چگونه یک بردار عمود بر یک داده را پیدا کنیم. حاصل ضرب نقطه ای بردارها

اهم برای این کار ابتدا مفهوم سگمنت را معرفی می کنیم.

تعریف 1

پاره ای را بخشی از خطی می نامیم که در هر دو طرف با نقاط محدود شده باشد.

تعریف 2

انتهای یک قطعه نقاطی هستند که آن را محدود می کنند.

برای معرفی تعریف بردار، یکی از انتهای قطعه را ابتدای آن می نامیم.

تعریف 3

بردار (قطعه جهت دار) را قطعه ای می نامیم که در آن مشخص می شود که کدام نقطه مرزی آغاز و کدام نقطه انتهای آن است.

نماد: \overline(AB) یک بردار AB است که از نقطه A شروع می شود و در نقطه B به پایان می رسد.

در غیر این صورت، در یک حرف کوچک: \overline(a) (شکل 1).

تعریف 4

بردار صفر را هر نقطه ای که به صفحه تعلق دارد می نامیم.

نماد: \overline(0) .

اجازه دهید به طور مستقیم تعریف بردارهای خطی را معرفی کنیم.

همچنین تعریف محصول اسکالر را معرفی خواهیم کرد که در ادامه به آن نیاز خواهیم داشت.

تعریف 6

حاصل ضرب اسکالر دو بردار داده شده، عددی (یا عددی) است که برابر است با حاصل ضرب طول این دو بردار با کسینوس زاویه بین این بردارها.

از نظر ریاضی ممکن است به این صورت باشد:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(a)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(a),\overline(β))

حاصل ضرب نقطه ای را می توان با استفاده از مختصات برداری به صورت زیر نیز یافت

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

علامت عمود بودن از طریق تناسب

قضیه 1

برای عمود بودن بردارهای غیرصفر بر یکدیگر لازم و کافی است که حاصل ضرب اسکالر آنها از این بردارها برابر با صفر باشد.

اثبات

ضرورت: اجازه دهید بردارهای \overline(α) و \overline(β) که به ترتیب دارای مختصات (α_1، α_2، α_3) و (β_1، β_2، β_3) هستند و عمود بر یکدیگر هستند، به ما داده شود. سپس باید برابری زیر را ثابت کنیم

از آنجایی که بردارهای \overline(α) و \overline(β) عمود هستند، زاویه بین آنها 90^0 است. بیایید حاصل ضرب اسکالر این بردارها را با استفاده از فرمول تعریف 6 پیدا کنیم.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(a)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

کفایت: مساوات صادق باشد \overline(α)\cdot \overline(β)=0. اجازه دهید ثابت کنیم که بردارهای \overline(α) و \overline(β) عمود بر یکدیگر خواهند بود.

طبق تعریف 6، برابری درست خواهد بود

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α)،\overline(β))=0

∠(\overline(α)،\overline(β))=90^\circ

بنابراین، بردارهای \overline(α) و \overline(β) عمود بر یکدیگر خواهند بود.

قضیه ثابت شده است.

مثال 1

ثابت کنید که بردارهایی با مختصات (1،-5،2) و (2،1،3/2) عمود هستند.

اثبات

بیایید با استفاده از فرمول بالا، حاصل ضرب اسکالر این بردارها را پیدا کنیم

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

این بدان معناست که طبق قضیه 1، این بردارها عمود هستند.

پیدا کردن یک بردار عمود بر دو بردار داده شده با استفاده از حاصل ضرب

اجازه دهید ابتدا مفهوم یک محصول برداری را معرفی کنیم.

تعریف 7

حاصل ضرب برداری دو بردار، برداری خواهد بود که بر هر دو بردار داده شده عمود خواهد بود و طول آن برابر حاصل ضرب طول این بردارها با سینوس زاویه بین این بردارها و همچنین این بردار با دو خواهد بود. جهت گیری های اولیه همان سیستم مختصات دکارتی است.

