برآورد انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی. تخمین نقطه ای انتظارات ریاضی

بگذارید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد ایکسبا انتظارات ریاضی مترو واریانس D، در حالی که هر دوی این پارامترها ناشناخته هستند. بالاتر از ارزش ایکستولید شده نآزمایش های مستقل، در نتیجه مجموعه ای از ننتایج عددی x 1، x 2، …، x N. به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی، طبیعی است که میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده را پیشنهاد کنیم.

(1)

اینجا به عنوان x iمقادیر خاص (اعداد) به دست آمده در نتیجه در نظر گرفته می شود نآزمایش. اگر دیگران را بگیریم (مستقل از موارد قبلی) نآزمایش‌ها، پس بدیهی است که مقدار متفاوتی دریافت خواهیم کرد. اگر بیشتر مصرف کنید نآزمایش‌ها، سپس مقدار جدید دیگری دریافت خواهیم کرد. اجازه دهید با نشان دادن X iمتغیر تصادفی ناشی از منآزمایش، سپس اجراها X iاعداد به دست آمده از این آزمایش ها خواهد بود. بدیهی است که متغیر تصادفی است X iتابع چگالی احتمال مشابه متغیر تصادفی اصلی را خواهد داشت ایکس. ما همچنین معتقدیم که متغیرهای تصادفی X iو Xjوقتی مستقل هستند من، نا برابر j(آزمایش های مختلف مستقل از یکدیگر). بنابراین، فرمول (1) را به شکلی متفاوت (آماری) بازنویسی می کنیم:

(2)

اجازه دهید نشان دهیم که برآورد بی طرفانه است:

بنابراین، انتظار ریاضی از میانگین نمونه برابر است با انتظارات ریاضی واقعی متغیر تصادفی. متر. این یک واقعیت نسبتا قابل پیش بینی و قابل درک است. در نتیجه، میانگین نمونه (2) را می توان به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی در نظر گرفت. حال این سوال مطرح می شود: با افزایش تعداد آزمایش ها برای واریانس تخمین انتظارات ریاضی چه اتفاقی می افتد؟ محاسبات تحلیلی نشان می دهد که

واریانس برآورد انتظارات ریاضی (2) کجاست و D- واریانس واقعی متغیر تصادفی ایکس.

از مطالب فوق چنین بر می آید که با افزایش ن(تعداد آزمایش) واریانس تخمین کاهش می یابد، یعنی. هرچه بیشتر تحقق‌های مستقل را جمع‌بندی کنیم، تخمینی به انتظارات ریاضی نزدیک‌تر می‌شویم.

تخمین واریانس ریاضی

در نگاه اول، طبیعی ترین ارزیابی به نظر می رسد

(3)

که با استفاده از فرمول (2) محاسبه می شود. بیایید بررسی کنیم که آیا برآورد بی طرفانه است یا خیر. فرمول (3) را می توان به صورت زیر نوشت:

بیایید عبارت (2) را با این فرمول جایگزین کنیم:

بیایید انتظار ریاضی برآورد واریانس را پیدا کنیم:

(4)

از آنجایی که واریانس یک متغیر تصادفی به انتظار ریاضی متغیر تصادفی بستگی ندارد، اجازه دهید انتظار ریاضی را برابر با 0 در نظر بگیریم، یعنی. متر = 0.

	(5)
در .	(6)

یک متغیر تصادفی X وجود داشته باشد و پارامترهای آن انتظار ریاضی هستند آو واریانس ناشناخته است. N آزمایش مستقل روی مقدار X انجام شد که نتایج x 1، x 2، x n را به دست آورد.

بدون کاهش کلیت استدلال، این مقادیر متغیر تصادفی را متفاوت در نظر می گیریم. ما مقادیر x 1، x 2، x n را به عنوان متغیرهای تصادفی مستقل و با توزیع یکسان X 1، X 2، X n در نظر خواهیم گرفت.

ساده ترین روش تخمین آماری - روش جایگزینی و قیاس - شامل گرفتن ویژگی متناظر توزیع نمونه - مشخصه نمونه - به عنوان تخمین یک یا آن مشخصه عددی (میانگین، واریانس و غیره) از جمعیت عمومی است. .

استفاده از روش جایگزینی به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی آما باید انتظار ریاضی توزیع نمونه را در نظر بگیریم - میانگین نمونه. بنابراین، ما دریافت می کنیم

برای بررسی بی طرفی و سازگاری میانگین نمونه به عنوان تخمین آ، این آمار را تابعی از بردار انتخابی (X 1, X 2, X n) در نظر بگیرید. با توجه به اینکه هر یک از کمیت های X 1، X 2، X n قانون توزیع مشابه با مقدار X دارند، نتیجه می گیریم که ویژگی های عددی این کمیت ها و مقدار X یکسان است: M(X من) = M(X) = آ، D(X من) = D(X) = , من = 1، 2، n , که در آن X i مجموعاً متغیرهای تصادفی مستقل هستند.

از این رو،

از اینجا، طبق تعریف، به دست می آوریم که یک تخمین بی طرفانه است آو از آنجایی که D()®0 برای n®¥، سپس با قضیه پاراگراف قبلی یک تخمین ثابت از انتظارات ریاضی است آجمعیت عمومی.

اثربخشی یا ناکارآمدی تخمین به نوع قانون توزیع متغیر تصادفی X بستگی دارد. می توان ثابت کرد که اگر مقدار X طبق یک قانون عادی توزیع شود، تخمین موثر است. برای سایر قوانین توزیع ممکن است چنین نباشد.

برآورد بی طرفانه از واریانس عمومیبه عنوان واریانس نمونه اصلاح شده عمل می کند

,

زیرا ، واریانس کلی کجاست. واقعا،

تخمین s -- 2 برای واریانس عمومی نیز معتبر است، اما کارآمد نیست. با این حال، در مورد توزیع نرمال، "به طور مجانبی کارآمد" است، یعنی، با افزایش n، نسبت واریانس آن به حداقل ممکن به طور نامحدود به وحدت نزدیک می شود.

بنابراین، اگر نمونه ای از توزیع F( ایکس) متغیر تصادفی X با انتظار ریاضی ناشناخته آو پراکندگی، سپس برای محاسبه مقادیر این پارامترها حق استفاده از فرمول های تقریبی زیر را داریم:

آ ,

.

