پس

شروع CHANNAL2:= CLAIM1; tc2:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Channel2 request1 را به جای request2 پذیرفت"); پایان

else begin inc(not_served1); writeln("درخواست 1 سرویس نشده"); پایان؛

شکل 4. وابستگی تعداد برنامه ها به زمان

writeln("درخواست2 دریافت شد");

اگر CHANNAL1 = رایگان است

شروع CHANNAL1:= CLAIM2; tc1:= F(t,n2); writeln("Channel1 درخواست پذیرفته شد2");end

در غیر این صورت اگر CHANNAL2 = رایگان است

شروع CHANNAL2:= CLAIM2; tc2:= F(t,n2); writeln("Channel2 درخواست پذیرفته شد2");end

else begin inc(not_served2); writeln("درخواست2 سرویس نشده"); پایان؛

S:= خدمت1 + not_served1 + خدمت2 + not_served2;

writeln("زمان عملیات SMO"،_T_);

writeln("served by channel1: " ,served1);

writeln("served by channel2: ",served2);

writeln("درخواست های دریافت شده: ",S);

writeln("درخواست های ارائه شده: ",served1+served2);

writeln("درخواستهای ارائه نشده: ",not_served1+not_served2);

(writeln("شدت درخواست های وارد شده به سیستم: ",(served1+served2)/_T_:2:3);)

writeln("عبور سیستم مطلق: ",(served1+served2)/T:2:3);

writeln("احتمال شکست: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("توان عملیات نسبی سیستم: ",(served1+served2)/S:2:3);

writeln("شبیه سازی به پایان رسید");

جدول 2. نتایج کار QS

ویژگی های عملکرد QS

ساعات کار SMO

درخواست های دریافت شده

برنامه های کاربردی ارائه شده است

هیچ درخواستی ارائه نشد

توان عملیاتی مطلق سیستم

توان عملیاتی نسبی سیستم

فصل 3.مقررات ایمنی

مقررات عمومی

· افرادی که با دستورالعمل های ایمنی و قوانین رفتاری آشنا هستند مجاز به کار در آزمایشگاه کامپیوتر هستند.

· در صورت تخلف از دستورالعمل، دانشجو از کار معلق می شود و تنها با اجازه کتبی استاد مجاز به تحصیل می باشد.

· کار دانشجو در آزمایشگاه کامپیوتر فقط با حضور معلم (مهندس، دستیار آزمایشگاه) مجاز است.

· به یاد داشته باشید که هر دانش آموز مسئول وضعیت محل کار خود و ایمنی وسایل قرار داده شده بر روی آن است.

قبل از شروع کار:

· قبل از شروع کار، مطمئن شوید که آسیب قابل مشاهده ای به تجهیزات و سیم ها وارد نشده است. رایانه ها و دستگاه های جانبی باید در موقعیت ثابتی روی میزها قرار گیرند.

· ورود دانش آموزان به دستگاه ها اکیدا ممنوع است. فقط با اجازه معلم می توانید دستگاه ها را روشن کنید.

هنگام کار در کلاس کامپیوتر ممنوع است:

1. ورود و خروج از کلاس بدون اجازه معلم.

2. سر کلاس دیر بیایید.

3. با کفش های کثیف و خیس، لباس های گرد و خاکی و لباس های بیرونی در فصل سرد وارد کلاس شوید.

4. با دست خیس روی کامپیوتر کار کنید.

5. اجسام خارجی را در محل کار قرار دهید.

6. در حین کار برخیزید، برگردید، با همسایه خود صحبت کنید.

7. تجهیزات را بدون اجازه معلم روشن و خاموش کنید.

8. رویه روشن و خاموش کردن تجهیزات را نقض کنید.

9. وقتی کامپیوتر خاموش است صفحه کلید و ماوس را لمس کنید، اثاثیه و تجهیزات را جابجا کنید.

10. صفحه نمایش، کابل ها، سیم های اتصال، کانکتورها، دوشاخه ها و سوکت ها را لمس کنید.

11. بدون اجازه به محل کار معلم نزدیک شوید

تهدید اصلی برای سلامت انسان هنگام کار با رایانه شخصی، خطر برق گرفتگی است. بنابراین ممنوع است:

1. روی تجهیزاتی که دارای عیوب قابل مشاهده هستند کار کنید. واحد سیستم را باز کنید.

2. کابل ها را وصل یا جدا کنید، کانکتورهای کابل های اتصال، سیم ها و سوکت ها، دستگاه های زمین را لمس کنید.

3. صفحه نمایش و پشت مانیتور و صفحه کلید را لمس کنید.

4. سعی کنید خرابی تجهیزات را خودتان عیب یابی کنید.

5. با لباس های مرطوب و دست های خیس کار کنید

6. الزامات معلم و دستیار آزمایشگاه را برآورده کنید. حفظ سکوت و نظم؛

7. وقتی آنلاین هستید، فقط با نام و رمز عبور خود کار کنید.

8. حالت کار را رعایت کنید (مطابق با قوانین و استانداردهای بهداشتی).

9. شروع و پایان کار فقط با اجازه استاد.

