مدل های ریاضی ساده ترین سیستم های صف. توابع p0(t) و p1(t) فرآیند انتقال را در یک QS تک کانالی تعیین می‌کنند و فرآیند رویکرد نمایی QS به حالت حدی آن را با ثابت زمانی مشخصه d توصیف می‌کنند.

اکتبر 23, 2013 در 2:22 ب.ظ

Squeak: مدل سازی سیستم های صف

• برنامه نويسي،
• اوپ،
• برنامه نویسی موازی

اطلاعات بسیار کمی در مورد Habré در مورد زبان برنامه نویسی مانند Squeak وجود دارد. من سعی خواهم کرد در مورد آن در زمینه مدل سازی سیستم های صف صحبت کنم. من به شما نشان خواهم داد که چگونه یک کلاس ساده بنویسید، ساختار آن را توضیح دهید و از آن در برنامه ای استفاده کنید که درخواست ها را از طریق چندین کانال ارائه می دهد.

چند کلمه در مورد Squeak

Squeak یک پیاده سازی باز و بین پلتفرمی از زبان برنامه نویسی Smalltalk-80 با تایپ پویا و جمع آوری زباله است. رابط کاملاً خاص است، اما برای اشکال زدایی و تجزیه و تحلیل بسیار راحت است. Squeak به طور کامل با مفهوم OOP مطابقت دارد. همه چیز از اشیا تشکیل شده است، حتی ساختارها اگر-پس-دیگر، برای، در حالی کهبا کمک آنها اجرا شد. کل نحو به ارسال پیام به شی به شکل زیر خلاصه می شود:

<объект> <сообщение>

هر متدی همیشه یک شی را برمی گرداند و می توان پیام جدیدی به آن ارسال کرد.
Squeak اغلب برای مدل سازی فرآیند استفاده می شود، اما می تواند به عنوان ابزاری برای ایجاد برنامه های چند رسانه ای و انواع پلت فرم های آموزشی نیز استفاده شود.

سیستم های نوبت دهی

سیستم های صف (QS) شامل یک یا چند کانال هستند که درخواست های دریافتی از چندین منبع را پردازش می کنند. زمان سرویس دهی به هر درخواست می تواند ثابت یا دلخواه و همچنین فواصل بین دریافت آنها باشد. این می تواند یک مرکز تلفن، یک لباسشویی، صندوقدار در یک فروشگاه، یک دفتر تایپ و غیره باشد. چیزی شبیه به این است:

QS شامل چندین منبع است که وارد یک صف مشترک می شوند و با رایگان شدن کانال های پردازش برای سرویس دهی ارسال می شوند. بسته به ویژگی‌های خاص سیستم‌های واقعی، مدل ممکن است حاوی تعداد متفاوتی از منابع برنامه و کانال‌های خدمات باشد و محدودیت‌های متفاوتی در طول صف و احتمال از دست دادن برنامه‌ها (رد کردن) داشته باشد.

هنگام مدل‌سازی یک QS، معمولاً مشکلات تخمین میانگین و حداکثر طول صف، فراوانی خرابی‌های سرویس، میانگین بار کانال‌ها و تعیین تعداد آنها حل می‌شود. بسته به وظیفه، مدل شامل بلوک های نرم افزاری برای جمع آوری، انباشت و پردازش داده های آماری لازم در مورد رفتار فرآیندها است. متداول‌ترین مدل‌های جریان رویداد در تحلیل QS معمولی و پواسون هستند. مشخصه های معمولی با زمان یکسان بین وقوع رویدادها و موارد پواسون با موارد تصادفی مشخص می شود.

کمی ریاضی

برای یک جریان پواسون، تعداد رویدادها ایکس، قرار گرفتن در فاصله طول τ (تاو)، مجاور نقطه تی، طبق قانون پواسون توزیع می شود:
جایی که a (t، τ)- میانگین تعداد رویدادهایی که در یک بازه زمانی رخ می دهند τ .
میانگین تعداد رویدادهایی که در واحد زمان اتفاق می‌افتند است λ(t). بنابراین، میانگین تعداد رویدادها در یک بازه زمانی τ ، در مجاورت لحظه زمان تی، برابر خواهد بود با:

زمان تیبین دو رویداد λ(t) = const = λطبق قانون توزیع می شود:
چگالی توزیع یک متغیر تصادفی تیدارای فرم:
برای به دست آوردن دنباله های پواسون شبه تصادفی از فواصل زمانی تی منحل معادله:
جایی که r i- یک عدد تصادفی به طور یکنواخت در بازه زمانی توزیع شده است.
در مورد ما این عبارت را می دهد:

کل جلدها را می توان بر اساس تولید اعداد تصادفی نوشت. در اینجا، برای تولید اعداد صحیح که به طور یکنواخت در بازه توزیع شده اند، از الگوریتم زیر استفاده می کنیم:
جایی که R i- یک عدد صحیح تصادفی دیگر؛
آر- تعدادی عدد اول بزرگ (مثلا 2311)؛
س- عدد صحیح - حد بالای بازه، به عنوان مثال، 2 21 = 2097152؛
رم- عملیات به دست آوردن باقیمانده از تقسیم اعداد صحیح.

مقدار اولیه R0معمولاً به طور دلخواه تنظیم می شود، به عنوان مثال، با استفاده از خوانش های تایمر:
زمان مجموع ثانیه
برای بدست آوردن اعدادی که به طور یکنواخت در یک بازه توزیع شده اند، از عملگر زبان استفاده می کنیم:

کلاس رند

برای بدست آوردن اعداد تصادفی که به طور یکنواخت در یک بازه توزیع شده اند، یک کلاس ایجاد می کنیم - یک مولد اعداد واقعی:

Float variableWordSubclass: #Rand "class name" instanceVariableNames: "" "instance variables" classVariableNames: "R" "class variables" poolDictionaries: "" "لغت نامه های عمومی" دسته: "نمونه" "نام دسته"
مواد و روش ها:

"Initialization" init R:= Time totalSeconds.next "Next شبه تصادفی" بعدی R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
برای تنظیم وضعیت اولیه سنسور، یک پیام ارسال کنید راند اینیت.
برای دریافت شماره تصادفی بعدی ارسال می کنیم رند بعدی.

