روش تکرار ساده برای حل سیستم معادلات خطی (اسلاف). حل عددی سیستم های معادلات جبری خطی

روش تکرار ساده مبتنی بر جایگزینی معادله اصلی با یک معادله معادل است:

اجازه دهید تقریب اولیه با ریشه مشخص شود x = x 0. با جایگزینی آن در سمت راست معادله (2.7)، یک تقریب جدید به دست می آوریم ، سپس به روشی مشابه دریافت می کنیم و غیره.:

. (2.8)

تحت همه شرایط، فرآیند تکراری به ریشه معادله همگرا نمی شود ایکس. بیایید نگاهی دقیق تر به این روند بیندازیم. شکل 2.6 یک تفسیر گرافیکی از یک فرآیند همگرا و واگرا یک طرفه را نشان می دهد. شکل 2.7 فرآیندهای همگرا و واگرا دو طرفه را نشان می دهد. یک فرآیند واگرا با افزایش سریع مقادیر آرگومان و تابع و خاتمه غیرعادی برنامه مربوطه مشخص می شود.

با یک فرآیند دو طرفه، چرخه امکان پذیر است، یعنی تکرار بی پایان همان تابع و مقادیر آرگومان. حلقه کردن یک فرآیند واگرا را از یک فرآیند همگرا جدا می کند.

از نمودارها مشخص است که برای هر دو فرآیند یک طرفه و دو طرفه، همگرایی به ریشه توسط شیب منحنی نزدیک ریشه تعیین می شود. هرچه شیب کمتر باشد، همگرایی بهتر است. همانطور که مشخص است، مماس شیب یک منحنی برابر با مشتق منحنی در یک نقطه معین است.

بنابراین، هرچه عدد نزدیک به ریشه کوچکتر باشد، روند سریعتر همگرا می شود.

برای اینکه فرآیند تکرار همگرا باشد، نابرابری زیر باید در مجاورت ریشه برآورده شود:

انتقال از معادله (2.1) به معادله (2.7) بسته به نوع تابع می تواند به روش های مختلفی انجام شود. f(x).در چنین انتقالی لازم است تابع به گونه ای ساخته شود که شرط همگرایی (9/2) برآورده شود.

بیایید یکی از الگوریتم های کلی برای انتقال از معادله (2.1) به معادله (2.7) را در نظر بگیریم.

اجازه دهید سمت چپ و راست معادله (2.1) را در یک ثابت دلخواه ضرب کنیم بو مجهول را به هر دو قسمت اضافه کنید ایکس.در این حالت، ریشه های معادله اصلی تغییر نمی کند:

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم و از رابطه (2.10) به معادله (2.8) برویم.

انتخاب خودسرانه ثابت بتحقق شرط همگرایی (2.9) را تضمین خواهد کرد. ملاک پایان دادن به فرآیند تکراری شرط (2.2) خواهد بود. شکل 2.8 یک تفسیر گرافیکی از روش تکرارهای ساده با استفاده از روش نمایش توصیف شده را نشان می دهد (مقیاس ها در امتداد محورهای X و Y متفاوت هستند).

اگر تابعی به شکل انتخاب شود، مشتق این تابع خواهد بود. بالاترین سرعت همگرایی در این صورت خواهد بود و فرمول تکرار (2.11) وارد فرمول نیوتن می شود. بنابراین، روش نیوتن دارای بالاترین درجه همگرایی در بین تمام فرآیندهای تکراری است.

پیاده سازی نرم افزاری روش تکرار ساده در قالب یک رویه زیر روال انجام می شود Iteras(برنامه 2.1).

کل روش عملاً شامل یک تکرار ... تا چرخه، اجرای فرمول (2.11) با در نظر گرفتن شرط توقف فرآیند تکراری (فرمول (2.2)) است.