اینجا x-i - - گزینه نمونه برداری، n- i - - گزینه های فرکانس x i، - - اندازهی نمونه.
برای محاسبه واریانس نمونه اصلاح شده، فرمول راحت تر است

.

برای ساده کردن محاسبه، بهتر است به گزینه های مشروط بروید (به عنوان با آن را به نفع نسخه اصلی، واقع در وسط سری تغییرات فاصله). سپس

, .

تخمین فاصله

در بالا مسئله تخمین پارامتر ناشناخته را در نظر گرفتیم آیک عدد. ما چنین برآوردهایی را تخمین نقطه ای می نامیم. آنها این عیب را دارند که با حجم نمونه کوچک می توانند به طور قابل توجهی با پارامترهای برآورد شده تفاوت داشته باشند. بنابراین، به منظور دریافت ایده ای از نزدیکی بین یک پارامتر و برآورد آن، به اصطلاح تخمین های فاصله ای در آمار ریاضی معرفی می شوند.

اجازه دهید یک تخمین نقطه ای q * در نمونه برای پارامتر q پیدا شود. معمولاً به محققان از قبل مقداری احتمال به اندازه کافی بزرگ داده می شود g (مثلاً 0.95، 0.99 یا 0.999) به طوری که یک رویداد با احتمال g را می توان عملاً قابل اعتماد در نظر گرفت، و آنها این سؤال را مطرح می کنند که چنین مقدار e> 0 برای آن پیدا شود.

.

با اصلاح این برابری، دریافت می کنیم:

و در این صورت خواهیم گفت که فاصله ]q * - e; q * + e[ پارامتر تخمینی q را با احتمال g پوشش می دهد.

فاصله ]q * -e; q * +e [ نامیده می شود فاصله اطمینان .

احتمال g نامیده می شود قابلیت اطمینان (احتمال اطمینان) تخمین فاصله.

انتهای فاصله اطمینان، یعنی. نقاط q * -e و q * +e نامیده می شوند مرزهای اعتماد .

عدد e نامیده می شود دقت ارزیابی .

به عنوان مثالی از مسئله تعیین حدود اطمینان، مسئله تخمین انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید که دارای قانون توزیع نرمال با پارامترها است. آو s، یعنی X = N( آ، س). انتظارات ریاضی در این مورد برابر است با آ. بر اساس مشاهدات X 1، X 2، X n، میانگین را محاسبه می کنیم و ارزیابی پراکندگی s 2.

به نظر می رسد که از داده های نمونه می توان یک متغیر تصادفی ساخت

که دارای توزیع Student (یا توزیع t) با n = n -1 درجه آزادی است.

بیایید از جدول A.1.3 استفاده کنیم و برای یک احتمال داده شده g و عدد n عدد t g را پیدا کنیم به طوری که احتمال

P(|t(n)|< t g) = g,

.

با ایجاد دگرگونی های آشکار به دست می آوریم،

روش اجرای آزمون F به شرح زیر است:

1. فرض بر این است که توزیع جمعیت نرمال است. در سطح معناداری معین a، فرضیه صفر H 0: s x 2 = s y 2 در مورد برابری واریانس های عمومی جمعیت های عادی تحت فرضیه رقیب H 1 فرموله می شود: s x 2 > s y 2.

2. دو نمونه مستقل از جمعیت های X و Y به ترتیب n x و n y به دست می آید.

3. مقادیر واریانس های نمونه تصحیح شده s x 2 و s y 2 را محاسبه کنید (روش های محاسبه در §13.4 بحث شده است). بزرگتر از واریانس (s x 2 یا s y 2) s 1 2 تعیین می شود، کوچکتر - s 2 2.

4. مقدار معیار F با استفاده از فرمول F obs = s 1 2 / s 2 2 محاسبه می شود.

5. با استفاده از جدول نقاط بحرانی توزیع فیشر-اسندکور، در سطح معنی داری معین a و تعداد درجات آزادی n 1 = n 1 - 1، n 2 = n 2 - 1 (n 1 تعداد درجه آزادی واریانس تصحیح شده بزرگتر)، نقطه بحرانی F cr (a, n 1, n 2) یافت می شود.

توجه داشته باشید که جدول A.1.7 مقادیر بحرانی آزمون F یک طرفه را نشان می دهد. بنابراین، اگر یک معیار دو طرفه اعمال شود (H 1: s x 2 ¹ s y 2)، آنگاه نقطه بحرانی سمت راست F cr (a/2، n 1، n 2) با سطح اهمیت a/ جستجو می شود. 2 (نصف مقدار مشخص شده) و تعداد توان های آزادی n 1 و n 2 (n 1 تعداد درجات آزادی پراکندگی بیشتر است). ممکن است نقطه بحرانی سمت چپ پیدا نشود.

6. نتیجه گرفته می شود: اگر مقدار محاسبه شده از معیار F بزرگتر یا مساوی با مقدار بحرانی باشد (F obs ³ F cr)، آنگاه واریانس ها در سطح معنی داری معین به طور قابل توجهی متفاوت است. در غیر این صورت (F obs.< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

مسئله 15.1. میزان مصرف مواد اولیه در واحد تولید با استفاده از تکنولوژی قدیمی به شرح زیر بود:

استفاده از تکنولوژی جدید:

با فرض اینکه جمعیت های عمومی متناظر X و Y دارای توزیع نرمال هستند، بررسی کنید که از نظر تنوع، مصرف مواد خام برای فناوری های جدید و قدیمی تفاوتی نداشته باشد، اگر سطح معنی داری a = 0.1 را در نظر بگیریم.

راه حل. به ترتیب ذکر شده در بالا ادامه می دهیم.

1. تغییرپذیری مصرف مواد خام توسط فناوری های جدید و قدیمی را بر اساس مقادیر پراکندگی قضاوت خواهیم کرد. بنابراین، فرضیه صفر به شکل H 0 است: s x 2 = s y 2. به عنوان یک فرضیه رقیب، ما فرضیه H 1 را می پذیریم: s x 2 ¹ s y 2، زیرا از قبل مطمئن نیستیم که هر یک از واریانس های کلی بزرگتر از دیگری است.

