ایرینا 25 کسرهای مناسب و نامناسب. کسرهای مناسب و نامناسب

آنها به دو دسته درست و نادرست تقسیم می شوند.

کسرهای مناسب

کسر مناسبکسری معمولی است که صورت آن کوچکتر از مخرج است.

برای اینکه بفهمید یک کسری درست است یا خیر، باید عبارات آن را با یکدیگر مقایسه کنید. شرایط کسری بر اساس قانون مقایسه اعداد طبیعی مقایسه می شود.

مثال.کسری را در نظر بگیرید:

7

8

مثال:

8	= 1	1
7		7

قوانین ترجمه و مثال های اضافی را می توان در مبحث تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط یافت. همچنین می توانید از ماشین حساب آنلاین برای تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط استفاده کنید.

مقایسه کسرهای مناسب و نامناسب

هر کسری معمولی نامناسب بزرگتر از کسر مناسب است، زیرا کسر مناسب همیشه کوچکتر از یک است و کسر نامناسب بزرگتر یا مساوی یک است.

مثال:

3	>	99
2		100

قوانین مقایسه و مثال های اضافی را می توان در مبحث مقایسه کسرهای معمولی یافت. همچنین برای مقایسه کسرها یا بررسی مقایسه می توانید استفاده کنید

کسرهای معمولی به کسرهای \textit (مناسب) و \textit (نادرست) تقسیم می‌شوند. این تقسیم بر اساس مقایسه صورت و مخرج است.

کسرهای مناسب

کسر مناسبکسری معمولی $\frac(m)(n)$ است که صورت آن کوچکتر از مخرج است، یعنی. $ متر

مثال 1

برای مثال، کسرهای $\frac(1)(3)$، $\frac(9)(123)$، $\frac(77)(78)$، $\frac(378567)(456298)$ منظم هستند. ، پس چگونه در هر یک از آنها صورت کوچکتر از مخرج است که با تعریف کسری مناسب مطابقت دارد.

تعریفی از کسر مناسب وجود دارد که مبتنی بر مقایسه کسری با یک واحد است.

درستاگر کمتر از یک باشد:

مثال 2

به عنوان مثال، کسر مشترک $\frac(6)(13)$ مناسب است زیرا شرط $\frac(6)(13)

کسرهای نامناسب

کسر نامناسبکسری معمولی $\frac(m)(n)$ است که صورت آن بزرگتر یا مساوی با مخرج است، یعنی. $m\ge n$.

مثال 3

برای مثال، کسرهای $\frac(5)(5)$، $\frac(24)(3)$، $\frac(567)(113)$، $\frac(100001)(100000)$ نامناسب هستند. ، بنابراین چگونه در هر یک از آنها صورت بزرگتر یا مساوی با مخرج است که با تعریف کسری نامناسب مطابقت دارد.

بیایید تعریف کسر نامناسب را ارائه دهیم که بر اساس مقایسه آن با واحد است.

کسر معمولی $\frac(m)(n)$ است اشتباهاگر مساوی یا بزرگتر از یک باشد:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

مثال 4

به عنوان مثال، کسر مشترک $\frac(21)(4)$ نامناسب است زیرا شرط $\frac(21)(4) >1$ برآورده می شود.

کسر معمولی $\frac(8)(8)$ نامناسب است زیرا شرط $\frac(8)(8)=1$ برآورده می شود.

اجازه دهید مفهوم کسری نامناسب را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

بیایید $\frac(7)(7)$ را به عنوان مثال در نظر بگیریم. مقدار این کسر به عنوان هفت قسمت یک جسم در نظر گرفته می شود که به هفت قسمت مساوی تقسیم می شود. بنابراین، از هفت سهم موجود، می توانید کل موضوع را تشکیل دهید. آن ها کسر نامناسب $\frac(7)(7)$ کل شی را توصیف می کند و $\frac(7)(7)=1$. بنابراین، کسرهای نامناسب که در آنها صورت برابر با مخرج است، یک شیء کامل را توصیف می کنند و چنین کسری را می توان با یک عدد طبیعی $1$ جایگزین کرد.