این روش دارای محافظت از حلقه داخلی با شمارش تعداد حلقه ها با استفاده از متغیر Niter است. در کلاس های عملی باید با اجرای برنامه مطمئن شوید که انتخاب ضریب چه تاثیری دارد بو تقریب اولیه در فرآیند جستجوی ریشه. هنگام تغییر ضریب بماهیت فرآیند تکرار برای تابع مورد مطالعه تغییر می کند. ابتدا دو طرفه می شود و سپس حلقه می شود (شکل 2.9). ترازوهای محوری ایکسو Yمتفاوت هستند. یک مقدار حتی بزرگتر از مدول b منجر به یک فرآیند واگرا می شود.

مقایسه روش های حل تقریبی معادلات

مقایسه روش های توضیح داده شده در بالا برای حل عددی معادلات با استفاده از برنامه ای انجام شد که به فرد امکان می دهد روند یافتن ریشه را به شکل گرافیکی روی صفحه رایانه شخصی مشاهده کند. رویه های موجود در این برنامه و اجرای روش های مقایسه شده در زیر آورده شده است (برنامه 2.1).

برنج. 2.3-2.5، 2.8، 2.9 کپی هایی از صفحه کامپیوتر در پایان فرآیند تکرار هستند.

در همه موارد، معادله درجه دوم x 2 -x-6 = 0 به عنوان تابع مورد مطالعه در نظر گرفته شد که دارای یک راه حل تحلیلی x 1 = -2 و x 2 = 3 است. خطا و تقریب های اولیه برای همه روش ها برابر در نظر گرفته شد. نتایج جستجوی ریشه x= 3 که در شکل های ارائه شده به شرح زیر است. روش دوگانگی کندترین - 22 تکرار را همگرا می کند، سریعترین روش تکرار ساده با b = -0.2 - 5 تکرار است. در اینجا هیچ تناقضی با این جمله که روش نیوتن سریعترین است وجود ندارد.

مشتق تابع مورد مطالعه در نقطه ایکس= 3 برابر با -0.2 است، یعنی محاسبه در این مورد عملاً با روش نیوتن با مقدار مشتق در نقطه ریشه معادله انجام شده است. هنگام تغییر ضریب بسرعت همگرایی کاهش می یابد و روند همگرای تدریجی ابتدا به صورت چرخه ای می رود و سپس واگرا می شود.

سخنرانی روش های تکراری برای حل یک سیستم معادلات خطی جبری.

شرط همگرایی روش ژاکوبی

روش تکرار ساده

سیستمی از معادلات جبری خطی در نظر گرفته شده است

برای اعمال روش های تکراری، سیستم باید به شکلی معادل کاهش یابد

سپس یک تقریب اولیه برای حل سیستم معادلات انتخاب شده و دنباله ای از تقریب به ریشه پیدا می شود.

برای همگرا شدن فرآیند تکراری، کافی است که شرط برآورده شود
(هنجار ماتریس). معیار پایان دادن به تکرارها به روش تکراری مورد استفاده بستگی دارد.

روش ژاکوبی .

ساده ترین راه برای آوردن سیستم به شکلی مناسب برای تکرار به شرح زیر است:

از معادله اول سیستم مجهول را بیان می کنیم ایکس 1، از معادله دوم سیستمی که بیان می کنیم ایکس 2 و غیره

در نتیجه، سیستمی از معادلات را با ماتریس B به دست می آوریم که در آن صفر عنصر در مورب اصلی وجود دارد و عناصر باقی مانده با استفاده از فرمول ها محاسبه می شوند:

مولفه های بردار d با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شوند:

فرمول محاسبه برای روش تکرار ساده به صورت زیر است:

یا در نماد مختصر به صورت زیر است:

معیار تکمیل تکرارها در روش ژاکوبی به شکل زیر است:

اگر
، سپس می توانیم معیار ساده تری را برای پایان دادن به تکرارها اعمال کنیم

مثال 1.حل سیستم معادلات خطی به روش ژاکوبی.