2-3. بیایید واریانس های نمونه را پیدا کنیم. برای ساده کردن محاسبات، اجازه دهید به گزینه های شرطی برویم:

u i = x i - 307، v i = y i - 304.

ما تمام محاسبات را در قالب جداول زیر ترتیب می دهیم:

تو من	m i	من تو من	من تو من 2	m i (u i +1) 2		v i	n من	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

کنترل: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = کنترل: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

بیایید واریانس های نمونه اصلاح شده را پیدا کنیم:

4. بیایید واریانس ها را با هم مقایسه کنیم. بیایید نسبت واریانس اصلاح شده بزرگتر به کوچکتر را پیدا کنیم:

.

5. بر اساس شرط، فرضیه رقیب دارای شکل s x 2 ¹ s y 2 است، بنابراین منطقه بحرانی دو طرفه است و هنگام یافتن نقطه بحرانی، سطوح معنیداری باید نصف مقدار تعیین شده باشد.

با توجه به جدول A.1.7، با استفاده از سطح معناداری a/2 = 0.1/2 = 0.05 و تعداد درجات آزادی n 1 = n 1 - 1 = 12، n 2 = n 2 - 1 = 8، ما نقطه بحرانی F cr (0.05؛ 12؛ 8) = 3.28.

6. از آنجایی که F obs.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

در بالا، هنگام آزمون فرضیه ها، توزیع نرمال متغیرهای تصادفی مورد مطالعه را فرض کردیم. با این حال، مطالعات ویژه نشان داده است که الگوریتم‌های پیشنهادی از نظر انحراف از توزیع نرمال بسیار پایدار هستند (به‌ویژه با حجم نمونه‌های بزرگ).

پارامترهای توزیع و آمار

هر پارامتر توزیع یک متغیر تصادفی، به عنوان مثال، مانند انتظار یا واریانس ریاضی، کمیت های نظری هستند که نمی توان مستقیماً اندازه گیری کرد، اگرچه می توان آنها را تخمین زد. آنها یک ویژگی کمی را نشان می دهند جمعیت و خود را می توان تنها در طول مدل سازی نظری به عنوان مقادیر فرضی تعیین کرد، زیرا آنها ویژگی های توزیع یک متغیر تصادفی را در خود جمعیت عمومی توصیف می کنند. برای تعیین آنها در عمل، محققی که آزمایش را انجام می دهد، ارزیابی انتخابی آنها را انجام می دهد. این ارزیابی شامل محاسبه آماری است.

آمار یک مشخصه کمی از پارامترهای مورد مطالعه است که توزیع یک متغیر تصادفی را مشخص می کند که بر اساس مطالعه مقادیر نمونه به دست آمده است. از آمار یا برای توصیف خود نمونه استفاده می شود، یا، که در تحقیقات تجربی بنیادی از اهمیت بالایی برخوردار است، برای تخمین پارامترهای توزیع یک متغیر تصادفی در جامعه مورد مطالعه.

تفکیک مفاهیم "پارامتر" و "آمار" بسیار مهم است، زیرا به شما امکان می دهد از تعدادی از خطاهای مرتبط با تفسیر نادرست داده های به دست آمده در آزمایش جلوگیری کنید. واقعیت این است که وقتی پارامترهای توزیع را با استفاده از داده های آماری تخمین می زنیم، مقادیری را به دست می آوریم که فقط تا حدی به پارامترهای تخمین زده نزدیک هستند. تقریباً همیشه بین پارامترها و آمار تفاوت وجود دارد و معمولاً نمی توانیم بگوییم این تفاوت چقدر است. از نظر تئوری، هر چه نمونه بزرگتر باشد، پارامترهای برآورد شده به ویژگی های نمونه آنها نزدیکتر است. اما این بدان معنا نیست که با افزایش حجم نمونه، ناگزیر به پارامتر تخمین زده شده نزدیک شده و اختلاف بین آن و آمار محاسبه شده را کاهش دهیم. در عمل، همه چیز می تواند بسیار پیچیده تر باشد.

اگر در تئوری، مقدار مورد انتظار آماره با پارامتر برآورد شده مطابقت داشته باشد، چنین تخمینی نامیده می شود. جابجا نشده تخمینی که در آن مقدار مورد انتظار پارامتر تخمین زده شده با خود پارامتر به میزان معینی متفاوت باشد نامیده می شود آواره

همچنین لازم است بین تخمین نقطه ای و فاصله ای پارامترهای توزیع تمایز قائل شد. نقطه ارزیابی با استفاده از یک عدد نامیده می شود. به عنوان مثال، اگر بگوییم که مقدار آستانه فضایی حساسیت لمسی برای یک موضوع معین در شرایط معین و در یک ناحیه معین از پوست 21.8 میلی متر است، چنین تخمینی نقطه ای خواهد بود. به همین ترتیب، زمانی که گزارش آب و هوا به ما می گوید دمای خارج از پنجره 25 درجه سانتی گراد است، یک تخمین نقطه ای رخ می دهد. تخمین فاصله شامل استفاده از مجموعه یا محدوده ای از اعداد در ارزیابی است. با ارزیابی آستانه فضایی حساسیت لمسی، می توان گفت که در محدوده 20 تا 25 میلی متر بود. به همین ترتیب، کارشناسان هواشناسی ممکن است گزارش دهند که بر اساس پیش بینی های آنها دمای هوا در 24 ساعت آینده به 22 تا 24 درجه سانتی گراد خواهد رسید. تخمین بازه ای یک متغیر تصادفی به ما اجازه می دهد تا نه تنها مقدار مورد نظر این کمیت را تعیین کنیم، بلکه دقت احتمالی را برای چنین تخمینی نیز تعیین کنیم.

انتظارات ریاضی و ارزیابی آن

بیایید به آزمایش پرتاب سکه خود برگردیم.

بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم: اگر یک سکه را ده بار ورق بزنیم چند بار باید "سر" ظاهر شود؟ پاسخ واضح به نظر می رسد. اگر احتمالات هر یک از دو نتیجه برابر باشد، خود نتایج باید به طور مساوی توزیع شوند. به عبارت دیگر، وقتی یک سکه معمولی را ده بار پرتاب می کنیم، می توانیم انتظار داشته باشیم که یکی از اضلاع آن، به عنوان مثال، "سر" دقیقاً پنج بار فرود بیاید. به همین ترتیب، هنگام پرتاب کردن یک سکه 100 بار، "سر" باید دقیقا 50 بار ظاهر شود و اگر سکه 4236 بار پرتاب شود، طرف مورد علاقه ما باید 2118 بار ظاهر شود، نه بیشتر و نه کمتر.

