گره اعداد همزمان چیست؟ بزرگترین مقسوم علیه مشترک

اعداد طبیعی a و b نامیده می شوند coprime، اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها 1 باشد (gcd(a ; b ) = 1). به عبارت دیگر، اگر اعداد a و b به غیر از 1 مقسوم علیه مشترکی نداشته باشند، آن ها هم اول هستند.

نمونه هایی از جفت اعداد همزمان اول: 2 و 5، 13 و 16، 35 و 88 و ... می توانید چندین عدد همزمان اول را مشخص کنید، مثلا اعداد 7، 9، 16 هم اول هستند.

اغلب اعداد همزمان اول به صورت زیر نشان داده می شوند: (a, b) \u003d 1. به عنوان مثال، (23, 30) \u003d 1. این ورودی، همانطور که بود، مخففی برای تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد است. (GCD (23, 30) \u003d 1)، و می گوید که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها 1 است.

دو عدد طبیعی مجاور همیشه هم اول خواهند بود.به عنوان مثال، 15 و 16 یک جفت اعداد همزمان اول هستند، درست مانند 16 و 17. اگر این قانون را در نظر بگیریم که اگر دو عدد طبیعی a و b بر یک عدد طبیعی یکسان بخش پذیر باشند، به راحتی قابل درک است. 1 ( n > 1 ) ، پس تفاوت آنها نیز باید بر این عدد n بخش پذیر باشد (در اینجا منظور ما این است که a ، b و تفاوت آنها بر یک عدد صحیح تقسیم می شوند ، یعنی مضربی از عدد n هستند). اما اگر a و b دو عدد مجاور باشند (بگذارید a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

همچنین از تعریف اعداد هم اول و اعداد اول برمی آید که اعداد اول مختلف همیشه هم اول هستند. به هر حال، تنها مقسوم علیه هر عدد اول خودش و 1 هستند.

خواص اعداد همزمان اول

• کمترین مضرب مشترک (LCM) یک جفت اعداد هم اول برابر است با حاصلضرب آنها.به عنوان مثال، (3، 8) = 1 (که به معنای نسبتاً اول است)، بنابراین LCM آنها 3 × 8 = 24 است (LCM(3، 8) = 24). در واقع، شما عددی کوچکتر از 24 را پیدا نمی کنید که مضرب هر دو 3 و 8 باشد.
• اگر اعداد a و b هم اول باشند و عدد c مضرب هر دو a و b باشد، این عدد نیز مضربی از حاصلضرب ab خواهد بود. این را می توان به صورت زیر نوشت: اگر c a و c b ، پس c ab. به عنوان مثال، (3، 10) = 1، عدد 60 مضرب هر دو 3 و 10 است، و همچنین مضرب 30 است (3 × 10).
• اگر اعداد a و b هم اول باشند و عدد c مضربی از b (c b ) گرفته شود، حاصلضرب ac نیز مضرب b خواهد بود (ac b). به عنوان مثال، (2، 17) = 1، اجازه دهید c = 34. عدد 34 مضرب b = 17 است، سپس ac = 2 × 34 = 68. بررسی کنید: 68 ÷ 17 = 4، یعنی قابل بخش است، یعنی 68 مضرب 17 است.

معمولاً دارایی های بیشتری از آنچه در اینجا ذکر شده است وجود دارد. علاوه بر این، خواص اعداد نسبتا اول به روش های مختلفی فرمول بندی می شوند. همچنین گاهی اوقات اثبات این ویژگی ها لازم است (در این مورد هیچ دلیلی ارائه نمی شود).

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد هم اول همیشه یک است.

نمونه هایی از گره های اعداد نسبتاً اول.

GCD شماره 11 و 7

اعداد 11 و 7 هم اول و در عین حال اول هستند.

اعداد 11 و 7 غیر از 1 مقسوم علیه مشترک دیگری ندارند.

gcd(11, 7) = 1

GCD شماره 11 و 15

اعداد 11 و 15 نسبتا اول هستند. در این حالت 11 عدد اول و 15 عدد مرکب است.