اجازه دهید سیستم معادلات داده شود:

باید راه حلی برای سیستم با دقت پیدا کرد

اجازه دهید سیستم را به شکلی مناسب برای تکرار کاهش دهیم:

اجازه دهید یک تقریب اولیه را انتخاب کنیم، برای مثال،

- بردار سمت راست.

سپس اولین تکرار به صورت زیر است:

تقریب های زیر برای حل به طور مشابه به دست آمده است.

بیایید هنجار ماتریس B را پیدا کنیم.

ما از هنجار استفاده خواهیم کرد

از آنجایی که مجموع ماژول های عناصر در هر ردیف 0.2 است، پس
، بنابراین ملاک پایان دادن به تکرارها در این مشکل است

بیایید هنجارهای تفاوت بردار را محاسبه کنیم:

زیرا
دقت مشخص شده در تکرار چهارم به دست آمد.

پاسخ: ایکس 1 = 1.102, ایکس 2 = 0.991, ایکس 3 = 1.0 1 1

روش سیدل .

این روش را می توان اصلاح روش ژاکوبی در نظر گرفت. ایده اصلی این است که هنگام محاسبه بعدی (n+1)-مین رویکرد به ناشناخته ایکس مندر من > 1استفاده از قبلا پیدا شده است (n+1)-نزدیک شدن به ناشناخته ایکس 1 ,ایکس 2 , ...,ایکسمن - 1 و نه nتقریب، مانند روش ژاکوبی.

فرمول محاسبه روش در نماد مختصات به صورت زیر است:

شرایط همگرایی و معیار پایان دادن به تکرارها را می توان مانند روش ژاکوبی در نظر گرفت.

مثال 2.حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش سیدل.

اجازه دهید حل 3 سیستم معادله را به طور موازی در نظر بگیریم:

اجازه دهید سیستم ها را به شکلی مناسب برای تکرار کاهش دهیم:

توجه داشته باشید که شرط همگرایی
فقط برای سیستم اول انجام می شود. اجازه دهید در هر مورد 3 تقریب اولیه برای حل را محاسبه کنیم.

سیستم اول:

راه حل دقیق مقادیر زیر خواهد بود: ایکس 1 = 1.4, ایکس 2 = 0.2 . فرآیند تکراری همگرا می شود.

سیستم دوم:

مشاهده می شود که فرآیند تکرار متفاوت است.

راه حل دقیق ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 0.2 .

سیستم سوم:

مشاهده می شود که فرآیند تکراری به صورت چرخه ای پیش رفته است.

راه حل دقیق ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 2 .

بگذارید ماتریس سیستم معادلات A متقارن و مثبت معین باشد. سپس، برای هر انتخاب تقریب اولیه، روش سیدل همگرا می شود. هیچ شرایط اضافی بر کوچکی هنجار یک ماتریس خاص اعمال نمی شود.

روش تکرار ساده.

اگر A یک ماتریس قطعی متقارن و مثبت باشد، سیستم معادلات اغلب به شکل معادل کاهش می یابد:

ایکس=ایکس-τ (A ایکس- ب)، τ - پارامتر تکرار.

فرمول محاسبه روش تکرار ساده در این مورد به شکل زیر است:

ایکس (n+1) =ایکس n- τ (A ایکس (n) - ب).

و پارامتر τ > 0 طوری انتخاب می شود که در صورت امکان مقدار را به حداقل برسانند

بگذارید λ min و λ max حداقل و حداکثر مقادیر ویژه ماتریس A باشند. انتخاب بهینه پارامتر

در این مورد
حداقل مقدار برابر با:

مثال 3. حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش تکرار ساده. (در MathCAD)

اجازه دهید سیستم معادلات Ax = b داده شود

برای ساخت یک فرآیند تکراری، مقادیر ویژه ماتریس A را پیدا می کنیم:

- از یک تابع داخلی برای یافتن مقادیر ویژه استفاده می کند.

بیایید پارامتر تکرار را محاسبه کنیم و شرایط همگرایی را بررسی کنیم

شرط همگرایی برآورده می شود.

