مادون شرطی و روش ضرایب لاگرانژ. روش ضریب لاگرانژ
نظریه مختصر
روش ضریب های لاگرانژ یک روش کلاسیک برای حل مسائل برنامه ریزی ریاضی (به ویژه محدب) است. متأسفانه، در کاربرد عملی روش، ممکن است مشکلات محاسباتی قابل توجهی رخ دهد که محدوده استفاده از آن را محدود می کند. ما در اینجا روش لاگرانژ را عمدتاً در نظر می گیریم زیرا دستگاهی است که به طور فعال برای توجیه روش های مختلف عددی مدرن که به طور گسترده در عمل استفاده می شوند استفاده می شود. در مورد تابع لاگرانژ و ضریب لاگرانژ، آنها نقش مستقل و بسیار مهمی در تئوری و کاربردهای نه تنها برنامه نویسی ریاضی دارند.
یک مسئله بهینه سازی کلاسیک را در نظر بگیرید:
از جمله محدودیت های این مسئله عدم وجود نابرابری، عدم وجود شرایط برای منفی نبودن متغیرها، گسستگی آنها و توابع و پیوسته و دارای مشتقات جزئی حداقل مرتبه دوم هستند.
رویکرد کلاسیک برای حل مسئله، سیستمی از معادلات (شرایط ضروری) را ارائه می دهد که باید با نقطه ای که تابع را با یک انتها محلی در مجموعه نقاطی که محدودیت ها را برآورده می کند، برآورده شود (برای یک مسئله برنامه ریزی محدب، نقطه یافت شده). در همان زمان نقطه افراطی جهانی خواهد بود).
فرض می کنیم که تابع (1) دارای یک حد فاصل شرطی محلی در نقطه است و رتبه ماتریس برابر است با . سپس شرایط لازم را می توان به صورت زیر نوشت:
تابع لاگرانژ است. ضریب لاگرانژ هستند.
همچنین شرایط کافی وجود دارد که در آن حل سیستم معادلات (3) نقطه منتهی الیه تابع را تعیین می کند. این سوال بر اساس مطالعه علامت دیفرانسیل دوم تابع لاگرانژ حل شده است. با این حال، شرایط کافی عمدتاً مورد توجه نظری است.
شما می توانید روش زیر را برای حل مسئله (1)، (2) با روش ضریب لاگرانژ مشخص کنید:
1) تابع لاگرانژ (4) را بنویسید.
2) مشتقات جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به همه متغیرها پیدا کرده و آنها را معادل سازی کنید.
صفر بنابراین، یک سیستم (3) متشکل از معادلات به دست می آید.سیستم حاصل را حل کنید (اگر معلوم شد که ممکن است!) و بدین ترتیب تمام نقاط ثابت تابع لاگرانژ را بیابید.
3) از نقاط ثابتی که بدون مختصات گرفته شده اند، نقاطی را انتخاب کنید که در آن تابع در حضور محدودیت ها دارای منتهی الیه محلی شرطی باشد (2). این انتخاب برای مثال با استفاده از شرایط کافی برای یک اکستروم موضعی انجام می شود. اگر از شرایط خاص مشکل استفاده شود، اغلب مطالعه ساده می شود.
مثال حل مسئله
وظیفه
این شرکت دو نوع کالا را به مقدار و . تابع هزینه مفید با رابطه تعریف می شود. قیمت این کالاها در بازار به ترتیب برابر و برابر است.
تعیین کنید که حداکثر سود در چه حجمی از تولید به دست می آید و اگر مجموع هزینه ها از آن تجاوز نکند چه مقدار است.
آیا در درک فرآیند راه حل مشکل دارید؟ این سایت دارای خدمات حل مشکلات با روش های بهینه راه حل برای سفارش است
راه حل مشکل
مدل اقتصادی و ریاضی مسئله
تابع سود:
محدودیت هزینه:
ما مدل اقتصادی و ریاضی زیر را دریافت می کنیم:
علاوه بر این، با توجه به معنای تکلیف
روش ضریب لاگرانژ
بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم:
مشتقات جزئی مرتبه 1 را پیدا می کنیم:
ما سیستم معادلات را می سازیم و حل می کنیم:
از آن به بعد
حداکثر سود:
پاسخ
بنابراین تولید واحدها ضروری است. کالاهای نوع 1 و واحدها. کالاهای نوع 2 در این صورت سود حداکثر و 270 خواهد بود.
