معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر

اغلب فقط ذکر است معادلات دیفرانسیلدانش آموزان را ناراحت می کند چرا این اتفاق می افتد؟ بیشتر اوقات ، زیرا هنگام مطالعه اصول اولیه مطالب ، شکافی در دانش ایجاد می شود که به همین دلیل مطالعه بیشتر دیفورها به سادگی به شکنجه تبدیل می شود. هیچ چیز مشخص نیست چه باید کرد، چگونه تصمیم بگیریم از کجا شروع کنیم؟

با این حال، ما سعی خواهیم کرد به شما نشان دهیم که دیفورز آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست.

مفاهیم اساسی تئوری معادلات دیفرانسیل

از مدرسه، ما ساده ترین معادلات را می دانیم که در آنها باید مجهول x را پیدا کنیم. در حقیقت معادلات دیفرانسیلفقط کمی متفاوت از آنها - به جای یک متغیر ایکس آنها باید یک تابع پیدا کنند y(x) ، که معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

D معادلات دیفرانسیلاهمیت عملی زیادی دارند. این ریاضیات انتزاعی نیست که ربطی به دنیای اطراف ما ندارد. با کمک معادلات دیفرانسیل، بسیاری از فرآیندهای طبیعی واقعی توصیف می شوند. به عنوان مثال، ارتعاشات رشته، حرکت یک نوسان ساز هارمونیک، با استفاده از معادلات دیفرانسیل در مسائل مکانیک، سرعت و شتاب یک جسم را پیدا می کند. همچنین DUبه طور گسترده در زیست شناسی، شیمی، اقتصاد و بسیاری از علوم دیگر استفاده می شود.

معادله دیفرانسیل (DU) معادله ای است که مشتقات تابع y(x)، خود تابع، متغیرهای مستقل و سایر پارامترها را در ترکیبات مختلف شامل می شود.

معادلات دیفرانسیل انواع مختلفی دارند: معادلات دیفرانسیل معمولی، خطی و غیرخطی، همگن و غیرهمگن، معادلات دیفرانسیل درجه اول و بالاتر، معادلات دیفرانسیل جزئی و غیره.

حل معادله دیفرانسیل تابعی است که آن را به یک هویت تبدیل می کند. راه حل های کلی و خاص کنترل از راه دور وجود دارد.

راه حل کلی معادله دیفرانسیل مجموعه کلی راه حل هایی است که معادله را به یک هویت تبدیل می کند. یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل، راه حلی است که شرایط اضافی مشخص شده در ابتدا را برآورده کند.

ترتیب یک معادله دیفرانسیل با بالاترین مرتبه مشتقات موجود در آن تعیین می شود.

معادلات دیفرانسیل معمولی

معادلات دیفرانسیل معمولیمعادلات حاوی یک متغیر مستقل هستند.

ساده ترین معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را در نظر بگیرید. به نظر می رسد:

این معادله را می توان با ادغام سمت راست آن حل کرد.

نمونه هایی از این معادلات:

معادلات متغیر قابل تفکیک

به طور کلی، این نوع معادله به صورت زیر است:

در اینجا یک مثال است:

برای حل چنین معادله ای، باید متغیرها را جدا کنید و آن را به شکل زیر بیاورید:

پس از آن، باقی مانده است که هر دو قسمت را یکپارچه کنیم و راه حلی به دست آوریم.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

چنین معادلاتی به شکل زیر است:

در اینجا p(x) و q(x) برخی از توابع متغیر مستقل هستند و y=y(x) تابع مورد نظر است. در اینجا نمونه ای از چنین معادله ای آورده شده است:

برای حل چنین معادله ای، اغلب از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده می کنند یا تابع مورد نظر را به عنوان حاصلضرب دو تابع دیگر y(x)=u(x)v(x) نشان می دهند.

برای حل چنین معادلاتی، آمادگی خاصی لازم است، و گرفتن آنها "از روی هوس" بسیار دشوار خواهد بود.

مثالی از حل DE با متغیرهای قابل تفکیک

بنابراین ما ساده ترین انواع کنترل از راه دور را در نظر گرفته ایم. حال بیایید نگاهی به یکی از آنها بیندازیم. بگذارید معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک باشد.