بیایید تقریب اولیه - بردار x0 را در نظر بگیریم، دقت را روی 0.001 قرار دهیم و با استفاده از برنامه زیر، تقریب اولیه را پیدا کنیم:

راه حل دقیق

اظهار نظر. اگر برنامه ماتریس rez را برگرداند، می توانید تمام تکرارهای یافت شده را مشاهده کنید.

مزیت روش‌های تکراری، کاربرد آن‌ها برای سیستم‌های دارای شرایط نامناسب و سیستم‌های با مرتبه بالا، خود تصحیح و سهولت اجرا در رایانه شخصی است. برای شروع محاسبات، روش های تکرار شونده نیاز به مشخص کردن تقریب اولیه برای حل مورد نظر دارند.

لازم به ذکر است که شرایط و سرعت همگرایی فرآیند تکراری به طور قابل توجهی به خواص ماتریس بستگی دارد. آسیستم و انتخاب تقریب های اولیه.

برای اعمال روش تکرار، سیستم اصلی (2.1) یا (2.2) باید به شکل کاهش یابد.

پس از آن فرآیند تکراری طبق فرمول های مکرر انجام می شود

, ک = 0, 1, 2, ... . (2.26آ)

ماتریس جیو بردار در نتیجه تبدیل سیستم (2.1) به دست می آیند.

برای همگرایی (2.26 آ) لازم و کافی است تا |ل من(جی)| < 1, где lمن(جی) - همه مقادیر ویژه ماتریس جی. در صورت || همگرایی نیز رخ خواهد داد جی|| < 1, так как |lمن(جی)| < " ||جی||، جایی که "هر کدام است.

نماد || ... || به معنای هنجار ماتریس است. هنگام تعیین مقدار آن، آنها اغلب در بررسی دو شرط متوقف می شوند:

||جی|| = یا || جی|| = , (2.27)

جایی که . اگر ماتریس اصلی باشد، همگرایی تضمین می شود آدارای تسلط مورب است، یعنی.

. (2.28)

اگر (2.27) یا (2.28) ارضا شود، روش تکرار برای هر تقریب اولیه همگرا می شود. اغلب، بردار یا صفر یا واحد گرفته می شود، یا خود بردار از (2.26) گرفته می شود.

رویکردهای زیادی برای تبدیل سیستم اصلی (2.2) با ماتریس وجود دارد آبرای اطمینان از فرم (2.26) یا ارضای شرایط همگرایی (2.27) و (2.28).

به عنوان مثال، (2.26) را می توان به صورت زیر به دست آورد.

اجازه دهید آ = که در+ با، دت که در#0; سپس ( ب+ با)= Þ ب= −سی+ Þ Þ ب –1 ب= −ب –1 سی+ ب–1، از کجا= − ب –1 سی+ ب –1 .

قرار دادن - ب –1 سی = جی, ب-1 = ، (2.26) را بدست می آوریم.

از شرایط همگرایی (2.27) و (2.28) مشخص می شود که نمایندگی آ = که در+ بانمی تواند دلخواه باشد

اگر ماتریس آشرایط (2.28) و سپس به عنوان یک ماتریس را برآورده می کند که درمی توانید مثلث پایینی را انتخاب کنید:

, a II ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

با انتخاب پارامتر a می توانیم اطمینان حاصل کنیم که || جی|| = ||E+a آ|| < 1.

اگر (2.28) غالب باشد، تبدیل به (2.26) را می توان با حل هر یک انجام داد. منمعادله سیستم (2.1) نسبت به x iطبق فرمول های تکراری زیر:

(2.28آ)

اگر در ماتریس آهیچ تسلط مورب وجود ندارد.

به عنوان مثال، سیستم را در نظر بگیرید

(2.29)

همانطور که می بینید، در معادلات (1) و (2) تسلط مورب وجود ندارد، اما در (3) وجود دارد، بنابراین آن را بدون تغییر می گذاریم.