مقسوم علیه های 11 1 و 11 هستند.

مقسوم علیه های 15 عبارتند از 1، 3، 5، 15.

همانطور که می بینید، تنها عامل مشترک اعداد 11 و 15، عدد 1 است. بنابراین، واحد، GCD اعداد 11 و 15 است:

gcd(11، 15) = 1

GCD شماره 10 و 21

اعداد 10 و 21 نسبتا اول هستند. در این حالت هم عدد 10 و هم عدد 21 ترکیبی هستند.

فاکتورهای 10 عبارتند از 1، 2، 5، 10.

فاکتورهای عدد 21 عبارتند از 1، 3، 7، 21.

همانطور که می بینید، تنها عامل مشترک اعداد 10 و 21 عدد 1 است. بنابراین، واحد، GCD اعداد 10 و 21 است:

gcd(21، 10) = 1

GCD شماره 16 و 23

اعداد 16 و 23 هم اول هستند. در این حالت 23 عدد اول و 16 عدد مرکب است.

وظیفه: GCD و LCM اعداد را به راحت ترین روش پیدا کنید:

الف) 12 و 40؛ ب) 9 و 40; ج) 12 و 72.

5 دقیقه برای کار در نظر گرفته شده است.

بهترین روش برای انجام هر تمرین چیست؟

خرابی اسلاید.

الف) حل آن با روش تجزیه به فاکتورهای اول راحت تر است

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

ب) آیا اعداد 9 و 40 مقسوم علیه مشترک دارند؟ (است، 1.)

به این اعداد چه می گویند؟ ? (Coprime.)

GCD این اعداد چیست؟ ? (gcd(9;40) = 1)

LCM این اعداد چقدر است ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

ج) در مورد اعداد 12 و 72 چه می توان گفت؟ ? (72 تقسیم بر 12) چه قانونی را می دانیم؟ (اگر یک عدد بر دیگری بخش پذیر باشد، GCD = کوچکترین عدد و LCM - بزرگترین)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

داده هایی را که به دست آورده اید با استانداردی که روی میز معلم قرار دارد بررسی کنید.

FO: خود را بر اساس معیارهای نوشته شده در برگه استاندارد ارزیابی کنند. قرار دادن تیک در کنار معیار.

7 کنه - سطح بالا

6-4 کنه - سطح متوسط

1-3 کنه - سطح پایین

فیزمنتکا

سریع بلند شد لبخند زد

بالاتر کشید.

خوب، شانه های خود را صاف کنید

بالا بردن، پایین آوردن

به راست بپیچید، به چپ بپیچید

دست های خود را با زانو لمس کنید.

بنشین، برخیز، بنشین، برخیز

و در محل دویدند.

سوال معلم: ما در حال حاضر از دانش خود در مورد اعداد GCD و LCM کجا استفاده می کنیم؟

هنگام حل مشکلات.

جلوی آنها روی میز معلم "بابونه وظایف" متشکل از 21 گلبرگ قرار دارد.

گلبرگ قرمز - وظایف سطح C.

گلبرگ زرد - وظایف سطح B.

گلبرگ سبز - وظایف سطح A.

