بردارهای ویژه و مقادیر ویژه چیست؟ مقادیر ویژه (اعداد) و بردارهای ویژه نمونه هایی از راه حل ها

چگونه فرمول های ریاضی را در وب سایت درج کنیم؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. برای مدت طولانی کار کرده است (و، من فکر می کنم، برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.

اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریعتر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.

سیستم معادلات خطی همگن

سیستم معادلات خطی همگن سیستمی از فرم است

واضح است که در این مورد ، زیرا تمام عناصر یکی از ستون ها در این تعیین کننده ها برابر با صفر هستند.

از آنجایی که مجهولات طبق فرمول ها پیدا می شوند ، در صورتی که Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل صفر منحصر به فرد دارد ایکس = y = z= 0. با این حال، در بسیاری از مسائل سوال جالب این است که آیا یک سیستم همگن راه حل هایی غیر از صفر دارد؟

قضیه. برای اینکه یک سیستم معادلات همگن خطی جواب غیر صفر داشته باشد، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.

بنابراین، اگر تعیین کننده Δ ≠ 0 باشد، آنگاه سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی دارای بی نهایت جواب است.

مثال ها.

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک ماتریس

اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود , ایکس- تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است آ. .

در بسیاری از مسائل باید معادله را در نظر بگیریم ایکس

جایی که λ عدد معینی است. واضح است که برای هر λ این معادله یک جواب صفر دارد.

عدد λ را که این معادله راه حل های غیر صفر دارد نامیده می شود مقدار خاصماتریس ها آ، آ ایکسبرای چنین λ نامیده می شود بردار ویژهماتریس ها آ.

بیایید بردار ویژه ماتریس را پیدا کنیم آ. از آنجا که E∙X = X، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد یا . در شکل بسط یافته، این معادله را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی بازنویسی کرد. واقعا .

و بنابراین

بنابراین، سیستمی از معادلات خطی همگن برای تعیین مختصات به دست آورده ایم x 1, x 2, x 3بردار ایکس. برای اینکه یک سیستم جواب های غیر صفر داشته باشد کافی و ضروری است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی.

این معادله درجه 3 برای λ است. نامیده می شود معادله مشخصهماتریس ها آو برای تعیین مقادیر ویژه λ خدمت می کند.

هر مقدار ویژه λ مربوط به یک بردار ویژه است ایکس، که مختصات آن از سیستم در مقدار متناظر λ تعیین می شود.

مثال ها.

جبر برداری. مفهوم بردار

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، کمیت هایی وجود دارد که با تعیین مقادیر عددی آنها به طور کامل تعیین می شوند، مثلاً طول، مساحت، جرم، دما و غیره. به چنین مقادیری اسکالر می گویند. با این حال، علاوه بر آنها، کمیت هایی نیز وجود دارد که برای تعیین آنها، علاوه بر مقدار عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز دانست، به عنوان مثال، نیروی وارد بر بدن، سرعت و شتاب وقتی جسم در فضا حرکت می کند، شدت میدان مغناطیسی در یک نقطه معین از فضا و غیره. به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند.

اجازه دهید یک تعریف دقیق ارائه کنیم.

بخش کارگردانی شدهبیایید یک قطعه را نام ببریم که نسبت به انتهای آن مشخص است که کدام یک از آنها اول است و کدام دوم.

برداریک قطعه جهت دار با طول معین نامیده می شود، یعنی. این قطعه ای با طول معین است که در آن یکی از نقاط محدود کننده آن به عنوان ابتدا و دومی به عنوان پایان در نظر گرفته می شود. اگر آ– ابتدای بردار، بپایان آن است، سپس بردار با نماد مشخص می شود؛ علاوه بر این، بردار اغلب با یک حرف مشخص می شود. در شکل، بردار با یک قطعه و جهت آن با یک فلش نشان داده شده است.

مدولیا طولبردار به طول قطعه جهت دار گفته می شود که آن را تعریف می کند. مشخص شده با || یا ||.

ما همچنین بردار صفر را که ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق است به عنوان بردار درج خواهیم کرد. تعیین شده است. بردار صفر جهت خاصی ندارد و مدول آن صفر ||=0 است.

