خواص جمع را به هنگام خواندن فهرست کنید. خواص جمع، ضرب، تفریق و تقسیم اعداد صحیح

بیایید یک مستطیل روی یک کاغذ در قفس با اضلاع 5 سانتی متر و 3 سانتی متر بکشیم و آن را به مربع هایی با ضلع 1 سانتی متر بشکنیم (شکل 143). بیایید تعداد سلول های مستطیل را بشماریم. این را می توان مثلاً به این صورت انجام داد.

تعداد مربع های با ضلع 1 سانتی متر 5 * 3 است. هر مربع از این چهار خانه تشکیل شده است. بنابراین، تعداد کل سلول ها (5 * 3 ) * 4 است.

همین مشکل را می توان به طور متفاوت حل کرد. هر یک از پنج ستون مستطیل از سه مربع با ضلع 1 سانتی متر تشکیل شده است بنابراین یک ستون شامل 3 * 4 خانه است. بنابراین، در مجموع 5 * (3 * 4) سلول وجود خواهد داشت.

تعداد سلول ها در شکل 143 به دو صورت نشان داده شده است خاصیت تداعی ضرببرای اعداد 5، 3 و 4 ما داریم: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4).

برای ضرب حاصل ضرب دو عدد در عدد سوم می توان عدد اول را در حاصل ضرب عدد دوم و سوم ضرب کرد.

(ab)c = a(bc)

از ویژگی‌های جابجایی و تداعی ضرب چنین برمی‌آید که هنگام ضرب چندین اعداد، عوامل را می‌توان تعویض کرد و در پرانتز محصور کرد و در نتیجه ترتیب محاسبات را تعیین کرد.

به عنوان مثال، برابری ها صادق هستند:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

در شکل 144، بخش AB مستطیل در نظر گرفته شده در بالا را به یک مستطیل و یک مربع تقسیم می کند.

تعداد مربع های با ضلع 1 سانتی متر را به دو صورت می شماریم.

از یک طرف، 3 * 3 از آنها در مربع حاصل، و 3 * 2 در مستطیل وجود دارد. در مجموع 3 * 3 + 3 * 2 مربع می گیریم. از طرفی هر یک از سه ردیف این مستطیل شامل 3 + 2 مربع است. سپس تعداد کل آنها 3 * (3 + 2) است.

برابر با 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 نشان می دهد خاصیت توزیعی ضرب با توجه به جمع.

برای ضرب کردن یک عدد در مجموع دو عدد، می توانید این عدد را در هر جمله ضرب کنید و حاصل جمع آوری کنید.

این ویژگی به صورت تحت اللفظی به صورت زیر نوشته می شود:

a(b + c) = ab + ac

از خاصیت توزیعی ضرب با توجه به جمع نتیجه می شود که

ab + ac = a (b + c).

این تساوی به فرمول P = 2 a + 2 b اجازه می دهد تا محیط یک مستطیل را به صورت زیر نوشته شود:

P = 2 (a + b).

توجه داشته باشید که ویژگی توزیع برای سه دوره یا بیشتر معتبر است. مثلا:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + ق.

خاصیت توزیعی ضرب با توجه به تفریق نیز صادق است: اگر b > c یا b = c، پس

a(b - c) = ab - ac

مثال 1 . به روشی راحت محاسبه کنید:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) ما از ویژگی های جابجایی و سپس از خواص تداعی ضرب استفاده می کنیم:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) ما داریم:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

مثال 2 . عبارت را ساده کنید:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 - 13 متر.

1) با استفاده از خواص جابجایی و تداعی ضرب، به دست می آوریم:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق، به دست می آوریم:

18 متر - 13 متر = متر (18 - 13) = متر * 5 = 5 متر.

مثال 3 . عبارت 5 (2 m + 7) را طوری بنویسید که حاوی پرانتز نباشد.

با توجه به خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع، داریم:

5 (2 متر + 7) = 5 * 2 متر + 5 * 7 = 10 متر + 35.

چنین تحولی نامیده می شود براکت های باز کننده.

مثال 4 . مقدار عبارت 125 * 24 * 283 را به روشی مناسب محاسبه کنید.

راه حل. ما داریم:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

مثال 5 . ضرب را انجام دهید: 3 روز 18 ساعت * 6.