تعیین: \overline(α)x\overline(β)x.

برای یافتن حاصلضرب بردار از فرمول استفاده می کنیم

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

از آنجایی که بردار حاصلضرب دو بردار بر هر دوی این بردارها عمود است، بردار خواهد بود. یعنی برای پیدا کردن یک بردار عمود بر دو بردار، فقط باید حاصلضرب بردار آنها را پیدا کنید.

مثال 2

بردار عمود بر بردارهایی با مختصات \overline(α)=(1,2,3) و \overline(β)=(-1,0,3) پیدا کنید.

بیایید حاصل ضرب برداری این بردارها را پیدا کنیم.

\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6،6،2) x

شرط عمود بودن بردارها

بردارها عمود هستند اگر و فقط در صورتی که حاصلضرب نقطه آنها صفر باشد.

دو بردار a(xa;ya) و b(xb;yb) در نظر گرفته شده است. اگر عبارت xaxb + yayb = 0 باشد، این بردارها عمود خواهند بود.

اگر ضرب ضربدری آنها صفر باشد بردارها موازی هستند

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه. مشکلات اساسی در یک خط مستقیم در یک هواپیما.

هر خط مستقیم روی صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول Ax + By + C = 0 مشخص کرد و ثابت های A و B در همان زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. A2 + B2  0. این معادله مرتبه اول را معادله کلی خط می نامند. بسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر امکان پذیر است: - C = 0، A  0، B  0 - خط مستقیم از مبدأ عبور می کند - A = 0، B  0 , C  0 ( توسط

C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Oy - B = 0، A  0، C  0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Oy - B = C = 0، A  0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است - A = C = 0، B 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است.معادله خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

اگر حداقل یکی از ضرایب A، B، C سطح Ax+By+C=0 برابر با 0 باشد، سطح
تماس گرفت ناقص با شکل معادله یک خط مستقیم می توان در مورد موقعیت آن قضاوت کرد
صافی OXU. موارد احتمالی:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) این معادله را برآورده می کند، به این معنی که مستقیم است
از مبدأ عبور می کند
2 A=0 L: Ву+С=0 - چرخش نرمال n=(0,B) از اینجا بر محور OX عمود است
نتیجه این است که خط مستقیم موازی با محور OX است
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - مقدار اسمی n=(A,0) از اینجا بر محور OY عمود است
نتیجه این است که خط مستقیم موازی با محور op-amp است
4 A=0، C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0، C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L؛ - از مبدأ عبور نمی کند و قطع می کند
هر دو محور

معادله یک خط مستقیم در صفحه ای که از دو نقطه داده شده می گذرد و:

زاویه بین هواپیماها

محاسبه عوامل تعیین کننده

محاسبه تعیین کننده ها بر اساس ویژگی های شناخته شده آنها است که برای تعیین کننده های همه ردیف ها اعمال می شود. اینها خواص هستند:

1. اگر دو سطر (یا دو ستون) از تعیین کننده را دوباره مرتب کنید، علامت تعیین کننده تغییر خواهد کرد.

2. اگر عناصر متناظر دو ستون (یا دو سطر) تعیین کننده مساوی یا متناسب باشند، تعیین کننده برابر با صفر است.

3. اگر ردیف‌ها و ستون‌ها را با حفظ ترتیب آنها عوض کنید، مقدار تعیین‌کننده تغییر نمی‌کند.

4. اگر همه عناصر یک سطر (یا ستون) یک عامل مشترک داشته باشند، می توان آن را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

5. اگر عناصر مربوط به سطر (یا ستون) دیگر به عناصر یک سطر (یا ستون)، ضرب در همان عدد اضافه شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

ماتریس و اقدامات بالای آنها

ماتریس- یک شیء ریاضی که به شکل جدول مستطیلی از اعداد (یا عناصر یک حلقه) نوشته شده و امکان انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) بین آن و سایر اشیاء مشابه را فراهم می کند. به طور معمول، ماتریس ها به صورت جداول دو بعدی (مستطیل شکل) نشان داده می شوند. گاهی اوقات ماتریس های چند بعدی یا ماتریس های غیر مستطیلی در نظر گرفته می شوند.