اجازه دهید در رابطه (1) به تسلط مورب دست یابیم. بیایید (1) را در a، (2) در b ضرب کنیم، هر دو معادله را جمع کنیم و در معادله به دست آمده a و b را انتخاب کنیم تا تسلط مورب وجود داشته باشد:

(2a + 3b) ایکس 1 + (-1.8a + 2b) ایکس 2 + (0.4a - 1.1b) ایکس 3 = الف.

با گرفتن a = b = 5، ما 25 را دریافت می کنیم ایکس 1 + ایکس 2 – 3,5ایکس 3 = 5.

برای تبدیل معادله (2) با غالب (1) ضرب در g، (2) ضرب در d و تفریق (1) از (2). ما گرفتیم

(3 بعدی - 2 گرم) ایکس 1 + (2 روز + 1.8 گرم) ایکس 2 +(–1.1d – 0.4g) ایکس 3 = -g.

با قرار دادن d = 2، g = 3، 0 می گیریم ایکس 1 + 9,4 ایکس 2 – 3,4 ایکس 3 = -3. در نتیجه سیستم را بدست می آوریم

(2.30)

از این تکنیک می توان برای یافتن راه حل برای دسته وسیعی از ماتریس ها استفاده کرد.

یا

در نظر گرفتن بردار = (0.2; -0.32; 0) به عنوان تقریب اولیه تی، ما این سیستم را با استفاده از فناوری حل خواهیم کرد (2.26 آ):

ک = 0, 1, 2, ... .

فرآیند محاسبه زمانی متوقف می شود که دو تقریب همسایه بردار راه حل از نظر دقت بر هم منطبق باشند، یعنی.

.

فناوری حل تکراری شکل (2.26 آ) تحت عنوان روش تکرار ساده .

تخمین خطای مطلق برای روش تکرار ساده:

نماد کجاست || ... || یعنی عادی

مثال 2.1. با استفاده از یک روش تکرار ساده با دقت e = 0.001، سیستم معادلات خطی را حل کنید:

تعداد مراحلی که پاسخی دقیق به 0.001 e = می دهد را می توان از رابطه تعیین کرد

0.001 پوند

اجازه دهید با استفاده از فرمول (2.27) همگرایی را تخمین بزنیم. اینجا || جی|| = = حداکثر (0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

به عنوان یک تقریب اولیه، بردار عبارات آزاد را در نظر می گیریم، یعنی = (2.15; -0.83; 1.16; 0.44) تی. بیایید مقادیر برداری را با (2.26.) جایگزین کنیم آ):

در ادامه محاسبات، نتایج را در جدول وارد می کنیم:

ک	ایکس 1	ایکس 2	ایکس 3	ایکس 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

همگرایی در هزارم در مرحله دهم اتفاق می افتد.

پاسخ: ایکس 1 » 3.571; ایکس 2 "-0.957; ایکس 3 » 1.489; ایکس 4 "-0.836.

این محلول را می توان با استفاده از فرمول های (2.28 آ).

مثال 2.2. برای نشان دادن الگوریتم با استفاده از فرمول (2.28 آ) راه حل سیستم را در نظر بگیرید (فقط دو تکرار):

; . (2.31)

اجازه دهید سیستم را به شکل (2.26) مطابق (2.28) تبدیل کنیم آ):

Þ (2.32)

بیایید تقریب اولیه را در نظر بگیریم = (0; 0; 0) تی. سپس برای ک= 0 واضح است که مقدار = (0.5; 0.8; 1.5) تی. اجازه دهید این مقادیر را با (2.32) جایگزین کنیم، یعنی وقتی ک= 1 دریافت می کنیم = (1.075; 1.3; 1.175) تی.

خطای e 2 = = max(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575.

بلوک دیاگرام الگوریتم برای یافتن راه حل برای SLAE با استفاده از روش تکرارهای ساده طبق فرمول های کاری (2.28 آ) در شکل نشان داده شده است. 2.4.