بنابراین، معمولاً معنای نظری یک رویداد تصادفی نامیده می شود انتظارات ریاضی. مقدار مورد انتظار را می توان با ضرب احتمال نظری متغیر تصادفی در تعداد آزمایشات بدست آورد. اما به طور رسمی تر، به عنوان یک لحظه مرکزی مرتبه اول تعریف می شود. بنابراین، انتظار ریاضی مقدار یک متغیر تصادفی است که از نظر تئوری در طول آزمون‌های مکرر به آن گرایش دارد، که حول آن متغیر است.

واضح است که مقدار نظری انتظارات ریاضی به عنوان پارامتر توزیع همیشه با مقدار تجربی متغیر تصادفی مورد علاقه ما که در آمار بیان می شود برابر نیست. اگر آزمایشی با پرتاب یک سکه انجام دهیم، به احتمال زیاد از ده نتیجه، "سرها" فقط چهار یا سه بار بالا می آیند، یا شاید، برعکس، هشت بار یا شاید هم بالا می آیند. هرگز بالا نخواهد آمد واضح است که برخی از این نتایج بیشتر و برخی کمتر محتمل هستند. اگر از قانون توزیع نرمال استفاده کنیم، می‌توانیم به این نتیجه برسیم که هر چه نتیجه از نتیجه مورد انتظار نظری، که با مقدار انتظار ریاضی مشخص می‌شود، انحراف بیشتری داشته باشد، در عمل احتمال آن کمتر است.

اجازه دهید فرض کنیم که یک روش مشابه را چندین بار انجام داده‌ایم و هرگز مقدار مورد انتظار نظری را مشاهده نکرده‌ایم. آن وقت ممکن است در اصالت سکه شک کنیم. ما می توانیم فرض کنیم که برای سکه ما احتمال هد گرفتن در واقع 50٪ نیست. در این مورد، ممکن است لازم باشد که احتمال این رویداد و بر این اساس، ارزش انتظارات ریاضی برآورد شود. این نیاز زمانی به وجود می‌آید که در آزمایشی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته مانند زمان واکنش را بدون داشتن هیچ مدل نظری از قبل مطالعه می‌کنیم. به عنوان یک قاعده، این اولین مرحله اجباری در پردازش کمی نتایج تجربی است.

انتظارات ریاضی را می توان به سه روش تخمین زد، که در عمل می تواند نتایج کمی متفاوت داشته باشد، اما در تئوری قطعاً باید ما را به ارزش انتظار ریاضی هدایت کنند.

منطق چنین ارزیابی در شکل 1 نشان داده شده است. 1.2. مقدار مورد انتظار را می توان به عنوان گرایش مرکزی در توزیع یک متغیر تصادفی در نظر گرفت ایکس، به عنوان محتمل ترین و در نتیجه بیشترین وقوع آن و به عنوان نقطه ای که توزیع را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

برنج. 1.2.

بیایید آزمایش های خیالی خود را با یک سکه ادامه دهیم و سه آزمایش را با ده بار پرتاب کردن آن انجام دهیم. بیایید فرض کنیم که در آزمایش اول "سرها" چهار بار بالا آمدند، همین اتفاق در آزمایش دوم رخ داد، در آزمایش سوم "سرها" بیش از یک و نیم بار بیشتر - هفت بار - ظاهر شدند. منطقی است که فرض کنیم انتظارات ریاضی از رویدادی که ما به آن علاقه مندیم در واقع جایی بین این مقادیر است.

اولین, ساده ترین روش ارزیابی انتظارات ریاضی یافتن خواهد بود میانگین حسابی. سپس تخمین مقدار مورد انتظار بر اساس سه اندازه گیری فوق (4 + 4 + 7)/3 = 5 خواهد بود. به همین ترتیب، در آزمایش های زمان واکنش می توان مقدار مورد انتظار را با گرفتن میانگین حسابی تمام مقادیر به دست آمده تخمین زد. ایکس. پس اگر خرج کردیم پ اندازه گیری زمان واکنش ایکس، سپس می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم که به ما نشان می دهد که برای محاسبه میانگین حسابی ایکس لازم است تمام مقادیر تجربی به دست آمده را جمع کرده و آنها را بر تعداد مشاهدات تقسیم کنیم:

در فرمول (1.2)، اندازه گیری انتظارات ریاضی معمولاً با ̅ نشان داده می شود ایکس (به عنوان "X با میله" خوانده می شود)، اگرچه گاهی اوقات می توان آن را به عنوان نوشت م (از انگلیسی منظور داشتن - میانگین).

میانگین حسابی رایج ترین تخمین مورد استفاده برای انتظارات ریاضی است. در چنین مواردی، فرض می شود که متغیر تصادفی در اندازه گیری می شود متریک مقیاس واضح است که نتیجه به دست آمده ممکن است با ارزش واقعی انتظارات ریاضی مطابقت داشته باشد یا نباشد، که ما هرگز نمی دانیم. اما مهم است که این روش باشد بی طرفانه برآورد انتظارات ریاضی این بدان معنی است که مقدار مورد انتظار مقدار برآورد شده برابر با انتظار ریاضی آن است: .