به طور معمول، ماتریس با یک حرف بزرگ از الفبای لاتین مشخص می شود و با براکت های گرد "(...)" مشخص می شود (همچنین با براکت های مربع "[…]" یا خطوط مستقیم دوتایی "||...||" مشخص می شود.

اعدادی که ماتریس را تشکیل می دهند (عناصر ماتریس) اغلب با همان حرف خود ماتریس، اما با حروف کوچک نشان داده می شوند (به عنوان مثال، a11 عنصری از ماتریس A است).

هر عنصر ماتریس دارای 2 زیرنویس (aij) است - "i" اول نشان دهنده شماره ردیفی است که عنصر در آن قرار دارد و "j" دوم نشان دهنده شماره ستون است. آنها می گویند "ماتریس بعدی"، به این معنی که ماتریس دارای m ردیف و n ستون است. همیشه در یک ماتریس

عملیات روی ماتریس ها

بگذارید aij عناصر ماتریس A و bij عناصر ماتریس B باشند.

عملیات خطی:

ضرب یک ماتریس A در عدد λ (نماد: λA) شامل ساخت ماتریس B است که عناصر آن از ضرب هر یک از عناصر ماتریس A در این عدد به دست می آیند، یعنی هر عنصر ماتریس B برابر است با

جمع ماتریس های A + B عملیات یافتن ماتریس C است که همه عناصر آن برابر با مجموع زوجی همه عناصر متناظر ماتریس های A و B هستند، یعنی هر عنصر ماتریس C برابر است با

تفریق ماتریس های A - B به طور مشابه با جمع تعریف می شود؛ این عملیات یافتن ماتریس C است که عناصر آن

جمع و تفریق فقط برای ماتریس های هم اندازه مجاز است.

یک ماتریس صفر Θ وجود دارد به طوری که با اضافه کردن آن به ماتریس A دیگر A را تغییر نمی دهد

همه عناصر ماتریس صفر برابر با صفر هستند.

عملیات غیرخطی:

ضرب ماتریسی (نام: AB، کمتر با علامت ضرب) عملیات محاسبه ماتریس C است که عناصر آن برابر با مجموع حاصلضرب عناصر در ردیف مربوطه اولین عامل و ستون دوم است. .cij = ∑ aikbkj k

فاکتور اول باید به اندازه تعداد سطرهای فاکتور دوم باشد. اگر ماتریس A دارای بعد B - باشد، بعد حاصلضرب آنها AB = C است. ضرب ماتریس جابجایی نیست.

ضرب ماتریس تداعی است. فقط ماتریس های مربع را می توان به توان افزایش داد.

جابجایی ماتریس (نماد: AT) عملیاتی است که در آن ماتریس نسبت به قطر اصلی منعکس می شود، یعنی

اگر A یک ماتریس اندازه باشد، AT یک ماتریس اندازه است

مشتق تابع مختلط

تابع مختلط شکل دارد: F(x) = f(g(x))، یعنی. تابعی از یک تابع است. به عنوان مثال، y = sin2x، y = ln(x2+2x) و غیره.

اگر در نقطه x تابع g(x) دارای مشتق g"(x) و در نقطه u = g(x) تابع f(u) مشتق f"(u) را داشته باشد، پس مشتق از تابع مختلط f(g(x)) در نقطه x وجود دارد و برابر است با f"(u)g"(x).

مشتق تابع ضمنی

در بسیاری از مسائل، تابع y(x) به طور ضمنی مشخص می شود. به عنوان مثال، برای توابع زیر

بدست آوردن وابستگی y(x) به طور صریح غیرممکن است.