ویژگی خاص بلوک دیاگرام وجود بلوک های زیر است:

- بلوک 13 - هدف آن در زیر مورد بحث قرار گرفته است.

– بلوک 21 – نمایش نتایج روی صفحه؛

– بلوک 22 – بررسی (شاخص) همگرایی.

اجازه دهید طرح پیشنهادی را با استفاده از مثال سیستم (2.31) تجزیه و تحلیل کنیم ( n= 3، w = 1، e = 0.001):

= ; .

مسدود کردن 1. داده های اولیه را وارد کنید آ,, w, e, n: n= 3، w = 1، e = 0.001.

چرخه I. مقادیر اولیه بردارها را تنظیم کنید ایکس 0منو x i (من = 1, 2, 3).

مسدود کردن 5. شمارنده را برای تعداد دفعات بازنشانی کنید.

مسدود کردن 6. شمارنده خطای فعلی را صفر کنید.

که درچرخه دوم، شماره ردیف های ماتریس تغییر می کند آو بردار

چرخه دوم:من = 1: س = ب 1 = 2 (بلوک 8).

به حلقه تو در تو III، بلوک 9 بروید – شمارشگر شماره ستون ماتریس آ: j = 1.

مسدود کردن 10: j = منبنابراین به بلوک 9 برمی گردیم و افزایش می دهیم jدر هر واحد: j = 2.

در بلوک 10 j ¹ من(2 ¹ 1) - به بلوک 11 حرکت می کنیم.

مسدود کردن 11: س= 2 – (–1) × ایکس 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2، به بلوک 9 بروید، که در آن jیک افزایش دهید: j = 3.

در بلوک 10 شرایط j ¹ منانجام شد، پس بیایید به بلوک 11 برویم.

مسدود کردن 11: س= 2 – (–1) × ایکس 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2، پس از آن به بلوک 9 می رویم که در آن jافزایش یک ( j= 4). معنی jبیشتر n (n= 3) - چرخه را تمام می کنیم و به بلوک 12 می رویم.

مسدود کردن 12: س = س / آ 11 = 2 / 4 = 0,5.

مسدود کردن 13: w = 1; س = س + 0 = 0,5.

مسدود کردن 14: د = | x i – س | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

مسدود کردن 15: x i = 0,5 (من = 1).

مسدود کردن 16. بررسی وضعیت د > de: 0.5 > 0، بنابراین به بلوک 17 بروید که در آن تخصیص داده ایم de= 0.5 و با استفاده از پیوند " برگردید آ» به مرحله بعدی چرخه II - به بلوک 7 که در آن منیک افزایش دهد.

چرخه دوم: من = 2: س = ب 2 = 4 (بلوک 8).

j = 1.

از طریق بلوک 10 j ¹ من(1 ¹ 2) - به بلوک 11 حرکت می کنیم.

مسدود کردن 11: س= 4 – 1 × 0 = 4، به بلوک 9 بروید، که در آن jیک افزایش دهید: j = 2.

در بلوک 10 شرط برآورده نمی شود، بنابراین به بلوک 9 می رویم که در آن jیک افزایش دهید: j= 3. با قیاس به بلوک 11 می رویم.

مسدود کردن 11: س= 4 – (–2) × 0 = 4، پس از آن چرخه III را تمام کرده و به بلوک 12 می رویم.

مسدود کردن 12: س = س/ آ 22 = 4 / 5 = 0,8.

مسدود کردن 13: w = 1; س = س + 0 = 0,8.

مسدود کردن 14: د = | 1 – 0,8 | = 0,2.

مسدود کردن 15: x i = 0,8 (من = 2).

مسدود کردن 16. بررسی وضعیت د > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «آ» به مرحله بعدی چرخه II - تا بلوک 7.

چرخه دوم: من = 3: س = ب 3 = 6 (بلوک 8).

به حلقه تودرتو III، بلوک 9 بروید: j = 1.