ابتدا مشتق را به شکلی آشناتر بازنویسی می کنیم:

سپس متغیرها را از هم جدا می کنیم ، یعنی در یک قسمت از معادله همه "بازی ها" را جمع آوری می کنیم و در قسمت دیگر - "xes" را جمع آوری می کنیم:

اکنون باید هر دو بخش را ادغام کنیم:

ما ادغام می کنیم و جواب کلی این معادله را به دست می آوریم:

البته حل معادلات دیفرانسیل نوعی هنر است. شما باید بتوانید درک کنید که یک معادله متعلق به کدام نوع است، و همچنین یاد بگیرید که ببینید باید چه تغییراتی را با آن انجام دهید تا آن را به یک شکل یا شکل دیگر برسانید، نه تنها به توانایی تمایز و یکپارچه سازی اشاره کنیم. و برای موفقیت در حل DE نیاز به تمرین (مانند همه چیز) است. و اگر در حال حاضر وقت ندارید که بفهمید معادلات دیفرانسیل چگونه حل می شوند یا مشکل کوشی مانند استخوانی در گلوی شما بالا آمده است یا نمی دانید، با نویسندگان ما تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی راه حل آماده و دقیقی را در اختیار شما قرار خواهیم داد که جزئیات آن را در هر زمانی که برای شما راحت باشد می توانید درک کنید. در ضمن پیشنهاد می کنیم ویدیویی با موضوع "نحوه حل معادلات دیفرانسیل" تماشا کنید:

تئوری محاسبات معادلات دیفرانسیل ناهمگن(DU) ما در این نشریه نخواهیم داد، از درس های قبلی می توانید اطلاعات کافی برای یافتن پاسخ سوال پیدا کنید چگونه یک معادله دیفرانسیل ناهمگن را حل کنیم؟درجه DE ناهمگن در اینجا نقش مهمی بازی نمی کند، راه های زیادی وجود ندارد که به فرد اجازه دهد راه حل چنین DE را محاسبه کند. برای سهولت در خواندن پاسخ ها در مثال ها، تأکید اصلی فقط بر تکنیک محاسبه و نکاتی است که استخراج تابع نهایی را تسهیل می کند.

مثال 1 حل معادله دیفرانسیل
راه حل: داده شده است معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم،علاوه بر این، فقط مشتق دوم و سوم را شامل می شود و تابع و مشتق اول خود را ندارد. در اینگونه موارد از روش کاهش استفاده کنیدمعادله دیفرانسیل. برای این، یک پارامتر معرفی می شود - مشتق دوم را از طریق پارامتر p نشان می دهیم

پس مشتق سوم تابع است

DE همگن اصلی به شکل ساده می شود

سپس آن را به صورت دیفرانسیل می نویسیم کاهش به یک معادله متغیر جدا شدهو با ادغام راه حل را پیدا کنید

به یاد داشته باشید که پارامتر دومین مشتق تابع است

بنابراین، برای یافتن فرمول خود تابع، وابستگی دیفرانسیل یافت شده را دو بار ادغام می کنیم

در تابع، C 1 , C 2 , C 3 قدیمی برابر با مقادیر دلخواه هستند.
مدار به این صورت است حل کلی معادله دیفرانسیل همگن را با معرفی یک پارامتر پیدا کنید.مسائل زیر دشوارتر هستند و از آنها یاد خواهید گرفت که چگونه معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه سوم را حل کنید. تفاوتی بین DE همگن و غیر همگن از نظر محاسبات وجود دارد، اکنون این را خواهید دید.

مثال 2 پیدا کردن
راه حل: ما مرتبه سوم را داریم. بنابراین، حل آن را باید به صورت مجموع دو راه حل های همگن و خاص معادله ناهمگن جستجو کرد.

اول تصمیم بگیریم

همانطور که می بینید، فقط مشتقات دوم و سوم تابع را شامل می شود و خود تابع را شامل نمی شود. این نوع تفاوت معادلات با روش معرفی یک پارامتر حل می شوند که دربه نوبه خود یافتن جواب معادله را کاهش و ساده می کند. در عمل، به این صورت به نظر می رسد: اجازه دهید مشتق دوم برابر با یک تابع خاص باشد، سپس مشتق سوم به طور رسمی دارای نماد است.