راه حل. ما داریم:

3 روز 18 ساعت * 6 = 18 روز 108 ساعت = 22 روز 12 ساعت

هنگام حل مثال، از خاصیت توزیعی ضرب با توجه به جمع استفاده شد:

3 روز 18 ساعت * 6 = (3 روز + 18 ساعت) * 6 = 3 روز * 6 + 18 ساعت * 6 = 18 روز + 108 ساعت = 18 روز + 96 ساعت + 12 ساعت = 18 روز + 4 روز + 12 ساعت = 22 روز 12 ساعت

تعدادی از نتایج ذاتی در این عمل را می توان ذکر کرد. این نتایج نامیده می شوند خواص جمع اعداد طبیعی. در این مقاله خواص جمع اعداد طبیعی را به تفصیل تجزیه و تحلیل می کنیم، آنها را با حروف می نویسیم و مثال های توضیحی می دهیم.

پیمایش صفحه.

خاصیت انجمنی جمع اعداد طبیعی.

اکنون مثالی می آوریم که خاصیت انجمنی جمع اعداد طبیعی را نشان می دهد.

موقعیتی را تصور کنید: 1 سیب از درخت سیب اول افتاد و 2 سیب و 4 سیب دیگر از درخت سیب دوم افتاد. حال وضعیت زیر را در نظر بگیرید: 1 سیب و 2 سیب دیگر از درخت سیب اول افتاد و 4 سیب از درخت سیب دوم افتاد. واضح است که در هر دو حالت اول و دوم به همان تعداد سیب روی زمین خواهد بود (که قابل بررسی است. محاسبه مجدد). یعنی حاصل جمع عدد 1 به مجموع اعداد 2 و 4 برابر است با حاصل جمع اعداد 1 و 2 به عدد 4.

مثال در نظر گرفته شده به ما اجازه می دهد تا خاصیت انجمنی جمع اعداد طبیعی را فرمول بندی کنیم: برای اضافه کردن مجموع معین از دو عدد به یک عدد معین، می توانید جمله اول این مجموع را به این عدد اضافه کنید و جمله دوم را اضافه کنید. این مجموع به نتیجه به دست آمده است. این ویژگی را می توان با حروفی مانند زیر نوشت: a+(b+c)=(a+b)+c، که در آن a، b و c اعداد طبیعی دلخواه هستند.

لطفاً توجه داشته باشید که در برابری a+(b+c)=(a+b)+c پرانتزهای "(" و ") وجود دارد. از پرانتزها در عبارات برای نشان دادن ترتیب انجام اقدامات استفاده می شود - اقدامات داخل پرانتز ابتدا انجام می شوند (در این مورد در بخش بیشتر توضیح داده می شود). به عبارت دیگر، براکت ها عباراتی را در بر می گیرند که ابتدا مقادیر آنها ارزیابی می شود.

در پایان این بخش، متذکر می شویم که ویژگی انجمنی جمع به ما اجازه می دهد تا به طور منحصر به فرد تعیین کنیم جمع سه، چهار یا چند عدد طبیعی.

خاصیت جمع صفر و عدد طبیعی، خاصیت جمع صفر به صفر.

می دانیم که صفر یک عدد طبیعی نیست. پس چرا تصمیم گرفتیم در این مقاله خاصیت جمع صفر و عدد طبیعی را در نظر بگیریم؟ برای این سه دلیل وجود دارد. ابتدا این ویژگی زمانی استفاده می شود که جمع ستونی اعداد طبیعی. دوم این که این خاصیت زمانی استفاده می شود که تفریق اعداد طبیعی. ثالثاً: اگر فرض کنیم که صفر به معنای عدم وجود چیزی است، معنی جمع کردن صفر و یک عدد طبیعی همان است. حس جمع دو عدد طبیعی.

اجازه دهید استدلالی را انجام دهیم که به ما در فرمول بندی خاصیت جمع صفر و یک عدد طبیعی کمک می کند. تصور کنید که هیچ آیتمی در جعبه وجود ندارد (به عبارت دیگر، 0 مورد در جعبه وجود دارد)، و یک آیتم در آن قرار می گیرد که a هر عدد طبیعی است. یعنی 0 و یک آیتم اضافه شد. مشخص است که پس از این عمل مواردی در جعبه وجود دارد. بنابراین، برابری 0+a=a درست است.

به همین ترتیب، اگر یک جعبه حاوی یک آیتم باشد و 0 مورد به آن اضافه شود (یعنی هیچ موردی اضافه نشود)، پس از این عمل، یک آیتم در کادر قرار خواهد گرفت. بنابراین a+0=a.

حال می توانیم خاصیت جمع صفر و یک عدد طبیعی را بیان کنیم: مجموع دو عدد که یکی از آنها صفر است با عدد دوم برابر است. از نظر ریاضی، این ویژگی را می توان به صورت برابری زیر نوشت: 0+a=aیا a+0=a، که در آن a یک عدد طبیعی دلخواه است.