روش دوم ارزیابی انتظارات ریاضی این است که بیشترین مقدار متغیر مورد علاقه خود را به عنوان مقدار آن در نظر بگیریم. این مقدار نامیده می شود حالت توزیع به عنوان مثال، در مورد پرتاب یک سکه که به تازگی در نظر گرفته شده است، "چهار" را می توان به عنوان مقدار انتظار ریاضی در نظر گرفت، زیرا در سه آزمایش انجام شده این مقدار دو بار ظاهر شد. به همین دلیل است که حالت توزیع در این مورد برابر با چهار است. تخمین حالت عمدتاً زمانی استفاده می شود که آزمایشگر با متغیرهایی سر و کار دارد که مقادیر گسسته مشخص شده در غیر متریک مقیاس

به عنوان مثال، با توصیف توزیع نمرات دانش آموزان در یک امتحان، می توان توزیع فراوانی نمرات دریافت شده توسط دانش آموزان را ساخت. این توزیع فرکانس نامیده می شود هیستوگرام در این مورد، رایج ترین برآورد را می توان به عنوان مقدار گرایش مرکزی (انتظار ریاضی) در نظر گرفت. هنگام مطالعه متغیرهایی که با مقادیر پیوسته مشخص می شوند، این معیار عملاً استفاده نمی شود یا به ندرت استفاده می شود. اگر توزیع فراوانی نتایج به‌دست‌آمده با این وجود ساخته شده باشد، به عنوان یک قاعده، به مقادیر تجربی به‌دست‌آمده مشخصه مورد مطالعه مربوط نمی‌شود، بلکه به برخی فواصل تجلی آن مربوط می‌شود. به عنوان مثال، با مطالعه قد افراد، می توانید ببینید که چند نفر در محدوده قد تا 150 سانتی متر، چند نفر در محدوده 150 تا 155 سانتی متر و غیره قرار می گیرند. در این حالت، حالت مربوط به مقادیر بازه مشخصه مورد مطالعه، در این مورد، ارتفاع خواهد بود.

واضح است که حالت، مانند میانگین حسابی، ممکن است با مقدار واقعی انتظار ریاضی منطبق باشد یا نباشد. اما درست مانند میانگین حسابی، حالت یک تخمین بی طرفانه از انتظارات ریاضی است.

اجازه دهید اضافه کنیم که اگر دو مقدار در نمونه به طور مساوی اتفاق بیفتند، چنین توزیعی نامیده می شود دوحالته. اگر سه یا بیشتر مقدار در یک نمونه به طور مساوی اتفاق بیفتد، آنگاه گفته می شود که چنین نمونه ای حالت ندارد. چنین مواردی، با تعداد کافی مشاهدات، به عنوان یک قاعده، نشان می دهد که داده ها از یک جمعیت عمومی استخراج شده اند، که ماهیت توزیع آن با نرمال متفاوت است.

سرانجام، روش سوم ارزیابی انتظار ریاضی این است که نمونه موضوعات را بر اساس پارامتر مورد علاقه ما دقیقاً به نصف تقسیم کنیم. کمیت مشخص کننده این مرز نامیده می شود میانه توزیع ها

فرض کنید در یک مسابقه اسکی حضور داریم و بعد از پایان آن می خواهیم ارزیابی کنیم که کدام یک از ورزشکاران نتایج بالاتر از میانگین و کدام پایین تر نشان داده اند. اگر ترکیب شرکت کنندگان کم و بیش یکنواخت باشد، در هنگام ارزیابی میانگین نتیجه منطقی است که میانگین حسابی محاسبه شود. با این حال، اجازه دهید فرض کنیم که در میان شرکت کنندگان حرفه ای چندین آماتور وجود دارد. تعداد کمی از آنها وجود دارد، اما آنها نتایجی را نشان می دهند که به طور قابل توجهی پایین تر از دیگران است. در این صورت ممکن است معلوم شود که مثلاً از 100 شرکت کننده در مسابقه، 87 نفر نتایج بالاتر از حد متوسط ​​را نشان داده اند، واضح است که چنین ارزیابی از میانگین گرایش همیشه نمی تواند ما را راضی کند. در این مورد، منطقی است که فرض کنیم میانگین نتیجه توسط شرکت کنندگانی که جایی در جایگاه 50 یا 51 قرار گرفتند نشان داده شده است. این میانه توزیع خواهد بود. قبل از فینالیست 50، 49 شرکت کننده به پایان رسیدند، بعد از 51 - همچنین 49. با این حال، مشخص نیست که نتیجه چه کسی در بین آنها باید به عنوان میانگین در نظر گرفته شود. البته ممکن است معلوم شود که در همان زمان تمام کردند. بعدش مشکلی نیست وقتی تعداد مشاهدات فرد باشد، مشکل به وجود نمی آید. اما در موارد دیگر، می توانید از میانگین نتایج دو شرکت کننده استفاده کنید.

میانه یک مورد خاص از چندک توزیع است. Quantile بخشی از توزیع است. به طور رسمی، می توان آن را به عنوان مقدار انتگرال توزیع بین دو مقدار از یک متغیر تعریف کرد ایکس. بنابراین، ارزش ایکس اگر مقدار انتگرال توزیع (چگالی احتمال) از -∞ تا باشد، میانه توزیع خواهد بود. ایکس برابر با مقدار انتگرال توزیع از ایکس به +∞. به طور مشابه، توزیع را می توان به چهار، ده یا 100 قسمت تقسیم کرد. این چندک ها بر این اساس نامیده می شوند ربع، دهک و صدک ها انواع دیگری از کوانتیل وجود دارد.

درست مانند دو روش قبلی برای تخمین انتظارات ریاضی، میانه یک تخمین بی طرفانه از انتظارات ریاضی است.

از نظر تئوری، فرض بر این است که اگر واقعاً با توزیع نرمال یک متغیر تصادفی سر و کار داریم، هر سه تخمین انتظار ریاضی باید نتیجه یکسانی داشته باشند، زیرا همه آنها یک متغیر را نشان می دهند. بی طرفانه تخمین پارامتر توزیع یکسان متغیر تصادفی برآورد شده (شکل 1.2 را ببینید). اما در عمل، این به ندرت اتفاق می افتد. این ممکن است به ویژه به دلیل این واقعیت باشد که توزیع تجزیه و تحلیل شده با نرمال متفاوت است. اما دلیل اصلی چنین اختلافاتی، به عنوان یک قاعده، این است که با تخمین مقدار انتظار ریاضی، می توان مقداری را به دست آورد که بسیار متفاوت از مقدار واقعی آن است. با این حال، همانطور که در بالا ذکر شد، در آمارهای ریاضی ثابت شده است که هرچه آزمون‌های مستقل‌تری از متغیر مورد نظر انجام شود، مقدار تخمین زده شده باید به مقدار واقعی نزدیک‌تر باشد.