$\frac(5)(2)$ -- کاملاً واضح است که این پنج قسمت دوم می تواند 2$ کل آیتم بسازد (یک مورد کامل $2$ قسمت می کند و برای ساخت دو مورد کامل به $2+2=4$ نیاز دارید. سهم) و یک سهم دوم باقی می ماند. یعنی کسر نامناسب $\frac(5)(2)$ $2$ از یک آیتم و $\frac(1)(2)$ از آن آیتم را توصیف می کند.

$\frac(21)(7)$ -- بیست و یک و هفتم می تواند اقلام کامل 3 دلاری بسازد (اقلام 3 دلاری با سهام 7 دلاری هر کدام). آن ها کسری $\frac(21)(7)$ اعداد صحیح $3$ را توصیف می کند.

از مثال‌های در نظر گرفته شده، می‌توان نتیجه‌گیری زیر را گرفت: یک کسر نامناسب را می‌توان با یک عدد طبیعی جایگزین کرد اگر صورت کاملاً بر مخرج بخش‌پذیر باشد (برای مثال $\frac(7)(7)=1$ و $\ frac(21)(7)=3$) یا مجموع یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب اگر صورت حتی بر مخرج هم بخش پذیر نباشد (مثلا $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). بنابراین، چنین کسری نامیده می شود اشتباه.

تعریف 1

فرآیند نمایش یک کسر نامناسب به عنوان مجموع یک عدد طبیعی و یک کسر مناسب (برای مثال $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) نامیده می شود. استخراج جزء صحیح از کسری نامناسب.

هنگام کار با کسرهای نامناسب، ارتباط نزدیکی بین آنها و اعداد مختلط وجود دارد.

کسر نامناسب اغلب به صورت یک عدد مختلط نوشته می شود، عددی که از یک عدد کامل و یک جزء کسری تشکیل شده است.

برای نوشتن یک کسر نامناسب به عنوان یک عدد مختلط، باید صورت را بر مخرج با باقی مانده تقسیم کنید. ضریب جزء صحیح عدد مختلط، باقیمانده صورت جزء کسری و مقسوم علیه مخرج جزء کسری خواهد بود.

مثال 5

کسر نامناسب $\frac(37)(12)$ را به صورت یک عدد مختلط بنویسید.

راه حل.

عدد را بر مخرج با باقیمانده تقسیم کنید:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (باقيمانده\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

پاسخ.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

برای نوشتن یک عدد مختلط به عنوان کسر نامناسب، باید مخرج را در قسمت صحیح عدد ضرب کنید، صورت بخش کسری را به حاصلضرب اضافه کنید و مقدار حاصل را در صورت‌گر کسر بنویسید. مخرج کسر نامناسب برابر با مخرج جزء کسری عدد مختلط خواهد بود.

مثال 6

عدد مختلط $5\frac(3)(7)$ را به عنوان کسر نامناسب بنویسید.

راه حل.

پاسخ.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

اضافه کردن یک عدد مختلط و یک کسر مناسب

اضافه کردن یک عدد مختلط$a\frac(b)(c)$ و کسر مناسب$\frac(d)(e)$ با افزودن قسمت کسری عدد مختلط داده شده به کسر داده شده عمل می کند:

مثال 7

کسر مناسب $\frac(4)(15)$ و عدد مختلط $3\frac(2)(5)$ را اضافه کنید.

راه حل.

بیایید از فرمول برای جمع کردن یک عدد مختلط و یک کسر مناسب استفاده کنیم:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( پانزده)\]

با معیار تقسیم بر عدد \textit(5) می توان تعیین کرد که کسر $\frac(10)(15)$ تقلیل پذیر است. کاهش را انجام دهید و نتیجه جمع را بیابید:

بنابراین، نتیجه جمع کردن کسر مناسب $\frac(4)(15)$ و عدد مختلط $3\frac(2)(5)$ $3\frac(2)(3)$ است.

پاسخ:$3\frac(2)(3)$

اضافه کردن یک عدد مختلط و یک کسر نامناسب

جمع کردن یک کسر نامناسب و یک عدد مختلطبه جمع دو عدد مختلط کاهش دهید که برای آن کافی است کل قسمت را از یک کسر نامناسب انتخاب کنید.