به طور جداگانه به این نکته توجه می کنیم که هنگام جمع یک عدد طبیعی و صفر، خاصیت جابجایی جمع صادق می ماند، یعنی a+0=0+a .

در نهایت، ویژگی اضافه صفر صفر را فرمول بندی می کنیم (کاملاً واضح است و نیازی به نظرات اضافی ندارد): مجموع دو عددی که هر کدام صفر هستند، صفر است. به این معنا که، 0+0=0 .

حالا وقت آن است که بفهمیم چگونه جمع اعداد طبیعی.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضی. هر کتاب درسی برای پایه های 1، 2، 3، 4 موسسات آموزشی.
• ریاضی. هر کتاب درسی برای 5 کلاس از موسسات آموزشی.

موضوعی که این درس به آن اختصاص دارد «ویژگی های جمع» است که در آن با ویژگی های جابجایی و تداعی جمع آشنا می شوید و با مثال هایی خاص آن ها را بررسی می کنید. دریابید که چه زمانی می‌توانید از آنها برای آسان‌تر کردن فرآیند محاسبه استفاده کنید. موارد تست به تعیین اینکه چقدر مطالب را خوب یاد گرفته اید کمک می کند.

درس: خواص جمع

به این عبارت دقت کنید:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

باید ارزش آن را پیدا کنیم. بیایید آن را انجام دهیم.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

نتیجه عبارت 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
به من بگو، آیا محاسبه راحت بود؟ محاسبه خیلی راحت نبود. دوباره به اعداد این عبارت نگاه کنید. آیا می توان آنها را تعویض کرد تا محاسبات راحت تر باشد؟

اگر اعداد را به گونه ای دیگر مرتب کنیم:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

نتیجه نهایی عبارت 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40 است.
می بینیم که نتایج عبارات یکسان است.

اگر برای محاسبات راحت باشد، شرایط را می توان تعویض کرد و ارزش مجموع از این تغییر نخواهد کرد.

در ریاضیات قانونی وجود دارد: قانون جابجایی جمع. می گوید که مجموع از ترتیب مجدد شرایط تغییر نمی کند.

عمو فئودور و شاریک با هم بحث کردند. شاریک ارزش عبارت را همانطور که نوشته شده بود پیدا کرد و عمو فیودور گفت که روش دیگری راحت تر برای محاسبه می داند. آیا روش راحت تری برای محاسبه می بینید؟

توپ عبارت را همانطور که نوشته شده حل کرد. و عمو فیودور گفت که او قانونی را می داند که به شما اجازه می دهد شرایط را تغییر دهید و اعداد 25 و 3 را عوض کرد.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

می بینیم که نتیجه یکسان است، اما محاسبه بسیار آسان تر شده است.

به عبارات زیر نگاه کنید و آنها را بخوانید.

6 + (24 + 51) = 81 (به 6 جمع 24 و 51 را اضافه کنید)
آیا روش مناسبی برای محاسبه وجود دارد؟
می بینیم که اگر 6 و 24 را جمع کنیم یک عدد گرد به دست می آید. اضافه کردن چیزی به یک عدد گرد همیشه آسان تر است. مجموع اعداد 6 و 24 را داخل پرانتز بگیرید.
(6 + 24) + 51 = …
(به جمع اعداد 6 و 24 عدد 51 اضافه کنید)

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم و ببینیم آیا مقدار عبارت تغییر کرده است؟

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

می بینیم که ارزش عبارت ثابت می ماند.

بیایید با یک مثال دیگر تمرین کنیم.

(27 + 19) + 1 = 47 (به مجموع اعداد 27 و 19 1 اضافه کنید)
چه اعدادی را می توان به راحتی به گونه ای دسته بندی کرد که راه مناسبی به دست آید؟
حدس زدید که اینها اعداد 19 و 1 هستند. بیایید مجموع اعداد 19 و 1 را در پرانتز بگیریم.
27 + (19 + 1) = …
(به 27 جمع اعداد 19 و 1 را اضافه کنید)
بیایید ارزش این عبارت را پیدا کنیم. به یاد داریم که ابتدا عمل داخل پرانتز انجام می شود.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

معنای بیان ما ثابت می ماند.

قانون جمع: دو عبارت مجاور را می توان با مجموع آنها جایگزین کرد.