بنابراین، در عمل، انتخاب روش برای برآورد انتظارات ریاضی نه با تمایل به دستیابی به تخمین دقیق تر و قابل اعتمادتر از این پارامتر، بلکه تنها با ملاحظات راحتی تعیین می شود. همچنین نقش مشخصی در انتخاب روشی برای تخمین انتظارات ریاضی توسط مقیاس اندازه گیری ایفا می کند که مشاهدات متغیر تصادفی مورد ارزیابی را منعکس می کند.

اجازه دهید آزمایش‌های مستقل بر روی یک متغیر تصادفی با انتظارات و واریانس ریاضی ناشناخته انجام شود که نتایج را نشان داد - . اجازه دهید تخمین های ثابت و بی طرفانه را برای پارامترها و .

به عنوان تخمینی برای انتظارات ریاضی، میانگین حسابی مقادیر تجربی را در نظر می گیریم

. (2.9.1)

طبق قانون اعداد بزرگ، این تخمین می باشد ثروتمند ، با مقدار احتمال. همین ارزیابی نیز هست بی طرفانه ، زیرا

. (2.9.2)

واریانس این برآورد است

. (2.9.3)

می توان نشان داد که برای قانون توزیع نرمال این تخمین است تاثير گذار . برای سایر قوانین ممکن است اینطور نباشد.

اکنون اجازه دهید واریانس را تخمین بزنیم. اجازه دهید ابتدا فرمول را برای تخمین انتخاب کنیم واریانس آماری

. (2.9.4)

اجازه دهید سازگاری برآورد واریانس را بررسی کنیم. بیایید پرانتزهای فرمول (2.9.4) را باز کنیم.

.

زمانی که جمله اول از نظر احتمال به مقدار همگرا می شود ، در دوم - به. بنابراین، برآورد ما از نظر احتمال به واریانس همگرا می شود

,

بنابراین او است ثروتمند .

بیایید بررسی کنیم جابجا نشده تخمین برای مقدار . برای انجام این کار، عبارت (2.9.1) را جایگزین فرمول (2.9.4) می کنیم و در نظر می گیریم که متغیرهای تصادفی مستقل

,

. (2.9.5)

اجازه دهید در فرمول (2.9.5) به سمت نوسانات متغیرهای تصادفی حرکت کنیم

با باز کردن براکت ها، دریافت می کنیم

,

. (2.9.6)

اجازه دهید با در نظر گرفتن آن، انتظار ریاضی مقدار (2.9.6) را محاسبه کنیم

. (2.9.7)

رابطه (2.9.7) نشان می دهد که مقدار با استفاده از فرمول (2.9.4) محاسبه شده است. تخمین بی طرفانه ای نیست برای پراکندگی انتظارات ریاضی آن برابر نیست، اما تا حدودی کمتر است. چنین ارزیابی منجر به یک خطای سیستماتیک رو به پایین می شود. برای از بین بردن چنین سوگیری، باید یک اصلاح را با ضرب مقدار وارد کنید. سپس این واریانس آماری تصحیح شده می تواند به عنوان یک برآوردگر بی طرفانه برای واریانس عمل کند

. (2.9.8)

این برآورد درست به اندازه تخمین معتبر است، از زمانی که ارزش است.

در عمل، به جای تخمین (2.9.8)، گاهی اوقات استفاده از تخمین معادل مرتبط با دومین لحظه آماری اولیه راحت تر است.

. (2.9.9)

برآوردهای (2.9.8)، (2.9.9) موثر نیستند. می توان نشان داد که در مورد یک قانون توزیع نرمال، آنها خواهند بود مجانبی کارآمد (در اراده به حداقل مقدار ممکن تمایل دارد).

بنابراین، قوانین زیر برای پردازش مواد آماری محدود در حجم می تواند فرموله شود. اگر در آزمایش‌های مستقل، متغیر تصادفی مقادیر را بگیرد با انتظارات و پراکندگی ریاضی ناشناخته، برای تعیین این پارامترها باید از تخمین های تقریبی استفاده کرد.

(2.9.10)

پایان کار -

این موضوع متعلق به بخش:

نکات سخنرانی در ریاضیات نظریه احتمالات آمار ریاضی

گروه ریاضیات عالی و علوم کامپیوتر.. نکات سخنرانی.. در ریاضیات..

اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

توییت

تمامی موضوعات این بخش:

نظریه احتمال
نظریه احتمال شاخه ای از ریاضیات است که در آن الگوهای پدیده های توده تصادفی مورد مطالعه قرار می گیرد. پدیده ای که تصادفی باشد نامیده می شود

تعریف آماری احتمال
رویداد یک پدیده تصادفی است که ممکن است در نتیجه تجربه ظاهر شود یا نباشد (پدیده مبهم). وقایع را با حروف بزرگ لاتین نشان دهید

فضای رویدادهای ابتدایی
بگذارید رویدادهای زیادی در ارتباط با برخی از تجربه ها وجود داشته باشد و: 1) در نتیجه تجربه تنها یک چیز ظاهر می شود.

اقدامات مربوط به رویدادها
مجموع دو رویداد و

بازآرایی ها
تعداد جایگشت های مختلف عناصر با نشان داده می شود

جایگذاری ها
با قرار دادن عناصر بر اساس

ترکیبات
ترکیبی از عناصر

فرمول اضافه کردن احتمالات برای رویدادهای ناسازگار
قضیه. احتمال مجموع دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها. (1

فرمول اضافه کردن احتمالات برای رویدادهای دلخواه
قضیه. احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال حاصلضرب آنها.