برنامه پردازش برنامه

بنابراین، به عنوان یک مثال ساده، بیایید موارد زیر را انجام دهیم. فرض کنید باید سرویس دهی یک جریان منظم از درخواست ها را از یک منبع با فاصله زمانی تصادفی بین درخواست ها مدل کنیم. دو کانال با عملکرد متفاوت وجود دارد که به شما امکان می دهد درخواست های خود را به ترتیب در 2 و 7 واحد زمان انجام دهید. لازم است تعداد درخواست های ارائه شده توسط هر کانال در بازه زمانی 100 واحد زمانی ثبت شود.

کد برای Squeak

"اعلام متغیرهای موقت" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sys صف اولویت ادامه r | "Initial variable settings" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2: = -1. ادامه:= درست است. sysPriority:= Processor activeProcess اولویت. صف "اولویت فعلی": = سمافور جدید. "Request queue model" "Creating a process - Channel model 1" (Process forContext: [ proc1:= Processor activeProcess. whileTrue: "Service cycle" [ صف انتظار. "Wait for request" t1:= SysTime + 2. "Next activation. time" s1:= s1 + 1. proc1 suspend. "Suspend the process while منتظر پایان سرویس" ] proc1:= nil. "Remove the reference to process 1" ] priority: (sysPriority + 1)) resume. "اولویت جدید بزرگتر از پس زمینه است" "ایجاد یک فرآیند - مدل کانال 2" (فرآیند برایContext: [ proc2:= پردازشگر activeProcess.. در حالی کهTrue: [ صف انتظار. t2:= SysTime + 7. s2:= s2 + 1 . proc2 suspend. ] .proc2:= nil. ] priority: (sysPriority + 1)) resume. "ادامه توضیحات فرآیند اصلی و مدل منبع" در حالی که True: [ r:= (رند بعدی * 10) گرد شد. (r = 0) ifTrue: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Send request" "Service process switch" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "Model time is ticking" ]. "نمایش وضعیت شمارنده سفارش" PopUpMenu اطلاع رسانی می کند: "proc1: ",(s1 printString)," proc2: ",(s2 printString). ادامه:= نادرست.

هنگامی که راه اندازی شد، می بینیم که فرآیند 1 موفق به پردازش 31 درخواست شده و 2 فقط 11 درخواست را پردازش می کند:

طبقه بندی، مفاهیم اساسی، عناصر مدل، محاسبه ویژگی های اساسی.

هنگام حل مشکلات سازماندهی منطقی تجارت، خدمات مصرف کننده، انبارداری و غیره. تفسیر فعالیت های ساختار تولید به این صورت بسیار مفید است سیستم های نوبت دهی، یعنی سیستمی که در آن از یک سو مدام درخواست هایی برای انجام برخی کارها وجود دارد و از سوی دیگر این درخواست ها دائماً برآورده می شود.

هر QS شامل چهار عنصر: جریان ورودی، صف، سرور، جریان خروجی.

مورد نیاز(مشتری، برنامه کاربردی) در QS هر درخواست فردی برای انجام هر کاری است.

سرویس- این عملکرد کار برای برآوردن نیاز دریافت شده است. شیئی که سرویس درخواست ها را انجام می دهد دستگاه سرویس (دستگاه) یا کانال سرویس نامیده می شود.

زمان سرویس دوره ای است که طی آن یک درخواست خدمات برآورده می شود، یعنی. دوره از شروع خدمت تا اتمام آن. از لحظه ورود درخواست به سیستم تا شروع سرویس، زمان انتظار سرویس نامیده می شود. زمان انتظار برای سرویس، همراه با زمان سرویس، زمان باقی ماندن درخواست در سیستم را تشکیل می دهد.

SMO ها بر اساس معیارهای مختلف طبقه بندی می شوند.

1. بر اساس تعداد کانال های سرویس، QS ها به تک کاناله و چند کاناله تقسیم می شوند.

2. بسته به شرایط انتظار و نیاز به شروع سرویس، بین QS با تلفات (شکست) و QS با انتظار تمایز قائل می شود.

که در QS با الزامات ضرردریافت شده در زمانی که تمامی دستگاه ها مشغول سرویس دهی هستند، رد می شوند، برای این سیستم از بین می روند و هیچ تاثیری در روند خدمات بعدی ندارند. یک مثال کلاسیک از یک سیستم معیوب، سانترال تلفن است - اگر مشترکی که با آن تماس گرفته می شود مشغول باشد، درخواست اتصال رد می شود.

برای یک سیستم با خرابی، مشخصه اصلی کارایی عملیاتی احتمال خرابی یا نسبت متوسط ​​برنامه های بدون سرویس باقی مانده است.

که در QS با انتظار نیاز، با ورود در زمانی که همه دستگاه ها مشغول سرویس هستند، از سیستم خارج نمی شود، بلکه در یک صف قرار می گیرد و منتظر می ماند تا یکی از کانال ها آزاد شود. هنگامی که دستگاه بعدی در دسترس می شود، یکی از درخواست های در صف بلافاصله برای سرویس پذیرفته می شود.

برای یک QS با انتظار، ویژگی های اصلی انتظارات ریاضی طول صف و زمان انتظار است.

نمونه ای از سیستم انتظار، فرآیند بازیابی تلویزیون ها در یک تعمیرگاه است.

بین این دو گروه سیستم هایی وجود دارد ( SMO مخلوط). آنها با وجود برخی شرایط میانی مشخص می شوند: محدودیت ها ممکن است محدودیت هایی در زمان انتظار برای شروع سرویس، طول صف و غیره باشد.

ویژگی‌های عملکردی را می‌توان برای احتمال شکست در سیستم‌های با اتلاف (یا ویژگی‌های تأخیر) و سیستم‌های انتظار اعمال کرد.

3. با توجه به رشته تعمیر و نگهداری، سیستم های QS به سیستم های دارای اولویت در نگهداری و سیستم های بدون اولویت در نگهداری تقسیم می شوند.

درخواست‌ها می‌توانند به ترتیبی که دریافت می‌شوند، به‌طور تصادفی یا بر اساس اولویت‌های تعیین‌شده، سرویس شوند.

4. SMO می تواند تک فاز و چند فاز باشد.

که در تک فازسیستم‌ها، نیازمندی‌ها توسط کانال‌هایی از یک نوع (به عنوان مثال، کارگران همان حرفه) بدون انتقال آنها از یک کانال به کانال دیگر ارائه می‌شوند. چند فازیسیستم های چنین انتقالی امکان پذیر است.

5. بر اساس محل منبع نیازمندی ها، سیستم های QS به باز (زمانی که منبع نیاز خارج از سیستم است) و بسته (زمانی که منبع در خود سیستم باشد) تقسیم می شوند.

به بستهاینها شامل سیستم هایی می شود که در آنها جریان ورودی تقاضاها محدود است. به عنوان مثال، یک سرکارگر که وظیفه اش راه اندازی ماشین آلات در یک کارگاه است، باید به طور دوره ای آنها را سرویس کند. هر دستگاه تنظیم شده به منبع بالقوه ای از الزامات تنظیم در آینده تبدیل می شود. در چنین سیستم هایی، تعداد کل نیازهای گردشی محدود و اغلب ثابت است.

اگر منبع تامین بی نهایت نیاز داشته باشد، سیستم ها فراخوانی می شوند باز کن. نمونه هایی از این سیستم ها عبارتند از مغازه ها، دفاتر بلیط در ایستگاه های قطار، بنادر و غیره. برای این سیستم ها، جریان ورودی تقاضاها را می توان نامحدود در نظر گرفت.

روش ها و مدل های تحقیق QS را می توان به تحلیلی و آماری (مدل سازی شبیه سازی فرآیندهای صف بندی) تقسیم کرد.

روش های تحلیلی به دست آوردن ویژگی های یک سیستم به عنوان برخی از توابع پارامترهای عملکرد آن امکان پذیر است. با تشکر از این، می توان یک تجزیه و تحلیل کیفی از تأثیر عوامل فردی بر کارایی QS انجام داد.

متأسفانه، تنها طیف نسبتاً محدودی از مسائل در تئوری صف را می توان به صورت تحلیلی حل کرد. علیرغم توسعه مداوم روش های تحلیلی، در بسیاری از موارد واقعی، دستیابی به یک راه حل تحلیلی یا غیرممکن است، یا وابستگی های ناشی از آن چنان پیچیده می شوند که تجزیه و تحلیل آنها به خودی خود به یک کار دشوار تبدیل می شود. بنابراین، برای اینکه بتوان از روش‌های حل تحلیلی استفاده کرد، باید به فرضیات ساده‌سازی مختلفی متوسل شد که تا حدودی با امکان استفاده از تحلیل کیفی وابستگی‌های نهایی جبران می‌شود (البته در این مورد چنین است. ضروری است که مفروضات انجام شده تصویر واقعی فرآیند را مخدوش نکند).

در حال حاضر، از نظر تئوری توسعه یافته ترین و راحت ترین در کاربردهای عملی، روش هایی برای حل مسائل صف هستند که در آنها جریان نیازمندی ها ساده ترین است. پواسون).

برای ساده‌ترین جریان، فرکانس ورود نیازمندی‌ها به سیستم از قانون پواسون تبعیت می‌کند، یعنی احتمال رسیدن در زمان t برابر با k الزامات با فرمول داده می‌شود:

که در آن λ پارامتر جریان است (به زیر مراجعه کنید).

ساده ترین جریان دارای سه ویژگی اصلی است: معمولی، ثابت و بدون افترافکت.

معمولی بودنجریان به معنای عدم امکان عملی رسیدن همزمان دو یا چند خواسته است. به عنوان مثال، این احتمال بسیار کم است که از یک گروه ماشین آلات که توسط یک تیم تعمیرکار سرویس می شوند، چندین ماشین به طور همزمان از کار بیفتند.

ثابتتماس گرفت جریان، که انتظار ریاضی تعداد تقاضاهای وارد شده به سیستم در واحد زمان (که با λ نشان داده می شود) در طول زمان تغییر نمی کند. بنابراین، احتمال ورود تعداد معینی تقاضا به سیستم در طول یک دوره زمانی معین Δt به مقدار آن بستگی دارد و به شروع شمارش آن در محور زمان بستگی ندارد.

بدون عواقببه این معنی که تعداد درخواست های دریافت شده به سیستم قبل از زمان t تعیین نمی کند که در طول زمان t + Δt چه تعداد درخواست وارد سیستم می شود.

به عنوان مثال، اگر در یک لحظه در یک ماشین بافندگی نخ شکسته شود، و توسط بافنده تعمیر شود، این امر تعیین نمی کند که آیا در لحظه بعد شکستگی جدیدی در این بافنده رخ می دهد یا خیر، بسیار کمتر. بر احتمال شکستگی در سایر دستگاه‌های بافندگی تأثیر می‌گذارد.

یکی از ویژگی های مهم یک QS زمان لازم برای سرویس دهی در سیستم است. زمان سرویس، به عنوان یک قاعده، یک متغیر تصادفی است و بنابراین، می تواند توسط قانون توزیع توصیف شود. بیشترین استفاده در تئوری و به ویژه در کاربردهای عملی، قانون نمایی است. برای این قانون، تابع توزیع احتمال به شکل زیر است:

F(t) = 1 – e-μt،

آن ها احتمال اینکه زمان سرویس از مقدار معینی تجاوز نکند با فرمول (1 - e -μt) تعیین می شود، که در آن μ پارامتر قانون نمایی زمان سرویس برای الزامات در سیستم است - متقابل میانگین سرویس. زمان، یعنی .

بیایید مدل های تحلیلی QS را با انتظار در نظر بگیریم(متداول ترین QS، که در آن درخواست های دریافت شده زمانی که همه واحدهای خدمات مشغول هستند، در صف قرار می گیرند و به عنوان واحدهای خدماتی آزاد می شوند).

وظایف با صف در محیط های تولید معمول است، به عنوان مثال، هنگام سازماندهی کار تنظیم و تعمیر، در طول تعمیر و نگهداری چند ماشین و غیره.

فرمول کلی مسئله به شرح زیر است.

این سیستم از n کانال سرویس دهی تشکیل شده است. هر یک از آنها می تواند تنها یک نیاز را در یک زمان انجام دهد. سیستم یک جریان ساده (پواسون) از تقاضاها با پارامتر λ دریافت می کند. اگر در زمان رسیدن درخواست بعدی، حداقل n درخواست برای سرویس دهی در سیستم وجود داشته باشد (یعنی همه کانال ها مشغول باشند)، این درخواست در صف قرار می گیرد و منتظر شروع سرویس می ماند.

زمان سرویس هر درخواست t about یک متغیر تصادفی است که از قانون توزیع نمایی با پارامتر μ پیروی می کند.

همانطور که در بالا ذکر شد، QS با انتظار را می توان به دو گروه بزرگ تقسیم کرد: بسته و باز.

ویژگی های عملکرد هر یک از این دو نوع سیستم، سایه خود را بر دستگاه ریاضی مورد استفاده تحمیل می کند. محاسبه ویژگی های عملیاتی انواع مختلف QS را می توان بر اساس محاسبه احتمالات حالت های QS (فرمول های Erlang) انجام داد.

از آنجایی که سیستم بسته است، یک شرط باید به بیانیه مشکل اضافه شود: جریان نیازهای ورودی محدود است، به عنوان مثال. در سیستم خدمات نمی‌توان بیش از m مورد نیاز به طور همزمان وجود داشته باشد (m تعداد اشیایی است که سرویس می‌شوند).

به عنوان معیارهای اصلی مشخص کننده کیفیت عملکرد سیستم مورد بررسی، ما انتخاب می کنیم: 1) نسبت میانگین طول صف به بیشترین تعداد درخواست هایی که به طور همزمان در سیستم سرویس دهی قرار دارند - نرخ خرابی شی سرویس دهی شده؛ 2) نسبت میانگین تعداد کانال های سرویس دهی بیکار به تعداد کل آنها - نسبت بیکاری کانال سرویس دهی شده.

بیایید محاسبه ویژگی های احتمالی لازم (شاخص های عملکرد) یک QS بسته را در نظر بگیریم.

1. احتمال وجود k الزامات در سیستم، مشروط بر اینکه تعداد آنها از تعداد دستگاه های سرویس n تجاوز نکند:

P k = α k P 0، (1 ≤ k ≤ n)،

جایی که

λ فرکانس (شدت) نیازهایی است که از یک منبع وارد سیستم می شوند.

میانگین مدت زمان ارائه خدمات به یک درخواست؛

m بزرگترین تعداد ممکن نیازهای موجود در سیستم سرویس دهی در همان زمان است.

n - تعداد دستگاه های خدماتی؛

P 0 احتمال رایگان بودن همه دستگاه های خدماتی است.

2. احتمال وجود k تقاضا در سیستم مشروط بر اینکه تعداد آنها بیشتر از تعداد دستگاه های سرویس دهنده باشد:

P k = α k P 0 ، (n ≤ k ≤ m)،

جایی که

3. احتمال رایگان بودن همه دستگاه های خدماتی از روی شرط مشخص می شود

از این رو،

4. میانگین تعداد درخواست‌هایی که منتظر شروع سرویس هستند (متوسط ​​طول صف):

5. درخواست نرخ توقف خدمات در انتظار:

6. احتمال اینکه همه دستگاه های سرویس مشغول هستند:

7. میانگین تعداد نیازمندی ها در سیستم سرویس دهی (خدمات ارائه شده و در انتظار خدمات):

8. میزان از کار افتادگی کامل الزامات نگهداری و در انتظار نگهداری:

9. میانگین زمان توقف درخواست در صف خدمات:

10. میانگین تعداد دستگاه های خدمات رایگان:

11. نسبت خرابی دستگاه های خدماتی:

12. احتمال اینکه تعداد درخواست های در انتظار خدمت بیشتر از یک عدد خاص B باشد (احتمال اینکه در صف خدمات بیش از B تقاضا وجود داشته باشد):

در بسیاری از حوزه‌های اقتصاد، امور مالی، تولید و زندگی روزمره، سیستم‌هایی که اجرای مکرر وظایف مشابه را اجرا می‌کنند، نقش مهمی دارند. چنین سیستم هایی نامیده می شوند سیستم های نوبت دهی ( SMO ). نمونه هایی از QS عبارتند از: بانک ها در انواع مختلف، سازمان های بیمه، بازرسی های مالیاتی، خدمات حسابرسی، سیستم های ارتباطی مختلف، مجتمع های تخلیه و بارگیری، پمپ بنزین ها، شرکت های مختلف و سازمان های خدماتی.

3.1.1 اطلاعات کلی در مورد سیستم های صف

هر QS برای سرویس دهی (برآوردن) جریان خاصی از برنامه ها (نیازمندی ها) طراحی شده است که عمدتاً نه به طور منظم، بلکه در زمان های تصادفی به ورودی سیستم می رسند. سرویس برنامه ها نیز یک زمان ثابت و از پیش تعیین شده طول نمی کشد، بلکه یک زمان تصادفی است که به دلایل تصادفی زیادی بستگی دارد که گاهی اوقات برای ما ناشناخته است. پس از انجام سرویس درخواست، کانال آزاد شده و آماده دریافت درخواست بعدی می باشد. ماهیت تصادفی جریان برنامه ها و زمان سرویس دهی آنها منجر به بار کاری ناهموار QS می شود. در برخی بازه‌های زمانی، درخواست‌ها ممکن است در ورودی QS انباشته شوند، که منجر به اضافه بار QS می‌شود؛ در برخی بازه‌های زمانی دیگر، زمانی که کانال‌های رایگان (دستگاه‌های سرویس) در ورودی QS وجود دارد، هیچ خبری وجود نخواهد داشت. درخواست‌ها، که منجر به کمبود QS می‌شود، یعنی. به بیکاری کانال هایش برنامه هایی که در ورودی QS جمع می شوند یا به صف "پیوستن" می شوند یا به دلایلی نمی توانند در صف بمانند، QS را بدون سرویس رها می کنند.

شکل 3.1 نمودار QS را نشان می دهد.

عناصر اصلی (ویژگی های) سیستم های صف عبارتند از:

واحد خدمات (بلوک)،

جریان برنامه ها

صفدر حال انتظار برای خدمت (انضباط صف).

واحد خدماتطراحی شده برای انجام اقدامات مطابق با الزامات کسانی که وارد سیستم می شوند برنامه های کاربردی.

برنج. 3.1 نمودار سیستم صف

دومین جزء سیستم های صف، ورودی است جریان برنامه های کاربردیبرنامه ها به صورت تصادفی وارد سیستم می شوند. معمولاً فرض بر این است که جریان ورودی در طول فواصل زمانی بین دو درخواست متوالی وارد شده از قانون احتمالی پیروی می کند و فرض بر این است که قانون توزیع برای مدت نسبتاً طولانی بدون تغییر باقی می ماند. منبع برنامه ها نامحدود است.

جزء سوم است نظم صف. این مشخصه ترتیب درخواست های سرویس دهی به ورودی سیستم را توصیف می کند. از آنجایی که بلوک سرویس، به عنوان یک قاعده، ظرفیت محدودی دارد و برنامه ها به طور نامنظم وارد می شوند، به طور دوره ای صفی از برنامه ها در انتظار سرویس ایجاد می شود و گاهی اوقات سیستم سرویس دهی در انتظار برنامه ها بیکار است.

ویژگی اصلی فرآیندهای صف، تصادفی بودن است. در این مورد، دو طرف تعامل وجود دارد: خدمت و خدمت. رفتار تصادفی حداقل یکی از طرفین منجر به ماهیت تصادفی فرآیند خدمات به عنوان یک کل می شود. منابع تصادفی در تعامل این دو طرف، رویدادهای تصادفی دو نوع هستند.

1. ظاهر درخواست (نیاز) برای خدمت. دلیل تصادفی بودن این رویداد اغلب ماهیت عظیم نیاز به خدمات است.

2. پایان سرویس برنامه بعدی. دلایل تصادفی بودن این رویداد هم تصادفی بودن شروع سرویس و هم مدت زمان تصادفی خود سرویس است.

این رویدادهای تصادفی یک سیستم از دو جریان را در QS تشکیل می دهند: جریان ورودی برنامه های کاربردی برای سرویس و جریان خروجی برنامه های کاربردی سرویس.

نتیجه تعامل این جریان‌های رویدادهای تصادفی، تعداد برنامه‌های کاربردی در حال حاضر در QS است که معمولاً به آن می‌گویند. وضعیت سیستم

هر QS بسته به پارامترهای خود از ماهیت جریان برنامه‌ها، تعداد کانال‌های خدمات و بهره‌وری آن‌ها و قوانین سازمان‌دهی کار، دارای راندمان عملیاتی مشخصی (خروجی) است که به آن اجازه می‌دهد با موفقیت با جریان برنامه‌ها مقابله کند. برنامه های کاربردی.

رشته ویژه ریاضی کاربردی نظریه تودهتعمیر و نگهداری (TMO)- به تجزیه و تحلیل فرآیند در سیستم های صف می پردازد. موضوع مطالعه تئوری صف QS می باشد.

هدف تئوری صف ایجاد توصیه هایی برای ساخت منطقی QS، سازماندهی منطقی کار آنها و تنظیم جریان درخواست ها برای اطمینان از راندمان بالای عملیات QS است. برای دستیابی به این هدف، وظایف تئوری صف تعیین می شود که شامل ایجاد وابستگی های اثربخشی عملکرد QS بر سازمان آن است.

مسائل تئوری صف ماهیت بهینه‌سازی دارند و در نهایت با هدف تعیین نسخه‌ای از سیستم هستند که حداقل هزینه‌های کل ناشی از انتظار برای سرویس، اتلاف زمان و منابع برای خدمات، و خرابی واحد خدمات را تضمین می‌کند. آگاهی از چنین ویژگی هایی اطلاعاتی را در اختیار مدیر قرار می دهد تا تأثیر هدفمند بر این ویژگی ها را برای مدیریت کارایی فرآیندهای صف ایجاد کند.

سه گروه اصلی شاخص های زیر (معمولاً متوسط) معمولاً به عنوان ویژگی های اثربخشی سیستم QS انتخاب می شوند:

شاخص های اثربخشی استفاده از QS:

ظرفیت مطلق QS میانگین تعداد درخواست هایی است که QS می تواند در واحد زمان ارائه دهد.

ظرفیت نسبی QS نسبت میانگین تعداد برنامه های ارائه شده توسط QS در واحد زمان به میانگین تعداد برنامه های دریافت شده در همان زمان است.

میانگین مدت دوره استخدام CMO.

نرخ استفاده از QS میانگین سهم زمانی است که در طی آن QS مشغول خدمات رسانی به درخواست ها و غیره است.

شاخص های کیفیت برای درخواست های خدمات:

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف.

میانگین زمانی که یک برنامه کاربردی در CMO می ماند.

احتمال رد شدن یک درخواست سرویس بدون انتظار.

احتمال اینکه درخواست دریافت شده بلافاصله برای خدمات پذیرفته شود.

قانون توزیع زمانی که یک برنامه در صف می ماند.

قانون توزیع زمان ماندن یک برنامه کاربردی در QS.

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف.

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در CMO و غیره

شاخص های اثربخشی جفت "SMO - مصرف کننده"، که در آن "مصرف کننده" به عنوان کل مجموعه برنامه ها یا برخی از آنها درک می شود.

عملیات یا کارایی سیستم نوبت دهی به شرح زیر است.

برای QS با شکست:

برای SMO با انتظار نامحدودهر دو توان عملیاتی مطلق و نسبی معنای خود را از دست می دهند، زیرا هر درخواست دریافتی دیر یا زود سرویس می شود. برای چنین QS، شاخص های مهم عبارتند از:

برای نوع مختلط QSهر دو گروه از شاخص ها استفاده می شود: هر دو نسبی و توان عملیاتی مطلقو ویژگی های انتظار

بسته به هدف عملیات صف بندی، هر یک از شاخص های داده شده (یا مجموعه ای از شاخص ها) را می توان به عنوان معیار کارایی انتخاب کرد.

مدل تحلیلی QS مجموعه‌ای از معادلات یا فرمول‌ها است که به فرد امکان می‌دهد تا احتمالات حالت‌های سیستم را در طول عملیات آن تعیین کند و شاخص‌های عملکرد را بر اساس ویژگی‌های شناخته شده جریان ورودی و کانال‌های خدمات محاسبه کند.

هیچ مدل تحلیلی کلی برای QS دلخواه وجود ندارد. مدل های تحلیلی برای تعداد محدودی از موارد خاص QS توسعه یافته است. مدل‌های تحلیلی که کم و بیش دقیق سیستم‌های واقعی را منعکس می‌کنند، معمولاً پیچیده و به سختی قابل تجسم هستند.

مدل‌سازی تحلیلی یک QS بسیار تسهیل می‌شود اگر فرآیندهایی که در QS رخ می‌دهند مارکوین باشند (جریان درخواست‌ها ساده هستند، زمان‌های خدمات به صورت تصاعدی توزیع می‌شوند). در این حالت، تمام فرآیندها در QS را می توان با معادلات دیفرانسیل معمولی توصیف کرد و در حالت محدود، برای حالت های ثابت، با معادلات جبری خطی و با حل آنها، شاخص های کارایی انتخاب شده را می توان تعیین کرد.

بیایید به نمونه هایی از QS نگاه کنیم.

2.5.1. QS چند کاناله با خرابی

مثال 2.5. سه بازرس راهنمایی و رانندگی بارنامه رانندگان کامیون را بررسی می کنند. اگر حداقل یک بازرس آزاد باشد، کامیون عبوری متوقف می شود. اگر همه بازرسان مشغول باشند، کامیون بدون توقف از آنجا عبور می کند. جریان کامیون ها ساده است، زمان بررسی تصادفی با توزیع نمایی است.

این وضعیت را می توان با یک QS سه کاناله با خرابی (بدون صف) مدل کرد. این سیستم حلقه باز، با درخواست های همگن، تک فاز، با کانال های کاملا قابل اعتماد است.

شرح حالات:

همه بازرسان آزاد هستند.

یک بازرس مشغول است.

دو بازرس مشغول هستند.

سه بازرس مشغول هستند.

نمودار وضعیت سیستم در شکل نشان داده شده است. 2.11.

برنج. 2.11.

در نمودار: - شدت جریان کامیون. - شدت بررسی اسناد توسط یک بازرس ترافیک.

شبیه سازی برای تعیین بخشی از وسایل نقلیه که آزمایش نمی شوند انجام می شود.

راه حل

قسمت مورد نیاز احتمال، احتمال استخدام هر سه بازرس است. از آنجایی که نمودار حالت یک طرح معمولی "مرگ و تولید مثل" را نشان می دهد، ما با استفاده از وابستگی ها (2.2) خواهیم یافت.

ظرفیت توان عملیاتی این پست بازرس ترافیک را می توان مشخص کرد توان نسبی:

مثال 2.6. برای دریافت و رسیدگی به گزارشات گروه شناسایی، یک گروه سه نفره از افسران در اداره اطلاعات انجمن منصوب شد. شدت مورد انتظار جریان گزارش ها 15 گزارش در ساعت است. میانگین زمان برای پردازش یک گزارش توسط یک افسر است. هر افسر می تواند از هر گروه شناسایی گزارش دریافت کند. افسر آزاد شده آخرین گزارش های دریافتی را پردازش می کند. گزارش های دریافتی باید با احتمال حداقل 95 درصد پردازش شوند.

تعیین کنید که آیا تیم سه افسر تعیین شده برای انجام وظیفه تعیین شده کافی است یا خیر.

راه حل

گروهی از افسران به عنوان یک CMO با شکست، متشکل از سه کانال عمل می کنند.

جریان گزارش ها با شدت را می توان ساده ترین در نظر گرفت، زیرا مجموع چندین گروه شناسایی است. شدت خدمات . قانون توزیع ناشناخته است، اما این بی اهمیت است، زیرا نشان داده شده است که برای سیستم های دارای خرابی می تواند دلخواه باشد.

شرح حالات و نمودار وضعیت QS مشابه موارد ارائه شده در مثال 2.5 خواهد بود.

از آنجایی که نمودار حالت یک طرح "مرگ و بازتولید" است، عبارات آماده ای برای آن برای احتمالات محدود کننده حالت وجود دارد:

نگرش نامیده می شود با توجه به شدت جریان برنامه ها. معنای فیزیکی آن به شرح زیر است: مقدار میانگین تعداد درخواست‌هایی را که به QS در طول متوسط ​​زمان ارائه یک درخواست می‌رسند را نشان می‌دهد.

در مثال .

در QS مورد بررسی، خرابی زمانی رخ می دهد که هر سه کانال مشغول باشند، یعنی. سپس:

زیرا احتمال شکستدر پردازش گزارش ها بیش از 34٪ () است، پس باید پرسنل گروه را افزایش داد. بیایید ترکیب گروه را دو برابر کنیم، یعنی CMO اکنون شش کانال خواهد داشت و محاسبه می کنیم:

بنابراین، تنها یک گروه شش نفره از افسران قادر به پردازش گزارش های دریافتی با احتمال 95 درصد خواهند بود.

2.5.2. QS چند کاناله با انتظار

مثال 2.7. در قسمت تقاطع رودخانه 15 تاسیسات گذرگاه مشابه وجود دارد. جریان ورود تجهیزات به گذرگاه به طور متوسط ​​1 واحد در دقیقه است، میانگین زمان عبور از یک واحد تجهیزات 10 دقیقه (با احتساب بازگشت خودروی عبوری) است.

ارزیابی ویژگی های اصلی گذرگاه، از جمله احتمال عبور فوری بلافاصله پس از رسیدن واحد تجهیزات.

راه حل

توان عملیاتی مطلق، یعنی هر چیزی که به گذرگاه نزدیک می شود عملاً بلافاصله عبور می کند.

میانگین تعداد گذرگاه های عملیاتی:

نرخ بهره برداری و توقف از کشتی:

برنامه ای نیز برای حل مثال ایجاد شد. فواصل زمانی برای رسیدن تجهیزات به گذرگاه و زمان عبور طبق یک قانون نمایی در نظر گرفته شده است.

میزان استفاده از تقاطع پس از 50 دور تقریباً یکسان است: .

معرفی

فصل اول. فرمول بندی مشکلات خدمات صف

1.1 مفهوم کلی تئوری صف

1.2 مدل سازی سیستم های صف

1.3 نمودارهای وضعیت QS

1.4 فرآیندهای تصادفی

فصل دوم. معادلات توصیف کننده سیستم های صف

2.1 معادلات کولموگروف

2.2 فرآیندهای "تولد - مرگ"

2.3 فرمول بندی اقتصادی و ریاضی مسائل صف

فصل سوم. مدل های سیستم های نوبت دهی

3.1 QS تک کاناله با انکار سرویس

3.2 QS چند کاناله با انکار سرویس

3.3 مدل یک سیستم خدمات گردشگری چند فازی

3.4 QS تک کاناله با طول صف محدود

3.5 QS تک کاناله با صف نامحدود

3.6 QS چند کاناله با طول صف محدود

3.7 QS چند کاناله با صف نامحدود

3.8 تجزیه و تحلیل سیستم صف سوپرمارکت

نتیجه

معرفی

در حال حاضر، حجم زیادی از ادبیات به طور مستقیم به تئوری صف، توسعه جنبه های ریاضی آن، و همچنین زمینه های مختلف کاربرد آن - نظامی، پزشکی، حمل و نقل، تجارت، هوانوردی و غیره اختصاص یافته است.

نظریه صف بر اساس نظریه احتمال و آمار ریاضی است. توسعه اولیه نظریه صف با نام دانشمند دانمارکی A.K. ارلنگ (1878-1929) با آثار خود در زمینه طراحی و راه اندازی مبادلات تلفنی.

تئوری صف رشته ای از ریاضیات کاربردی است که به تجزیه و تحلیل فرآیندها در سیستم های تولید، خدمات و مدیریت می پردازد که در آن رویدادهای همگن بارها تکرار می شوند، به عنوان مثال، در شرکت های خدمات مصرف کننده. در سیستم های دریافت، پردازش و انتقال اطلاعات؛ خطوط تولید اتوماتیک و غیره کمک بزرگی به توسعه این نظریه توسط ریاضیدانان روسی A.Ya. خینچین، بی.وی. گندنکو، A.N. کولموگروف، E.S. ونتزل و همکاران

موضوع تئوری صف ایجاد وابستگی بین ماهیت جریان درخواست‌ها، تعداد کانال‌های خدمات، عملکرد یک کانال مجزا و سرویس مؤثر به منظور یافتن بهترین راه‌ها برای مدیریت این فرآیندها است. مشکلات تئوری صف ماهیت بهینه‌سازی دارند و در نهایت جنبه اقتصادی تعیین یک گزینه سیستمی را شامل می‌شوند که حداقل هزینه‌های کل ناشی از انتظار برای سرویس، اتلاف زمان و منابع برای سرویس و خرابی کانال‌های خدمات را تضمین می‌کند.

در فعالیت های تجاری، کاربرد تئوری صف هنوز توزیع مطلوبی را پیدا نکرده است.

این عمدتا به دلیل دشواری تعیین وظایف، نیاز به درک عمیق از محتوای فعالیت های تجاری، و همچنین ابزارهای قابل اعتماد و دقیق است که به فرد امکان می دهد گزینه های مختلف را برای پیامدهای تصمیمات مدیریت در فعالیت های تجاری محاسبه کند.

فصل من . تنظیم وظایف صف

1.1 مفهوم کلی تئوری صف

ماهیت خدمات انبوه، در زمینه های مختلف، بسیار ظریف و پیچیده است. فعالیت تجاری با انجام بسیاری از عملیات در مراحل حرکت، به عنوان مثال، انبوه کالاها از حوزه تولید به حوزه مصرف مرتبط است. چنین عملیاتی عبارتند از بارگیری کالا، حمل و نقل، تخلیه، ذخیره سازی، پردازش، بسته بندی و فروش. علاوه بر این گونه عملیات اساسی، فرآیند جابجایی کالا با تعداد زیادی عملیات مقدماتی، مقدماتی، همراه، موازی و بعدی با اسناد پرداخت، کانتینر، پول، خودرو، مشتری و غیره همراه است.

بخش‌های فهرست‌شده فعالیت تجاری با ورود انبوه کالاها، پول و بازدیدکنندگان در زمان‌های تصادفی و سپس خدمات متوالی آنها (اجرای خواسته‌ها، درخواست‌ها، برنامه‌های کاربردی) با انجام عملیات مناسب مشخص می‌شوند که زمان اجرای آن نیز تصادفی است. همه اینها باعث ایجاد ناهمواری در کار می شود، باعث کاهش بار، خرابی و اضافه بار در عملیات تجاری می شود. صف ها برای بازدیدکنندگان در کافه ها، غذاخوری ها، رستوران ها یا رانندگان ماشین در انبارهای کالا که منتظر تخلیه، بارگیری یا کاغذبازی هستند، دردسرهای زیادی ایجاد می کند. در این راستا، وظایف تجزیه و تحلیل گزینه های موجود برای انجام کل مجموعه عملیات، به عنوان مثال، کف فروش یک سوپرمارکت، رستوران یا در کارگاه های تولید محصولات خود به منظور ارزیابی کار آنها، شناسایی پیوندهای ضعیف ایجاد می شود. و ذخایری برای در نهایت توسعه توصیه هایی با هدف افزایش کارایی فعالیت های تجاری.

علاوه بر این، وظایف دیگری مربوط به ایجاد، سازماندهی و برنامه ریزی یک گزینه جدید اقتصادی و منطقی برای انجام بسیاری از عملیات در طبقه تجاری، شیرینی فروشی، تمام سطوح خدمات در رستوران، کافه، غذاخوری، بخش برنامه ریزی، حسابداری، بخش پرسنل و غیره

وظایف سازماندهی خدمات انبوه تقریباً در تمام حوزه های فعالیت انسانی مطرح می شود، به عنوان مثال، فروشندگان خدمات رسانی به مشتریان در فروشگاه ها، خدمات رسانی به بازدیدکنندگان در موسسات پذیرایی عمومی، خدمات رسانی به مشتریان در شرکت های خدمات مصرف کننده، ارائه مکالمات تلفنی در یک مبادله تلفن، ارائه مراقبت های پزشکی بیماران در یک کلینیک و غیره. در تمامی مثال های فوق نیاز به ارضای نیازهای تعداد زیادی از مصرف کنندگان وجود دارد.

مشکلات ذکر شده را می توان با استفاده از روش ها و مدل های تئوری صف (QST) که مخصوص این اهداف ایجاد شده است، با موفقیت حل کرد. این تئوری توضیح می‌دهد که لازم است به کسی یا چیزی خدمات داده شود که با مفهوم «درخواست سرویس (تقاضا)» تعریف می‌شود و عملیات سرویس توسط شخص یا چیزی به نام کانال‌های سرویس (گره‌ها) انجام می‌شود. نقش درخواست ها در فعالیت های تجاری را کالاها، بازدیدکنندگان، پول، حسابرسان، اسناد و مدارک و نقش کانال های خدماتی را فروشندگان، مدیران، آشپزها، قنادی ها، پیشخدمت ها، صندوقداران، کارشناسان کالا، لودرها، تجهیزات تجاری و غیره ایفا می کنند. توجه به این نکته حائز اهمیت است که در یک تجسم، به عنوان مثال، آشپز در فرآیند تهیه ظروف یک کانال خدماتی است و در تجسم دیگر به عنوان درخواست خدمات، برای مثال به مدیر تولید برای دریافت کالا عمل می کند.

برنامه ها، به دلیل تعداد زیاد رسیدهای سرویس، جریان هایی را تشکیل می دهند که قبل از انجام عملیات سرویس دهی، ورودی نامیده می شوند و پس از یک انتظار احتمالی برای شروع سرویس، یعنی. زمان بیکاری در سرویس فرم صف در کانال ها جریان می یابد و سپس یک جریان خروجی از درخواست ها تشکیل می شود. به طور کلی، ترکیبی از عناصر جریان ورودی درخواست ها، یک صف، کانال های خدمات و جریان خروجی درخواست ها ساده ترین سیستم صف بندی تک کانالی - QS را تشکیل می دهد.

یک سیستم به عنوان مجموعه ای از سیستم های به هم پیوسته درک می شود. قطعات (عناصر) که به طور هدفمند در تعامل هستند. نمونه‌هایی از این QS ساده در فعالیت‌های تجاری، مکان‌هایی برای دریافت و پردازش کالا، مراکز پرداخت برای مشتریان در فروشگاه‌ها، کافه‌ها، غذاخوری‌ها، محل کار برای اقتصاددانان، حسابداران، بازرگانان، آشپزها و غیره است.

هنگامی که درخواست سرویس از سیستم خارج می شود، روال سرویس تکمیل شده در نظر گرفته می شود. مدت زمان بازه زمانی لازم برای اجرای رویه سرویس عمدتاً به ماهیت درخواست سرویس، وضعیت خود سیستم خدمات و کانال سرویس بستگی دارد.

در واقع، مدت اقامت خریدار در سوپرمارکت از یک سو به ویژگی های شخصی خریدار، درخواست های او، به محدوده کالایی که قصد خرید آن را دارد و از سوی دیگر به فرم بستگی دارد. سازمان خدمات و پرسنل خدماتی، که می تواند به طور قابل توجهی بر اقامت خریدار در سوپرمارکت و شدت خدمات تاثیر بگذارد. به عنوان مثال، تسلط بر روش "کور" کار در صندوق پول توسط صندوقدار-کنترل کننده ها باعث شد تا توان عملیاتی گره های پرداخت 1.3 برابر افزایش یابد و در زمان صرف شده برای تسویه حساب با مشتریان در هر صندوق بیش از 1.5 ساعت صرفه جویی شود. در روز معرفی یک مرکز پرداخت واحد در سوپرمارکت مزایای ملموسی را برای خریدار فراهم می کند. بنابراین، اگر با روش سنتی پرداخت، زمان خدمات رسانی به یک مشتری به طور متوسط ​​1.5 دقیقه بود، با معرفی یک واحد پرداخت، 67 ثانیه بود. از این تعداد، 44 ثانیه صرف خرید در بخش و 23 ثانیه به صورت مستقیم برای پرداخت برای خرید می شود. اگر خریدار چندین خرید در بخش‌های مختلف انجام دهد، از دست دادن زمان هنگام خرید دو خرید 1.4 برابر، سه در 1.9، پنج در 2.9 برابر کاهش می‌یابد.

منظور ما از خدمات دهی به درخواست، فرآیند ارضای یک نیاز است. خدمات ماهیت متفاوتی دارند. با این حال، در همه نمونه‌ها، درخواست‌های دریافت‌شده نیاز به سرویس‌دهی توسط برخی دستگاه‌ها دارند. در برخی موارد، خدمات توسط یک نفر (خدمات به خریدار توسط یک فروشنده، در برخی - توسط گروهی از افراد (خدمات به بیمار توسط کمیسیون پزشکی در یک کلینیک) و در برخی موارد - توسط دستگاه های فنی انجام می شود. (فروش آب گازدار، ساندویچ توسط ماشین های خودکار) مجموعه ای از وسایلی که درخواست خدمات می کنند، کانال سرویس نامیده می شود.

اگر کانال های خدماتی قادر به برآوردن درخواست های یکسان باشند، کانال های سرویس همگن نامیده می شوند. مجموعه ای از کانال های خدماتی همگن، سیستم خدمات نامیده می شود.

سیستم نوبت دهی تعداد زیادی درخواست را در زمان های تصادفی دریافت می کند که مدت زمان سرویس آن نیز یک متغیر تصادفی است. ورود متوالی برنامه‌ها به سیستم خدمات، جریان ورودی برنامه‌ها و دنباله خروج برنامه‌ها از سیستم خدمات، جریان خروجی نامیده می‌شود.