حالا بیایید استفاده از هر دو قانون را تمرین کنیم. باید مقدار عبارت را محاسبه کنیم:

38 + 14 + 2 + 6 = …

ابتدا از خاصیت جابجایی جمع استفاده می کنیم که به ما امکان می دهد شرایط را با هم عوض کنیم. بیایید اصطلاحات 14 و 2 را با هم عوض کنیم.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

اکنون از ویژگی انجمنی استفاده می کنیم که به ما امکان می دهد دو عبارت همسایه را با مجموع آنها جایگزین کنیم.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

ابتدا مقدار مجموع 38 و 2 را می یابیم.

اکنون مجموع 14 و 6 است.

3. جشنواره ایده های آموزشی "درس باز" ().

در خانه انجام دهید

1. مجموع عبارت ها را به روش های مختلف محاسبه کنید:

الف) 5 + 3 + 5 ب) 7 + 8 + 13 ج) 24 + 9 + 16

2-نتایج عبارات را محاسبه کنید:

الف) 19 + 4 + 16 + 1 ب) 8 + 15 + 12 + 5 ج) 20 + 9 + 30 + 1

3. مقدار را به روشی مناسب محاسبه کنید:

الف) 10 + 12 + 8 + 20 ب) 17 + 4 + 3 + 16 ج) 9 + 7 + 21 + 13

ما جمع، ضرب، تفریق و تقسیم اعداد صحیح را تعریف کرده ایم. این اعمال (عملیات) دارای تعدادی نتایج مشخصه هستند که به آنها خواص می گویند. در این مقاله ویژگی های اساسی جمع و ضرب اعداد صحیح را بررسی خواهیم کرد که سایر خصوصیات این عملیات از آنها پیروی می کنند و همچنین ویژگی های تفریق و تقسیم اعداد صحیح را بررسی خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

جمع اعداد صحیح چندین ویژگی بسیار مهم دیگر نیز دارد.

یکی از آنها مربوط به وجود صفر است. این خاصیت جمع اعداد صحیح بیان می کند که افزودن صفر به هر عدد کامل، آن عدد را تغییر نمی دهد. بیایید این ویژگی جمع را با استفاده از حروف بنویسیم: a+0=a و 0+a=a (این برابری به دلیل خاصیت جابجایی جمع معتبر است)، a هر عدد صحیحی است. ممکن است بشنوید که عدد صحیح صفر علاوه بر آن عنصر خنثی نیز نامیده می شود. بیایید چند مثال بزنیم. مجموع یک عدد صحیح −78 و صفر برابر با −78 است. اگر یک عدد صحیح مثبت 999 را به صفر اضافه کنیم، در نتیجه عدد 999 را بدست می آوریم.

اکنون ویژگی دیگری از جمع اعداد صحیح را فرموله می کنیم که مربوط به وجود یک عدد مخالف برای هر عدد صحیح است. مجموع هر عدد صحیح با عدد مقابل آن صفر است. در اینجا شکل تحت اللفظی این ویژگی است: a+(-a)=0، که در آن a و −a اعداد صحیح مخالف هستند. برای مثال، مجموع 901+(-901) صفر است. به طور مشابه، مجموع اعداد صحیح مقابل 97- و 97 صفر است.

خواص اساسی ضرب اعداد صحیح

ضرب اعداد صحیح تمام خواص ضرب اعداد طبیعی را دارد. ما عمده این خواص را لیست می کنیم.

همانطور که صفر یک عدد صحیح خنثی نسبت به جمع است، یک نیز یک عدد صحیح خنثی نسبت به ضرب اعداد صحیح است. به این معنا که، ضرب هر عدد صحیح در یک عدد در حال ضرب را تغییر نمی دهد. بنابراین 1·a=a، که در آن a هر عدد صحیحی است. آخرین برابری را می توان به صورت 1=a بازنویسی کرد، این به ما اجازه می دهد تا خاصیت جابجایی ضرب را ایجاد کنیم. بیایید دو مثال بزنیم. حاصل ضرب عدد صحیح 556 در 1 برابر با 556 است. حاصل ضرب یک و یک عدد صحیح منفی −78 برابر با 78 است.

خاصیت بعدی ضرب اعداد صحیح مربوط به ضرب در صفر است. حاصل ضرب هر عدد صحیح a در صفر صفر استیعنی 0=0 . برابری 0·a=0 نیز به دلیل خاصیت جابجایی ضرب اعداد صحیح صادق است. در یک مورد خاص وقتی a=0 حاصل ضرب صفر و صفر برابر با صفر است.

برای ضرب اعداد صحیح، خاصیت مخالف قبلی نیز صادق است. ادعا می کند که حاصل ضرب دو عدد صحیح برابر با صفر است اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. به صورت تحت اللفظی، این ویژگی را می توان به صورت زیر نوشت: a·b=0، اگر a=0 یا b=0، یا a و b همزمان برابر با صفر باشند.