DE همگن در نظر گرفته شده از مرتبه 3 به معادله مرتبه اول تبدیل می شود

از آن جا با تقسیم متغیرها انتگرال را پیدا می کنیم
x*dp-p*dx=0;

ما توصیه می کنیم کسانی را که در چنین مسائلی قرار گرفته اند شماره گذاری کنید ، زیرا حل معادله دیفرانسیل مرتبه 3 دارای 3 ثابت ، چهارم - 4 و بیشتر بر اساس قیاس است. اکنون به پارامتر معرفی شده برمی گردیم: از آنجایی که مشتق دوم دارای شکل است، پس از اینکه وابستگی به مشتق تابع داشته باشیم، آن را ادغام می کنیم.

و با ادغام مکرر پیدا می کنیم نمای کلی یک تابع همگن

حل جزئی معادلهبه صورت یک متغیر ضرب در لگاریتم بنویسید. این از این واقعیت ناشی می شود که قسمت راست (غیر همگن) DE برابر با -1/x است و برای به دست آوردن یک نماد معادل

راه حل را باید در فرم جستجو کرد

ضریب A را پیدا کنید، برای آن مشتقات مرتبه اول و دوم را محاسبه می کنیم

عبارات یافت شده را در معادله دیفرانسیل اصلی جایگزین می کنیم و ضرایب را در توان های یکسان x برابر می کنیم:

فولاد برابر با 1/2- است و دارای فرم است

حل کلی معادله دیفرانسیلبه عنوان مجموع یافت شده بنویسید

که در آن C 1 , C 2 , C 3 ثابت های دلخواه هستند که می توانند از مسئله کوشی پالایش شوند.

مثال 3 انتگرال DE مرتبه سوم را پیدا کنید
راه حل: ما به دنبال یک انتگرال کلی از یک DE غیر همگن مرتبه سوم به شکل مجموع حل یک معادله همگن و جزئی غیر همگن هستیم. ابتدا برای هر نوع معادله ای شروع می کنیم تجزیه و تحلیل معادله دیفرانسیل همگن

فقط مشتقات دوم و سوم تابع ناشناخته را در خود دارد. ما یک تغییر متغیرها (پارامتر) را معرفی می کنیم: مشتق دوم را نشان می دهیم

سپس مشتق سوم است

همان تحولات در کار قبلی انجام شد. این اجازه می دهد یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم را به یک معادله مرتبه اول از فرم کاهش دهید

با ادغام پیدا می کنیم

به یاد بیاورید که با توجه به تغییر متغیرها، این فقط مشتق دوم است

و برای یافتن راه حلی برای معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم باید دو بار ادغام شود

بر اساس نوع سمت راست (قسمت غیر همگن =x+1) حل جزئی معادله در فرم جستجو شده است

چگونه بدانیم به چه شکلی به دنبال جواب جزئی باشیم باید در بخش تئوری درس معادلات دیفرانسیل تدریس می شد. اگر نه، ما فقط می‌توانیم پیشنهاد کنیم که چنین عبارتی چه نوع تابعی را انتخاب می‌کند تا در هنگام جایگزینی در معادله، عبارت حاوی بالاترین مشتق یا جوان‌تر از همان مرتبه (مشابه) با قسمت ناهمگن معادله باشد.

فکر می کنم اکنون برای شما واضح تر شده است که شکل یک راه حل خاص از کجا می آید. ضرایب A، B را پیدا کنید، برای این کار مشتق دوم و سوم تابع را محاسبه می کنیم

و در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید. پس از گروه بندی عبارت های مشابه، معادله خطی را به دست می آوریم

که از آن، برای توان های مساوی متغیر یک سیستم معادلات بسازید

و فولادهای ناشناخته را پیدا کنید. پس از جایگزینی آنها، با وابستگی بیان می شود

حل کلی معادله دیفرانسیلبرابر است با مجموع همگن و جزئی و دارای شکل

که در آن C 1 , C 2 , C 3 ثابت دلخواه هستند.