الگوریتم برای محاسبه مشتق y"(x) از یک تابع ضمنی به شرح زیر است:

ابتدا باید هر دو طرف معادله را با توجه به x متمایز کنید، با این فرض که y تابعی قابل تفکیک از x است و از قانون محاسبه مشتق یک تابع مختلط استفاده کنید.

معادله حاصل را برای مشتق y"(x) حل کنید.

بیایید به چند مثال برای روشن شدن نگاه کنیم.

تابع y(x) را با معادله متمایز کنید.

بیایید هر دو طرف معادله را با توجه به متغیر x متمایز کنیم:

چیزی که منجر به نتیجه می شود

قانون لاپیتال

قانون L'Hopital. اجازه دهید تابع f(x) و g(x) در محیط وجود داشته باشد. t-ki x0 pr-nye f' و g' به استثنای امکان این t-tu x0. اجازه دهید lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 به طوری که f(x)/g(x) برای x®x0 0/0 به دست دهد. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4)، زمانی که با حد نسبت تابع lim(x®x0)f(x)/g(x)= منطبق است lim(x®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(معیار یکنواختی تابعی که مشتق بر روی بازه دارد) اجازه دهید تابع پیوسته روشن

(a,b) و در هر نقطه مشتق f"(x) دارد. سپس

1)f با (a,b) افزایش می یابد اگر و فقط اگر

2) با (a,b) کاهش می یابد اگر و فقط اگر

2. (شرط کافی برای یکنواختی دقیق تابعی که مشتق بر روی بازه دارد) اجازه دهید تابع بر روی (a,b) پیوسته است و در هر نقطه مشتق f"(x) دارد

1) اگر f به شدت در (a,b) افزایش یابد.

2) اگر f به شدت در (a,b) کاهش یابد.

برعکس، به طور کلی، درست نیست. مشتق یک تابع کاملاً یکنواخت می تواند ناپدید شود. با این حال، مجموعه نقاطی که مشتق آن صفر نیست باید در بازه (a,b) متراکم باشد. به طور دقیق تر، انجام می دهد.

3. (معیار یکنواختی دقیق تابعی که مشتقی در بازه دارد) اجازه دهید و مشتق f"(x) در همه جای بازه تعریف می شود. سپس f به شدت در بازه (a,b) افزایش می یابد اگر و فقط اگر دو شرط زیر برآورده شوند:

حاصل ضرب نقطه ای بردارها. زاویه بین بردارها شرط موازی بودن یا عمود بودن بردارها.

حاصل ضرب اسکالر بردارها حاصل ضرب طول آنها و کسینوس زاویه بین آنها است:

عبارات زیر دقیقاً به همان روشی که در پلان سنجی اثبات می شود:

حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر صفر است اگر و فقط اگر بردارها عمود باشند.

مربع اسکالر یک بردار، یعنی حاصل ضرب اسکالر خود و خودش، برابر مربع طول آن است.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار و با مختصات آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

بردارها عمود هستند اگر و فقط در صورتی که حاصلضرب نقطه آنها صفر باشد. مثال. دو بردار و . اگر عبارت x1x2 + y1y2 = 0 باشد، این بردارها عمود خواهند بود. زاویه بین بردارهای غیر صفر، زاویه بین خطوط مستقیم است که این بردارها راهنما هستند. طبق تعریف، زاویه بین هر بردار و بردار صفر برابر با صفر در نظر گرفته می شود. اگر زاویه بین بردارها 90 درجه باشد، چنین بردارهایی عمود نامیده می شوند. زاویه بین بردارها را به صورت زیر نشان می دهیم:

دستورالعمل ها

اگر بردار اصلی در نقشه در یک سیستم مختصات دو بعدی مستطیلی به تصویر کشیده شده است و باید بردار عمود بر آن ساخته شود، از تعریف عمود بردارها در یک صفحه اقدام کنید. بیان می کند که زاویه بین چنین جفتی از بخش های جهت دار باید برابر با 90 درجه باشد. تعداد نامتناهی از این بردارها را می توان ساخت. بنابراین، در هر مکان مناسبی از صفحه، یک عمود بر بردار اصلی رسم کنید، یک پاره به اندازه طول یک جفت نقطه مرتب شده بر روی آن قرار دهید و یکی از انتهای آن را به عنوان ابتدای بردار عمود قرار دهید. این کار را با استفاده از نقاله و خط کش انجام دهید.