فرمول ضرب احتمال
بگذار دو رویداد و داده شود. رویداد را در نظر بگیرید

فرمول احتمال کل
بگذارید یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار باشد که به آنها فرضیه می گویند. یک رویداد را در نظر بگیرید

فرمول احتمال فرضیه (بیس)
بیایید دوباره در نظر بگیریم - گروه کامل فرضیه های ناسازگار و رویداد

فرمول مجانبی پواسون
در مواردی که تعداد آزمایشات زیاد باشد و احتمال وقوع یک رویداد وجود داشته باشد

مقادیر گسسته تصادفی
کمیت تصادفی کمیتی است که با تکرار آزمایش می تواند مقادیر عددی نامساوی به خود بگیرد. متغیر تصادفی گسسته نامیده می شود،

متغیرهای پیوسته تصادفی
اگر در نتیجه آزمایش، یک متغیر تصادفی بتواند هر مقداری را از یک بخش خاص یا کل محور واقعی بگیرد، آن را پیوسته می نامند. قانون

تابع چگالی احتمال یک متغیر پیوسته تصادفی
بگذار باشد. بیایید یک نقطه را در نظر بگیریم و آن را افزایش دهیم

ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی
متغیرهای گسسته یا پیوسته تصادفی در صورتی که قوانین توزیع آنها مشخص باشد کاملاً مشخص در نظر گرفته می شوند. در واقع با دانستن قوانین توزیع، همیشه می توانید احتمال ضربه را محاسبه کنید

کمیت متغیرهای تصادفی
کمیت ترتیب یک متغیر پیوسته تصادفی

انتظارات ریاضی از متغیرهای تصادفی
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی مقدار متوسط ​​آن را مشخص می کند. تمام مقادیر متغیر تصادفی حول این مقدار گروه بندی می شوند. اجازه دهید ابتدا متغیر گسسته تصادفی را در نظر بگیریم

انحراف معیار و پراکندگی متغیرهای تصادفی
اجازه دهید ابتدا یک متغیر گسسته تصادفی را در نظر بگیریم. حالت ویژگی های عددی، میانه، چندک ها و انتظارات ریاضی

لحظه های متغیرهای تصادفی
علاوه بر انتظارات ریاضی و پراکندگی، نظریه احتمالات از ویژگی های عددی مرتبه های بالاتر استفاده می کند که به آنها گشتاورهای متغیرهای تصادفی می گویند.

قضایای خصوصیات عددی متغیرهای تصادفی
قضیه 1. انتظار ریاضی از یک مقدار غیر تصادفی با خود این مقدار برابر است. اثبات: اجازه دهید

قانون توزیع دوجمله ای

قانون توزیع پواسون
اجازه دهید یک متغیر گسسته تصادفی مقادیر را بگیرد

قانون توزیع یکنواخت
قانون توزیع یکنواخت یک متغیر پیوسته تصادفی، قانون تابع چگالی احتمال است که

قانون توزیع عادی
قانون توزیع نرمال یک متغیر پیوسته تصادفی، قانون تابع چگالی است

قانون توزیع نمایی
توزیع نمایی یا نمایی یک متغیر تصادفی در کاربردهایی از نظریه احتمال مانند تئوری صف، نظریه قابلیت اطمینان استفاده می شود.

سیستم های متغیرهای تصادفی
در عمل، در کاربردهای تئوری احتمال، اغلب با مسائلی مواجه می‌شویم که در آن نتایج یک آزمایش نه با یک متغیر تصادفی، بلکه توسط چندین متغیر تصادفی در آن واحد توصیف می‌شود.

سیستمی از دو متغیر گسسته تصادفی
اجازه دهید دو متغیر گسسته تصادفی یک سیستم را تشکیل دهند. مقدار تصادفی

سیستم دو متغیر پیوسته تصادفی
حال اجازه دهید سیستم توسط دو متغیر پیوسته تصادفی تشکیل شود. قانون توزیع این سیستم احتمالا نامیده می شود

قوانین مشروط توزیع
اجازه دهید کمیت های تصادفی پیوسته وابسته باشد

ویژگی های عددی یک سیستم متشکل از دو متغیر تصادفی
لحظه اولیه ترتیب یک سیستم متغیرهای تصادفی

سیستم متشکل از چندین متغیر تصادفی
نتایج به‌دست‌آمده برای سیستمی متشکل از دو متغیر تصادفی را می‌توان به سیستم‌هایی که از تعداد دلخواه متغیر تصادفی تشکیل شده‌اند تعمیم داد. اجازه دهید سیستم توسط یک مجموعه تشکیل شود

قانون توزیع نرمال برای یک سیستم از دو متغیر تصادفی
بیایید سیستمی از دو متغیر پیوسته تصادفی را در نظر بگیریم. قانون توزیع این سیستم، قانون توزیع نرمال است

قضایای حدی نظریه احتمال
هدف اصلی نظریه احتمال، بررسی الگوهای پدیده های توده تصادفی است. تمرین نشان می دهد که مشاهده توده ای از پدیده های تصادفی همگن نشان می دهد

نابرابری چبیشف
یک متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی در نظر بگیرید

قضیه چبیشف
اگر متغیرهای تصادفی دو به دو مستقل باشند و دارای واریانس های محدود و محدود جمعی باشند.

قضیه برنولی
با افزایش نامحدود در تعداد آزمایش ها، فراوانی وقوع یک رویداد از نظر احتمال به احتمال رویداد همگرا می شود.

تئوری حد مرکزی
هنگام اضافه کردن متغیرهای تصادفی با هر قانون توزیع، اما با واریانس های مشترک محدود، قانون توزیع

مسائل اصلی آمار ریاضی
قوانین نظریه احتمال که در بالا مورد بحث قرار گرفت بیانی ریاضی از الگوهای واقعی است که در واقع در پدیده های توده تصادفی مختلف وجود دارد. در حال مطالعه

جامعه آماری ساده تابع توزیع آماری
بیایید چند متغیر تصادفی را در نظر بگیریم که قانون توزیع آن ناشناخته است. بر اساس تجربه الزامی است

سری های آماری نمودار میله ای
با تعداد زیادی مشاهدات (در حد صدها)، جمعیت برای ثبت مطالب آماری ناخوشایند و دست و پا گیر می شود. برای وضوح و فشردگی، مواد آماری

ویژگی های عددی توزیع آماری
در تئوری احتمال، ویژگی‌های عددی مختلفی از متغیرهای تصادفی در نظر گرفته شد: انتظار ریاضی، پراکندگی، گشتاورهای اولیه و مرکزی از مرتبه‌های مختلف. اعداد مشابه

انتخاب توزیع نظری با استفاده از روش گشتاورها
هر توزیع آماری ناگزیر حاوی عناصر تصادفی مرتبط با تعداد محدودی از مشاهدات است. با تعداد زیادی مشاهدات، این عناصر تصادفی هموار می شوند،

بررسی معقول بودن فرضیه در مورد شکل قانون توزیع
اجازه دهید یک توزیع آماری داده شده با برخی منحنی های نظری یا تقریب شود