مثال 4. R معادله دیفرانسیل بخور
راه حل: ما راه حل آن را از طریق جمع خواهیم یافت. شما طرح محاسبه را می دانید، بنابراین بیایید به بررسی ادامه دهیم معادله دیفرانسیل همگن

طبق روش استاندارد پارامتر را وارد کنید
معادله دیفرانسیل اصلی به شکل

به یاد داشته باشید که پارامتر برابر با مشتق دوم است
با ادغام DE، اولین مشتق تابع را به دست می آوریم

ادغام مجدد ما انتگرال کلی معادله دیفرانسیل همگن را پیدا می کنیم

ما به دنبال حل جزئی معادله در فرم هستیم، از آنجایی که سمت راست برابر است با
بیایید ضریب A را پیدا کنیم - برای این کار y* را در معادله دیفرانسیل جایگزین می کنیم و ضریب را در همان توان های متغیر معادل می کنیم.

پس از جایگزینی و گروه بندی عبارت ها، وابستگی را به دست می آوریم

که فولاد برابر با A=8/3 است.
بنابراین، ما می توانیم بنویسیم راه حل جزئی DE

حل کلی معادله دیفرانسیلبرابر با مجموع یافت شده

که در آن C 1 , C 2 , C 3 ثابت دلخواه هستند. اگر شرط کوشی داده شود، می توان به راحتی آنها را گسترش داد.

من معتقدم که این مطالب در هنگام آماده شدن برای تمرینات عملی، ماژول ها یا تست ها برای شما مفید خواهد بود. مشکل کوشی در اینجا مورد تجزیه و تحلیل قرار نگرفته است، اما از درس های قبلی به طور کلی می دانید که چگونه آن را انجام دهید.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

اصطلاحات پایه معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر (DE VP).

معادله ای از فرم، جایی که n >1 (2)

معادله دیفرانسیل مرتبه بالاتر نامیده می شود، یعنی. n- مرتبه

دامنه تعریف کنترل از راه دور، nمرتبه ام منطقه است.

این دوره به انواع زیر از کنترل فضای هوایی می پردازد:

مشکل کوشی برای VP:

اجازه دهید DU داده شود،
و شرایط اولیه n/a: اعداد.

برای یافتن یک تابع پیوسته و n برابر متمایز لازم است
:

1)
حل DE داده شده در است، i.e.
;

2) شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند: .

برای یک DE مرتبه دوم، تفسیر هندسی حل مسئله به شرح زیر است: یک منحنی انتگرال جستجو می شود که از نقطه عبور می کند. (ایکس 0 , y 0 ) و مماس بر خطی با شیب ک = y 0 ́ .

قضیه هستی و یگانگی(راه حل های مسئله کوشی برای DE (2)):

اگر 1)
پیوسته (در مجموع (n+1) استدلال) در منطقه
; 2)
پیوسته (با مجموعه ای از استدلال ها
) در، سپس ! حل مسئله کوشی برای DE که شرایط اولیه داده شده n/s را برآورده می کند: .

منطقه را منطقه منحصر به فرد DE می نامند.

راه حل کلی DP VP (2) – n -پارامتریعملکرد ،
، جایی که
- ثابت های دلخواه، که شرایط زیر را برآورده می کند:

1)

– حل DE (2) در ;

2) n/a از منطقه منحصر به فرد!
:
شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند.

اظهار نظر.

نسبت نمایش
، که به طور ضمنی حل کلی DE (2) را تعیین می کند نامیده می شود انتگرال مشترک DU.

راه حل خصوصی DE (2) از راه حل کلی آن برای یک مقدار خاص به دست می آید .

ادغام DP VP.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر، به عنوان یک قاعده، با روش های تحلیلی دقیق حل نمی شوند.

اجازه دهید نوع خاصی از DSW را مشخص کنیم که کاهش سفارشات را می پذیرد و به چهارچوب کاهش می دهد. ما این نوع معادلات و روش های کاهش ترتیب آنها را در یک جدول خلاصه می کنیم.