اگر بردار اصلی با مختصات دو بعدی ā = (X1;Y1) داده شود، فرض کنید که حاصل ضرب اسکالر یک جفت بردار عمود بر هم باید برابر با صفر باشد. این بدان معنی است که شما باید برای بردار مورد نظر ō = (X2,Y2) مختصاتی را انتخاب کنید که برابری (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0 برقرار باشد. این کار را می توان به این صورت انجام داد: مقدار غیر صفر برای مختصات X2، و مختصات Y2 را با استفاده از فرمول Y2 = -(X1*X2)/Y1 محاسبه کنید. به عنوان مثال، برای بردار ā = (15;5) یک بردار ō وجود خواهد داشت که ابسیسا برابر با یک و مجمل آن برابر با -(15*1)/5 = -3 است، یعنی. ō = (1;-3).

برای یک سیستم مختصات سه بعدی و هر سیستم مختصات متعامد دیگری، همان شرط لازم و کافی برای عمود بردارها صادق است - حاصل ضرب اسکالر آنها باید برابر با صفر باشد. بنابراین، اگر پاره‌ی جهت‌دار اولیه با مختصات à = (X1,Y1,Z1) داده شود، برای جفت مرتب شده نقطه ō = (X2,Y2,Z2) عمود بر آن مختصاتی را انتخاب کنید که شرط (a,ō) را برآورده می‌کند. ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. ساده ترین راه تخصیص مقادیر منفرد به X2 و Y2 و محاسبه Z2 از برابری ساده شده Z2 = -1*(X1*1 + Y1* است. 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. به عنوان مثال، برای بردار ā = (3،5،4) این شکل زیر خواهد بود: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. سپس ابسیسا و مختصات را بگیرید. بردار عمود بر یک، و در این حالت برابر با -(3+5)/4 = -2 خواهد بود.

منابع:

• اگر بردار عمود باشد آن را پیدا کنید

آنها را عمود بر هم می گویند بردارکه زاویه بین آن 90 درجه است. بردارهای عمود بر هم با استفاده از ابزار ترسیم ساخته می شوند. اگر مختصات آنها مشخص باشد، می توان عمود بردارها را با استفاده از روش های تحلیلی بررسی یا یافت.

شما نیاز خواهید داشت

• - نقاله
• - قطب نما؛
• - خط كش.

دستورالعمل ها

آن را روی نقطه شروع بردار قرار دهید. دایره ای با شعاع دلخواه رسم کنید. سپس دو با مرکز در نقاطی که دایره اول خطی را که بردار روی آن قرار دارد را قطع می کند، بسازید. شعاع این دایره ها باید برابر با هم و بزرگتر از اولین دایره ساخته شده باشد. در نقاط تقاطع دایره ها یک خط مستقیم بسازید که در مبدأ بر بردار اصلی عمود باشد و بردار عمود بر آن را بر روی آن رسم کنید.

یک بردار عمود بر بردار پیدا کنید که مختصات آن برابر با (x;y) باشد. برای انجام این کار، یک جفت عدد (x1;y1) را پیدا کنید که برابری x1+y y1=0 را برآورده کند. در این حالت، بردار با مختصات (x1;y1) بر بردار دارای مختصات (x;y) عمود خواهد بود.

این مقاله معنای عمود بودن دو بردار را در یک صفحه در فضای سه بعدی و یافتن مختصات یک بردار عمود بر یک یا یک جفت کامل از بردارها را آشکار می کند. این مبحث برای مسائل مربوط به معادلات خطوط و صفحات قابل استفاده است.