مسدود کردن 11: س= 6 – 1 × 0 = 6، به بلوک 9 بروید: j = 2.

با استفاده از بلوک 10 به بلوک 11 حرکت می کنیم.

مسدود کردن 11: س= 6 – 1 × 0 = 6. چرخه III را تمام می کنیم و به بلوک 12 می رویم.

مسدود کردن 12: س = س/ آ 33 = 6 / 4 = 1,5.

مسدود کردن 13: س = 1,5.

مسدود کردن 14: د = | 1 – 1,5 | = 0,5.

مسدود کردن 15: x i = 1,5 (من = 3).

طبق بلوک 16 (شامل ارجاعات" آ"و" با") چرخه دوم را ترک می کنیم و به بلوک 18 می رویم.

مسدود کردن 18. افزایش تعداد تکرارها آی تی = آی تی + 1 = 0 + 1 = 1.

در بلوک های 19 و 20 سیکل IV، مقادیر اولیه را جایگزین می کنیم ایکس 0منمقادیر به دست آمده x i (من = 1, 2, 3).

مسدود کردن 21. ما مقادیر میانی تکرار فعلی را چاپ می کنیم، در این مورد: = (0.5; 0.8; 1.5) تی, آی تی = 1; de = 0,5.

به چرخه II تا بلوک 7 می رویم و محاسبات در نظر گرفته شده را با مقادیر اولیه جدید انجام می دهیم ایکس 0من (من = 1, 2, 3).

پس از آن می گیریم ایکس 1 = 1,075; ایکس 2 = 1,3; ایکس 3 = 1,175.

در اینجا روش سیدل همگرا می شود.

طبق فرمول (2.33)

ک	ایکس 1	ایکس 2	ایکس 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

پاسخ: ایکس 1 = 0,248; ایکس 2 = 1,115; ایکس 3 = –0,224.

اظهار نظر. اگر روش های تکرار ساده و سیدل برای یک سیستم همگرا شوند، روش سیدل ترجیح داده می شود. با این حال، در عمل، حوزه های همگرایی این روش ها ممکن است متفاوت باشد، یعنی روش تکرار ساده همگرا می شود، اما روش سیدل واگرا می شود و بالعکس. برای هر دو روش، اگر || جی|| نزدیک به واحد، سرعت همگرایی بسیار پایین است.

برای سرعت بخشیدن به همگرایی، از یک تکنیک مصنوعی استفاده می شود - به اصطلاح روش آرام سازی . ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که مقدار بعدی با استفاده از روش تکرار به دست می آید x i (ک) با استفاده از فرمول دوباره محاسبه می شود

جایی که w معمولاً در محدوده 0 تا 2 (0) تغییر می کند< w £ 2) с каким-либо шагом (ساعت= 0.1 یا 0.2). پارامتر w طوری انتخاب می شود که همگرایی روش در حداقل تعداد تکرار حاصل شود.

آرامش- تضعیف تدریجی هر حالتی از بدن پس از قطع عوامل ایجاد کننده این حالت (مهندسی فیزیکی).

مثال 2.4. اجازه دهید نتیجه تکرار پنجم را با استفاده از فرمول آرامش در نظر بگیریم. بیایید w = 1.5 را در نظر بگیریم:

همانطور که می بینید، نتیجه تقریباً هفتمین تکرار به دست آمد.

روش تکرار ساده که روش تقریب متوالی نیز نامیده می شود، یک الگوریتم ریاضی برای یافتن مقدار یک کمیت مجهول با پالایش تدریجی آن است. ماهیت این روش این است که همانطور که از نام آن پیداست، با بیان تدریجی موارد بعدی از تقریب اولیه، نتایج بیشتر و دقیق تری به دست می آید. این روش برای یافتن مقدار یک متغیر در یک تابع معین و همچنین هنگام حل سیستم معادلات اعم از خطی و غیرخطی استفاده می شود.