بردارها نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند. علاوه بر این، اگر بردارها و در یک جهت باشند، در مقابل می نویسیم.

بردارهایی که روی خطوط مستقیم موازی با همان صفحه قرار دارند نامیده می شوند هم صفحه.

دو بردار نامیده می شوند برابر، اگر خطی باشند، جهت یکسان و از نظر طول برابر هستند. در این مورد می نویسند.

از تعریف برابری بردارها چنین استنباط می شود که یک بردار را می توان به موازات خود حمل کرد و مبدا خود را در هر نقطه ای از فضا قرار داد.

مثلا .

عملیات خطی روی بردارها

ضرب بردار در عدد.

حاصل ضرب یک بردار و عدد λ بردار جدیدی است به طوری که:

حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ با نشان داده می شود.

به عنوان مثال، یک بردار وجود دارد که در جهت همان بردار است و طول آن نصف بردار است.

عملیات معرفی شده دارای ویژگی های زیر است:

اضافه بردار.

اجازه دهید و دو بردار دلخواه باشد. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم Oو یک بردار بسازید. پس از آن از نقطه آبیایید بردار را کنار بگذاریم. بردار اتصال ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم نامیده می شود میزاناز این بردارها و نشان داده می شود .

تعریف فرمول بندی شده جمع بردار نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع، از آنجایی که همان مجموع بردارها را می توان به صورت زیر بدست آورد. از اصل موضوع به تعویق بیفتیم Oبردارها و . بیایید یک متوازی الاضلاع روی این بردارها بسازیم OABC. از آنجایی که بردارها، پس بردار، که قطری از متوازی الاضلاع است که از راس کشیده شده است. O، بدیهی است که مجموع بردارها خواهد بود.

بررسی ویژگی های زیر جمع بردار آسان است.

تفاوت برداری

یک بردار هم خط به یک بردار معین، از نظر طول مساوی و جهت مخالف، نامیده می شود مقابلبردار برای یک بردار و با نشان داده می شود. بردار مخالف را می توان حاصل ضرب بردار در عدد λ = –1: .

بردار ویژه یک ماتریس مربع بردار ویژه ای است که وقتی در یک ماتریس داده شده ضرب شود، یک بردار خطی ایجاد می کند. به عبارت ساده، وقتی یک ماتریس در یک بردار ویژه ضرب می شود، دومی ثابت می ماند، اما در یک عدد معین ضرب می شود.

تعریف

بردار ویژه یک بردار غیرصفر V است که وقتی در ماتریس مربع M ضرب می شود، مقداری λ افزایش می یابد. در نماد جبری به نظر می رسد:

M × V = λ × V،

که در آن λ مقدار ویژه ماتریس M است.

بیایید به یک مثال عددی نگاه کنیم. برای سهولت در ضبط، اعداد در ماتریس با یک نقطه ویرگول از هم جدا می شوند. اجازه دهید ماتریس داشته باشیم:

• M = 0; 4
• 6; 10.

بیایید آن را در یک بردار ستون ضرب کنیم:

• V = -2;

وقتی یک ماتریس را در بردار ستونی ضرب می کنیم، یک بردار ستونی نیز بدست می آوریم. در زبان ریاضی دقیق، فرمول ضرب یک ماتریس 2 × 2 در بردار ستونی به صورت زیر خواهد بود:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 به معنای عنصر ماتریس M است که در ردیف اول و ستون اول قرار دارد و M22 به معنای عنصر واقع در ردیف دوم و ستون دوم است. برای ماتریس ما، این عناصر برابر است با M11 = 0، M12 = 4، M21 = 6، M22 10. برای یک بردار ستونی، این مقادیر برابر است با V11 = –2، V21 = 1. طبق این فرمول، نتیجه زیر حاصل ضرب یک ماتریس مربع بردار را بدست می آوریم:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

برای راحتی، بردار ستون را در یک ردیف بنویسیم. بنابراین، ماتریس مربع را در بردار (-2; 1) ضرب کردیم و به بردار (4; -2) رسیدیم. بدیهی است که این همان بردار ضرب در λ = -2 است. Lambda در این مورد نشان دهنده مقدار ویژه ماتریس است.