شرط لازم و کافی را برای عمود بودن دو بردار در نظر می گیریم، روش یافتن بردار عمود بر یک معین را حل می کنیم و موقعیت های یافتن بردار عمود بر دو بردار را لمس می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

شرط لازم و کافی برای عمود بودن دو بردار

بیایید قانون بردارهای عمود بر صفحه و در فضای سه بعدی را اعمال کنیم.

تعریف 1

به شرطی که زاویه بین دو بردار غیر صفر برابر 90 درجه (π 2 رادیان) باشد. عمود بر.

این به چه معناست و در چه شرایطی باید از عمود بودن آنها دانست؟

ایجاد عمود بر هم از طریق نقشه امکان پذیر است. هنگام ترسیم بردار بر روی صفحه از نقاط داده شده، می توانید زاویه بین آنها را به صورت هندسی اندازه گیری کنید. حتی اگر عمود بردارها ثابت شود، کاملاً دقیق نخواهد بود. در اغلب موارد، این وظایف به شما اجازه نمی دهند که این کار را با استفاده از نقاله انجام دهید، بنابراین این روش تنها زمانی قابل اجرا است که هیچ چیز دیگری در مورد بردارها شناخته نشده باشد.

اکثر موارد اثبات عمود بردار غیر صفر در یک صفحه یا در فضا با استفاده از شرط لازم و کافی برای عمود بودن دو بردار.

قضیه 1

حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر a → و b → برابر با صفر برای ارضای برابری a → , b → = 0 برای عمود بودن آنها کافی است.

شواهد 1

بگذارید بردارهای داده شده a → و b → عمود باشند، سپس برابری a ⇀ , b → = 0 را ثابت می کنیم.

از تعریف حاصل ضرب نقطه ای بردارهامی دانیم که برابر است حاصل ضرب طول بردارهای داده شده و کسینوس زاویه بین آنها. بر اساس شرط، a → و b → عمود هستند، به این معنی که بر اساس تعریف، زاویه بین آنها 90 درجه است. سپس یک → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 داریم.

بخش دوم اثبات

به شرطی که a ⇀، b → = 0، عمود بودن a → و b → را ثابت کنید.

در واقع، برهان برعکس مورد قبلی است. معلوم است که a → و b → غیر صفر هستند، یعنی از برابری a ⇀ , b → = a → b → · cos (a → , b →) ^ کسینوس را پیدا می کنیم. سپس cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 بدست می آوریم. از آنجایی که کسینوس صفر است، می توان نتیجه گرفت که زاویه a →، b → ^ بردارهای a → و b → برابر با ۹۰ درجه است. طبق تعریف، این یک خاصیت لازم و کافی است.

شرط عمود بر روی صفحه مختصات

فصل حاصل ضرب اسکالر در مختصاتنابرابری (a → , b →) = a x · b x + a y · b y را نشان می دهد که برای بردارهایی با مختصات a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) در صفحه و (a → b → ) = a x · b x + a y · b y برای بردارهای a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) در فضا. شرط لازم و کافی برای عمود بودن دو بردار در صفحه مختصات a x · b x + a y · b y = 0، برای فضای سه بعدی a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 است.

بیایید آن را عملی کنیم و به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1

خاصیت عمود بودن دو بردار a → = (2, - 3)، b → = (- 6, - 4) را بررسی کنید.

راه حل

برای حل این مشکل، باید محصول اسکالر را پیدا کنید. اگر طبق شرط برابر با صفر باشد، آنها عمود هستند.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . شرط برقرار است، به این معنی که بردارهای داده شده بر صفحه عمود هستند.

پاسخ:بله، بردارهای داده شده a → و b → عمود هستند.

مثال 2

بردارهای مختصات i → , j → , k → داده شده است. بررسی کنید که آیا بردارهای i → - j → و i → + 2 · j → + 2 · k → می توانند عمود بر هم باشند.