مثالی از حل مسئله برنامه نویسی محدب درجه دوم با روش گرافیکی آورده شده است.
حل مسئله خطی با روش گرافیکی
یک روش گرافیکی برای حل یک مسئله برنامه ریزی خطی (LPP) با دو متغیر در نظر گرفته شده است. در مثال مسئله، شرح مفصلی از ساخت یک نقشه و یافتن راه حل داده شده است.
مدل مدیریت موجودی ویلسون
در مثال حل مسئله، مدل اصلی مدیریت موجودی (مدل ویلسون) در نظر گرفته شده است. شاخص هایی از مدل مانند اندازه بهینه تعداد سفارش، هزینه های ذخیره سالانه، فاصله بین تحویل و نقطه ثبت سفارش محاسبه می شود.
ماتریس نسبت هزینه مستقیم و ماتریس ورودی- ستانده
در مثال حل مسئله، مدل بین بخشی لئونتیف در نظر گرفته شده است. محاسبه ماتریس ضرایب هزینه های مستقیم مواد، ماتریس "ورودی- ستانده"، ماتریس ضرایب هزینه های غیرمستقیم، بردارهای مصرف نهایی و تولید ناخالص نشان داده شده است.
از جانبماهیت روش لاگرانژ این است که مسئله اکسترمم مشروط را به حل مشکل اکسترمم غیرشرطی تقلیل دهد. یک مدل برنامه ریزی غیر خطی را در نظر بگیرید:
(5.2)
جایی که 
توابع شناخته شده هستند،
آ 
ضرایب داده شده است.
توجه داشته باشید که در این فرمول مسئله، قیود با تساوی داده شده است و هیچ شرطی برای غیر منفی بودن متغیرها وجود ندارد. علاوه بر این، ما فرض می کنیم که توابع 
با اولین مشتقات جزئی خود پیوسته هستند.
اجازه دهید شرایط (5.2) را به گونه ای تبدیل کنیم که قسمت های چپ یا راست تساوی ها شامل شوند صفر:
(5.3)
بیایید تابع لاگرانژ را بسازیم. این شامل تابع هدف (5.1) و سمت راست قیود (5.3) است که به ترتیب با ضرایب گرفته شده است. 
. به همان تعداد ضرایب لاگرانژ وجود خواهد داشت که در مسئله محدودیت وجود دارد.
نقاط منتهی تابع (5.4) نقاط منتهی مسئله اصلی هستند و بالعکس: طرح بهینه مسئله (5.1)-(5.2) نقطه منتهی سراسری تابع لاگرانژ است.
در واقع بگذارید راه حل پیدا شود 
مسئله (5.1)-(5.2)، سپس شرایط (5.3) برآورده می شود. بیایید طرح را جایگزین کنیم 
وارد تابع (5.4) شده و اعتبار برابری (5.5) را تأیید کنید.
بنابراین، برای یافتن طرح بهینه مسئله اصلی، لازم است تابع لاگرانژ برای یک امتداد بررسی شود. این تابع در نقاطی که مشتقات جزئی آن با هم برابر هستند دارای مقادیر شدید است صفر. چنین نقاطی نامیده می شود ثابت
ما مشتقات جزئی تابع (5.4) را تعریف می کنیم.
,
.
پس از تساوی صفرمشتقات ما سیستم را دریافت می کنیم m+nمعادلات با m+nناشناس
,
(5.6)
در حالت کلی، سیستم (5.6)-(5.7) چندین راه حل خواهد داشت که شامل تمام ماکزیمم ها و مینیمم های تابع لاگرانژ می شود. برای برجسته کردن حداکثر یا حداقل جهانی، مقادیر تابع هدف در تمام نقاط یافت شده محاسبه می شود. بزرگترین این مقادیر حداکثر جهانی و کوچکترین آنها حداقل جهانی خواهد بود. در برخی موارد امکان استفاده وجود دارد شرایط کافی برای یک افراط گرایی شدیدتوابع پیوسته (مشکل 5.2 را در زیر ببینید):
اجازه دهید تابع 
پیوسته است و در برخی از همسایگی های نقطه ثابت خود دو برابر قابل تمایز است 
(آنها 
)). سپس:
آ
) اگر 
,
(5.8)
سپس 
حداکثر نقطه دقیق تابع است 
;
ب)
اگر 
,
(5.9)
سپس 
حداقل نقطه دقیق تابع است 
;
جی
) اگر 
,
در این صورت مسئله وجود یک افراط باز باقی می ماند.