خاصیت توزیعی ضرب اعداد صحیح با توجه به جمع

با هم، جمع و ضرب اعداد صحیح به ما امکان می دهد تا خاصیت توزیعی ضرب را با توجه به جمع در نظر بگیریم، که این دو عمل نشان داده شده را به هم متصل می کند. استفاده از جمع و ضرب در کنار هم احتمالات بیشتری را باز می کند که اگر جمع را جدا از ضرب در نظر بگیریم، از دست می دادیم.

پس خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع می گوید که حاصل ضرب یک عدد صحیح a و مجموع دو عدد صحیح a و b برابر است با مجموع حاصل ضرب a b و a c یعنی: a (b+c)=a b+a c. همین ویژگی را می توان به شکل دیگری نوشت: (a+b) c=a c+b ج .

خاصیت توزیعی ضرب اعداد صحیح نسبت به جمع، همراه با خاصیت انجمنی جمع، تعیین ضرب یک عدد صحیح در مجموع سه یا چند اعداد صحیح و سپس ضرب مجموع اعداد صحیح در مجموع

همچنین توجه داشته باشید که سایر خصوصیات جمع و ضرب اعداد صحیح را می توان از ویژگی هایی که اشاره کردیم به دست آورد، یعنی آنها پیامدهای ویژگی های فوق هستند.

خواص تفریق عدد صحیح

از تساوی به دست آمده و همچنین از خواص جمع و ضرب اعداد صحیح، خواص زیر از تفریق اعداد صحیح به دست می آید (a، b و c اعداد صحیح دلخواه هستند):

• تفریق اعداد صحیح عموماً خاصیت جابجایی را ندارد: a-b≠b-a.
• تفاوت اعداد صحیح مساوی برابر با صفر است: a−a=0.
• خاصیت تفریق مجموع دو عدد صحیح از یک عدد صحیح داده شده: a−(b+c)=(a−b)−c.
• خاصیت تفریق یک عدد صحیح از مجموع دو عدد صحیح: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• خاصیت توزیعی ضرب با توجه به تفریق: a (b−c)=a b−a c و (a−b) c=a c−b c.
• و تمام خصوصیات دیگر تفریق اعداد صحیح.

خواص تقسیم عدد صحیح

با بحث در مورد معنای تقسیم اعداد متوجه شدیم که تقسیم اعداد صحیح معکوس ضرب است. ما تعریف زیر را ارائه کردیم: تقسیم اعداد صحیح یافتن یک عامل مجهول توسط یک محصول شناخته شده و یک عامل شناخته شده است. یعنی عدد صحیح c را ضریب عدد صحیح a تقسیم بر عدد صحیح b می نامیم که حاصلضرب c·b برابر با a باشد.

این تعریف، و همچنین تمام خصوصیات عملیات روی اعداد صحیح که در بالا در نظر گرفته شد، به ما امکان می دهد اعتبار خصوصیات زیر را برای تقسیم اعداد صحیح تعیین کنیم:

• هیچ عدد صحیحی را نمی توان بر صفر تقسیم کرد.
• خاصیت تقسیم صفر بر یک عدد صحیح غیر صفر دلخواه a : 0:a=0 .
• خاصیت تقسیم اعداد صحیح مساوی: a:a=1 که a هر عدد صحیح غیر صفر است.
• خاصیت تقسیم یک عدد صحیح دلخواه a بر یک: a:1=a.
• به طور کلی، تقسیم اعداد صحیح دارای خاصیت جابجایی نیست: a:b≠b:a.
• خواص تقسیم مجموع و تفاضل دو عدد صحیح بر یک عدد صحیح عبارتند از: (a+b):c=a:c+b:c و (a−b):c=a:c−b:c، که در آن ، b و c اعداد صحیحی هستند به طوری که a و b هر دو بر c بخش پذیر هستند و c غیر صفر است.
• خاصیت تقسیم حاصل ضرب دو عدد صحیح a و b بر یک عدد صحیح غیرصفر c : (a b):c=(a:c) b اگر a بر c بخش پذیر باشد. (a b):c=a (b:c) اگر b بر c بخش پذیر باشد. (a b):c=(a:c) b=a (b:c) اگر a و b هر دو بر c بخش پذیر باشند.
• خاصیت تقسیم یک عدد صحیح a بر حاصل ضرب دو عدد صحیح b و c (اعداد a , b و c به طوری که تقسیم a بر b c امکان پذیر باشد): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) ب .
• هر خاصیت دیگر تقسیم اعداد صحیح