اجازه دهید در نظر بگیریم که چگونه این روش هنگام حل SLAE ها اجرا می شود. روش تکرار ساده دارای الگوریتم زیر است:

1. بررسی تحقق شرط همگرایی در ماتریس اصلی. قضیه همگرایی: اگر ماتریس اصلی سیستم دارای غلبه مورب باشد (یعنی در هر ردیف، عناصر مورب اصلی باید از نظر قدر مطلق بزرگتر از مجموع عناصر قطرهای ثانویه در مقدار مطلق باشند)، آنگاه ماتریس ساده روش تکرار همگرا است.

2. ماتریس سیستم اصلی همیشه دارای برتری مورب نیست. در چنین مواردی می توان سیستم را تبدیل کرد. معادلاتی که شرایط همگرایی را برآورده می‌کنند دست نخورده باقی می‌مانند و ترکیب‌های خطی با معادلاتی که شرایط همگرایی را برآورده نمی‌کنند ساخته می‌شوند، یعنی. ضرب، تفریق، اضافه کردن معادلات به یکدیگر تا نتیجه دلخواه به دست آید.

اگر در سیستم حاصل ضرایب نامناسبی در مورب اصلی وجود داشته باشد، آنگاه شرایط شکل با i * x i به هر دو طرف چنین معادله ای اضافه می شود که علائم آن باید با علائم عناصر مورب مطابقت داشته باشد.

3. تبدیل سیستم حاصل به حالت عادی:

x - =β - +α*x -

این را می توان به روش های مختلفی انجام داد، به عنوان مثال، مانند این: از معادله اول، x 1 را بر حسب مجهولات دیگر، از دوم - x 2، از سوم - x 3، و غیره بیان کنید. در این مورد از فرمول های زیر استفاده می کنیم:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
دوباره باید مطمئن شوید که سیستم حاصل از فرم معمولی شرایط همگرایی را برآورده می کند:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1، در حالی که i= 1،2،...n

4. ما شروع به اعمال، در واقع، خود روش تقریب های متوالی می کنیم.

x (0) تقریب اولیه است، x (1) را از طریق آن بیان می کنیم، سپس x (2) را تا x (1) بیان می کنیم. فرمول کلی در قالب ماتریس به صورت زیر است:

x (n) = β - +α*x (n-1)

ما محاسبه می کنیم تا زمانی که به دقت مورد نیاز برسیم:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

بنابراین، بیایید روش تکرار ساده را عملی کنیم. مثال:
حل SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 با دقت ε=10 -3

بیایید ببینیم که آیا عناصر مورب در مدول غالب هستند یا خیر.

می بینیم که تنها معادله سوم شرط همگرایی را برآورده می کند. اول و دوم را تبدیل می کنیم و دومی را به معادله اول اضافه می کنیم:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

از سومی اولی را کم می کنیم:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

ما سیستم اصلی را به یک معادل تبدیل کردیم:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

حال بیایید سیستم را به حالت عادی خود برسانیم:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

ما همگرایی فرآیند تکراری را بررسی می کنیم:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1، یعنی. شرط برقرار است

0,3947
حدس اولیه x(0) = 0.4762
0,8511

این مقادیر را در معادله معمولی جایگزین می کنیم و مقادیر زیر را به دست می آوریم:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

با جایگزینی مقادیر جدید، دریافت می کنیم:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

ما محاسبات را ادامه می دهیم تا زمانی که به مقادیری نزدیک شویم که شرایط داده شده را برآورده می کنند.

x (7) = 0.441091

بیایید صحت نتایج به دست آمده را بررسی کنیم:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

نتایج به دست آمده با جایگزینی مقادیر یافت شده در معادلات اصلی شرایط معادله را کاملاً برآورده می کند.

همانطور که می بینیم، روش تکرار ساده نتایج نسبتاً دقیقی به دست می دهد، اما برای حل این معادله مجبور شدیم زمان زیادی را صرف کنیم و محاسبات دست و پا گیر کنیم.