10. در صورت وجود بدتر شدن شدید سلامتی (درد در چشم، بدتر شدن شدید دید، ناتوانی در تمرکز یا تیز شدن نگاه، درد در انگشتان و دست ها، افزایش ضربان قلب) بلافاصله محل کار را ترک کرده، حادثه را به معلم و مشورت با پزشک؛

11. محل کار را تمیز نگه دارید.

12. کار را با اجازه استاد تمام کنید.

13. کار تکمیل شده را تحویل دهید.

14. تمام برنامه های فعال را ترک کنید و کامپیوتر را به درستی خاموش کنید.

15. محل کار را مرتب کنید.

16. افسر وظیفه باید آمادگی دفتر را برای درس بعدی بررسی کند.

هنگام کار با تجهیزات، باید مراقب موارد زیر باشید: - شوک الکتریکی؛

- آسیب های مکانیکی، صدمات

در مواقع اضطراری:

1. اگر جرقه تشخیص داده شد، بوی سوختگی ظاهر شد یا مشکلات دیگری تشخیص داده شد، باید فوراً کار را متوقف کنید و به معلم اطلاع دهید.

2. اگر کسی دچار برق گرفتگی شد، لازم است: کار را متوقف کند و به فاصله ایمن حرکت کند. ولتاژ را خاموش کنید (در تابلوی کابینت)؛ به معلم اطلاع دهید؛ کمک های اولیه را ادامه دهید و با پزشک تماس بگیرید.

3. در صورت آتش سوزی، لازم است: توقف کار و شروع تخلیه; به معلم اطلاع دهید و با آتش نشانی تماس بگیرید (تلفن 01). ولتاژ را خاموش کنید (در تابلوی کابینت)؛ اطفاء حریق را با کپسول آتش نشانی ادامه دهید (اطفای حریق با آب ممنوع است.

اسناد مشابه

نظریه ریاضی صف به عنوان شاخه ای از نظریه فرآیندهای تصادفی. سیستم های نوبت دهی برای درخواست هایی که در فواصل زمانی دریافت می شوند. باز کردن شبکه مارکوف، مورد غیر مارکوف آن، یافتن احتمالات ثابت.

کار دوره، اضافه شده در 09/07/2009


مفهوم سیستم صف، ماهیت و ویژگی های آن. نظریه صف به عنوان یکی از شاخه های نظریه احتمال، موضوعات مورد بررسی است. مفهوم و ویژگی های یک فرآیند تصادفی، انواع و مدل های آن. خدمات انتظار.

کار دوره، اضافه شده 02/15/2009


بهینه سازی کنترل جریان درخواست ها در شبکه های صف. روش‌هایی برای ایجاد وابستگی بین ماهیت نیازمندی‌ها، تعداد کانال‌های خدمات، بهره‌وری و کارایی آنها. نظریه گراف؛ معادله کلموگروف، جریان رویدادها.

تست، اضافه شده در 2015/07/01


تئوری صف رشته ای از ریاضیات کاربردی است که فرآیندهایی را در سیستم های تولیدی که در آن رویدادهای همگن بارها تکرار می شوند، تجزیه و تحلیل می کند. تعیین پارامترهای یک سیستم صف با مشخصه های ثابت.

کار دوره، اضافه شده در 01/08/2009


تعریف فرآیند تصادفی و ویژگی های آن مفاهیم اساسی تئوری صف. مفهوم فرآیند تصادفی مارکوف جریان رویداد. معادلات کولموگروف محدود کردن احتمالات حالت ها فرآیندهای مرگ و تولید مثل.

چکیده، اضافه شده در 1392/01/08


توزیع احتمال ثابت ساخت مدل های ریاضی، نمودارهای انتقال. به دست آوردن یک معادله تعادل برای سیستم های صف با تعداد دستگاه های مختلف، نیازمندی های انواع مختلف و صف های محدود در دستگاه ها.

پایان نامه، اضافه شده 12/23/2012


تجزیه و تحلیل اثربخشی ساده ترین سیستم های صف، محاسبه شاخص های فنی و اقتصادی آنها. مقایسه عملکرد یک سیستم با خرابی با یک سیستم مختلط مربوطه. مزایای انتقال به سیستمی با خواص ترکیبی

کار دوره، اضافه شده در 2012/02/25


ترسیم مدل شبیه سازی و محاسبه شاخص های عملکرد یک سیستم صف بر اساس پارامترهای داده شده. مقایسه شاخص‌های کارایی با شاخص‌های به‌دست‌آمده از حل عددی معادلات کولموگروف برای احتمالات حالت‌های سیستم.

کار دوره، اضافه شده در 12/17/2009


نمونه هایی از فرآیندهای تولید مثل و مرگ در مورد ساده ترین سیستم های صف. انتظارات ریاضی برای یک سیستم صف. جریان اضافی و تعداد بی نهایت دستگاه. سیستمی با محدودیت در مدت زمان برنامه.

کار دوره، اضافه شده در 2014/01/26


برخی مسائل ریاضی در تئوری سرویس دهی به سیستم های پیچیده سازمان تعمیر و نگهداری با اطلاعات محدود در مورد قابلیت اطمینان سیستم. الگوریتم هایی برای عملکرد بدون مشکل سیستم و یافتن زمان برای نگهداری پیشگیرانه برنامه ریزی شده سیستم ها.