DP VP، اجازه کاهش در سفارش را می دهد

		روش تنزل رتبه
	DU ناقص است، فاقد آن است . مثلا،	و غیره. بعد از nبا ادغام مکرر، جواب کلی معادله دیفرانسیل را بدست می آوریم.
	معادله ناقص است. واضح است که تابع مورد نظر را ندارد و او اولین مشتقات مثلا،	تعویض ترتیب معادله را کاهش می دهد کواحدها
	معادله ناقص؛ به وضوح حاوی استدلال نیست عملکرد مورد نظر مثلا،	تعویض ترتیب معادله یک کاهش می یابد.
	معادله در مشتقات دقیق است، می تواند کامل و ناقص باشد. چنین معادله ای را می توان به شکل (*) ́= (*) ́ تبدیل کرد، که در آن قسمت راست و چپ معادله مشتقات دقیق برخی از توابع هستند.	ادغام سمت راست و چپ معادله با توجه به آرگومان، ترتیب معادله را یک‌بار کاهش می‌دهد.
		تعویض ترتیب معادله را یک عدد کاهش می دهد.

تعریف تابع همگن:

عملکرد
در متغیرها همگن نامیده می شود
، اگر


در هر نقطه از محدوده عملکرد
;

مرتبه همگنی است.

به عنوان مثال، یک تابع همگن از مرتبه 2 نسبت به است
، یعنی .

مثال 1:

یک راه حل کلی برای DE پیدا کنید
.

DE از مرتبه 3، ناقص، به صراحت شامل نمی شود
. معادله را سه بار پشت سر هم ادغام کنید.

,

راه حل کلی DE است.

مثال 2:

حل مشکل کوشی برای DE
در

.

DE از مرتبه دوم، ناقص، به صراحت شامل نمی شود .

تعویض
و مشتق آن
ترتیب DE را یک بار کاهش می دهد.

. DE از مرتبه اول - معادله برنولی را دریافت کرد. برای حل این معادله، جایگزین برنولی را اعمال می کنیم:

,

و آن را به معادله وصل کنید.

در این مرحله مسئله کوشی را برای معادله حل می کنیم
:
.

یک معادله مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک است.

شرایط اولیه را با آخرین برابری جایگزین می کنیم:

پاسخ:
راه حل مسئله کوشی است که شرایط اولیه را برآورده می کند.

مثال 3:

DU را حل کنید.

- DE از مرتبه دوم، ناقص، به صراحت شامل متغیر نیست، و بنابراین اجازه می دهد تا با استفاده از جایگزینی یا جایگزینی، ترتیب را با یک کاهش دهیم.
.

معادله را می گیریم
(اجازه دهید
).

- DE از مرتبه 1 با متغیرهای جداکننده. بیایید آنها را به اشتراک بگذاریم.

انتگرال کلی DE است.

مثال 4:

DU را حل کنید.

معادله
یک معادله مشتق دقیق است. واقعا،
.

اجازه دهید بخش های چپ و راست را با توجه به ادغام کنیم.
یا . دریافت DE از مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک، یعنی.
انتگرال کلی DE است.

مثال 5:

حل مشکل کوشی برای
در .

DE از مرتبه 4، ناقص، به صراحت شامل نمی شود
. با توجه به اینکه این معادله در مشتقات دقیق است، دریافت می کنیم
یا
,
. شرایط اولیه را با این معادله جایگزین می کنیم:
. بیایید کنترل از راه دور را بگیریم
مرتبه سوم از نوع اول (به جدول مراجعه کنید). اجازه دهید آن را سه بار ادغام کنیم، و پس از هر انتگرال، شرایط اولیه را در معادله جایگزین می کنیم:

پاسخ:
- حل مسئله کوشی DE اصلی.

مثال 6:

معادله را حل کنید.

- DE از مرتبه 2، کامل، حاوی یکنواختی نسبت به
. تعویض
ترتیب معادله را کاهش خواهد داد. برای این کار معادله را به فرم کاهش می دهیم
، هر دو طرف معادله اصلی را بر . و تابع را متمایز می کنیم پ:

.

جایگزین
و
در DU:
. این یک معادله متغیر قابل تفکیک مرتبه اول است.

با توجه به اینکه
، ما DE یا
راه حل کلی DE اصلی است.

تئوری معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه بالاتر.

اصطلاحات پایه

- NLDU ترتیب، جایی که توابع پیوسته در برخی بازه ها هستند.

به آن فاصله تداوم DE (3) می گویند.

اجازه دهید یک عملگر دیفرانسیل (شرطی) مرتبه هفتم را معرفی کنیم

وقتی روی تابع عمل می کند، دریافت می کنیم

یعنی سمت چپ یک DE خطی از مرتبه -ام.

در نتیجه، LDE می تواند نوشته شود

ویژگی های عملگر خطی
:

1) - خاصیت افزایشی

2)
– عدد – خاصیت همگنی

خواص به راحتی قابل تأیید هستند، زیرا مشتقات این توابع دارای خواص مشابه هستند (مجموع نهایی مشتقات برابر است با مجموع تعداد محدودی از مشتقات؛ عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد).

که
یک عملگر خطی است.

مسئله وجود و منحصر به فرد بودن راه حلی برای مشکل کوشی برای LDE را در نظر بگیرید
.

اجازه دهید LDE را با توجه به حل کنیم
: ,
، فاصله تداوم است.

تابع در دامنه، مشتقات پیوسته است
مستمر در منطقه

بنابراین، حوزه یکتایی، که در آن مسئله کوشی LDE (3) راه حل منحصر به فردی دارد و تنها به انتخاب نقطه بستگی دارد.
، تمام مقادیر دیگر آرگومان ها
کارکرد
را می توان خودسرانه گرفت.

نظریه عمومی OLDU.

فاصله تداوم است.

ویژگی های اصلی محلول های OLDDE:

1. خاصیت افزودنی

(
– محلول OLDDE (4) در )
(
راه حل OLDDE (4) در ).

اثبات:

راه حل OLDDE (4) در است

راه حل OLDDE (4) در است

سپس

2. خاصیت همگنی

(راه حل OLDDE (4) در ) (
(- فیلد عددی))

راه حل OLDDE (4) در .

به همین ترتیب ثابت شده است.

خواص افزایشی و همگنی را خصوصیات خطی OLDE می نامند (4).

نتیجه:

(
– محلول OLDDE (4) روی )(

راه حل OLDDE (4) در ).

3. (یک راه حل با مقدار پیچیده OLDDE (4) در )(
راه حل های با ارزش واقعی OLDDE (4) در ).

اثبات:

اگر راه حل OLDDE (4) روی است، پس هنگام جایگزینی در معادله، آن را به یک هویت تبدیل می کند، یعنی.
.

با توجه به خطی بودن عملگر، سمت چپ آخرین برابری را می توان به صورت زیر نوشت:
.

این بدان معنی است که، یعنی راه حل های با ارزش واقعی OLDDE (4) در .

ویژگی های زیر راه حل های OLDDE مربوط به مفهوم " وابستگی خطی”.

تعیین وابستگی خطی یک سیستم محدود از توابع

سیستمی از توابع به صورت خطی وابسته به وجود نامیده می شود غیر پیش پا افتادهمجموعه اعداد
به طوری که ترکیب خطی
کارکرد
با این اعداد به طور یکسان برابر با صفر در است، یعنی.
.n که اشتباه است. قضیه ثابت شده است معادلاتبالاترسفارشات(4 ساعت...

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر.
DE خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.
نمونه های راه حل

به بررسی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر می پردازیم. اگر تصور مبهمی از معادله دیفرانسیل دارید (یا اصلاً نمی دانید چیست)، توصیه می کنم با درس شروع کنید. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل. بسیاری از اصول راه حل و مفاهیم اولیه دیفرانسیل های مرتبه اول به طور خودکار به معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر گسترش می یابند، بنابراین بسیار مهم است که ابتدا معادلات مرتبه اول را درک کنید.

بسیاری از خوانندگان ممکن است تعصب داشته باشند که DE از دستورات 2، 3، و دیگر چیزی بسیار دشوار و غیرقابل دسترس برای تسلط است. این درست نیست . یادگیری حل اشاعه های مرتبه بالاتر به سختی دشوارتر از DE های مرتبه اول "معمولی" است.. و در برخی جاها حتی ساده تر است، زیرا مواد برنامه درسی مدرسه به طور فعال در تصمیم گیری ها استفاده می شود.

محبوبترین معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم. به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم لزومامشتق دوم و شامل نمی شود

لازم به ذکر است که برخی از نوزادان (و حتی به یکباره) ممکن است در معادله غایب باشند، مهم این است که پدر در خانه بوده است. ابتدایی ترین معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر است:

معادلات دیفرانسیل درجه سوم در کارهای عملی بسیار کمتر رایج است، طبق مشاهدات ذهنی من در دومای ایالتی، آنها حدود 3-4٪ از آرا را به دست می آورند.

به یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم لزومامشتق سوم و شامل نمی شودمشتقات مرتبه بالاتر:

ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه سوم به این صورت است: - پدر در خانه است، همه بچه ها برای پیاده روی بیرون هستند.

به طور مشابه، معادلات دیفرانسیل از مرتبه های 4، 5 و بالاتر را می توان تعریف کرد. در مسائل عملی، چنین DE به ندرت لغزش می یابد، با این حال، من سعی خواهم کرد مثال های مرتبط را ارائه دهم.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتری که در مسائل عملی ارائه می شوند را می توان به دو گروه اصلی تقسیم کرد.

1) گروه اول - به اصطلاح معادلات درجه پایین. پرواز کن!

2) گروه دوم - معادلات خطی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت. که ما همین الان شروع به بررسی آن خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

در تئوری و عمل، دو نوع از این معادلات متمایز می شوند - معادله همگنو معادله ناهمگن.

DE همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابتدارای فرم زیر است:
، جایی که و ثابت هستند (اعداد)، و در سمت راست - موکداصفر

همانطور که می بینید، هیچ مشکل خاصی برای معادلات همگن وجود ندارد، نکته اصلی این است معادله درجه دوم را به درستی حل کنید.

گاهی اوقات معادلات همگن غیر استاندارد وجود دارد، به عنوان مثال، یک معادله در فرم ، جایی که در مشتق دوم مقداری ثابت وجود دارد که متفاوت از وحدت (و البته متفاوت از صفر) است. الگوریتم حل به هیچ وجه تغییر نمی کند، باید با آرامش معادله مشخصه را تنظیم کرد و ریشه های آن را پیدا کرد. اگر معادله مشخصه دو ریشه واقعی متفاوت خواهد داشت، برای مثال: ، سپس راه حل کلی را می توان به روش معمول نوشت: .

در برخی موارد، به دلیل یک اشتباه تایپی در شرایط، ریشه های "بد" می توانند ظاهر شوند، چیزی شبیه به . چه باید کرد، پاسخ باید به این صورت نوشته شود:

با ریشه های پیچیده مزدوج "بد" مانند مشکلی هم نداره، راه حل کلی:

به این معنا که، یک راه حل کلی در هر صورت وجود دارد. زیرا هر معادله درجه دوم دو ریشه دارد.

در پاراگراف پایانی، همانطور که قول داده بودم، به اختصار در نظر خواهیم گرفت:

معادلات همگن خطی مرتبه بالاتر

همه چیز بسیار بسیار شبیه است.

معادله همگن خطی مرتبه سوم به شکل زیر است:
، جایی که ثابت ها هستند.
برای این معادله نیز باید یک معادله مشخصه بسازید و ریشه های آن را پیدا کنید. معادله مشخصه، همانطور که بسیاری حدس زده اند، به این صورت است:
، و آن به هر حالاین دارد دقیقا سهریشه

به عنوان مثال، بگذارید همه ریشه ها واقعی و متمایز باشند: ، سپس راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت:

اگر یک ریشه واقعی و دو ریشه دیگر مختلط باشند، جواب کلی را به صورت زیر می نویسیم:

یک مورد خاص زمانی است که هر سه ریشه مضرب (یکسان) باشند. بیایید ساده ترین DE همگن مرتبه 3 را با یک پدر تنها در نظر بگیریم: . معادله مشخصه دارای سه ریشه صفر منطبق است. راه حل کلی را به صورت زیر می نویسیم:

اگر معادله مشخصه برای مثال دارای سه ریشه چندگانه است، سپس راه حل کلی به ترتیب عبارت است از:

مثال 9

معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم را حل کنید

راه حل:معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

، - یک ریشه واقعی و دو ریشه پیچیده مزدوج به دست می آید.

پاسخ:تصمیم مشترک

به طور مشابه، می‌توانیم یک معادله مرتبه چهارم خطی همگن با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: , جایی که ثابت‌ها هستند.