علاوه بر این، برخی از راه حل های سیستم (5.6) - (5.7) ممکن است منفی باشد. که با مفهوم اقتصادی متغیرها همخوانی ندارد. در این مورد، امکان جایگزینی مقادیر منفی با صفر باید مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد.
معنای اقتصادی ضرایب لاگرانژ.مقدار ضریب بهینه 
نشان می دهد که ارزش معیار چقدر تغییر خواهد کرد ز
هنگام افزایش یا کاهش منبع jدر هر واحد، از آنجایی که
روش لاگرانژ را می توان زمانی که محدودیت ها نابرابری هستند نیز به کار برد. بنابراین، یافتن حداکثر تابع 
تحت شرایط
,
در چند مرحله انجام می شود:
1. نقاط ثابت تابع هدف را که برای آنها سیستم معادلات را حل می کنند، تعیین کنید
.
2. از نقاط ثابت، مواردی انتخاب می شوند که مختصات آنها شرایط را برآورده کند
3. روش لاگرانژ برای حل مسئله با قیود برابری (5.1)-(5.2) استفاده می شود.
4. نقاط یافت شده در مراحل دوم و سوم برای حداکثر جهانی بررسی می شوند: مقادیر تابع هدف در این نقاط مقایسه می شوند - بزرگترین مقدار مربوط به طرح بهینه است.
وظیفه 5.1اجازه دهید مسئله 1.3 را که در بخش اول در نظر گرفته شده است با روش لاگرانژ حل کنیم. توزیع بهینه منابع آب با یک مدل ریاضی توصیف شده است
.
تابع لاگرانژ را بنویسید
حداکثر نامشروط این تابع را پیدا کنید. برای این کار مشتقات جزئی را محاسبه کرده و آنها را با صفر برابر می کنیم
,
بنابراین، ما یک سیستم معادلات خطی شکل را به دست آورده ایم
حل سیستم معادلات طرح بهینه برای توزیع منابع آب بر روی مناطق آبی است
,
.
مقادیر 
در صدها هزار متر مکعب اندازه گیری می شود. 
- میزان درآمد خالص به ازای هر صد هزار متر مکعب آب آبیاری. بنابراین قیمت نهایی 1 متر مکعب آب آبیاری است 
لانه واحدها
حداکثر درآمد خالص اضافی حاصل از آبیاری خواهد بود
160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=
172391.02 (دانشگاه واحد)
وظیفه 5.2حل مسئله برنامه نویسی غیر خطی
ما محدودیت را به صورت زیر نشان می دهیم:
.
تابع لاگرانژ را بنویسید و مشتقات جزئی آن را تعیین کنید
.
برای تعیین نقاط ثابت تابع لاگرانژ، باید مشتقات جزئی آن را با صفر برابر کرد. در نتیجه یک سیستم معادلات بدست می آوریم
.
از معادله اول به دست می آید
. (5.10)
اصطلاح 
معادله دوم را جایگزین کنید
,
که دو راه حل برای آن وجود دارد 
:
و 
. (5.11)
با جایگزینی این جواب ها در معادله سوم، به دست می آوریم
, 
.
مقادیر ضریب لاگرانژ و مجهول 
محاسبه با عبارات (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
بنابراین، ما دو نقطه افراطی گرفتیم:
; 
.
برای اینکه بفهمیم این نقاط حداکثر هستند یا حداقل، از شرایط کافی برای یک اکسترم شدید (5.8)-(5.9) استفاده می کنیم. پیش بیان برای 
، که از محدودیت مدل ریاضی به دست می آید، تابع هدف را جایگزین می کنیم 
,
. (5.12)
برای بررسی شرایط یک اکسترموم سخت، باید علامت مشتق دوم تابع (5.11) را در نقاط انتهایی که پیدا کردیم تعیین کنیم. 
و 
.
, 
;
.
به این ترتیب، (·) 
حداقل نقطه مشکل اصلی است ( 
)، آ (·) 
- حداکثر امتیاز
طرح بهینه:
, 
,
,
.
امروز در درس یاد خواهیم گرفت که چگونه پیدا کنیم مشروطیا همانطور که به آنها نیز گفته می شود افراط نسبیتوابع چندین متغیر، و، اول از همه، ما، البته، در مورد اکسترم های شرطی صحبت خواهیم کرد توابع دوو سه متغیر، که در اکثریت قریب به اتفاق مسائل موضوعی یافت می شود.
در حال حاضر چه چیزی را باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ علیرغم این واقعیت که این مقاله "در حومه" موضوع است، جذب موفقیت آمیز مطالب چندان طول نخواهد کشید. در این مرحله، شما باید توسط اصلی هدایت شوید سطوح فضا، بتوانید پیدا کنید مشتقات جزئی (حداقل در سطح متوسط)و همانطور که منطق بی رحمانه نشان می دهد، برای درک افراط های بی قید و شرط. اما حتی اگر سطح آموزشی پایینی دارید، برای ترک عجله نکنید - تمام دانش / مهارت های از دست رفته را واقعا می توان "در طول مسیر" و بدون ساعت ها عذاب برداشت.
ابتدا خود مفهوم را تجزیه و تحلیل می کنیم و در عین حال یک تکرار صریح از رایج ترین آنها را انجام می دهیم سطوح. بنابراین، افراط مشروط چیست؟ ... منطق در اینجا کمتر از بی رحمی نیست =) افراط شرطی یک تابع یک افراط به معنای معمول کلمه است که زمانی حاصل می شود که یک شرط (یا شرایط) خاص برآورده شود.
یک "مورب" دلخواه را تصور کنید سطحکه در سیستم دکارتی. هیچ یک نقاط بحرانیاینجا در دید نیست اما این فعلا است. در نظر گرفتن استوانه بیضوی، برای سادگی - یک "لوله" دور بی پایان موازی با محور. بدیهی است که این "لوله" از هواپیمای ما "حک" خواهد شد بیضی، در نتیجه حداکثر در بالا و حداقل در پایین ایجاد می شود. به عبارت دیگر، تابعی که صفحه را تعریف می کند به اکستریم می رسد به شرطکه توسط استوانه دایره ای داده شده عبور کرده است. این "ارائه شده" است! استوانه بیضوی دیگری که از این صفحه عبور می کند تقریباً به طور قطع حداقل و حداکثر متفاوتی را تولید می کند.
اگر خیلی واضح نباشد، می توان موقعیت را به صورت واقع بینانه شبیه سازی کرد (اما به ترتیب معکوس): یک تبر بگیرید، بیرون بروید و قطع کنید ... نه، صلح سبز بعدا شما را نخواهد بخشید - بهتر است لوله فاضلاب را با "سنگ زن" برش دهید =). حداقل مشروط و حداکثر مشروط به این بستگی دارد که در چه ارتفاعی و زیر چه چیزی (غیر افقی)برش در یک زاویه
وقت آن است که محاسبات را در لباس ریاضی قرار دهیم. در نظر گرفتن پارابولوئید بیضوی، که دارای حداقل مطلقدر نقطه . حالا بیایید افراطی را پیدا کنیم به شرط. این سطحبه موازات محور، به این معنی که از پارابولوئید "بریده" می شود سهمی. بالای این سهمی حداقل مشروط خواهد بود. علاوه بر این، هواپیما از مبدا عبور نمی کند، بنابراین، نقطه از تجارت باقی می ماند. عکسی ارسال نکردید؟ بریم سراغ لینک ها! چندین و چند بار دیگر طول خواهد کشید.
سوال: چگونه می توان این افراط مشروط را پیدا کرد؟ ساده ترین راه برای حل آن استفاده از معادله است (که به نام - وضعیتیا معادله اتصال) بیان کنید، برای مثال: - و آن را جایگزین تابع کنید: 
در نتیجه تابعی از یک متغیر به دست می آید که سهمی را تعریف می کند که راس آن با چشمان بسته "محاسبه" می شود. بیایید پیدا کنیم نقاط بحرانی:
- نقطه بحرانی.
بعد، استفاده از آن راحت‌تر است دومین شرایط اکستریم کافی:
به طور خاص:، بنابراین تابع در نقطه به حداقل خود می رسد. می توان آن را به طور مستقیم محاسبه کرد: ، اما ما به روش آکادمیک تری پیش خواهیم رفت. بیایید مختصات "بازی" را پیدا کنیم:
,
بیایید حداقل نقطه شرطی را بنویسیم، مطمئن شوید که واقعاً در هواپیما قرار دارد (معادله محدودیت را برآورده می کند):
و حداقل شرطی تابع را محاسبه کنید:
به شرط ("افزودنی" لازم است!!!).
روش در نظر گرفته شده بدون هیچ تردیدی می تواند در عمل مورد استفاده قرار گیرد، با این حال، دارای معایبی است. اولاً، هندسه مسئله کاملاً واضح نیست و ثانیاً بیان «x» یا «y» از معادله ارتباط اغلب بی‌فایده است. (اگر فرصتی برای بیان چیزی وجود دارد). و اکنون یک روش جهانی برای یافتن اکسترم های شرطی به نام در نظر خواهیم گرفت روش ضریب لاگرانژ:
مثال 1
انتهای شرطی تابع را برای معادله اتصال مشخص شده برای آرگومان ها بیابید.
آیا سطوح را تشخیص می دهید؟ ;-) ...از دیدن چهره های شاد شما خوشحالم =)
به هر حال، از فرمول این مشکل مشخص می شود که چرا شرایط نامیده می شود معادله اتصال- آرگومان های تابع متصلشرط اضافی، یعنی نقاط انتهایی یافت شده لزوماً باید متعلق به یک استوانه دایره ای باشند.
راه حل: در مرحله اول باید معادله محدودیت را به صورت نمایش داده و کامپوزیشن کنید تابع لاگرانژ:
، به اصطلاح ضریب لاگرانژ کجاست.
در مورد ما، و:
الگوریتم برای یافتن اکسترم های شرطی بسیار شبیه به طرح یافتن "معمولی" است. افراط. بیایید پیدا کنیم مشتقات جزئیتوابع لاگرانژ، در حالی که "لامبدا" باید به عنوان یک ثابت در نظر گرفته شود:
بیایید سیستم زیر را ایجاد و حل کنیم: 
توپ به روش استاندارد باز می شود:
از اولین معادله ای که بیان می کنیم 
;
از معادله دومی که بیان می کنیم 
.
در معادله ارتباطات جایگزین کنید و ساده سازی ها را انجام دهید: 
در نتیجه دو نقطه ثابت به دست می آوریم. اگر پس از آن: 
اگر پس از آن: 
به راحتی می توان فهمید که مختصات هر دو نقطه معادله را برآورده می کند 
. افراد دقیق نیز می توانند یک بررسی کامل انجام دهند: برای این کار باید جایگزین کنید 
وارد معادلات اول و دوم سیستم شوید و سپس همین کار را با مجموعه انجام دهید 
. همه چیز باید با هم هماهنگ شود.
اجازه دهید تحقق شرایط اکسترومی کافی برای نقاط ساکن پیدا شده را بررسی کنیم. من سه رویکرد را برای حل این مشکل در نظر خواهم گرفت:
1) راه اول یک توجیه هندسی است.
اجازه دهید مقادیر تابع را در نقاط ثابت محاسبه کنیم:
بعد، عبارتی را با محتوای تقریباً زیر می نویسیم: بخش هواپیما توسط یک استوانه دایره ای یک بیضی است که در بالای آن به حداکثر رسیده است و در پایین - حداقل. بنابراین، یک مقدار بزرگتر حداکثر شرطی و مقدار کوچکتر یک حداقل شرطی است.
در صورت امکان، بهتر است از این روش خاص استفاده کنید - ساده است و معلمان این راه حل را حساب می کنند. (یک مزیت بزرگ این است که شما درک مفهوم هندسی مسئله را نشان دادید). با این حال، همانطور که قبلا ذکر شد، همیشه روشن نیست که چه چیزی با چه چیزی و کجا تلاقی می کند، و سپس یک بررسی تحلیلی به کمک می آید:
2) روش دوم مبتنی بر استفاده از علائم دیفرانسیل درجه دوم است. اگر معلوم شد که در یک نقطه ثابت، تابع در آنجا به حداکثر می رسد، اما اگر - به حداقل می رسد.
بیایید پیدا کنیم مشتقات جزئی مرتبه دوم:
و این دیفرانسیل را ایجاد کنید:
برای ، به این معنی است که تابع در نقطه به حداکثر خود می رسد.
برای، سپس تابع در نقطه به حداقل می رسد 
.
روش در نظر گرفته شده بسیار خوب است، اما این عیب را دارد که در برخی موارد تشخیص علامت دیفرانسیل 2 تقریبا غیرممکن است. (معمولاً این اتفاق می افتد اگر و/یا علائم متفاوتی داشته باشند). و سپس "توپخانه سنگین" به کمک می آید:
3) با توجه به "x" و برای "y" معادله اتصال را متمایز کنید: 
و موارد زیر را انجام دهید متقارن ماتریس:
اگر در یک نقطه ثابت باشد، تابع به آنجا می رسد ( توجه!) حداقل، اگر – سپس حداکثر.
بیایید یک ماتریس برای مقدار و نقطه مربوطه بنویسیم: 
بیایید آن را محاسبه کنیم تعیین کننده:
، بنابراین تابع در نقطه حداکثر دارد.
به طور مشابه برای مقدار و نقطه: 
بنابراین، تابع در نقطه یک حداقل دارد.
پاسخ: به شرط :
پس از تجزیه و تحلیل دقیق مطالب، من به سادگی نمی توانم چند کار معمولی را برای خودآزمایی به شما پیشنهاد دهم:
مثال 2
در صورتی که آرگومان های تابع با معادله به هم مرتبط باشند، حد فاصل شرطی تابع را بیابید
مثال 3
منتهی تابع را تحت شرط پیدا کنید
و دوباره، من قویاً توصیه می کنم ماهیت هندسی کارها را درک کنید، به خصوص برای مثال آخر، که در آن تأیید تحلیلی یک شرط کافی یک هدیه نیست. یادت باشه کدوم خط سفارش 2معادله و چه را تنظیم می کند سطحاین خط در فضا تولید می کند. تجزیه و تحلیل کنید که در کدام منحنی استوانه صفحه را قطع می کند و در کجای این منحنی حداقل و در کجا حداکثر وجود خواهد داشت.
راه حل و پاسخ در پایان درس.
مشکل مورد بررسی به طور گسترده در زمینه های مختلف استفاده می شود، به ویژه - ما در هندسه زیاد نخواهیم رفت. بیایید مشکل مورد علاقه همه در مورد نیم لیتر را حل کنیم (به مثال 7 مقاله مراجعه کنیدوظایف افراطی ) راه دوم:
مثال 4
ابعاد قوطی حلبی استوانه ای چقدر باید باشد تا کمترین مواد برای ساخت قوطی مصرف شود در صورتی که حجم قوطی برابر با
راه حل: شعاع پایه متغیر، ارتفاع متغیر را در نظر بگیرید و تابعی از مساحت سطح کامل قوطی بسازید: 
(مساحت دو پوشش + سطح جانبی)
| نام پارامتر | معنی |
| موضوع مقاله: | روش لاگرانژ |
| روبریک (دسته موضوعی) | ریاضی |
برای یافتن چند جمله ای به معنای تعیین مقادیر ضریب آن است 
. برای انجام این کار، با استفاده از شرط درون یابی، می توانید یک سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) تشکیل دهید.
تعیین کننده این SLAE معمولاً تعیین کننده Vandermonde نامیده می شود. تعیین کننده Vandermonde برابر با صفر نیست وقتی برای . می‌توان گفت که SLAE راه‌حلی دارد و این راه‌حل منحصربه‌فرد است. حل SLAE و تعیین ضرایب مجهول می توان یک چند جمله ای درون یابی ساخت.
یک چند جمله ای که شرایط درون یابی را برآورده می کند، هنگامی که با روش لاگرانژ درون یابی می شود، به عنوان یک ترکیب خطی از چند جمله ای های درجه n ساخته می شود:
چند جمله ای ها نامیده می شوند پایه ایچند جمله ای ها. به چند جمله ای لاگرانژشرایط درون یابی را برآورده می کند، بسیار مهم است که شرایط زیر برای چند جمله ای های اصلی آن برآورده شود:
برای 
.
اگر این شرایط برآورده شود، برای هر کدام از آنها داریم:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، تحقق شرایط داده شده برای چندجمله ای های اساسی به این معنی است که شرایط درونیابی نیز برآورده می شود.
اجازه دهید شکل چندجمله ای های پایه را بر اساس محدودیت های اعمال شده بر آنها تعیین کنیم.
شرط اول:در .
شرط دوم: .
در نهایت برای چند جمله ای پایه می توانیم بنویسیم:
سپس، با جایگزینی عبارت به‌دست‌آمده برای چند جمله‌ای پایه به چند جمله‌ای اصلی، شکل نهایی چند جمله‌ای لاگرانژ را به دست می‌آوریم:
شکل خاصی از چند جمله ای لاگرانژ در معمولاً فرمول درونیابی خطی نامیده می شود:
.
چند جمله ای لاگرانژ معمولاً فرمول درونیابی درجه دوم نامیده می شود:
روش لاگرانژ - مفهوم و انواع طبقه بندی و ویژگی های دسته "روش لاگرانژ." 2017، 2018.
کنترل از راه دور خطی تعریف. کنترل نوع یعنی خطی نسبت به تابع مجهول و مشتق آن خطی نامیده می شود. برای حلی از این نوع، ur-th دو روش را در نظر بگیرید: روش لاگرانژ و روش برنولی.بیایید یک DE همگن را در نظر بگیریم.
تعریف. اگر f-i را بتوان در رابطه با آرگومان های آنها به صورت f-i نشان داد، DU همگن نامیده می شود. F-th را اندازه گیری F-امین همگن می نامند اگر مثالها: 1) - مرتبه اول همگنی. 2) - مرتبه دوم همگنی. 3) - مرتبه صفر همگنی (فقط همگن... .
وظایف افراطی در محاسبات اقتصادی اهمیت زیادی دارند. این محاسبه، به عنوان مثال، حداکثر درآمد، سود، حداقل هزینه، بسته به چندین متغیر است: منابع، دارایی های تولید و غیره. تئوری یافتن اکستروم توابع... .
3. 2. 1. DE با متغیرهای قابل تفکیک S.R. 3. در علوم طبیعی، فناوری و اقتصاد، اغلب باید با فرمول های تجربی سر و کار داشت، یعنی. فرمول های گردآوری شده بر اساس پردازش داده های آماری یا ...
یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را در نظر بگیرید:
(1)
.
سه راه برای حل این معادله وجود دارد:
- روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).
حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را با روش لاگرانژ در نظر بگیرید.
روش تغییرات ثابت (لاگرانژ)
در روش تغییرات ثابت معادله را در دو مرحله حل می کنیم. در مرحله اول، معادله اصلی را ساده کرده و معادله همگن را حل می کنیم. در مرحله دوم، ثابت یکپارچگی به دست آمده در مرحله اول حل را با یک تابع جایگزین می کنیم. سپس به دنبال جواب کلی معادله اصلی می گردیم.
معادله را در نظر بگیرید:
(1)
مرحله 1 حل معادله همگن
ما به دنبال راه حلی برای معادله همگن هستیم:
این یک معادله قابل تفکیک است
متغیرها را جدا کنید - ضرب در dx، تقسیم بر y:
ما ادغام می کنیم:
انتگرال بر روی y - جدولی:
سپس
تقویت کردن:
اجازه دهید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علامت مدول را حذف کنیم که به ضرب در ثابت کاهش می یابد. ± 1، که در C قرار می دهیم:
مرحله 2 ثابت C را با تابع جایگزین کنید
حالا ثابت C را با تابع x جایگزین می کنیم:
c → u (ایکس)
یعنی به دنبال حل معادله اصلی خواهیم بود (1)
مانند:
(2)
مشتق را پیدا می کنیم.
طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده:
.
طبق قانون تمایز محصول:
.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم (1)
:
(1)
;
.
دو عبارت کاهش می یابد:
;
.
ما ادغام می کنیم:
.
جایگزین در (2)
:
.
در نتیجه، جواب کلی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را به دست می آوریم:
.
نمونه ای از حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش لاگرانژ
معادله را حل کنید
راه حل
معادله همگن را حل می کنیم:
جداسازی متغیرها:
بیایید ضرب کنیم:
ما ادغام می کنیم:
انتگرال های جدول:
تقویت کردن:
بیایید ثابت e C را با C جایگزین کنیم و علائم مدول را حذف کنیم:
از اینجا:
بیایید ثابت C را با تابع x جایگزین کنیم:
c → u (ایکس)
مشتق را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی را جایگزین می کنیم:
;
;
یا:
;
.
ما ادغام می کنیم:
;
حل معادله:
.