راه حل

برای اینکه به یاد بیاورید که چگونه مختصات بردار تعیین می شود، باید مقاله مربوط به آن را بخوانید مختصات برداری در یک سیستم مختصات مستطیلیبنابراین، متوجه می شویم که بردارهای داده شده i → - j → و i → + 2 · j → + 2 · k → دارای مختصات مربوطه (1، - 1، 0) و (1، 2، 2) هستند. مقادیر عددی را جایگزین می کنیم و می گیریم: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

عبارت برابر با صفر نیست، (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0، به این معنی که بردارهای i → - j → و i → + 2 j → + 2 k → عمود نیستند، زیرا شرط برقرار نیست.

پاسخ:خیر، بردارهای i → - j → و i → + 2 · j → + 2 · k → عمود بر هم نیستند.

مثال 3

بردارهای a → = (1, 0, - 2) و b → = (λ, 5, 1) داده شده است. مقدار λ را که در آن این بردارها عمود هستند را بیابید.

راه حل

از شرط عمود بودن دو بردار در فضا به صورت مربع استفاده می کنیم، سپس به دست می آوریم

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

پاسخ:بردارها در مقدار λ = 2 عمود هستند.

مواردی وجود دارد که بحث عمود بودن حتی در شرایط لازم و کافی غیر ممکن است. با توجه به داده های شناخته شده در سه ضلع یک مثلث بر روی دو بردار، امکان یافتن وجود دارد زاویه بین بردارهاو آن را بررسی کنید.

مثال 4

یک مثلث A B C با اضلاع A B = 8، A C = 6، B C = 10 سانتی متر داده می شود.بردارهای A B → و A C → را برای عمود بودن بررسی کنید.

راه حل

اگر بردارهای A B → و A C → عمود باشند، مثلث A B C مستطیل در نظر گرفته می شود. سپس قضیه فیثاغورث را اعمال می کنیم که در آن B C فرضیه مثلث است. برابری B C 2 = A B 2 + A C 2 باید درست باشد. نتیجه این است که 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. این بدان معنی است که A B و A C پاهای مثلث A B C هستند، بنابراین، A B → و A C → عمود بر هم هستند.

یادگیری چگونگی یافتن مختصات یک بردار عمود بر یک داده شده بسیار مهم است. این امر هم در صفحه و هم در فضا امکان پذیر است، مشروط بر اینکه بردارها عمود باشند.

یافتن بردار عمود بر بردار معین در یک صفحه.

یک بردار غیر صفر a → می تواند بی نهایت بردار عمود بر صفحه داشته باشد. بیایید این را روی خط مختصات به تصویر بکشیم.

با توجه به یک بردار غیر صفر a → که روی خط مستقیم a قرار دارد. سپس یک b → داده شده، که روی هر خط عمود بر خط a قرار دارد، عمود بر a → می شود. اگر بردار i → عمود بر بردار j → یا هر یک از بردارهای λ · j → با λ برابر با هر عدد واقعی غیر از صفر باشد، پس یافتن مختصات بردار b → عمود بر a → = (a x , a y ) به مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها تقلیل می یابد. اما لازم است مختصات بردار عمود بر a → = (a x , a y) را پیدا کنیم. برای این کار لازم است شرط عمود بردارها را به شکل زیر بنویسید: a x · b x + a y · b y = 0. b x و b y داریم که مختصات مورد نظر بردار عمود هستند. وقتی a x ≠ 0، مقدار b y غیر صفر است و b x را می توان از نابرابری a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x محاسبه کرد. برای x = 0 و a y ≠ 0، به b x هر مقداری غیر از صفر نسبت می دهیم و b y را از عبارت b y = - a x · b x a y پیدا می کنیم.

مثال 5

بردار با مختصات a → = (- 2 , 2) داده می شود. بردار عمود بر این را پیدا کنید.