بردار ویژه یک ماتریس یک بردار خطی است، یعنی جسمی که با ضرب در یک ماتریس موقعیت خود را در فضا تغییر نمی دهد. مفهوم هم خطی در جبر برداری مشابه اصطلاح توازی در هندسه است. در یک تفسیر هندسی، بردارهای خطی، بخش های موازی جهت دار با طول های مختلف هستند. از زمان اقلیدس، می دانیم که یک خط دارای بی نهایت تعداد خطوط موازی با آن است، بنابراین منطقی است که فرض کنیم هر ماتریس دارای تعداد نامتناهی بردار ویژه است.

از مثال قبلی واضح است که بردارهای ویژه می توانند (-8؛ 4)، و (16؛ -8)، و (32، -16) باشند. اینها همه بردارهای خطی مربوط به مقدار ویژه λ = -2 هستند. هنگامی که ماتریس اصلی را در این بردارها ضرب می کنیم، باز هم به برداری خواهیم رسید که با بردار اصلی 2 برابر تفاوت دارد. به همین دلیل است که هنگام حل مسائل مربوط به یافتن بردار ویژه، باید فقط اشیاء بردار مستقل خطی را پیدا کرد. اغلب، برای یک ماتریس n × n، n تعداد بردار ویژه وجود دارد. ماشین حساب ما برای تجزیه و تحلیل ماتریس های مربع مرتبه دوم طراحی شده است، بنابراین تقریباً همیشه نتیجه دو بردار ویژه پیدا می کند، به جز مواردی که آنها با هم منطبق هستند.

در مثال بالا، ما بردار ویژه ماتریس اصلی را از قبل می دانستیم و عدد لامبدا را به وضوح تعیین کردیم. با این حال، در عمل، همه چیز برعکس اتفاق می افتد: ابتدا مقادیر ویژه و تنها پس از آن بردارهای ویژه یافت می شوند.

الگوریتم حل

بیایید دوباره به ماتریس اصلی M نگاه کنیم و سعی کنیم هر دو بردار ویژه آن را پیدا کنیم. بنابراین ماتریس به نظر می رسد:

• M = 0; 4
• 6; 10.

ابتدا باید مقدار ویژه λ را تعیین کنیم که مستلزم محاسبه دترمینان ماتریس زیر است:

• (0 - λ); 4
• 6; (10 - λ).

این ماتریس با کم کردن λ مجهول از عناصر روی قطر اصلی به دست می آید. تعیین کننده با استفاده از فرمول استاندارد تعیین می شود:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

از آنجایی که بردار ما باید غیر صفر باشد، معادله به دست آمده را به صورت خطی وابسته می‌پذیریم و detA تعیین‌مان را با صفر برابر می‌کنیم.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

بیایید براکت ها را باز کنیم و معادله مشخصه ماتریس را بدست آوریم:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

این یک معادله درجه دوم استاندارد است که باید با استفاده از یک تفکیک حل شود.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

ریشه تشخیص sqrt(D) = 14 است، بنابراین λ1 = -2، λ2 = 12. حال برای هر مقدار لامبدا باید بردار ویژه را پیدا کنیم. اجازه دهید ضرایب سیستم را برای λ = -2 بیان کنیم.

• M - λ × E = 2; 4
• 6; 12.

در این فرمول E ماتریس هویت است. بر اساس ماتریس به دست آمده، سیستمی از معادلات خطی ایجاد می کنیم:

2x + 4y = 6x + 12y،

که در آن x و y عناصر بردار ویژه هستند.

بیایید تمام X در سمت چپ و همه Y ها در سمت راست را جمع آوری کنیم. بدیهی است - 4x = 8y. عبارت را بر - 4 تقسیم کنید و x = –2y را بدست آورید. اکنون می‌توانیم اولین بردار ویژه ماتریس را با گرفتن مقادیر مجهولات تعیین کنیم (بی نهایت بردارهای ویژه وابسته به خطی را به خاطر بسپاریم). بیایید y = 1 و سپس x = –2 را در نظر بگیریم. بنابراین، اولین بردار ویژه شبیه V1 = (-2; 1) است. به ابتدای مقاله برگردید. این شی برداری بود که ماتریس را در آن ضرب کردیم تا مفهوم بردار ویژه را نشان دهیم.

حال بیایید بردار ویژه را برای λ = 12 پیدا کنیم.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

بیایید همان سیستم معادلات خطی را ایجاد کنیم.

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

اکنون x = 1 را می گیریم، بنابراین y = 3. بنابراین، بردار ویژه دوم شبیه V2 = (1؛ 3) است. هنگام ضرب ماتریس اصلی در یک بردار مشخص، نتیجه همیشه همان بردار ضرب در 12 خواهد بود. اینجا جایی است که الگوریتم حل به پایان می رسد. اکنون می دانید که چگونه به صورت دستی بردار ویژه یک ماتریس را تعیین کنید.

• تعیین کننده؛
• ردیابی، یعنی مجموع عناصر روی مورب اصلی؛
• رتبه، یعنی حداکثر تعداد سطر/ستون مستقل خطی.

این برنامه طبق الگوریتم فوق عمل می کند و فرآیند حل را تا حد امکان کوتاه می کند. ذکر این نکته ضروری است که در برنامه لامبدا با حرف "c" مشخص می شود. بیایید به یک مثال عددی نگاه کنیم.

نمونه ای از نحوه عملکرد برنامه

بیایید سعی کنیم بردارهای ویژه ماتریس زیر را تعیین کنیم:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

بیایید این مقادیر را در سلول های ماشین حساب وارد کرده و به شکل زیر پاسخ را دریافت کنیم:

• رتبه ماتریس: 2;
• تعیین کننده ماتریس: 18;
• ردیابی ماتریس: 19;
• محاسبه بردار ویژه: c 2 − 19.00c + 18.00 (معادله مشخصه).
• محاسبه بردار ویژه: 18 (مقدار لامبدا اول)؛
• محاسبه بردار ویژه: 1 (مقدار لامبدا دوم)؛
• سیستم معادلات برای بردار 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• سیستم معادلات برای بردار 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• بردار ویژه 1: (1; 1);
• بردار ویژه 2: (-3.25؛ 1).

بنابراین، ما دو بردار ویژه مستقل خطی به دست آوردیم.

نتیجه

جبر خطی و هندسه تحلیلی دروس استاندارد برای هر دانشجوی سال اول مهندسی هستند. تعداد زیاد بردارها و ماتریس ها وحشتناک است و به راحتی می توان در چنین محاسبات دست و پا گیر اشتباه کرد. برنامه ما به دانش آموزان اجازه می دهد تا محاسبات خود را بررسی کنند یا به طور خودکار مشکل پیدا کردن بردار ویژه را حل کنند. ماشین حساب های جبر خطی دیگری در کاتالوگ ما وجود دارد؛ از آنها در مطالعه یا کار خود استفاده کنید.

تعریف 9.3.بردار ایکسبردار ویژه ماتریس نامیده می شود آ، اگر چنین عددی وجود داشته باشد λ, که برابری برقرار است: آх = λх،یعنی نتیجه اعمال به ایکستبدیل خطی مشخص شده توسط ماتریس آ، ضرب این بردار در عدد است λ . خود شماره λ مقدار ویژه ماتریس نامیده می شود آ.

جایگزینی به فرمول (9.3) x` j = λx j،ما سیستمی از معادلات را برای تعیین مختصات بردار ویژه به دست می آوریم:

. (9.5)

این سیستم همگن خطی تنها در صورتی راه حل غیر ضروری خواهد داشت که تعیین کننده اصلی آن 0 باشد (قانون کرامر). با نوشتن این شرط به شکل:

معادله ای برای تعیین مقادیر ویژه به دست می آوریم λ ، معادله مشخصه نامیده می شود. به طور خلاصه می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

| A - λE | = 0, (9.6)

از آنجایی که سمت چپ آن شامل تعیین کننده ماتریس است A-λE. نسبی چند جمله ای λ | A - λE| چند جمله ای مشخصه ماتریس A نامیده می شود.

ویژگی های چند جمله ای مشخصه:

1) چند جمله ای مشخصه تبدیل خطی به انتخاب مبنا بستگی ندارد. اثبات (نگاه کنید به (9.4))، اما از این رو، . بنابراین، به انتخاب پایه بستگی ندارد. این بدان معنی است که | A-λE| هنگام حرکت به یک پایه جدید تغییر نمی کند.

2) اگر ماتریس آتبدیل خطی متقارن است (یعنی و ij =a ji، سپس تمام ریشه های معادله مشخصه (9.6) اعداد واقعی هستند.

ویژگی های مقادیر ویژه و بردارهای ویژه:

1) اگر مبنایی را از بردارهای ویژه انتخاب کنید x 1، x 2، x 3، مربوط به مقادیر ویژه است λ 1، λ 2، λ 3ماتریس ها آ، پس بر این اساس تبدیل خطی A دارای ماتریسی به شکل مورب است:

(9.7) اثبات این ویژگی از تعریف بردارهای ویژه حاصل می شود.

2) اگر مقادیر ویژه تبدیل آمتفاوت هستند، سپس بردارهای ویژه مربوطه آنها به صورت خطی مستقل هستند.

3) اگر چند جمله ای مشخصه ماتریس آدارای سه ریشه متفاوت است، سپس در برخی موارد ماتریس آظاهری مورب دارد.

بیایید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس را پیدا کنیم بیایید یک معادله مشخصه ایجاد کنیم: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0، λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

بیایید مختصات بردارهای ویژه مربوط به هر مقدار پیدا شده را پیدا کنیم λ. از (9.5) چنین می شود که اگر ایکس (1) ={x 1، x 2، x 3) – بردار ویژه متناظر λ 1 =-2، سپس

- یک سیستم تعاونی اما نامطمئن. راه حل آن را می توان در قالب نوشت ایکس (1) ={آ,0,-آ) که در آن a هر عددی است. به ویژه، اگر ما به آن نیاز داشته باشیم | ایکس (1) |=1, ایکس (1) =

جایگزینی در سیستم (9.5) λ 2 = 3، سیستمی برای تعیین مختصات بردار ویژه دوم به دست می آوریم - ایکس (2) ={y 1، y 2، y 3}:

، جایی که ایکس (2) ={b,-b,b) یا، ارائه شده | ایکس (2) |=1, ایکس (2) =

برای λ 3 = 6 بردار ویژه را پیدا کنید ایکس (3) ={z 1، z 2، z 3}:

, ایکس (3) ={ج,2c,c) یا در نسخه عادی

x(3) = قابل توجه است که ایکس (1) ایکس (2) = ab–ab= 0, ایکس (1) ایکس (3) = ac-ac= 0, ایکس (2) ایکس (3) = قبل از میلاد مسیح- 2قبل از میلاد + قبل از میلاد= 0. بنابراین، بردارهای ویژه این ماتریس متعامد جفتی هستند.

سخنرانی 10.

فرم های درجه دوم و ارتباط آنها با ماتریس های متقارن. ویژگی های بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک ماتریس متقارن. کاهش یک فرم درجه دوم به شکل متعارف.

تعریف 10.1.شکل درجه دوم متغیرهای واقعی x 1، x 2،…، x nچند جمله ای درجه دوم در این متغیرها نامیده می شود که شامل یک جمله آزاد و عبارت درجه یک نیست.

نمونه هایی از فرم های درجه دوم:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

بیایید تعریف ماتریس متقارن ارائه شده در آخرین سخنرانی را به خاطر بیاوریم:

تعریف 10.2.یک ماتریس مربع را اگر متقارن می نامند، یعنی اگر عناصر ماتریس که در مورب اصلی متقارن هستند با هم برابر باشند.

ویژگی های مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن:

1) تمام مقادیر ویژه یک ماتریس متقارن واقعی هستند.

اثبات (برای n = 2).

اجازه دهید ماتریس آدارای فرم: . بیایید یک معادله مشخصه ایجاد کنیم:

(10.2) بیایید تمایز را پیدا کنیم:

بنابراین، معادله فقط ریشه واقعی دارد.

2) بردارهای ویژه یک ماتریس متقارن متعامد هستند.

اثبات (برای n= 2).

مختصات بردارهای ویژه و باید معادلات را برآورده کند.