	ماشا برای خرس در فروشگاه تخم مرغ خرید. در راه جنگل متوجه شد که تعداد تخم ها بر 2،3،5،10 و 15 بخش پذیر است. ماشا چند تخم مرغ خرید؟
	از 210 دسته گل سرخ 126 گل رز سفید، 294 گل رز قرمز جمع آوری شد و در هر دسته گل تعداد رزهای هم رنگ برابر است. بیشترین تعداد دسته گلی که از این گل رز تهیه می شود چقدر است و از هر رنگ چند گل رز در یک دسته گل وجود دارد؟
	یک ورق مقوا به شکل مستطیل است که طول آن 48 سانتی متر و عرض آن 40 سانتی متر است که این ورق باید بدون ضایعات به مربع های مساوی بریده شود. بزرگترین مربع هایی که می توان از این ورق بدست آورد کدام است و چند عدد؟
	اگر به صورت 12 نفره در یک صف رژه بروند و به یک ستون 18 نفره در یک صف تبدیل شوند، چند سرباز در محل رژه رژه می روند؟
	سه سفر با قایق توریستی در شهر بندری آغاز می شود که اولی 15 روز، دومی 20 و سومی 12 روزه به طول می انجامد. با بازگشت به بندر، کشتی ها در همان روز دوباره به سفر می روند. کشتی های موتوری امروز در هر سه مسیر بندر را ترک کردند. چند روز دیگر برای اولین بار با هم کشتی خواهند گرفت؟هر کشتی چند سفر خواهد داشت؟
	شومینه در اتاق باید با کاشی های تکمیلی به شکل مربع چیده شود. برای یک شومینه 195 ͯ 156 سانتی متری چند کاشی لازم است و بزرگترین اندازه کاشی ها کدامند؟
	گام ولودیا 75 سانتی متر و گام کاتیا 60 سانتی متر است. هر دو در چه فاصله ای حداقل تعداد گام های صحیح را بر می دارند؟
	برای هدایای سال نو، 180 عدد سیب، 90 عدد پرتقال و 900 عدد شیرینی خریدیم. همه بچه ها هدایای یکسانی دریافت کردند. بیشترین تعداد هدایای مشابه از این میوه ها و شیرینی ها چقدر است؟
	یک قطعه باغ به ابعاد 54 ͯ 48 متر در اطراف محیط باید حصارکشی شود، برای این کار، ستون های بتنی باید در فواصل منظم قرار داده شوند. چند میله باید برای سایت آورده شود و تیرها حداکثر در چه فاصله ای از یکدیگر قرار می گیرند؟
	یافتن: LCM(360;252).
	برای هدایای سال نو 78 تخته شکلات، 156 عدد شیرینی زنجبیلی، 52 بسته کلوچه، 104 عدد پرتقال و 130 عدد سیب خریداری شد. بیشترین تعداد هدایای یکسانی که می توانید جمع آوری کنید چقدر است؟
	لازم است جعبه ای با ته مربع برای روی هم چیدن جعبه هایی به ابعاد 16 ͯ 20 سانتی متر ساخته شود. کوتاه‌ترین ضلع پایین مربعی باید چه باشد تا جعبه‌ها در داخل جعبه قرار بگیرند؟
	GCD(720216)، LCM(720216) را محاسبه کنید.
	نسبت LCM (308.264) به GCM (308.264) چقدر است؟
	برای چیدمان درخت کریسمس، آجیل، شیرینی و نان زنجبیلی خریدند - در مجموع 760 قطعه. آنها 80 آجیل بیشتر از شیرینی و 120 نان زنجبیلی کمتر از آجیل مصرف کردند. بیشترین تعداد هدایای مشابه برای کودکان که می توان از این استوک تهیه کرد چقدر است؟
	یافتن LCM(84,160,96)،
	ضریب LCM (24، 2004) تقسیم بر GCD اعداد مشابه را پیدا کنید.
	کوچکترین عدد طبیعی را که مضرب 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10 باشد، پیدا کنید.
	GCD (56، 72) را پیدا کنید.
	روی میز کتاب هایی هست که تعدادشان کمتر از 100 عدد است، اگر معلوم باشد در بسته های 3، 4، 5 تایی بسته می شود، چند کتاب است؟
	این فروشگاه کمتر از 600، اما بیش از 500 بشقاب آورد. وقتی شروع به چیدن آنها در ده ها کردند، 3 بشقاب برای رسیدن به تعداد کامل ده ها کافی نبود و وقتی شروع به چیدن آنها در ده ها (هر کدام 12 بشقاب) کردند، سپس 7 بشقاب باقی ماند. چند بشقاب به فروشگاه آوردی؟

FD:تعداد غالب گلبرگ های قرمز نشان دهنده سطح بالایی از جذب، زرد - سطح متوسط ​​جذب و سبز - سطح پایین جذب است.