راه حل

اجازه دهید بردار مورد نظر را به صورت b → (b x , b y) نشان دهیم. مختصات آن را می توان از شرط عمود بودن بردارهای a → و b → پیدا کرد. سپس بدست می آوریم: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . بیایید b y = 1 را اختصاص دهیم و جایگزین کنیم: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . بنابراین، از فرمول ما b x = - 2 - 2 = 1 2 را دریافت می کنیم. این بدان معنی است که بردار b → = (1 2، 1) بردار عمود بر a → است.

پاسخ: b → = (1 2، 1) .

اگر در مورد فضای سه بعدی سوالی مطرح شود بر اساس همین اصل مشکل حل می شود. برای یک بردار معین a → = (a x , a y , a z) بی نهایت بردار عمود وجود دارد. این را در یک صفحه مختصات سه بعدی برطرف می کند. با توجه به → دروغ گفتن روی خط a. صفحه عمود بر مستقیم a با α نشان داده می شود. در این حالت، هر بردار غیر صفر b → از صفحه α عمود بر a → است.

لازم است مختصات b → عمود بر بردار غیر صفر a → = (a x , a y , a z) .

فرض کنید b → با مختصات b x، b y و b z داده شود. برای یافتن آنها باید از تعریف شرط عمود بودن دو بردار استفاده کرد. برابری a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 باید برآورده شود. از شرط a → غیر صفر است، به این معنی که یکی از مختصات مقداری برابر با صفر ندارد. بیایید فرض کنیم که a x ≠ 0، (a y ≠ 0 یا a z ≠ 0). بنابراین، ما حق داریم کل نابرابری a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 را با این مختصات تقسیم کنیم، عبارت b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y را به دست می آوریم. + a z · b z a x . هر مقداری را به مختصات b y و b x اختصاص می دهیم، مقدار b x را بر اساس فرمول محاسبه می کنیم، b x = - a y · b y + a z · b z a x. بردار عمودی مورد نظر دارای مقدار a → = (a x, a y, a z) خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک مثال به اثبات نگاه کنیم.

مثال 6

بردار با مختصات a → = (1، 2، 3)  داده می شود. بردار عمود بر داده شده را پیدا کنید.

راه حل

اجازه دهید بردار مورد نظر را با b → = (b x , b y , b z) نشان دهیم. بر اساس این شرط که بردارها عمود باشند، حاصل ضرب اسکالر باید برابر با صفر باشد.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

اگر مقدار b y = 1، b z = 1، آنگاه b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. بدین ترتیب مختصات بردار b → (- 5 , 1 , 1) . بردار b → یکی از بردارهای عمود بر داده شده است.

پاسخ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

یافتن مختصات یک بردار عمود بر دو بردار داده شده

ما باید مختصات بردار را در فضای سه بعدی پیدا کنیم. بر بردارهای غیر خطی a → (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) عمود است. به شرطی که بردارهای a → و b → هم خط باشند، یافتن بردار عمود بر a → یا b → در مسئله کافی است.

هنگام حل، از مفهوم حاصلضرب برداری از بردارها استفاده می شود.

حاصلضرب برداری بردارها a → و b → برداری است که به طور همزمان بر هر دو a → و b → عمود است. برای حل این مشکل از حاصل ضرب برداری a → × b → استفاده می شود. برای فضای سه بعدی به شکل a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z است.

بیایید با استفاده از یک مسئله مثال، محصول برداری را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

مثال 7

بردارهای b → = (0، 2، 3) و a → = (2، 1، 0) داده شده است. مختصات هر بردار عمود بر داده را به طور همزمان بیابید.

راه حل

برای حل، باید حاصل ضرب برداری بردارها را پیدا کنید. (لطفاً به پاراگراف مراجعه کنید محاسبه دترمینان یک ماتریسبرای پیدا کردن بردار). ما گرفتیم:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

پاسخ: (3 , - 6 , 4) - مختصات برداری که به طور همزمان بر a → و b → داده شده عمود است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید