معادله رگرسیون چندگانه به صورت طبیعی و استاندارد. ضرایب رگرسیون استاندارد
در صورت متفاوت بودن واحدهای اندازه گیری متغیرهای مربوطه، نمی توان از ضرایب معادله رگرسیون مانند هر شاخص مطلقی در تحلیل مقایسه ای استفاده کرد. به عنوان مثال، اگر y - مخارج خانواده برای غذا، ایکس 1 - اندازه خانواده، و ایکس 2 کل درآمد خانواده است و ما رابطه ای مانند تعریف می کنیم = a + ب 1 ایکس 1 + ب 2 ایکس 2 و b 2 > b 1 , پس این به این معنی نیست ایکس 2 تاثیر قوی تری دارد y ، چگونه ایکس 1 ، زیرا ب 2 تغییر در هزینه های خانواده است که درآمد 1 روبل تغییر می کند و ب 1 - تغییر در هزینه ها در صورت تغییر اندازه خانواده توسط 1 نفر.
مقایسه ضرایب معادله رگرسیون با در نظر گرفتن یک معادله رگرسیون استاندارد به دست می آید:
y 0 = 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + … + m x m 0 + e،
که در آن y 0 و ایکس 0 ک – مقادیر متغیر استاندارد شده y و ایکس ک :
S y و S - انحراف استاندارد متغیرها y و ایکس ک ,
k (k=) – -ضرایب معادله رگرسیون (اما نه پارامترهای معادله رگرسیون، برخلاف نمادهای قبلی). -ضرایب نشان می دهد که متغیر وابسته با چه بخشی از انحراف معیار خود (S y) تغییر خواهد کرد. y ، اگر متغیر مستقل باشد ایکس ک با مقدار انحراف معیار آن (S) تغییر خواهد کرد. تخمین پارامترهای معادله رگرسیون به صورت مطلق (b k) و ضرایب β با رابطه:
ضرایب یک معادله رگرسیون در مقیاس استاندارد شده، نمایشی واقع بینانه از تأثیر متغیرهای مستقل بر شاخص مدل‌سازی شده ارائه می‌کند. اگر مقدار ضریب برای هر متغیری از مقدار ضریب متناظر برای متغیر دیگر تجاوز کند، در این صورت تأثیر متغیر اول بر تغییر در شاخص عملکرد باید بیشتر در نظر گرفته شود. باید در نظر داشت که معادله رگرسیون استاندارد شده، به دلیل مرکزیت متغیرها، ترم آزاد بر اساس ساخت ندارد.
برای رگرسیون ساده، ضریب با ضریب همبستگی جفت منطبق است، که این امکان را فراهم می‌کند که به ضریب همبستگی جفت معنی معنی‌داری بدهد.
هنگام تجزیه و تحلیل تأثیر شاخص های موجود در معادله رگرسیون بر مشخصه مدل شده، همراه با ضرایب ، ضرایب کشش نیز استفاده می شود. به عنوان مثال، شاخص کشش متوسط با فرمول محاسبه می شود
و نشان می دهد که اگر میانگین مقدار متغیر مستقل متناظر یک درصد تغییر کند (همه چیزها مساوی باشند) به طور متوسط متغیر وابسته چقدر تغییر می کند.
2.2.9. متغیرهای گسسته در تحلیل رگرسیون
به طور معمول، متغیرها در مدل های رگرسیون دارای دامنه تغییرات پیوسته هستند. با این حال، این نظریه هیچ محدودیتی بر ماهیت چنین متغیرهایی اعمال نمی کند. اغلب در تحلیل رگرسیون نیاز به در نظر گرفتن تأثیر ویژگی های کیفی و وابستگی آنها به عوامل مختلف وجود دارد. در این حالت، وارد کردن متغیرهای گسسته به مدل رگرسیون ضروری می شود. متغیرهای گسسته می توانند مستقل یا وابسته باشند. بیایید این موارد را جداگانه بررسی کنیم. اجازه دهید ابتدا مورد متغیرهای مستقل گسسته را در نظر بگیریم.
متغیرهای ساختگی در تحلیل رگرسیون
برای گنجاندن ویژگی های کیفی در رگرسیون به عنوان متغیرهای مستقل، باید آنها را دیجیتالی کرد. یک روش برای کمی کردن آنها استفاده از متغیرهای ساختگی است. این نام کاملاً مناسب نیست - آنها ساختگی نیستند، اما برای این اهداف استفاده از متغیرهایی که فقط دو مقدار دارند - صفر یا یک راحت تر است. بنابراین آنها را ساختگی نامیدند. به طور معمول، یک متغیر کیفی می تواند چندین سطح از ارزش ها را داشته باشد. به عنوان مثال، جنسیت - مرد، زن؛ صلاحیت - بالا، متوسط، پایین؛ فصلی - سه ماهه های I، II، III و IV و غیره. قاعده ای وجود دارد که بر اساس آن، برای دیجیتالی کردن چنین متغیرهایی، باید تعداد متغیرهای ساختگی را وارد کنید که تعداد آنها یک عدد کمتر از تعداد سطوح نشانگر مدل شده است. این امر ضروری است تا چنین متغیرهایی به صورت خطی وابسته نباشند.
در مثال‌های ما: جنسیت یک متغیر است که برای مردان برابر با 1 و برای زنان 0 است. صلاحیت دارای سه سطح است، به این معنی که دو متغیر ساختگی مورد نیاز است: به عنوان مثال، z 1 = 1 برای سطح بالا، 0 برای سایرین. z 2 = 1 برای سطح متوسط، 0 برای سایرین. سومین متغیر مشابه را نمی توان معرفی کرد، زیرا در این حالت آنها به صورت خطی وابسته هستند (z 1 + z 2 + z 3 = 1)، تعیین کننده ماتریس (X T X) به صفر تبدیل می شود و نمی شود یافتن ماتریس معکوس (X T X) -1 ممکن است. همانطور که مشخص است، برآورد پارامترهای معادله رگرسیون از رابطه: T X) -1 X T Y) تعیین می شود.
ضرایب روی متغیرهای ساختگی نشان می دهد که مقدار متغیر وابسته در سطح تحلیل شده در مقایسه با سطح گمشده چقدر تفاوت دارد. به عنوان مثال، اگر سطح دستمزد بسته به چندین ویژگی و سطح مهارت مدل شود، ضریب z 1 نشان می دهد که چگونه حقوق متخصصان با سطح صلاحیت بالا با حقوق یک متخصص با سطح صلاحیت پایین تفاوت دارد. همه چیزهای دیگر برابر هستند، و ضریب z 2 - برای متخصصان با سطح متوسط صلاحیت، معنای مشابهی دارد. در مورد فصلی بودن، باید سه متغیر ساختگی وارد شود (اگر داده های فصلی در نظر گرفته شود) و ضرایب روی آنها نشان می دهد که چقدر مقدار متغیر وابسته برای سه ماهه مربوطه با سطح متغیر وابسته برای سه ماهه متفاوت است. که هنگام دیجیتالی کردن آنها وارد نشده است.
متغیرهای ساختگی نیز برای مدل‌سازی تغییرات ساختاری در پویایی شاخص‌های مورد مطالعه در هنگام تحلیل سری‌های زمانی معرفی می‌شوند.
مثال 4.معادله رگرسیون استاندارد و متغیرهای ساختگی
بیایید نمونه ای از استفاده از ضرایب استاندارد شده و متغیرهای ساختگی را با استفاده از مثال تحلیل بازار آپارتمان های دو اتاقه بر اساس یک معادله رگرسیون چندگانه با مجموعه متغیرهای زیر در نظر بگیریم:
PRICE – قیمت؛
TOTSP - مساحت کل؛
LIVSP - فضای زندگی؛
KITSP - منطقه آشپزخانه؛
DIST - فاصله تا مرکز شهر؛
پیاده روی - برابر 1 اگر می توانید به ایستگاه مترو بروید و برابر 0 اگر نیاز به استفاده از حمل و نقل عمومی دارید.
آجر - اگر خانه آجری باشد برابر با 1 و اگر تابلویی باشد برابر 0.
FLOOR - اگر آپارتمان در طبقه اول یا آخر نباشد برابر با 1 و در غیر این صورت برابر با 0 است.
TEL - برابر 1 در صورت وجود تلفن در آپارتمان و برابر با 1 در غیر این صورت.
BAL در صورت وجود بالکن برابر با 1 و در صورت عدم وجود بالکن برابر با 0 است.
محاسبات با استفاده از نرم افزار STATISTICA انجام شد (شکل 2.23). وجود ضرایب به شما این امکان را می دهد که متغیرها را با توجه به میزان تأثیر آنها بر متغیر وابسته مرتب کنید. اجازه دهید تجزیه و تحلیل مختصری از نتایج محاسبات انجام دهیم.
بر اساس آمار فیشر، در مورد اهمیت معادله رگرسیون (سطح p< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
شکل 2.24 - گزارش بازار آپارتمان بر اساس PPP STATISTICA
ضریب تعیین چندگانه 52 درصد است، بنابراین متغیرهای درج شده در رگرسیون 52 درصد تغییر قیمت را تعیین می کنند و 48 درصد باقیمانده تغییر قیمت آپارتمان به عوامل محاسبه نشده بستگی دارد. از جمله از نوسانات تصادفی قیمت.
هر یک از ضرایب یک متغیر نشان می دهد که در صورت تغییر یک متغیر، قیمت یک آپارتمان چقدر تغییر می کند (همه چیزهای دیگر برابر هستند). بنابراین، برای مثال، زمانی که کل مساحت 1 متر مربع تغییر می کند. متر، قیمت یک آپارتمان به طور متوسط 0.791 دلار تغییر می کند و اگر آپارتمان 1 کیلومتر از مرکز شهر حرکت کند، قیمت یک آپارتمان به طور متوسط 0.596 دلار کاهش می یابد. و غیره متغیرهای ساختگی (5 مورد آخر) نشان می دهد که اگر از یک سطح این متغیر به سطح دیگری بروید، میانگین قیمت یک آپارتمان چقدر تغییر می کند. بنابراین، به عنوان مثال، اگر خانه آجری است، آپارتمان در آن به طور متوسط 3104 دلار هزینه دارد. یعنی گرانتر از همان در خانه پنل و وجود تلفن در آپارتمان قیمت آن را به طور متوسط 1493 دلار افزایش می دهد. e.، و غیره
بر اساس ضرایب می توان نتایج زیر را نتیجه گرفت. بزرگترین -ضریب برابر با 0.514، ضریب متغیر «مساحت کل» است، بنابراین، اول از همه، قیمت یک آپارتمان تحت تأثیر مساحت کل آن تشکیل می‌شود. عامل بعدی از نظر تأثیر در تغییر قیمت آپارتمان، فاصله تا مرکز شهر، سپس متریالی که خانه از آن ساخته شده است، سپس منطقه آشپزخانه و غیره است.
صفحه 1
ضرایب رگرسیون استاندارد نشان می دهد که اگر ضریب متناظر x یک سیگما تغییر کند و میانگین سطح سایر عوامل بدون تغییر باقی بماند، نتیجه میانگین چند سیگما تغییر خواهد کرد. با توجه به اینکه تمامی متغیرها به صورت متمرکز و نرمال شده مشخص می شوند، ضرایب استاندارد شده دین D با یکدیگر قابل مقایسه هستند. با مقایسه آنها با یکدیگر، می توانید عوامل را با توجه به قدرت تأثیر آنها در نتیجه رتبه بندی کنید. این مزیت اصلی ضرایب اقرار استاندارد شده است، در مقابل ضرایب دین ناب که قابل مقایسه نیستند.
سازگاری همبستگی جزئی و ضرایب رگرسیون استاندارد شده به وضوح از مقایسه فرمول آنها در تحلیل دو عاملی قابل مشاهده است.
سازگاری همبستگی جزئی و ضرایب رگرسیون استاندارد شده به وضوح از مقایسه فرمول آنها در تجزیه و تحلیل دو متغیره قابل مشاهده است.
برای تعیین مقادیر تخمین‌ها در ضرایب رگرسیون استاندارد a (از روش‌های زیر برای حل یک سیستم معادلات نرمال بیشتر استفاده می‌شود: روش تعیین‌کننده‌ها، روش ریشه دوم و روش ماتریس. اخیراً روش ماتریسی به طور گسترده برای حل مسائل تجزیه و تحلیل رگرسیون استفاده می شود.
به عبارت دیگر، در تحلیل دو عاملی، ضرایب همبستگی جزئی، ضرایب رگرسیون استاندارد ضرب در جذر نسبت سهم واریانس باقیمانده عامل ثابت به عامل و نتیجه هستند.
امکان دیگری برای ارزیابی نقش ویژگی‌های گروه‌بندی و اهمیت آنها برای طبقه‌بندی وجود دارد: بر اساس ضرایب رگرسیون استاندارد یا ضرایب تعیین جداگانه (به فصل مراجعه کنید).
همانطور که از جدول مشخص است. 18، اجزای ترکیب مورد مطالعه بر اساس قدر مطلق ضرایب رگرسیون (b5) با خطای مربع آنها (5br) در یک سری از مونوکسید کربن و اسیدهای آلی تا آلدئیدها و بخارات نفت توزیع شدند. هنگام محاسبه ضرایب رگرسیون استاندارد (p)، مشخص شد که با در نظر گرفتن دامنه نوسانات غلظت، کتون ها و مونوکسید کربن به طور کلی در شکل گیری سمیت مخلوط به منصه ظهور می رسند، در حالی که اسیدهای آلی در جایگاه سوم باقی می مانند. .
ضرایب رگرسیون خالص مشروط bf اعداد نامگذاری شده هستند که در واحدهای اندازه گیری مختلف بیان می شوند و بنابراین با یکدیگر قابل مقایسه نیستند. برای تبدیل آنها به شاخص های نسبی قابل مقایسه، همان تبدیلی که برای به دست آوردن ضریب همبستگی زوجی استفاده می شود. مقدار حاصل را ضریب رگرسیون استاندارد یا ضریب می نامند.
ضرایب رگرسیون خالص شرطی A; اعداد نامگذاری شده در واحدهای اندازه گیری مختلف بیان می شوند و بنابراین با یکدیگر قابل مقایسه نیستند. برای تبدیل آنها به شاخص های نسبی قابل مقایسه، همان تبدیلی که برای به دست آوردن ضریب همبستگی زوجی استفاده می شود. مقدار حاصل را ضریب رگرسیون استاندارد یا ضریب می نامند.
در فرآیند توسعه استانداردهای تعداد کارمندان، داده های اولیه در مورد تعداد حقوق و دستمزد پرسنل مدیریت و مقادیر فاکتور برای شرکت های پایه انتخاب شده جمع آوری می شود. در مرحله بعد، برای هر تابع بر اساس تحلیل همبستگی، بر اساس مقدار ضرایب همبستگی، عوامل معنادار انتخاب می شوند. عوامل با بالاترین مقدار ضریب همبستگی زوج با تابع و ضریب رگرسیون استاندارد انتخاب می شوند.
نتایج محاسبات فوق این امکان را فراهم می کند که ضرایب رگرسیون مربوط به مخلوط مورد مطالعه را به ترتیب کاهشی ترتیب دهیم و از این طریق میزان خطر آنها را کمی کنیم. با این حال، ضریب رگرسیون به دست آمده از این طریق، دامنه نوسانات احتمالی هر جزء در مخلوط را در نظر نمی گیرد. در نتیجه، محصولات تخریبی که دارای ضرایب رگرسیون بالایی هستند، اما در محدوده غلظت کمی در نوسان هستند، ممکن است تأثیر کمتری بر اثر سمی کلی نسبت به مواد با b نسبتاً کوچک داشته باشند، که محتوای آن در مخلوط در محدوده وسیع‌تری متفاوت است. بنابراین، انجام یک عملیات اضافی - محاسبه ضرایب رگرسیون استاندارد شده p (J.
صفحات: 1
ورزش.
- برای یک مجموعه داده معین، یک مدل رگرسیون چندگانه خطی بسازید. دقت و کفایت معادله رگرسیون ساخته شده را ارزیابی کنید.
- یک تفسیر اقتصادی از پارامترهای مدل ارائه دهید.
- ضرایب استاندارد شده مدل را محاسبه کرده و معادله رگرسیون را به صورت استاندارد بنویسید. آیا این درست است که قیمت یک کالا تاثیر بیشتری بر حجم عرضه کالا دارد تا دستمزد کارکنان؟
- برای مدل به دست آمده (به شکل طبیعی)، با استفاده از آزمون گلدفلد-کواندت بررسی کنید که آیا باقیمانده ها همسوداست.
- مدل به دست آمده را برای خود همبستگی باقیمانده ها با استفاده از آزمون دوربین واتسون آزمایش کنید.
- بررسی کنید که آیا فرض همگنی داده های اصلی به معنای رگرسیون کافی است یا خیر. آیا می توان دو نمونه (برای 8 مشاهده اول و 8 مشاهده باقیمانده) را در یک نمونه ترکیب کرد و یک مدل رگرسیونی واحد از Y روی X در نظر گرفت؟
1. برآورد معادله رگرسیون. بیایید بردار تخمین ضریب رگرسیون را با استفاده از سرویس معادله رگرسیون چندگانه تعیین کنیم. بر اساس روش حداقل مربعات، بردار سبه دست آمده از عبارت: s = (X T X) -1 X T Y
ماتریس X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
ماتریس Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
ماتریس X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
ضرب ماتریس، (X T X)
ماتریس معکوس (X T X) -1 را پیدا کنید
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0E-6 |
| 0.00037 | -7.0E-6 | 1.0E-6 |
بردار برآورد ضریب رگرسیون برابر است با
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
معادله رگرسیون (تخمین معادله رگرسیون)
Y = 0.18 + 0.00297X 1 + 0.00347X 2
2. ماتریس ضرایب همبستگی زوجی R. تعداد مشاهدات n = 14. تعداد متغیرهای مستقل در مدل 2 است و تعداد رگرسیورها با در نظر گرفتن بردار واحد برابر است با تعداد ضرایب مجهول. با در نظر گرفتن علامت Y، بعد ماتریس برابر با 4 می شود. ماتریس متغیرهای مستقل X دارای بعد (14*4) است.
ماتریس متشکل از Y و X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
ماتریس جابجا شده
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
ماتریس A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
ماتریس حاصل مطابقت زیر را دارد:
| ∑n | ∑y | ∑x 1 | ∑x 2 |
| ∑y | ∑y 2 | ∑ x 1 سال | ∑x 2 سال |
| ∑x 1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑ x 2 x 1 |
| ∑x 2 | ∑yx 2 | ∑ x 1 x 2 | ∑x 2 2 |
بیایید ضرایب همبستگی جفتی را پیدا کنیم.
| ویژگی های x و y | ∑(xi) | ∑(yi) | ∑(x i y i ) | |||
| برای y و x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| برای y و x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| برای x 1 و x 2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| ویژگی های x و y | ||||
| برای y و x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| برای y و x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| برای x 1 و x 2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
ماتریس ضرایب همبستگی جفتی R:
| - | y | x 1 | x 2 |
| y | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x 2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
برای انتخاب مهم ترین عوامل x i، شرایط زیر در نظر گرفته می شود:
- ارتباط بین مشخصه حاصل و عامل یک باید بالاتر از اتصال بین فاکتور باشد.
- رابطه بین عوامل نباید بیشتر از 0.7 باشد. اگر ماتریس دارای ضریب همبستگی رابط r xjxi > 0.7 باشد، در این مدل رگرسیون چندگانه چند خطی وجود دارد.
- با اتصال بین فاکتوری بالای یک مشخصه، عواملی با ضریب همبستگی کمتر بین آنها انتخاب می شوند.
در مورد ما، همه ضرایب همبستگی زوجی |r| مدل رگرسیون در مقیاس استاندارد یک مدل رگرسیون در مقیاس استاندارد فرض می‌کند که تمام مقادیر ویژگی‌های مورد مطالعه با استفاده از فرمول‌ها به استانداردها (مقادیر استاندارد شده) تبدیل می‌شوند:
که در آن x ji مقدار متغیر x ji در مشاهده i ام است.
بنابراین، مبدأ هر متغیر استاندارد شده با مقدار میانگین آن ترکیب می‌شود و انحراف معیار آن به عنوان واحد تغییر در نظر گرفته می‌شود. اس.
اگر رابطه بین متغیرها در مقیاس طبیعی خطی باشد، تغییر مبدا و واحد اندازه گیری این ویژگی را نقض نمی کند، بنابراین متغیرهای استاندارد شده نیز با یک رابطه خطی مرتبط می شوند:
t y = ∑β j t xj
برای تخمین ضرایب β، از OLS استفاده می کنیم. در این حالت، سیستم معادلات عادی به شکل زیر خواهد بود:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
برای داده های ما (آن را از ماتریس ضرایب همبستگی جفت می گیریم):
0.558 = β 1 + 0.508β 2
0.984 = 0.508β 1 + β 2
ما این سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوسی حل می کنیم: β 1 = 0.0789; β 2 = 0.944;
شکل استاندارد معادله رگرسیون به صورت زیر است:
y 0 = 0.0789x 1 + 0.944x 2
ضرایب β یافت شده از این سیستم امکان تعیین مقادیر ضرایب در رگرسیون در مقیاس طبیعی را با استفاده از فرمول‌ها ممکن می‌سازد:
ضرایب رگرسیون جزئی استاندارد شده. ضرایب رگرسیون جزئی استاندارد شده - ضرایب β (β j) نشان می دهد که نتیجه با چه بخشی از انحراف استاندارد آن S(y) تغییر خواهد کرد. yبا تغییر در ضریب متناظر x j با مقدار انحراف معیار آن (S xj) با تأثیر ثابت سایر عوامل (شامل در معادله).
با حداکثر β j می توان قضاوت کرد که کدام عامل تأثیر قوی تری بر نتیجه Y دارد.
ضرایب کشش و ضرایب β می توانند به نتایج متضاد منجر شوند. دلایل این امر عبارتند از: الف) تنوع یک عامل بسیار زیاد است. ب) تأثیر چند جهته عوامل بر نتیجه.
ضریب β j همچنین می تواند به عنوان یک شاخص تأثیر مستقیم (فوری) تفسیر شود jعامل -امین (xj) در نتیجه (y). در رگرسیون چندگانه jعامل ام نه تنها تأثیر مستقیم، بلکه غیرمستقیم (غیر مستقیم) بر نتیجه دارد (یعنی تأثیر از طریق سایر عوامل مدل).
تأثیر غیرمستقیم با مقدار اندازه گیری می شود: ∑β i r xj,xi، که m تعداد عوامل در مدل است. تاثیر کامل jthضریب روی نتیجه برابر با مجموع تأثیرات مستقیم و غیرمستقیم ضریب همبستگی جفت خطی این عامل و نتیجه - r xj,y را اندازه می‌گیرد.
بنابراین برای مثال ما، تأثیر مستقیم عامل x 1 بر نتیجه Y در معادله رگرسیون با β j اندازه‌گیری می‌شود و به 0.0789 می‌رسد. تأثیر غیرمستقیم (واسطه ای) این عامل بر نتیجه به صورت زیر تعریف می شود:
r x1x2 β 2 = 0.508 * 0.944 = 0.4796
در اقتصاد سنجی، اغلب از یک رویکرد متفاوت برای تعیین پارامترهای رگرسیون چندگانه (2.13) با ضریب حذف شده استفاده می شود:
بیایید هر دو طرف معادله را بر انحراف معیار متغیر توضیح داده شده تقسیم کنیم اس Yو به شکل زیر ارائه کنید:
بیایید هر جمله را در انحراف معیار متغیر عامل مربوطه تقسیم و ضرب کنیم تا به متغیرهای استاندارد شده (مرکز و نرمال شده) برسیم:
که در آن متغیرهای جدید به عنوان نشان داده می شوند
.
همه متغیرهای استاندارد شده دارای میانگین صفر و واریانس یکسان هستند.
معادله رگرسیون به شکل استاندارد شده به صورت زیر است:
جایی که 
- ضرایب رگرسیون استاندارد.
ضرایب رگرسیون استاندارد 
با ضرایب متفاوت است 
شکل عادی و طبیعی به این صورت که مقدار آنها به مقیاس اندازه گیری متغیرهای توضیحی و توضیحی مدل بستگی ندارد. علاوه بر این، یک رابطه ساده بین آنها وجود دارد:
, (3.2)
که راه دیگری برای محاسبه ضرایب می دهد 
توسط مقادیر شناخته شده 
، برای مثال در مورد مدل رگرسیون دو عاملی راحت تر است.
5.2. سیستم نرمال معادلات حداقل مربعات در استاندارد
متغیرها
به نظر می رسد که برای محاسبه ضرایب رگرسیون استاندارد شده، فقط باید ضرایب همبستگی خطی زوجی را بدانید. برای نشان دادن نحوه انجام این کار، اجازه دهید مجهول را از سیستم معمولی معادلات حداقل مربعات حذف کنیم 
با استفاده از معادله اول ضرب معادله اول در ( 
) و با اضافه کردن ترم به ترم با معادله دوم، به دست می آید:
جایگزینی عبارات داخل پرانتز با نمادهای واریانس و کوواریانس
اجازه دهید معادله دوم را به شکلی مناسب برای ساده سازی بیشتر بازنویسی کنیم:
بیایید هر دو طرف این معادله را بر انحراف معیار متغیرها تقسیم کنیم اس Yو ` اس ایکس 1 و هر جمله را تقسیم کنید و در انحراف معیار متغیر مربوط به تعداد عبارت ضرب کنید:
معرفی ویژگی های یک رابطه آماری خطی:
و ضرایب رگرسیون استاندارد
,
ما گرفتیم:
پس از تبدیل های مشابه تمام معادلات دیگر، سیستم نرمال معادلات خطی حداقل مربعات (2.12) شکل ساده تر زیر را به خود می گیرد:
(3.3)
5.3. گزینه های رگرسیون استاندارد شده
ضرایب رگرسیون استاندارد شده در حالت خاص یک مدل با دو عامل از سیستم معادلات زیر تعیین می شود:
(3.4)
با حل این سیستم معادلات، متوجه می شویم:
, (3.5)
. (3.6)
با جایگزینی مقادیر یافت شده ضرایب همبستگی زوجی به معادلات (3.4) و (3.5)، به دست می آوریم. 
و 
. سپس با استفاده از فرمول (3.2) به راحتی می توان برآورد ضرایب را محاسبه کرد 
و 
و سپس در صورت لزوم برآورد را محاسبه کنید 
طبق فرمول 
6. امکانات تحلیل اقتصادی بر اساس مدل چند عاملی
6.1. ضرایب رگرسیون استاندارد
ضرایب رگرسیون استاندارد نشان می دهد که چند انحراف استاندارد 
میانگین متغیر توضیح داده شده تغییر خواهد کرد Y، اگر متغیر توضیحی مربوطه باشد ایکس من
با مقدار تغییر خواهد کرد 
یکی از انحرافات استاندارد آن در حالی که سطح متوسط سایر عوامل را بدون تغییر حفظ می کند.
با توجه به اینکه در رگرسیون استاندارد شده تمامی متغیرها به عنوان متغیرهای تصادفی متمرکز و نرمال شده مشخص می شوند، ضرایب 
قابل مقایسه با یکدیگر با مقایسه آنها با یکدیگر می توانید فاکتورهای مربوط به آنها را رتبه بندی کنید ایکس منبا قدرت تاثیر بر متغیر توضیح داده شده Y. این مزیت اصلی ضرایب رگرسیون استاندارد شده از ضرایب است 
رگرسیون هایی به شکل طبیعی که قابل مقایسه نیستند.
این ویژگی ضرایب رگرسیون استاندارد این امکان را فراهم می کند که در هنگام حذف کمترین فاکتورها از آن استفاده شود ایکس منبا مقادیر تخمین نمونه آنها نزدیک به صفر است 
. تصمیم به حذف آنها از معادله مدل رگرسیون خطی پس از آزمون فرضیه های آماری مبنی بر اینکه مقدار میانگین آن برابر با صفر است، اتخاذ می شود.
ضریب بتای برابر با 0.074 (جدول 3.2.1) نشان می دهد که اگر دستمزدهای واقعی با مقدار انحراف معیار خود (σχ1) تغییر کنند، ضریب رشد طبیعی جمعیت به طور متوسط 0.074 σу تغییر می کند. ضریب بتای 0.02 نشان می دهد که اگر نرخ خام ازدواج با مقدار انحراف معیار آن (با σχ2) تغییر کند، نرخ رشد طبیعی جمعیت به طور متوسط 0.02 σу تغییر می کند. به طور مشابه، تغییر در تعداد جرایم به ازای هر 1000 نفر با مقدار انحراف معیار آن (با σχ3) منجر به تغییر در مشخصه حاصل به طور میانگین 0.366 σу و تغییر در ورودی متر مربع مسکونی می شود. محل به ازای هر نفر در سال با مقدار انحراف استاندارد آن (با σχ4) منجر به تغییر در ویژگی موثر به طور متوسط 1.32σу می شود.
ضریب کشش نشان می دهد که y به طور متوسط با چه درصدی با تغییر در ویژگی عامل به میزان 1 درصد تغییر می کند. از تجزیه و تحلیل سری های زمانی مشخص می شود که مقدار افزایش 1٪ در یک مشخصه موثر منفی است، زیرا در همه واحدهای جمعیت کاهش طبیعی جمعیت وجود دارد. بنابراین رشد در واقع به معنای کاهش ضرر است. این بدان معنی است که ضرایب کشش منفی در این مورد منعکس کننده این واقعیت است که با افزایش 1% در هر یک از ویژگی های عامل، ضریب تلفات طبیعی به تعداد درصد مربوطه کاهش می یابد. با افزایش 1 درصدی دستمزدهای واقعی، نرخ کاهش طبیعی 0.219 درصد کاهش می یابد، با افزایش 1 درصدی نرخ کلی ازدواج، 0.156 درصد کاهش می یابد. افزایش 1 درصدی تعداد جرایم به ازای هر 1000 نفر جمعیت با کاهش 0.564 کاهش طبیعی جمعیت مشخص می شود. البته این بدان معنا نیست که افزایش جرم و جنایت می تواند وضعیت جمعیتی را بهبود بخشد. نتایج به‌دست‌آمده نشان می‌دهد که هر چه به ازای هر 1000 نفر جمعیت بیشتری باقی بماند، به ترتیب در هر هزار جرایم بیشتری رخ می‌دهد. افزایش ورودی متر مربع. مسکن به ازای هر نفر در سال 1٪ منجر به کاهش 0.482٪ در ضرر طبیعی می شود.
تجزیه و تحلیل ضرایب کشش و ضرایب بتا نشان می دهد که بیشترین تأثیر را بر نرخ رشد طبیعی جمعیت، عامل راه اندازی مترمربع مسکن سرانه اعمال می کند، زیرا با بالاترین مقدار ضریب بتا (1.32) مطابقت دارد. با این حال، این بدان معنا نیست که بیشترین فرصت ها برای تغییر نرخ رشد طبیعی جمعیت با تغییر در این عوامل در نظر گرفته شده است. نتیجه به‌دست‌آمده نشان‌دهنده این واقعیت است که تقاضا در بازار مسکن با عرضه مطابقت دارد، یعنی هر چه رشد طبیعی جمعیت بیشتر باشد، نیاز این جمعیت به مسکن بیشتر و ساخت آن بیشتر می‌شود.
دومین ضریب بتای بزرگ (0.366) مربوط به تعداد جرایم در هر 1000 نفر است. البته این بدان معنا نیست که با افزایش جرم و جنایت می توان وضعیت جمعیتی را بهبود بخشید. نتایج به‌دست‌آمده نشان می‌دهد که هر چه تعداد افراد به ازای هر 1000 نفر جمعیت بیشتر باشد، به‌طور متناظر جرم بیشتری در هر هزار اتفاق می‌افتد.
بزرگترین شاخص باقیمانده، ضریب بتا (0.074)، مربوط به شاخص دستمزد واقعی است. بیشترین فرصت ها برای تغییر نرخ رشد طبیعی جمعیت با تغییر در این یکی از عوامل در نظر گرفته شده همراه است. شاخص نرخ کلی ازدواج از این نظر نسبت به دستمزدهای واقعی پایین تر است، زیرا کاهش طبیعی جمعیت در روسیه، اول از همه، به دلیل نرخ بالای مرگ و میر جمعیت است که می توان نرخ رشد آن را کاهش داد. به جای افزایش تعداد ازدواج ها، امنیت مادی.
3.3 گروه بندی ترکیبی مناطق بر اساس دستمزد واقعی و نرخ کلی ازدواج
گروه بندی ترکیبی یا چند بعدی، گروه بندی بر اساس دو یا چند ویژگی است. ارزش این گروه بندی در این واقعیت نهفته است که نه تنها تأثیر هر عامل بر نتیجه، بلکه تأثیر ترکیب آنها را نیز نشان می دهد.
اجازه دهید تأثیر ارزش دستمزد واقعی و نرخ کلی ازدواج را بر نرخ تولد به ازای هر 1000 نفر تعیین کنیم.
اجازه دهید گروه های معمولی را با توجه به ویژگی های مورد نظر شناسایی کنیم. برای انجام این کار، سری های رتبه بندی شده و فاصله ای را با توجه به ویژگی عامل (مقدار حقوق و دستمزد) ساخته و تجزیه و تحلیل می کنیم، تعداد گروه ها و اندازه فاصله را تعیین می کنیم. سپس در هر گروه یک سری رتبه بندی شده و فاصله ای بر اساس معیار دوم (میزان ازدواج) ساخته و تعداد گروه ها و فاصله را نیز تعیین می کنیم. روش انجام این کار در فصل 2 ارائه شده است، بنابراین، با حذف محاسبات، نتایج را ارائه می دهیم. برای ارزش دستمزد واقعی، 3 گروه معمولی، برای نرخ کلی ازدواج - 2 گروه شناسایی شده است.
ما طرحی از یک جدول ترکیبی ترسیم خواهیم کرد که در آن تقسیم جمعیت به گروه ها و زیر گروه ها و همچنین ستون هایی برای ثبت تعداد مناطق و نرخ تولد در هر 1000 نفر از جمعیت ارائه می شود. برای گروه‌ها و زیرگروه‌های انتخاب شده، نرخ تولد را محاسبه می‌کنیم (جدول 3.3.1)
جدول 3.3.1
تأثیر دستمزد واقعی و نرخ کلی ازدواج بر نرخ تولد.
اجازه دهید داده های به دست آمده در مورد وابستگی نرخ تولد به دستمزد واقعی و نرخ ازدواج را تجزیه و تحلیل کنیم. از آنجایی که یک مشخصه در حال مطالعه است - نرخ باروری، داده های مربوط به آن را در جدول ترکیبی شطرنج به شکل زیر می نویسیم (جدول 3.3.2).
گروه بندی ترکیبی به ما امکان می دهد تا میزان تأثیر بر میزان تولد هر عامل را به طور جداگانه و تأثیر متقابل آنها را ارزیابی کنیم.
جدول 3.3.2
وابستگی نرخ تولد به دستمزد واقعی و نرخ ازدواج
اجازه دهید ابتدا تأثیر روی نرخ تولد ارزش دستمزدهای واقعی را در یک مقدار ثابت مشخصه گروه بندی دیگر - نرخ ازدواج، مطالعه کنیم. بنابراین، با نرخ ازدواج از 13.2 به 25.625، میانگین نرخ تولد با افزایش دستمزد از 9.04 در گروه اول به 9.16 در گروه دوم و 9.56 در گروه سوم افزایش می یابد. افزایش نرخ تولد از دستمزد در گروه سوم نسبت به گروه اول: 9.56-9.04 = 0.52 نفر به ازای هر 1000 نفر جمعیت است. با نرخ ازدواج 25.625-38.05، افزایش از همان دستمزد برابر است با: 10.27-9.49 = 0.78 نفر به ازای هر 1000 نفر جمعیت. افزایش از اثر متقابل عوامل برابر است با: 0.78-0.52 = 0.26 نفر در هر 1000 نفر جمعیت. یک نتیجه گیری کاملاً طبیعی از این نتیجه حاصل می شود: افزایش رفاه انگیزه می دهد یا بهتر است بگوییم با اعتماد به آینده باعث می شود که تمایل فرد برای ازدواج و تشکیل خانواده با فرزندان محقق شود. این نشان دهنده تأثیر متقابل عوامل است.
به همین ترتیب تأثیر نرخ ازدواج را در سطح دستمزد ثابت بر نرخ باروری تخمین خواهیم زد. برای انجام این کار، بیایید نرخ زاد و ولد را برای گروه های "الف" و "ب" در هر گروه با توجه به ارزش دستمزد واقعی مقایسه کنیم. افزایش نرخ تولد با افزایش نرخ ازدواج به 25.625-38.05 در هر 1000 نفر در مقایسه با گروه "الف" عبارت است از: در گروه 1 با حقوق 5707.9 - 6808.7 روبل. در ماه - 9.49-9.04 = 0.45 نفر به ازای هر 1000 نفر جمعیت، در گروه دوم - 10.01-9.16 = 0.85 نفر در هر 1000 نفر جمعیت و در سوم - 10.27- 9.56 = 0.71 نفر در هر 1000 نفر جمعیت. همانطور که می بینید، تصمیم به داشتن فرزند بستگی به وضعیت تاهل دارد، یعنی. اثر متقابل عوامل وجود دارد که باعث افزایش 0.26 نفر در هر 1000 نفر می شود.
با افزایش مشترک در هر دو عامل، نرخ تولد از 9.04 در زیر گروه 1 "الف" به 10.27 نفر در هر 1000 نفر در زیر گروه 3 "b" افزایش می یابد.
نمایندگان کمیسیون اقتصادی سازمان ملل متحد برای اروپا اخیرا اعلام کردند که سن ازدواج اول در کشورهای اروپایی پنج سال افزایش یافته است. پسران و دختران ترجیح می دهند بعد از 30 سالگی ازدواج کنند. روس ها جرات ازدواج قبل از 24-26 سالگی را ندارند. همچنین روند کاهش ازدواج در اروپا و روسیه رایج است. جوانان به طور فزاینده ای مشاغل و آزادی شخصی را ترجیح می دهند. کارشناسان داخلی در این فرآیندها نشانه هایی از بحران عمیق در خانواده سنتی را می بینند. به نظر آنها او به معنای واقعی کلمه آخرین روزهای خود را سپری می کند. جامعه شناسان می گویند که زندگی خصوصی اکنون در حال گذراندن دوره بازسازی است. خانواده به معنای معمول کلمه، زندگی بر اساس طرح "مادر-پدر-فرزندان" به تدریج در حال تبدیل شدن به چیزی از گذشته است. در زندگی خصوصی، روس‌ها به طور فزاینده‌ای در حال آزمایش هستند، و بیشتر و بیشتر اشکال جدیدی از خانواده را ابداع می‌کنند که پاسخگوی نیازهای زمان باشد. آناتولی ویشنفسکی، مدیر مرکز جمعیت شناسی و بوم شناسی انسانی، به Novye Izvestia گفت: "اکنون فرد اغلب شغل، حرفه، علایق، محل زندگی خود را تغییر می دهد." "
جامعه شناسان خاطرنشان می کنند که یکی از دلایل افزایش طلاق در روسیه استاندارد پایین زندگی مردم است. آقای گونتماخر (مدیر علمی مرکز تحقیقات اجتماعی و نوآوری) به NI گفت: «طبق آمار، طلاق در روسیه تقریباً 10 تا 15 درصد بیشتر از اروپاست. - اما دلایل طلاق برای ما و آنها متفاوت است. اولویت ما عمدتاً به این دلیل است که مشکلات اقتصادی به طور فزاینده ای بر زندگی روس ها تأثیر می گذارد. اگر همسران شرایط زندگی سختی داشته باشند، بیشتر دعوا می کنند. جوانان همیشه نمی توانند مستقل زندگی کنند. علاوه بر این، در مناطق، بسیاری از مردان مشروب می خورند، کار نمی کنند و نمی توانند زندگی خانواده خود را تامین کنند. این هم دلیلی برای طلاق است.»
نتیجه
در این کار، یک تحلیل آماری و اقتصادی از تأثیر استاندارد زندگی جمعیت بر فرآیندهای رشد طبیعی انجام شد.
تجزیه و تحلیل پویایی ها نشان داد که طی 10 سال گذشته افزایشی در دستمزدهای واقعی و هزینه های زندگی وجود داشته است. به طور کلی، در طول این 10 سال، صفت مؤثر - ضریب افزایش طبیعی - ثابت است. ثبات فرآیندهای نوظهور تغییر در ویژگی های انتخاب شده به حدی است که پیش بینی فقط برای ارزش دستمزد واقعی و نرخ مرگ و میر امکان پذیر است. با توجه به روند سهموی ساخته شده، تا سال 2010 ارزش پیش بینی شده متوسط دستمزد واقعی 17473.5 روبل خواهد بود و میزان مرگ و میر به 12.75 نفر در هر 1000 نفر کاهش می یابد.
گروه بندی تحلیلی رابطه مستقیم بین شاخص ها را نشان داد: با افزایش دستمزدها، شاخص های رشد طبیعی بهبود می یابد.
با این حال، یک خانواده دو کارگر با حقوق متوسط می تواند حداقل سطح مصرف را برای 2 فرزند - در پایین ترین گروه معمولی، 3 فرزند - در متوسط و بالاترین گروه معمولی فراهم کند. با توجه به اینکه دو فرزند در آینده جایگزین زندگی والدین خود می شوند، افزایش جزئی جمعیت تنها در گروه های متوسط و بالاتر و سپس در شرایط پایین بودن میزان مرگ و میر در مقایسه با نرخ تولد امکان پذیر است. پتانسیل باروری، که با دستمزدها در روسیه همراه است، برای بهبود وضعیت جمعیتی در این کشور کم است. این دقیقا نیاز به پروژه ملی جمعیتی معرفی شده در روسیه را آشکار می کند. افزایش دستمزدها تأثیر مطلوب تری بر میزان مرگ و میر نسبت به نرخ تولد دارد.
ساخت یک مدل همبستگی-رگرسیون نشان داد که تأثیر همزمان ویژگی‌های عاملی (دستمزد، نرخ ازدواج، نرخ جرم و راه‌اندازی مسکن) بر مولد (افزایش طبیعی) با میانگین قدرت ارتباط مشاهده می‌شود. تغییر در نرخ رشد طبیعی جمعیت به میزان 9/44 درصد با تأثیر عوامل انتخابی و 1/55 درصد با دلایل غیرقابل محاسبه و تصادفی مشخص می شود. بزرگترین فرصت ها برای تغییر نرخ رشد طبیعی جمعیت با تغییرات در ارزش دستمزدهای واقعی همراه است.
گروه ترکیبی تأیید کردند که افزایش بهزیستی باعث می شود، یا بهتر است بگوییم، با اطمینان به آینده، تمایل فرد برای ازدواج و تشکیل خانواده با فرزندان محقق شود.
و در نهایت باید میزان اثربخشی حل مشکل جمعیتی کشورمان را ارزیابی کنیم. به طور کلی تأثیر مثبت و مؤثر انگیزه های مادی بر روند جابجایی طبیعی جمعیت به اثبات رسیده است. نکته دیگر این است که مجموعه ای از مشکلات اجتماعی و روانی (الکلیسم، خشونت، خودکشی) وجود دارد که به طور غیرقابل کاهش جمعیت ما را کاهش می دهد. دلیل اصلی آنها نگرش فرد نسبت به خود و دیگران است. اما این مشکلات را نمی توان به تنهایی توسط دولت حل کرد.
و دولت می تواند و باید هر کاری برای بهبود سطح و کیفیت زندگی در کشور انجام دهد. نمی توان گفت که دولت ما از این مسئولیت ها غفلت می کند. این کشور هر کاری که ممکن است انجام می دهد، به دنبال راه های مختلف برون رفت از بحران جمعیتی است و تلاش می کند.
فهرست ادبیات استفاده شده
1) Borisov E.F. نظریه اقتصادی: کتاب درسی - ویرایش دوم، بازبینی شده. و اضافی – M.: TK Welby, Prospekt Publishing House, 2005. – 544 p.
2) Belousova S. تجزیه و تحلیل سطح فقر.// Economist.-2006، شماره 10.-p.67
3) Davydova L. A. نظریه آمار. آموزش. مسکو. خیابان. 2005. 155 ص.
4) جمعیت شناسی: کتاب درسی/زیر عمومی. ویرایش در. ولژینا M.: Publishing House RAGS, 2003 – 384 p.
5) آمار اجتماعی Efimova E. P. مسکو. امور مالی و آمار. 2003. 559 ص.
6) Efimova E.P.، Ryabtsev V.M. نظریه عمومی آمار. نسخه آموزشی. مسکو. امور مالی و آمار. 1991. 304 ص.
7) Zinchenko A.P. کارگاه تئوری عمومی آمار و آمار کشاورزی. مسکو. امور مالی و آمار. 1988. 328 ص.
8) Kadomtseva S. Social Policy and جمعیت.// Economist.-2006, No. 7.-p.49
9) کوزیرف V.M. مبانی اقتصاد مدرن: کتاب درسی. -چاپ دوم، بازنگری شده. و اضافی -M.: امور مالی و آمار، 2001.-432 ص.
10) Konygina N. Brintseva G. جمعیت شناس آناتولی ویشنفسکی در مورد آنچه که یک روسی را مجبور به انتخاب بین کودکان و راحتی می کند - 2006، 7 نوامبر - شماره 249. 7
11) Nazarova N.G. دوره آمار اجتماعی مسکو. Finstatinform. 2000. 770 ص.
13) مبانی جمعیت شناسی: کتاب درسی / N.V. زورووا، I.N. Veselkova، V.V. Elizarov.-M.: بالاتر. Shk., 2004.-374 p.: ill.
14) خطاب رئیس جمهور فدراسیون روسیه به مجمع فدرال فدراسیون روسیه مورخ 26 آوریل 2007.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. فرهنگ لغت اقتصادی مدرن. – ویرایش چهارم، بازبینی شده. و اضافی -M.:INFRA-M، 2005.-480 p.
16) روداکوا R.P.، Bukin L.L.، Gavrilov V.I. کارگاه آمار. -SPb.: Peter, 2007.-288pp.
17) وب سایت سرویس آمار فدرال www.gks.ru
18) Shaikin D.N. ارزیابی آینده نگر از جمعیت روسیه در میان مدت // سوالات آمار - 2007، شماره 47
سیستم اندیکاتورها (کلید تراشه ها)
1-متوسط دستمزد اسمی ماهانه در سال 2006 (به روبل)
2-شاخص قیمت مصرف کننده انواع کالاها و خدمات پرداختی در سال 1385 به صورت درصد نسبت به آذرماه سال گذشته
3 - متوسط دستمزد واقعی ماهانه در سال 2006 (به روبل)
4 – جمعیت در ابتدای سال 1385
5 - جمعیت در پایان سال 2006
6 – میانگین جمعیت سالانه در سال 2006
7 – تعداد تولدها در سال 1385، افراد
8 – تعداد مرگ و میر در سال 2006، افراد
9 – نرخ زاد و ولد در سال 2006 به ازای هر 1000 نفر جمعیت
10- نرخ مرگ و میر در سال 2006 به ازای هر 1000 نفر جمعیت
11- نرخ افزایش طبیعی در سال 2006 به ازای هر 1000 نفر جمعیت
12 - هزینه زندگی برای سال 2006 (به روبل)
13- تعداد جرایم ارتکابی به ازای هر 1000 نفر
14 – راه اندازی مترمربع مسکن برای هر نفر در سال
15- نرخ کلی ازدواج به ازای هر 1000 نفر جمعیت
پیوست 1
جدول
دستمزد واقعی، مالش.
ضمیمه 2
هزینه زندگی، مالش.
پیوست 3