مثال 8

مجموع عدد مختلط $6\frac(2)(15)$ و کسر نامناسب $\frac(13)(5)$ را محاسبه کنید.

راه حل.

ابتدا قسمت عدد صحیح را از کسر نامناسب $\frac(13)(5)$ استخراج می کنیم:

پاسخ:$8\frac(11)(15)$.

کیک را به 8 قسمت مساوی برش می زنند (شکل 122 الف) و 3 قسمت را در بشقاب می گذارند.

یک پیروگ روی آن بود (شکل 122، ب). اگر هر 8 قسمت را قرار دهید، یک پای روی بشقاب خواهد بود، یعنی کل پای (شکل 122، ج).

برنج. 122

بنابراین = 1.

بیایید یک پای مشابه دیگر برداریم و آن را نیز به 8 قسمت مساوی برش دهیم (شکل 123، الف). اگر به عنوان مثال، 11 قسمت را روی یک بشقاب قرار دهید، یک پای وجود خواهد داشت (شکل 123، ب).

برنج. 123

در کسری، صورت کوچکتر از مخرج است. به چنین کسرهایی مناسب می گویند. در کسری، صورت برابر با مخرج است و در کسری، صورت بزرگتر از مخرج است. چنین کسری نامناسب نامیده می شود.

برنج. 124

مثلا،< 1, = 1, > 1.

سوالاتی برای خودآزمایی

• کسر مناسب چیست؟
• کسری نامناسب چیست؟
• آیا یک کسر مناسب می تواند بزرگتر از 1 باشد؟
• آیا کسر نامناسب همیشه بزرگتر از 1 است؟
• اگر یکی از آنها صحیح و دیگری نادرست باشد کدام کسر بزرگتر است؟

تمرینات را انجام دهید

974. طول پاره AB 8 سانتی متر است پاره ای را رسم کنید که طول آن برابر است با:

975. نقاط روی پرتو را با مختصات مشخص کنید:

برای یک بخش، طول 12 خانه نوت بوک را در نظر بگیرید.

976. نوشتن:

• الف) همه کسرهای مناسب با مخرج 6.
• ب) همه کسرهای نامناسب با عدد 5.

977. برای چه مقادیری یک کسری است:

978. یک ماشین می تواند خندقی به طول 1 متر را در 6 دقیقه حفر کند. 5 دقیقه؛ 7 دقیقه؛ 11 دقیقه؟

979. یک کیلوگرم رنگ می تواند 5 متر مربع از سطح را پوشش دهد. چه مقدار رنگ برای رنگ آمیزی 3 متر مربع نیاز است. 6 متر مربع; 13 متر مربع سطح؟

980. تیم سازنده مزرعه را در 48 روز ساخت. این طرح برای این زمان لازم بود. طبق برنامه چند روز برای ساخت مزرعه در نظر گرفته شد؟

981. ترنر 135 قطعه را در 3 ساعت بر روی یک ماشین تراش چرخاند و هنجار روزانه را تکمیل کرد. طبق نرمال باید در یک روز کاری (8 ساعت) چند قسمت را آسیاب کند؟ اگر با همان بهره وری کار کند در یک روز کاری چند قطعه را ماشین می کند؟

982. ترنر 135 قطعه را بر روی یک ماشین تراش می چرخاند و هنجار روزانه را تکمیل می کند. پول روزانه او چقدر است؟

983. کنسرت نوازندگان جوان به جای 3 ساعت برنامه ریزی شده، این بار ادامه یافت، زیرا حاضران خواستار تکرار برخی از اجراهای مورد علاقه خود شدند. کنسرت چقدر طول کشید؟ پیس ها چند دقیقه بود؟

984. محاسبه شفاهی:

985. چند دقیقه در یک ساعت؟ 1 دقیقه چند کسری از ساعت است؟ 7 دقیقه؛ 15 دقیقه؟

986. چند برابر یک سنتر بیشتر از یک کیلوگرم است؟ یک کیلوگرم چه قسمتی از سانتر است؟ چند سانت بیشتر از یک کیلوگرم است؟

987. چند دقیقه

988. اعداد 40 و 60 را جمع کنید اعداد 81 را از عدد 72 کم کنید.

989. نیمی از عدد 18 است. این عدد را پیدا کنید. یک سوم عدد 27 است. این عدد را پیدا کنید. سه چهارم عدد 60 است. این عدد را پیدا کنید.

990. کدام قسمت از چهار ضلعی ABCD (شکل 125) سایه دار است؟ چه قسمتی بدون رنگ باقی مانده است؟

برنج. 125

991. بیان بر حسب گرم:

• الف) 3 کیلوگرم 400 گرم؛
• ب) 2 کیلوگرم 30 گرم؛
• ج) 15 کیلوگرم

992. کسری ها را به ترتیب صعودی مرتب کنید:

این کسرها را به ترتیب نزولی مرتب کنید.

993. چهار کسری که کوچکتر از آن هستند نام ببرید

994. 5 کسری که بزرگتر از .

995. یک مربع با ضلع 4 سانتی متر بکشید روی نقاشی نشان دهید: یک مربع، یک مربع. مساحت این قسمت های مربع را بیابید و نتیجه را توضیح دهید.

996. در روز اول، تیپ 5 تن و 400 کیلوگرم سیب زمینی جمع آوری کرد و در روز دوم - 1 تن 200 کیلوگرم کمتر از روز اول. در روز سوم، تیپ 2 برابر بیشتر از روز دوم سیب زمینی جمع آوری کرد. در این سه روز چند سیب زمینی توسط تیپ برداشت شد؟

997. یک مسئله را با توجه به معادله بنویسید:

• الف) (y + 6) - 2 = 15;
• ب) 2 (a - 5) = 24;
• ج) 3(25 + ب) + 15 = 135.

998. در ماشین اول یک نفر وجود داشت و در ماشین دوم - افراد b. در ایستگاه، افراد c از ماشین اول و d نفر از ماشین دوم پیاده شدند. معنی عبارات زیر چیست:

• a + b;
• الف - ج؛
• c + d;
• ب-د؛
• (الف + ب) - (ج + د)؛
• (الف - ج) + (ب - د)؟

توضیح دهد که چرا

(الف + ب) - (ج + د) = (الف - ج) + (ب - د)

برای a > c، b > d.

این برابری را با a = 45، b = 39، c = 14، d = 12 بررسی کنید.

با استفاده از برابری حاصل، مقدار عبارت را محاسبه کنید:

• الف) (548 + 897) - (148 + 227);
• ب) (391 + 199) - (181 + 79).

999. به پنج کسری فکر کنید که صورت آنها 3 کوچکتر از مخرج است. پنج کسری را بنویسید که صورت آنها 3 برابر مخرج است.

1000. برای چه مقادیری از x کسر نامناسب خواهد بود؟

1001. کشاورز قصد داشت 12 تن سبزی از مزرعه جمع آوری کند اما این مقدار را جمع آوری کرد. کشاورز چند تن سبزی جمع آوری کرد؟

1002. گردشگر در روز اول 18 کیلومتر را پیاده طی کرد که این مسیری است که در روز دوم باید طی کند. یک گردشگر در این دو روز چند کیلومتر باید پیاده روی کند؟

1003. یک قطار باری با سرعت 48 کیلومتر در ساعت سنت پترزبورگ را به مقصد مسکو ترک کرد و یک ساعت بعد یک قطار سریع از مسکو با سرعت 82 کیلومتر در ساعت به مقصد سنت پترزبورگ حرکت کرد. فاصله بین قطارها را پیدا کنید:

• الف) 1 ساعت پس از خروج قطار سریع؛
• ب) 3 ساعت پس از حرکت قطار باری؛
• ج) 5 ساعت پس از خروج قطار سریع السیر.

فاصله مسکو تا سن پترزبورگ 650 کیلومتر است.

1004. مقدار عبارت را پیدا کنید:

• الف) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• ب) (2 254 175 + 94 447): 414 - 1329;
• ج) (123 - 93): (12 - 9);
• د) (62 + Z2)2.