معیارهای رضایت
بیایید یکی از متداول ترین معیارهای مناسب بودن را در نظر بگیریم - به اصطلاح معیار پیرسون. حدس بزن

تخمین نقطه ای برای پارامترهای توزیع ناشناخته
در ص. 2.1. - 2.7 ما به طور مفصل نحوه حل اولین و دومین مسئله اصلی آمار ریاضی را بررسی کردیم. اینها مسائل مربوط به تعیین قوانین توزیع متغیرهای تصادفی بر اساس داده های تجربی است

فاصله اطمینان. احتمال اطمینان
در عمل، با تعداد کمی آزمایش بر روی یک متغیر تصادفی، جایگزینی تقریبی پارامتر ناشناخته

اجازه دهید نمونه تصادفی توسط متغیر تصادفی مشاهده شده ξ، انتظارات ریاضی و واریانس تولید شود. که ناشناخته هستند. پیشنهاد شد از میانگین نمونه به عنوان تخمین برای این ویژگی ها استفاده شود

و واریانس نمونه

. (3.14)

اجازه دهید برخی از ویژگی های برآوردهای انتظارات و پراکندگی ریاضی را در نظر بگیریم.

1. انتظارات ریاضی میانگین نمونه را محاسبه کنید:

بنابراین، میانگین نمونه یک برآوردگر بی طرفانه برای .

2. به یاد بیاورید که نتایج مشاهدات متغیرهای تصادفی مستقلی هستند که هر کدام از آنها قانون توزیع یکسانی با مقدار دارند، به این معنی , ، . فرض می کنیم که واریانس متناهی است. سپس، طبق قضیه چبیشف در مورد قانون اعداد بزرگ، برای هر ε > 0 برابری برقرار است. ,

که می توان اینگونه نوشت: . (3.16) با مقایسه (3.16) با تعریف خاصیت سازگاری (3.11)، می بینیم که برآورد یک برآورد سازگار از انتظارات ریاضی است.

3. واریانس میانگین نمونه را بیابید:

. (3.17)

بنابراین، واریانس برآورد انتظارات ریاضی به نسبت معکوس با حجم نمونه کاهش می یابد.

می توان ثابت کرد که اگر متغیر تصادفی ξ به طور نرمال توزیع شود، میانگین نمونه تخمین مؤثری از انتظارات ریاضی است، یعنی واریانس کمترین مقدار را در مقایسه با هر برآورد دیگری از انتظار ریاضی می گیرد. برای سایر قوانین توزیع ξ این ممکن است صادق نباشد.

واریانس نمونه یک برآورد مغرضانه از واریانس است زیرا . (3.18)

در واقع، با استفاده از ویژگی های انتظار ریاضی و فرمول (3.17)، متوجه می شویم

.

برای به دست آوردن یک تخمین بی طرفانه از واریانس، تخمین (3.14) باید تصحیح شود، یعنی در . سپس واریانس نمونه بی طرفانه را بدست می آوریم

. (3.19)

توجه داشته باشید که فرمول‌های (3.14) و (3.19) فقط در مخرج متفاوت هستند و برای مقادیر بزرگ، واریانس‌های نمونه و بی‌طرف کمی تفاوت دارند. با این حال، با حجم نمونه کوچک، باید از رابطه (3.19) استفاده شود.

برای تخمین انحراف معیار یک متغیر تصادفی از انحراف استاندارد به اصطلاح تصحیح شده استفاده می شود که برابر با جذر واریانس بی طرف است: .

تخمین فاصله زمانی

در آمار، دو رویکرد برای تخمین پارامترهای ناشناخته توزیع وجود دارد: نقطه و فاصله. مطابق با تخمین نقطه ای که در قسمت قبل مورد بحث قرار گرفت، تنها نقطه ای که پارامتر تخمین زده شده در اطراف آن قرار دارد نشان داده شده است. با این حال، مطلوب است که بدانیم این پارامتر واقعاً تا چه اندازه ممکن است با برآوردهای احتمالی در سری های مختلف مشاهدات فاصله داشته باشد.

پاسخ به این سوال - همچنین تقریبی - با روش دیگری برای تخمین پارامترها - فاصله داده می شود. مطابق با این روش تخمین، بازه‌ای پیدا می‌شود که با احتمال نزدیک به یک، مقدار عددی مجهول پارامتر را پوشش می‌دهد.

مفهوم تخمین فاصله

برآورد نقطه ای یک متغیر تصادفی است و برای اجرای نمونه ممکن مقادیری را فقط تقریباً برابر با مقدار واقعی پارامتر می گیرد. هرچه این اختلاف کمتر باشد، تخمین دقیق تر است. بنابراین، یک عدد مثبت که برای ، دقت برآورد را مشخص می کند و نامیده می شود خطای تخمین (یا خطای حاشیه ای).

احتمال اطمینان(یا قابلیت اطمینان)احتمال نامیده می شود β ، که با آن نابرابری محقق می شود ، یعنی

. (3.20)

جایگزینی نابرابری نابرابری مضاعف معادل ، یا ، ما گرفتیم

فاصله ، پوشش با احتمال β ، پارامتر ناشناخته فراخوانی می شود فاصله اطمینان (یا تخمین بازه)،احتمال اطمینان مربوطه β .

یک متغیر تصادفی نه تنها یک تخمین، بلکه یک خطا نیز است: مقدار آن به احتمال بستگی دارد β و، به عنوان یک قاعده، از نمونه. بنابراین، فاصله اطمینان تصادفی است و عبارت (3.21) باید به صورت زیر خوانده شود: «فاصله پارامتر را با احتمال پوشش می دهد. β "، و نه مانند این: "پارامتر در بازه احتمالی قرار می گیرد β ”.

معنای فاصله اطمینان این است که هنگام تکرار یک حجم نمونه بارها در نسبت نسبی موارد برابر است β ، فاصله اطمینان مربوط به احتمال اطمینان β ، مقدار واقعی پارامتر برآورد شده را پوشش می دهد. بنابراین، احتمال اطمینان β مشخص می کند قابلیت اطمینانارزیابی اطمینان: هر چه بیشتر β ، احتمال بیشتری وجود دارد که اجرای فاصله اطمینان حاوی یک پارامتر ناشناخته باشد.